Apostila Completa de Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.1

Curso de Graduação deCurso de Graduação deCurso de Graduação deCurso de Graduação de

Licenciatura em MatemáticaLicenciatura em MatemáticaLicenciatura em MatemáticaLicenciatura em Matemática

Unesp Unesp Unesp Unesp –––– Campus de GuaratinguetáCampus de GuaratinguetáCampus de GuaratinguetáCampus de Guaratinguetá

C á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a lC á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a lC á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a lC á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l IIII

N o t a s d e A u l aN o t a s d e A u l aN o t a s d e A u l aN o t a s d e A u l a

PrPrPrProfofofof. Dr. Aury de Sá Leite. Dr. Aury de Sá Leite. Dr. Aury de Sá Leite. Dr. Aury de Sá Leite

Departamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de Matemática

UNESP UNESP UNESP UNESP ---- GuaratinguetáGuaratinguetáGuaratinguetáGuaratinguetá

Última revisão: janeiro/2000Última revisão: janeiro/2000Última revisão: janeiro/2000Última revisão: janeiro/2000


UNESP/GuarUNESP/GuarUNESP/GuarUNESP/Guaratinguetá atinguetá atinguetá atinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #01 – Modularização de gráficos de funções

Prof. Aury de Sá Leite - [email protected]

[1] A função y = f(x) = x e a função y=f(x) = | x |

[2] A função y = f(x) = x - 3 e a função y=f(x) = | x - 3 |

(0,-3)

(0,3)

(3,0)

(3,0)

[3] A função y = f(x) = x2 - 10 e a função y=f(x) = | x2 - 10 |

(0,10)

(0,-10)

y = f(x) < 0

(0,-10)

1


UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #02 Módulo de uma Função Assintótica - Exemplo


Função: 32

1)( +

−==

xxfy

Função: 3|2|

13

2

1)( +

−=+

−==

xxxfy

-10 -5 5 10

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

(2,0)

(0,3)

Assíntota Horizontal

y = 3

Assíntota Vertical:

x = 2

-10 -5 5 10

2

4

6

8

10

12

2


UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #03 - Limites, Continuidade e Assíntotas

Prof. Aury de Sá Leite – [email protected] [1] Definição de Limite

⇔=→

Lxfax

)(lim ∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 tal que para

todo x∈D(f) que satisfaça à condição 0 < | x - a | < δ ocorre obrigatoriamente: |f(x) - L | < ε.

[2] Existência do Limite (Teorema)

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax →→→

∃⇒=−+

[3] Propriedades dos Limites

• Quando existem )(lim xfax→

e )(lim xgax→

:

1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax →→→

+=+

2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax →→→

−=−

3. )(lim.)](.[lim xfkxfkaxax →→

= (k uma

constante) 4. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf

axaxax →→→×=×

• Quando existem )(lim xf

ax→e )(lim xg

ax→, com

0)(lim ≠→

xgax

:

5. )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax→

→

→=

• Quando )(lim Lxf

ax=

→e k é um número

real para o qual Lk está definido: 6. kk

ax

k

axLxfxf ==

→→)](lim[)]([lim

• Para qualquer constante k: 7. kk

ax=

→lim e 8. kx

kx=

→lim

• Se P(x) e Q(x) são polinômios, então

9. )()(lim aPxP

ax=

→

10. 0)a(Q se ,)a(Q

)a(P

)x(Q

)x(Plim

ax≠=

→

[4] Símbolos de Indeterminação

∞−∞ ; 0×∞ ; 0

0;

∞

∞; 0∞ ; 00 ; ±∞1

• Quando, durante o cálculo de um limite, aparecerem os símbolos de indeterminação, a indeterminação deverá ser "levantada", isto é, ela deverá ser eliminada mediante operações de simplificação das expressões envolvidas naquele limite.

[5] Continuidade: Uma função f é contínua em a , se

(1o) f(a) está definida;

(2o) )(lim xfax→

∃ ;

(3o) )()(lim afxfax

=→

• Quando f(x) não é contínua no ponto a diz-se que há uma descontinuidade de f neste ponto.

• Uma função f(x) é contínua num

intervalo aberto a < x < b ( x ∈ ]a,b[ ) se, e somente se, ela for contínua em cada um dos pontos x deste intervalo.

[6] Limites no Infinito • Quando existem )(lim xf

x ∞→e )(lim xg

x ∞→:

1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfxxx ∞→∞→∞→

+=+


−=−

3. )(lim.)](.[lim xfkxfkxx ∞→∞→

= (k uma constante)


×=×

5. )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

x

x

x∞→

∞→

∞→= , com 0)(lim ≠

∞→xg

x

3


6. Se k

xxf )](lim[

∞→ está definido para um número

k, então : k

x

k

xxfxf )](lim[)]([lim

∞→∞→=

7. )(lim)...(lim )(lim 10

nn

x

nn

xxxaxaxaaxP

∞→∞→∞→=+++=

NOTA: Esta propriedade pode ser utilizada

em todos os casos de limite no infinito mostrados acima.

[7] Exercícios Básicos de Limites [7.1.] Calcule os seguintes limites graficamente:

a) x

x2lim

+∞→ e x

x2lim

−∞→

b) x

x)2/1(lim

+∞→ e x

x)2/1(lim

−∞→

c) 3

1lim

3 −−→ xx;

3

1lim

3 −+→ xx e

3

1lim

3 −→ xx

d) |3|

1lim

3 −→ xx e)

1

1lim

2

1 −

−

→ x

xx

f) 3lim2→x

g) )1(lim 32

0+

→x

x h) )32(lim

0+

→

x

x

i) )(loglim 21

xx→

e )(loglim 20

xx +→

Respostas: a) +∞ e 0+; b) 0+ e +∞; c) limites laterais: -∞ e +∞, a função não tem limite no ponto 3; d) +∞; e) 2; f) 3; g) 1; h) 4; i) 0 e -∞. [7.2.] Calcule os limites:

a) )32(lim5

+→

xx

b) 3

1lim

2

3

1 +

+

→ x

xx

c) 2

2

2 )2(

1lim

−

+++→ x

xx

x d)

7

4lim

+∞→ xx

e) 2

7lim

2 +

++−→ x

x

x f)

3

4lim

2

3 −

+−→ x

x

x

Respostas: a) 13; b) 1/2 ; c) sugestão: adotar 2+ = 2+ε, +∞; d) 0+; e) -2+ = -2+ε; Resp: +∞; f) 3- = 3-ε; Resp:-∞. [7.3] Calcule os limites

a) 2

2

0 4

5lim

x

xx→

b) x

xx 4

7lim

2

0→

c) 20 4

5lim

x

xx→

d) 2

2

4

5lim

x

xx ∞→

e) x

xx 4

7lim

2

∞→ f)

24

5lim

x

xx ∞→

g) 2

208lim

2

2

2 −−

−+

→ xx

xxx

h) 45

16lim

2

2

4 +−

−

→ xx

xx

i)935

18218lim

23

23

3 −++

+++

→ xxx

xxxx

j)353

142lim

23

23

1 ++−

+−+

→ xxx

xxxx

l)132

243lim

23

23

1 +−

++−

→ xx

xxxx

Respostas: a) 5/4; b) 0; c) ∞ ; d) 5/4; e) ∞; f) 0; g) 4; h) 8/3; i) 5/2; j) 0; l) ∞. [7.4.] Calcule os limites:

a) xx

xx +∞→ 1lim

2

b) 2

22lim

2

+

+−∞→ x

xxx

c) 1

lim2

2

+

+∞→ x

xxx

Observação: em caso de indeterminação, dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x que figure na função. Respostas: a) ∞; b) 0; c) 1 [8] Produtos notáveis envolvendo radicais: Os produtos notáveis a seguir são muito importantes. Veja que a finalidade do segundo fator, que é denominado "conjugado" do primeiro fator, é conduzir o produto sempre a um mesmo resultado: a - b (a) ba)b()a()ba).(ba( 22 −=−=+− .

(b) ba)b)aba).(ba( 3 233 233 −=++−

[8.1] Calcule os limites:

a) 3

21lim

3 −

−+→ x

xx

b) 1

1lim

1 −

−→ x

xx

c) x

xxx

−→

2lim

0 d)

x

xx

11lim

3

0

−+→

e) 4

8lim

364 −

−→ x

xx

f) 1

1lim

31 −

−→ x

xx

g) )4(lim 2 +−∞→

xxx

h) )11(lim 22 −−+∞→

xxx

i) )32(lim 2 xxxx

−++∞→


Respostas: a)1/4; b) 1/2; c) ∞; d) 1/3; e) 3; f) 1/3; g) 0; h) 0; i) 1. [9] Limites Fundamentais

1sen

lim0

=→ x

xx

ex

x

x=+

∞→)

11(lim

[9.1] Calcule os limites:

a) x

xx

2

0

senlim

→ b)

x

tgxx 0lim

→ c)

x

kxx

senlim

0→

d) x

x x3)

11(lim +

∞→ e) x

x x)

11(lim −

−∞→ f)

x

x x)

21(lim +

∞→

Sugestões: em (e) fazer -1/x =1/n ⇒ x = -n, como x→-∞ então n→∞; em (f) fazer

nx

12=

de onde x = 2n. Respostas: a) 0; b) 1 ; c) k; d) e3; e) e-1; f) e2. [10] Aplicações da Noção de Continuidade • Teorema do Valor Intermediário: Se f(x)

é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e se f(a) ≠ f(b) então existe pelo menos um valor c pertencente a [a,b] tal que f(c) pertence ao intervalo [f(a), f(c)].

1o Caso:

f(c)

c

f(a)

f(b)

ba

2o Caso:

f(c)

c

f(a)

f(b)

ba

Note que no 2o caso nem todos os valores pertencentes ao intervalo [a,b] satisfazem ao

teorema, no entanto o que o teorema assegura é a existência de pelo menos um ponto que satisfaça aquela condição. A seguir apresenta-se um corolário (um teorema conseqüente) do teorema anterior: • Teorema de Bolzano: Se f(x) é contínua num

intervalo [a,b], e f(a).f(b)<0, então existe c pertencente a [a,b] tal que f(c) = 0.

Observar que: Para que o produto de f(a) por f(b) seja negativo, isto é, f(a).f(b) < 0, é necessário que f(a) e f(b) possuam sinais contrários.

(c,0) pois f(c) = 0

c

f(a) < 0

f(b) > 0

ba

Como f(a) < 0 e f(b) > 0: f(a).f(b) < 0 [11] Aplicação de Limites no Infinito • Cálculo das assíntotas de uma curva

Exemplo 1: Esboçar o gráfico de y = f(x) = 2

73

+

+

x

x

Tem-se que x ≠ 2, ou seja D(f)= R-{2} ⇒ Im(f) = R-{3}

Assíntota vetical x = -2

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

20 Assíntota horizontal y = 3

33lim3

lim2

73lim

33lim3

lim2

73lim

===+

+

===+

+

−∞→−∞→−∞→

+∞→+∞→+∞→

xxx

xxx

x

x

x

xx

x

x

xA reta y = 3 é a assíntota

horizontal de f(x)


−∞==+−

+−=

+

+

+∞==+−

+−=

+

+

−−

−

−→

++

+

−→

−

+

0

1

2)2(

7)2(3

2

73lim

0

1

2)2(

7)2(3

2

73lim

2

2

x

x

x

x

x

xA reta x = -2 é a assíntota

vertical de f(x)

• Para plotar o gráfico, traçar as assíntotas e

atribuir valores coerentes para x obtendo os valores de y.

Exemplo 2: Dar o gráfico de y = f(x) = )12)(15(

7

+− xx

-1 -0.5 0.2 1

-20

y=-7

Calcule os limites e confira as suas respostas:

+∞=+

→

)(lim5

1xf

x

e −∞=−

→

)(lim5

1xf

x

−∞=+

−→

)(lim2

1xf

x e +∞=

−−→

)(lim2

1xf

x

+

+∞→= 0)(lim xf

x e

+

−∞→= 0)(lim xf

x

• Observar: quando x = 0 tem-se que: y = -7


4 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I

Material Auxiliar #04 - Derivadas Prof. Aury de Sá Leite - [email protected]

[1] Definição de Derivada A derivada de uma função y = f(x), indicada por y' = f'(x)=Dxf(x) ou ainda por f ' , relativamente a valores de x∈ D(f), é dada por:

x

xfxxf

dx

dy

x

yxf

xx ∆

−∆+==

∆

∆=

→∆→∆

)()(limlim)('

00

quando o limite existe e é finito. αtgyxf

dx

dy=== ')('

permite calcular o coeficiente angular das retas tangentes à curva y = f(x) em cada um dos pontos desta curva. 1.1.- Teorema: Se a função y = f(x) é diferenciável em x1, então ela é contínua em x1.

Observar que: uma função pode ser contínua num ponto, mas pode não ser diferenciável neste ponto. Veja por exemplo a função f(x) =

32

x no ponto x = 0

[2] Tabela de Derivadas - Parte 1: 1. y = c 1. y ' = 0 2. y = x 2. y' = 1 3. y = u + v - w 3. y' = u' + v' - w' 4. y = xn 4. y' = n.xn-1 5. y = u.v 5. y' = u'v + v'u

6. y = v

u 6. y' =

2v

u v'- vu'

7. vuy = 7. lnu)v'u

vu'(uy' v +=

Observar: c= constante; u, v e w funções de x. Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando a tabela anterior. 1) y= 7x5 - 2x2 - 5x + 7 y'= 35x4 - 4x - 5

2) 21

xyxy =⇒= x

x

xy

22

1' ==

3) 323 2 xxy ==

x

x

xy

3

2

3

2'

3 2

3==

4) 32

3 2

1 −== x

xy

2

3

3 23 5 3

2

3

2

3

2'

x

x

xxxy

−=

−=

−=

5) y=(x + 1).(x - 1) y'= 2x

6) y= (x2+2).(x3+2x+1) y'= 5x4+12x2+2x + 4

7) 12 +

=x

xy

1

1'

24

2

++

+−=

xx

xy

8) 1

22

2

−

+=

x

xy

22 )1(

6'

−

−=

x

xy

[3] Tabela de Derivadas - Parte 2: 8. y = un 8. y = n.un-1.u' 9. y = eu 9. y' = u'.eu

10. y = ln u 10. y' = u

u'

11. y = logb u 11. y' = logb e. u

u'

[3.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando a tabela anterior. 9) y = (x3+2x-1)3 y' = 3. (x3+2x-1)2.(3x2+2)

10) y = 5e4x y' = 20.e4x

11) y = -4e-3x y' = 12e-3x

12) y = ln(5x3 + 2x + 1) 125

215'

3

2

++

+=

xx

xy

13) 32 )23(log += xy

3

2

2)23(

)23(9.log'

+

+=

x

xey

14) 3 25 3xxy −=

)65()3(3

1' 43

225 xxxxy −−=−

[3.2] Exercícios: Derivar e entregar com a resolução e as respostas na seguinte data: ____/____/_______.

1) 652

510

++=xx

y 2) xx

y43

2+=

3) y=3x-2 - 7x-1 + 6 4) 13

72

−

+=

x

xy

5) y = (5 - 2x)10 6) 5)14(

1

+=

xy


7) 3

2

13

+=

x

xy (*) 8)

xy

1=

9) 122 −+= xxy 10) )2).(( xxxxy −+=

11) )ln(3 2xy = 12)323 .5 xexy = (*)

13) )12ln(.3 −= xxy (*) 14) x

xy

ln

2

= (*)

15) x

xy

−

+=

1

1 (*)

IMPORTANTÍSSIMO: Os exercícios marcados com (*) são muito importantes e você deve conferir tanto a resolução dos mesmos como a resposta encontradas com os (as) seus (suas) colegas. [4] Tabela de Derivadas - Parte 3

12. y = sen u 12. y' = cos u .u'

13. y = cos u 13. y' = -sen u.u'

14. y = tg u 14. y' = sec2u.u'

15. y = cotg u 14 y' = -cossec2u.u'

15. y = sec u 15. y' = sec u. tg u. u'

16. y = cossec u

16. y' = -cossec u. cotg u. u'

[4.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando a tabela anterior. 1) xy 2sen= xxxy 2sencossen2' ==

2) )4(sen 23 xy =

)x4cos()x4(xsen24'y 222=

3) xxy cos.sen= xxxy 2cossencos' 22 =−=

4) xxy 4sen5 2= xxxxy 4cos.204sen.10' 2+=

5) xtgxy −= xtgxy 22 1sec' =−=

6) tgx

tgxy

+

−=

1

1

????)cos(sen

2

)1(

sec'

22

2

xxtgx

xy

+

−=

+=

resolver o exercício 6 de outro modo, fazendo antes:

xx

xx

x

xx

x

tgx

tgxy

sencos

sencos

cos

sen1

cos

sen1

1

1

+

−=

+

−

=+

−=


1) xxy cos3sen5 +=

2) xxy cot.=

3) xxxy cossen−=

4) x

xxxy

cos

cossen −= (*)

5) xxxxy cos)2(sen2 2 −−=

6) xx

xxy

cossen

cossen

−

+= (*)

7) xey2sen=

8) )92sec( += xy

9) xy sen=

10) xy cos=

[5] Derivação Implícita [5.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções implícitas

1) 3649 22 =+ yx y

xy

4

9'

−=

2) 7222 =+− xxyyx xyx

yxyxy

2

22'

2

2

−

+−−=

3) 54 =+ xyyx xxyx

yxyyxy

+

−−=

4

3

2

8'


1) 33 22 =+− yxyx

2) 16=+ xyyx

3) 5=+x

y

y

x


[6] Exercícios Resolvidos 1)

7

5

+

−=

x

xy

2) 2222

)464()464(

1 −−+=−+

= xxxx

y

3) 32

2

3 22)43(

)43(

1 −−=

−= xx

xxy

4) 32 sen5 xxy =

5) 32

3 2 )3cos43()3cos43( xxy −=−=

6) xcos1

x2sen5y

−=

7) xexy 32 −=

8) xexy sen.cos=

9) 1

ln2

2

+=

x

x

e

ey

10) x

xy

ln

2

=

11) 53 )(ln xy =

12) xxey x +=

13) 237 xexy =

14) 07544 3223 =+++ yxyx

RESOLUÇÃO & RESPOSTA: Analise as resoluções e resposta dadas na página seguinte com os (as) seus (suas) colegas.

