Apostila Cálculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
317
UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A) SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA Rudimar Luiz Nós 2 o semestre/2011
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Transformadas do Domínio do Tempo para a Frequência - Útil para Engenheiros
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UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran
DAMAT Departamento Acadmico de Matemtica
Clculo Diferencial e Integral 4 (MA64A)
SRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA
Rudimar Luiz Ns
2o semestre/2011
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2
-
3
No paradoxo dizer
que nos nossos momentos de inspirao mais terica
podemos estar o mais prximo possvel
de nossas aplicaes mais prticas.
A. N. Whitehead (1861-1947)
[email protected] http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos
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4
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5
SUMRIO
1. SRIES.................................................................................................................................................................................9 1.1 SEQUNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9 1.2 SRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................9 1.3 CONVERGNCIA DE SRIES..........................................................................................................................................10
1.3.1 A srie geomtrica..............................................................................................................................................10 1.3.2 Condio necessria convergncia.................................................................................................................11 1.3.3 Teste da divergncia...........................................................................................................................................11 1.3.4 Srie de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11 1.3.5 Convergncia absoluta e condicional ................................................................................................................12 1.3.6 Convergncia uniforme (srie de funes).........................................................................................................12 1.3.7 Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13
2. A SRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17 2.1 FUNES PERIDICAS .................................................................................................................................................17 2.2 SRIES TRIGONOMTRICAS..........................................................................................................................................18 2.3 SRIE DE FOURIER.......................................................................................................................................................22
2.3.1 Definio............................................................................................................................................................22 2.3.2 Coeficientes ........................................................................................................................................................22 2.3.3 Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................25 2.3.4 Convergncia: condies de Dirichlet ...............................................................................................................25
2.4 SRIE DE FOURIER DE UMA FUNO PERIDICA DADA ................................................................................................27 2.5 FUNES PARES E FUNES MPARES..........................................................................................................................35 2.6 SRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................39 2.7 SRIE DE FOURIER DE SENOS.......................................................................................................................................40 2.8 O FENMENO DE GIBBS...............................................................................................................................................44 2.9 A IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SRIES DE FOURIER..............................................................................................45 2.10 CONVERGNCIA DE SRIES NUMRICAS ATRAVS DA SRIE DE FOURIER ..................................................................47 2.11 DERIVAO E INTEGRAO DA SRIE DE FOURIER....................................................................................................48 2.12 A FORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA) DA SRIE DE FOURIER...............................................................................50 2.13 APLICAES DA SRIE DE FOURIER NA SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55
2.13.1 Equaes diferenciais ......................................................................................................................................55 2.13.2 Equao do calor .............................................................................................................................................56 2.13.3 Equao da onda..............................................................................................................................................59 2.13.4 Equao de Laplace .........................................................................................................................................61
2.14 EXERCCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................65 2.15 EXERCCIOS COMPLEMENTARES ................................................................................................................................77
3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER .........................................................................91 3.1 A INTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................92 3.2 CONVERGNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92
3.2.1 Convergncia absoluta e condicional ................................................................................................................93 3.3 A INTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................93 3.4 A INTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................94 3.5 FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................95 3.6 DEFINIO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................97 3.7 TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................99 3.8 TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA.................................................100 3.9 FUNO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................102 3.10 ESPECTRO, AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER............................................................................104 3.11 PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................................106
3.11.1 Comportamento de F() quando || ........................................................................................................107 3.11.2 Linearidade ....................................................................................................................................................108 3.11.3 Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................108 3.11.4 Conjugado......................................................................................................................................................109 3.11.5 Translao (no tempo) ...................................................................................................................................109 3.11.6 Translao (na frequncia) ............................................................................................................................110
-
6
3.11.7 Similaridade (ou mudana de escala) e inverso de tempo ...........................................................................110 3.11.8 Convoluo ....................................................................................................................................................111 3.11.9 Multiplicao (Convoluo na frequncia)....................................................................................................114 3.11.10 Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................115 3.11.11 Derivadas de transformadas de Fourier ......................................................................................................116
3.12 RESUMO: PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................119 3.13 DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120
3.13.1 Propriedades do delta de Dirac .....................................................................................................................121 3.13.2 Transformada de Fourier do delta de Dirac ..................................................................................................122
3.14 MTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................122 3.14.1 Uso da definio.............................................................................................................................................122 3.14.2 Uso de equaes diferenciais .........................................................................................................................126 3.14.3 Decomposio em fraes parciais................................................................................................................128
3.15 TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNES ............................................................................................130 3.15.1 A funo constante unitria ...........................................................................................................................130 3.15.2 A funo sinal.................................................................................................................................................131 3.15.3 A funo degrau .............................................................................................................................................132 3.15.4 Exponencial....................................................................................................................................................132 3.15.5 Funo cosseno..............................................................................................................................................133
3.16 RESUMO: TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNES ...........................................................................134 3.17 IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER ..................................................................................135 3.18 CLCULO DE INTEGRAIS IMPRPRIAS ......................................................................................................................137 3.19 SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141
3.19.1 Equaes diferenciais ordinrias...................................................................................................................141 3.19.2 Equaes diferenciais parciais ......................................................................................................................142
Derivao sob o sinal de integrao Regra de Leibniz .................................................................................................................. 142 3.19.2.1 Equao do calor (EDP parablica).................................................................................................................................. 144 3.19.2.2 Equao da onda (EDP hiperblica) ................................................................................................................................. 146 3.19.2.3 Equao de Laplace (EDP elptica) .................................................................................................................................. 148
3.20 SOLUO DE EQUAES INTEGRAIS E DE EQUAES NTEGRO-DIFERENCIAIS.........................................................151 3.21 EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................154 3.22 EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................157
4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ............................................................................................................................165 4.1 DEFINIO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165
4.1.1 Motivao.........................................................................................................................................................165 4.1.2 Funo de Heaviside........................................................................................................................................166
4.1.2.1 - Generalizao........................................................................................................................................................................ 167 4.1.3 Transformada de Laplace ................................................................................................................................168
4.2 FUNES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................171 4.3 CONVERGNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174
4.3.1 Convergncia absoluta e condicional ..............................................................................................................174 4.3.2 Condies suficientes para a convergncia .....................................................................................................174
4.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNES ELEMENTARES ...............................................................175 4.4.1 f(t) = tn..............................................................................................................................................................175 4.4.2 f(t) = eat ............................................................................................................................................................177 4.4.3 Transformada de algumas funes elementares ..............................................................................................177
