Laplace y Fourier en Circuitos

CAPTULO 14

APLICACIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

14.1 Soluciones de Circuitos Usando Laplace En este capitulo se introduce el concepto del modelado de circuitos en el dominio s. Este principio se puede utilizar para ayudar a resolver casi cualquier tipo de circuito lineal. La transformada de Laplace es efectivamente una de las herramientas matemticas ms poderosas para el anlisis, sntesis y diseo. El poder estudiar circuitos y sistemas en el dominio de s ayuda a comprender cmo funcionan realmente los circuitos y sistemas. Aqu se considerar un sistema como un modelo matemtico de un proceso fsico que relaciona la excitacin con la respuesta. sta es la razn por la cual es muy apropiado considerar un circuito como un sistema.

Para introducir la utilidad de la transformada de Laplace en el anlisis de circuitos, considrese el circuito RL serie en la Fig. 14.1, En particular, se hallar la corriente i(t).

Figura 14.1 Usando la ley de voltajes de Kirchhoff, se puede escribir la ecuacin diferencial en el dominio del tiempo para la malla nica como

( )( ) ( )S

di tv t L Ri t

dt

= +

La ecuacin diferencial complementaria (homognea) es

( )

( ) 0di t

L Ri tdt

+ =

(14.1)

cuya solucin es ( ) tC Ci t K e

=

Sustituyendo iC(t) en la ecuacin complementaria produce la relacin

0 o 1000R

R LL

= = =

La solucin particular tiene la forma de la funcin de excitacin, vS(t):

( )p pi t K=

Sustituyendo ip(t) en la ecuacin diferencial original, se obtiene la expresin

Jos R. Morn 130

11 1

100p pRK K R= = =

La solucin final es la suma de ip(t) e iC(t):

. 10001( )100

t tp C Ci t K K e K e

= + = +

Para hallar KC, se debe usar el valor de la corriente en algn instante particular. Para t < 0, la funcin escaln unitario es cero y por ende tambin lo es la corriente. En t = 0, el escaln unitario pasa a uno; sin embargo, el inductor obliga a que la corriente permanezca instantneamente en cero. Por tanto, en t = 0, se puede escribir

1(0) 0

100P C C pi K K K K= = + = =

y la corriente es entonces ( )1000( ) 10 1 ( ) mAti t e u t=

Ahora se ensayar un enfoque diferente para el mismo problema. Tomemos la transformada de Laplace de ambos lados de la Ec. (14.1):

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) (0) ( )S Sv t s L s s i R s= = +V I IL Como el valor inicial para la corriente en el inductor i(0) = 0, esta ecuacin se convierte en

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )S Sv t s L s s R s= = +V I IL Ahora el circuito se representa no por una ecuacin diferencial en el dominio del tiempo, sino ms bien por una expresin algebraica en el dominio de s. Despejando I(s), se puede escribir

( )( ) 1

( ) Ss

ssL R s sL R

= =

+ +

VI

Se halla i(t) usando la transformada de Laplace inversa. Primero, se expresa I(s) como una suma de fracciones parciales:

[ ] [ ]1 1 1

( )L

ss s R L sR R s R L

= =

+ +I

y la transformada inversa es simplemente

( )1( ) 1 Rt Li t eR

=

Dados los valores de los elementos en la Fig. 14.11, la corriente es

( )1000( ) 10 1 ( ) mAti t e u t= que es exactamente igual a la corriente obtenida usando el mtodo de la ecuacin diferencial. Observe con cuidado que la solucin usando el mtodo de la transformada de Laplace da toda la solucin en un solo paso.

Se ha mostrado que es posible usar la transformada de Laplace para transformar una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica. Como las relaciones de voltaje-corriente para resistores, capacitores e inductores involucran constantes, derivadas e integrales, podemos representar y resolver cualquier circuito en el dominio de s. 14.2 Modelos de los Elementos de Circuito El empleo de la transformada de Laplace para analizar circuitos usualmente involucra tres pasos:

1. Transformacin del circuito del dominio del tiempo al dominio de s.

Jos R. Morn 131

2. Solucin del circuito utilizando alguna de las tcnicas conocidas.

3. Tomar la transformada inversa de la solucin para obtener la solucin en el dominio del tiempo.

Puesto que la tcnica de la transformada de Laplace implica que las caractersticas terminales de los elementos de circuito pueden expresarse como expresiones algebraicas en el dominio de s, ahora se examinarn estas caractersticas para el resistor, el capacitor y el inductor.

La relacin de voltajecorriente para un resistor en el dominio del tiempo usando la convencin pasiva de los signos es la ley de Ohm

( ) ( )v t Ri t= (14.2)

Al aplicar la transformada de Laplace a esta expresin, se encuentra que en el dominio de s es dada por

( ) ( )s R s=V I (14.3)

Por tanto, las representaciones en el dominio de la frecuencia compleja de este elemento son como se muestra en la Fig. 14.2a.

La impedancia de un elemento en el dominio de s se define como

( )

( )( )

sZ s

s=

VI

(14.4)

siempre y cuando todas las condiciones iniciales sean cero. Observe que la impedancia se define en el dominio de la frecuencia compleja, no en el dominio del tiempo.

Las relaciones en el dominio del tiempo para un capacitor usando la convencin pasiva de los signos son

0

1( ) ( ) (0)

t

v t i x dx vC

= + (14.5)

( )

( )dv t

i t Cdt

= (14.6)

Las ecuaciones en el dominio de s para el capacitor son entonces

( ) (0)

( )s v

ssC s

= +I

V (14.7)

( ) ( ) (0)s sC s Cv= I V (14.8)

y por tanto la representacin en el dominio de s de este elemento es como muestra la Fig. 14.2b.

