Ingeniería en Instrumentos Derivados Forwards 1

Alvaro Díaz V.

Ingeniería en Instrumentos Derivados

Forwards 1

Alvaro Díaz ValenzuelaDottore in Matematica

Magister en Ciencias de la Ingeniería

13 de mayo de 2010

jueves 13 de mayo de 2010

Alvaro Díaz V.

Índice

• Forwards• Valoración por Ausencia de Arbitraje• Forwards de Divisas• Forwards de Tasa de Interés


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Forwards

• Un contrato forward es un acuerdo a través del cual las partes se obligan a intercambiar un bien prefijado en una fecha establecida y a un precio determinado.

• Los contratos forward son derivados muy antiguos, de hecho es muy conocido y estudiado el mercado de tulipanes que existía en Holanda en 1636-7.

• Los contratos forward son acuerdos entre dos contrapartes y se pueden establecer para cualquier bien, cualquier cantidad de ese bien y para cualquier fecha de vencimiento (entrega).

• NOTA: Los Futuros son contratos similares a los forwards, pero se transan en mercados organizados, interviene una cámara de compensación y se valorizan a mercado diariamente. Esto último implica que debe existir diferencia de precio entre forwards y futuros.


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• Compromiso de comprar/vender un monto dado de una cierta divisa a un cierto precio (en términos de otra divisa) en una fecha determinada.– Ejemplo: Forward USDCLP– Existe en Chile un mercado bastante profundo

para este producto. – Por ejemplo, un exportador que en 6M recibe 1

MM USD por una venta en el exterior, puede desde ya vender esos USD a un precio totalmente conocido.

– Así elimina absolutamente la incertidumbre respecto a sus ingresos en CLP.

Forwards de Divisa


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• Este tipo de contrato se hace totalmente a la medida del cliente,– Cualquier monto (eg. 534,256 USD)– A cualquier fecha (con algunas limitaciones estructurales)

• Existen dos modalidades de vencimiento– Entrega física: al vencimiento el comprador recibe el monto

en USD pactado y paga la cantidad de CLP especificada.– Compensación: al vencimiento alguna de las partes

preferiría no tener que cumplir el contrato. Por ejemplo, si el precio del forward supera el spot del momento, el comprador preferiría no cumplir. En esta modalidad, la parte perdedora compensa a la parte ganadora por la diferencia entre el precio forward y el precio spot aplicada al monto del contrato.

Forwards de Divisa


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Payoff Forwards de Divisa


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Payoff Forwards de Divisa


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• Supongamos que la fecha de hoy se t y valoricemos a hoy un contrato forward USDCLP por entrega física a un precio K, que vence en la fecha T (en esa fecha se produce el intercambio divisas) y por un monto en USD igual a M.

• Supongamos conocidas unas tasas tUSD y tCLP para la fecha T, apropiadas para calcular el valor presente de los flujos del forward en la fecha T, estos son:• M el monto en USD• MxK el monto en CLP• Supongamos adicionalmente que compramos el

monto M en USD.• Sea S el precio USDCLP para entrega hoy (t + 0).

Forwards de Divisa


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• De este modo el valor V del contrato está dado por:

Forwards de Divisa

V =S ⋅M

1+ tUSD ⋅T − t360

−K ⋅M

1+ tCLP ⋅T − t360

• Nota: en la gran mayoría de los mercados, el precio spot para un par de divisas, como USDCLP, es para entrega más allá de t + 0. En el caso del USDCLP es t + 1, por lo que para obtener el precio t + 0 hay que realizar una corrección.


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• Si en este momento estamos cotizando un forward, nos preguntamos que precio K es el que hace que el forward tenga valor 0.

• O sea, tenemos que resolver en K la ecuación:

Forwards de Divisa

0 = S ⋅M

1+ tUSD ⋅T − t360

−K ⋅M

1+ tCLP ⋅T − t360

• Resulta:

K = S ⋅1+ tCLP ⋅

T − t360

1+ tUSD ⋅T − t360


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• Este mismo resultado se obtiene aplicando un razonamiento de ausencia de arbitraje. Examinemos los siguientes precios y la siguiente estrategia de inversión:

Forwards de Divisa


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• Este mismo resultado se obtiene aplicando un razonamiento de ausencia de arbitraje. Examinemos los siguientes precios y la siguiente estrategia de inversión:

¡¡¡¡!!!!

