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Las matemáticas se han desarrollado, a lo largo de la historia de la humanidad, por la necesidad del ser humano de resolver tantos problemas prácticos, científicos, artísticos, filosóficos e incluso teológicos. La actividad matemática va mucho más allá de definir, enunciar o demostrar propiedades, tiene un sustrato profundo en la construcción mental y el orden de la realidad que crea el ser humano.

Cuando los seres humanos se enfrentaron a los problemas que originan el desarrollo del conocimiento matemático, debieron utilizar todas las estrategias de las que disponían, sobre todo la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que actualmente –por el nivel de desarrollo y avance de las técnicas- quedan ocultos en la exposición formal con la que habitualmente se presentan las matemáticas1.

¿Por qué resolver problemas?

Un antiguo proverbio chino, de manejo popular, dice: “Escucho y olvido, veo y recuerdo, hago y comprendo” Esto significa que cada vez que una persona hace algo y/o descubre algo por sí mismo tiende a no olvidarlo, puesto que se apropia de lo aprendido desde la materialidad exterior y lo internaliza en su sistema de representaciones mentales. Citando a George Polya (1957) –uno de los precursores del estudio de los procesos en la resolución de problemas- siempre debemos considerar que “Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema hay cierto descubrimiento”. Al resolver un problema siempre se aprende algo, es inherente a esta situación el descubrimiento de algún elemento que se ignoraba o no consideraba, y de pronto, se utiliza para dar solución al cuestionamiento al que la persona se ha visto enfrentada. De la práctica en la resolución de problemas se van adquiriendo y desarrollando también una serie de habilidades, que conllevan actitudes, estrategias que van nutriendo la capacidad mental para hacer más eficiente la respuesta a un nuevo problema al que se vea interpleda la persona.

1 Leal, Ricardo “Técnicas para la resolución de problemas” Didáctica de las matemáticas II,

2004.

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Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos inherentes a la resolución de problemas, es decir: recolectar información, descubrir relaciones, plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, entre otras posibilidades. Esto implica ir más allá de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, lo que supone también involucrase en situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución, tal como se ha expresado anteriormente.

Cierto es que la matemática debe proveer los conocimientos específicos para que sean aplicados en la práctica de la misma. Si bien, también es cierto, estos conocimientos matemáticos suelen resultar algo difícil tanto de enseñar como de aprender, después de todo, hay que considerar que se requieren una gran cantidad de conocimientos matemáticos para el ejercicio de una profesión relacionada con ésta. No obstante, la resolución de problemas permite desarrollar un pensamiento juicioso, capaz de establecer criterios para abordar situaciones problemáticas que se presentan en diferentes contextos; esta capacidad de generar estrategias a partir del pensamiento matemático es, precisamente, la habilidad más compleja que persigue desarrollar en la persona, la técnica de resolución de problemas.

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Epitafio en la tumba de Diofanto

Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceavaparte su mejilla se cubrió con el

UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años más. De todo esto se deduce su edad.

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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MTHE01 UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas matemáticos, utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas, argumentando y razonando matemáticamente. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

� Desarrolla y usa modelos en múltiples situaciones. � Generaliza resultados a otros tipos de problemas. � Vincula o relaciona diferentes sistemas de representación. � Elabora argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los

otros. CONTENIDOS

1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos: - Ensayo y Error. - Organización y representación de información. - Simplificación de problemas. - Analogía e inducción problemática. - Desarrollo y utilización de modelos matemáticos. - Búsqueda de regularidades matemáticas. - Razonamiento directo e indirecto.

2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos:

- Datos. - Justificación. - Fundamentos. - Conclusión.

3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos.

- Unidireccional. - Contributiva. - Reflexiva. - Instructiva.

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Introducción

Al pensar en matemáticas como asignatura, pensamos en un conjunto de

conocimientos básicos y comunes que se enseñan transversalmente en todo el mundo. Lo

asombroso es que sin importar el idioma en el que se enseñe, el lenguaje matemático en sí

resulta universal, certero y preciso. La notación de una adición o una ecuación no admite

ambigüedades, ni matices en su significado; por lo tanto, las matemáticas son un lenguaje

perfecto, y como lenguaje, permite crear y estructurar el pensamiento humano y la realidad que

construimos.