4.5 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL................................................................................178 4.5.1 Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s ....................................................................178 4.5.2 Linearidade ......................................................................................................................................................178 4.5.3 Primeira propriedade de translao ou deslocamento ....................................................................................181 4.5.4 Segunda propriedade de translao ou deslocamento.....................................................................................181 4.5.5 Similaridade (ou mudana de escala) ..............................................................................................................182 4.5.6 Transformada de Laplace unilateral de derivadas ..........................................................................................183 4.5.7 Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................185 4.5.8 Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicao por tn) ....................................................186 4.5.9 Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (diviso por t) ..................................................................187 4.5.10 Convoluo ....................................................................................................................................................189 4.5.11 Valor inicial ...................................................................................................................................................190 4.5.12 Valor final ......................................................................................................................................................191
4.6 TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNES PERIDICAS......................................................................192
-
7
4.7 CLCULO DE INTEGRAIS IMPRPRIAS........................................................................................................................194 4.8 MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196
4.8.1 Uso da definio...............................................................................................................................................196 4.8.2 Expanso em srie de potncias.......................................................................................................................196 4.8.3 Uso de equaes diferenciais ...........................................................................................................................200 4.8.4 Outros mtodos ................................................................................................................................................200 4.8.5 Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................200
4.9 TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNES.........................................................................200 4.9.1 Funo nula .....................................................................................................................................................200 4.9.2 Funo degrau unitrio ...................................................................................................................................200 4.9.3 Funo impulso unitrio ..................................................................................................................................201 4.9.4 Algumas funes peridicas.............................................................................................................................202
4.10 MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................204 4.10.1 Completando quadrados ................................................................................................................................204 4.10.2 Decomposio em fraes parciais................................................................................................................204 4.10.3 Expanso em srie de potncias.....................................................................................................................209 4.10.4 Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................211 4.10.5 A frmula de Heaviside ..................................................................................................................................211 4.10.6 A frmula geral (ou complexa) de inverso ...................................................................................................212
4.11 SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................213 4.11.1 Equaes diferenciais ordinrias com coeficientes constantes......................................................................213 4.11.2 Equaes diferenciais ordinrias com coeficientes variveis........................................................................219 4.11.3 Equaes diferenciais ordinrias simultneas...............................................................................................221 4.11.4 Equaes diferenciais parciais ......................................................................................................................223
4.12 SOLUO DE EQUAES NTEGRO-DIFERENCIAIS ....................................................................................................229 4.13 EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................232 4.14 EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................240
5. TRANSFORMADAS ZZZZ ...................................................................................................................................................251
5.1 DEFINIO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .......................................................................................................252 5.2 TRANSFORMADA Z UNILATERAL DE ALGUMAS SEQUNCIAS.....................................................................................253
5.2.1 Verso discreta da funo delta de Dirac........................................................................................................253 5.2.2 Sequncia unitria ou passo discreto unitrio .................................................................................................253 5.2.3 Exponencial......................................................................................................................................................254 5.2.4 Potncia............................................................................................................................................................255
5.3 SRIES DE POTNCIAS: DEFINIO, RAIO DE CONVERGNCIA ....................................................................................256 5.4 EXISTNCIA E DOMNIO DE DEFINIO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .............................................................258 5.5 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .................................................................................................260
5.5.1 Linearidade ......................................................................................................................................................260 5.5.2 Translao (ou deslocamento) .........................................................................................................................264 5.5.3 Similaridade .....................................................................................................................................................265 5.5.4 Convoluo ......................................................................................................................................................266 5.5.5 Diferenciao da transformada de uma sequncia ..........................................................................................267 5.5.6 Integrao da transformada de uma sequncia ...............................................................................................269 5.5.7 Valor inicial .....................................................................................................................................................270 5.5.8 Valor final ........................................................................................................................................................271
5.6 RESUMO: TRANSFORMADA Z UNILATERAL DAS FUNES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................272 5.7 TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ................................................................................................................272 5.8 MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ..............................................................273
5.8.1 Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................273 5.8.2 Decomposio em fraes parciais..................................................................................................................274 5.8.3 Expanso em srie de potncias.......................................................................................................................277 5.8.4 Estratgia geral de inverso ............................................................................................................................279
5.9 TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................................................................................................280 5.9.1 - Srie de Laurent................................................................................................................................................280
5.8.1.1 - Singularidades ....................................................................................................................................................................... 280 5.9.2 Definio..........................................................................................................................................................282
5.10 EQUAES DE DIFERENAS .....................................................................................................................................286 5.10.1 Definio........................................................................................................................................................286 5.10.2 Equaes de diferenas lineares ....................................................................................................................287
-
8
5.10.3 Soluo de equaes de diferenas lineares ..................................................................................................287 5.11 EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................294 5.12 EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................301
6. FORMULRIO ...............................................................................................................................................................307 REFERNCIAS...................................................................................................................................................................317
-
9
1. SRIES 1.1 Sequncias infinitas
Uma sequncia infinita uma funo discreta cujo domnio { }0\N . Notao: { } { } ( )nfa ,0\Nn ,a nn =
Exemplos
1o) { } ( ) { } ,1425
,
1116
,
89
,
54
,
21
a1n3
n1a n2
1nn
=
=+
L
2o) A sequncia { }1n2
na n
+= convergente ou divergente?
{ } ,
3n21n
,
1n2n
,,
115
,
94
,
73
,
52
,
31
a n
+
+
+= KL
Se nn
alim
existe, ento { } a n convergente. Caso contrrio, { } a n divergente.
Como21
n
12
1lim1n2
nlimnn
=
+=
+ , { } a n convergente.
1.2 Sries infinitas
Uma srie infinita definida como sendo a soma dos termos de uma sequncia infinita.
Notao: LL +++++=
=
n321
1n
n aaaaa
Somas parciais:
n321n
3213
212
11
aaaaS
aaaSaaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
Se SSlim nn
=
, ento a srie infinita convergente. Se o limite S no existe, ento a srie
infinita divergente.
Exemplo
( ) ( ) LL +++++++=+
=1nn
15.4
14.3
13.2
12.1
11nn
11n
-
10
( )
11n
nlimSlim
1nn
1n11S
1n1
n
141
31
31
21
211aaaaS
1n1
n
11nn
1a
nn
n
n
n321n
n
=
+=
+=
+=
+++
+
+
=++++=
+=
+=
LL
Logo, a srie infinita convergente.
1.3 Convergncia de sries
Diferenciar:
Condies necessrias convergncia; Condies suficientes convergncia; Condies necessrias e suficientes convergncia.
1.3.1 A srie geomtrica
Teorema: A srie geomtrica
K++++=
=
32
1n
1-n arararar a , com a0,
(i) converge, e tem por soma r1
a
, se ( )1r1 1r
-
11
1.3.2 Condio necessria convergncia
Teorema: Se a srie infinita
=1n
na convergente, ento 0alim nn
=
.
A recproca no sempre verdadeira.
1.3.3 Teste da divergncia
Se
nn
alim
no existir ou 0alim nn
, ento a srie infinita
=1n
na divergente.
1.3.4 Srie de termos positivos: o teste da integral
Teorema: Se f uma funo contnua, decrescente e de valores positivos para todo 1x , ento a srie infinita
( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++=
=
nf2f1fnf1n
(i) converge se a integral imprpria ( )
1
dx xf converge;
(ii) diverge se a integral imprpria ( )
1
dx xf diverge.
Exemplo
A srie harmnica L+++++=
=
51
41
31
211
n
1
1n
divergente.
0n
1limn
=
(condio necessria, porm no suficiente)
( )[ ] ( )[ ] ====
0blnlimxlnlimdxx1
limdxx
1
b
b1b
b
1 b
1
Como a integral diverge, a srie harmnica diverge.
-
12
1.3.5 Convergncia absoluta e condicional
A srie
=1n
na dita absolutamente convergente se K+++=
=
321
1n
n aaaa convergir.
Se
=1n
na convergir mas
=1n
na divergir, ento
=1n
na dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se
=1n
na converge, ento
=1n
na tambm converge.
Exemplo
A srie L++++ 2222222 81
71
61
51
41
31
211 absolutamente convergente, uma vez que
6n1
81
71
61
51
41
31
211
2
1n
22222222pi
==++++++++
=
L (provaremos usando a srie de Fourier).
1.3.6 Convergncia uniforme (srie de funes)
Srie de nmeros reais
K+++=
=
321
1n
n aaaa
Exemplo:
Srie de funes
( ) ( ) ( ) ( ) K+++=
=
xuxuxuxu 321
1n
n
Exemplo:
K+++++=
=
!532
!416
!38
!242
!n2
1n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++=
=
!4x4sen
!3x3sen
!2x2sen
xsen!nnxsen
1n
-
13
A srie de Fourier
=
+
+
1n
nn0
L xn
senbL xn
cosa2
a pipi uma srie de funes trigonom-
ricas.
Sejam a srie ( )
=1n
n xu , onde ( ){ }xu n , K,3,2,1n = uma sequncia de funes definidas em [a,b], ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxuxuxS n321n ++++= L a soma parcial da srie e ( ) ( )xSxSlim n
n=
. A srie
converge para ( )xS em [ ]b,a se para cada 0> e cada [ ]b,ax existe um 0N > tal que ( ) ( ) . O nmero N depende geralmente de e x . Se N depende
somente de , ento a srie converge uniformemente ou uniformemente convergente em [ ]b,a .
