Apunte Micro 1

7/24/2019 Apunte Micro 1

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ENMIC305, Microeconoma IApunte de Curso, V.4

Jorge Rivera

March 10, 2015

Se agradece muy especialmente el trabajo de Marco Rojasen la confeccion de este apunte.Departamento de Economa, Universidad de Chile, email: [email protected]

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Departamento de Economa. FEN Universidad de Chile

Contents

I Teora del Consumidor 4

1 El modelo del consumidor 41.1 Preferencias y funcion de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Eleccion del consumidor: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Eleccion del consumidor: maximizacion de la satisfaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Analisis de sensibilidad del problema del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Problema dual: demanda Hicksiana y funcion de gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Funciones de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 Efectos sustitucion e ingreso, ecuacion de Slutzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Aplicaciones y complementos 402.1 Demanda agregada y equilibrio (parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 El excedente del consumidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Modelo de consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Modelo de Ocio - Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Decisiones Bajo Incertidumbre 543.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Aproximacion de los individuos hacia el riesgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II Teora de la Firma 66

4 Conceptos Basicos 664.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 La firma y sus objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Sobre la funcion de produccion y conceptos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5 Corto y largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Maximizacion de Beneficios 875.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Maximizacion del beneficio de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Maximizacion del beneficio y rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6 Costos 966.1 Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2 Costos medios y marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3 Costos de corto plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4 Analisis de sensibilidad de los costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.1 Costos y eficiencia productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.2 Costos y rendimientos de escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.3 Costos y precios de los factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4.4 Costos y cantidades de producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.5 Geometra de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

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7 Oferta bajo competencia perfecta 1177.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2 Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.2.1 La demanda de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2 Oferta de la firma y la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.3 Como se determina el precio de mercado?: analisis de equilibrio parcial . . . . . . . . . 1 2 6

III Modelo de asignacion: equilibrio general 130

8 Modelo de equilibrio en economa de intercambio 1308.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2 Modelo de intermcambio de 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.3 La demanda en un modelo de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.4 El equilibrio en la economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.5 La caja de Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.6 Optimalidad y teoremas de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9 Complementos: fallas de mercado 1439.1 Externalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.2 Bienes publicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

IV Apendice: Repaso Matematico 151

10 La derivada y conceptos relacionados 15110.1 Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.2 El estudio del crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.3 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.4 Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11 Funciones Importantes 16311.1 Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.2 Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.3 CES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.4 Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.5 Leontiev o de Proporciones Fijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

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Part I

Teora del Consumidor

1 El modelo del consumidor1.1 Preferencias y funcion de utilidad

El objetivo de lo que sigue es plantear, y estudiar, un modelo sencillo de consumidores (personas,empresas, inversionistas, etc.). El enfoque que adoptamos es tradicional en microeconoma, y partedel supuesto que losagentes economicos bajo estudioson racionales, conobjetivos hedonistasque son satisfechos a traves del consumo de bienes (y/o servicios). Cuando hablamos de objetivoshedonistas, estamos suponiendo que el consumo de bienes se realiza con el objetivo de lograr bienestar(placer, satisfaccion, etc.), y la racionalidad se refiere a que la eleccion de los mismos es hecha de lamejor forma posible, en un sentido que precisaremos, pero que, anticipando, corresponde a utilizar dela mejor manera los recursos que dicho agente disponecon el fin de cumplir sus objetivos. Es entoncesla combinacion entre lo que se puedey lo que se quierelo que en definitiva define el acercamiento de

los individuos al consumo.En todo lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, supondremos que solo hay dos bienes de

consumo1, digamos, los bienes 1 y 2, cuyas cantidades genericas seran denotadas por x1 y x2, lasque sin perdida de generalidad supondremos positivas (es decir, quex1 0, x2 0).

Definicion 1.1 Unacanasta de consumo para un individuo es un par ordenado de la forma

X= (x1, x2) R2+,

que indicax1 R+ cantidad del bien uno yx2 R+ cantidad del bien dos.

Con el fin de definir preferencias sobre las canastas de consumo, debemos tener presente que noexiste unorden naturalentre vectores, que de maneja objetiva (universal) nos diga cual es mejor entredos de ellos2. Por ejemplo, asumiendo que los bienes 1 y 2 son deseables por los individuos (cuestion queobviamente debemos asumir), ciertamente la canasta (2, 3) serauniversalmente preferidaa la canasta(1, 2), pues tiene mas de ambos bienes. Sin embargo, si el individuo debe decidir entre la canasta (2, 3)y la canasta (3, 2), la respuesta dependera de cada persona, no habiendo por tanto un criterio que, apriori, nos permita anticipar tal eleccion.

Para lo que sigue, asumiremos que efectivamente cada individuo dispone de un criterio que lepermite hacer la eleccion entre dos canastas. Este criterio simplemente nos dira lo que el prefierecuando se presentan dos opciones a escoger. Formalmente, dicho criterio corresponde a lo que eneconoma se denominarelacion de preferencias. As, dadas dos canastas de consumoX= (x1, x2) R2+y X = (x1, x

2) R2+, supondremos que el individuo siempre puede manifestar su opcion por una u

otra: si el agente prefiere Xa X, se denotara

X X,en cambio, si prefiere X a X se denotara

X X.Si ocurre queX X yX X, diremos que el individuo esindiferenteentreXyX, y se denotara

X X.1Cosa que en estricto rigor no es una restriccion imp ortante, pues este se puede extender directamente para considerar

mas bienes.2Cuestion que se tiene para numeros reales.

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Finalmente, si ocurre que X Xpero no se tiene queX X (es decir, prefiere Xa X pero noprefiereX a X), diremos que el individuo prefiere estrictamente Xa X, y se denotara

X X.

Como un individuo elige entre dos opciones es seguramente una cuestion relacionada con la sicologa,la sociologa, o con la genetica, etc., aspectos sobre los cuales difcilmente la economa tiene algo quedecir. De hecho, este punto puede ser muy relevante para efectos normativos, e incluso morales: noexiste claridad de como se forman las preferencias, como tampoco se puede afirmar ex ante que unassean mejores que otras (sobre gustos no hay nada escrito. . .).

Para nuestros efectos, se asume como dado el mecanismo interno por medio del cual cada individuorealiza sus elecciones. Obviamente haremos algunos supuestos (razonables) sobre dichomecanismo, conel fin de construir un modelo simple que nos permita, por ejemplo, estudiar c omo las decisiones delos agentes se ven alteradas cuando se enfrentan a restricciones para escoger sus consumos deseables,restricciones que a su vez se pueden modificar en funcion de parametros exogenos, tales como precios,ingreso, impuestos, etc.

Ejemplo 1.1 Supongamos que la preferencia de un individuo, denotada

, es dada segun el siguiente

criterio: la canastaX= (x1, x2) es preferida a la canastaX = (x1, x2) (es decir, X X)si y solo si x1+ x2 x1+ x2,

con, R++ conocidos. De esta manera, estamos considerando que el individuo tiene una relacionde preferencias, a traves de la cual manifiesta sus opciones de consumo, de forma tal que al tener quedecidir entreXyX, optara por aquel vector (canasta) que arroje mayor valor del promedio ponderadoya expuesto. Por ejemplo, si= 1 y= 2, entonces la canastaX= (2, 4) es preferida a la canastaX = (4, 2), pues la primera arroja un valor1 1 + 2 4 = 9, mientras que la segunda nos da valor8.Notemos que si los ponderadores cambian, entonces no necesariamenteX continuara siendo preferidoaX. Es facil ver que, de acuerdo a la definicion de la preferencia, se tiene que

X X x1+ x2< x1+ x2,

X X x1+ x2= x1+ x2.

Ejemplo 1.2 La preferencia lexicografica

Diremos que una canasta X = (x1, x2) R2+ es preferida lexicograficamente a una canastaX = (x1, x

2) R2+ si, (i) o bienx1 > x2, o bien, (ii) cuando x1 =x1, se tiene quex2 > x2. En tal

caso notaremos

X LexX.Esta preferencia se corresponde con el orden de las palabras en el diccionario: se entiende que una

palabra es mejor que otra cuando esta mas arriba en el diccionario.

Definicion 1.2 Funcion de utilidadDadosX= (x1, x2) R2+ yX = (x1, x2) R2+, supongamos que existe una funcionu : R2+ R

tal que la preferencia del individuo cumple con la siguiente propiedad:

X X u(X) u(X),es decir, que la canastaXes preferida a la canastaX si al evaluar la funcionu()en el correspondientevector se obtiene un valor mayor o igual segun el caso. En tal caso decimos que la preferencia esrepresentada por la funcion de utilidadu().

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Ejemplo 1.3 Del Ejemplo1.1,donde se tiene que

u(X) = u(x1, x2) = x1+ x2

es una funcion de utlilidad asociado a la preferencia del individuo.

Ejemplo 1.4 Funciones de utilidad usualesEn microeconoma hay diversas opciones para considerar funciones u(). Las mas usuales para

representar preferencias son:

(a) Cobb-Douglas: u(x1, x2) = x1 x2 , con, 0.

(b) CES: u(x1, x2) = (xr1+ xr2)1/r, con, r 0.

(c) Lineal: u(x1, x2) = x1+ x2, con, 0.(d) Leontiev: u(x1, x2) = min{x1, x2}, con, 0.

Nota. 1.1 Que significa que la preferencia de un individuo es dada por una funcion de utilidad Cobb-

Douglas, cuyos parametros son = 1/3 y = 1/2? Significa que enfrentado a la eleccion entre doscanastas, digamosX= (x1, x2) R2+ yX = (x1, x2) R2+, esta persona escogera aquella canasta queentrega mayor valor una vez que el correspondiente vector es evaluado segun la funcion correspondiente.Es decir, escogeraXpor sobreX siu(X)> u(X), o bien escogeraX sobreX siu(X)> u(X), y

sera indiferente entre ambos siu(X) = u(X), dondeu(X) = u(x1, x2) = x1/31 x

1/22 (Cobb-Douglas).