Para determinar la impedancia del capacitor, se hace cero la condicin inicial v(0). Por tanto,

1( )CZ s

Cs=

Para el inductor, las relaciones de voltajecorriente usando la convencin pasiva de los signos son

( )

( )di t

v t Ldt

= (14.9)

0

1( ) ( ) (0)

t

i t v x dx iL

= + (14.10)

Las relaciones en el dominio de s son entonces

( ) ( ) (0)s sL s Li= V I (14.11)

( ) (0)( ) s issL s

= +V

I (14.12)

Jos R. Morn 132

Figura 14.2 Representaciones de elementos de circuito en los dominios del tiempo y de s.

Las representaciones en el dominio de s de este elemento se muestran en la Fig. 14.2c. Para determinar la impedancia del inductor, se hace cero la condicin inicial i(0). Por tanto,

( )LZ s Ls=

es la impedancia del inductor.

Usando la convencin pasiva de los signos, se encuentra que las relaciones de voltajecorriente para los inductores acoplados mostrados en la Fig. 14.2d son

1 21 1

1 22 2

( ) ( )( )

( ) ( )( )

di t di tv t L M

dt dtdi t di t

v t M Ldt dt

= +

= +

(14.13)

Las relaciones en el dominio de s son entonces

Jos R. Morn 133

1 1 1 1 1 2 2

2 1 1 2 2 2 2

( ) ( ) (0) ( ) (0)

( ) ( ) (0) ( ) (0)

s L s s L i Ms s Mi

s Ms s Mi L s s L i

= +

= +

V I I

V I I (14.14)

Las fuentes de voltaje y corriente independientes y dependientes tambin pueden representarse mediante sus transformadas; es decir,

[ ][ ]

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

s v t

s i t

=

=

V

I

L

L (14.15)

y si 1 2( ) ( )v t Ai t= , por ejemplo, representa una fuente de voltaje controlada por corriente, entonces

1 2( ) ( )s A s=V I (14.16)

Observe cuidadosamente la direccin de las fuentes de corriente y la polaridad de las fuentes de voltaje en la red transformada que resulta de las condiciones iniciales. Si la polaridad del voltaje inicial o la direccin de la corriente inicial son invertidas, las fuentes en el circuito transformado que resultan de las condiciones iniciales, tambin son invertidas.

La admitancia en el dominio s es el recproco de la impedancia, o

( )1

( )( ) ( )

ss

s s= =

IY

Z V (14.17)

14.3 Tcnicas de Anlisis Como ya se mencion, el empleo de la transformada de Laplace para analizar circuitos, normalmente involucra tres pasos fundamentales:

1. Transformar el circuito del dominio del tiempo al dominio de s.

2. Resolver el circuito usando cualquiera de las tcnicas de anlisis conocidas, bien sea mediante anlisis de malla o anlisis nodal.

3. Tomar la transformada inversa de la solucin para obtener entonces la solucin en el dominio del tiempo. Ejemplo 14.1

Dada la red en la Fig. 14.3a, dibujar el circuito equivalente en el dominio de s y hallar el voltaje de salida tanto en el dominio de s como en el dominio de t.

Figura 14.3 Solucin. La red en el dominio de s se muestra en la Fig. 14.3b. El voltaje de salida se puede escribir como

11( ) ( ) ( )

1o S SC

s R s ssC s RC

= = +

V I I

Para los valores dados de los elementos, Vo(s) se convierte en

Jos R. Morn 134

( )( )40 000 0.003 120

( )4 1 4 1o

ss s s s

= =

+ + + + V

Expandiendo Vo(s) en fracciones parciales da

( )( )120 40 40

( )4 1 1 4o

ss s s s

= =

+ + + +V

y aplicando la transformada de Laplace inversa da la representacin en el dominio del tiempo como

( )4( ) 40 ( ) Vt tov t e e u t = Ahora que se ha demostrado el uso de la transformada de Laplace en la solucin de un circuito sencillo, consideremos el caso ms general. Observe que en la Fig. 14.2 hemos mostrados dos modelos para el capacitor y el inductor cuando estn presentes condiciones iniciales. Considrese ahora un ejemplo en el cual se ilustra el uso de estos modelos para derivar tanto las ecuaciones de nodos como las de lazos para el circuito. Ejemplo 14.2 Hallar vo(t) en el circuito de la Fig. 14.4(a), suponiendo cero condiciones iniciales.

(a) (b)

Figura 14.4

El circuito transformado al dominio de s se muestra en la Fig. 14.4(b). Este ejemplo se resolver aplicando anlisis de mallas. Para la malla 1,

1 21 3 3

1s s s

= +

I I (14.18)

Para la malla 2,

1 23 3

0 52

ss

= + + +

I I

o

( )21 21 5 33 s s= + +I I (14.19) Sustituyendo sta en la Ec. (14.18), se obtiene

( )22 2

1 3 1 31 5 3

3s s

s s s

= + + +

I I

o

2 3 2

3

8 18s s s=

+ +I

y

( ) ( )2 2 223 3 2

( )8 18 2 4 2

o s ss s s

= = =

+ + + +V I

cuya transformada inversa es

Jos R. Morn 135

43( ) sen 2 (V), 02

tov t e t t

=

Ejemplo 14.3 Dados los circuitos en las Figs. 14.5a y b, se quiere escribir las ecuaciones de mallas en el dominio de s para la red en la Fig. 14.5a y las ecuaciones de nodos en el dominio de s para la red en la Fig. 14.5b.