Forwards de Divisa


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• Sigue que el precio forward debe ser igual 582.403980 CLP/USD, si no esta estrategia se podría repetir al infinito generando ganancias ilimitadas sin asumir riesgo.

• Uno de los principios fundamentales de las finanzas es que estas oportunidades, llamadas de arbitraje, no existen.

• El precio forward así determinado es igual a:

Forwards de Divisa

F = S ⋅ 1+ tCLP ⋅n 3601+ tUSD ⋅n 360

= S ⋅Wf

CLP,n

WfUSD,n


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• Arbitraje es una estrategia de inversión que posee una de las dos siguientes características:– inversión inicial igual a 0 y retorno positivo– riesgo no diversificable igual a 0 y retorno por

sobre la tasa libre de riesgo• Para valorar cualquier tipo de derivado, el

principio fundamental que rige es el de Ausencia de Oportunidades de Arbitraje.

Valor de un Forward


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• Una manera ilustrativa de imaginarse una oportunidad de arbitraje es la siguiente: imaginemos la siguiente pantalla de precios para el USD/CLP

• El primero que vea esto comprará a 499 y venderá a 500 realizando una utilidad de 1 MM CLP evidenciando inmediatamente el ‘desarbitraje’ de estos precios y haciendo desaparecer la oportunidad para otros.

Valor de un Forward


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• Notar que redescubrimos la característica del precio forward: es aquel precio que hace que el valor del contrato al inicio sea 0.

• El contrato dejará de tener valor 0 apenas cualquiera de las condiciones iniciales de mercado cambie.

Valor de un Forward


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• Pasado 1M y habiendo diferencias en la tasa en CLP, el contrato tiene utilidad.

• Este valor es el que se llama valor de mercado (o razonable).

Valor de un Forward


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• Existen dos maneras de liquidar un contrato forward de divisas: – Entrega Física: se intercambian los montos pactados en las

dos divisas.– Compensación: se compara el precio forward con algún

benchmark de mercado y se liquida la diferencia.• En Chile el contrato forward USD/CLP más utilizado

es el que compensa según dólar observado.• Por ejemplo, si compro fwd 1MM USD al 4-5-2010 a

un precio de 582.90 por compensación observado y al vencimiento, el dólar observado es de 500, la contraparte me pagará una suma de:

Valor de un Forward


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• ¿Qué diferencia hay entre un contrato por entrega física y uno por compensación?

• Consideremos inicialmente, un contrato que se compensa contra dólar de mercado.

• Esto último debe estar bien definido y puede ser por ejemplo, el precio que se observa en una plataforma de información a una cierta hora.

• Un contrato por compensación bien diseñado, debería tener una fecha de settlement consistente con la valuta del precio spot.

• Por ejemplo, si spot es t + 1 como el USDCLP, entonces si el contrato forward vence en T y la compensación se calcula contra un precio spot de T, el producto de esa compensación debería pagarse en T + 1.

Forward de Divisa


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Forward de Divisa


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• Vemos que los forwards por compensación acarrean un riesgo adicional asociado al fixing de la compensación.

• Para los contratos que compensan según observado este riesgo es aún mayor ya que el observado es un promedio del día anterior.

• Además, dado que el dólar observado del día T, se determina como promedio de las transacciones del día T−1, para valorar un contrato por compensación según este índice, se considera que su fecha relevante de vencimiento es el día hábil anterior al vencimiento que aparece en el contrato.

• Esto implica que las tasas relevantes son las que corresponden a ese plazo.

Forward de Divisa


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• Para plazos ‘largos’ en Chile ocasionalmente se utiliza el forward de USD contra UF.

• Se transa la modalidad por entrega física y por compensación según dólar observado.