Cálculo Diferencial e Integral I - RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS do Material auxiliar #04 - Derivadas 4 resp. 12

RESOLUÇÃO & RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS

PROPOSTO NO ÍTEM [6] : 1)

22 )7(

12

)7(

)5.(1)7.(1'

+=

+

−−+=

xx

xxy

2) 32

32

)464(

1216)68.()464.(2'

−+

−−=+−+−= −

xx

xxxxy

3) 3 52

352

)433

812)46.()43.(

3

2'

xx

xxxxy

−

+−=−−

−=

−

4)

3433223 cos15sen10cos.3.5sen10' xxxxxxxxxy +=+=

5) 3

31

x3cos43

x3sen8x3sen12.)x3cos43(

3

2'y

−=−=

−

6) 2)cos1(

)2sen5(sen)cos1(2cos10'

x

xxxxy

−

−−=

7) xxxx exxeexxey 323323 32)3(2' −−−− −=−+=

8) ( )xxeexexy xxx 2sensen2sen cossen.cos.sen' +−=+−=

9) 22

2

22

424

22

2222

2

2

)1(

2

)1(

222

)1(

)(2)1(2)'

1('

+=

+

−+=

+

−+=

+=

x

x

x

xxx

x

xxxx

x

x

e

e

e

eee

e

eeee

e

eu

logo,

como: '

'u

uy = podemos escrever,

finalmente: 1

2

)1(

)1(

2

'2

2

2

22

2

+=

+

+=

x

x

x

x

x

e

e

e

e

e

y

10)22

2

)(ln

.ln2

)(ln

.1

ln2'

x

xxx

x

xx

xxy

−=

−

=

11) 433

243 )(ln

153)(ln5' x

xx

xxy ==

12) xxe

xeexeexxey

x

xxxxx

+

++=+++=

−

2

1)1.()(

2

1' 2

1

13) 67(..6.7..6.7'22222 3638363736 exexexexxexy xxxxx +=+=+=

14) 232322 12)158(0158812 yyxdx

dy

dx

dyyx

dx

dyyxyx −=+⇒=+++

Observações: [1] As séries de exercícios que têm data de

entrega programada devem ser entregues exatamente na data marcada.

[2] Você deve guardar um rascunho da resolução dos exercícios (de preferência uma cópia xerox do material que foi entregue) ou deve anotar as respostas para poder conferi-las com que será fornecido pelo professor no final da aula, exatamente na data marcada para a entrega dos exercícios resolvidos.

Cálculo Diferencial e Integral I - RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS do Material auxiliar #04 - Derivadas 4 resp. 13

UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS do Material Auxiliar #04 - Derivadas

Prof. Aury de Sá Leite - [email protected] Exercício [3.2]:

1) 652

510

++=xx

y y' = 5x9 + x4

2) xx

y43

2+=

23

46'

xxy −−=

3) y=3x-1 - 7x-1 + 6=-4x-1 y' = -4x-2

Se: y=3x-2 - 7x-1 + 6 23

2376

76' −− +−=+−= xx

xxy

4) 13

72

−

+=

x

xy

22 )13(

23

)13(

)72(3)13(2'

−

−=

−

+−−=

xx

xxy

5) y = (5 - 2x)10 9)25(20' xy −−=

6) 5)14(

1

+=

xy

6)14(

20'

+

−=

xy

7) 3

2

13

+=

x

xy

7

2 )23()13(3'

x

xxy

++−=

8) x

y1

=

23 22

1

2

1'

x

x

xxxy

−=

−=

−=

9) 122 −+= xxy 12

1'

2 −+

+=

xx

xy

)2).(( xxxxy −+= xxy2

322' −−=

10) )ln()ln( 323 2 xxy ==

xy

3

2' =

11) 323 .5 xexy =

)21(15)3015(' 322522 33xexxxey xx +=+=

12) )12ln(.3 −= xxy

12

6)12ln(3'

−+−=

x

xxy

13) x

xy

ln

2

= 2)(ln

ln.2'

x

xxxy

−=

14) x

xy

−

+=

1

1 2

21

)1('

x

xy

−=

−

Exercício [4.2] : 11) xxy cos3sen5 += xxy sen3cos5' −=

12) xxy cot.= x

xxy

2sencot' −=

13) xxxy cossen−= xy 2sen2' =

14) x

xxxy

cos

cossen −= xtgy 2' =

15) xxxxy cos)2(sen2 2 −−= xxy sen' 2=

16) xx

xxy

cossen

cossen

−

+=

2)(sen

2'

coxxy

−

−=

17) xey2sen= xexy

2sen.2sen' =

18) )92sec( += xy )92tan().92sec(2' ++= xxy

19) xy sen= x

xy

2

cos' =

20) xy cos= y'= x

xy

cos2

sen'

−=

Exercício [5.2]:

4) 33 22 =+− yxyx xy

xyy

dx

dy

32

23'

−

−==

5) 16=+ xyyx xxyx

yyxyy

+

+=

2

2'

6) 5=+x

y

y

x x

yy ='

4r

Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas

5. 14

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Prof. Aury de Sá Leite – [email protected]

[1] Equações de Retas Tangentes e Normais

Problema Modelo 1.1: Achar a equação da

reta tangente à curva 22

12

+

−=

x

xy que passa por

um dos pontos desta curva cuja abscissa é 3. • Pré-requisitos: [1] equação da reta por um ponto (x0,y0) é dada por

r: y - y0 = m(x - x0) [2] onde m é o coeficiente angular da reta r: m = tg α

[3]se x0 = 3 e 22

1

0

20

0+

−=

x

xy ⇒ 1

8

8

23.2

132

0 ==+

−=y ,

logo a reta deve passar por (x0,y0) = (3,1). • Resolução:

αtgmx

xxy ==

+

++=

2

2

)22(

242' coeficiente angular

genérico válido para todas as retas que tangenciam a curva dada. Logo, para x =3 tem-se y' = m = 1/2 e r:

2

1−=

xy .

Problema Modelo 1.2: Achar a equação da reta normal à curva xxy 52 += , tal que a tangente a esta curva faça um ângulo de 45o com o eixo y = 0. • Pré-requisitos: [1] O coeficiente angular de uma reta s perpendicular a uma reta r de coeficiente angular mr = tg α é dado por

ms =rmtg

11−=

−

α, ou seja, mr × ms = -1.

[2] tg 45o = tg 14

=π

• Resolução: Sendo r: xxy 52 += ⇒ ⇒=+= 1 e 52' rmxy

2152 00 −=⇒=+⇒ xx e 61045 0

200 −=−=+= xxy .

Como 11

1 −=⇒−

=⇒= ss

rr mm

mm .

. 6)2(16)()( 00 −−=⇒+−=+⇒−=− xyxyxxmyy s

Exercício 1.1 - Com Resposta: Achar as equações das retas tangente e normal à curva de equação 3xy + x2 = x3- 4y , no ponto onde x = 1. Resposta: Ponto (xo, yo) = (1,0),

αtgmdx

dy===

7

1 , de onde x −7y −1=0 e 7x + y

− 7=0 �� Vide um problema muito interessante no material auxiliar 5E sobre reta normal a

uma curva, mas que deve ser paralela a outra curva dada.

[2] Taxas Relacionadas Problema Modelo 2.1: Uma escada de 5 metros de altura está encostada em uma parede vertical. Se a base da escada está se afastando da parede à razão de 8m/s, a que velocidade desliza a parte superior ao longo da parede, quando a base se encontrar a 3 m da parede? Resolução: vide notas de aula. Resposta: - 6m/s. (o sinal negativo indica que y decresce com relação a t)

Problema Modelo 2.2: Um papagaio de papel está voando a uma altura constante de 40m. O garoto está empinando o papagaio de tal modo que este se move à razão de 3m/s. Se a linha está esticada, com que razão o garoto deve soltá-la quando o comprimento da mesma atingir 50 metros para manter a altura constante de 40m? Resolução: vide notas de aula.

Resposta: 5

9 m/s.

Problema Modelo 2.3: Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5m e para raio da base 1m. O tanque se enche de água à razão de 2m3/min. Calcule a velocidade em que sobe o nível da água quando esta atingiu 2,5 m de altura. Resolução: vide notas de aula.

Resposta: m/min 8

π

5


5. 15

Problema Modelo 2.4 - Com Resposta: Dois carros, um indo para leste à razão de 72 km/h, e outro, para o sul, à razão de 54 km/h, vão se encontrar na interseção das duas rodovias. A que razão os carros aproximam-se um do outro, no momento em que o primeiro estiver a 400m da interseção e o segundo, a 300m? Resolução: vide notas de aula. Resposta: −1500m/min ( a variação é negativa poque a distância diminui com o tempo) . Exercício 2.1 - Com Resposta: Uma régua com 20 cm de comprimento está apoiada numa parede vertical e sua extremidade inferior está sendo afastada desta parede a 12 m/s. A que velocidade desliza a parte superior, quando a base estiver a 12 cm da parede? • Respostas: - 9m/s Exercício 2.2 - Com Resposta: Um menino mantém um papagaio empinado a uma altura de 300m e, o vento, o afasta do menino à razão de 25 m/s. Com que velocidade deve o menino, dar linha, quando o papagaio está a 500 m dele? • Resposta: 20m/s. Exercício 2.3 - Com Resposta: Acumula-se areia em um monte de forma cônica à razão de 0,5 m3/min. O raio da base do monte é, sempre igual à metade de sua altura. Com que velocidade está crescendo a altura deste monte de areia quando este alcança 2m?

Resposta: m/min 2

1

π

Exercício 2.4 - Com Resposta: Duas rodovias interceptam-se perpendicularmente. O automóvel A numa destas rodovias está a 0,5 km da interseção e se move à razão de 96 km/h enquanto o carro B, na outra rodovia está a 1 km da interseção e se move à razão de 120 km/h. A que razão está variando a distância entre os dois carros no instante em que x=1 e y = 1/2, de acordo com o diagrama seguinte:

D

D2 = x2 + y2

B

A

y

x

Resposta: -150,26 km/h aproximadamente Exercício 2.5 - Com Roteiro de Resolução e Resposta: Se o raio de um círculo cresce à taxa de 30 cm/s. A que taxa estará crescendo a área com relação ao tempo quando o raio atingir 120 cm? Qual a taxa do crescimento da circunferência neste mesmo instante? Roteiro para Resolução:

(1) A= dt

dRR

dt

dAR ππ 22 =⇒ ⇒

segcm

dt

dA 2720030.120.2 ππ ==⇒

(2) scmdt

dR

dt

dCRC /6022 πππ ==⇒=

Exercício 2.6 - Com Roteiro de Resolução e Resposta: Uma bola esférica de gelo com 8 cm de diâmetro está derretendo à taxa de 10/π cm3 por minuto. Com que velocidade se reduz a bola quando ela estiver com 2 cm de raio? Roteiro para Resolução:

dt

dRR

dt

dVRVesfera

23 43

4ππ =⇒=

R= 4cm e min/10 3cm

dt

dR

π=

min/ 160)2 ( 3cmcmRparadt

dV==


5. 16

[3] Análise de Gráficos de Funções Pré-requisitos: Valores numéricos da tangente de ângulos notáveis; diferenciabiliade de f(x); derivadas sucessivas.

[3.1] Diferenciabilidade A derivada de uma função f(x) é definida naqueles pontos onde o limite f ' (x)

=x

yx ∆

∆

→∆ 0lim existe. Esses pontos são chamados

pontos de diferenciabilidade (ou de derivabilidade) para f e os pontos onde isto não ocorre são chamados pontos de não-difenciabilidade para f. Exercícios: Trace os gráficos das seguintes funções, verifique os pontos de não diferenciabilidade de cada uma delas, justificando analíticamente sua resposta:

a) y = 32

x b) y = 31

x

c)y= 31

)2( −x

OBSERVAR: Os pontos onde f ' (x)= 0 ou os pontos onde f é não diferenciável são denominados pontos críticos. Geometricamente os pontos que admitem difencial são aqueles em que a curva admite uma reta tangente.

[3.2] Diferencial de y e Cálculos Aproximados

Definição: Se a função y = f(x) admite derivada f’(x) num dado ponto x, denomina-se diferencial desta função à expressão : dy = f’(x) ×××× ∆∆∆∆x.

y=x2+2

½ +∆x

γ∆x

∆ydy= f’(x). ∆x

dx=∆x

½

Seja y= f(x) = x2 + 2, então f’(1/2) = 1= tg 4

π

(0,2)

�� Analise o gráfico anterior para x = 1 Considerações: Já se viu que, se y = f(x) é derivável num intervalo [a,b]:

αtgdx

dy

x

yxf

x==

∆

∆=

→∆ 0lim)('

Note que a fração x

y

∆

∆ tende a um valor

numérico f’(x) quando ∆x→0. Assim, x

y

∆

∆

difere da derivada f’(x) por uma quantidade infinitamente pequena, o que nos permite escrever:

x

y

∆

∆ = f’(x) + γ (1)

De (1) pode-se obter:

∆y = f’(x).∆x + γ.∆x (2) Da definição de diferencial de y ( dy = f’(x).∆x ) dada acima e da expressão (2) anterior pode-se escrever: ∆y = dy + γ.∆x (3) como γ é uma quantidade infinatamente pequena cosstuma-se adotar em certos cálculos numéricos a seguinte igualdade aproximada: ∆y ≅ dy (4) ou ainda: xxfxfxxff ∆≅−∆+=∆ )(')()( (5)

que nos permite calcular o valor aproximado da variação de uma função y = f(x) a partir do acréscimo dado à variável independente. Problema de Aplicação 1: Seja calcular y = x2

a área de um quadrado de lado x. Sendo dados x = 20 cm e ∆x= 0,1cm calcule ∆y e o valor aproximado de dy. Resposta: ∆y=f(x+∆x)-f(x)= (x+∆x)2 - x2 ⇒ ∆y = 4,01 cm e dy ≅ f’(x). ∆x= 2x∆x ⇒ dy = 4,00 cm. Problema de Aplicação 2: Dada a função

32

xy = , calcule através de diferenciais, qual a variação aproximada da mesma, quando x decresce de 8 para 7,8. Respostas: =∆≅∆ x).x('fy −0,066947576 (valor

aproximado); ∆y=∆f=3,9333... − 4 = −0,0666... (valor exato).

[3.3] Teorema do Valor Médio

Primeiramente vamos apresentar o Teorema de Rolle que é um caso especial do Teorema do Valor Médio: : Teorema de Rolle: Seja y= f(x) uma função diferenciável no intervalo aberto ]a,b[ e contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f(a) = f(b) = 0, então há pelo menos um ponto c ∈ ]a,b[ tal que f'(c) = 0.


5. 17

baba

Teorema do Valor Médio: Seja y = f(x) uma função diferenciável em ]a,b[ e contínua no em [a,b]. Então existe pelo menos um ponto c ∈ ]a,b[ tal que:

α=∆

∆=

−

−= tg

x

y

ab

)a(f)b(f)c('f .

C

y = f(x)

B

A

c ba

Na figura acima: A = (a, f(a)) e B= (b,f(b) )

f(a)

f(b)

• O Teorema da Média afirma que entre dois

pontos quaisquer A e B sobre o gráfico de um função y = f(x) diferenciável, deve haver pelo menos um lugar onde a reta tangente à curva é paralela à reta secante que passa por A e B. É bom que se observe

que a expressão ab

afbf

−

− )()( fornece o

coeficiente angular da reta secante que passa por A e B e que f'(c) fornece o valor da tgα que é exatamente a inclinação da reta tangente que passa por C.

[3.4] As Derivadas Sucessivas

Se a derivada f’(x) de uma função f(x), for ainda diferenciável, então a derivada de f’(x) será notada como f”(x), sendo chamada derivada Segunda, ou derivada de Segunda ordem, de f(x). À medida que a diferenciabilidade ainda seja possível, poderemos continuar este processo de derivação sucessiva.

Notação: f’(x) = dx

dy ; f”(x)= 2

2

dx

yd ; f’’’(x)

=3

3

dx

yd ; f(4)(x) = 4

4

dx

yd ... f(n)(x) =

)]([ xfdx

d

dx

ydn

n

n

n

= .

Exemplo:

f(x) = 5x3- 7x2 + 4x – 5 ⇒ f’(x) = 15x2-14x+ 4 ⇒

⇒ f”(x) = 30x – 14 ⇒ f’’’(x) = 30 ⇒ f(4)(x) = 0⇒

⇒ f(5)(x) = 0⇒ f (n)(x) = 0, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N, n ≥≥≥≥ 4

[3.5] Estudo de Sinais das Derivadas

Para se provar o teorema a seguir utiliza-se o Teorema do Valor Médio.

TEOREMA: Dada uma função y = f(x) contínua num intervalo [a,b] (isto é: a ≤ x ≤ b) e diferenciável no intervalo ]a,b[ (isto é: a < x < b)

• Se f '(x) > 0 no intervalo a < x < b então f(x) é crescente neste intervalo.

• Se f '(x) < 0 no intervalo a < x < b então f(x) é decrescente neste intervalo.

• Se f '(x) = 0 no intervalo a < x < b então f(x) é constante neste intervalo.

E ainda: • Se f"(x) > 0 no intervalo a < x < b então

f(x) tem concavidade para cima. • Se f"(x) < 0 no intervalo a < x < b então

f(x) tem concavidade para baixo. [3.6] Máximos e Mínimos relativos

• Teorema: Se uma função y = f(x) tiver extremos (máximo ou mínimo) relativos (ou locais), então eles ocorrem ou em pontos onde f ' (x) = 0 ou em pontos de não-diferenciabilidade.

[3.6.1.] Teste da derivada Primeira

• Se f '(x0 - ε) > 0 e f '(x0 + ε) < 0 então f tem um máximo relativo (máximo local) em x0.


5. 18

• Se f '(x0 - ε) < 0 e f '(x0 + ε) > 0 então f tem um mínimo relativo (mínimo local) em x0.

[3.6.2.] Teste da derivada Segunda

Teorema: Supondo que f(x) é duas vezes diferenciável em um ponto x0 com f '(x0) = 0, então (a) se f "(x0) > 0 então f tem um mínimo

relativo em x0.

(b) se f "(x0) < 0 então f tem um máximo

relativo em x0.

(c) se f "(x0) = 0 nada se pode afirmar .