Solucin. El circuito transformado para la red en la Fig. 14.5a se muestra en la Fig. 14.5c. Las ecuaciones de mallas para esta red son

1 21 1 1 2 2 1 1

1 2 2

(0) (0)1 1 1( ) ( ) ( ) (0)A

v vR sL s sL s s L i

sC sC sC s s

+ + + + = +

I I V

21 1 1 2 2 2 1 1 2 2

2 2

(0)1 1( ) ( ) (0) (0) ( )B

vsL s sL sL R s L i L i s

sC sC s

+ + + + + = +

I I V

Figura 14.5

Jos R. Morn 136

Figura 14.5 El circuito transformado para la red en la Fig. 14.5b se muestra en la Fig. 14.5d. Las ecuaciones de nodos para esta red son

1 21 1 1 1 2 1 1

1 2 2

(0) (0)1 1 1( ) ( ) ( ) (0)A

i iG sC s sC s s C v

sL sL sL s s

+ + + + = +

V V I

21 1 1 2 2 2 1 1 2 2

2 2

(0)1 1( ) ( ) (0) (0) ( )B

isC s sC G sC s C v C v s

sL sL s

+ + + + + = +

V V I

El Ejemplo 14.3 intenta ilustrar la forma cmo emplear la representacin en el dominio de s del capacitor y el inductor cuando estn presentes condiciones iniciales. En los ejemplos que siguen, ilustramos el uso de varias tcnicas de anlisis para obtener la respuesta completa de la red transformada. Los circuitos analizados han sido escogidos especialmente para demostrar la aplicacin de la transformada de Laplace a circuitos con una variedad de elementos activos y pasivos. Ejemplo 14.4 Determinar vo(t) en el circuito de la Fig. 14.6. Suponga que vo(0) = 5 V.

Figura 14.6

Solucin. El circuito se transforma al dominio de s como se muestra en la Fig. 14.7. La condicin inicial se incluye en la forma de la fuente de corriente ( )( ) 0.1 5 0.5oCv t = = A. Aplicando anlisis nodal se tiene, en el nodo superior

( )10 12 0.5

10 10 10o o os V V V

s

+ + + = +

Jos R. Morn 137

o

( )21 12.5 21 10 10 10

o oo

V sVV s

s+ = + = +

+

de donde

( )( )25 35

1 2 1 210 15

1 2

o

s A BV

s s s s

s s

+= = +

+ + + +

= ++ +

y al aplicar la transformada de Laplace inversa, se obtiene

( )2( ) 10 15 ( ) Vt tov t e e u t = +

Figura 14.7

Problema de Prctica 14.1

Encontrar vo(t) en el circuito mostrado en la Fig. 14.8. Observe que, como la entrada de voltaje est multiplicada por u(t), la fuente de voltaje est en corto para t < 0 e iL(0) = 0.

Figura 14.8

Respuesta: ( )3224 4 ( ) Vtte e u t . Ejemplo 14.5 Examnese la red en la Fig. 14.9a. Se desea determinar el voltaje de salida vo(t). Solucin. Como un repaso de las tcnicas de anlisis presentadas anteriormente en este texto, resolveremos el problema usando anlisis nodal, anlisis de mallas, superposicin, intercambio de fuentes y los teoremas de Thvenin y Norton.

La red transformada se muestra en la Fig. 14.9b. Al usar el anlisis nodal, en vez de escribir las ecuaciones LCK en los nodos marcados V1(s) y Vo(s), solamente usaremos el primer nodo y usaremos divisin de voltaje para hallar el segundo.

La LCK en el nodo marcado V1(s) es

11

12( ) ( )4

01

2

sss

s ss

+ + =+

V V

Despejando V1(s), se obtiene ( )( )( )1 2

4 3 2 1( )

2 1

s ss

s s s

+ +=

+ +V

Jos R. Morn 138

Figura 14.9

Empleando ahora divisin de voltaje, se tiene que

( )( )1 1 2

2 2 8 3( ) ( ) ( )

1 2 1 12o

s ss s s

s ss

+ = = = + ++

V V V

Jos R. Morn 139

En nuestro anlisis de mallas se observ que la corriente I1(s) pasa por la fuente de corriente y por tanto la LVK para el lazo de la derecha es

[ ]2 1 2( )12 ( ) ( ) ( ) 0s ss s s s ss s

=

II I I

Sin embargo, I1(s) = 4/s y por consiguiente ( )

( )2 24 3

( )1

ss

s

+=

+I

En consecuencia,

( )( )28 3

( )1

o

ss

s

+=

+V

El resistor de 3 nunca entra en nuestras ecuaciones. Adems, tampoco entrar en los otros anlisis. Por qu?

Para usar superposicin, primero se considera la fuente de corriente actuando sola, como muestra la Fig. 14.9c. Aplicando el principio de divisin de corriente, se obtiene

( )( )

2

48

( ) 21 2 1

o

ssss

s ss ss

= = + + + +

V

Con la fuente de voltaje actuando sola, como muestra la Fig. 14.9d, se obtiene

( )2

12 24( ) 2

1 2 1o

ss

s ss ss

= =

+ ++ +

V

Por tanto,

( )( )2

( ) ( ) ( )

8 3

1

o o os s s

s

s

= +

+=

+

V V V

Al aplicar intercambio de fuentes, se transforman la fuente de voltaje y el inductor en serie en una fuente de corriente en paralelo con el inductor, como muestra la Fig. 14.9e . Sumando las fuentes de corriente y aplicando despus divisin de corriente, da

( )( )

2

124 2

12 4( ) 2

1 12 2

o

s ssss s s

s s

+

= + = + + + +

V

( )

( )28 3

( )1

o

ss

s

+=

+V

Para aplicar el teorema de Thvenin, primero se determina el voltaje de circuito abierto en el circuito de la Fig. 14.9f. Voc(s) es entonces

( )oc4 12 4 12

( )s

s ss s s

+ = + =

V

La impedancia de Thvenin equivalente deducida a partir de la Fig. 14.9 es

2

Th1 1

( )s

s ss s

+= + =Z

Ahora, conectando el circuito equivalente de Thvenin a la carga produce el circuito mostrado en la Fig. 14.9h. Entonces, aplicando divisin de voltaje, se obtiene

Jos R. Morn 140

( )( )2 2

4 12 2 8 3( )