Como todo lenguaje, el lenguaje matemático también tiene como objetivo comunicar,

para ello utiliza un sistema de signos propios que se organizan para estructurar diferentes

mensajes. Para hacer efectiva la comunicación en este lenguaje es preciso manejar los

conceptos básicos y asociarlos a cada signo. También es imprescindible saber técnicas y

desarrollar habilidades que nos permitan utilizarlas, lo que sin duda, requiere de esfuerzo para

interiorizar y aplicar el conocimiento matemático. Ahora bien, resulta muy válido cuestionar el

para qué de este esfuerzo por aprender comunicarse en lenguaje matemático.

El sentido del aprendizaje de las matemáticas es poder comunicar a través de este

sistema semiótico, como por ejemplo, entendiendo lo que están haciendo otros (al contemplar

el ejercicio que desarrolla algún docente) o bien, aplicándolo en distintas situaciones, ya sean

cotidianas y sencillas, como calcular algún precio o una medida. Y también, en situaciones

abstractas, como resolver un ejercicio. Si se piensa detenidamente, cada vez que alguien se ve

enfrentado a una situación en la que es interpelado por el lenguaje matemático,

inmediatamente se ve desafiado a resolver una pequeña encrucijada, a encontrar la solución a

un problema.

La Resolución de problemas es entonces la técnica fundamental para poder

comunicarnos en lenguaje matemático, lo que significa que es necesario pensar, analizar y

descubrir una solución a partir de la aplicación de los conocimientos básicos de la combinación

de signos y reglas universales. Es bueno recordar que “Quien quiere hacer algo encuentra un

medio; quien quiere hacer nada encuentra una excusa”. (Proverbio chino)

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Actualmente la Resolución de problemas es considerada la parte más esencial de la

educación matemática, puesto que mediante esta técnica los estudiantes experimentan la

potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea y el aprendizaje se vuelve

significativo.

Aunque no es sencillo, y quizás parezca superfluo, para comprender qué es la

resolución de problemas es necesario delimitar, siquiera sea a grandes rasgos, qué es lo que

entendemos por problema.

Debido a que la palabra "problema" es polisémica, se usa en contextos diferentes y con

matices diversos, haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos.

No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Nos acerca

más al sentido de qué es un problema la expresión de problema de letra que los estudiantes

emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las

matemáticas propiamente dichas, los que llevan dentro una cierta "historia", que se pueden

contar. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente -aunque sea frágil- entre las

matemáticas y la vida.

Sin embargo, no es el único aspecto a destacar. También hay que caracterizar los

"problemas" por oposición a los ejercicios, algo bien conocido por los estudiantes, porque

constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático.

En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no; se trata de

aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar. Pero, una vez localizado, se aplica y basta.

Justamente, la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado

en los alumnos un síndrome generalizado; en cuanto se les plantea una tarea a realizar, tras una

somera reflexión, contestan: "lo sé" o "no lo sé", según hayan localizado o no el algoritmo

apropiado. Ahí acaban, en general, sus elucubraciones.

En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios; y

desde luego no está codificado y enseñado previamente. Hay que apelar a conocimientos

dispersos, y no siempre de matemáticas; hay que relacionar saberes procedentes de diferentes

campos, hay que poner a punto relaciones nuevas.

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Por lo tanto, entenderemos que un problema es una interrogante a la que no es

posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino

que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y

buscar relaciones nuevas entre ellos. Además, esta interrogante debe suscitar nuestro interés,

es decir, que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea a la que estemos dispuestos a

dedicarle tiempo y esfuerzos. Como consecuencia de todo ello, una vez resuelta nos

proporciona una sensación considerable de placer, incluso sin haber acabado el proceso, sin

haber logrado la solución; dado que también en el proceso de búsqueda, en los avances que

vamos realizando, la tarea se va haciendo placentera al ir superando etapas.