Ejemplo 1.5 Una aplicacion: seleccion de personalSupongamos que una firma debe decidir contratar a una persona entre diversos postulantes. A cada

uno ellos se les toma un test deconocimientos sobre el trabajo que deberan realizar y, ademas, selos califica segu una entrevista sicologica. El puntaje de la prueba de conocimientos va de 1 a 100(lo mejor es100), misma escala para el test sicologico. Supongamos que hayNpostulantes, indexadospori = 1, . . . , N y que cada uno de ellos obtiene puntajesCi, Si [1, 100] en cada una de las pruebas,respectivamente. A quien contrata? Obviamente las personas NO son bienes de consumo; aun as,

podemos entender el problema de la firma como escoger entre canastas (Ci, Si) R2+, i = 1, . . . , N ,

segun su conveniencia. En la vida, ocurre normalmente que NO existe un individuo que domine atodos los demas en todos los aspectos que se estan evaluando; si ese fuera el caso, la eleccion es obvia. Elproblema es entonces disponer de unranking que nos permitaordenar a los postulantes segun algunpuntaje, y dado esto realizar la eleccion. En este caso, ese ranking es propio de cada firma, pues ella(sus gerentes o tomadores de decisiones) deberan decidir que aspecto privilegiar y como privilegiarlo.En este caso, el ranking en comento se puede entender como lapreferencia de la firma respecto delos postulantes; obviamente hay muchas formas proceder. Por ejemplo, una firma podra considerarun criterio basado en el siguiente modelo: el postulante i {1, . . . , N } es mejor que el postulantei {1, . . . , N } si 3Ci+ 4Si > 3Ci + 4Si . En tal caso, entendemos que la preferencia de la firma(puntaje) por las canastas(C, S) es3C+ 2S.

Generalizando lo anterior, podemos asumir que existe una funcionU : R2+ R+ tal que el puntajede cada postulante, con el cual se define el ranking, es dado por

u(C, S) R,dondeC, Ses el puntaje en conocimientos y test sicologico respectivamente. Si este metodo es aceptado,entonces se escogera a aquel individuo que obtiene la mayor cantidad de puntos segun la regla yaexpuesta.

Nota. 1.2 Un par de comentarios sobre el ejemplo anterior:

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(i) el criterio para asignar puntajes a los postulantes define unordenentre ellos, del mejor al peor.Si en vez de utilizar un criterio basado en la funcion u : R2+ R+ ya expuesta, se hubieseconsiderado otro, por ejemplo, basado en elcuadrado de dicha funcion, entonces el orden que

fue inducido por la funcion u() original no se ve alterado por el nuevo metodo. En efecto,supongamos que una vez ordenados los postulantes segun los puntajes definidos por la funcion

original, en orden decreciente las posiciones resultantes son i1, i2, . . . , iN (es decir, el primerlugar para el Sr. i1, el segundo para el Sr. i2, etc.); por definicion esto significa que

u(Ci1 , Si1)> u(Ci2 , Si2)> u(Ci3 , Si3)> . . . u(CiN, SiN). (1)

Ahora bien, al aplicar cuadrado a las desigualdades en (1), el orden de individuos que allse tena NO se ve alterado, pues obviamente se cumple que

[u(Ci1 , Si1)]2 >[u(Ci2 , Si2)]

2 >[u(Ci3 , Si3)]2 > . . . >[u(CiN, SiN)]

2.

Mas general, dada

: R Restrictamente creciente, entonces el orden que se induce de utilizar la funcionu es el mismoque induce la funcion

U : R2+ R | U(C, S) = u(C, S) = (u(C, S)).

La funcionU es la composicion de conu.

(ii) De lo anterior, con el fin de escoger canastas (bienes de consumo, seleccion de personal, etc.),basado en un metodo que emplea una funcionUcomo antes, en rigor resulta que NO es relevanteel puntaje que se obtiene de aplicar dicha funcion, sino mas bien elranking (orden) que dichopuntaje induce. Por esta razon se dira que las preferencias sonordinales yNO cardinales.

En terminos formales, lo expuesto en el punto (i) de la Nota1.2se resume en la siguiente proposicion.

Proposicion 1.1 Siu : R2+ R es una funcion de utilidad que representa a la relacion de preferencias, entonces para cualquier funcion: R R estrictamente creciente, se tiene que

U= u | U(X) = (u(X))tambien es una funcion de utilidad que representa a la misma preferencia.

La Proposicion 1.1 nos dice que, de existir, las funciones de utilidad de un individuo sonunicas salvo transformaciones crecientes. Como consecuencia directa de esta proposicion podemosasumir, sin perdida de generalidad, que las funciones de utilidad toman valores positivos, puesen caso contrario es cuestion de sumar una constante suficientemente grande que garantice la positividad

(o elevar al cuadrado), cuestion que no altera el orden entre las canastas que induce la utilidad original.

Una pregunta relevante que surge de lo expuesto es si toda preferencia puede ser representada poruna funcion de utilidad. Desafortunadamente (mas bien, afortunadamente) la respuesta es no. Paraque efectivamente una preferencia pueda ser representada por una funcion de utilidad, debe cumplircon algunas condiciones que, a priori, no toda preferencia ha de satisfacer. Por ejemplo, se puededemostrar que la preferencia lexicografica definida en Ejemplo1.2 no puede se representada poruna funcion de utilidad.

El resultado que sigue se presenta sin demostracion (requiere conocimientos de matematicas queescapan al nivel del curso), y nos entrega condiciones necesarias para que una preferencia pueda serrepresentada por una funcion de utilidad.

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Teorema 1.1 Dadas las canastas de consumo X= (x1, x2), X = (x1, x2) yX

= (x1 , x2 ) R2+ , si

la relacion de preferencias cumple con las siguientes condiciones:

a.- Completitud: o bienX X, o bienX X;

b.- Reflexividad: se cumple queX X;c.- Transtividad: siX X yX X entoncesX X;d.- Monotonicidad estricta: dado h R2+, h = (0, 0), entoncesX X+ h;e.- Continuidad: siX X, existe >0 tal que siX X entoncesX X;

existe entonces unafuncion de utilidad continua que la representa, es decir, u : R2+ R tal que

X X u(X) u(X).

Diversos comentarios sobre el importante resultado anterior:

(i) La completitud asume que el consumidor siempre puede decidir que prefiere antedos alternativas que se presentan. Este supuesto inhibe que el agente tenga dudassobre su eleccion. Lareflexividad es un supuesto relativamente natural de asumir,simplemente nos dice que algo es preferido (no estrictamente) a s mismo.

(ii) La transitividad es un supuesto que puede resultar complejo de varificar en lapractica: pensar en situaciones de eleccion de tres bienes, donde cada uno indicapreferencias de a pares, por que se debera mantener cierta consistencia en dichasmanifestaciones de a pares? Ciertamente este supuesto juega un papel muy impor-tante en el modelo micro.

(iii) La monotona estricta es otro supuesto fuerte. En terminos simples, correspondea decir que mas es mejor, en el sentido que si aumentamos la cantidad de consumode al menos uno de los bienes de las canastas, entonces necesariamente la satisfaccionque se obtiene es mas grande. Asume entonces que no existe saturacion en el consumo

(es decir, que siempre sera deseable consumir mas), cosa que parece difcil de sosteneren general (o no?).

(iv) Lacontinuidades un supuesto tecnico, y bastante general. Afirma que si una canastaXes preferida estrctamente a otra X, entonces canastas suficientementecercanasencantidad aXtambien seran preferidas estrictamente a la canasta X.

(v) Si la preferencia es representada por la funcion de utilidad u, entonces es directoconcluir que:

(a) X X u(X)< u(X).(b) X X u(X) = u(X)

Como se desprende del Teorema1.1, no todas las preferencias pueden ser representadas por fun-ciones de utilidad. Por simplicidad, por la posibilidad de realizar diversos analisis economicos y calculosexplcitos, porque el problema del consumidor se puede plantear como un problema de optimizacionestandar, porque podemos disponer de soluciones analticas para conceptos economicos importantes,porque podemos llevar a cabo analisis de sensibilidad de las soluciones, etc., en todo lo que siguetrabajaremos con preferencias que se pueden representan por funciones de utilidad. Dehecho, cuando se plantee el problema del consumidos, pasar de relaciones de preferencia a funciones deutilidad implica pasar de un problema de decision (optimizacion) vectorial a un problema escalar, cosaque efectivamente simplifica la vidaenormemente (y que de paso, sabemos resolver bien bajo circun-stancias relativamente usuales en economa). El sacrificio de tal simplificacion esta en la generalidadque se pierde en el modelamiento de la economa, pues se trata de casos particulares de preferenciasde los agentes.

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Proposicion 1.2 Si la preferencia cumple las condiciones del Teorema 1.1, entonces cualquierfuncion de utilidad que la representa es estrictamente creciente por componentes.

Esto quiere decir que dada una funcion de utilidadu que viene de lo anterior, se tiene que si x1 < x1y x2 < x2,

u(x1, x2)< u(x1, x2), u(x1, x2)< u(x1, x

2),

(funcion de utilidad creciente por componentes). Obviamente se tiene que u(x1, x2)< u(x1, x2).Ahora

bien, si la funcion de utilidad (f.d.u) es diferenciable, lo anterior implica que

u(x1, x2)

x1>0,

u(x1, x2)

x2>0. (2)

El supuesto de monotona estricta(2) sera asumido en todo lo que sigue. La demostraci on de laProposicion1.2 es directa de las definiciones, y se deja como ejercicio.