Teorema 1: Se cada termo da srie ( )
=1n
n xu uma funo contnua em [a,b] e a srie
uniformemente convergente para S(x) em [a,b], ento a srie pode ser integrada termo a termo, isto ,
( ) ( )
=
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxu dxxu .
Teorema 2: Se cada termo da srie ( )
=1n
n xu uma funo contnua com derivada contnua
em [a,b] e se ( )
=1n
n xu converge para S(x) enquanto ( )
=1n
'
n xu converge uniformemente em [a,b],
ento a srie pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto , ( ) ( )
=
=
=
1n
n
1n
n xudxd
xudxd
.
1.3.7 Teste M de Weierstrass
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemtico alemo.
Se existe uma sequncia de constantes ,1,2,3,n ,M n K= tal que para todo x em um intervalo
(a) ( ) nn Mxu
e
(b)
=1n
nM converge,
ento ( )
=1n
n xu converge uniforme e absolutamente no intervalo.
-
14
Observaes:
1a) O teste fornece condies suficientes, porm no necessrias.
2a) Sries uniformemente convergentes no so necessariamente absolutamente convergentes ou vice-versa.
Exemplo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
++++=
1n
2222 4x4cos
3x3cos
2x2cos
xcosn
nxcosL uniforme e absolutamente
convergente em [0,2pi] (ou em qualquer intervalo), uma vez que
( )22 n
1n
nxcos e 6n
1 2
1n
2
pi=
=
.
Exerccios
01. Mostre que a srie
=
+1n
2
2
4n5n
diverge.
R.: Use o teste da divergncia.
02. Mostre que a srie ( )( )
=
+1n
1n21n21
converge e determine sua soma.
R.: 21
03. Determine se as sries infinitas a seguir so convergentes ou divergentes.
a)
=
+1n
2 1nn
R.: A srie divergente: =+
1 2 dx1xx
.
b) ( )
=1n
3n
nln R.: A srie convergente: ( )
41dx
x
xln
1 3 =
.
-
15
c)
=
1n
nne
R.: A srie convergente:e
2dxxe
1
x=
.
d) ( )
=2nnlnn
1 R.: A srie divergente: ( ) =
2 xlnxdx
.
04. Verifique se as sries de funes seguintes so uniformemente convergentes para todo x .
a) ( )
=1n
n2nxcos
R.: A srie uniformemente convergente para todo x .
b)
=
+1n
22xn
1 R.: A srie uniformemente convergente para todo x .
c) ( )
=
1n
n
2
12nxsen
R.: A srie uniformemente convergente para todo x .
05. Seja ( ) ( )
=
=
1n
3n
nxsenxf . Prove que ( ) ( )
=
=
1n
4
0 1n212dxxf
pi
.
R.: Use ( ) 33 n1
n
nxsen , o teste M de Weierstrass (prove que
=1n3n
1 converge usando o teste da
integral) e o fato de que uma srie uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo.
Observao: Mostraremos futuramente que ( ) 961n21 4
1n
4pi
=
=
. Assim, ( )48
dxn
nxsen 4
0 1n
3pi
= pi
=
.
06. Prove que ( ) ( ) ( ) 0dx7.5
x6cos5.3
x4cos3.1
x2cos
0
=
+++
pi
L .
-
16
-
17
2. A SRIE DE FOURIER
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): fsico, matemtico e engenheiro francs. Principais contribuies: teoria da conduo do calor, sries trigonomtricas.
Por que aproximar uma funo por uma funo dada por senos e cossenos?
Para facilitar o tratamento matemtico do modelo, uma vez que as funes trigonomtricas seno e cosseno so peridicas de perodo fundamental pi2 , contnuas, limitadas e de classe C , ou seja, so infinitamente diferenciveis.
2.1 Funes peridicas
Uma funo RR:f peridica de perodo fundamental P se
( ) ( ) 0P x, xfPxf >=+ .
Exemplos
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1: (a) ( ) ( )xsenxf = , funo de perodo fundamental pi2P = ; (b) ( ) ( )xcosxf = , funo de perodo fundamental pi2P = ; (c) ( ) 5xf = , funo de perodo fundamental 0k ,kP >= ; (d) funo onda triangular, de perodo fundamental 2P = .
-
18
Como as funes ( )xsen e ( )xcos so 2pi-peridicas, temos que
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) L
L
=+=+=+=
=+=+=+=
pipipi
pipipi
6xcos4xcos2xcosxcos6xsen4xsen2xsenxsen
.
Funes peridicas surgem em uma grande variedade de problemas fsicos, tais como as vibraes de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotao da terra em torno do seu eixo, o movimento de um pndulo, a corrente alternada em circuitos eltricos, as mars e os movimentos ondulatrios em geral.
2.2 Sries trigonomtricas
Denomina-se srie trigonomtrica a uma srie da forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2
a332211
0
ou
( ) ( )[ ]
=
++
1n
nn0 nxsenbnxcosa
2a
(2.2.1)
ou
=
+
+
1n
nn0
L xn
senbL xn
cosa2
a pipi. (2.2.2)
Obtm-se a forma (2.2.2) atravs de uma transformao linear que leva um intervalo de amplitude L2 em um intervalo de amplitude pi2 .
Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n
temos um harmnico da srie e 0a , na e nb so os coeficientes da srie.
0a : constante
( )nfa n = e ( )nfbn = : sequncias infinitas
Exemplo
( ) ( ) { }
=
== K,52
,
21
,
32
,
1,
2a
n
12ncos
n
2a n
n
n pipipipipipipi
pi
A srie trigonomtrica (2) tambm pode ser escrita na forma
-
19
=
+pi+1n
nn0 nsenA
2a
L x
, (2.2.3)
onde 2n2
nn baA += , ( )nnn senAa = e ( )nnn cosAb = .
A forma (2.2.3) obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2n2n ba + .
=
+
+
pi+
pi+
+
+
1n2
n
2n
2n
2n
nn2n
2n
2n
2n0
ba
bansenbncosa
ba
ba2
a
L x
L x
=
pi
++
pi
+++
1n2
n
2n
n
2n
2n
n2n
2n
0 nsenba
bncos
baaba
2a
L x
L x
Considerando n2
n
2n Aba =+ , ( )n
n
n senAa = e ( )n
n
n cosAb = , temos que:
( ) ( )
=
pi+
pi+1n
nnn0 nsencos
ncossenA
2a
L x
L x
=
+pi+1n
nn0 nsenA
2a
L x
Em (2.2.3), o termo
+pi nn nsenA L x
chamado harmnico de ordem n e pode ser
caracterizado somente pela amplitude nA e pelo ngulo de fase n .
Questes
01. Dada uma funo f(x) 2L-peridica, quais as condies que f(x) deve satisfazer para que exista uma srie trigonomtrica convergente para ela?