Es importante destacar una vez más la importancia del compromiso personal en la

resolución de problemas. La disposición que tenemos para enfrentar los problemas es tan

importante como la manera en que se nos presenten éstos, para que lo asumamos como tales.

Todo ello es de particular interés en la enseñanza, porque de cómo se plantea la encrucijada

que supone la interrogante, el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada

depende -en un porcentaje muy importante- el que un problema pase a ser considerado como

tal para los estudiantes.

Como un primer problema para comenzar a ejemplificar esta unidad, será el siguiente:

PROBLEMA 1: LA MOSCA REVOLOTEADORA. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontal y

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verticalmente, sin repetir moneda y sin saltarse alguna. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?

Como en todo problema que se abarque en el texto, lo importante no es la solución que se obtenga, más bien, el

argumento que usted pueda encontrar para llegar a esa solución.

Se recomienda que trabaje en grupos, donde pueda sociabilizar sus resultados e intercambiar ideas para los

distintos métodos e ideas que surjan de la resolución.

Continuando con estas ideas, plantearemos otro problema.

PROBLEMA 2: NOGALEROS Y NUECES ROTAS. Los 18 socios de la Cofradía de Nogaleros Unidos reciben en su local de Villa fría de la Sierra a los 11 miembros de la Hermandad de la Buena Nuez, del pueblo vecino, para hablar de los problemas que tienen en común. Antes de saludarse, a Isidro se le ocurrió una feliz idea: Aprovechemos cada apretón de manos para partir una nuez. Así lo hicieron. ¿Cuántas nueces pudieron partir con sus saludos?

Siempre que intentemos buscar soluciones, es bueno (muchas veces) pensar en problemas quizás más

sencillos que tengan la misma controversia o ímpetu del original, reducido a ejemplos más pequeños o con menos

variables involucradas.

Sigamos entonces con más problemas.

PROBLEMA 3: JUGANDO A LAS CARTAS. Las señoras Ximena , Yazna, Zoila, de nacionalidad argentina, chilena y brasileña, aunque no por este orden, están jugando a las cartas, sentadas alrededor de una mesa camilla. Cada una ha pasado una carta a la que se sienta a su derecha. La señora Yazna ha pasado a la argentina. La señora Ximena ha pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña. ¿Cuál es la nacionalidad de Ximena, Yazna y Zoila?

No siempre una ecuación es la mejor manera de resolver problemas, hay veces que un buen dibujo

(diagrama o esquema) es suficiente para obtener la solución. Se pueden seguir encontrando formas de resolver

problemas, no cierres las posibilidades a solo plantear una ecuación. Las matemáticas van mucho más allá de

una simple fórmula.

Sigamos desafiando a la mente.

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PROBLEMA 4: UN NÚMERO MÁGICO. Se elige un número cualquiera de 3 cifras, no todas iguales, por ejemplo 373. Se construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. Ahora se las ordena de menor a mayor: 337. Al restar estos dos números se obtiene:

733 - 337 = 396. Se repite la operación unas cuantas veces con el resultado 396 y los sucesivos ¿Qué se observa? ¿Cuál es la razón? ¿Qué pasa con un número de dos o de cuatro cifras al hacer un proceso semejante?

Cuando nos enfrentamos a un problema, a veces nos gusta generalizar y obtener algún patrón o

comportamiento que es común, independiente de cuantas variables estemos trabajando, la idea es seguir

desafiando a nuestro cerebro y mejorar nuestras habilidades de resolver problemas.

PROBLEMA 5: EL PROBLEMA DE JOSEPHUS. En su libro De Bello Judáico, Hegesipo cuenta que cuando los romanos capturaron la ciudad de Jotapat, Joseph y otros cuarenta judíos se refugiaron en una cueva. Allí, la mayoría de los refugiados decidieron suicidarse antes que entregarse. A Joseph y otro amigo la idea no les gustaba. Propusieron hacerlo, pero de manera ordenada. Se colocarían en círculo y se irían suicidando contando tres a partir de un entusiasta que a toda costa quería ser el primero ¿En qué lugares se colocaron Joseph y su amigo para ser los dos últimos y, una vez en mayoría absoluta, decidir que no estaban de acuerdo con la auto eliminación?