Algunas definiciones que seran utiles en todo lo que sigue.

Definicion 1.3 Utilidad marginal

Dada una funcion de utilidad, u()y dada la canasta (x1, x2), la utilidad marginal del bien 1corresponde al incremento en satisfaccion dado un aumento marginal (en una unidad) en el consumodel bien 1; analogo para la utilidad marginal del bien 2. La utilidad marginal del bien i = 1, 2 serepresentara porU Mgi(x1, x2), i= 1, 3.

De la definicion anterior,

U M g1(x1, x2) = u(x1+ 1, x2) u(x1, x2), U Mg2(x1, x2) = u(x1, x2+ 1) u(x1, x2). (3)Ahora bien, si la f.d.u es derivable, sabemos que,

u(x1, x2)

x1 lim

h0

u(x1+ h, x2) u(x1, x2)h

.

Sih = 1, la expresion resultante es solo una aproximacion de la derivada, es decir,

u(x1, x2)

x1 u(x1+ 1, x2) u(x1, x2)

1 =u(x1+ 1, x2) u(x1, x2) = U Mg1(x1, x2).

En consecuencia, la utilidad marginal puede ser aproximada por la derivada parcial correspondi-ente de la funcion de utilidad. En todo lo que sigue, supondremos que mas que una aproximacion setrata de una igualdad, de modo que, en forma alternativa, entenderemos la utilidad marginal comola derivada parcial de la f.d.u en el punto en cuestion. As, de ahora en adelante,

U Mgi(x1, x2) u(x1, x2)xi

.

Definicion 1.4 Curva de indiferencia

Dado un nivel de satisfaccion 0 prefijado, la curva de indiferencia al nivel se definecomo el conjunto de canastas(x1, x2) R2+ para las cuales se cumple que

u(x1, x2) = .

De la Definicion1.4,dado el nivel de utilidad , de la relacion u(x1, x2) = , existe entonces unafuncion implcitaentrex1 yx2, digamos, x2 = x2(x1), tal que

u(x1, x2(x1)) = .

El grafico de dicha funcion en el sistema coordenado x1x2corresponde a la curva de indiferenciaal nivel . La siguiente Figura1 ilustra el concepto:

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Figure 1: Curva de Indiferencia (1)

x2

x1

u(x1, x2) = a

Que el punto (x1, x2) este en la curva de indiferencia de la figura significa que u(x

1, x

2) = .

Consideremos ahora dos niveles de utilidad a < b. Si u(x1, x2) = a claramenteu(x

1, x

2)=b. Por

otro lado, dado que u(x1, x2) = a, entonces existira un valor >0 para el cual u(x

1+ , x

2) = b, pues

la f.d.u. es creciente. Analogamente, existira un valor >0 para el cual u(x1, x2+ ) =b. Luego, lacurva de indiferencia al nivel b necesariamente esta arriba de la curva de indiferencia al nivel a. Deesta manera, se concluye que las curvas de indiferencia a distinto nivel no se cortan y, ademas,en la medida que aumentamos el nivel de satisfaccion, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha,

Supongamos ahora que u(x1,x2) = a. Si x1 aumenta, digamos a x1+ , con >0, sea entoncesx2el nuevo valor para el cualu(x1 + , x2) = a. Puesto queu() es estrictamente creciente, necesariamentex2 debe ser menor que x2 pues, si fuera mayor o igual, entonces u(x1 + , x

2) sera mayor que a. Luego,

las curvas de indiferencia necesariamente son decrecientes en el sistema coordenadox1 x2,esto para cualquier funcion de utilidad estrictamente creciente. La Figura2 ilustra lo expuesto.

Figure 2: Curva de Indiferencia (2)

ab

c

a < b < c

Mientras mayor es el nivel de utilidad, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha; las curvas de

indiferencia a distintos niveles de utilidad no se cortan; las curvas de indiferencia son decrecientes.

Finalmente, notemos que dada una curva de indiferencia al nivel y dado un punto (x1, x2)sobre

la curva y otro (x1,x2) bajo la curva, entonces se tiene que

u(x1, x2)> , u(x1,x2)< .

Ejemplo 1.6 Dada la funcion de utilidadu1(x1, x2) = xa1 xb2, cona, b >0, la curva de indiferenciaal nivelu0 corresponde a las canastas(x1, x2) tales quexa1 xb2 = u0, de lo cual se tiene que

x2(x1) = u

1b0

xab

1

,

10


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que es precisamente la funcion implicita que hemos mencionado. Por otro lado, las utilidadesmarginales son

U M g1(x1, x2) = axa11 xb2, U Mg1(x1, x2) = bxa1 xb12 .

Note que la derivada deU Mg1 c.r. ax1 es

UMg1x1

=a (a 1) xa21 xb2,

que es negativa sia


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m= ba

u(x1,x2)x1

u(x1,x2)x2

= U Mg1(x1, x2)U Mg2(x1, x2)

.

Formalmente es como sigue. Puesto queu(x1, x2) =, existe una relacion implcita entre x1 y x2

(ver Ejemplo 1.1). Luego,x2 es una funcion dex1, digamosx2(x1). As, u(x1, x2(x1)) = . Derivandoesta expresion c.r. a x1 se tiene que

u(x1, x2(x1))

x1=

x1= 0,

ya que no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena

u(x1, x2)

x1+

u(x1, x2)

x2 x2(x1)

x1= 0,

de lo cual se desprende que

x2(x1)

x1=

u(x1,x2)x1

u(x1,x2)x2

=

U M g1(x1, x2)

U M g2(x1, x2)

,

que es analogo a lo ya mostrado. En consecuencia, la pendiente de la tangente a la curva de indiferenciaen un punto cualquiera de ella es menos el cuociente de las respectivas utilidades marginales.Tal pendiente es un concepto importante en economa.

Definicion 1.5 Relacion marginal de sustitucionDada una funcion de utilidad,u(), y dado un nivel de satifaccion, se define larelacion marginal

de sustitucion en el punto (x1, x2) de la curva de indiferencia respectiva, como la pendiente de latangente a dicha curva en el punto indicado. Se denotaraRM S1,2(x1, x2) y de esta manera

RM S1,2(x1, x2) = u(x1,x2)

x1u(x1,x2)

x2

= U M g1(x1, x2)U M g2(x1, x2)

.

La siguiente Figura4 ilustra el concepto:

Figure 4: Relacion Marginal de Sustitucion

x2

x1

m= RM S1,2

12


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Como se interpreta la RM S1,2? En primer lugar, supongamos que estamos en una canasta(x1, x2) tal queu(x1, x2) = y que decidimos aumentar en una unidad la cantidad del bien 1, pasandode x1 a x1+ 1 (aumento marginal). En tal caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento enel bien de consumo 1 implicara aumentos de satisfaccion; es decir, u(x1+ 1, x2)> . De esta manera,(x1+ 1, x2) no esta en la curva de indiferencia al nivel . Para seguir en la curva de indiferencia

(es decir, mantener el nivel de satisfaccion constante a pesar del aumento marginal del consumo en elbien uno), necesariamente la cantidad del bien 2 debe disminuir. Esta disminucion es precisamentela RM S1,2(x1, x2).

De todo lo anterior, es directo que:

a.- Si la funcion de utilidad es creciente por componentes, entonces la RM S1,2 es siempre negativa4.

b.- La RM S2,15 es simplemente

RM S2,1= 1

RM S1,2(x1, x2).

Ejemplo 1.7 Dada la funcion de utilidadu1(x1, x2) = xa1

xb2, es directo que

RM S1,2(x1, x2) = ax2bx1

.

Supongamos que la funcion de utilidad es estrictamente concava. En tal caso, sabemos (verApendice matematico) que la relacion funcional x2(x1) que define la curva de indiferencia es con-vexa, implicando que su derivada es creciente. Pero en este caso, la derivada de la curva de indiferenciaes larelacion marginal de sustitucion, y ya que esta es siempre negativa, el hecho que sea crecientesignifica que cada vez es menos negativa en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. Estoimplica que la cantidad en que disminuye el consumo del bien 2 ante un aumento unitario (marginal) deconsumo del bien 1 es decreciente en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. Son las funcionesde utilidad concavas las unicas que tienen curvas de indiferencia convexa? La respuesta es NO, puesexiste una categor a mas amplia de funciones que tienen la misma propiedad. Estas funciones son lasllamadascuasiconcavas. De hecho, existen diversas formas de definir que se entiende por una funcioncuasiconcava. Por ejemplo, se dice que una funcion u : R2+ R es cuasiconcava, si para cualquierX= (x1, x2), X = (x1, x

2) R2+ y para cualquier [0, 1] se tiene que

u(X+ (1 )X) min{u(X), u(X)}.Para nuestros objetivos, lo que es relevante de las funciones cuasiconcavas es que:

(i) toda funcion concava es cuasiconcava; la rec proca no es cierta, es decir, que existen fun-ciones cuasiconcavas que no son concavas.

(ii) se puede demostrar que una caracterizacion de la cuasiconcavidad (y por lo tanto, se puedeentender como una forma alternativa de definirla) es que las curvas de indiferencia sonconvexas:

una funci on es cuasiconcava si y solo si sus curvas de indiferencia son convexas.

Que es entonces lo relevante de las utilidades cuasiconcavas? Simplemente que la curva de indifer-encia es convexa. Sobre este hecho se vuelve mas adelante, donde se justificara la importancia de laconvexidad de las curvas de indiferencia en el modelo que estamos desarrollando.

4Esto del argumento de sustitubilidad anterior, pero tambien directamente de la definicion, ya que los productosmarginales son positivos (funcion creciente derivada positiva) y la RM Ses el negativo del cuociente de los productosmarginales.