Exercício 3.6.2.1 - Com Roteiro de Resolução e Resposta: Localize os extremos relativos da função f(x) =

x4 - 2x2. Roteiro para Resolução: [1] Fazendo f(x) = 0 vem: f(x) = x4 - 2x2 = x2.(x2-2) = 0 onde as raízes reais desta equação são: 0 (uma raiz dupla) e 2± . [2] O gráfico desta função é o seguinte:

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

[3] f '(x) = 4x3 - 4x e f "(x) = 12x2 - 4 [4] fazendo f '(x) = 0 vem: f '(x) = 4x3 - 4x = 0. A equação 4x. (x2 - 1) = 0 tem para raízes: 0, +1 e -1. [5] Nos pontos onde x = 0, x = 1 e x = -1, as derivadas segundas valem: f "(-1)= 8 > 0 ⇒ f tem um ponto de mínimo relativo em x=-1 f "(0) =-4 < 0 ⇒ f tem um ponto de máximo relativo em x=0 f "(1)= 8 > 0 ⇒ f tem um ponto de mínimo relativo em x=1

Exercício 3.6.2.1 - Com Resposta: encontre os pontos de máximo e mínimo da função y= 2x3 + 3x2 - 12 x - 7. Resposta: (-2,13) é um ponto de máximo relativo e (1,-14) um ponto de mínimo relativo. [3.7] Pontos de inflexão

Os pontos xo onde f ‘(xo) = 0 são ditos pontos críticos, mas nem todo ponto crítico e ponto de máximo relativo ou de mínimo relativo. Veja as funções y = x1/3e y = x3, que têm um ponto crítico em (0,0), mas que não são pontos nem de máximo nem de mínimo, são pontos de inflexã.o

-2

- 8

8

2

-2

2

8

- 8

(0,0) é um ponto de imflexão

(0,0) é um ponto de imflexão

[3.8] Problemas de Máximos e Mínimos Problema Modelo 3.8.1: Ache o retângulo de maior área possível sabendo que o seu perímetro é 100 m. Roteiro para Resolução: [1] Perímetro do retângulo: 2x + 2y = 100 [2] Área do retângulo: A= x.y [3] Substituir y em [2] e derivar. [4] Calcular (igualando a derivada 1a a zero) e analisar o ponto crítico da função, através da derivada segunda. Resolução:

A= - x2 + 50 x; 502 +−= xdx

dA ; fazendo

0=dx

dA obtém-se x = 25; 022

2

<−=dx

Ad de onde A

tem um ponto de máxima em x = 25 (verifique no gráfico a seguir).

x

x

y y


5. 19

10 20 30 40 50

100

200

300

400

500

600

Resposta: Como 2x + 2y = 100 vem que y = 25. Assim o retângulo de máxima área que satisfaz às condições do problema é o quadrado de lado igual a 25m. Problema Modelo 3.8.2: Uma caixa deve ser feita com uma folha de papel cartão medindo 16cm × 30 cm. Quer-se obter uma caixa de maior volume possível recortando-se a cartolina de acordo com o desenho abaixo. Qual o valor de x?

xx

Algumas Informações: Algumas Informações: Vparalelepípedo= área da base × altura = 4x3 -92x2 + 480x

480184x12xdx

dV 2 +−= e

12ou x 3

10x0

dx

dV==⇒=

184242

2

−= xdx

dV

0327218434561841224)12( 22

2

>=−=−×=dx

dV

12 é um ponto de mínima

0104184801843

1024)

3

10(

2

2

<−=−=−×=dx

dV

⇒ este é um ponto de máxima Resposta: x = 10/3 cm é ponto de máxima Problema Modelo 3.8.3: Uma ilha está num ponto A, a 6 km de um ponto B na margem de um rio. A sua casa está num ponto C, a 7km de B. Se uma pessoa pode remar à taxa de 4 km/h e caminhar à taxa de 5 km/h onde ele deveria

desembarcar (ponto D) para ir da ilha até sua casa no menor espaço de tempo possível? Algumas Informações:

T(x) =5

7

4

36

54

2 xxCdistânciaDDdistânciaA −+

+=+

T'(x) = 5

1

364 2−

+x

x T'(x) = 0 ⇒x=± 8 que não

pertence ao intervalo [0,7], assim não existem pontos críticos em T(x) e o mínimo absoluto de T(x) deve ocorrer em um dos extremos do intervalo x= 0 ou x= 7. Verifique o valor de tempo mínimo comparando T(0) e T(7). [4] Fórmula de Taylor-Mclaurin Pré-requisitos: • Notação de fatorial de n: n!=1 × 2 × 3 ×

... × (n-1) × n Exemplo: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

• Notação de somatório - alguns exemplos:

54321

5

1

aaaaaai

i ++++=∑=

9753113)12(4

2

+++++−−=+∑−=n

n

[4.1] Vamos partir da suposição que uma função f = f(x) possa ser escrita sob a forma de uma série (somatório) de potências, isto é:

f = f(x) = ∑+∞

=

−0

)(n

nn axc com a-r < x < a+r,

onde c é uma constante real e r é denominado raio de convergência da série. Teorema: Se f é uma função tal que f = f(x) =

∑+∞

=

−0

)(n

nn axc para todo x em um intervalo aberto

que contenha a, então:

+−

+−

+−+=!3

))(('"

2

))(("))((')()(

32 axafaxafaxafafxf

+ )(!

))((...

!4

))(( )(4)(

xRn

axafaxafn

nnIV

+−

++− .

Observação: a fórmula acima, uma série de potências, é denominada série de Taylor e o termo Rn(x) é denominado resto de Lagrange. O resto de Lagrange permite exprimir o resíduo ou resto após o enésimo termo da série.

• Este Teorema será provado em sala de aula


5. 20

[4.2] Corolário do Teorema anterior:

Se f(x) = ∑+∞

=

×0n

nn xc para todo -r < x < r então

f(x) pode ser escrita como sendo:

...!

)0)(0(...

!4

)0(

!3

)0('"

2

)0(")0(')0(

)(4)(32

+−

+++++⋅+n

xfxfxfxfxff

nnIV

(que é denominada série de Mclaurin). •••• A prova deste corolário (conseqüência) é baseada na prova do Teorema anterior, bastando tomar naquele: a = 0.

Exercícios Importantes: 1) Determinar as série de Mclarin para: (a) ex = (b) sen x = (c) cos x =

(d) ln x = para 0 < x ≤2 (e) x−1

1

para |x| <1

Respostas

(a) ex = ∑∞

=

=++++0

32

!...

!3!21

n

n

n

xxxx , ∀x

(b) sen x = ∑∞

=

+

+−=+−+−

0

12753

)!12()1(...

!7!5!3 n

nn

n

xxxxx ,

∀x (c) cos x =

∑∞

=

+−=+−+−0

21

642

)!2()1(...

!6!4!21

n

nn

n

xxxx ,∀x

(d) ln x = =−−+−−− ...)1(3

1)1(

2

1)1( 32 xxx

2

1

1

)1()1(

−−

=∑∞

=

+

xnn

n

, que converge para ln x quando

0<x≤2.

(e) ∑∞

=

=+++=− 0

2 ...11

1

n

nxxxx

, para |x| <1

2) Determine a série de Taylor para a função f(x) = sen x

com a = ππππ/6.

Resposta:

...!4

)6

(

2

1

!3

)6

(

2

3

!2

)6

(

2

1)

6(

2

3

2

1sen

432

+

−

+

−

−

−

−−+=

ππππ

xxxxx

[5] NOTAS SOBRE AS DERIVADAS:

[5.1] Regra de L'Hôspital Se

0)(lim =→

xfax

e 0)(lim =→

xgax

,

ou se ∞=

→)(lim xf

ax e ∞=

→)(lim xg

ax

então

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfaxax →→

=

Exercícios de Aplicação da Regra de L'Hôspital 1) Calcular os seguintes limites utilizando a

regra de L'Hôspital:

a) =→ x

xx

senlim

0 b) =

−

→ x

xx

cos1lim

0 c)

=−

−

→ 2

4lim

2

2 x

xx

d) =−

→ 30

1lim

x

e x

x e) =

−

+∞→ )/1sen(lim

3/4

x

xx

Respostas: a) 1; b) 0; c) 4; d) +∞; e) 0

Calcular os seguintes limites utilizando a regra de L'Hôspital:

a) =+∞→ xx e

xlim

b) )u u.cotg cossec.(

1lim

cossec

lnlim

00 −=

++ →→ xx

x

xx

Respostas: a) 0; b)

00.1lim.sen

lim00

=−=

−

++ →→tgx

x

x

xx

[5.2] Regra da Cadeia

Suponha que y seja uma função derivável em u, e seja u uma função derivável em x. Então y é uma função composta de x e: Exemplos:

[1] Calcular dx

dy sendo y = u3 - 3u2 + 5 com u =

x2 + 2.

Resolução: uudu

dy63 2 −= e x

dx

du2= temos

que

)2(6)2)(63( 232 +=−== xxxuudx

du

du

dy

dx

dy

Tente substituir a expressão u na expressão y e derivar para verificar o resultado anterior.

[2] Calcular dx

dy quando x = 1 sendo dados y

=1

1

+u e

u = 3x2 - 1. Resposta:

222 )13(

6

)1(

6

−=

+=

x

x

u

x

dx

dy e 3

2

9

6)1( ===x

dx

dy


5. 21

[5.3] Derivada das Funções Trigonométricas Inversas [5.3.1] Dada a f(x) = y = arc sen x, com

f: [-1,1] → [2

,2

ππ− ], podemos rescrevê-la

como sendo:

x = sen y com y ∈[2

,2

ππ− ] (1)

Derivando a expressão (1) em relação a x vem:

y

yyydx

yd

dx

xd

cos

1''.cos1

)(sen)(=⇒=⇒= (2)

Como sen2 y + cos2 y = 1 podemos escrever:

cos y = y2sen1− (3)

substituindo (3) em (2) obtém-se:

y

y2sen1

1'

−= (4)

substituindo (1) em (4) obtém-se:

21

1'

xy

−= .

Generalizando: ' .

1

1' s arc

2u

uyueny

−=⇔=

[5.3.2] Para f(x) = y = arc cos x, f: [-1,1] → [0,π ], de forma análoga a anterior, pode-se obter:

' .1

1'u cos arc

2u

uyy

−

−=⇔=

[5.3.3] Para f(x) = y = arc tgx, f: R →

[2

,2

ππ− ]

podemos reescrevê-la como:

x = tg y com y ∈[2

,2

ππ− ]

(1) Derivando a expressão (1) em relação a x vem:

y

yyydx

ytgd

dx

xd2

2

sec

1''.sec1

) ()(=⇒=⇒=

(2) Como sec2 y = tg2 y + 1 podemos escrever:

1

1'

1

1'

22 +=⇒

+=

xy

ytgy

Generalizando: ' .

1

1'u tgarc

2u

uyy

+=⇔=

[5.3.4] Para f(x) = y = arc cotgx, f: R →[ π,0 ], de forma análoga a anterior, pode-se obter:

' .1

1'u cotg arc

2u

uyy

+

−=⇔=

Tabela de Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas

15. y = arc sen u 16. ' .1

1'

2u

uy

−=

16. y = arc cos u 17. ' .1

1'

2u

uy

−

−=

17. y = arc tg u 18. ' .1

1'

2u

uy

+=

18. y = arc cotg u 19. ' .1

1'

2u

uy

+

−=

19. y = arc sec u 20. ' .1.||

1'

2u

uuy

−=

20. y = arc cosec u

21. ' .1.||

1'

2u

uuy

−

−=

Observação importante: As derivadas acima indicadas como u'

devem ser entendidas como 'xu , isto é, derivadas com relação a

x.

[5.4] Derivada das Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas fundamentais são: 1) O seno hiperbólico de x:

2senh

xx eex

−−=

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

2) O co-seno hiperbólico de x:

2cosh

xx eex

−+=

-4 -2 2 4

-1

1

2

3

4

3) A tangente hiperbólica de x:

xx

xx

ee

ee

x

xxtgh

−

−

+

−==

cosh

senh


5. 22

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Observação: As funções hiperbólicas inversas são definidas a seguir:

xcosh

1x hsec =

senhx

1x hseccos =

senhx

xcoshxcotgh =

Tabela de derivadas das Funções Hiperbólicas:

y= senh u dx

duu

dx

dycosh=

y= cosh u dx

duu

dx

dysenh=

y= tgh u dx

duuh

dx

dy 2sec=

y= sech u dx

duuu

dx

dy tgh sech −=

y= cossech u dx

duuu

dx

dycotgh sech cos−=

y= cotgh u dx

duu

dx

dy 2cosech−=

Algumas propriedades das funções hiperbólicas:

• cosh2x - senh2 x = 1 • 1 - tgh2 x = sech2 x • cotgh2 x - 1= cossech2 x

Cálculo da Derivada de Funções Hiperbólicas

Inversas

Seja: y = arg senh x ⇔ x = senh y

yyyy

dx

yd

dx

xd

cosh

1''.cosh1

)(senh)(=⇒=⇒=

como cosh2x - senh2 x = 1, podemos escrever

que:

22 1

1'

senh1

1

cosh

1'

xy

xyy

+=⇒

+==

de onde:

y = arg senh u '.1

1'

2u

uy

+=

y = arg cosh u '.1

1'

2u

uy

−= com u >

1 A Catenária: As funções hiperbólicas têm grandes aplicações na modelagem de problemas mecânicos que envolvam movimentos vibratórios e onde a energia mecânica seja gradualmente absorvida pelo meio ambiente. Elas também ocorrem nos casos em que cabos flexíveis e homogêneos sejam suspensos entre dois pontos, como os casos de linhas de transmissão de energia elétrica e cabos telefônicos. A curva formada por estes cabos é denominada catenária (do latim: catena - cadeia). Pode-se mostrar utilizando-se princípios da Física que a

equação da catenária é b

xay cosh.= .

x

y

Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #06 – Integrais

6.23

6 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #06 - Integrais


NOTAR QUE:

O que se estudou até agora foi o Cálculo Diferencial, a partir daqui estaremos estudando o

Cálculo Integral.

[1] O Conceito de Integral Indefinida

[1.1] A Antiderivada Definição: Uma função F é chamada antiderivada de uma função f em um dado intervalo I se F '(x) = f(x) para todo x∈I. Exemplo: a função F(x) = 5x2 + 4x - 6 é a antiderivada de f(x) = 10x + 4 = F’(x) no intervalo ]−∞, +∞[. No entanto, F(x) não é a única antiderivada possível para f(x) neste intervalo. Note que F(x) = 5x2 + 4x + c, para qualquer valor real de c também satisfaz à condição. Assim, poderíamos ter que: F(x) = 5x2 + 4x –10, F(x) = 5x2 + 4x ou F(x) = 5x2 + 4x + 3 poderiam ser a antiderivada de f(x)= 10x + 4.

TEOREMA: Se F(x) for qualquer antiderivada(*) de f(x) em um intervalo I, então para qualquer constante c a função F(x) + c é também uma antiderivada de f(x) naquele intervalo.

Exercícios: Calcule as antiderivadas das funções abaixo

a) f(x) = 5

5

1x ⇒ F(x) =

b) f(x) = sen x ⇒ F(x) =

c) f(x) = 6x2 - 4x + 5 ⇒ F(x) =

d) f(x)= 36

5

43

23

+−+xxx

⇒ F(x) =

NOTAR QUE: O processo de encontrar antiderivadas é chamado de antidiferenciação ou integração.

[1.2] Integrais - Fórmulas Imediatas e Propriedades

1. ∫ += cxdx

2. ∫ ∫= dxxfcdxxfc )(.)(.

(*) A antiderivada de f(x) é também chamada primitiva de f(x).

3. ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

4. ∫ ∫∫ +=+ dxxgcdxxfcdxxgcxfc )()()](.)(.[ 2121

5. ∫ +

+=

+

cn

xdxx

nn

1

1

[1.3] Exercícios: Calcule as integrais

a) ∫ =+ dxx )53( b) ∫ =dxx3 2

c) =+∫ dxxx

)11

(44

d) =−∫ dxxx )35( 24

[2] Integração por Substituição (u,du) Como obter a primitiva de f(x) para a seguinte integral:

I = dxxxdxxf ∫∫ += 212)( ?

Note que nenhuma das fórmulas anteriores serviria para calcular a primitiva da f(x). No entanto pode-se utilizar um artifício que permitirá a obtenção do que foi pedido. • Podemos fazer uma mudança de variáveis:

seja adotar: 1+x2 = u ⇒ du = 2x dx, assim teremos:

=+===+= ∫∫∫ cu

duuduudxxxI

23

122

3

212

cxx

cx

cx +++

=++

==++=3

1).1.(2

3

)1(2)1(

3

2 22322

32

�� Tente derivar a primitiva F(x) para obter f(x). IMPORTANTE: Resolver: I=

=+∫ dxxx 213


6.24


a) ∫ =+ dxx 43 b) ∫ =+ dttt 82 )35(

c) =−∫ dxxx 5 32 47 . d) =−∫ 25x

dx

Respostas:

a) cx ++ 23

)43(9

2 b) ct ++ 92 )35(54

1

c) cx +−− 5

63 )47(

72

5 d) cx +− 255

2

[2.2] Exercícios para fazer e conferir: Calcule as integrais através da substituição do tipo "u,du"

a) cx

dxxx +−

=−∫ 80

)35()35( .