Siempre busca ideas que faciliten tu problema y no que lo compliquen, identifica variables, discute

ideas, propone posibles soluciones, recuerda que el trabajo en grupo es fundamental en la vida, y las matemáticas

se construyen a partir de muchas ideas y no solamente por una.

PROBLEMA 6: PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observemos las igualdades:

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 = 5 − 1 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 = 11 − 1 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 360 = 19 − 1

¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cuadrado perfecto menos 1?

Continúa esforzándote, que el trabajo constante te llevara al éxito.

PROBLEMA 7: EL MONJE EN LA MONTAÑA. Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando. Sale de la ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente, a las 9 de la mañana, emprende el camino a su ermita por el mismo sendero, y a mayor velocidad. Al ir

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bajando, se pregunta: ¿Habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer?

En general, los problemas matemáticos son más cotidianos y cercanos de lo que podemos llegar a

pensar, cualquier situación puede ser analizada como un problema matemático.

Antes de continuar resolviendo problemas, comenzaremos a realizar problemas que seguramente ya has debido

enfrentar cuando estabas en el colegio y puede que muchos de los problemas que siguen a continuación te sean

familiares.

PROBLEMA 8: EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos, por los que pagó $600. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele dos huevos, con lo que el precio le resultó $120 más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?

PROBLEMA 9: LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 duraznos, y 6 duraznos y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos duraznos serán necesarios para equiparar el peso de una pera?

PROBLEMA 10: LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo del maíz, un quinto al cultivo de la avena, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba arroz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?

PROBLEMA 11: PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestan $12.000 más que cuatro grandes y siete pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande?

PROBLEMA 12: PASTELES SOBRE LA MESA. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. Ana se comió la mitad y uno más. Bastián se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Con esto se acabaron los pasteles. ¿Cuántos pasteles había sobre la mesa?

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PROBLEMA 13: DÍGITOS FINALES DE LAS POTENCIAS. ¿Cuáles son los dígitos finales de las potencias de exponente 23 de los números 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39? (Es

decir, cuál es la última cifra de 31�, 32�, etc…)

PROBLEMA 14: CONTANDO DIAGONALES. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 85 lados? (Recuerda que un polígono convexo es aquel en el cual siempre dos puntos en el interior se pueden unir mediante una línea recta).

PROBLEMA 15: ¿CUÁNTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien; este tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. ¿Cuántos nueves necesitará?

PROBLEMA 16: LOS TANTOS POR CIENTO. ¿Qué es más, el 25% de 75 o el 75% de 25?

PROBLEMA 17: EL PRECIO DE LA BOTELLA. Una botella de vino cuesta $10.000. El vino cuesta $9.000 más que la botella ¿Cuánto cuesta la botella?

PROBLEMA 18: EL CUBO PINTADO. Un cubo de madera cuyos lados miden 30 cm. Se pinta completamente de rojo; luego se divide en 27 cubitos iguales cuyos lados miden 10 cm. ¿Cuántos serán los cubitos que presentarían solo dos caras pintadas?

PROBLEMA 19: NIÑOS Y MOSCAS. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas?

PROBLEMA 20: TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible? (Recuerda que el área de un triángulo viene dada por el semi producto de la base con la altura).

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PROBLEMA 21: CONEJOS Y PALOMAS. En una jaula con conejos y palomas, hay 35 cabezas y 94 patas. Con estos datos ¿Cuántas aves hay exactamente?

PROBLEMA 22: ¿CUÁNTO DINERO TIENE PEDRO? Entre Pedro, Luis y Antonio tienen $500.000. Sabiendo que Antonio tiene el doble que Luis y éste tres veces más que Pedro ¿Cuánto dinero tiene Pedro?

PROBLEMA 23: MULAS Y BURROS. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos $7.500.000. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas ¿A qué precio se vendieron cada uno de ellas?

PROBLEMA 24: ALFA COMO PISTA. ¿Qué representa la siguiente secuencia?