5Que obviamente corresponde a la cantidad en que se debe modificar el consumo del bien 1 ante un cambio unitariodel bien 2 con el fin de mantener utilidad constante.

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1.2 Eleccion del consumidor: conceptos generales

En lo que sigue, vamos a modelar el problema de elecci on de bienes de consumo (o servicios) porparte del agente, considerando que este se desenvuelve en un contexto economico donde los bienestienen cierto precio y que nuestro agente tiene una cierta cantidad de recursos 6 que puede gastar en

el consumo. Para los efectos de eleccion, asumiremos que el consumo de los bienes tiene un costo y quede las posibles canastas que puede elegir, solo puede acceder a aquellas que con sus recursospuede pagar. Si los precios de los bienes sonp1 y p2 y los recursos del consumidor son R (ingreso,renta, recursos, etc.), el agente puede entonces escoger entre todas aquellas canastas (x1, x2) R2+tales que

p1x1+p2x2 R,lo que motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.6 Conjunto de restriccion presupuestariaDados los precios de los bienesp1, p2, el conjunto de lascanastas factibles que un individuo con

riqueza esR podra consumir se denota por

B(p1, p2, R) = {(x1, x2) R2+| p1x1+p2x2 R},y se llamaconjunto de restriccion presupuestariadel consumidor (o simplemente conjunto pre-supuestario).

La Figura5 representa un conjunto de restriccion presupuestaria cualquiera.

Figure 5: Restriccion Presupuestaria

x x x x x x x x x x x x x x x













x

x2

R/p2

R/p1 x1

B(p1, p2, R)

En la figura anterior, la recta frontera superior del conjunto presupuestario se llamada recta pre-

supuestaria, y queda definida por la por ecuacion

p1x1+p2x2 = R x2 = Rp2

p1p2

x1.

Notemos que la interseccion de la recta presupuestariacon los ejes se da en los puntos

Eje x1 :

R

p1, 0

, Eje x2:

0,

R

p2

6Digamos, dinero, sueldo, ingresos, rentas, riqueza, etc.

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Ejemplo 1.8 Que quiere decir (x1, x2)B (23, 12, 130)? Significa que si los precios del bien uno ydos sonp1 = 23 yp2 = 12 respectivamente, y que si la renta (ingreso, riqueza, etc.) del individuo esR= 130, entonces para este Sr. es factible comprar una canasta conformada porx1 del bien uno yx2del bien dos.

Como se interpreta la recta presupuestaria? Como se ha expuesto, a los precios p1, p2y al ingresoR, una canasta (x1, x2) R2+ esta en la correspondiente recta presupuestaria si p1x1+p2x2 = R. Porlo tanto, si el individuo decide comprar esta canasta, se gasta todos los recursos que tiene. As, parauna canasta (x1, x

2) R2+ queno esta en la recta presupuestaria, o bien

(a) la canasta (x1, x2) R2+ esdemasiado cara para el nivel de recursos que dispone el sujeto, de

modo que no puede comprarla; en tal caso, es una canastano factible, y obviamente se cumpleque

p1x1+p2x

2 > R,

(b) o bien que al comprar la canasta (x1, x2) R2+ de todas formas le sobran recursos, pues con el

ingreso que tiene, paga demas dicho consumo; en este caso, luego de comprar le sigue sobrando

riqueza; el remanente de riqueza es

R p1x1+p2x2> 0.

Cambios en los parametrosprecio y riquezatienen incidencia en la forma del conjunto presupues-tario, cuestion que a su vez tiene una clara lectura desde el punto de vista de la economa. A priori,si la riqueza aumenta, se debera tener una situacion mas favorable para el individuo en cuanto a susopciones de elegir, pues en tal caso, ademas de lo que ya poda comprar, tiene ahora nuevas opciones decanastas que antes no tena. Por otro lado, que uno de los precios aumente (todo lo demas constante)es una situacion desfavorable para el agente, pues en tal caso no necesariamente podr a comprar lasmismas canastas que antes del alza. Formalmente, si los precios se mantienen constantes y la riquezadel consumidor sube deR a R, entonces el conjunto factible al nuevo ingresocrece hacia arriba y hacia

la derecharespecto del original, de forma tal que contiene al original: si R > R entonces

B(p1, p2, R) B(p1, p2, R). (4)De hecho, ya que los precios se mantienen constantes, la recta presupuestaria del conjunto B(p1, p2, R)

es paralela a aquella del conjunto B (p1, p2, R). Lo expuesto se ilustra en la Figura 6,

Figure 6: Restriccion Presupuestaria y aumento en la riqueza














x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x















x2

R/p2

R/p2

R/p1R/p1 x1

15


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En forma analoga, si la riqueza disminuye entonces la correspondiente frontera se desplaza paralelahacia el origen, lo que resulta en un conjunto factible mas pequeno que el original.

Por otro lado, si el precio p1 aumentaa p1 (el bien 1 se hace mas caro), manteniendo constantep2yR, el conjunto factible se modifica como se muestra en la Figura 7. En este caso, cambia la pendientede la recta presupuestaria, de forma tal que el nuevo conjunto esta contenido en el original: si p

1> p

1entonces

B(p1, p2, R) B(p1, p2, R). (5)

Figure 7: Conjunto Presupuestario y Aumento de Precio

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

















x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
















x2

R/p2

R/p1 R/p1 x1

p1 > p1

Si el precio disminuye, entonces la recta presupuestaria pivotea hacia la derecha, de modo que elnuevo cojunto contiene al original. Lo ya expuesto aplica para cambios en el precio del bien dos, todolo demas constante.

Ejemplo 1.9 Subsidios, impuestos, herencias, etc.Los subsidios, impuestos, herencias, etc., los podemos entender como parametros exogenos que

modifican ya sea los precios o la riqueza del individuo. Por ejemplo, si inicialmente una persona tieneuna riquezaR >0 y los precios de los bienes de consumo sonp1, p2, que el sujeto reciba una herenciaH > 0 implica que su nuevo riqueza esR+H, lo que ciertamente tiene implicancias en las opcionestiene para elegir las canastas (en este caso, mas opciones). Por el contrario, si se aplica un impuestoal ingreso, digamosT >0, entonces el nuevo escenario que enfrenta es con riquezaR T; en tal casolas opciones de consumo son dadas por

B(p1, p2, R T).Si deseamos desincentivar el consumo de, por ejemplo, el bien uno, se podra hacer (i) aumen-

tando exogenamente el precio del mismo, o bien (ii) poniendo un impuesto al gasto que se haga endicho bien. Por ejemplo, si se obliga un aumento del precio p1 en >0, la nueva recta presupuestariaes

(p1+ )x1+p2x2 = R,

mientras que sigrabamos el gasto en el bien uno, digamos, con una tasa de impuesto [0, 1],entonces la nueva recta es

(1 + )p1x1+p2x2 = R.

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1.3 Eleccion del consumidor: maximizacion de la satisfaccion

Lo anterior describe con algun detalle el conjunto factibledonde el consumidor puede hacer la eleccionde canastas de consumo. Obviamente dicho conjunto permite muchas opciones para escoger canastas.El problema es determinar cual de aquellos puntos factibles es elmas razonable(deseable, conveniente,

etc.) para nuestro personaje. Para el efecto puede haber muchos criterios sobre que es lomas razonable,criterio que una vez adoptado define la eleccion del individuo. Por ejemplo, nuestro personaje podraelegir dentro de aquellas (i) canastas de bienes que tienen un porcentaje pre-fijado entre uno y otro bien;(ii) entre aquellas que contienen necesariamente una cantidadx1 del bien 1 dada a priori; (iii) entreaquellas que satisfacen una desigualdad de la formax1 1, x2 2, donde1, 2 son dados a priori,etc. Lo anterior no es absurdo como forma de escoger. Por ejemplo, que las elecciones de canastassean condicionales a que existan consumos mnimos en alguno de los bienes (o ambos) puede aparecernaturalmente bajo requisitos de salubridad, pues dicho consumo mnimo garantiza, por ejemplo, unacantidad adecuada de nutrientes.

En resumen, no hay una unica forma de establecer criterios de eleccion de canastas deconsumo para los individuos: hay muchas opciones y no necesariamente algun criterio es mejorque otro, si es que tiene sentido hablar normativamente en estas materias. Sin embargo, hay un criterioampliamente utilizado en economa que, nuevamente, parte de la base del supuestohedonistaque ya

hemos indicado (el individuo consume porque le gusta, le hace bien, logra satisfacci on, etc.). El criterioconsidera que las elecciones de los individuos son hechas con el fin de maximizar la utilidad resultantedel misma, teniendo en cuesta las restricciones presupuestarias que enfrenta. De esta manera, se hacecompatible lo que se quiere con lo que se puede, siendo esta la idea deracionalidad economicadetras de todo el modelo que estamos desarrollando7.

Definicion 1.7 Problema del consumidor: maximizacion de utilidad sujeto a restriccionpresupuestaria.

Dados los precios de los bienesp1 yp2 y dada la renta del individuo R, el problema del consumidorconsiste en encontrar aquella canasta factible que maximiza su utilidad, lo que se traduce en resolverel siguiente problema de optimizacion:

max u(x1, x2)s.a (x1, x2) B(p1, p2, R) max u(x1, x2)s.a p1 x1+ p2 x2 RSupongamos que la solucion del problema del consumidor es x1, x

2 y que

p1x1+p2x

2 < R (6)

Dos cuestiones. Primero, por definicion se tiene que para todo (x1, x2) B(p1, p2, R), u(x1, x2) u(x1, x

2). Segundo, puesto que se cumple la condicion (6), entonces para >0 suficientemente pequeno

se tiene que8

p1(x1+ ) +p2x

2 = R.