1 12o

s ss

s s s

s

+ + = =

+ + +

V

Para la aplicacin del teorema de Norton, para simplificar dividimos la red a la derecha de la primera malla. En este caso, la corriente de cortocircuito se obtiene a partir del circuito en la Fig. 14.9i, es decir,

sc 2

12 4 4 12( )

s ss

s s s

+= + =I

La impedancia equivalente de Thvenin en esta aplicacin del teorema de Norton es Th ( )s s=Z . Conectando el circuito equivalente de Norton al resto de la red original produce el circuito en la Fig. 14.9j. Entonces

( ) ( )( )2 2

4 12 8 3( )

1 12o

s s ss s

s sss

+ + = =

++ +

V

Finalmente, Vo(s) puede ahora transformarse para hallar vo(t). Vo(s) puede escribirse como

( )( ) ( )

11 122 2

8 3( )

11 1o

K Kss

ss s

+= = +

++ +V

Evaluando las constantes, se obtiene

( )11 18 3 16sK s == + =

y

( )[ ]121

8 3 8s

dK s

ds == + =

Por tanto, ( )( ) 16 8 ( ) Vt tov t te e u t = +

Ejemplo 14.6 Considrese la red mostrada en la Fig. 14.10a. Se quiere determinar el voltaje de salida vo(t).

Solucin. Al comenzar a resolver este problema, se observan dos cosas. Primero, como la fuente 12u(t) est conectada entre v1(t) y v2(t), se tiene un supernodo. Segundo, si se conoce v2(t), entonces vo(t) puede obtenerse fcilmente por divisin de voltaje. Por tanto, se usar anlisis nodal en conjunto con divisin de voltaje para obtener una solucin. Despus, para comparacin, se hallar vo(t) usando el teorema de Thvenin.

La red transformada se muestra en la Fig. 14.10b. La LCK para el supernodo es

( )1 21( ) ( )

2 ( ) 02 2 1

s sss s

s+ + =

+

V VV I

Sin embargo,

1( )( )2

ss =

VI

y

1 212

( ) ( )s ss

= V V

o ( )( )( )2 2

12 1 3( )

4 5

s ss

s s s

+ +=

+ +V

Jos R. Morn 141

Supernodo

Figura 14.10

Empleando un divisor de voltaje, se obtiene

( )( )2 2

1 12 3( ) ( )

1 4 5o

ss s

s s s s

+= =

+ + +V V

Para aplicar el teorema de Thvenin, se divide la red que est a la derecha de la fuente de corriente dependiente como se muestra en la Fig. 14.10c. La LCK para el supernodo es entonces

oc oc12 12

( ) ( )2 ( ) 0

22

s ss s s

s

+ =V V

I

donde

oc12

( )( )

2

sss

=

VI

Despejando Voc(s) en estas ecuaciones, da

oc12

( )ss

=V

Jos R. Morn 142

La corriente de cortocircuito se obtiene a partir de la red en la Fig. 14.10d como

( )sc12

( ) 2 ( )(2) 2

1 2

ss ss

s

= +

+

I I

donde 12

( )2

ss =I

Despejando Isc(s) estas ecuaciones, se obtiene

( )sc

6 3( )

ss

s

+=I

La impedancia equivalente de Thvenin es entonces

( )oc

Thsc

12( ) 2

( )6 3( ) 3

s ssss s

s

= = =

+ +

VZ

I

Si ahora se conecta el circuito equivalente de Thvenin al resto de la red original, se obtiene el circuito mostrado en la Fig. 14.10e. Usando divisin de voltaje, se tiene

( )( )oc 2

1 12 12 3( )

2 4 513

ss

s s s sss

+ = =

+ ++ ++

V

o ( )

( )( )oc12 3

( )2 1 2 1

ss

s s j s j

+=

+ + +V

Para obtener la transformada inversa, la funcin se escribe como

( )( )( )

*0 1 112 3

2 1 2 1 2 1 2 1K K Ks

s s j s j s s j s j

+= + +

+ + + + + +

Evaluando las constantes, se obtiene

( ) ( )( )0 12 0 2 1

12 3 36 12 3, 3.79 161.57

5 2 14 5 s s j

s sK K

s s js s == +

+ += = = =

+ ++ +

Por tanto,

( )[ ]2( ) 7.2 7.58 cos 161.57 ( ) Vtov t e t u t= + +


Hallar io(t) en la red de la Fig. 14.11 usando ecuaciones nodales

Figura 14.11

Jos R. Morn 143

Respuesta: ( )4( ) 6.53 cos 15 4 156.72 ( ) Atoi t e t u t =


Hallar vo(t) en la red de la Fig. 14.12 usando anlisis de mallas.

Figura 14.12

Respuesta: ( )3.73 0.27( ) 4 8.9 4.93 ( ) Vt tov t e e u t = +

Ahora se ilustrar el uso de la transformada de Laplace en el anlisis transitorio de circuitos. El mtodo determinar primero las condiciones iniciales para los capacitores e inductores en la red y luego se emplearn los modelos de los elementos que se especificaron al comienzo de este captulo en conjunto con las tcnicas de anlisis de circuitos para obtener una solucin. Los ejemplos siguientes demuestran el procedimiento. Ejemplo 14.7 Considere el circuito mostrado en la Fig. 14.13. La entrada al circuito es el voltaje de la fuente de voltaje, 24 V. La salida de este circuito, el voltaje a travs del resistor de 6 , es dado por

0.35( ) 12 6 V cuando 0tov t e t

= > (14.20)

Determine el valor de la inductancia L y de las resistencias R1 y R2.

Figura 14.13

Solucin. Antes de que el interruptor se cierre, el circuito estar en rgimen permanente. Como la nica entrada al circuito es el voltaje constante de la fuente, todas las corrientes y voltajes de los elementos, incluyendo la corriente del inductor, tendrn valores constantes. El cierre del interruptor perturba el circuito eliminando el resistor R1. Con el paso del tiempo, el disturbio desaparece y el circuito alcanza de nuevo el rgimen permanente. Una vez ms, los voltajes y corrientes en los elementos tendrn valores constantes pero, probablemente sern valores diferentes a los que existan antes de cerrar el interruptor.