• Este contrato se cotiza en ‘tasa’ T de modo que se cumpla la siguiente relación:

– Donde F es el precio forward del contrato

Forward USD-UF

F =ObsUF

⋅ 1+ T ⋅n360

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


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• Lógica de la fórmula anterior:

• Por la expresión para T, muchas veces se dice que ésta es el “diferencial de tasas + el efecto observado”.

Forward USD-UF

F =SUF

⋅1+ tUF ⋅n 3601+ tUSD ⋅n 360

=

=SUF

⋅ObsObs

⋅1+ tUF ⋅n 3601+ tUSD ⋅n 360

=ObsUF

⋅SObs

⋅1+ tUF ⋅n 3601+ tUSD ⋅n 360

=ObsUF

⋅ 1+ T ⋅n 360( )⇒

⇒SObs

⋅1+ tUF ⋅n 3601+ tUSD ⋅n 360

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅360n


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• Lógica de la fórmula anterior:

• Por la expresión para T, muchas veces se dice que ésta es el “diferencial de tasas + el efecto observado”.

Forward USD-UF


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Forward CLP-UF• En Chile también se utiliza el

forward de CLP contra UF.• Evidentemente, dado que la

UF no es entregable directamente, sólo se realizan forwards por compensación.

• El contrato se cotiza directamente en CLP/UF y los vencimientos estándar corresponden a los días 9 de cada mes. Si el día 9 es inhábil, el vencimiento se traslada al día hábil anterior. Esto último, para evitar que el contrato recoja días en los cuales interviene la variación de IPC siguiente.


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Formato de Cotización

• Para los forwards UDCLP, la manera usual de cotizarlos es a través de los llamados puntos forwards, esto es:

Spot + Puntos = Forward


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• Los FRA’s (Forward Rate Agreements) son contratos a través de los cuales se fija el valor de una tasa referencial, por ejemplo alguna Libor, en d1 días más por un período de d2 −d1 días.

d1

d2

En este momento se fija el valor de la tasa que regirá por los proximos d2−d1 dias.

0t

Forwards de Tasa: FRAs


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• Estos contratos tienen importancia, porque es muy común que las captaciones y colocaciones de corto plazo de la banca, se indexen a una tasa referencial.

• Es así como un cliente bancario que sabe que requerirá financiamiento por 3M en 3M más y que sabe que la tasa que su banco le cobrará es de Libor 3M + Spread, puede estar interesado en cubrir el riesgo Libor a través de un contrato FRA.



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• Los FRAs se resuelven por compensación comparando el valor pactado de la tasa de referencia en el contrato con el valor spot de la tasa usada como referencia.

• En el mercado externo se utilizan tasas como Libor, mientras que en el local se ha utilizado la tasa TAB que publica la Asociación de Bancos, pero lo usual es usar la cámara promedio que publica el Banco Central.

• La fórmula para compensar es la siguiente y representa el valor presente de la diferencia entre el benchmark y la tasa pactada en el FRA (a veces no se trae a valor presente y se espera hasta vencimiento).

• Busquemos ahora la relación entre la tasa que se puede conseguir en un contrato FRA con las tasas spot de captación y colocación.


Δ = N ⋅f − Libor( ) ⋅ d2 − d1( ) 3601+ Libor ⋅ d2 − d1( ) 360


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• Con ese fin, intentemos valorizar el contrato FRA. Consideremos el flujo de caja que el contrato proporciona como si este ocurriera en d2. El valor es:


Vd2 = N ⋅YF d1,d2( ) ⋅ FRA − L d1,d2( )( )• Quiero traer a valor presente este flujo, pero primero re escribo el

valor de la futura tasa Libor en función de su factor de descuento:

1+ L d1,d2( ) ⋅YF d1,d2( ) =Wf d1,d2( )⇒⇒ L d1,d2( ) = Wf d1,d2( ) −1( ) ⋅ 1

YF d1,d2( )


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• Por lo tanto:


Vd2 = N ⋅YF d1,d2( ) ⋅ FRA −Wf d1,d2( )YF d1,d2( ) +

1YF d1,d2( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

N ⋅ 1+ FRA ⋅YF d1,d2( ) −Wf d1,d2( )( )• Para traer a valor presente debo dividir por el factor de

capitalización entre hoy (0) y d2.