De lo anterior, (x1+ , x2) B(p1, p2, R). Pero ademas, ya que la funcion de utilidad es estrictamente

creciente,

u(x1+ , x2)> u(x

1, x

2),

lo que contradice el hecho que (x1, x2) maximiza la utilidad en el conjunto factible. Todo el problema

viene de suponer que p1x1+p2x2 < R, pues a partir de este hecho hemos podido encontrar otro punto

que nos entrega mas satisfaccion. En concreto, se tiene la siguiente proposici on.

7En algun sentido el criterio de racionalidad anterior sigue siendo muy amplio: muchas de las actividades que unorealiza en la vida se pueden ver como resultado de un proceso de maximizaci on; todo es cuestion de escoger la correctafuncion de utilidad para justificar tal eleccion. A pesar de esto, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el supuesto quelos consumidores son agentes cuyo objetivo es el indicado.

8Basta con = Rp1x

1p2x

2p1

>0.

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Proposicion 1.3 Dada una funcion de utilidad estrictamente creciente en cada componente, si(x1, x2)

es la solucion del problema de maximizacion de utilidad sujeto a restriccion presupuestaria, necesari-amente se debe cumplir que,

p1x1+p2x

2 = R.

As, ba jo el supuesto que la f.d.u es estrictamente creciente por componentes, el problema delconsumidor se puede replantear equivalentementede la siguiente manera (se da por descontadoque las variables son mayores o iguales a cero):

Formulacion equivalente del problema del consumidormax u(x1, x2)

s.a p1 x1+p2 x2 = R(7)

El problema de optimizacion (7) es uno con restriccion de igualdad, y no de desigualdad como eraoriginalmente, lo que nos permite ocupar Lagrangeanos para resolverlo.

Definicion 1.8 Demanda Marshaliana y utilidad indirecta

Lasoluciondel problema del consumidor (7) se denotara por

xi(p1, p2, R), i= 1, 2

y se llamarademanda Marshalianadel consumidor por el bien1 y2 respectivamente. Elmaximovalor de la funcion de utilidad dada la restriccion presupuestaria se denomina utilidad indirectadel individuo y se denota porv(p1, p2, R), es decir,

v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)).

Para determinar las demandas, y con ello la funci on de utilidad indirecta, se procede, en primerlugar, definiendo el Lagrangeano del problema del consumidor (7):

L(x1, x2, ) = u(x1, x2) + [R p1x1 p2x2].Con ello, las condiciones necesarias de optimalidad son las siguientes:

a.- L(x1,x2,)x1 = 0 u(x1,x2)

x1 p1 = 0 u(x1,x2)x1 =p1.

b.- L(x1,x2,)

x2= 0 u(x1,x2)x2 p2 = 0

u(x1,x2)x2

=p2.

c.- L(x1,x2,) = 0 p1x1+p2x2 = R.De las condicionesa. y b. se tiene entonces que (cuociente),

u(x1,x2)x1

u(x1,x2)

x2

=p1p2

=p1p2

RM S1,2(x1, x2) = p1p2

.

Resumiendo, la demanda se obtiene de resolver el sistema de ecuaciones

Ec.1 : RM S1,2(x1, x2) = p1p2

,

Ec. 2 : p1x1+ p2x2 = R.

En todo lo que sigue, trabajaremos ba jo el supuesto que efectivamente las condicionesnecesarias de primer orden nos permiten resolver el problema, sin requerir condiciones adi-cionales (o de segundo orden) para determinar las demandas. Un caso particular muy importantepara el cual se cumple tal supuesto anterior ocurre cuando las curvas de indiferencia son estrictamente

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convexas, cuestion que se tiene cuando la f.d.u es estrictamente conicava (y mas general, estrictamentecuasiconcava). Esto justifica el empleo de tales funciones en la practica.

Interpretemos geometricamente las condiciones de optimalidad del problema del consumidor. Paraello, dada la restriccion presupuestaria y dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R), sea v =v(p

1, p

2, R) (utilidad indirecta). Entonces la curva de indiferencia al nivel v anterior es tangente

a la recta presupuestaria. En efecto, es claro que la curva de indiferencia debe cortar a la rectapresupuestaria, ya que de lo contrario cualquier punto de ella no sera factible. En segundo lugar, si lacurva de indiferencia corta a la recta presupuestaria en mas de un punto, entonces habra otra curva deindiferencia de mayor nivel de utilidad que tambien cortara a la recta presupuestaria, lo cual contradicela definicion demanda pues no se estara maximizando enxi(p1, p2, R). La unica alternativa que quedaes la de tangencia como se muestra en la Figura8,

Figure 8: Maximizacion de Utilidad

x

x x x x x x x x x x x x x x x x












R/p2

x2(p1, p2, R)

x1(p1, p2, R) R/p1

v

Note que, de la condicion de tangencia se debe cumplir que la pendiente de la recta presupuestariap1p2

debe ser igual a la pendiente de la tangente de la curva de indiferencia en la demanda. Pero

dicha pendiente es simplemente la relacion marginal de sustitucion y, por lo tanto, se tiene que

RM S1,2(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)) = p1p2

,

cuestion que ya sabamos.

Nota. 1.3 Otra interpretacion de las condiciones de optimalidadDenotemos por x1 = x1(p1, p2, R) y x

2 = x2(p1, p2, R). Como estamos en el optimo, cualquier

modificacion en dichas cantidades de consumo debera hacer disminuir el nivel de satisfaccion delindividuo (las demandas maximizan utilidad, luego cualquier otra factible debe otorgar menos utilidad).De esta manera, si fuera que el consumo del bien 1 aumenta en una unidad, entonces la utilidad

crecera u(x1,x

2)x1

, pero, dado que existe una restriccion presupuestaria, el aumento anterior deberaser compensado por una disminucion en el consumo del bien 2. Digamos que tal disminuci on es .Luego, en primer lugar, se debe cumplir que,

p1(x1+ 1) +p2(x

2 ) = R

de lo cual se tiene que = p1/p2. Ahora bien, en el punto factible (x1 + 1, x2 ) la utilidad del

individuo es menor que en la demanda. Luego, el cambio neto en utilidad producto de las modificaciones

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anteriores sera9,

u(x1, x2)

x1 p1

p2 u(x

1, x

2)

x2.

el cual necesariamente debe ser negativo, ya que si fuera positivo habramos encontrado otro punto con

mayor utilidad. De anterior se tiene entonces que,

u(x1, x2)

x1 p1

p2 u(x

1, x

2)

x2 0

u(x1 ,x

2)x1

u(x1 ,x

2)

x2

p1p2

RM S1,2(x1, x2) p1p2

. (8)

Si ahora disminuimos el consumo del bien 1 en una unidad, la utilidad cae en u(x1 ,x

2)x1

. Paramantener la restriccion presupuestaria, el bien 2 debera aumentar en(p1/p2)y con todo esto el cambio

(positivo) en utilidad sera, p1p2

u(x1,x2)x2

. De esta manera, el cambio neto en utilidad sera:

u(x1, x

2)

x1+

p1p2

u(x1, x

2)

x2,

el cual debe ser positivo. Luego, se debe cumplir que,

u(x1, x

2)

x1+

p1p2

u(x1, x

2)

x2 0

u(x1 ,x

2)x1

u(x1 ,x

2)x2

p1p2

RM S1,2(x1, x2) p1p2

. (9)

Mirando (8) y (9), se concluye que en el optimo se debe cumplir que, RM S1,2(x1, x2) = p1p2 ,

condicion que ya tenamos.

Si la funcion de utilidad es concava sin lados rectos (es decir, estrictamente concava), sabemosque las correspondientes curvas de indiferencia seran estrictamente convexas. En tal caso, al desplazarla recta presupuestaria con el fin de intersectarlas con la curva de indiferencia, la tangencia se dara enun unico punto, el cual, como ya sabemos, corresponde la demanda. De esta manera, podemos concluirque para cualquier p1, p2 > 0 y para cada ingreso R > 0, xi(p1, p2, R), i = 1, 2, esta unvocamentedefinida y se puede determinar a partir de las condiciones necesarias de optimalidad del problema.Esta es la justificacion fundamental para considerar funciones de utilidad concavas(mas general,cuasiconcavas) en el analisis.

La siguiente figura ilustra curvas de indiferencia convexas y no convexas y las demandas que setienen en ambos casos. Note que en el segundo caso hay m as de una posibilidad para la demanda.

Figure 9: Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa

x

























DemandaUnica Demanda Multiple

Curva de Indiferencia No ConvexaCurva de Indiferencia Convexa

9Recordemos que f(x1+, x2+ ) f(x1, x2) f(x1,x2)

x1+ f(x1,x2)

x2.

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Ejemplo 1.10 Dada la funcion de utilidadu(x1, x2) = xa1 xb2, y dados los preciosp1, p2 y la rentaR,

determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta. Para el caso, el Lagrangeanoes

L= xa1

xb2+ [R

p1x1

p2x2].

De las condiciones de optimalidad, se tiene que,

a.- axa11 xb2 p1 = 0

b.- bxa1xb12 p2 = 0

c.- p1x1+p2x2 = R.

Luego, dea. yb. se tiene que ax2bx1 = p1p2

, es decir, x2 = bp1x1

ap2. De esta manera, lo anterior en

c. implica que,

x1(p1, p2, R) = aR

p1(a + b), x2(p1, p2, R) =

bR

p2(a + b)

y as,

v(p1, p2, R) =

aR

p1(a+ b)

a

bR

p2(a+ b)

b.