La Ec. (14.20) describe el voltaje de salida despus del cierre del interruptor. Observe que este voltaje slo tiene

dos partes. Una parte transitoria, 0.356 te , que desparece conforme aumenta el valor de t. La otra parte, 12, permanece y es la respuesta en rgimen permanente.

Cmo afectan los valores de los parmetros del circuito al voltaje de salida? Para responder esta pregunta, debemos analizar el circuito. Como se quiere determinar la respuesta completa, el anlisis se har con la transformada de Laplace. Antes de representar el circuito usando transformadas de Laplace, necesitamos hallar la corriente inicial en el inductor.

Jos R. Morn 144

Con referencia a la Fig. 14.13, la corriente en el inductor es igual a la corriente en la resistencia de 6 . En consecuencia,

0.35

0.35( ) 12 6( ) 2 cuando 06 6

ttv t ei t e t

= = = > (14.21)

La corriente en el inductor es continua. Por tanto, el valor de la corriente en el inductor inmediatamente antes de t = 0 es igual al valor inmediatamente despus de t = 0 Para hallar esta corriente inicial, hacemos t = 0 en la Ec. (14.21) para obtener i(0) = 1 A.

La Fig. 14.14 muestra la representacin en el dominio de la frecuencia del circuito. Se selecciona el modelo del inductor que utiliza una fuente de voltaje para incluir la condicin inicial. El voltaje de esta fuente es

(0) ( )(1)Li l L= =

Figura 14.14

Ahora se aplica la LVK a la malla para obtener

( )2 246 ( )R Ls s Ls

+ + = +I

de donde

22

24 24

( )66

L ss Ls

RLs Rs s

L

+ += =

++ + +

I

La ley de Ohm da

2

(6)(24)6

( ) 6 (s)6o

sLs

Rs s

L

+= =

+ +

V I

y al expandir en fracciones parciales, se obtiene

( )22 2

6 18(6)(24)6 6

( )o

R

R Rs

s L

+ += V (14.22)

Tomando ahora la transformada de Laplace de vo(t), se obtiene

[ ] ( )0.35 12 6( ) ( ) 12 6 ( )0.35

to os v t e u t

s s = = = +

V L L (14.23)

Comparando las Ecs. (14.22) y (14.23) muestra que

22

(6)(24)12 6

6R

R= =

+

y

2 6 12 120.35 34.29 H0.35

RL

L L

+= = = =

La corriente inicial del circuito depende del valor de la resistencia R1 (removida al cerrar el interruptor). La nica entrada al circuito en la Fig. 14.15 es un voltaje constante de 24 V. Por tanto, cuando el circuito est en

Jos R. Morn 145

rgimen permanente, el inductor actuar como un cortocircuito. La Fig. 14.15 muestra el circuito de rgimen permanente cuando el interruptor est abierto. Escribiendo y resolviendo la ecuacin de malla, se obtiene

1

24( )

6 6i t

R=

+ +

Haciendo t = 0, da

11

24(0) 1 12

6 6i R

R= = =

+ +

Figura 14.15 Ejemplo 14.8 Determinar el voltaje de salida de la red mostrada en la Fig. 14.16a para t > 0. Solucin. En t = 0, el voltaje inicial en el capacitor es 1 V y la corriente inicial que pasa por el inductor es 1 A. El circuito para t > 0 se muestra en la Fig. 14.16b con las condiciones iniciales correspondientes. La red transformada se muestra en la Fig. 14.16c.

Las ecuaciones de mallas para la red transformada son

( ) 1 2

1 2

4 1 ( ) ( ) 1

2 1( ) 1 ( ) 1

s s s ss

s s s ss s

+ = +

+ + + =

I I

I I

las cuales pueden escribirse en forma matricial como

( )12

2

41( )

2 ( ) 1

ss s

s ss s s ss

ss

+ + = + +

+

I

I

Resolviendo por las corrientes, se obtiene

( )

( )

1

1 2

2

2

2

41( )

2( ) 1

421

12 3 2 1

ss s

s ss ss ss

s s

ss s

s ss

ss ss s

s

+ + = + +

+

+ + + =

++ + +

I

I

El voltaje de salida es entonces

2

2

2

2 1( ) ( )

2 2 1 1

2 3 27 2

3

12

o s ss s

s

s ss s

s

s s

= +

= +

+ + +

=

+ +

V I

Jos R. Morn 146

Figura 14.16

Esta relacin puede escribirse en una expansin en fracciones parciales como

( ) ( )*

1 1

2

7 23 3 3

1 7 4 7 42 4 4

s K K

s s s j s j

+= +

+ + + + +

Evaluando ahora las constantes, se obtiene

( )( ) ( )

1

3 4 7 4

7 22.14 76.5

37 4

4 s j

sK

s j= +

+= =

+ +

Por tanto,

( )3 4 7( ) 4.29 cos 76.5 ( ) V4

tov t e t u t

=

Ejemplo 14.9 Para el circuito mostrado en la Fig. 14.17a, determine la corriente en el inductor iL(t) para t > 0.

Figura 14.17

Jos R. Morn 147

Solucin. Se escribirn y resolvern las ecuaciones de mallas y se utilizarn los modelos de circuitos en serie, en el dominio de la frecuencia, para representar el capacitor y el inductor. De la Fig. 14.17b, las condiciones iniciales son (0) 8cv = V e (0) 4Li = A. La Fig. 14.18b muestra la representacin en el dominio de s del circuito.