0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1

PROBLEMA 25: NI EN UNA SEMANA. ¿Qué representa la siguiente secuencia?

O, S, S, S, S, S, O.

PROBLEMA 26: LLEGAR A 50. Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5, y los suman a los números elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. Veamos una partida:

Jugador 1 3 4 1 5 4 5 1

Jugador 2 5 4 3 5 4 1 5

Suma total

3 8 12 16 17 20 25 30 34 38 43 44 45 50

¡Gana el segundo jugador! Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?

PROBLEMA 27: LAS 9 BOLAS. Se tienen 9 bolas semejantes, entre las cuales hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante dos pesadas solamente, realizadas en una balanza que carece de pesas.

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Ahora que ya hemos resuelto varios problemas y discutido en clases muchas de las estrategias que son de utilidad para Resolver Problemas, es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una reflexión y dan un formalismo a este concepto. Para ello nos haremos las siguientes preguntas:

1. ¿Qué diferencia existe entre un problema y un ejercicio? 2. ¿Qué estrategias utilizar cuando se está frente a un problema?

Respecto a la primera pregunta, ya habíamos dado una idea general de lo que significa problema y de sus diversos contextos, y para la segunda pregunta es seguro que tu respuesta ya debería ser más clara, puesto que ya hemos estado utilizando varias estrategias, y podrás notar que algunas son más frecuentemente que otras, pero no te habías dado cuenta, esto, te debe hacer notar que ya tienes un gran trecho avanzado y que no es un tema que no conozcas, sólo que no te habías detenido en él.

Entonces, para responder a estas preguntas. Comenzaremos ilustrando el siguiente diagrama que muestra la Diferencia entre Problema o Ejercicio.

La distinción entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los “problemas de aplicación” que aparecen en los libros son en realidad ejercicios, si después de comprender el enunciado del problema y reconocer los datos y la incógnita, el método para resolverlo es alguna de las técnicas o procedimientos vistos con anterioridad, se trataría solo de un ejercicio.

Ahora, para responder a la segunda pregunta, vamos a hacernos otra pregunta.

¿Cómo resolver problemas?

Ejercicio Problema

Situaciones rutinarias, idénticas o muy similares a otras que ya fueron resueltas.

Los métodos para resolverlos son conocidos.

Situaciones no rutinarias. No existe un camino inmediato o evidente para su solución.

Es necesario explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución.

Admiten más de una estrategia de solución.

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Algunos dicen que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es mucho más complejo que eso.

Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de estrategias de resolución de problemas. Por un lado, si un método es demasiado específico y atañe a un contenido en particular, puede no ser transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido en particular. Por otro lado, si un método es muy general, no queda claro cómo aplicarlo en los distintos dominios.

Esto acarrea la discusión de si es posible aprender a resolver problemas en general o si solo se pueden estudiar los métodos de resolución ligados a contenidos específicos.

Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la habilidad de resolución de problemas. Esto es:

1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de problemas, ya que aunque no garantizan la solución de un problema, si pueden ayudar a atacarlo.

2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplicó. Es necesario revisar el contenido específico.

Método general de Pólya

George Pólya, fue un matemático que nació en Hungría, él se dedicó a trabajar en muchos temas matemáticos, pero en sus últimos años intentó caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas.

Pólya identificó cuatro etapas en la resolución de problemas:

1. Entender el problema

2. Diseñar un plan

3. Ejecutar el plan

4. Examinar la solución

Un aspecto muy relevante para la resolución de problemas es la posibilidad de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se están realizando ¿qué estoy haciendo? ¿Me sirve para avanzar en la solución? ¿Qué otra cosa puedo hacer? ¿Es correcta la solución que obtuve?

Las siguientes preguntas te ayudarán a monitorear cada una de las etapas, además se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:

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Estrategias de resolución de problemas

El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para resolver problemas matemáticos:

1. Descomponer el problema en subproblemas.

2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal.

3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

5. Buscar analogías.

Entender el Problema

Diseñar un Plan

Ejecutar el Plan

Examinar la Solución

¿El problema es similar a otro visto antes? ¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? ¿Puedo modificar algún método conocido para aplicarlo en este caso?

¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Las condiciones permiten determinar la incógnita?

¿Es correcto cada uno de los pasos usados en la solución? ¿El plan permite avanzar en la solución del problema?

Reconocer datos e incógnita. Representar el problema con gráficos, diagramas o dibujos.

Pensar en un problema similar. Simplificar el problema a casos particulares.

Revisar cada paso. Evaluar el plan propuesto.

¿Se puede comprobar la solución? ¿Se puede obtener el resultado de otra forma? ¿Se puede emplear el método usado en otro problema?

Resolverlo de otra forma para comprobar la solución.

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6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un problema aritmético representándolo geométricamente.

7. Búsqueda por ensayo y error.

8. Método algebraico.

9. Método gráfico.

Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras, algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con ejemplos el funcionamiento de estas estrategias.

Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines, tal como se muestra en la siguiente figura:

a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños? b) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños? ¿Problema o ejercicio? Solución:

a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaños y contar los adoquines. También es posible reconocer que cada peldaño es una más que el anterior, por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaños es

Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma término a término del 1 al 10. Se trataría de un ejercicio.

b) El número de adoquines en 100 peldaños es igual a la suma

No tiene sentido práctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la suma término a término. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos enfrentamos a un problema.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55+ + + + + + + + + =

1 2 3 100+ + + +L

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Mostraremos entonces algunas de las estrategias que se pueden usar para resolver este problema.

Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.

Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular.

Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible buscar sumas parciales que sean más simples de calcular. Por ejemplo, descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:

Estrategia 2: Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal.

Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el problema principal. Por ejemplo, ¿de qué otras maneras podemos sumar números del 1 al 10?

a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

5 ∙ 11 = 55

55

100 + 55

200 + 55

300 + 55

400 + 55

500 + 55

600 + 55

700 + 55

800 + 55

900 + 55

4500 + 550 = 5050

10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10

5 veces

18

De la misma forma

1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100

50 veces 101

50 ∙ 101 = 5050

b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos.

100 veces 101

Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado por 2, esto es

Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema. Transferir el problema de un dominio a otro.

Representar el problema geométricamente como un cálculo de área.

Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.

Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo

1 2 3 98 99 100

100 99 98 3 2 1

101 101 101 101 101 101

+ + + + + ++ + + + + + +

+ + + + + +

L

L

L

100 1015050

2

⋅ =

6

7

19

Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6 ∙ 7, como la escalera es la mitad, debemos calcular la mitad del área del rectángulo, es decir

6 ∙ 7

2= 21

Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de y la cantidad de adoquines de la escalera sería

Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolución de problemas están implícitas, analicemos en general cómo podrían haber sido planteadas:

1. Entender el problema: ¿Cuál es la incógnita? El resultado de la suma ¿Cuáles son los datos? Los números del 1 al 100 ¿Cuáles son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del 1 al 100. Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.

2. Diseñar un plan: ¿El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de sumar no es práctica en este caso. ¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? En la suma de números naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La escalera

representa la mitad de un rectángulo, por tanto la mitad su área. 3. Ejecutar el plan: ¿El plan permite avanzar en la solución del problema? Las sumas parciales cumplen cierta regularidad que hace más fácil calcularlas. Sumar los extremos

permite llegar rápidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda de la geometría

permite cambiar el problema de una suma a un cálculo de áreas. 4. Examinar la solución:

¿Se puede comprobar la solución? Al resolverlo de más de una forma es posible comprobar el resultado. ¿Se puede emplear el método en otro problema? En todos los problemas de sumas sucesivas de números naturales.

100 101×

100 1015050

2

⋅ =

20

En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemáticos es posible ampliar el abanico de métodos de resolución. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de otros métodos, aunque los conocimientos específicos que se aplican en alguno de ellos aún no es expuesto en este texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan. Problema 2: Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19 conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, ¿cuántas motos y autos hay?

Solución:

Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de acuerdo al número de conductores y ruedas.