8372

b) cxdxxxdxxx +−−

=−=− ∫∫32242 )41(

12

141.4

c) cxxdxxx

xx+++=

++

+∫ 2

123

23

2

)13(3

2

13

2

[2.3] Exercícios: Calcular as integrais utilizando as substituições indicadas em cada caso:

a) Exercício importante I= ∫ =− dxxx 1. a1) adotando u = 1−x

a2) adotando u = x − 1 b) Exercício importante

I= ∫ =+1

x

dxx b1) adotando u =

1+x b2) adotando u = x +1 c) Exercício importante

I= =−∫ dxxx .)1( 71

adotando 1 − x = y7

d) I= =−∫ dxxx .3 2 adotando u = x−3

e) I= =−∫ dxx

x )2

12( adotando u = x2

f) I= =+

∫ dxx

x

3 adotando u= 3+x

g) I= =−∫ dxxx )23( adotando u = x

Respostas: a1) u

= 1−x ⇔ u2= x−1 ⇒ x = u2 + 1 ⇒ dx = 2u du:

I= cxx

+−

+−

3

)1( . 2

5

)1( . 2 35

a2) u = x − 1 ⇒ du = dx e x = u + 1

( ) =−==−= ∫∫∫ duuduuuduuuI u u- 1 21

23

= cxx

+−

+−

3

)1( . 2

5

)1( . 2 35

b1) u2 = x +1 ⇒ x = u2 − 1 ⇒ dx = 2u du

b2) u = x + 1 ⇒ du = dx e x= u-1

I= cxx

++−+

1 . 23

)1( . 2 3

c) 1 − x = y7⇒ x = 1 − y7⇒ dx= -7y6 dy de onde:

I= cyy

dyyyy ++−

=−∫ 15

7

8

7)7).(-(1 .)(

158677

17

d) I= cx

xx +−

−−+−−7

)3(2)3(

5

12)3(6

643

e) I= cxx

+− 23

)2( 3

f) I= cxx ++−+ 36)3(3

2 3

g) I= cxx

+−3

4

5

6 35

[3] - Integrais - Formulário (continuação)

6. ∫ += cudu

uln

1

7. cedue uu +=∫

[3.1] Exercícios: Calcule as integrais a)

I= =+∫ 22x

dx (importante) b) I = ∫ =

+dx

xba

tgxx

sec

.sec

c) I= =−

−+∫ dx

x

xx

2

42

Sugestão: dividir os polinômios e representar o polinômio, de acordo com a fórmula:

P = DQ+R ⇒ D

RQ

D

P+=

d) I= =∫ dxxe x 23 e) I= =∫ xe x 2cos.2sen

f) I= ∫+12

2

x

x

e

dxe g) I= ∫ =+1

3

x

dxx

Respostas:


6.25

a) I= cxcxcx ++=++=++ 1ln22ln)22ln( 2

1

???

b) I= cxbab

++ )secln(1 c) cxx

x+−++ )2ln(23

2

2

d) I= ce x

+3

3

e) I= ce x +2sen

2

1

f) I= cece xx ++=++ 1)1( 2212

h) Observar que: =+1

3

x

x x2 - x + 1 - 1

1

+x

I= cxxxx

++−+− )1ln(23

23


8. ∫ +−= cuduu cos sen

9. cuduu +=∫ sen cos

10. cucuduu +−=+=∫ coslnsecln tan

11. cuduu +=∫ senln cot

12. ctguuduu ++=∫ secln sec

13. cuuduu +−=∫ cot cossecln cosec

14. ∫ += c sec du tansec uuu

15. ∫ += c cossec- du cotseccos uuu

16. ∫ += c u an du sec2 tu

17. ∫ += c u co- du cossec 2 tu


a) I= =∫ dxx 4sen b) I = ∫ =dxx

3cos

c) I= ∫ =dxx

xtan d) I = ∫ =dxxx 23cot

e) I = ∫ =dxx 4sec f) I= =∫ dxxx

seccos1

g) I= ∫ =dxxx

4tan.

4sec h) ∫ =dx

xx

4tan.

4sec2

i) I= ∫ =dxx

xx lncot.lnseccos

j) I= ∫ =dxxx cos.sen k) I= ∫ =+ dxx )13(sec2

l) I= ∫ =dxee xx 323 seccos

Respostas: a) u = 4x ;

I= cx

+−

4

4cos b) u =

3

x ; I =

cx

+3

sen.3

c ) u =x1/2 ; I= cx |sec|ln2 21

d) u = 3x2; I= cx +|3sen|ln6

1 2

e) u =4x; I= cxtgx ++ |44sec|ln4

1

f) u = x ; I= cxx +− |cotseccos|ln2

g) u =4

x ; I= cx

+4

sec4

i) u = dxx

dux

4

1.

4sec

4tan 2=⇒

ou tgxdxxduxu .secsec =⇒=

j) xu sen= ou xu cos= (confira a resposta) k) u = ln x; I= - cossec ln| x| + c

l) u = e3x; I= ce x +3cot3

1


18. ∫ += c 2u sen

4

1 -

2

u du sen 2 u

19. ∫ ++= c 2u sen

4

1

2

u du cos2 u


a) I= =∫ dx 2cos2 x b) I= =∫ dx x cos.sen 32 x

c) I= =∫ dx 2sen3 x d) =∫ dx2x 2x.sen cos 34

Respostas:

a) I= cx

x +

+

4

4sen

2

1 b) I= cxx

+−5

sen

3

sen 53

c)

I= cxx

+−−

6

2cos

2

2cos 3

d)

I= cxx

++−

14

2cos

10

2cos 75


6.26

[6] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS (miscelânea)

1) I= ∫ ∫∫∫ −+=

−+=

−

+

34

3

41

3

1

x

dxdxdx

xdx

x

x de

onde obtemos I cxx +−+= 3ln4

2) I= ( ) =+∫ dxee xx .232

u= dxedue xx 223 =⇒+ 3+2

logo: I= cecu

duu x ++=+=∫3

32 )23(

6

1

32

1

2

1

3) I= ( ) ( )dxeedxe xxx∫∫ ++=+ 22

412923

logo: I= ceex xx +++ 22129

4) I= ( )=

++=

+∫∫ dx

e

e

e

e

edx

e

ex

x

x

x

xx

x

4129

23

22

logo: I= cexedxedxe xxxx +++−=++ −−

∫∫ ∫ 41294129

5) I= ∫ =− x

dx

5

5 u = 5 − x ⇒ du = − dx

I= ∫∫ +−−=−=−

−− cx

u

du

x

dx5ln55

55

6) I= =++

+∫ dx

xx

xx

2

224

3

u= x4 + x2 + 2 ⇒

du=(4x3+2x) dx

I= cxxu

dudx

xx

xx+++==

++

+∫∫ 2ln2

12

1

2

)2(2

2

1 2424

3

7) I= =∫ dxxx cossen 2 u= sen x ⇒ du = cos x dx

de onde: I= cx

cu

duu +=+=∫ 3

sen

3

332

8) I= cx

cuu

du

x

dx+

−

−=+

−==

−

−−

∫∫4

455

834

3

4

33

83

9) I= =∫ dxx

xln u= ln x ⇒ du = x

1 dx

logo: I = cx

cu

udu +=+=∫ 2

)(ln

2

22

10) I= =∫ dxx

e xln

u= ln x ⇒ du = x

1 dx

assim: I= cecedue xuu +=+=∫ln

11) I= ce

dxex

x +−

=∫−

−

8

44

[7] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - (Difíceis)

1) I= =++=+ ∫∫ dxxxdxx )2tan2tan21()2tan1( 22

∫ ∫ ∫ =−++= dxxxdxdx )12(sec2tan2 2

∫ ∫ ∫ ∫ =−++= dxxdxxdxdx 2sec2tan2 2

21 II += ∫ = ?

� fazendo u = 2x ⇒ du = 2dx em I1=

∫ =dxx 2tan2

I1= ∫ =duu tan ln |sec u|+ c = ln |sec 2x|+ c1

� fazendo u = 2x ⇒ du = 2dx, vem

I2= =+== ∫∫ 222 tan

2

1sec

2

1 2sec cuududxx

I2 22tan2

1cx +=

Veja que "c1 + c2" pode ser trocada por "c", logo:

I = ln |sec 2x|+ cx +2tan2

1

2) I= =+∫ dxxxtg 2)2sec2(

I= =++∫ dxxxxtgxtg 222 )2sec2sec222(

I= =++−∫ dxxxxtgx 222 )2sec2sec2212(sec

I= =+−∫ ∫∫ dxxxtgdxxdx 2sec2212sec2 2

I = tg 2x + sec 2x - x + c

3) I= =

−

=− ∫∫

x

x

x

dx

xx

dx

2sen

2cos

2sen

12 cotg2 cossec

∫∫ −=

−= dx

x

x

x

xdx

2cos1

2sen

2sen

2cos1

Fazendo: u = 1− cos 2x ⇒ du = 2sen 2x dx

I= cxcuu

du+−=+=∫ |2cos1|ln

2

1||ln

2

1

2

1

4) I= =+=+

∫∫∫ dxx

xdx

xdx

x

x222 sen

cos3

sen

2

sen

cos32

= =+ ∫∫ dxxx

xdxx

sen

1.

sen

cos3 seccos2 2

= =+ ∫∫ xdxtgxdxx seccos.3 seccos2 2

cxgx +−−= seccos3cot2


6.27

5) I= =−+= ∫∫∫ tgxdxxxdxtgxtgxdxtg ).1(sec . 223

∫ ∫∫ =−=−= tgxdxtgxdxxdxtgxtgxx .sec).(sec 22

cxxtg

+−= |sec|ln2

2

Notar que: se u= tg x ⇒⇒⇒⇒ du = sec2x dx

6) I= ∫∫∫ =−== xdxtgxxdxtgxtgxdxtg 22224 ).1(sec.

21222 .sec IIxdxtgxdxtgx +=−= ∫∫

I1= 1

3

1

3222

33.sec c

xtgc

uduuxdxtgx +=+=== ∫∫

I2= =−== ∫ ∫ dxxxdxtg )1(sec22

22 1sec cxtgxdxxdx +−=−= ∫ ∫

Logo: I = cxtgxxtg

++−3

3

Em caso de dúvida consulte seus colegas!

Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #07 – Integrais Definidas e Aplicações

7.28

7 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e IntCálculo Diferencial e IntCálculo Diferencial e IntCálculo Diferencial e Integral Iegral Iegral Iegral I Material Auxiliar #07 - Integrais Prof. Aury de Sá Leite - [email protected]

[1] Integrais Definidas Definição: A integral definida de f(x), de a até b, é igual à

diferença: F(a) - F(b))(dx )(b

a

=== ∫∫=

=a

bxFfdxxf

bx

ax

onde F(x) é uma antiderivada de f(x).

Nota: O símbolo ∫b

a

dx f é lido "a integral

definida de f(x) de a até b" sendo que os números a e b são denominados limites de integração. [1.1] Exemplo: Calcular o valor das integrais

a) I= =+∫ dxxx )46(3

1

2

b) I= =∫ dxxx )cos.(sen2

0

π

c) I= =∫e

ex

31

[1.2] Exercícios: Verificar os resultados

a) 15)1(8 31

0

2 =+∫ dxxx b) 12

1)(

1

0

32∫ =− dxxx

c) 2

1ln

1

=∫e

dxx

x d) )(55 51

0

5 eedxe x −=∫

[2] Cálculo da Área sob uma curva

Considere o gráfico da função y = f(x), contínua num intervalo [a,b] como dada a seguir :

∆∆∆∆x∆∆∆∆x∆∆∆∆x∆∆∆∆x∆∆∆∆x x

y

ba

y = f(x)

∆∆∆∆x =n

ab −

b −−−− a

Seja calcular a área limitada pelo o eixo dos x e a curva, desde a até b. A região que denominaremos R, cuja área desejamos calcular, é limitada pelas retas: x = a; x = b ( retas verticais) e y = 0 (reta horizontal) e pela curva y = f(x). Método dos Retângulos • Divida o intervalo [a,b] em "n"

subintervalos iguais, isto é, cada intervalo deve ter a "medida constante"

n

abx

−=∆ .

• Para cada um destes subintervalos construa um retângulo cuja altura seja o valor de f(x) em algum ponto do subintervalo (veja a posição das setas na figura anterior);

• A união de todos estes retângulos chamaremos Rn que poderemos considerar como uma aproximação da área A da região R.

• Assim poderemos definir a área R como sendo: A = área da região R = )R (lim n

deárea

n ∞+→

[3] Integral de Riemann

Definição: Dizemos que uma função é Riemann-Integrável ou simplesmente integrável em um intervalo finito e fechado [a,b], se o limite

∑∫=

→∆∆=

n

kkk

x

b

a

xxfdxxf1

*

0max)(lim)(

existir e não depender da escolha da partição (tamanho dos intervalos tomados sobre o eixo dos x) ou dos pontos *

kx no subintervalo. [4] Exemplo Importante

Seja calcular as seguintes integrais e analisar os resultados:

(a) =∫2

0

xdxsen

π

(b) =∫π

0

sen xdx (valor obtido devido à simetria do gráfico)


7.29

(c) ∫ =

π2

0

sen xdx

Gráfico de (a) Gráfico de (c)

π 2π

-1

1

π 2π

-1

1

[5] Aplicações de Integrais

[5.1] Cálculo de Áreas planas

Problema 1: [A ser resolvido em sala de aula] Dada a curva y = x3 − 6x2 + 8x, ache a área sob o arco de curva que vai desde a interseção com o eixo Oy até a primeira interseção com Ox à direita da origem do sistema cartesiano.

1 2 3 4

-4

-2

2

4

Resposta: área de unidades 4Área = Problema 2: [Resolvido]

Calcule a área entre a curva x2 = 16 - 4y e o

eixo Ox.

1o Passo: Esboçar o gráfico.

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3

4

2o Passo: Montar a integral.

=−−+−

=

−=+

−∫−

)1612

64()16

12

64(

4-

4 x4_

12

xdx)4

4

x(

34

4

2

3

64

3

963232

3

3232

12

128=

+−=+

−=+

−= unidades de área

Observar que, devido à simetria da figura com

relação a Oy: =

−=+

−×= ∫ 0

4 x4_

12

x2dx)4

4

x(2A

34

0

2

área.u3

64

3

9632)16

3

16(2)0()16

12

64(2 =

+−=+

−=−+

−=

Problema 3: [Resolvido] Calcule a área compreendida pela curva dada pela equação

22 )2( −= xxy .

A função dada equivale a: 2)2( −±= xxy cujo gráfico possui

duas regiões simétricas com relação ao eixo Ox, é:

1

-1

1

x)2x(y −−=

x)2x(y −=

(0,2)

A1= =−−=−−= ∫∫∫ dx)x2x(dx)x2xx(ydx 2

12

0

2

32

0

2

0

= =−+−=+− 0)x23

22

5

2(

0

2

23x

2

25x 35

2

3

2

5

15

216

15

240224

3

28

5

28=

+−=+

−

Resposta: Área Total = 2A1=15

232

15

2162 =× u. de

área


7.30

Problema 4: [A ser resolvido em sala de aula] Calcular a área entre as curvas (1) y = x e (2) y = 6x-x2.

Esboço do gráfico:

(1)

(2)

=−= ∫ dx)yy(A 1

5

0

2

Resposta: 6

125 unidades de área

Problema 5: [Com resposta] Se uma superfície está delimitada por y = 0 e y = x2 + 3 desde a reta x = −1 até a reta x = 2, qual é a sua área?

-2 -1 1 2 3

4

5

6

7

8

9

Problema 6: Calcule a área limitada pelas curvas

(1) y = 4 − x2 e (2) y = 4 − 4x.

Gráfico:

y

y2

y1

4

(4,-12)

∫∫∫ =+−−=−==

4

0

24

0

21

4

0

dx)x44x4(dx)yy(dx yA

=+−= ∫ dx )x4x(4

0

2

= área.u3

32

Problema 7: Achar a área limitada pelas curvas:

x2y = x2 − 1 e as retas y=1, x=1 e x=4

222

x

11y1xyx −=⇔−=

onde: para x = 1 ⇒ y = 0; para x = 0 ⇒ y → +∞ e para x → +∞ ⇒ y = 1

Resposta: área de unidades 4

3

Problema 8: PROBLEMA IMPORTANTE Calcular a área delimitada pelas curvas: (1) y2 = 4x e (2) y = 2x −−−− 4 utilizando

(a) retângulos elementares verticais; (b) retângulos elementares horizontais.

Resposta: Área Total = 9 unidades de área

Problema 9: PROBLEMA IMPORTANTE - Resolvido Calcular a área delimitada pelas curvas: (1) y2 = 6x e (2) x2 = 6y utilizando (a) retângulos elementares verticais; (b) retângulos elementares horizontais.

Resposta: 12 unidades de

área


7.31

a) ∫∫∫ =−=−=

6

0

26

0

2

16

0

2

dxx6

1dxx6dx)

6

xx6(A

=−−=−= 0)3

6.

6

1

3

6.62(

0

6

18

x

3

x26

3332

3

área de nidadesu 123

36

3

36

3

72==−=

b) 12...dyy6

1dyy6dy)

6

yy6(A

6

0

26

0

2

16

0

2

==−=−= ∫∫∫

Problema 10: (Para pensar e dicutir com seus colegas)

Calule a área delimitada pelas curvas: y = 0 , y = x e y = x−6;

a) utilizando retângulos elementares verticais b) utilizando retângulos elementares

horizontais

Gráfico:

96

Resposta: Verifique com seus colegas

[5.2] Cálculo de Volumes por Rotação Seja y = f(x) contínua e integrável num intervalo [a,b]

ba

�� A região limitada pelas curvas y = f(x), x = a, x = b e y = 0, ao ser girada em torno do eixo Ox gera uma figura tridimensional denominada sólido de revolução.

h

r

Diferencial deVolume: dV

dx

y

dx

y

O volume do cilindro é dado pela fórmula: V = B.h = ππππ.r2.h de onde ao adotar-se r = y e h = dx pode-se escrever a diferencial de volume dV como sendo:

dxyVdxydVdxy.dVbx

ax

222∫∫ ∫=

=

=⇒=⇒= πππ onde V

representa o volume so sólido gerado pela rotação da curva y= f(x) em torno do eixo Ox. Problema 11 : [A ser resolvido em sala de aula] Mostre que o volume da esfera é dado pela

fórmula: 3r.3

4V π= .


7.32

Problema 12 : [A ser resolvido em sala de aula] Calcule o volume gerado pela rotação da superfície plana limitada por 9x2 + 16 y2 = 144: a) em torno de Oy (tem a forma de um pão de

hambúrguer) b) em torno de Ox (tem a forma de uma bola de

futebol americano) Notaro seguinte:

9

y16144x

22 −

= e 16

x9144y

22 −

=

Respostas: a) V= dyx3

3y

2∫−=

π = 64π unidades de

volume

b) V= dyy4

4x

2∫−=

π = 48π unidades de

volume Problema 13: [Com sugestões e Resposta]

� Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x=2 da superfície limitada pela parábola y2 = 8x e pela reta x = 2. Solução:

a

x2

x1

x = x1 – x2

Volume:

∫=

=

b

ay

2dxxV π

b

πππ15

128dy)

8

y2(dyx

2

V4

0y

224

0y

2∫∫==

=−==

Logo ππ15

256

15

1282V =×=

Problema 14 : [Com sugestões e Resposta]

�� Calcule o volume do sólido de revolução que se obtém girando a superfície plana limitada pela curva y = 4x−x2 e a reta y = 3 ao ser girada em torno da reta y = 3.