Figura 14.18 (a) Circuito con corrientes de malla. (b) Modelo transformado del circuito. Las ecuaciones de mallas son

1 2

1 2

1 1 12 8 1 ( ) ( )

1 1 8( ) 1 ( ) 4

s ss s s s

s s ss s s

+ =

+ + + = +

I I

I I

Despejando I2(s), se obtiene ( )( )

2

2 2

4 3 3( )

2 2

s ss

s s s

+ +=

+ +I

La expresin parcial conveniente es

( )2

222

( ) 3 34 2 22 2

s s s A Bs D

s s ss s s

+ + += = +

+ ++ +

I

y se obtienen los valores A = 1.5, B = 0.5 y D = 0. Por tanto,

22

( ) 1.5 0.54 2 2

s s

s s s

= ++ +

I

cuya transformada inversa es

( )2( ) ( ) 6 2 2 sen 45 A para 0tLi t i t e t t = = + >

Ejemplo 14.10 El interruptor en la Fig. 14.19a se cierra en t = 0. Determine el voltaje v(t) para t > 0. Solucin. Se utilizar anlisis nodal. En el dominio de s, se usar el modelo en paralelo para el capacitor y el inductor. Las condiciones iniciales son i(0) = 2 A y v(0) = 0 V. Como v(0) = 0, la corriente de la fuente de corriente en la representacin del capacitor es cero. Una fuente de corriente igual a cero es equivalente a un circuito abierto. La Fig. 14.19b muestra la representacin el dominio de la frecuencia del circuito despus de cerrar el interruptor.

Ahora se aplica la LCK en el nodo superior del inductor para obtener la ecuacin nodal

12( ) ( ) ( )

02 2 8

ss sss s

+ + =V V V

y despejando V(s), se obtiene

Jos R. Morn 148

( )2 232 32

( )4 2

ss s s

= =

+ + +V

Figura 14.19

cuya transformada inversa proporciona v(t):

( )1 2

2

32( ) 32 ( ) V

2tv t te u t

s

= =

+ L

Ejemplo 14.11 Supngase que no hay energa inicial almacenada en el circuito de la Fig. 14.20 en t = 0 y que

10 ( )si u t= A. (a) Hallar V0(s) usando el teorema de Thvenin. (b) Aplique los teoremas del valor inicial y del

valor final para hallar ( )0ov + y 0 ( )v . Determinar vo(t).

Figura 14.20

Solucin. Como no hay energa almacenada inicialmente en el circuito, entonces la corriente inicial en el inductor y el voltaje inicial en el capacitor son iguales a cero en t = 0.

(a) Para hallar el circuito equivalente de Thvenin, se remueve el resistor de 5 y despus se halla Voc (VTh) e Isc. Para hallar VTh, se usa el circuito transformado en la Fig. 14.21(a). Como Ix = 0, la fuente de voltaje no contribuye con nada y por tanto

oc Th10 50

5s s

= = =

V V

Figura 14.21

Jos R. Morn 149

Para hallar ZTh, se considera el circuito en la Fig. 14.21(b). Se puede usar anlisis nodal para resolver por V1 lo cual conduce a ( )sc sc 1 2x s= =I I I V :

( )1 12 0 010 05 2

x

s s

+ + =V I V

junto con

1

2x s=

VI

y se obtiene

1100

2 3s=

+V

Por tanto, ( )

( )1

sc100 2 3 50

2 2 2 3s

s s s s

+= = =

+

VI

y

( )[ ]oc

sc

502 3

50 2 3Ths

ss s

= = = ++

VZ

I

El circuito dado se reemplaza por su equivalente de Thvenin en los terminales a-b, como muestra la Fig. 14.22. De esta figura se obtiene

( ) ( )ThTh5 5 50 250 125

5 5 2 3 2 8 4o Z s s s s s s

= = = = + + + + +

V V

Figura 14.22

(b) Usando el teorema del valor inicial, se encuentra

125(0) lm ( ) lm 0

4o os sv s s

s = = =

+V

y usando el teorema del valor final, se encuentra

0 0

125 125( ) lm ( ) lm 31.25 V

4 4o os sv s s

s = = = =

+V

(c) Por expansin en fracciones parciales,

( )125 31.25 31.25

( )4 4o

ss s s s

= = ++ +

V

y tomando la transformada de Laplace inversa se obtiene

( )4( ) 31.25 1 ( ) Vtov t e u t= Problema de Prctica 14.4

La energa inicial en el circuito de la Fig. 14.23 es cero en t = 0. Suponga que 15 ( ) Vsv u t= . (a) Encuentre Vo(s)

usando el teorema de Thvenin. (b) Aplique los teoremas del valor inicial y valor final para hallar vo(0) y vo(). (c) Obtenga vo(t).

Jos R. Morn 150

Figura 14.23

Respuesta: (a) ( ) ( )[ ]( ) 4 0.25 0.3oV s s s s= + + , (b) 4, 3.333 V, (c) ( )0.310 2 ( ) Vte u t+ .

14.4 Funciones de Transferencia La funcin de transferencia es un concepto clave en el procesamiento de seales ya que indica cmo es procesada una seal cuando pasa a travs de una red. Es una herramienta apropiada para hallar la respuesta natural, para determinar (o disear) la estabilidad de una red y para sintetizar redes. La funcin de transferencia de una red describe cmo se comporta la salida con respecto a la entrada. Especifica la transferencia de la entrada a la salida en el dominio s, suponiendo que no hay energa inicial.

La funcin de transferencia H(s) de un circuito se define como la relacin entre la transformada de Laplace de la respuesta de salida Y(s) y la transformada de Laplace de la excitacin de entrada X(s), suponiendo que todas las condiciones iniciales son iguales a cero. As pues,

( )

( )( )s

ss

=

YH

X (14.24)

Observe que la funcin de transferencia depende de lo que se defina como entrada y como salida. Puesto que la entrada y la salida pueden ser corrientes o voltajes en cualquier sitio en el circuito, hay cuatro funciones de transferencia posibles:

( )

( ) ganancia de voltaje ( )

o

i

ss

s= =

VH

V (14.25)

( )

( ) ganancia de corriente ( )

o

i

ss

s= =

IH

I (14.26)

( )

( ) Impedancia ( )

ss

s= =

VH

I (14.27)

( )

( ) admitancia ( )s

ss

= =

IH

V (14.28)

De manera que un circuito puede tener muchas funciones de transferencia. Observe que H(s) es adimensional en las Ecs. (14.25) y (14.26).