Ejemplo 1.11 Demanda con funcion de utilidad linealDada la funcion de utilidad u(x1, x2) = a x1 + b x2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,

determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta. Si seguimos el enfoqueutilizando las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, el Lagrangeano del problema es

L= a x1+ b x2+ [R p1x1 p2x2] = [a p1]x1+ [b p2]x2+ R,de modo que derivando c.r. ax1 yx2 se tendra que

L

x1 =a p1, L

x2 =b p2.As, en el optimo se debera cumplir que

a

b =

p1p2

,

relacion que obviamente es absurda pues, a priori, los parametros son arbitrarios10. As, resolver elproblema empleando el calculo es inconducente. Veamos directamente. De la restriccion presupuestaria,se tiene que

x2 = R

p2 p1

p2 x1,

que incorporandola en la funcion objetivo nos lleva a que el problema del consumidor se puede re-escribir

equivalentemente como

maxx1

a x1+ b

R

p2 p1

p2 x1

maxx1

x1

a p1 bp2

+

b Rp2

.

La constante de la derecha no altera la solucion del problema, siendo equivalente a

maxx1

x1

a p1 bp2

. (10)

Para resolver (10), se deben considerar tres casos posibles:

10Incluso de tener sentido, dicha condicion nonos permitira obtener las demandas.

21


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(i) quea p1bp2 >0 (es decir, ap1 > bp2 ),

(ii) quea p1bp2


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De la restriccion, despejando x1 en funcion dex2 y reemplazando en la funcion objetivo, el problemaanterior se convierte en

maxx2

R

p1 p2x2

p1 + (x2).

De las condiciones de optimalidad del problema anterior, la demanda porbien dos debe cumplir que

(x2) = p2p1

,

condicion que nos permite encontrarla de manera directa, resolviendo as el problema.

Supongamos ahora que la preferencia de un agente es representada por dos funciones de utilidad,digamosu1 yu2. En tal caso, sabemos que existe una funcion estrictamente creciente tal que12

u1(x1, x2) = (u2(x1, x2)). (11)

A los precios p1, p2 y riqueza R, para determinar las demandas empleando la f.d.u u1, se deberesolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Ec. 1

u1(x1,x2)x1

u1(x1,x2)x2

=p1p2

.

Ec.2 : p1x1+p2x2 = R

Notemos que la Ecuacion 2 no depende de las preferencias. Por otro lado, de (11), se tiene que(aplicar regla de la cadena)

u1(x1, x2)

x1=

(u2(x1, x2))

x1=(u2(x1, x2)) u2(x1, x2)

x1.

Analogamente,

u1(x1, x2)x2

= (u2(x1, x2))x2

=(u2(x1, x2)) u2(x1, x2)x2

,

y en consecuencia,

u1(x1,x2)x1

u1(x1,x2)x2

=(u2(x1, x2)) u2(x1,x2)x1(u2(x1, x2)) u2(x1,x2)x2

=

u2(x1,x2)x1

u2(x1,x2)x2

.

Luego, el sistema de ecuaciones para determinar la demanda es el mismo si empleamos u1 o u2,es decir, la demanda que se calcula con u1 es coincidente con aquella que se obtendrade emplear u2. Obviamente la utilidad indirecta depende la funcion de utilidad que seconsidere.

Ejemplo 1.13 Recordemos que el problema del consumidor esmax u(x1, x2)

s.a p1 x1+p2 x2 = R.Sea ahora f : R R una funcion creciente estricta cualquiera. Como el objetivo es maximizar

u(x1, x2) sujeto a la restriccion presupuestaria, claramente la soluci on no cambiara si el prob-lema es maximizar f(u(x1, x2)) sujeto a la misma restriccion presupuestaria. De esta manera, conuna adecuada eleccion de f, se podra simplificar la determinacion de la demanda. Para fijar ideas,supongamos que deseamos encontrar las demandas asociadas a la funcion de utilidad CES

12Recordemos que las funciones de utilidad son unicas salvo transformaciones crecientes.

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u(x1, x2) = [c0+c1x1+ c2x

2]

1 .

En este caso, maximizar la utilidad anterior sujeta a restriccion presupuestaria es equivalente a maxi-mizar

u(x1, x2) = [c0+ c1x1+ c2x

2]

con la misma restriccion. En este caso, f(x) =x. Mas aun, como la constantec0 no interviene en elresultado de la maximizacion, al maximizar

[c1x1+ c2x

2]

se obtiene un resultado equivalente. Obviamente las transformaciones se justifican siempre y cuandoel nuevo problema sea mas sencillo de resolver que el original. Note, finalmente, que esta elecci onpermite encontrar las demandas; sin embargo, para evaluar la utilidad indirecta se debe volver ala funcion de utilidad original.

1.4 Analisis de sensibilidad del problema del consumidor

En lo que sigue, vamos a estudiar los efectos sobre la demanda, y la utilidad indirecta, que implicanvariaciones en los precios y la riqueza. Esto es lo que tradicionalmente se conoce como analisis desensibilidad del problema del consumidor.

En primer lugar, sabemos que si uno de los precios sube (ceteris paribus), entonces el nuevoconjunto de restriccion presupuestario es mas pequeno que el original (ver (5)), por lo cual la nuevademanda sera necesariamente tal que la utilidad indirecta obtenida es menor o igual (en general,menor estricta) que en la original: esto es simplemente porque el nuevo set de posibilidades tienemenos opciones donde escoger que el original. Luego la solucion resulta menos favorableque antes delcambio en precio. Por lo tanto, hemos probado que13,

v(p1, p2, R)

p1


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Definicion 1.9 Diremos que un bieni = 1, 2esGiffensi un aumento del precio propio pi implica unaumento en la demanda respectiva.

En otras palabras, el bien i = 1, 2 es de Giffen si,

xi(p1, p2, R)pi

>0.

Es claro que si el bien 1 es de Giffen, entonces necesariamente se debe cumplir que,

x2(p1, p2, R)

p1 p1 > p

1 ), la demanda respectiva del bien 1 tambien

disminuye (a > a > a

), por lo cual, el bien 1 es de Giffen, es decir,

x1(p1, p2, R)

p1>0.

Notemos finalmente que disminuciones en el precio p1 implican disminuciones en la demanda delbien dos:

p1 > p1 > p

1 b < b

< b

.

Si dibujamos la demanda de un bien de Giffen en funcion del precio respectivo, se tiene que lapendiente de la curva es positiva, lo que obviamente es contrario a las situaciones usuales de demandade bienes. La Figura12 ilustra la curva de demanda de un bien Giffen y de uno no Giffen.

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Figure 12: Bien Giffen y No Giffen

x

x1

p1 p1No Giffen

x1

Giffen

Dados por los preciosp1, p2y la rentaR, supongamos que el precio del bien uno aumenta a p1> p1.En tal caso, el cambio de demanda del bien i = 1, 2 es

xi(p1, p2, R) xi(p1, p2, R),

queen terminos porcentuales, corresponde a

xi(p1, p2, R) xi(p1, p2, R)xi(p1, p2, R)

.

El cambio porcentual en el precio es

p1 p1p1

.

La elasticidad precio de la demanda es simplemente el cuociente de los cambios porcentualesanteriores: as, la elasticidad precio del bien uno de la demanda por el bien i = 1, 2 es

p1,xi =

xi(p

1,p2,R)xi(p1,p2,R)xi(p1,p2,R)

p1p1p1

.

Ordenando los terminos, lo anterior corrresponde a

p1,xi = xi(p1, p2, R) xi(p1, p2, R)

p1 p1 xi(p1, p2, R)

p1,

que cuandop1p1 se puede aproximar por

p1,xi = xi(p

1, p2, R) xi(p1, p2, R)p1 p1 xi(p1, p2, R)p1

xi(p1, p2, R)p1 xi(p1, p2, R)p1 .

Es segun la aproximacion de la derecha que usualmente se define la elasticidad precio de lademanda. Si en valor absoluto se tiene que la elasticidad precio de la demanda es mayor que uno,se dice que el bien es elastico a ese precio; caso contratio, si en valor absoluto la elasticidad preciodel bien es menor que uno, se dice que es inelastico a dicho precio: un bien elastico respondefuertemente a cambios en los precios, mientras que un bien inelastico es poco sensible atales modificaciones.

Consideremos ahora variaciones en la riqueza y su efecto en la demanda. En primer lugar, yasabemos que si el ingreso aumenta, la utilidad indirecta tambien lo hace. El problema, como antes, es

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determinar que sucede con las demandas. En primer lugar, por lo antes indicado, si el ingreso aumentanecesariamente al menos una de las demandas debe aumentar, pues si ambas disminuyen no podra serque la utilidad indirecta aumentase. El asunto es que no necesariamente ambas demandas aumentanante alzas de ingreso. Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.10 Diremos que un bien i = 1, 2 normalsi aumentos en la riqueza implica aumentosen su demanda. En caso contrario diremos que el bien es inferior.

De esta manera, el bien i = 1, 2 esnormal si,

xi(p1, p2, R)

R >0,

y es inferiorsi,

xi(p1, p2, R)

R


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Figure 14: Bien de Lujo y Bien Necesario (1)

x2

x1

(2)

(1)

En la Figura14, en la curva (1), la demanda del bien uno crece m as rapido que aquella del biendos cuando aumenta el ingreso; lo contrario en la curva (2).

Lo anterior motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.11 Para bienes normales, si en la medida que el ingreso aumenta se tiene que la demandade uno de ellos crece mas que proporcionalmente que la demanda del otro, diremos que dicho bien esunbien de lujo, mientras que el otro se denominabien necesario.

Ejemplo 1.14 Dada la f.d.u. u(x1, x2) = x1 x2 , sabemos que

x1(p1, p2, R) = R

p1( + ), x2(p1, p2, R) =

R

p2( + ).

En este caso, ambos bienes no son de Giffen pues si el respectivo precio aumenta, la demandadisminuye:

x1(p1, p2, R)

p1= R

p21( + ) 0.

Para dibujar las curvas de Engel, notemos que

x1(p1, p2, R)x2(p1, p2, R)

=

R

p1(+)R

p2(+)

=

.