3dx

y2

y1

y

4

y = y2 −−−− y1

O s ó l i d o d e r e v u l ç ã og e r a d o d e s t a f o r m a

v a i s e r p a r e c i d o c o mu m b r a c e l e t e

=−−== ∫∫==

3

1x

223

1x

2 dx)3xx4(dxyV ππ

15

16dx)9x24x22x8x(

3

1

234 ππ ∫ =+−+−=

Estude cada um destes problemas e discuta as resoluções com seus colegas.

Prof. Aury de Sá Leite – UNESP/Guaratinguetá/DMA- CDI 1 /2001

Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração

8.33

8 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #08 - Técnicas de Integração

[1] Integração por Partes

� A fórmula da derivada do produto é a seguinte:

u.dx

dvv.

dx

du

dx

)v.u(d+=

que pode ser reescrita sob a forma de diferencial como

d(u.v) = u.dv + v.du ⇒ u dv = d(u.v) – v du que ao ser integrada resulta o seguinte:

∫ ∫ ∫−= du v)v.u(ddv u

de onde poderemos tirar a fórmula de integração por partes:

∫∫ −= du vv.u dv u

[2] Exercícios a serem feitos em Sala de Aula

Resolva por partes as integrais a seguir:

a) =∫ dxe.x x b) =∫ dx xsen.x

c) =∫ dx xln.x d) =∫ dx x2cos.x

Resposta do exercício (d): I = ½ x sen 2x + ¼ cos 2x+c

[3] Exercícios com resposta:

a) c9

xxln

3

xdx xlnx

332 +−=∫

b) cxx5lnxdx xln5 +−=∫

c) c5

xxlnxdx xlnx5

554 +−=∫

[4] Exercícios Modelo - Resolvidos

Exercício Modelo 1: Calcular I= ∫ dx xcos.x .

Fazendo u = x e dv =cos x dx ⇒ du = dx e v =sen x Temos:

I= ∫ ∫ =−= dx vv.udx xcos.x

= ∫ ++=− cxcosxsen.xdxsenxsen.x

Exercício Modelo 2: Calcular I= ∫ dx xln .

Fazendo u = lnx e dv = dx ⇒ du = x

dx e v =x

Temos:

I= ∫ ∫ =−= du vv.udx xln

= ∫ ∫ +−=−=− cxxlnxdxxlnxx

dxxxln.x

Exercício Modelo 3: Calcular I= ∫ dx ex x2 .

Fazendo u = x2 e dv = ex dx ⇒ du = 2x dx e v = ex Temos:

I1 = ∫ ∫∫ =−=−= dxxe2ex dx vv.udx ex xx2x2

2x2xx2 I.2ex dxxe2ex −=−= ∫

Fazendo u = x e dv = ex dx ⇒ du = dx e v = ex

I2 = xexxx exedxexedu vv.udxxe −=−=−= ∫∫∫

Logo: I1 = ce2xe2exI.2ex xxx2

2x2 +−−=−

Exercício Modelo 4: Calcular I= ∫ dxcosx e x .

Fazendo: u = ex e dv = cos x dx ⇒ du = ex dx e v = sen x Temos:

I= ∫ ∫∫ −=−= dxsenexsen.e dx vv.udx x cos e xxx

Fazendo: u = ex e dv = sen x dx ⇒ du = ex dx e v = -cos x I

= ∫∫ −+=− dx xcosexcosexsen.e dxsenexsen.e xxxxx

Note que a integral a ser calculada é a mesma “I” inicial. Podemos assim, escrever o seguinte:

2 × I = cxxexexe xxx ++=⇒+ )cos(sen2

1I cossen.

I


8.34

Exercício Modelo 5: Calcular I= ∫ dxcosx x 2 .

Resolução: Fazer: u = x2 ⇒ du = 2x dx e dv = cos x dx ⇒ v = sen x

I = ∫∫∫ =−=−= dx x2.xsenxsen xdu vuvdv u 2

122 Ixsenx dx x2.xsenxsenxI −=−= ∫

Para calcular I1 fazer: u = x ⇒ du = 2 dx e dv = sen x dx ⇒ v = -cos x

∫∫ +−== ]xdxcosxcosx.[2 dx xsen.x2I1

12 cxsen2xcosx2I ++−=

Logo: cxsen2xcosx2xsenxI 2 +−+=

Exercício Modelo 6: [Difícil] Calcular

I= ∫ − dx )x1ln( .

Fazer : u = ln(1−x) ⇒ du = x1

1

−

− dx e

dv = dx ⇒ v = x

I = ∫∫∫ =−

−−=−= dx

x1

xx)-ln(1 x.du vuvdv u

1I)x1ln(.x dx x1

x)x1ln(.xI +−=

−+−= ∫

Para calcular I1, dividir x por 1-x e indicar a divisão:

∫ ∫∫∫ =−

+−=−

+−=−

= dx x1

1dxdx)

x1

11(dx

x1

xI1

1c )x1ln(xulnxduu

1x ∫ +−−−=−−=−−=

Finalmente: cx)x1ln().1x(c)x1ln(x)x1ln(.xI +−−−=+−−−−=

[5] Integração de funções Racionais pelo Método das Frações Parciais

Motivação: Efetuar a seguinte adição de frações algébricas:

=+

−− 5x

3

1x

2

Tomar a solução da adição anterior e buscar as frações algébricas (frações parciais) que somadas produzam aquele resultado:

5x

B

1x

A

)5x)(1x(

13x

++

−=

+−

+− qual o valor de

A e de B? Exercício Modelo Baseado no raciocínio anterior:

∫ ∫ =

++

−=

+−

+−dx

xxdx

xx

x

5

3

1

2

)5)(1(

13

∫ ∫ +++−=+

+−

c)3xln(3)1xln(2dx5x

3dx

1x

2

[6] Exercício modelo

Resolver a integral: I= ∫ −

−+dx

x4x

20x14x63

2

Solução: 2x

C

2x

B

x

A

)2x)(2x(x

20x14x6

x4x

20x14x6 2

3

2

++

−+=

+−

−+=

−

−+

fatorando x2 – 4 obtém-se: x2 – 4 = (x–2)(x+2) )2x(Cx)2x(Bx)2x)(2x(A20x14x6 2 −+++−+=−+

Fazendo os cálculos obtém-se: A = 5; B = 4 e C = −3

Logo: =+

−+

−+=

−

−+∫∫ dx)

2x

3

2x

4

x

5(dx

x4x

20x14x63

2

c)2xln(3)2xln(4xln5 ++−−+=

[7] Teoria e Exercícios-Modelo Resolvidos

Há quatro casos a serem considerados:

• 1o Caso: O denominador é fatorável em fatores do primeiro grau distintos.

• 2o Caso: O denominador é fatorável em fatores do primeiro grau repetidos.

• 3o Caso: O denominador ao ser fatorado apresenta fatores quadráticos distintos.

• 4o Caso: O denominador ao ser fatorado apresenta fatores quadráticos repetidos.

[7.1.] Exercício Modelo 1 ( 1o Caso):

Resolver a integral: I = ∫ −+

+dx

8x2x

7x2

1o Passo: Fatorar o denominador- Fazendo x2 + 2x − 8 = 0 obtém-se x1 = −4 e x2=2 de onde:x2 + 2x − 8 = a.(x−x1).(x−x3) = 1 . (x+4) . (x−2) (fatoração esta que somente contém fatores do primeiro grau não repetidos). 2o Passo: Igualar e comparar

2x

B

4x

A

)2x)(4x(

7x

−+

+=

−+

+ ⇔⇔⇔⇔ x + 7 = A(x-2) +

B(x+4)

IMPORTANTE: A equação x + 7 = A(x-2) + B(x+4) pode ser facilmente resolvida atribuindo-se ao x os valores das raízes ( 2 e –4) do polinômio encontrado no denominador:

x = 2 ⇒ 9 = 6B ⇒ 2

3B = e x = −4 ⇒ 3 = −6A ⇒

2

1A

−=

Logo:


8.35

I = =−

−+

=−+

+∫∫ dx)

)2x(2

1

)4x(2

3(dx

)2x)(4x(

7x

c)4xln(2

1)2xln(

2

3++−−=

[7.2.] Exercício Modelo 2 (2o Caso):

Resolver a integral: I = ∫ −

+dx

x2x

4x223

Veja que a fatoração: x3 – 2x2 = x2 (x-2) contém o fator x2 que eqüivale a “x.x.” que são fatores do primeiro grau repetidos, assim teremos:

2x

C

x

B

x

A

x2x

4x2223 −

++=−

+ de onde:

2Cx)2x(B)2x(Ax4x2 +−+−=+

e: B2x)BA2(x)CA(4x2 2 −+−++=+ [1] Fazendo em [1]: x = 0 ⇒ B = −2; x =2 ⇒ C = 2 De [1] pode-se tirar ainda, que : A + C = 0 ⇒ A = −C = −2

Logo: I = =−

+−=−

+∫∫∫∫ 2x

dx2

x

dx2

x

dx2dx

x2x

4x2223

cx

2)

x

2xln(2c)2xln(2

x

2xln2 ++

−−=+−++=

[8] Exercícios propostos com respostas: [8.1] Escrever as expressões sob a forma de frações parciais:

a) 1)1(

3

−+=

−

+

x

B

x

A

xx

x Resposta: A = −−−−3 e B = 4

b) 22 )1(1)1(

3

−+

−=

−

+

x

B

x

A

x

x Resposta: A = 1 e B = 4

c) 2222 )1(1)1.(

3

++

+++=

+

+

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

Confira com seus colegas os valores de A, B, C e D

[8.2] Resolver as integrais:

a)

I= =−

+−−∫ dx

xx

2x3x4x324

23

dx 1x

D

1x

C

x

B

x

A2∫

−+

+++

onde: A = 3; B = −2; C = 1; D = -1.

Resposta: I= c)1xln()1xln(x

2xln3 +−−+++

b) I=∫ −+ 2)1x).(1x(

dx Sugestão: A = ¼ ; B = −¼; C= ½

Resposta: I = ¼ ln(x+1) – ¼ ln(x-1) + ½ )1x(

1

−+ c

[9] 3o e 4o casos: fatores quadráticos no denominador

a) I= =+

+−∫ dx

x4x

4xx23

2

Sugestões:

)4x(xx4x 23 +=+

então: 4x

CBx

x

A

)4x(x

4xx222

2

+

++=

+

+− , de onde:

x)cBx()4x(A4xx2 22 +++=+− e A = 1; B = 1 e C = -1.

dx4x

1

4x

x

x

1dx

4x

1x

x

1dx

x4x

4xx22223

2

∫∫∫

+−

++=

+

−+=

+

+−

Usar a seguinte Fórmula: x)a

x(tg

a

1

ax

dx 122

+=+

−

∫

Resposta: I= c)2

x(gcot

2

1)4xln(

2

1xln 2 +−++

b) I= =+

+−+−∫ dx

)1x(x

1xx2x22

23

Sugestões:

então: 22222

23

)1x(

EDx

1x

CBx

x

A

)1x(x

1xx2x

+

++

+

++=

+

+−+−

22

222

22

23

)1x(x

x)EDx()1x(x)CBx()1x(A

)1x(x

1xx2x

+

++++++=

+

+−+−

de onde: A = 1; B = −−−−1; C = −−−−; D = 1 e E=0.

Resposta: I= c)1x(2

1x cotg

2

1)1xln(

2

1xln

2

2 ++

−−++

[10] Integração por Substituição Trigonométrica

�� Em algumas integrais certas expressões sob radicais podem ser substituídas por expressões trigonométricas que acabam por facilitar a integração. �� Será mostrado em aula um esquema que facilita a dedução para as três substituições possíveis, utilizando:

(1o) sen α=a

bu (2o) tg α=a

bu (3o) sec

α=a

bu

(1o caso) 222 uba −

222 uba −

abu

α

(2o Caso) 222 uba +

222 uba +

a

bu

α

tg α=a

bu

u = αtgb

a

du = α2secb

a dα

sen α=a

bu

u = αsenb

a

du = αcosb

a dα


8.36

(3o Caso) 222 uba +−

222 uba +−

a

bu

α

[11] Exercícios Modelo

a) Calcule ∫+ 422 xx

dx

Substituição do tipo 22 bua + com a = 2; b = 1 e u = x

2222 x4uba +=+

a = 2

bu =1.x

α

2

xtg =α ⇒ x = 2 tg α de onde dx = 2 sec2 α dα

I = ==+

=+

∫∫∫ αα

αα

αα

αα

sec2.4

sec2

44)2(

sec2

42

2

22

2

22 tg

d

tgtg

d

xx

dx

αααα

α

α

α

α

αα∫∫∫

−=== d cos.sen4

1d

cos

sencos

1

4

1

tg4

d sec 2

2

22

Fazendo: u = sen α ⇒ du = cos α dα vem:

I = csen4

1c

1

u

4

1duu

4

1 12 +

α

−=+

−×=

−−

∫

Da figura: sen α = 2x4

x

+, então: I =

x4

x4 2+− +c

b) Calcule ∫− 22 x4x

dx

Substituição do tipo 22 bua − com a = 2; b = 1 e u = x

2222 x4uba −=−

a = 2bu =1.x

α

2

xsen =α ⇒ x = 2 sen α de onde dx = 2 cos α dα

I = ∫∫−

=− αα

αα

2222 sen44)sen2(

d cos2

x4x

dx =

==== ∫∫∫ αα

α

αα

ααd α cossec

4

1

sen4cos2.)sen2(

cos2 222

dd

c cot4

1+−= α mas pela figura: cot α =

x

x4 2− ,

então:

I = c4

4

1 2

+−

−x

x

c) Calcule ∫−

dxx

9x 2

Substituição do tipo 22 bua +− com a = 3; b = 1 e u = x

2222 x9uba +−=+−

a = 3

bu =1.x

α

3

xsec =α ⇒ x = 3 sec α de onde dx = 3 sec α tg α

dα

I = ∫∫−

=−

αα

αααd

sec3

tgsec3.9sec9dx

x

9x 22

=

∫∫ ∫ =−=== αααααα d)1(sectg3dtg.tg3 22

∫ ∫ +−=− c3tg3d3dsec3 2 ααααα

Da figura podemos tirar que: tg α=3

9x 2 − e α=arc

sec3

x

A partir do que, pode-se escrever finalmente, que:

I = c3

xsecarc39xc

3

xsecarc3

3

9x3 22

+−−=+−−

sec α=a

bu

de onde: cos

α=bu

a

u = αsecb

a

du = a


8.37

[12] Integrais Impróprias

Denomina-se integral imprópria àquela cujo intervalo de integração é infinito ou que possua assíntotas verticais no extremo ou contida no intervalo de integração. Veja os exemplos a seguir:

(1) Integral imprópria com intervalo infinito de integração:

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

xey −=

=−=== −

+∞→

−

+∞→

+∞

−

∫∫ 0)e(limdxelimdxeI x

0

x

0

x l

l

l

l

1)10()1e(lim =+=+− −

+∞→

l

l

(2) Integral imprópria com descontinuidade infinita num dos extremos do intervalo de integração:

x1

1)x(fy

−== é decontínua em x=1 e não existe para x >1.

-1 -0.5 0.5 1

2

4

6

8

10

[ ] =−−=−

=−

=−− →→ ∫∫ 0

x12limx1

dxlim

x1

dxI

10

1

1

0

l

l

l

l

[ ] 20

212lim1

=+−−=−→

ll

l

(3) Integral imprópria com alguma descontinuidade infinita contida no intervalo de integração

421

∫−

=

4

13 2)2x(

dxI

21

2

1

4

23 23 2

4

13 2

II)2x(

dx

)2x(

dx

)2x(

dxI +=

−+

−=

−= ∫ ∫∫

de onde, calculando-se I1 e I2 teremos o seguinte:

3)21(3)2(3lim)2x(

dxlimI 3

13

1

21

3 221 =

−−−=

−=

−− →→ ∫ ll

l

l

331

31

2

4

3 222 23)2(3)24(3lim

)2x(

dxlimI =

−−−=

−=

++ →→ ∫ ll

ll

O que vai nos dar como solução:

)21(3I 3+=

Exercícios: Resolver as integrais

a) =∫∞−

dxe7

x b) =−

=−

∫∫+∞→

→

+∞

+

m

3 2m

22

3 2 )2x(

dxlim

)2x(

dx

ll

Observação Importante �� Vamos analisar as seguintes integrais impróprias:

dxx

1 e dx

x

1 ; dx

x

1

13

12

1∫∫∫

+∞+∞+∞

+∞=−===+∞→+∞→+∞→

+∞

∫∫ )1ln(lnlim1

xlnlimdx x

1limdx

x

1

11

ll

ll

l

l

11

1limdx x

1limdx

x

1

12

12

=

−==

+∞→+∞→

+∞

∫∫ ll

l

l

2

1

2

1

2

1lim

1x2

1limdx

x

1limdx

x

122

13

13

=

−=

−==

+∞→+∞→+∞→

+∞

∫∫l

l

ll

l

l

vê-se que a primeira integral é divergente, sendo que as outras duas são convergentes. Podemos comparar as integrais impróprias acima e os respectivos gráficos dados na figura abaixo.

1

1

3x

1y =

2x

1y =

x

1y =

Apesar dos gráficos serem muito semelhantes, a área sob eles, desde 1 até +∞∞∞∞, para um é igual a ½, enquanto para o outro é igual a 1 e, finalmente, uma das áreas calculadas tende a infinito. O seguinte teorema formaliza este fato: Teorema:

diverge.dx x

1 1p se ,

1p

1dx

x

11p Se

1p

1p ∫∫

+∞+∞

⇒≤−

=⇒>


8.38

[13] Miscelânea de Exercícios �� Verifique o tipo de método a ser utilizado em cada uma das seguintes integrais, resolva-a e compare o resultado obtido com a resposta dada.