Cada una de las funciones de transferencia definidas en las ecuaciones anteriores puede determinarse de dos formas. Una de ellas es suponer cualquier entrada X(s) conveniente, usar entonces cualquier tcnica de anlisis de circuitos para hallar la salida Y(s) y despus obtener el cociente de las dos. El otro mtodo es aplicar el mtodo de escalera, el cual involucra caminar el circuito en una direccin. Con este mtodo se supone que la salida es 1 V o 1 A, lo que sea apropiado, y se usan las leyes bsicas de Ohm y Kirchhoff (LCK solamente) para obtener la entrada. La funcin de transferencia es entonces la unidad dividida por la entrada. Este mtodo puede ser ms conveniente cuando el circuito tiene muchos lazos o nodos de modo que la aplicacin del anlisis nodal o de mallas se vuelve complicada. En el primer mtodo, se supone una entrada y se encuentra la salida; en el segundo, se supone la salida y se determina la entrada. En ambos mtodos se calcula H(s) como la relacin entre las transformadas de salida y de entrada. Los dos mtodos se basan en la propiedad de linealidad, ya solamente trabajamos con circuitos lineales. El Ejemplo 14.14 ilustra estos mtodos.

Jos R. Morn 151

La Ec. (14.24) supone que X(s) y Y(s) son conocidas. Algunas veces, se conoce la entrada X(s) y la funcin de transferencia H(s). La salida Y(s) se determina como

( ) ( ) ( )s s s=Y H X (14.29)

y se toma la transformada inversa para obtener y(t). Dos casos especiales son muy significativos. Cuando la entrada es un escaln unitario, entonces ( ) ( )x t u t= y ( ) 1s s=X . Para este caso,

( )( )

ss

s=

HY

o

[ ]1 1 ( )Respuesta al escaln ( ) sss

= =

HYL L (14.30)

Cuando la entrada es la funcin impulso unitario, x(t) = (t), de modo que X(s) = 1. Para este caso ( ) ( ) o ( ) ( )s s y t h t= =Y H (14.31)

donde

[ ]1( ) ( )h t s= HL (14.32) El trmino h(t) represente la respuesta al impulso unitario es la respuesta en el dominio del tiempo de la red a un impulso unitario. As, la Ec. (14.32) proporciona una nueva interpretacin para la funcin de transferencia. H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta de la red a un impulso unitario. Una vez conocida la respuesta al impulso h(t) de una red, se puede obtener la respuesta de la red a cualquier otra seal usando la Ec. (14.29) en el dominio s o usando la integral de convolucin en el dominio del tiempo.

Es importante sealar que tanto en la respuesta al escaln como en la respuesta al impulso, todas las condiciones iniciales son cero. Ejemplo 14.12 La salida de un sistema lineal es ( ) 10 cos 4 ( )ty t e t u t= cuando la entrada es ( ) ( )tx t e u t= . Hallar la funcin de transferencia del sistema y su respuesta al impulso. Solucin

Si ( ) ( )tx t e u t= y ( ) 10 cos 4 ( )ty t e t u t= , entonces

( )( )2 2

1 10 1( ) y ( )

1 1 4

ss s

s s

+= =

+ + +X Y

Por tanto,

( )( )

( )2 22 2

( ) 10 1 10 2 1( )

( ) 2 171 16

s s s ss

s s ss

+ + += = =

+ ++ +

YH

X

Para hallar h(t), escribimos H(s) como

( )2 24

( ) 10 401 4

ss

=

+ +H

cuya transformada inversa es ( ) 10 ( ) 40 sen 4 ( )th t t e t u t=

Ejemplo 14.13 La entrada al circuito mostrado en la Fig. 14.24 es el voltaje vi(t) y el voltaje de salida es vo(t). Determine la respuesta al escaln del circuito mostrado en la Fig. 14.24.

Jos R. Morn 152

Figura 14.24

Solucin. Para hallar la respuesta al escaln, el circuito en la Fig. 14.24 se representa en el dominio de la frecuencia como se muestra en la Fig. 14.25.

Figura 14.25

En la Fig. 14.25 se aprovecha la definicin de la respuesta al escaln en dos formas:

1. La entrada vi(t) es una funcin escaln, de modo que [ ]( ) ( ) 1i s u t s= =V L V, 2. Las condiciones iniciales son cero, de modo que el capacitor y el inductor se representan como impedancias

sin tener que usar fuentes para incluir condiciones iniciales.

Ahora, utilizando dos veces la regla de la divisin de voltaje en la Fig. 14.25, se obtiene

6

64

1010 1

( ) 8 ( ) y ( )10 0.110

10o a o

ss s ss s

s

= =

+ +

V V V

La combinacin de estas ecuaciones y un poco de lgebra, da

( ) ( )2 280000 800001

( )100 100

o sss s s

= =

+ +V

Expandiendo en fracciones parciales, se obtiene

( ) ( )2 280000 8 8 800

( )100100 100

o ss ss s s

= = + ++ +

V

y finalmente, tomando la transformada de Laplace inversa, se obtiene

( )[ ]100( ) 8 8 1 100 ( )tov t t e u t= +

Ejemplo 14.14 Determinar la funcin de transferencia ( ) ( ) ( )o os s s=H V I del circuito en la Fig. 14.26.