Luego,x1(p1, p2, R) =

x2(p1, p2, R), que es una recta en el plano x1 x2. La pendiente de dicharecta es

, que graficamente se ve en la Figura15es la siguiente:

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Finalmente, de lo indicado inicialmente, haciendo los reemplazos correspondientes, se obtiene lo indi-cado.

1.5 Problema dual: demanda Hicksiana y funcion de gasto

En lo que sigue, vamos a definir una serie de conceptos complementarios que seran de utilidad parael estudio del comportamiento de los agentes. Estableceremos, ademas, algunas relaciones entre losmismos.

Basicamente, las relaciones que pretendemos establecer se determinan a partir delproblema dualdel consumidor, a saber, condicional a cierto nivel de utilidad, determinar la cantidad de mnima derecursos (ingreso, dinero, etc.) que se necesita para lograr tal nivel de satisfaccion.

Para fijar ideas, dado cierto nivel de satisfaccion u0 R, las canastas que permiten alcanzar talnivel de satisfaccion definen, como ya sabemos, la isocuanta a dicho valor, es decir, todos los paresordenados (x1, x2) R2+ tales que u(x1, x2) = u0. La pregunta que nos motiva es: si estuviesemosobligados a escoger un punto de la isocuanta, cual elegiramos?Puesto que cada uno de ellos entregael mismo nivel de satisfaccion, la respuesta directa es que escogeramos el mas barato. Porque? Simplemente porque en caso contrario estaramos pagando de mas para obtener el mismo nivel

de satisfaccion.A los preciosp1, p2, el costode un punto (x1, x

2) de la isocuanta al nivel u0= u(x

1, x

2) es

R =p1x1+p2x

2.

Si dispusiesemos de R pesos, compraramos la canasta (x1, x2)? La respuesta esno necesaria-

mente. De hecho, lo que compraramos es la demanda a los preciosp1, p2 y la rentaR, es decir,

xi(p1, p2, R), i= 1, 2,

que no necesariamente es coincidente con x1, x2, respectivamente. De hecho, con la riqueza R

esperfectamente posible que el nivel de satisfaccion que podramos lograr sea incluso mayor que u0anterior.

Definicion 1.12 Dado un nivel de utilidad u0 prefijado y dados los precios p1, p2, definimos lafuncion de gasto como elmnimo ingreso necesario para garantizar el nivel de utilidad indicado.Dicha funcion se denotara pore(p1, p2, u0).

De lo expuesto, para encontrar la funcion de gasto se debe resolver el problema de optimizacionminx1,x2

p1x1+p2x2

s.a u(x1, x2) = u0(14)

cuya solucion se denotara por

hi(p1, p2, u0), i= 1, 2.

Dichos funciones reciben el nombre de demanda Hicksiana por el bien en cuestion

14

. Se tieneentones que

e(p1, p2, u0) = p1 h1(p1, p2, u0) +p2 h2(p1, p2, u0).El Lagrangeano del problema (14) es

L= p1x1+p2x2+ [u0 u(x1, x2)],de modo que las condiciones de optimalidad son:

14Note que las demandas Hicksianas dependen de los precios y de un nivel de utilidad prefijado, esto a diferenciade la demanda Marshaliana, que depende de precios y de la riqueza.

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(a) Lx1 = 0 p1 u(x1,x2)

x1= 0.

(b) Lx2 = 0 p2 u(x1,x2)

x2= 0.

(c) L = 0

u(x1, x2) = u0.

Combinando (a) con (b) para eliminar el multiplicador , se tiene finalmente que el sistema ecua-ciones que nos permiten encontrar las demandas Hicksianas es

(i)

Ec. 1 :

u(h1,h2)x1

u(h1,h2)x2

= p1p2

RM S1,2(h1, h2) = p1p2

,

(ii)Ec. 2 : u(h1, h2) = u0.

La primera ecuacion es identica para las demandas Marshalianas y Hicksianas; la segunda condiciones completamente distinta: para las demandas Marshalianas es la restriccion presupuestaria, para la

demanda Hicksiana es pertenecer a la curva de indiferencia al nivel de utilidad prefijado.

Ejemplo 1.15 Dada la funcion de utilidad CB u(x1, x2) = x1 x2 , determinemos las funciones dedemanda Hicksiana y la funcion de gasto. Dado u0, el Lagrangeano es

L= p1x1+p2x2+ [u0 x1 x2 ].Derivando c.r. ax1, x2 se tiene que,

p1 x11 x2 = 0; p2 x1 x12 = 0 p1p2

= x2x1

x2 = p1p2

x1.

Luego, reemplazando esta ultima relacion en la utilidad se tiene que,

x1 x2 =u0 x1 p1p2 x1

=u0

de lo cual se tiene finalmente que,

h1(p1, p2, u0) = u(1/(+))0

p2p1

/(+).

Con esto, se tiene que,

h2(p1, p2, u0) = u(1/(+))0

p1p2

/(+)y as,

e(p1, p2, u0) =p1 u(1/(+))0 p2p1/(+)

+p2 u(1/(+))0 p1p2/(+)

Fijemos los precios, p1, p2 y veamos algunas relaciones entre las soluciones del problema primal(demanda Marshaliana) y el dual (demanda Hicksiana). En primer lugar, si el individuo tiene ingresoR, sabemos que comprara xi(p1, p2, R), i = 1, 2, obteniendo un nivel de satisfaccion v(p1, p2, R). Alreves ahora, para obtener satisfaccion v(p1, p2, R), cuanto dinero debe gastar? Que hara con esedinero? A la primera pregunta, la respuesta es R: si gasta mas dinero, digamos R > R, entoncesobtiene nivel de stisfaccion v(p1, p2, R); como la utilidad indirecta es creciente en el ingreso, en estecaso se tiene que v(p1, p2, R) > v(p1, p2, R); si gastase R < R, siguiendo el mismo argumento,la satisfaccion que obtendra es v(p1, p2, R), que es menor que v(p1, p2, R). Luego, la unica opcion

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es gastar R. Para responder la segunda pregunta (que hara?), dado que gastara R para obtenersatisfaccionv(p1, p2, R), por el lado del problema primal, sabemos que comprara

xi(p1, p2, R), i= 1, 2;

por otro lado, segun el problema dual, sabemos que comprara hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2, queobviamente debe ser coincidente con la anterior. As, hemos probado que:

xi(p1, p2, R) = hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i= 1, 2

R= e(p1, p2, v(p1, p2, R)).

Proposicion 1.5

(a) La funcion de gasto es homogenea de grado uno en los precios, es decir,

e(tp1, tp2, u0) = t e(p1, p2, u0),t > 0.(b) Para cada i= 1, 2

e(p1, p2, u0)

pi=hi(p1, p2, u0).

Demostracion.

(a) Por definicion, e(tp1, tp2, u0) viene de resolver el siguiente problema de optimizacion:min (tp1)x1+ (tp2)x2

s.a u(x1, x2) =u0

problema es equivalente a resolver t min p1x1+p2x2s.a u(x1, x2) = u0,

pues t es positivo. Luego, el gasto que se tiene con los precios tp1 y tp2 es igual al gasto que setiene con los precios p1 y p2, pero multiplicado por t, que es lo indicado.

(b) Derivando directamente la funcion de gasto c.r. ap1y recordando que e(p1, p2, u0) = p1h1(p1, p2, u0)+p2h2(p1, p2, u0)15, tenemos que:

e

p1=p1

h1p1

+ h1+p2 h2p1

=h1+

p1

h1p1

+p2 h2p1

Ahora bien, sabemos que u(h1, h2) =u0 y luego, derivando c.r a p1 (aplicar regla de la cadena)se tiene que16,

u

x1 h1

p1+

u

x2 h2

p1= 0. (15)

Ahora bien, de las condiciones de optimalidad, sabemos que,

15En la medida de lo posible, omitiremos las variables de cada funci on para evitar notacion excesiva.16Recuerde que u0 es constante, luego su derivada c.r a p1 es cero.

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ux1

ux2

= p1p2

y luego,

u

x1=

p1p2

ux2

de lo cual, reemplzando en (15), se tiene que,

p1p2

ux2

h1p1

+ u

x2 h2

p1= 0 p1

p2 h1

p1+

h2p1

= 0 p1 h1p1

+p2 h2p1

= 0.

Reemplazando esta ultima relacion en la derivada del gasto, se obtiene lo indicado pues el terminode la derecha vale cero. Analogo con la derivada respecto de p2.

Nota. 1.4 Otra forma de ver la parte(b) de la Proposicion1.5es como sigue: puesto que la funcionde gasto es homogenea de grado uno en los precios, aplica entonces la identidad de Euler en dichasvariables, es decir

e(p1, p2, u0) = p1 e(p1, p2, u0)p1

+p2 e(p1, p2, u0)p2

. (16)

Por otro lado, por definicion se tiene que

e(p1, p2, u0) = p1 h1(p1, p2, u0) +p2 h2(p1, p2, u0) (17)Identificando terminos en (16) y (17) se obtiene directamente el resultado.

Finalmente, el problema de gasto tiene una interpretacion geometrica analoga a la que tenamos con

la demanda Marshaliana. En este ultimo, al estar fija la recta presupuestaria, la demanda Marshalianase obtiene desplazando curvas de indiferencia hasta lograr tangencia con dicha recta. Para determinarla demanda Hicksiana, y por ende la funcion de gasto,es la curva de indiferencia la que esta fija.Dado esto, se desplaza paralelamente una recta de la forma

p1h1+p2h2= e

hasta lograr la tangencia con dicha curva, desplazamiento que se tiene incrementando el valor de e.El valor del parametro con el cual se logra la tangencia con la curva de indiferencia define el valor lafuncion de gasto, y el punto donde se intersectan recta y curva es la demanda Hicksiana.