02. Sendo Nn,m , mostre que:
(a) 0n ,0dxL xn
cos
L
L
=
pi
-
20
dun
Ldx dxL
ndu L xn
upi
pipi===
( ) ( )[ ] 0nsennsenn
LL
xnsen
n
LdxL
xncos
L
L
L
L
=pipipi
=
pi
pi=
pi
[ ] ( ) L2LLxdx dxL
xncos0n LL
L
L
L
L
====
pi=
(b) 0dxL xn
sen
L
L
=
pi ( ( )
pi=
L xn
senxf mpar no intervalo [ ]L,L )
dun
Ldx dxL
ndu L xn
upi
pipi===
( ) ( )[ ] 0ncosncosn
LL xn
cosn
LdxL xn
sen
L
L
L
L
=pipipi
=
pi
pi=
pi
00dx dxL xn
sen0nL
L
L
L
==
pi=
(c)
=
=
0nm se L,nm se 0,
dxL xn
cosL
xmcos
L
L
pipi
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
nm se 0dxL
xn-mcos
L xnm
cos 21dx
L xn
cosL
xmcos
vucosvucos21
vcosucos : que LembrandoL
L
L
L
=
+
+=
++=
pipipipi
[ ] Lx21dx
21dx1
L xn2
cos21dx
L xn
cos0nm LLL
L
L
L
L
L
2===
+
pi=
pi=
[ ] L2xdx2 21dx
L xn
cosL
xmcos0nm LL
L
L
L
L
===
pi
pi==
(d)
=
=
0nm se L,nm se 0,
dxL xn
senL
xmsen
L
L
pipi (o produto de duas funes mpares par)
-
21
( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos21
vsenusen : que Lembrando +=
( ) ( )nm se 0dx
L xnm
cosL
xn-mcos
21dx
L xn
senL
xmsen
L
L
L
L
=
pi+
pi=
pi
pi
[ ] Lx21dx
21dx
L xn2
cos121dx
L xn
sen0nm LLL
L
L
L
L
L
2===
pi=
pi=
0dx0 21dx
L xn
senL
xmsen0nm
L
L
L
L
==
pi
pi==
(e) 0dxL xn
senL
xmcos
L
L
=
pipi (o produto de uma funo par por uma mpar mpar)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
0dxL
xm-nsen
L xmn
sen 21dx
L xn
cosL
xmsen
vusenvusen21
vcosusen : que LembrandoL
L
L
L =
+
+=
++=
pipipipi
Observaes:
1a) Os resultados encontrados anteriormente continuam vlidos quando os limites de integrao L e L so substitudos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc .
2a) Funes ortogonais
Definio 1: O produto interno ou produto escalar de duas funes ( )xf e ( )xg em um intervalo [a,b] o nmero
( ) ( ) ( )=b
a
dx xgxf g|f .
Definio 2: Duas funes f e g so ortogonais em um intervalo [ ]b,a se
( ) ( ) ( ) 0dx xgxf g|fb
a
== .
Assim, as funes ( )
=
L xn
senxf pi e ( )
=
L xn
cosxg pi so ortogonais no intervalo ( )L,L .
-
22
2.3 Srie de Fourier
2.3.1 Definio
Seja a funo f(x) definida no intervalo ( )L,L e fora desse intervalo definida como ( ) ( )xfL2xf =+ , ou seja, ( )xf 2L-peridica. A srie de Fourier ou a expanso de Fourier
correspondente a f(x) dada por
=
+
+
1n
nn0
L xn
senbL xn
cosa2
a pipi
sendo que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a so dados pelas expresses a seguir.
( )
=
L
L
0 dxxf L1
a
( )
=
L
L n dxL
xncosxf
L1
api
( )
pi=
L
L
n dxL xn
sen xfL1b
2.3.2 Coeficientes
Se a srie
=
+
+
1n
nn L xn
senbL xn
cosaA pipi
converge uniformemente para ( )xf em ( )L,L , mostre que, para K,3,2,1n = ,
1. ( )
=
L
L n dxL
xncosxf
L1
api
;
2. ( )
pi=
L
L
n dxL xn
sen xfL1b ;
3. 2
aA 0= .
-
23
1. Multiplicando ( )
=
+
+=
1n
nn L xn
senbL xn
cosaAxf pipi por
L xm
cospi
e integrando de L
a L, obtemos:
( )
=
=
pi
pi+
pi
pi+
+
pi=
pi
1nm,,1,2,3,n II
L
L n
L
L n
I
L
L
L
L
dxL xn
senL
xmcosbdx
L xn
cosL
xmcosa
dxL
xmcosAdx
L xm
cosxf
4444444444444 34444444444444 21
444 3444 21
KK
Considerando 0m em I e mn = em II:
( ) LadxL
xmcosxf m
L
L
=
pi
( )
pi=
L
L
m dxL xm
cosxfL1
a ou ( )
pi=
L
L
n dxL xn
cosxfL1
a
Para 0n = , ( )
=
L
L
0 dxxf L1
a . (2.3.2.1)
2. Multiplicando ( )
=
+
+=
1n
nn L xn
senbL xn
cosaAxf pipi por
L xm
senpi
e integrando de L
a L, obtemos:
( )
=
=
pi
pi+
pi
pi+
+
pi=
pi
1nm,,1,2,3,n I
L
L n
L
L n
L
L
L
L
dxL xn
senL
xmsenbdx
L xn
cosL
xmsena
dxL
xmsenAdx
L xm
sen xf
4444444444444 34444444444444 21KK
Considerando mn = em I:
-
24
( ) LbdxL
xmsen xf m
L
L
=
pi
( )
pi=
L
L
m dxL xm
sen xfL1b ou ( )
pi=
L
L
n dxL xn
sen xfL1b
3. Integrando ( )
=
+
+=
1n
nn L xn
senbL xn
cosaAxf pipi de L a L, obtemos:
( )
=
+
+=
1n
L
L n
L
L n
L
L
L
L
dxL xn
senbdxL xn
cosadx Adxxf pipi
Para ,,3,2,1n K= obtemos:
( ) AL2dxxf L
L
=
( ) dxxf L21A
L
L = (2.3.2.2)
Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), conclumos que 2
aAAL2La 00 == .
Observao: Os resultados encontrados continuam vlidos quando os limites de integrao L e L so substitudos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc .
Teorema 1: Se ( )
=1n
n xu e ( )
=1n
n xv so uniformemente convergentes em bxa e se
( )xh contnua em bxa , ento as sries ( ) ( )[ ]
=
+
1n
nn xvxu , ( ) ( )[ ]
=
1n
nn xvxu ,
( ) ( )[ ]
=1
n
n xuxh e ( ) ( )[ ]
=1n
n xv xh so uniformemente convergentes em bxa .
Demonstrao: KAPLAN, W. Clculo avanado. Vol 2. Pgina 393.
-
25
Teorema 2: Toda srie trigonomtrica uniformemente convergente uma srie de Fourier. Mais precisamente, se a srie
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2
a332211
0
converge uniformemente a ( )xf para todo x , ento ( )xf contnua para todo x , ( )xf tem perodo pi2 e a srie trigonomtrica a srie de Fourier de ( )xf .
2.3.3 Continuidade seccional ou por partes
Uma funo seccionalmente contnua ou contnua por partes em um intervalo t se este intervalo pode ser subdividido em um nmero finito de intervalos em cada um dos quais a funo contnua e tem limites, direita e esquerda, finitos.
Exemplo
Figura 2: Funo seccionalmente contnua [13].
2.3.4 Convergncia: condies de Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemtico alemo.
Suponha que:
(1) ( )xf definida em ( )L,L , exceto em um nmero finito de pontos;
(2) ( )xf 2L-peridica fora de ( )L,L ;
(3) ( )xf e ( )xf ' so seccionalmente contnuas em ( )L,L .
Ento, a srie
=
+
+
1n
nn0
L xn
senbL xn
cosa2
a pipi,
-
26
com coeficientes de Fourier, converge para:
(a) f(x), se x um ponto de continuidade;
(b) ( ) ( )2
xfxf+ +
, se x um ponto de descontinuidade.
Observaes:
1a) ( )+xf e ( )xf representam os limites laterais de f(x), direita e esquerda, respectivamente.
( ) ( )hxflimxf0h
+=+
+ e ( ) ( )hxflimxf 0h = +
2a) As condies (1), (2) e (3) impostas a f(x) so suficientes para a convergncia, porm no necessrias.
Demonstrao: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Clculo avanado. 2a ed. Porto Alegre: Bookman.