8 motos 16 ruedas + 11 autos + 44 ruedas 19 conductores 60 ruedas

Estrategia 2: Ensayo y error.

a) Método de conteo: Inicial con cualquier número de motos y autos, por ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son

Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el número de motos y autos hasta coincidir con el total de ruedas.

b) Construir una tabla: Colocar todos los números de motos y autos en una búsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla:

Nº motos Nº autos Nº ruedas 19 0 38 18 1 40 17 2 42 16 3 44 15 4 46 14 5 48 13 6 50

20 36 56+ =

21

12 7 52 11 8 54 10 9 56 9 10 58 8 11 60

Estrategia 3: Método algebraico.

a) Ecuación lineal: Se establece una incógnita y se plantea una ecuación.

Nº de motos: x

Nº de autos:

Nº de ruedas:

Como el número de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresión anterior a 60 se tiene la ecuación

Al resolver la ecuación se tiene

Por tanto, son 8 motos y 11 autos.

b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incógnitas, plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Nº de motos: x

Nº de autos:

Nº de conductores:

Nº de ruedas:

19 x−

( )2 4 19x x+ −

( )2 4 19 60x x+ − =

( )2 4 19 60

2 76 4 60

76 2 60

76 60 2

16 2

8

x x

x x

x

x

x

x

+ − =+ − =

− =− =

==

y

19x y+ =

2 4 60x y+ =

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Multiplicando la primera ecuación por y sumando ambas ecuaciones se tiene

Luego

Por tanto son 8 motos y 11 autos.

Estrategia 3: Método gráfico.

Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de intersección entre las rectas es la solución.

No es necesario que la gráfica se haga “a mano”, podemos ocupar un software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )

En la línea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben ingresar las ecuaciones

y , el punto de intersección es , por tanto hay

motos y motos.

19

2 4 60

x y

x y

+ =+ =

2−

2x− 2 38

2

y

x

− = −( ) 2 22 11

4 60y y

y

+ ⇒ = ⇒ =+ =

8x =

19x y+ = 2 4 60x y+ = ( ) ( ), 8,11x y = 8x =

11y =

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Problemas Propuestos

Resuelve los problemas y después describe la estrategia utilizada, respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Cuáles son los métodos utilizados? ¿Cómo verificaste que la respuesta es correcta? 1. Un piso se diseña colocando mosaicos negros y blancos como se muestra en la siguiente figura:

¿Cuántos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos por lado?

2. ¿Cuál es el valor de la suma de números impares ?

3. ¿Cuál es el valor de la suma de números pares 2+4+6+8+…+100?

4. Colocar los números del 1 al 9 en el “cuadrado mágico”, de modo que la suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:

5. Informe del Doctor Z sobre el planeta Matrespro. “Ya tenemos una semana en Matrespro, y notamos la presencia de seres extraños. Tienen como nosotros 20 dedos distribuidos uniformemente en varias extremidades, pero tienen una extremidad menos que nosotros. Es impactante son horribles.” ¿Cómo son estos seres que tienen tan impresionado al Doctor Z? ¿Podrán existir?

6. Una obra contrata a 1 trabajador el primer día, dos el segundo, tres el tercero y así continua contratando un trabajador por día, ¿después de cuántos días se han contratado un total de 465 trabajadores?

7. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?

8. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, ¿de qué manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua?

1 3 5 101+ + + +L

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9. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o $30.000 en total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. Así el costo del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los $27.000 pagados por el cuarto más los $2.000 que el ayudante tomó son $29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. ¿Qué pasó con los $1.000 faltantes?

10. Coloca en los círculos los números del 1 al 9 sin repetir de modo que la suma sea igual a 20:

11. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm por lado no tienen pintada ninguna cara?

12. Tres feriantes tienen cada uno un cierto dinero. El primero compra vino a los otros dos, pagándoles tanto dinero como ellos tienen. Después, el segundo compra garbanzos a los otros dos, pagando a cada uno tanto dinero como ellos tienen. Por último, el tercero compra aceite a los otros dos, pagándole a cada uno tanto dinero como ellos tienen. Terminados estos negocios se vuelven a su casa con $48.000 cada uno. ¿Con cuánto dinero había llegado cada feriante?