1.6 Funciones de compensacion

Consideremos el siguiente contexto general: hay dos instancias a analizar, una inicial, donde los

precios son P = (p1, p2) y el ingreso es R, y otra final con precios P = (p1, p2) y la renta R. Elbienestar del individuo es

Inicial: v(P, R), Final: v(P, R).

Evidentemente los niveles de satisfaccion en uno y otro escenario pueden ser distintos; si porejemplo, el ingreso se mantiene constante (R = R) y al menos uno de los precios aumenta, entoncessabemos quev(P; R)> v(P, R).

Si uno de los precios aumenta, para mantener constante el nivel de satisfaccion entre ambos esce-narios, una posibilidad es que el ingreso en el escenario final suba para compensar tal alza. Se tieneentonces lo siguiente:

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(a) a los precios iniciales, se necesita R para obtener un nivel de satisfaccion v(P, R), y se necesitae(P, v(P, R)) para obtener un nivel de satisfaccionv(P, R); por lo tanto

e(P, v(P, R)) R R (18)

representa, en riqueza evaluada a los precios iniciales, P, la diferencia de satisfacciondel individuo entre la situaciones final e inicial. Es por tanto una medida del cambio ensatisfaccion debido del cambio de precios e ingreso. Si la diferencia anterior es nega-tiva (positiva), significa que el nuevo escenario (precios P e ingreso R) es mas desfavorable(favorable) para el individuo que aquel donde los precios son Py su ingreso es R.

(b) A los preciosfinales, se necesitaR para obtener un nivel de satisfaccionv(P, R) y se necesitae(P, v(P, R)) para obtener un nivel de satisfaccionv(P, R). Por lo tanto

R e(P, v(P, R)) (19)

representa,en riqueza a los precios finales, P, la diferencia de la satisfaccion del indi-viduo entre la situaciones final e inicial. Nuevamente, si la diferencia (19) es negativa (positiva),significa que el escenario con precios P e ingreso R es mas desfavorable (favorable) para elindividuo que un mundo donde los precios son Py su ingreso es R.

Tanto (18) como (19) representanmedidas monetarias de los cambios en satisfacciondadoscambios en los parametros que determinan la demanda de los individuos. Note que con (18) y (19) seasta comparando el mismo cambio en nivel de satifaccion, solo que expresado en distintas basesde precio. La medida (18) esta construida sobre la base de cuantificar las riquezas en terminos de losprecios iniciales, y se llama variacion equivalente, V E,

V E= e(P, v(P, R)) R (20)Por otro lado, la medida (19) esta construida sobre la base de cuantificar la riqueza (ingresos, renta,

etc.) en terminos de los precios finales, y se llamavariacion compensatoria, V C, es decir,

V C=R e(P, v(P, R)) (21)Ambas medidas tienen el mismo signo, pues corresponden a diferencias en dinero para expresar

el mismo cambio en satisfaccion. A priori, ambas medidas pueden diferir en sus cuantas, pues,como se ha indicado, estan expresadas en distintas base de precios.

Ejemplo 1.16 Bonos y subsidios

Cual debera ser el bono de navidad que se ha pagar a un trabajador? Resp. No hay una re-spuesta categorica, pues depende de muchos factores que no controlamos a priori: poder de negociaciondel sindicato, historia del bono en la empresa, del desempeno de la empresa en el periodo, etc. Sinembargo, sin pretender decir cual debera ser el valor del bono, podemos aproximarnos al problemade la siguiente manera: inicialmente el individuo enfrenta precios P = (p1, p2) R2++ y tiene rentaR >0. En tal caso, su nivel de satifaccion esv(P, R)> 0. Ahora bien, dado que se trata del navidad,es bien sabido que los precios de los bienes de consumo suben sustancialmente (por que?), digamos,deP aP = (p1, p

2). De no mediar cambios en el ingreso, el nivel de satifaccion del individuo caera,

siendo ahorav(P, R); la cada en el bienestar esta dada por

v(P, R) v(P, R)< 0. (22)A partir del alza de precios, una primera medida de compensacion razonable sera preguntarse sobre

cuanto dinero extra habra que darle al individuo para que a los nuevos precios (P) su nivel desatisfaccion sea el mismo que tena previo al alza. Si denotamos porV1 dicha cantidad, se debe entoncescumplir que

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v(P, R+ V1) v(P, R) = 0.Por lo tanto, buscamosV1 tal que si el individuo tiene ingresosV1+ R, a los preciosP su nivel

de satisfaccion esv(P, R); luego, por definicion, V1+ R es la funcion de gasto a los preciosP con

nivel de satisfaccionv(P, R), es decir, se cumple que

R+ V1 = e(P, v(P, R)) V1 = e(P, v(P, R)) R. (23)

Es decir, V1 esmenos la variacion compensatoria, donde la situacion inicial es con preciosPy rentaR y a final es con preciosP y rentaR.

Interpretemos el resultado anterior: ya que los precios en la economa efectivamente seran P,para analizar los cambios en satisfaccion, expresaremos todo en dichos precios. En tal caso, la felici-dad inicial cuestae(P, v(P, R)) y la felicidad final cuestaR (= e(P, v(P, R)). As, enterminosmonetarios, el cambio en felicidad es

Felicidad Final Felicidad Inicial= R e(P, v(P, R))< 0.Luego, paracompensar, desde un punto de vista monetario, la cada en la felicidad debido al alza

de los precios, la cantidad dedinero a entregar debe ser tal que

Felicidad Final Felicidad Inicial + Dinero a entregar= 0,es decir, Dinero a entregar= e(P, v(P, R)) R >0, que es precisamente lo que tenamos. En estecaso, el dinero a entregar es simplemente el negativo de la variacion compensatoria.

En enfoque complementario para entender el efecto en bienestar debido al alza de precios, es comosigue: no habiendo cambios en el ingreso, en el escenario final la satifaccion esv(P, R), que es menorque la inicial. A los precios P esta felicidad final es ciertamente mas barata que la actual, puesv(P, R) > v(P, R). Cuanto cuesta la felicidad final a los precios P? Simplemente e(P, v(P, R)),que evidentemente es menor queR. Expresado en terminos monetarios, que el precio suba corresponde,en este caso, a una perdida de felicidad dada por

FINAL INICIAL =e(P, v(P, R)) R < 0.Esta es la medida devariacion equivalenteque hemos definido. Ahora bien, dado que se producira

el alza en el precio, cuanto dinero le debera quitar inicialmente al individuo para quea los preciosantiguos(P= (p1, p2)) su nivel de bienestar sea el mismo que tendra dada el alza de precios? En otraspalabras, cuanto dinero le debo quitar para queno sientael efecto precio posterior? Nos preguntamosentonces por una cantidad V2 (que sera negativa) tal que v(P, R) = v(P, R+ V2). En este caso, esdirecto que

R+ V2 = e(P, v(P, R)) V2 = e(P, v(P, R)) R < 0, (24)

que es el resultado que ya tenamos.

La esencia de todo lo anterior esta en interpretar correctamente la funcion de gasto. La idea es

que condicional a cierto nivel de satifaccion, digamos u0, a los precios P = (p1, p2), la funcion degastoe(P, u0) es una medida de la dispocision a pagarque el individuo tiene por lograr tal nivel desatifaccion. De esta manera, cambios en la disposicion a pagar debido a cambios en los precios (porejemplo), se puede entender como cambios en los niveles de satifaccion que sufre el agente. El puntoes con respecto a que base de precios se mide tal efecto: si son los precios finales, entonces estamoshablando de variacion compensatoria; si es a precios iniciales, es variacion equivalente.

Para ilustrar geometricamente lo expuesto, supongamos que inicialmente los precios son p1, p2y que la renta es R, con lo cual queda definida la recta presupuestaria (1) y la demanda (2) (verFigura 16), ademas de un nivel de satisfaccion inicial u0. Si ahora el precio del bien uno aumenta(digamos, aq1 > p1 con q2 = p2), si el ingreso no cambia, la nueva recta presupuestaria es (3), la nueva

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demanda es (4) y el nivel de utilidad esu1. Para compensar este aumento de precio, modificaremos elingreso, digamos en (5), de tal forma que la nueva recta presupuestaria (6) sea tangente a la curva deindiferencia inicial, siendo el punto de tangencia (7), no necesariamente igual a (2).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

u1: Nivel Nuevo

u0: Nivel Original

Figure 16: Funcion de Compensacion

Ejemplo 1.17 Considere un individuo cuya preferencia por dos bienes esta dada por

U(x1, x2) = x1 + x2, (25)

con]0, 1[ conocido. En lo que sigue, suponga que,inicialmente, elprecio del bien uno esp1 = py aquel delbien dos esp2 = 1. La renta del individuo esR >0.

(a) Dados los precios y la renta indicada, determine lasdemandas Marshallianas y la utilidad

indirectade un agente cuya preferencia esta dada por (25). Para que nivel de renta se tiene quelademanda por el bien dos es estrictamente positiva? En lo que sigue, y cuando corresponda,asuma que la renta del individuo es mayor que dicha cantidad.

Respuesta. De las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, denotando P =(p, 1) R2, es directo que

x1(P, R) =

p

11

, x2(P, R) = R p

p

11

,

lo cual implica que

v(P, R) = (x1(P, R))

+ x2(P, R) = p 11

+R p p 11 ,

es decir,

v(P, R) =

1

1

p 1 + R p

1

11

p 11 = 1 p 1 + R 11 p 1 ,

lo que finalmente nos lleva a

v(P, R) = R+ p 1 , (26)

36


37/169


con

=

1 11 = 1 [1 ]> 0.

Finalmente, notemos que la demanda del bien dos es positiva siR p p 11

Apunte Micro 1

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