Vd2 Wf 0,d2( ) = N ⋅

1 Wf 0,d2( ) +FRA ⋅YF d1,d2( ) Wf 0,d2( ) −−Wf d1,d2( ) Wf 0,d2( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟


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• El último adendo dentro del paréntesis se escribe como:


Wf d1,d2( ) Wf 0,d2( ) = 1 Wf 0,d1( )• Y por lo tanto:

Vd2 Wf 0,d2( ) = N ⋅

1 Wf 0,d2( ) +FRA ⋅YF d1,d2( ) Wf 0,d2( ) −−1 Wf 0,d1( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟


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• Si queremos que este valor sea igual a 0 debe ser:


FRA =Wf 0,d2( )Wf 0,d1( ) −1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅

1YF d1,d2( )

• Esta particular tasa se define como la tasa forward FWD entre d1 y d2.

• Notemos que utilizando esta definición deducimos que para calcular e valor de un contrato FRA, basta con insertar el valor de la tasa FWD en vez de la Libor y traer a valor presente:

Vd2 Wf 0,d2( ) = NWf 0,d2( ) ⋅YF d1,d2( ) FRA − FWD( )


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• Notemos la siguiente propiedad de f :

• La tasa f es aquella tasa que me deja indiferente ante la posibilidad de invertir a t2 por d2 o invertir a t1 por d1 y luego re-enganchar a f por d2 – d1.


1+ t1 ⋅d1360

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 1+ f ⋅ d2 − d1

360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1+ t2 ⋅

d2360


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Anexo 1: Pricing FRA por Ausencia de Arbitraje


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• Sea t1 la tasa para d1 días más y t2 la tasa para d2 días más y supongamos que estas son tasas interbancarias buenas para captar y colocar y que su convención es Lineal Act/360

• Supongamos que, además de las tasas anteriores, Banco A ofrece un contrato FRA de tasa interbancaria igual a f para el período entre d1 y d2.

• Banco B monta la siguiente estrategia:– Pide plata, digamos N, a t2 por d2 días

– Coloca esa misma plata a t1 por d1 días– Entra en el contrato FRA a f por un monto igual al valor final de la

primera colocación.– A vencimiento de esa colocación se recoloca el monto final de la primera

colocación a tasa spot S y se invierte o financia a S la compensacion del contrato FRA



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• A vencimiento, o sea en el día d2, tenemos los siguientes flujos de caja por la captación y la colocación renovada más el FRA

• Por ausencia de arbitraje sigue que F2 – F1 <= 0


F1 = N ⋅ 1+ t2 ⋅d2360

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F2 = N ⋅ 1+ t1 ⋅d1360

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 1+ S ⋅ d2 − d1

360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

+N ⋅ 1+ t1 ⋅d1360

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ f − S( ) ⋅ d2 − d1

360

= N ⋅ 1+ t1 ⋅d1360

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 1+ f ⋅ d2 − d1

360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


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• Con un razonamiento análogo, en el cual Banco B pide plata a corto plazo y coloca a largo para luego renovar la captación podemos decir que:

• Por ausencia de arbitraje sigue que F1 – F2 <= 0, y por lo tanto:

• F1 = F2, o sea:


1+ t2 ⋅d2360

= 1+ t1 ⋅d1360

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 1+ f ⋅ d2 − d1

360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


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• Simplificando f obtenemos que:


• Dicho de otra manera, la tasa f corresponde a la tasa forward entre t1 y t2.

f = 1+ t2 ⋅d2 3601+ t1 ⋅d1 360

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅360d2 − d1


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Anexo 2: Calcular un precio USD t + 0.


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• Sea S en t + 1 el precio spot USDCLP• Sean tCLP y tUSD tasas overnight (entre t y t + 1) en

convención Lin Act/360.• Calcule un precio USDCLP en t + 0.

Precio t + 0


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