Teorema fundamental: Seja ( )xf uma funo definida e muito lisa por partes no intervalo pipi x e seja ( )xf definida fora desse intervalo de tal modo que tenha perodo pi2 . Ento a srie
de Fourier de ( )xf converge uniformemente a ( )xf em todo intervalo fechado que no contenha descontinuidades de ( )xf . Em cada descontinuidade 0x , a srie converge para
( ) ( )
+
+xflimxflim
21
00 xxxx.
Demonstrao: KAPLAN, W. Clculo avanado. Vol 2. Pgina 461.
Observao: Uma funo contnua por partes lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada primeira contnua; muito lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada segunda contnua.
Teorema da unicidade: Sejam ( )xf1 e ( )xf2 funes seccionalmente contnuas no intervalo pipi x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Ento, ( ) ( )xfxf 21 = ,
exceto talvez nos pontos de descontinuidade.
Demonstrao: KAPLAN, W. Clculo avanado. Vol 2. Pgina 456.
-
27
2.4 Srie de Fourier de uma funo peridica dada
Exemplo 1
Seja ( )
-
28
( )
pi+
pi=
pi=
5
0
0
5
L
L
n dx5 xn
cos3dx5 xn
cos051dx
L xn
cosxfL1
a
( ) ( )[ ] 00sennsenn
35 xn
senn
553
a
5
0n =pi
pi=
pi
pi=
0a n =
( )
pi+
pi=
pi=
5
0
0
5
L
L
n dx5 xn
sen3dx5 xn
sen051dx
L xn
senxfL1b
( ) ( )[ ] ( )[ ]pipi
=pipi
=
pi
pi= ncos1
n
30cosncosn
35 xn
cosn
553b
5
0n
( )[ ] ( )[ ]11n
311n
3b 1nnn +pi
=
pi=
+
( )[ ]11n
3b 1nn +pi
=+
Srie de Fourier de ( )xf :
( ) ( )
=
+
pi+
pi+=
1n
1n
5x n
senn
11323
xf
( )
+
pi+
pi+
pi+
pi
pi+= K
5 x7
sen72
5 x5
sen52
5 x3
sen32
5 x
sen123
23
xf
( )
+
pi+
pi+
pi+
pi
pi+= K
5 x7
sen71
5 x5
sen51
5 x3
sen31
5 x
sen6
23
xf
( ) ( )
=
pi
pi+=
1n5
x1n2sen
1n216
23
xf
-
29
(a) (b)
Figura 4: (a) Expanso de f(x) em srie de Fourier com 19n = ; (b) expanso de f(x) em srie de Fourier com 49n = .
d) Redefina f(x) para que a srie de Fourier venha a convergir para f(x) em 5x5 .
( )
=
-
30
b) Expanda f(x) em uma srie de Fourier.
pi=pi== L2L2P
Lembre-se de que a funo est definida em ( )L2,0 , e no em ( )L,L .
( ) ( )3
80831
3x1dx x1dxxf
L1
a2
32
0
32
0
2
L2c
c
0pi
=pipi
=
pi=
pi==
pipi+
38
a2
0pi
=
( ) ( )pi+
pi=
pi=
2
0
2
L2c
c
n dxnxcos x1dx
L xn
cosxf L1
a (2.4.1)
Usando integrao por partes, temos que:
= vduuvudv
( ) ( )n
nxsen v,dxnxcosdv 2xdx,du ,xu 2 ====
( ) ( ) ( ) = dxnxsen xn2
n
nxsenxdxnxcosx2
2
( ) ( )n
nxcos v,dxnxsendv dx,du ,xu ====
( ) ( ) ( ) ( )
+= dxnxcos
n
1n
nxcosx
n
2n
nxsenxdxnxcosx2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ++= Cnnxsen2
n
nxcosx2n
nxsenxdxnxcosx 322
2
Voltando a (2.4.1), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )pipi
+
pi=
pi=
2
032
22
0
2n
n
nxsen2n
nxcosx2n
nxsenx1dxnxcos x1a
-
31
22n n
40n
41a =
pi
pi=
2n n
4a =
( ) ( )pi+
pi=
pi=
2
0
2
L2c
c
n dxnxsen x1dx
L xn
senxf L1b (2.4.2)
Usando integrao por partes, temos que:
( ) ( )n
nxcos v,dxnxsendv 2xdx,du ,xu 2 ====
( ) ( ) ( ) += dxnxcos xn2
n
nxcosxdxnxsenx2
2
( ) ( )n
nxsen v,dxnxcosdv dx,du ,xu ====
( ) ( ) ( ) ( )
+= dxnxsen
n
1n
nxsen x
n
2n
nxcosxdxnxsenx2
2
( ) ( ) ( ) ( ) +++= Cnnxcos2
n
nxsen x2n
nxcosxdxnxsenx 322
2
Voltando a (2.4.2), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )pipi
++
pi=
pi=
2
032
22
0
2n
n
nxcos2n
nxsen x2n
nxcosx1dxnxsen x1b
n
4n
2n
2n
41b 332
n
pi=
+
pi
pi=
n
4bnpi
=
-
32
Srie de Fourier de ( )xf :
( ) ( ) ( )
=
pi+
pi=
1n
2
2
n
nxsen
n
nxcos43
4xf (2.4.3)
Em 0x = , (2.4.3) converge para a mdia dos limites laterais, ou seja
22
22
04pi=
+pi.
Figura 6: (a) Expanso de f(x) em srie de Fourier com 10n = ; (b) expanso de f(x) em srie de Fourier com 20n = .
c) Usando a srie de Fourier de f(x), prove que 64
131
211
n
1 2222
1n
2pi
=++++=
=
L .
Considerando 0x = em (3), temos que:
=
+pi
=pi
1n
2
22
n
143
42
32
342
n
1422
2
1n
2pi
=
pipi=
=
-
33
( )
>
+
-
34
Exerccios
01. Seja ( ) pi+= xxf , pipi
-
35
03. Seja o sinal representado no grfico abaixo.
4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
Figura 8: Sinal.
a) Determine a srie de Fourier correspondente ao sinal.
R.: ( ) ( ) ( )
=
+
pi+
pi+=
1n
1n
xnsenn
1141xf
b) Para quanto converge a srie de Fourier do sinal em 1x = ? E em 2x = ?
R.: 1
c) Use a srie de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a srie numrica
=1n
2n
1.
R.: 6
2pi
d) Plote simultaneamente os grficos de ( )xf e da srie de Fourier de ( )xf .
2.5 Funes pares e funes mpares
Uma funo f(x) par se
( ) ( )xfxf = .
Assim, ( ) 21 xxf = , ( ) 5x4x2xf 262 += , ( ) ( )xcosxf3 = e ( ) xx4 eexf += so funes pares.
-
36
Figura 9: Grfico da funo ( ) xx eexf += .
Uma funo f(x) mpar se
( ) ( )xfxf = .
Assim, ( ) 31 xxf = , ( ) x2x3xxf 352 += , ( ) ( )xsenxf3 = e ( ) ( )x3tgxf 4 = so funes mpares.
Figura 10: Grfico da funo ( ) x2x3xxf 35 += .
Teorema Propriedades das funes pares e mpares
(a) O produto de duas funes pares par.
(b) O produto de duas funes mpares par.
(c) O produto de uma funo par e uma funo mpar mpar.
(d) A soma (ou diferena) de duas funes pares par.
-
37
(e) A soma (ou diferena) de duas funes mpares mpar.
(f) Se f par, ento ( ) ( ) =
a
0
a
a
dxxf 2dxxf .
(g) Se f mpar, ento ( ) 0dxxf a
a
=
.
Demonstrao
Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF = .
(a) Suponhamos f(x) e g(x) funes pares. Assim:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par xFxFxg xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
===
==
b) Suponhamos f(x) e g(x) funes mpares. Logo:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) par xFxFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
====
==
(c) Suponhamos f(x) par e g(x) mpar. Ento:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) mpar xFxFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
====
==
Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF = .
(d) Suponhamos f(x) e g(x) funes pares. Dessa forma:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par xFxF xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
=====
(e) Suponhamos f(x) e g(x) funes mpares. Assim:
-
38
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) mpar xFxFxgxf xgxfx-g xfxF
mpar xFxFxgxf xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
==+==
=+==+=
==
(f) f(x) par ( ) ( )xfxf =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=+=+=
===
a
0
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
dxxf 2dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf
dxxf dxxf dxxf dxxf
(g) f(x) mpar ( ) ( )xfxf =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf
dxxf dxxf dxxf dxxf
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
=+=+=
===
Exemplo
( ) ( ) ( ) ] [= ,- x,x3senx2cosxxf 5
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( )xf
x3senx2cosx x3senx2cos-x
x3senx2cosxxf
5
5
5
=
=
=
=
( )xf funo par
Exerccios
Verifique a paridade das seguintes funes:
01. ( ) ( ) ( )x4cosxsenxf = , ] [ ,x
02. ( ) ( ) ( )x5cosx2cosxf = , ] [ ,x
03. ( ) ( ) ( )xsenx3senxf = , ] [ ,x
04. ( ) ( ) ( ) ( )x2senxcosx5senxf = , ] [ ,x
-
39
05. ( ) ( )x2senxxf 4= , ] [ ,x
06. ( ) ( )x3cosxxf 2= , ] [ ,x
07. ( ) ( ) ( )x4senxcosxxf 7= , ] [ ,x
08. ( ) ( ) ( )x2cos2xxf += , ] [ ,x
09. ( ) ( )xsenexf x= , ] [ ,x
10. ( ) ( ) ( ) ( )xsenx3coseexf xx += , ] [ ,x
11. ( ) xexxf += , ] [ ,x
12. ( )x
1xf = , ] [ ] [ ,00,x
13. ( ) ( ) ( ) ( )x8cosx10seneex
1xf xx2
+= , ] [ ] [ ,00,x
14. ( ) ( ) ( ) ( )x3senxcoseexf xx = , ] [ ,x
2.6 Srie de Fourier de cossenos
Se f(x) uma funo par em ( )L,L , ento temos que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0dxL xn
senxfL1b
dxL xn
cosxf L2
xdL xn
cosxf L1
a
dxxf L2dxxf
L1
a
L
L mpar funo
n
L
0
L
L par funo
n
L
0
L
L 0
=
=
=
=
==
44 344 21
44 344 21
pi
pipi
Srie de Fourier de cossenos: ( )
=
+=
1n
n0
L xn
cosa2
axf pi
Exemplos
01. Expanda ( )
-
40
R.: ( ) ( )
=
+=
1n
2
n
2 2 xn
cosn
1141xf pipi
4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
Figura 11: Grfico da funo ( )
-
41
( ) ( ) ==
L
0
L
L par funo
n dxL xn
senxfL2dx
L xn
senxfL1b pipi
44 344 21
Srie de Fourier de senos: ( )
=
=
1n
n L xn
senbxf pi
Exemplo
Expanda ( ) 2x2- ,xxf
-
42
b) Determine para quanto converge a srie ( )
=
+
1n
1n
1n21
.
R.: 4pi
02. Calcule a srie de Fourier do sinal peridico representado no grfico (a) da figura abaixo.
(a) (b)
Figura 13: (a) Sinal; (b) Srie de Fourier do sinal com cinco harmnicos.
R.: ( )
=
+=
1n
22 2 xn
cosn
12
ncos
823
xf pipi
pi
03. Calcule a srie de Fourier do sinal peridico representado no grfico (a) da figura abaixo.
(a) (b)
Figura 14: (a) Sinal; (b) Srie de Fourier do sinal com vinte harmnicos.
-
43
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
2
1
1
2
3
x
y
R.: ( )( )
=
=
1n
n
2 xn
senn
2n
senn
216
xf pipi
pi
pi
04. Seja ( )
-
44
06. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x3cosxxf/RR:f =pi+pi
-
45
1 1
1
x
y
Figura 16: Srie de Fourier da onda quadrada ( )
-
46
Demonstrao
Assumimos que a srie de Fourier correspondente a ( )xf converge uniformemente para ( )xf em ( )L,L e que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) LbdxL xn
senxf dxL xn
senxfL1b
L a dxL xn
cosxf dxL xn
cosxfL1
a
Ladxxf dxxf L1
a
n
L
L
L
L n
n
L
L
L
L n
0
L
L
L
L 0
=
=
=
=
==
pipi
pipi
Dessa forma, multiplicando
( )
=
+
+=
1n
nn0
L xn
senbL xn
cosa2a
xf pipi
por ( )xf e integrando termo a termo de L a L, temos que:
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
=
=
=
=
++=
++=
++=
+
+=
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
nnnn00
L
L
2
1n
L
L n
L
L n
L
L
0L
L
2
ba2
adxxf L1
ba2
aLdxxf
LbbLaaLa2
adxxf
dxL xn
senxfbdxL xn
cosxfadxxf 2
adxxf pipi
Aplicaes
Convergncia de sries. Verificar se uma srie trigonomtrica a srie de Fourier de uma funo f(x).
-
47
Exerccio
Seja ( )
-
48
90n1 4
1n
4pi
=
=
(2.10.1)
Empregando (2.9.1) e (2.10.1), temos que:
( )
( )
( ) 1440n21
14401516
9690n21
81
61
41
21
n21
4
1n
4
4444
1n
4
4444
1n
4
pi
pipipipi
=
==
++++=
=
=
=
L
2.11 Derivao e integrao da srie de Fourier
Teorema 1: Se ( ){ } K1,2,3,n ,xu n = , forem contnuas em [ ]b,a e se ( )
=1n
n xu convergir
uniformemente para a soma ( )xS em [ ]b,a , ento
( ) ( )
=
=
1n
b
a
n
b
a
dxxu dxxS ou ( ) ( )
=
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxu dxxu .
Assim, uma srie uniformemente convergente de funes contnuas pode ser integrada termo a termo.
Teorema 2: Se ( ){ } K1,2,3,n ,xu n = , forem contnuas e tiverem derivadas contnuas em [ ]b,a e se ( )
=1n
n xu convergir para ( )xS enquanto ( )
=1n
'
n xu uniformemente convergente em [ ]b,a , ento em [ ]b,a
( ) ( )
=
=
1n
'
n
'
xuxS ou ( ) ( )
=
=
=
1n
n
1n
n xudxd
xudxd
.
Dessa forma, a srie pode ser derivada termo a termo.
Observao: Os teoremas 1 e 2 oferecem condies suficientes, porm no necessrias.
-
49
Teorema 3: A srie de Fourier correspondente a f(x) pode ser integrada termo a termo de a a x,
e a srie resultante convergir uniformemente para ( )x
a
duuf desde que f(x) seja seccionalmente contnua em LxL e ambos, a e x, pertenam a esse intervalo.