1) Calcular a integral I = ∫− 2x5

dx

2) Calcular a integral I = dxex3x2

∫

3) Calcular a integral I = ∫ − 5x

dx x2

4) Calcular a integral I = dx x

xn∫l

5) Calcular a integral I = ∫ dx tgx

6) Calcular a integral I = dx x41

x2∫

−

7) Calcular a integral I = dx x1x2 2∫ +

8) Calcular a integral I = ∫ + dx )2xcos(x 43

9) Calcular a integral I = dx x3cos x∫

10) Calcular a integral I = dx x n∫ l

11) Mostre que a integral I = dx ex x2∫ vale

ce2xe2ex xxx2 ++− .

12) Mostre que a integral I = dxsen x e x∫

vale c)xcosx(sene2

1 x +− .

13) Calcule a integral I = dx 1x

xx 3

∫ −

+

14) Calcule a integral I = dx 2xx

5x2∫ −+

+

15) Deduzir as fórmulas de substituição trigonométrica e fazer a substituição em:

I1= ∫+ 9xx

dx22

; I2= ∫− 9xx

dx22

;

I3= ∫+− 22 x9x

dx

�� Só consulte as sugestões após tentar resolver os exercícios e tirar as dúvidas com

seus colegas

[13.1] Sugestões e Respostas

1) Adotar u = 5x- 2; I = c2x552 +−

2) Adotar u = x3 ; I = ce31 3x +

3) Adotar u = x2 – 5; I = c)5(xn2

1 2 +−l

4) Adotar u = xnl ; I = c2

x)n( 2

+l

5) dx xcos

xsendx tgx ∫∫ = ; u = cos x;

I = c | xsec| n c | xcos| n c | xcos| n -1 +=+=+− lll

6) Adotar u = 1 − 4x2 ; I = cx414

1 2 +−−

7) Fazer u = x2; I = c)1x(3

2 232 ++

8) Fazer u = x4 + 2; I = c)2xsen(4

1 4 ++

9) Fazer u = cos 3x ⇒ du = 1/3 sen x dx ; dv = cos3x dx ⇒ v = 1/3 sem 3x

I = cx3cos9

1x3senx

3

1++

Lembrar que:

∫ += cx3sen3

1xdx3cos e

∫ +−= cxcos3

1xdx3sen

10) Fazer u = x nl ⇒ du = 1/x dx e dv = dx ⇒ v = x de onde I = cxx n x +−l

11) Passagem intermediária: I= ∫− xx2 xe2ex x

12) Passagem intermediária:

I= ∫−+− dx xsenexcosexcose xxx x

note que a última integral é igual à integral originalmente propostas, ou seja I =

dxsen x e x∫ .

13) O numerador é um polinômio de grau maior que o polinômio do denominador, então, dividir o numerador pelo denominador , de onde:

I= dx )1x

22xx( 2

−+++∫

Resposta: I = c)1x(n2x22

x

3

x 23

+−+++ l


8.39

14) I= ∫ ∫ +−

−dx

2x

1dx

1x

2 =

c)2x(n)1x(n2 ++−− ll

15) Discutir ou conferir com seus colegas

Cálculo Diferencial e Integral I - Material Auxiliar #11 – Superfícies Quádricas

11.40

UNESP/GuaratiUNESP/GuaratiUNESP/GuaratiUNESP/Guaratinguetá nguetá nguetá nguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #09 - Traçado de Gráfico da Função x2 + y2 + z2 = 9


ESTUDO DIRIGIDO

Exercício Modelo 1: Analisar a equação: x2 + y2 + z2 = 9 geometricamente e analiticamente. Plotar o gráfico e marcar os pontos notáveis. Dar as curvas de nível para z ∈{ 0, 1, 2, 3}.

Curvas de Nível: Gráficos de z = + 229 yx −− e de z = - 229 yx −−

9


11.41

UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #10 - Gráficos úteis

Prof. Aury de Sá Leite – [email protected] I.- Esboçar, no primeiro octante, os seguintes gráficos do R3 (1a) y = 2, ∀x, y ∈R (1b) x=2, ∀y, z ∈R (2) x2 + y2 = 25, ∀z ∈R (3) x + y = 2, ∀z∈R II.- Esboçar os seguintes gráficos no R3 a partir dos gráficos no R2

(1) x2 - y2 = 1, ∀z ∈R (2) 149

22

=+yx

, ∀z∈R

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

10


11.42

y

x

y

x

UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #11 – Superfícies Quádricas

Prof. Aury de Sá Leite - [email protected] Pré-requisitos: (1o ) x2 - y2 = 1 no R2 (hipérbole) (2o ) x2 - y2 = 0 no R2 (hipérbole degenerada)

x2 - y2 = 0 ⇒⇒⇒⇒ y2 = x2 ⇒⇒⇒⇒ y = ± 2x ⇒ y =± x

EXERCÍCIOS: Analisar os gráficos a partir das equações dadas

(1) Elipsóide: 12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

(2) Cone circular (a =b) ou elíptico (a ≠≠≠≠ b)

02

22

2

2

=+−c

zy

a

x

02

2

2

22 =++−

c

z

a

yx

(3) Hiperbolóide de uma folha:

12

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x

(4) Hiperbolóide de duas folhas:

12

2

2

2

2

2

=−−c

z

b

y

a

x

(5) Parabolóide elíptico:

czb

y

a

x=+

2

2

2

2

(6) Parabolóide hiperbólico:

czb

y

a

x=+−

2

2

2

2

y = -x

y = x

-1 1

11

Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #16 – Seqüências e Séries

16.43

UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo DCálculo DCálculo DCálculo Diferencial e Integral Iiferencial e Integral Iiferencial e Integral Iiferencial e Integral I Material Auxiliar #12 – Derivadas Parciais


Calcule analiticamente as derivadas parciais (fx =x

z

∂

∂ e fy =

y

z

∂

∂) das seguintes funções z=f(x,y)

Função Derivadas

a) z = x3y + xy2 +2xy – 5y + 6x + 7 623 22 +++=∂

∂yyyx

x

z; 5223 −++=

∂

∂xxyx

y

z

b) z= 221 yx +− 221 yx

x

x

z

+−

−=

∂

∂;

221 yx

y

y

z

+−=

∂

∂

c) f(x,y) = yx

e fx = y

e yx

; fy = 2y

xe yx

−

d) z = senx . cos 7x zx = cosx .cos 7x ; zy = -7sen7y .senx

e) f(x,y) = x2 sen5y fx = 2x seny ; fy = 5x2cos5y

f) z= x.seny – y.ln x fx =x

z

∂

∂= sen y -

x

y; fy =

y

z

∂

∂= xcosy – ln x

g) z = 22

22

xy

yx

−

+ fx =

222

2

)(

4

xy

xy

−; fy =

222

2

)(

4

xy

xy

−

−

h) f(x,y) = )ln(yx

xy

+ fx =

xyx

y

+2; fy =

xyy

x

+2

i) f(x,y) = x2.y.cos5x fx = 2xy cos 5x-5x2y sen5x; fy = x2 cos5x

j) z= x2 . sen(xy) zx = 2x senxy + x2 cos(xy); zy = x3 cos(xy)

k) z= ln(x2y3) senx cosy fx = yxyxyxx

coscos)ln(cossen2 32+ ; fy= ...

Questões de Prova- Calcule as derivadas parciais fx e fy para as funções

a) z= f(x,y) = 5xy – 4x2 + 5y2 – x2y3

b) z= f(x,y) = 23323 yxyx −+

c) z= f(x,y) =xy

yx

3

22 +

d) z= f(x,y) =ln(ysenx + xcosy)

12


16.44

UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #13 – Regra da Cadeia para z = f(x,y)

Prof. Aury de Sá Leite – [email protected]

Estude os ítens de [1] a [3] detalhadamente, em grupo com seus colegas. [1] Pré-requisito:

� Regra da cadeia para y=f(x), uma função real de uma variável real: dx

du

du

dy

dx

dy.=

[2] Exemplo 1: Para calcular dx

dy para y = (2x3 - 5x2 + 4)5 vamos tomar y = u5, ou seja, vamos fazer

(2x3 - 5x2 + 4) = u. Assim: dx

du

du

dy

dx

dy.= ⇔

dx

dy= 5.u4

dx

du = 5. (2x3 - 5x2 + 4)4.(6x2- 10x).

[3] Exemplo 2: Dado f(x) = (3x2 + 2)2.(x2 - 5x)3 vamos calcular f ’(x) usando a regra da cadeia. � Fazendo (3x2 + 2)2 = g(x) com (3x2 + 2) = u e (x2 - 5x)3 = h(x) com v = (x2 - 5x) de onde teremos agora: f(x) = g(x) . h(x);

Assim: f ’(x) = g’(x) . h(x) + h’(x) . g(x) = dx

du

du

dg. .h(x) +

dx

dv

dv

dh. . g(x) =

= 2.(3x2 + 2).dx

du .h(x)+ 3. (x2 - 5x)2.

dx

dv. g(x) = 2.(3x2 + 2).6x .h(x) + 3. (x2 - 5x)2.(2x-5).g(x)

de onde finalmente: f ’(x) = (6x2 + 4). 6x . (x2 - 5x)3 + 3. (x2 - 5x)2.(2x- 5). (3x2 + 2)2 Se você compreendeu os itens anteriores, passe para o item [4] e seguintes

[4] Sendo z = f(x,y) = x2 + y2 + xy com x = ln r e y = s

r, desejamos calcular zr =

r

z

∂

∂ e zs=

s

z

∂

∂.

�� Poderemos utilizar dois métodos distintos para calcular estas derivadas parciais: [4.1.] substituindo os valores de x e y em z e derivando parcialmente com relação a r e a s:

z = (ln r)2 + 2

2

s

r + ln r ×

s

r. Calculando as derivadas ( confira as suas respostas no final do estudo dirigido! ) obtemos:

zr =r

z

∂

∂=

zs=s

z

∂

∂ =

[4.2] No entanto, poderíamos calcular estas derivadas utilizando as fórmulas da regra da cadeia para funções reais de duas variáveis reais, que serão mostradas a seguir. [4.3] Regra da cadeia para z = f(x,y), uma função real de duas variáveis reais: �� Teorema: Se u for uma função diferenciável de x e y, definida por u= f(x,y), onde x= F(r,s) e

y = G(r,s) e, se r

x

∂

∂,

s

x

∂

∂,

r

y

∂

∂ e

s

y

∂

∂ existirem, então u será uma função de r e s, e

r

y .

y

u

r

x .

x

u

r

u

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ e

s

y .

y

u

s

x .

x

u

s

u

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

13


16.45

[4.4] Sendo u = f(x,y) = x2 + y2 + xy com x = ln r e y = s

r, desejamos calcular ur =

r

u

∂

∂ e us=

s

u

∂

∂

utilizando a regra da cadeia para funções reais de duas variáveis reais. Cálculos Iniciais:

x

u

∂

∂=

y

u

∂

∂=

r

x

∂

∂=

r

y

∂

∂=

s

x

∂

∂=

s

y

∂

∂=

� Substitua na fórmula e confira as respostas no final do Estudo Dirigido:

ur =r

u

∂

∂ =

us =s

u

∂

∂ =

Teste seu conhecimento sobre a Regra da Cadeia resolvendo os exercícios e conferindo as suas respostas:

[5] Exercício 1: Dado u = 22ln yx + com x = res e y = re-s calcule ur e us , (a) por substituição de

x e y diretamente em u e (b) utilizando a regra da cadeia. [6] Exercício 2: Escreva a regra da cadeia para uma função real u=f(x,y,z). [7] Exercício 3: Dado u = xy +xz + yz com x = r; y = r.cos t e z = r.sen t calcule ur e ut. Só confira as respostas depois de resolver o exercícios.

Respostas [4.1.] e [4.4.]: zr= ur = s

r

ss

r

r

r ln12ln22

+++ zs = ur = 23

2 ln2

s

rr

s

r−

−=

3

2 ln2

s

rrsr −−

Respostas [5]: 22 yx

x

x

u

+=

∂

∂;

22 yx

y

y

u

+=

∂

∂; se

r

x=

∂

∂; se

r

y −=∂

∂; sre

s

x=

∂

∂; sre

s

y −−=∂

∂ de onde, depois

de simplificado obtém-se: ur = 22 yx

yexe ss

+

+ −

e us = 22

)(

yx

yexer ss

+

− −

.

Resposta [6]:r

z

z

u

r

y

y

u

r

x

x

u

r

u

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ ; s

z

z

u

s

y

y

u

s

x

x

u

s

u

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

Resposta [7]: ur = 2r(cos t + sen t) + r sen 2t ; ut = r2(cos t – sen t) + r2 cos 2t Observar que: sen 2t = 2 sen t cos t e que cos 2t = cos2 t – sen2 t.


16.46

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Multiplicadores de Lagrange Curvas de Nível da função: f(x,y) = z = x.y e do traço sobre o plano xOy da restrição: g(x,y) = x2 + y2 – 8 = 0

2

2

y = 1/x

y = -1/x

y = 2/x

y = -2/x

y = 3/x

y = -3/x

y = 4/x

y = -4/x

y=1/x y=-1/x y=2/x y=-2/x y=3/x y=-3/x y=4/x y=-4/x

14


16.47

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1) Dada a equação da elipse 4x2 + y2 =16 em coordenadas cartesianas, encontrar a equação a ela correspondente em coordenadas polares.

� Ajuda: basta substituir x por r θcos e y por r θsen .

Solução: 2) Os gráficos seguintes estão em coordenadas polares: identifique-os, sabendo que eles são

(a) r = sen 3θθθθ; (b) r =2; (c) r = sen 5θθθθ e (d) r = cos 3θθθθ.

a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( )

r = 13.cos

42 +θ

radπ2 até rad 0 de variaθ

4x2 + y2 =16 (Coordenadas Cartesianas para Polar)⇒ ⇒ 4.r2.cos2θ + r2.sen2θ=16 ⇒ 3.r2.cos2θ + r2.cos2θ + r2.sen2θ=16 ⇒ ⇒ 3.r2.cos2θ + r2=16 ⇒ r2 (3.cos2θ + 1)=16 ⇒ r2=16/ (3.cos2θ + 1) ⇒ ⇒ r = 4/ (3.cos2θ + 1)1/2 onde radπ2 até rad 0 de variaθ

Gráfico

15


16.48

16 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #16 - Seqüências e Séries


1.- SEQÜÊNCIAS OU SUCESSÕES 1.1.- Definição: Chamamos seqüência numérica infinita ou simplesmente seqüência, à seguinte função: f : N* →→→→ R tal que, para ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N*, ocorre f(n)

= an onde: N = Conjunto dos Números Naturais = {0,1,2,3,4,...} N* = Conjunto dos Números Naturais sem o zero R = Conjunto dos Números Reais an é um termo da seqüência; an ∈∈∈∈R, ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N*.

Notações e Propriedades:

{ a1, a2, a3, ... , an, an+1, ... } = { an }1n =

+∞= { an }

• As seqüências podem ter ou não:• um número finito de termos (podem ser infinitas

ou finitas),• uma lei de formação.

Exemplos:

1o) Os números naturais primos formam um seqüência para a qual, até hoje, não se conhece uma lei de formação: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,...}. 2o) A seqüência de Fibonacci: {1,1,2,3,5,8,13,...} tem a seguinte lei de formação: cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos anteriores, isto é: f(1) = 1, f(2) = 1 e f(n)= f(n−1) + f(n−2) para n ≥ 3. A seqüência de Fibonacci (século XIII) envolvia cálculos sobre a reprodução de coelhos. 3o) f(n) = 1/n será obtida fazendo-se n =1,2,3,4,.., ou seja:

f (1)= 1; f (2)= 2

1 ; f (3)= 3

1 ; f (4)= 4

1 etc,

que poderá ser escrita ainda como:

{n

1 }1n =

+∞= {1,

2

1 ,3

1 ,4

1 , ... ,n

1 , ... }

onde n

1 é o chamado termo geral da

seqüência. Notas: • Toda seqüência que possua uma lei de

formação poderá ser indicada pelo termo geral an sendo notada como { an } = { an

}1n =

+∞se infinita, ou { an }

1n

j

=, se finita,

sendo j ∈N*, j > 1. • Toda seqüência (por ser uma função de N*

sobre R) pode ser representada sob a forma de pontos isolados no plano cartesiano.

1.2.- Definição: Uma seqüência {an} é superiormente limitada quando existir um número M tal que an ≤ M para todo n ≥ 1 e é inferiormente limitada quando existir um número m tal que an ≥ m para todo n ≥ 1. � Uma seqüência é limitada se, e somente se for limitada superiormente e inferiormente.

Exercícios: Mostre que {(-1)n}1n =

∞é limitada,

mas as seqüências {2n}1n =

∞e {[(-

1)×2]n}1n =

∞não são.

1.3.-Exercícios Gerais : 1) Determine o termo geral de: 4,2,0,-2,-4,-

6,... 2) Complete com pelo menos mais três termos

a seguinte seqüência: 1,4,9,16, 25,... ; dê o termo geral escreva a seqüência sob a notação de chaves.

3) Escreva os cinco primeiros termos das

seguintes seqüências f(n) = 3

2)1( 1nn −− e g(n)

= 3

2)1( 1n1n −−− , calculando para cada uma

delas o 10o termo. 4) Desenhar os gráficos cartesianos e verificar

se elas são, ou não, limitadas:

a) {n

1 }1n =

+∞ b) {3n − 2}

1n =

+∞ c) {(-1)n×[n+(-

1)n]}1n =

∞


16.49

1.4.- SEQÜÊNCIAS MONOTÔNICAS (ou Monótonas) Definição: Se ∀ n∈N*, tem-se que:

(a) an < an+1 ⇒ { an } é absolutamente

crescente

(b) an > an+1 ⇒ { an } é absolutamente

decrescente

(c) an ≤ an+1 ⇒ { an } é crescente

(d) an ≥ an+1, ⇒ { an } é decrescente

�� As seqüências são ditas monotônicas ou monótonas quando forem absolutamente crescente ou crescentes e absolutamente decrescentes ou decrescentes. 1.5.- Definição: Uma seqüência { an } tem o limite L, isto é Lalim n

n=

∞→

ou an → L quando n

→ ∞ , se para cada ε > 0 existir um correpondente inteiro N, tal que, |an – L| < ε sempre que n > N. �� Se Lalim n

n=

∞→

existe dizemos que a seqüência converge,

caso contrário dizemos que diverge.

Exercícios Mostre que {(-1)n}1n =

∞é

divergente; {n2

1 }1n =

+∞é convergente;

{2n}1n =

+∞é divergente.