Exemplo
Seja ( ) 2x2- ,xxf
-
50
Em (1), se a soma
-
51
b) Mostrar que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a podem ser escritos como uma nica
integral ( ) K3,2,1,0,n ,dxexf L21
c
L
L-
Lx ni
n ==
pi
.
a) Recordando as identidades de Euler (Leonhard Euler (1707-1783): matemtico suo)
( ) ( ) sen icose i =
Seja ( ) ( ) ( )[ ] xiexsen ixcosxf += . (2.12.1)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) xi xi eixsen ixcosexsen xcosixfdxd
++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xf0exsen xcosixsen xcosixfdxd
xi =+= constante
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1e0sen i0cos0f 0i =+=
( ) 1xf =
Voltando a (2.12.1), temos que:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) xi xi exsen ixcosexsen ixcos1 =++=
Assim:
=
+
=
+
=
L xn
sen iL xn
cosL xn
sen iL xn
cose
L xn
sen iL xn
cose
L xni
L xni
pipipipi
pipi
pi
pi
As igualdades anteriores conduzem a:
i2ee
L xn
sen
2ee
L xn
cos
L xni
L xni
L xni
L xni
pipi
pipi
pi
pi
=
+=
Substituindo as igualdades acima na srie de Fourier de ( )xf , temos que:
-
52
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
=
=
=
++
+=
+
++=
+
++=
++
+=
+
+=
1n
L xni
nnL xni
nn0
1n
L xni
nnL xni
nn0
1n
L xni
nnL xni
nn0
1n
L xni
L xni
n
L xni
L xni
n0
1n
nn0
e2
ibae
2iba
2a
xf
ei2bia
ei2bia
2a
xf
ei2
b2
ae
i2b
2a
2a
xf
i2eeb
2ee
a2a
xf
L xn
senbL xn
cosa2a
xf
pipi
pipi
pipi
pipipipi
pipi
Considerando 2
ibac nnn
= e cca
2iba
c nnnnn
n- +=+
= e ( )nnn ccib = :
( )
=
pi
=
n
ni
necxf L x
2a
c0n 00 ==
Exerccio
Mostre que ( )
=
=
nm se 2L,nm se ,0
dxe L
L-
Lx mni pi
b) Multiplicando ( )
=
=
n
L xni
necxfpi
por L xmi
epi
e integrando de L a L, obtemos:
( )
( ) ( )
=
=
=
=
n
L
L-
Lx mni
n
L
L-
Lx mi
n
L
L-
Lx mi
Lx ni
n
L
L-
Lx mi
dxe cdxexf
dxee cdxexf
pipi
pipipi
-
53
Considerando mn = :
( )
( )
=
=
L
L-
Lx ni
n
n
L
L-
Lx ni
dxexf L21
c
L2cdxexf
pi
pi
Outra forma de mostrar:
( ) ( ) ( )
( )
=
==
L
L n
L
L
L
L nnn
dxL xn
sen iL xn
cosxf L21
c
dxL xn
senxfL1idx
L xn
cosxfL1
21iba
21
c
pipi
pipi
( )
=
L
L
L xni
n dxexf L21
cpi
( ) ( )2
acac2dxxf
L1
c2dxxfL21
c 0000
L
L0
L
L0 ====
Exemplo
( ) 2L4P 2,x2- ==
-
54
0c0n 0 == (substitua n por 0 em (2.12.2))
( )
=
pi
=
n
ni
n ecxf L x
( ) ( ) ( )
=
pi
=
pi
pi=
pi=
n
nin
n
nie
n
1i2e1
n
i2xf 2
x
2 x
n
Verificando a equivalncia entre as formas exponencial e usual:
( ) ( )
=
pi
pi
pi=
n
n
2 xn
sen2 xn
cos in
12xf
Para n opostos, ( )
pi
2 x
nn
cosin
1 se anula e ( )
pi
2 xn
senn
1 n duplica. Assim:
( ) ( )
=
+
pi
pi=
1n
1n
2 xn
senn
14xf
0dxx41
c
20 ==
2
Exerccios
01. Determine a srie de Fourier na forma exponencial de ( ) xexf = , pi
-
55
R.: ( ) ( )
=
pi+
==+
pi=
n
05 xni1n
0c0n ,en
11i10xf ou ( )
( )
=
pi
pi=
n
5 x 1n2i
1n2ei20
xf
03. Seja ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2xf =pi+pipi= (2)
Uma equao diferencial parcial (EDP) uma igualdade envolvendo as derivadas de uma funo de duas ou mais variveis independentes.
Exemplos
( ) ( ) 0 t2,x0 ,t,xu2t,xu xxt >
-
56
( ) ( ) 1y0 1,x0 ,xy2y
y,xux
y,xu2
2
2
2
-
57
( ) ( )( )( )
+=
ax x,0ax x,1
axx0
00 e u ( )[ ]
+=+
ax x,0ax x,1
axx0
00 .
Considerando
( ) ( )0a0a0 xxlimxx = ,
temos a distribuio delta de Dirac
( )
=
=0
00
x xse 0,x xse ,
xx . (3.13.2)
-
121
A distribuio (3.13.2) pode ser escrita como ( ) ( )
=
==c xse 0,c xse ,
cxxc .
Quando 0c = , temos que ( )
=
=0 xse 0,0 xse ,
x .
Fisicamente, o delta de Dirac pode ser interpretado como um impulso de energia em um sistema, razo pela qual recebe o nome de funo impulso de Dirac.
3.13.1 Propriedades do delta de Dirac
A distribuio delta de Dirac ( )x= apresenta as seguintes propriedades:
1. ( ) 0 xse ,0x = ;
2. ( ) ( ) Rx ,xx = ;
3. ( ) = 0 ;
4. ( ) ( ) ( ) ( )x0fxxf = se ( )xf for contnua em 0x = ;
5. ( ) ( ) ( ) ( )000 xxxfxxxf = se ( )xf for contnua em 0xx = ;
6. ( ) 1dxx
=
;
7. ( )( ) ( )xfxf = , se ( )xf contnua;
8. ( ) ( ) ( )0fdxxxf
=
, se ( )xf contnua em 0x = ;
9. ( )( ) ( )cfxf c = , se ( )xf contnua em cx = ;
10. ( ) = x u ( )dxd
x'
= u ( )x , onde u ( )x a funo degrau unitrio;
11. ( ) ( )xa
1ax = .
Observao: Mais informaes a respeito do delta de Dirac podem ser obtidas em HSU, H.P. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman.
-
122
3.13.2 Transformada de Fourier do delta de Dirac
Aplicando a transformada de Fourier propriedade 7, temos que:
( )( ) ( )xfxf =
( )( ){ } ( ){ }xfxf = ( ){ } ( ){ } ( ){ }xfxxf =
( ){ } 1x =
{ } ( )x11 =
Dessa maneira, podemos escrever o par de transformadas
( ) 1 x .
3.14 Mtodos para obter a transformada de Fourier
3.14.1 Uso da definio
Mostre que { } ( ) 0aRe ,a
a2e 22
xa >+
= .
=
0 x,e 0 x,e
eax
axxa
{ } ( ) ( )
+
+
+=+=
0
xia
0
xia
0
xiax
0
xiaxxa dxe dxe dxee dxee e
( ) ( ) 2
21
1
k
0
xia
k
0
k
xia
k iaelim
iaelim
++
+=
+
+
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 22
11
k
0
ax
k
0
k
ax
k ia xsen i xcoselim
ia xsen i xcoselim
+
++
+
+=
-
123
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
+
+
++
+
+
+
+=
>
>
ia1
iak sen ik coselim
iak sen ik cose
ia1lim
0 aRe se 0
22ak
k
0 aRe se 0
11ak
k
2
2
1
1
44444 344444 21
44444 344444 21
( )( ) 222222 a
a2a
a2ai
iaiaia
1ia
1+
=
=
++=
+
+=
Exemplo 1
{ } ( )136
3232
edxe 222
x3
xi2x3 | =+===
+
Exemplo 2
Seja ( ) xa6exxf/RR:f = .