1.6.- Alguns Teoremas Importantes sobre Seqüências:

(1o) Se { an } é convergente então { an } é limitada.

(2o) Se { an } é monotônica e limitada então { an } éconvergente

(3o) Se an → 0 então |an| → 0.

(4o) Se an → p, cn → p e an ≤ bn ≤ cn, ∀n∈N*, entãobn → p.

2.- SÉRIES INFINITAS 2.1.- Definição: Dada uma seqüência infinita {an }, à soma indicada de seus termos: a1 + a2 +

a3 + ... + an + ... denominaremos série infinita ou simplesmente série, que será denotada

como: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑∞

=1nna

(ler: “somatório ou somatória de an com n variando de 1 até ∞”). �� IMPORTANTE: Para k finito, k∈N*:

Sk= ∑=

k

1nna

é denominada soma parcial de ordem k da série. 2.2.- Exemplos notáveis de série:

1o ) ∑∞

=1nn2

1 =

2o) Certas frações têm a sua representação decimal sob a forma de dízima periódica (uma decimal periódica infinita), como exemplo disto podemos citar:

...1000

3

100

3

10

3...003,003,03,0...333,0

3

1+++=+++==

a partir do que se pode escrever:

∑+∞

=

=1n

n10

3

3

1

Observações: Dada uma série a1+a2+a3+ ... +an+ ...

(1a) Existem duas seqüências a ela associadas:

{ an }= {a1, a2, a3, ... , an, an+1, ...} onde an é o termo geral

{ Sn } = {S1, S2, S3, ... , Sn, Sn+1, ...} que é a seqüênciadas somas parciais da série.

(2a) Vai-se denotar a “soma” de uma série por S, S∈R.

INFORAM AÇÃO ÚTIL: Assim como existe anotação para somatórios existe também umanotação para produtórios:

∏∞

=1iia = a1×a2×a3× ...×an

2.3.- CONVERGÊNCIA DE SÉRIES Para determinar se uma série é ou não convergente podemos considerar a seqüência de somas parciais:

S1 =a1


16.50

S2 =a1 + a2 S3 =a1 + a2 + a3

S4 =a1 + a2 + a3 + a4 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an =

∑=

n

1iia

estas somas parciais formam uma nova seqüência { Sn } que pode ou não ter limite. Se o

∞→

=n

n SSlim existir e for um número real,

então diremos que a série ∑∞

=1nna é convergente,

caso contrário a série é dita divergente. 2.3.1.- EXERCÍCIOS MODELO

Exercício1: ∑∞

=+

1k)1k(k

1 converge?

(1o) Calculemos os termos da série:

a1 = 2

1 ; a2 = 6

1 ; a3 = 12

1 ; a4 = 20

1 ; ...;

)1(

1

+kk;...

(2o) Calculemos as somas parciais:

S1 = 2

1

S2 = 2

1 +6

1 = 3

2

S3 = 2

1 +

6

1 + 12

1 = 4

3

(3o ) Verifiquemos a fórmula do termo geral para esta seqüência de somas parciais:

{Sn } = { 2

1 , 3

2 , 4

3 , ..., 1n

n

+, ...}

(4o) 1

n

11

1lim

1n

nlimSlim

nnn

n=

+

=+

=∞→∞→∞→

assim, a

soma desta série converge para 1, S→1, ou seja:

∑∞

=+

1k)1k(k

1→1 ou ainda ∑

∞

=+

1k)1k(k

1 = 1.

Note que: o limite do termo geral da seqüência dada

tende a zero: 0)1(

1lim =

+∞→ kkn.

Exercício 2: 3

2+

15

4+

35

6+...+

14

22 −n

n, ... converge?

S1 = 3

2 = 0,666... ; S2 = 3

2 + 15

4 =15

10 + 15

4 =15

14 =

0,9333...;

S3 = 3

2 + 15

4 + 35

6 = =++105

18

105

28

105

70

105

116≅

1,1048; as somas parciais tendem a crescer, logo a série DIVERGE.

2.3.2.- Teste da Divergência (IMPORTANTÍSSIMO)

�� Observe que o limite do termo geral da seqüência apresentada a seguir é diferente de zero:

4

1

8

2lim

n8

n2lim

1n4

nlim

nn2

2

n===

+ ∞→∞→∞→,

o que indica que a soma da série também divergirá. Vejamos o teorema seguinte:

Teorema: Teste da Divergência: Se 0alim nn

≠∞→

a série

∑∞

=1nna diverge. Comentário: Se 0alim n

n=

∞→ a série ∑

∞

=1nna

pode convergir ou divergir.

Teorema: Se a série ∑∞

=1nna converge, então 0alim n

n=

∞→.

2.3.3.- Série Harmônica – Uma série Divergente?

A série ∑∞

=

++++=1n

...4

1

3

1

2

11

n

1 tem 0

n

1lim

n

=

∞→

, mas

não é convergente. Esta série é denominada série harmônica porquê está relacionada com a vibração de uma corda musical. Podemos escrever esta série como sendo:

∑∞

=

+++++++++++=1n

...)16

1...

9

1()

8

1

7

1

6

1

5

1()

4

1

3

1(

2

11

n

1

onde as somas dos termos contidos em cada um dos parêntesis resulta um número maior que ½, logo:

∑∞

=

++++>1n

...2

1

2

1

2

11

n

1 o que indica que a série

diverge.

3.- SÉRIES GEOMÉTRICAS

Uma série geométrica será dada por:

∑∞

=0n

naq = a + aq + aq2 + aq3 + ... + aqn + ... com

a ≠ 0 sendo q um número real, denominado razão da série. 3.1.- Exemplos:

Termo geral da seqüênc

> ½ > ½


16.51

(1) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... =∑∞

=0n

n2 (a = 1 e q =

2)

(2) 1 −1 + 1 − 1 + 1− 1 + ... =∑∞

=

−0n

n)1( (a = 1 e

q = −1)

(3) n

3

1

2

1...

18

1

6

1

2

1

×=+++ ∑ (a =

2

1 e q = 3

1 )

(4) 1+ ∑+∞

=

=++++

1n

n

2

1...

8

1

4

1

2

11 (a = 1, q =

2

1 )

Teorema: Uma série Geométrica ∑∞

=0n

naq com a ≠≠≠≠ 0

converge se |q |< 1 e diverge se | q | ≥≥≥≥ 1.

Se a série convergir então a soma da série será dada por:

∑∞

=−

=0n

n

q1

aaq .

Exercícios: Nos exemplos anteriores (vide item 3.1), apenas as séries (3) e (4) são convergentes. Mostre isto e calcule a soma das mesmas. Mostre que a série 1, 1, 1, 1,... é geométrica e diverge.

LEITURA:Seqüências Aritméticas e Geométricas – PA e PG

Há dois tipos de seqüências, muito conhecidas e utilizadas,que são as Progressões Aritméticas (PA) e as Geométricas(PG), cujas leis de formação são as seguintes:

PA

+=

−+=

+ raa

r)1n(aa

n1n

1n onde r = razão e n ≥1

→ Soma dos termos de uma PA: Sn= n.2

)aa( n1 +

PG

=

=

+

−

q.aa

q.aa

n1n

1n1n onde q = razão e n ≥1

→ Soma dos Termos de uma PG:

Sn=1q

)1q(a n1

−

− se q ≠ 1 e Sn=

q1

a1

− para –1< q < 1.

Exemplos:5,8,11,14,17, ... (PA, r = 3) 1,2,4,8,16, ... (PG, q = 2)1,6,11,16... (PA, r = 5) 1,-1,1,-1,1,... (PG, q=−1)

,...18

1,

6

1,

2

1 (PG, q =

3

1) 1, ,...

8

1,

4

1,

2

1(PG, q =

2

1)

4.- TEOREMAS SOBRE OPERAÇÕES COM SÉRIES

Se ∑ na e∑ nb forem séries convergentes, então as

séries ( )∑ + nn ba , ( )∑ − nn ba e∑ × nac

também serão convergentes,e ainda valerão as seguintes propriedades:

(1) ( )∑ + nn ba =∑ na +∑ nb

(2) ( )∑ − nn ba =∑ na −−−−∑ nb

(3) ∑ × nac =c×∑ na , ∀c∈R


16.52

5.- CRITÉRIO (TESTES) DE CONVERGÊNCIA Para Séries com Termos Positivos 5.1.- Teste da Integral

Seja ∑∞

=1nna uma série com termos positivos e seja f(x) a

função que resulta quando n for substituído por x notermo geral da série. Se f(x) é decrescente e contínua nointervalo [a, +∞[ , então

∑∞

=1nna e ∫

+∞

a

dx)x(f

ambas convergem ou ambas divergem.

Exercícios: Utilize o teste da integral para verificar se convergem ou divergem as séries:

(a) ∑∞

=1nn

1 ; (b) ∑∞

=1n2n

1 .

Solução:

(a) +∞=−==+∞→+∞→

+∞

∫∫ ]1ln[lnlimdxx

1limdx

x

1

1a

ll

l

l

, logo

a série diverge. (b)

1]1

1[lim1

]x

1[lim

x

dxlimdx

x

1

12

a2

=−

−=−

==+∞→+∞→+∞→

+∞

∫∫ l

l

ll

l

l

logo a série converge.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTÍSSIMA:

As p-séries ou séries hiper-hamônicas ∑∞

=1npn

1

converge se p >1 e diverge se 0 < p ≤≤≤≤ 1.

5.2.- Teste da Comparação

Sejam ∑∞

=1nna e∑

∞

=1nnb séries com termos positivos.

(i) Se ∑∞

=1nna for convergente e an ≥ bn para todo n,

então ∑∞

=1nnb também será convergente.

(ii) Se ∑∞

=1nna for divergente e an ≤ bn para todo n,

então ∑∞

=1nnb também será divergente.

5.3.-Teste da Comparação de Limites

Sejam ∑∞

=1nna e∑

∞

=1nnb séries com termos positivos e

suponhamos ρ = n

n

n b

alim

+∞→.

Se ρρρρ for finito e ρρρρ >0, então as duas séries convergem ou as

duas séries divergem.

5.4.- Teste da Razão

Seja ∑∞

=1nna uma série com termos positivos e

suponhamos ρρρρ = n

1n

n a

alim +

+∞→.

(a) Se ρρρρ < 1, a série converge.(b) Se ρρρρ >1 ou ρρρρ = +∞∞∞∞, a série diverge.(c) Se ρρρρ = 1, a série pode convergir ou divergir.

5.5.- Teste da Raiz

Seja ∑∞

=1nna uma série com termos positivos e

suponhamos que: ρρρρ = n1

nn

nn

n)a(limalim

+∞→+∞→= .

(a) Se ρρρρ < 1, a série converge.(b) Se ρρρρ >1 ou ρρρρ = +∞∞∞∞, a série diverge.(c) Se ρρρρ = 1, a série pode convergir ou divergir.

6.- COMO ESCOLHER O TESTE CONVENIENTE: �� A escolha de um determinado testes de convergência para séries depende do “tipo” da série a ser analisada. Há casos em que um teste é não conclusivo (“a série pode ser


16.53

convergente ou divergente”) indicando que se deve tentar um outro tipo de teste de convergência que permita tirar uma conclusão definitiva.

SÉRIE DE EXERCÍCIOS MODELO RESOLVIDOS: 6.1.- Verificar a convergência das seguintes séries:

1) ∑∞

= ++0n2 3n4n2

5 usando o teste da comparação.

2) ∑∞

= −1nn 12

1 usando o teste da comparação dos

limites.

3) ∑∞

=1k!k

1 usando o teste da razão.

4) ∑∞

=−

1k1k2

1 usando o teste da razão (e o da

integral).

5) ∑∞

=

+

−

1n

n

1n2

5n4 usando o teste da raiz.

SOLUÇÕES

1) Veja que 22 n2

5

3n4n2

5<

++ como ∑

∞

=1n2n

1é

uma série-p ou série hiper-hamônica que com p = 2 > 1, converge, então

∑∑∞

=

∞

=

=1n

21n

2 n

1

2

5

n2

5 converge.

2) Sejam as séries com termos gerais

12

1a

nn−

= e nn

2

1b = (uma série notoriamente

convergente), usando o teste de comparação dos limites temos:

01

211

1lim

12

2lim

2

112

1

limb

alim

nnn

n

n

n

n

nn

n

n>=

−=

−=−=

∞→∞→∞→∞→

de onde se pode tirar que: “as duas séries divergem ou as duas séries convergem”, mas como se pode mostrar pelo teste da integral

que a série ∑∞

=1n2n

1 converge, temos que a série

∑∞

= −1nn 12

1 também converge.

3) Seja tomar: ρρρρ =k

1k

n a

alim +

+∞→, isto é:

101k

1lim

)!k1(

!klim

!k/1

)!1k/(1lim

nnn<=

+=

+=

+

+∞→+∞→+∞→.

Pelo teste da razão a série ∑∞

=1n!k

1 converge.

4) Seja tomar: ρρρρ =k

1k

n a

alim +

+∞→, isto é:

11k2

1k2lim

)1K2/(1

]1)1k2/[(1lim

kk=

+

−=

−

−+

+∞→+∞→sendo que nada

se pode afirmar. Aplicando o teste da integral, temos:

+∞=−=−

=− +∞→

=+∞→

+∞

=

∫∫ 1)]1x2ln(

2

1[lim

1x2

dxlim

1x2

dx

1x1x

l

l

l

l

o que nos permite afirmar que a série diverge.

NOTA: Os testes da comparação e da comparação dos limites também serviriam aqui para mostra a

divergência desta série.

5) Seja tomar: ρρρρ = n/1n

n)a(lim

+∞→, isto é:

ρ = 2n2

n4lim

1n2

5n4lim

1n2

5n4lim

nn

n1

n

n==

+

−=

+

−

+∞→+∞→+∞→.

Isto mostra que a série dada diverge.

EXERCÍCIOS PARA CONFERIR AS SOLUÇÕES

6.2.- Verificar a convergência das seguintes séries:

1) ∑∞

= +0n2 1n

1 2) ∑∞

=0n2

n

n

3 3) ∑∞

= +1nn)]1n[ln(

1

4) ∑∞

=1k

k

!k

k 5) ∑∞

=1nn

n

n

!n3 6) ∑

∞

= +1nn n6

1

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Para ∑∞

= +0n2 1n

1 adotar o Critério da

Comparação.

Veja que 22 n

1

1n

1≤

+ como ∑

∞

=1n2n

1é uma série-

p ou série hiper-hamônica com p = 2 > 1 ela converge, então

∑∞

= +0n2 1n

1 converge.

2) Para ∑∞

=0n2

n

n

3 adotar o Critério da Razão.

Seja: 2

1n

1n2

n

n)1n(

3a e

n

3a

+==

+

+ assim sendo:


16.54

1n2n

n3

)1n(3

n.3

)1n(

3n

3

a

a2

2

2n

21n

2

1n

2

n

1n

n

++=

+=

+

=+

++

ρ = 31n2n

n3lim

2

2

n=

+++∞→ > 1 ⇒ a série dada

diverge.

3) Para ∑∞

= +1nn)]1n[ln(


Raiz.

ρ = 0)1nln(

1lim

)]1n[ln(

1lim

nn

nn=

+=

+ +∞→+∞→, como ρ

< 1 a série dada converge.

4) Para ∑∞

=1k

k

!k

k adotar o Critério da Razão.

Seja tomar: ρρρρ =k

1k

k a

alim +

+∞→, isto é:

ρρρρ = k

kk

k

kk

1k

k)

k

11(lim

k

)1k(lim

!k

k

)!1k(

)1k(

lim +=+

=+

+

+∞→+∞→

+

+∞→.

e)k

11(lim k

k=+

+∞→≅ 2,7182818... é o limite

fundamental que resulta no número de Eüler. Como ρ = e > 1 a série dada diverge.

5) Para ∑∞

=1nn

n

n

!n3 vamos utilizar o Critério da

Razão.

=+=

+=

+

+

= −

+∞→+∞→

+

+

+∞→

n

k

n

k

nn

1n1n

n)

n

11(lim

1n

n3lim

n

!n3

)1n(

)!1n(3

limρρρρ

= 1e

3e3 1 >=× − o que indica que a série

diverge.

6) Para ∑∞

= +1nn n6


Comparação.

�� 0n ,Nn,6

1

n6

1nn

≥∈≤+

e ∑∑∞

=

∞

=

=

1n

n

1nn 6

1

6

1 é

uma série geométrica de razão 6

1 cujo

primeiro termo é 6

1 com Sn =

13

24

6

1

6

11

6

1

<=×=

−

o que mostra que a série

∑∞

=1nn6

1 converge, logo a série ∑∞

= +1nn n6

1

também converge.

7.- SÉRIES ALTERNADAS Definição: As séries alternadas têm uma das seguintes formas: a1 −−−− a2 + a3 −−−− a4 + ... =

∑=

+−n

1ii

1n a)1( ou

−−−− a1 + a2 −−−− a3 + a4 −−−− ... = ∑=

+−n

1ii

1n a)1(

onde todos os ai são positivos. 7.1- Teste de Convergência para Séries Alternadas

Teorema: Uma série alternada converge se as duasseguintes condições forem satisfeitas:(1a) a1 > a2 > a3 > ... > an > ...(2a) 0alim n

n=

+∞→

Exemplo: A série harmônica ...

1...

4

1

3

1

2

11 ++++++

n não é convergente, mas

...4

1

3

1

2

11 +−+− converge. Veja ainda como

outro exemplo o exercício (2) a seguir.

Exercícios: Verificar a convergência de

1) ∑∞

=

+

+

+−

1k

1k

7k

1k)1( 2) ∑

=

−n

1i

n

n

1)1(

3) ∑∞

=

−

1k

k

!k

)1( 4) ∑∞

=

+

+

−

1k

1k

)1kln(

)1(

Soluções:

1) Termo geral: k = n ⇒⇒⇒⇒ 07n

1na n >

+

+=

(i)7n

1na

8n

2na n1n

+

+=>

+

+=+ FALHA! (Ex.:

11

5

10

4< )

(ii) 01

n71

n11

lim7n

1nlimalim

nnn

n≠=

+

+=

+

+=

∞→∞→∞→ -

FALHA! �� Logo, a série não converge.


16.55

2) Termo Geral : 0n

1a n >=

(i) n

1a

1n

1a n1n =<

+=+

(ii) 0n

1limalimn

nn

==∞→∞→

Logo a série

∑=

−n

1i

n

n

1)1( converge.