1. Determine ( ) ( ){ }xfF = .
Lembrando que ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }xfF ,Fixfx nnn == e que { } 22xa aa2e += , 0a > , temos que:
{ } ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
+
=
+
=
+
+
=
+
++
=
+
=
+
+
=
+
++
=
+
=
+
=
+=
+==
422
23
3
3
422
23
3
3
422
2222
3
3
622
22222322
3
3
322
22
4
4
322
222
4
4
422
22222
4
4
2225
5
2225
5
226
6
226
66xa6
a
a
dd
a48
a
a1212dd
a4a
63aa6dd
a4
a
2a33aa6dd
a4a
3add
a4
a
4add
a4a
2a2add
a4
add
a4a
2dd
a2
a
1dd
a2a
a2ddiF ex
-
124
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
+
+
=
+
++
=
522
232222
2
2
822
3222342222
2
2
a
8aaa3dd
a48
a
2a4aaa3dd
a48
( )
( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
( )
( )
+
+=
+
++=
+
+++=
+
++++=
+
+
=
+
+
=
+
+++
=
+
+
=
+
++
=
+
=
+
=
+
++
=
722
642246
722
624426
722
4325224224
1222
52243256224224
622
4325
622
4325
622
4532325432
622
44222232
1022
422442252232
522
4422
2
2
522
4422
2
2
522
224422224
2
2
a
7a35a21a1440a
a
a3a63a10521a480
a
12a3a103aa3a3015a480
a
2a6a3a103aa3a3015a480
a
a3a103dd
a480a
a30a10030dd
a48
a
a1050a100a2020a20a20dd
a48
a
10a5a10a20a20dd
a48
a
2a5a5a10a20a20dd
a48
a
a5a10dd
a48
a
a5a10dd
a48
a
a88aaa33dd
a48
{ } ( ) 0a ,a7a35a21a1440aex 722
642246xa6 >
+
+=
(3.14.1.1)
-
125
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
2. Plote os grficos de ( )xf e de ( ) ( ){ }xfF = para 2a = e comente-os.
( ) x26exxf = ( ) ( )
+
+= 72
642
47140336642880F
Figura 52: Grfico de ( ) ( )
+
+= 72
642
47140336642880F (azul) e de ( ) x26exxf = (vermelho).
Comentrios: ( )xf e ( )F so funes 1. que se anulam no infinito; 2. pares; 3. limitadas; 4. contnuas; 5. absolutamente integrveis; 6. pertencentes ao espao de Schwarz.
3. Calcule ( )
+
+ 72642
1xx7x35x211
.
Considerando 1a = em (3.14.1.1), temos que
-
126
( ) x6exxf = e ( ) ( )
+
+= 72
642
17352111440F .
Propriedade da simetria (dualidade): ( ){ } ( ) ( ){ } ( )=pi= Fxf ,f2xF
( ) ( )
pi
=
pi
=pi
=
+
+
0 se ,e720
0 se ,e720
e720
e1440
21x
x7x35x211
6
6
6672
642
3.14.2 Uso de equaes diferenciais
Mostre que a22ax 22
ea
2e
pi =
e, conseqentemente, 22x
22
e 2e
pi
=
, sendo
( ) 2axexf = a funo gaussiana e 0a > .
Seja ( ) 2ax2
exf
= . Ento, ( )xf satisfaz equao diferencial ordinria de primeira ordem
( ) ( ) 0xaxfxf ' =+ . (3.14.2.1)
Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados de (3.14.2.1), obtemos:
( ){ } ( ){ } { }0xf xaxf ' =+
( ) ( ) ( ) 0FddiaF i =+
( ) ( )
F iFddi a =
( )( ) ( )[ ]
aFln
dd
addF
F1
=
=
( )[ ]
=
da
dFlndd
( ) 12
C2a
1F ln +=
-
127
( ) a22
CeF
= (3.14.2.2)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.2.2), chegamos a
( ) ( ){ } ( )
pi
=pi
==
xia2
xi1 deCe 21deF
21Fxf
2
. (3.14.2.3)
Considerando 0x = em (3.14.2.3), temos que
( )C
de C2de de
2C10f
0
a2
a2
a2
222
pi=
pi=
pi==
. (3.14.2.4)
Calculando a integral em (3.14.2.4):
dua2d ,ua2ua2
22
===
0a ,u ,0u0 >
Cdue a2dua2e de
0
u
0
u
0
a2 222
pi===
(3.14.2.5)
Calculando a integral em (3.14.2.5):
dww21
ud ,wwuwu 21
21
2 ====
wu ,0w0u
221
21dwew
21dww
21
e due
0
w21
0
21
w
0
u2 pi=
===
(3.14.2.6)
Substituindo (3.14.2.6) em (3.14.2.5), obtemos
a
2a2
2CC2
a2 pipi
pipipi=== . (3.14.2.7)
Substituindo (3.14.2.7) em (3.14.2.2), temos que
( ) a22
ea
2Fpi
= . (3.14.2.8)
-
128
Considerando 1a = em (3.14.2.8), conclumos que 22x
22
e 2e
pi
=
.
Exemplo
{ }4
92
3
3
x
xi3x
ee
22
edxe 2
22 | pi=pi== =
+
3.14.3 Decomposio em fraes parciais
Seja ( ) ( )6i8
i410F 2+
=
. Determine ( ){ }F1 .
( )i 104i10i42
40i806i 82 ====+
( ) ( )[ ] ( )[ ]i 104 i 104 i 1040F + = (3.14.3.1)
Decompondo (3.14.3.1) em fraes parciais, temos que:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )i 104Bi 104Ai 104 i 104 i 1040F ++=+ = (3.14.3.2)
( )[ ] ( )[ ]i 104Bi 104Ai 1040 ++=
( ) ( )[ ] ( ) BAB i 104A i 104i 1040 ++++=
( ) ( ) i -5B i, 5A40 B i 104A i 104i 10B A
==
=++
=+ (3.14.3.3)
Substituindo (3.14.3.3) em (3.14.3.2), obtemos:
( ) ( ) ( )i 104 i 5i 104 i 5F +=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )iii 104 i 5iii 104 i 5F +=
( ) ( ) ( ) i 104 5 i 104 5F ++++=
-
129
( ) ( ) ( ) i 104 5 i 104 5F += (3.14.3.4)
Sabemos que { axe u ( )x } ( ) 0,aRe , ia
1>
= u ( )
=
0 x0,0 x,1
x . (3.14.3.5)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.3.4) e empregando (3.14.3.5), chegamos a
( ) ( ){ } ( ) ( )
+
==
>
>
i 104 15
i 104 15Fxf
0
1
0
11
4342143421
( ) x 104e5 = u ( ) ( ) x 104e5x + u ( )x
5= u ( ) ( ) ( )[ ]x 104x 104 eex + +
5= u ( ) [ ]x 10x 10x4 eeex +
( )x10coshe10 x4= u ( )x .
Exerccios
01. Seja ( ) ( )
pi>
pi=
x ,0 x ,xsen
xf . Determine ( ){ }xf .
R.: ( ){ } ( )21sen i2
xf
pi
=
02. Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular { }x2ex .
R.: { } ( )( )322
x2
1134
ex+
=
03. Calcule ( ){ }x2 ex1 .
R.: ( ){ } ( )( )
( )322
222x2
1134
1i8
12
ex1+
+
+=
-
130
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
04. Seja ( ) ( ) 0aRe ,ax
1xf/CR:f 22 >+
= .
a) A funo ( )xf absolutamente integrvel? Calcule, se possvel,
+
22 dxax1
.
R.: ( ) 0aRe ,a
>pi
b) Mostre que ( ) 0aRe ,eaax
1 a22 >
pi=
+ .
3.15 Transformada de Fourier de algumas funes
Discutiremos tambm a transformada de Fourier de algumas funes que no so absolutamente integrveis.
3.15.1 A funo constante unitria
A funo constante unitria pode ser vista como o caso limite da funo pulso.
Funo pulso: ( )
>
+= , onde u ( )
>
22 a
a2+
( ) 0aRe ,ax
122 >+
pi ae
a
-
135
xe ( )1
1F 2C +=
( )1
F 2S +=
2x
2
e
2
2
e 2
pi
0a,e 2ax2
>
a2
2
ea
2 pi
axe u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
=
c x0,c x,1
cx ia
1
axn ex u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
=
c x0,c x,1
cx ( ) 1nia!n
+
( )
=
=
0 x0,0 x,
x
1
( ) ( )
>
==
ax ,0ax ,1
xf ,xflim1a
( )pi2
( )
=
0 x,10 x,1
xsgn
i2
u