(3) e (4) São séries convergentes. Verifique.

8. - CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

8.1.- Definição: Uma série ∑=

n

1iia = a1+ a2+ a3+

... + an+ ... é absolutamente convergente se a

série de valores absolutos, ∑=

n

1iia = |a1 |+ |a2|+

|a3| + ... + |an| + ... converge. 8.2.- Teorema: Se ∑

=

n

1iia é absolutamente convergente ⇒∑

=

n

1iia

converge. � Note que: a recíproca deste teorema não é

verdadeira. Uma série que converge, mas não é absolutamente convergente é chamada

condicionalmente convergente.

8.3. - Teste da Razão para a Convergência Absoluta

Seja ∑∞

=1nna uma série qualquer e seja ρρρρ =

|a|

|a|lim

n

1n

n

+

+∞→

(a) Se ρρρρ < 1, a série converge absolutamente e,logo, converge.

(b) Se ρρρρ >1 ou ρρρρ = +∞∞∞∞, a série diverge.(c) Se ρρρρ = 1, a série pode convergir ou divergir.

8.4.- Exercícios: Verificar a convergência absoluta de

(a) ∑∞

=

−

1k

kk

!k

2)1( (b) ∑∞

=

−−

1kk

k

3

)!1k2()1(

(a) ρ = 101n

2lim

|a|

|a|lim

nn

1n

n<=

+=

+∞→

+

+∞→. A série é

absolutamente convergente e, portanto, convergente.

(b) ρ =

+∞=+×=−

+=

+∞→+∞→)1n2()n2(lim

3

1

)!1n2(

)!1n2(lim

3

1nn

a

série dada é divergente.

Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #17 – Séries de Funções e Séries de Potências

17.56

17 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #17 – Séries de Funções e Séries de Potência


1.- SEQÜÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 1.1.- Introdução - Assim como existem as seqüências e as séries numéricas, existem aquelas que são denominadas seqüências de funções e séries de funções. 1.2.- Exemplos:

� A seqüência numérica {n

1 }= {1, 2

1 ,3

1 ,4

1 ,

... ,n

1 , ... } pode ser escrita sob a forma de

série:

∑∞

=

+++++=1n

...n

1...

3

1

2

11

n

1.

� Nada nos impede de estender este conceito às seqüências de funções, como por exemplo: { nx } = { x , 2x , 3x ,..., nx ,... } cuja série correspondente

seria∑∞

=

+++++=1n

n32n ...x..xxxx.

2.- SÉRIE DE POTÊNCIAS 2.1- Definição: Se c0, c1, c2,... são constantes e a uma variável real, então a série

...)ax(c...)ax(c)ax(cc)ax(c nn

2210

0n

nn +−++−+−+=−∑

+∞

=

é denominada série de potências em x − a. Quando a = 0 então a série se transforma numa

série de potências em x:

...xc...xcxccxc nn

2210

0n

nn +++++=∑

+∞

=

.

Teorema: Para uma série de potências ∑+∞

=

−0n

nn )ax(c ,

exatamente uma das afirmaçãoes é verdadeira:a) A série converge apenas para x = a;b) A série converge absolutamente (logo, converge) para todos os

valores reais de x.c) A série converge absolutamente (e, logo, converge) para todo x

em algum intervalo aberto finito ]a − r, a + r[ e série diverge sex < a − r e x >a + r, sendo que em cada um dos pontos x = a − re x= a + r, a série pode convergir absolutamente, podeconvergir condicionalmente, ou divergir, dependo de cada umadas séries analisadas.

Na figura abaixo: r é o raio de convergência e a é o centro do intervalo I = ]a −−−−r, a + r[ :

aa −−−−r a + r

2.2.- Determinação do Intervalo de Convergência

O raio de convergência de )()(00

xfaxcn

nn

nn ∑∑

+∞

=

+∞

=

=− pode

ser calculado através do Critério da Convergência Absoluta:

n

n

nnn

nn

nn

n

n c

cax

axc

axc

xf

xfr 1

111 lim||

|)(|

|)(|lim

|)(|

|)(|lim +

∞→

++

∞→

+

∞→−=

−

−==

2.2.1.- Exercícios-Modelo: Qual é o intervalo de convergência para as séries:

a) ∑∞

=1n

n

n

x b) ∑

∞

=1n

n 2)-n(x

c) ∑∞

= +1n2

n

n2

x d) ∑

∞

=

−

1n2

n

n

)5x(

Soluções: a) Vamos aplicar o teste da razão para convergência

absoluta

|x|1n

nlim|x|

x

n

1n

xlim

|)x(f|

|)x(f|limr

nn

1n

nn

1n

n=

+=×

+==

+∞→

+

+∞→

+

∞→

Pelo teste da razão para convergência absoluta a série converge para |x| < 1 (isto é: −1< x < 1) e diverge se |x|> 1. Resta-nos saber o que ocorre quando x = −1 e x = 1.

Para x = 1: ...4131211 ++++ é a série harmônica, diverge. Para x = −−−−1: n)1(...4131211 n−+++−+− , 1≤n≤+∞, é convergente; é alternada e o limite


17.57

do termo geral quando n tende a infinito é zero (veja item 7.1. da apostila #16).

Resposta:A série dada converge no intervalo: [-1,1[.

b) Vamos aplicar o teste da razão para convergência

absoluta

n

1nlim|2x|

)2x(n

)2x)(1n(lim

|)x(f|

|)x(f|limr

nn

1n

nn

1n

n

+−=

+

−+==

+∞→

+

+∞→

+

∞→

de onde: |2x|r −= a série será absolutamente

convergente se |x −2| < 1, isto é: −1 < x −2 < 1 ⇒1 < x < 3.

� Temos ainda que verificar se a série é ou não convergente nas extremidades do intervalo, isto é, quando x = 1 e quando x = 3:

x=1⇒ ∑∑∞

=

∞

=

×=1n

n

1n

n n(-1) 2)-n(x e 0n)1lim(n

n ≠×−+∞→

;

x = 3 ⇒ ∑∑∞

=

∞

=

=1n1n

n n 2)-n(x e 0nlimn

≠+∞=+∞→

o que

mostra que em ambos os extremos a série não converge.

Resposta :O intervalo de convergência é ]1, 3[

c) =+

++==

+

+∞→

+

∞→ n

2

2

1n

nn

1n

n x

n2.

)1n(2

xlim

|)x(f|

|)x(f|limr

|x|1n2n2

n2.lim|x|

n

2

n=

+++

+=

+∞→

A série será absolutamente convergente se |x| < 1, isto é, se –1 < x < 1. Mas temos ainda que verificar se a série é ou não convergente nas extremidades do intervalo, isto é, quando x = -1 e quando x = 1:

x=1⇒ ∑∑∞

=

∞

= +=

+ 1n2

1n2

n

n2

1

n2

xe como

22 n

1

n2

1<

+,

pelo teste da comparação, como ∑∞

=1n2

n

1é

convergente, a série dada será convergente quando x = 1;

x= 3 ⇒∑∞

= +

−

1n2

n

n2

)1(é absolutamente convergente

porque ∑∞

= +1n2

n2

1é convergente.

Resposta: O intervalo de convergência é [-1, 1] :

0 -1 1

d) =−+

−==

+

+∞→

+

∞→ n

n

nn

n

n x

n

n

x

xf

xfr

)5(.

)2(

)5(lim

|)(|

|)(|lim

2

11

= =

+−=

+−

+∞→+∞→

22

1lim|5|

1.|5|lim

n

nx

n

nx

nn=

|5| 11

1lim|5|

2

−=

+−=

+∞→x

n

xn

a convergência

absoluta se dá para ρ= r <1 de acordo com o teste da razão. Assim, a série converge absolutamente para |x−5| < 1, ou seja, converge absolutamente no intervalo –1 < x−5 < 1 ou ainda. para: 4 < x < 6, sendo que a série divergirá para x < 4 e x > 6. O centro do intervalo de convergência será a = 5 e o raio de convergência da série será r = 1.

Resta saber o que acontece nos extremos deste intervalo em termos de convergência. Para determinar o comportamento da convergência nos pontos extremos do intervalo devemos fazer x = 4 e x = 6 na série dada:

para x = 4: ...9

1

4

11

n

)1(

n

)54(

1n2

n

1n2

n

+−+−=−

=−

∑∑∞

=

∞

=

é uma série-p que é convergente pois p = 2.

para x = 6: ...9

1

4

11

n

1

n

)56(

1n2

1n2

n

+++==−

∑∑∞

=

∞

=

é

uma série que converge absolutamente. �� Resposta: a série é convergente em I =

[4,6].

5 4 6

r = 1r = 1 3.- FÓRMULA DE TAYLOR-MCLAURIN � Vamos partir da suposição que uma função f = f(x) possa ser escrita sob a forma de uma série (somatório) de potências, isto é:

f = f(x) = ∑+∞

=

−0

)(n

nn axc com a − r < x < a + r,


17.58

onde c e a são constantes reais e r é denominado raio de convergência da série. 3.1.- Teorema: (veja a prova deste Teorema a seguir) Se f é uma função tal que f = f(x) =

∑+∞

=

−0

)(n

nn axc para todo x em um intervalo aberto

que contenha a, então:

+−

+−

+−+=!3

))(('"

2

))(("))((')()(

32 axafaxafaxafafxf

+ )(!

))((...

!4

))(( )(4)4(

xRn

axafaxafn

nn

+−

++− que

poderia ser escrita:

)()(!

)()(

10

0)(

xRxxn

xfxf n

k

n

nn

+−=∑=

, que será

verdadeira em um ponto x se, e somente se, 0)(lim =

+∞→xRn

n.

Observação: a fórmula acima, uma série de

potências, é denominada série de Taylor e o

termo Rn(x) é denominado resto de Lagrange.

O resto de Lagrange permite exprimir o

resíduo ou resto após o n-ésimo termo da

série.

3.2.- Teorema da Estimativa do Resto:

Teorema: Se a função f pode ser diferenciada n+1 vezes em umintervalo I que contém o ponto a, e se | f(n+1)(x)| ≤ M paratodo x em I, então

|)(| )!1(

|)(| 1+−+

≤ nn ax

n

MxR para todo x em I.

3.3.- Um Corolário do Teorema deTaylor - O Teorema de Mclaurin:

�� Se f(x) = ∑+∞

=

×0n

nn xc para todo -r < x < r

então f(x) pode ser escrita como sendo:

...!

)0)(0(...

!4

)0(

!3

)0('"

2

)0(")0(')0(

)(4)(32

+−

+++++⋅+n

xfxfxfxfxff

nnIV

(que é denominada série de Mclaurin). •••• A prova deste corolário (conseqüência) é baseada na prova do Teorema anterior, bastando fazer na fórmula obtida naquele(Fórmula de Taylor) teorema: a = 0.

3.4.- Exercícios Importantes: 3) Determinar as série de Mclaurin para: (a) ex = (b) sen x = (c) cos x =

(d) ln x = para 0 < x ≤2 (e) x−1

1

para |x| <1

Respostas

(f) ex = ∑∞

=

=++++0

32

!...

!3!21

n

n

n

xxxx , ∀x∈]-∞,+∞[

(g) sen x = ∑∞

=

+

+−=+−+−

0

12753

)!12()1(...

!7!5!3 n

nn

n

xxxxx ,

∀x ∈]-∞,+∞[

(h) cos x = ∑∞

=

+−=+−+−0

21

642

)!2()1(...

!6!4!21

n

nn

n

xxxx ,

∀x∈]-∞,+∞[

(i) ln x = =−−+−−− ...)1(3

1)1(

2

1)1( 32 xxx

2

1

1

)1()1(

−−

=∑∞

=

+

xnn

n

, que converge para ln x quando 0<x≤2.

(j) ∑∞

=

=+++=− 0

2 ...11

1

n

nxxxx

, para |x| <1

4) Determinar a série de Taylor para a função sen x fazendo

com que o "a" assuma o valor π/6, isto é, calcular o valor de sen x no entorno (vizinhança) de π/6.

Resposta:

...!4

)6

(

2

1

!3

)6

(

2

3

!2

)6

(

2

1)

6(

2

3

2

1sen

432

+

−

+

−

−

−

−−+=

ππππ

xxxxx

4.- DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIE DE POTÊNCIA 4.1.- As séries de Taylor e de Mclaurin podem ser diferenciadas e integradas. Veja os exemplos a seguir: [1] Seja derivar a série

...!7!5!3

sen753

+−+−=xxx

xx , cujo raio de

convergência é dado por - ∞∞∞∞<x<+∞∞∞∞:

=+−+−=

+−+− ...

!77

!55

!331...

!7!5!3

642753 xxxxxxx

dx

d


17.59

= xxxx

cos...!6!4!2

1642

=+−+−

[2] Seja integrar a série

xxxx

cos...!6!4!2

1642

=+−+− , cujo raio de

convergência é dado por -∞∞∞∞<x<+∞∞∞∞:

=

+−+−=∫ ∫ xd

xxxxdx ...

!6!4!21cos

642

= =++×

−×

+×

− cxxx

x ...)!6(7)!4(5)!2(3

753

cxcxxx

x +=++−+−= sen...!7!5!3

753

Teorema: Se ∑+∞

=1n

nn xc for uma série de potências

com raio de convergência r > 0 então as séries

∑+∞

=

−

1n

1nn xnc e ∑

+∞

=

−−1n

2nn xc)1n(n

(que são derivadas primeira e segunda da série dada)

também terão r como raio de convergência.

Teorema da Diferenciação Termo a Termo:

Se f(x) =∑+∞

=0n

nn xc converge num intervalo ]a,b[

então:

1) ∑+∞

=

−

0n

1nn xnc converge para ]a,b[

2) f(x) é diferenciável em ]a,b[

3) f’(x) = ∑+∞

=

−−0n

2nn xc)1n(n em ]a,b[

Observação: A convergência em um ou em ambos os pontos extremos do intervalo de convergência de uma série de potências pode ser perdida no processo de diferenciação. Veja o exemplo a seguir. Veja: Podemos mostrar, utilizando o teste da

razão que a série f(x)=∑+∞

=1n

n

n

x converge para 1

≤ x <1 enquanto que a sua derivada f

’(x)=∑+∞

=

−

1n

1nx é uma série geométrica que

converge somente para –1< x <1.

Exercícios-Modelo 1) Mostre que a derivada da série cos x

resulta na série: –sen x. 2) Obtenha a série de potência que

represente a função dada por: 2)x1(

1

−.

Solução do exercício 2:

Sabe-se que ∑∞

=

=+++++=−

0n

nn2 x...x...xx1x1

1 ,

para |x| <1 veja exercício (1-e) do item 3.4 na página anterior. Derivando-se ambos os membros da igualdade obtém-se:

∑∞

=

−− =+++++=− 0n

1n1n22

nx...nx...x3x21)x1(

1 ,

para |x| <1.

Teorema da Integração Termo a Termo:

Se f(x) =∑+∞

=0n

nn xc converge num intervalo ]a,b[

então:

1) f(x) = ∑+∞

=

+

+0n

1nn

1n

xc converge para ]a,b[

2) ∫ dx)x(f existe para x em ]a,b[

3) ∫ dx)x(f = ∑+∞

=

+

+0n

1nn

1n

xc+ C em ]a,b[

Exercícios:

1) Expressar dxxsen1

0

2∫ como uma série de

potências.

2) Calcule dxxsen1

0

2∫ com um erro inferior a

10-3. Soluções: 1) A série seno é dada por:

...!7!5!3

sen753

+−+−=xxx

xx , com -∞<x<+∞.

Substituindo-se x por x2 nesta série, obteremos:

...!7

x

!5

x

!3

xxxsen

1410622 +−+−= , que continua a


17.60

convergir no intervalo -∞ < x < +∞. Vamos agora calcular a sua integral::

=

+−+−= ∫∫ dx...

!7

x

!5

x

!3

xxdxxsen

1410622

= ...!715

x

!511

x

!37

x

3

xC

151173

+×

−×

+×

−+ com -∞ < x <

+∞. 2) Vamos utilizar os cálculos efetuados no exercício (1)

0

1...

!715!511!373sen

1511731

0

2

+

×−

×+

×−=∫

xxxxx

Por tentativas iremos verificar que o termo

001,000076,0!511

1<≅

×o que satisfaz a condição

de que o erro cometido nos cálculos seja menor que 10-3.

Logo: 310268,075600

1

1320

1

42

1

3

1dxxsen

1

0

2 =−+−≅∫

com um erro da ordem de 10-3.

5.- MULTIPLICAÇÃO DE SÉRIES DE

POTÊNCIAS As séries como:

...!7

x

!5

x

!3

xx...

!7

x

!5

x

!3

xxxxsenx

8642

753

+−+−=

+−+−×=

...!3!2

...!3!2

154

3232

22 ++++=

++++×=

xxxx

xxxxex x

...!7!5!3

1...!7!5!3

1sen 642753

+−+−=

+−+−×=

xxxxxxx

xx

x

que são obtidas multiplicando-se ou dividindo-se séries de Mclaurin por potência de x, bem como as séries obtidas por diferenciação e integração a partir de séries de potências conhecidas, são elas também séries de Mclaurin das funções que elas passem a representar. �� Se as séries de Mclaurin forem adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas entre si elas se comportarão como polinômios. Veja os exemplos::

[1] f(x) = ex . sen x

...x3

1xx...)

!3

xx(...)

!3

x

!2

xx1(xsene 32

332x +++=+−×++++=

[2] f(x) = tg x : ...x15

2x

3

1x

xcos

xsentgx 53 +++==

5.1.- Cálculo de Integrais por meio de Séries: Existem integrais que, por não possuírem regras ou fórmulas práticas de integração, devem ter seus integrandos desenvolvidos em série de potência (um polinômio) para então serem integrados.

Veja alguns exemplos destes tipos de integral:

dxx

xb

a

sen∫ dx

x

eb

a

x

∫

dxn

xdx

xxxdxe

b

a n

nb

a

b

a

x∫∑∫∫

∞+

=

=

++++=

0

32222

! ...

!3

)(

!2

)(1

22

que é integrável para |x| < 1, logo:

∑∫+∞

=

+

×+=+

×+

×+=

0

1253

!)12(...

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Apostila Completa de Cálculo Diferencial e Integral I

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