Figura 14.26

Jos R. Morn 153

Solucin

Mtodo 1 Por divisin de corriente,

( )2

44 2 1 2

os

s s

+=

+ + +

II

Pero ( )

22 4

26 1 2

oo

s

s s

+= =

+ +

IV I

Por tanto, ( )

2

( ) 4 4( )

( ) 2 12 1o

o

s s ss

s s s

+= =

+ +

VH

I

Mtodo 2 Se puede aplicar el mtodo de escalera. Tomamos Vo = 1 V. Por la ley de Ohm, 2 2 1 2o= =I V A. El

voltaje en la impedancia de 2 1 2s+ es

1 21 1 4 1

2 12 4 4

s

s s s

+ = + = + =

V I

ste es igual al voltaje en la impedancia de (s + 4). Por tanto,

( )1

14 1

4 4 4s

s s s

+= =

+ +

VI

Aplicando la LCK al nodo superior da

( ) ( )2

1 24 1 1 2 12 1

4 4 2 4 4os s s

s s s s

+ + += + = + =

+ +I I I

Por tanto, ( )

2

1 4 4( )

2 12 1o

o o

s ss

s s

+= = =

+ +

VH

I I

igual que antes. Problema de Prctica 14.5

La funcin de transferencia de un sistema lineal es

2( )

6s

ss

=

+H

Halle la salida y(t) debida a la entrada 310 ( )te u t y su respuesta al impulso.

Respuesta: 3 620 40 , 0t te e t + , 62 ( ) 12 ( )tt e u t . Problema de Prctica 14.6 Determine la funcin de transferencia 1( ) ( ) ( )os s s=H I I en el circuito de la Fig. 14.26. Ejemplo 14.15 Para el circuito en el dominio s de la Fig. 14.27, hallar: (a) la funcin de transferencia ( ) o is =H V V , (b) la

respuesta al impulso, (c) la respuesta cuando ( ) ( )iv t u t= V, (d) la respuesta cuando ( ) 8cos 2iv t t= V.

Jos R. Morn 154

Figura 14.27

Solucin

(a) Usando divisin de voltaje, se obtiene 1

1o abs=

+V V

pero ( )

( )( ) ( )

( ) ( )1 1 1 2

1 1 1 1 1 2ab i is s s

s s s

+ + += =

+ + + + +V V V

o 1

2 3ab is

s

+=

+V V

y entonces

2 3i

os

=

+

VV

As pues, la funcin de transferencia es 1

( )2 3

o

i

ss

= =

+

VH

V

(b) H(s) se puede escribir como

32

1 1( )

2s

s=

+H

Su transformada de Laplace inversa es la respuesta al impulso requerida:

3 21( ) ( )2

th t e u t=

(c) Cuando ( ) ( )iv t u t= , entonces ( ) 1i s s=V y

( ) 33 221 3 1 31

( ) ( ) ( )2

o is s ss ss s

= = =

++V H V

cuya transformada de Laplace inversa es

( )3 21( ) 1 ( ) V2

tov t e u t

=

(d) Cuando ( ) 8cos 2iv t t= , entonces ( )2( ) 8 4i s s s= +V y

( )( )2323 2 22

4( ) ( ) ( )

4

24 25 24 32 2

25 254 4

o i

ss s s

s s

s

s s s

= =

+ +

= + ++ + +

V H V

y su inversa es

3 224 4( ) cos 2 sen 2 ) V25 3

tov t e t t t

= + +

(

Jos R. Morn 155


Resuelva de nuevo el Ejemplo 14.15 para el circuito mostrado en la Fig. 14.28.

Figura 14.28

Respuesta: (a) ( )2 4s + , (b) 42 ( )te u t , (c) ( )412 1 ( ) Vte u t , (d) ( )4 123.2 cos 2 sen 2 ( ) Vte t t u t + + .

Jos R. Morn 156

PROBLEMAS

14.1 Halle la impedancia de entrada Z(s) de la red en la Fig. P14.1 (a) cuando los terminales B-B estn en circuito abierto y (b) cuando los terminales B-B estn en cortocircuito.

14.2 Halle la impedancia de entrada Z(s) de la red en la Fig. P14.2.

Figura P14.1 Figura P14.2

14.3 Use la transformada de Laplace para hallar i1(t) para t > 0 en la red mostrada en la Fig. P14.3. Suponga cero condiciones iniciales.

Figura P14.3

14.4 Hallar vo(t) para t > 0 en la red de la Fig. P14.4 usando ecuaciones nodales.

14.5 Use la transformada de Laplace para hallar v(t) para t > 0 en la red mostrada en la Fig. P14.5. Suponga cero condiciones iniciales.


14.6 Para la red mostrada en la Fig. P14.6, determine io(t), t > 0.

14.7 Para la red mostrada en la Fig. P14.7, determinar vo(t), t > 0, usando ecuaciones nodales.


14.8 Para la red mostrada en la Fig. P14.8, hallar vo(t), t > 0.

Jos R. Morn 157

Figura P14.8

14.9 Use anlisis nodal para hallar vo(t), t > 0, en la red mostrada en la Fig. P14.9.

Figura P14.9

14.10 Determinar vo(t), t > 0 en la red mostrada en la Fig. P14.10 usando anlisis nodal.

Figura P14.10

14.11 Hallar vo(t), t > 0, en la red en la Fig. P14.11.

Figura P14.11

14.12 Para la red mostrada en la Fig. P14.12, hallar vo(t), t > 0, usando ecuaciones de mallas.

Figura P14.12

14.13 Use ecuaciones de mallas para hallar vo(t), t > 0, en la red de la Fig. P14.13.

Jos R. Morn 158

Figura P14.13

14.14 Para la red mostrada en la Fig. P14.14, hallar vo(t), t > 0, usando ecuaciones de mallas.

Figura P14.14

14.15 La entrada al circuito mostrado en la Fig. P14.15 es el voltaje de la fuente, 18 V. La salida de este circuito, el voltaje en el capacitor es dado por

2( ) 6 12 V cuando 0tov t e t

= + >

Determine el valor de la capacitancia C y el valor de la resistencia R.

14.16 Use ecuaciones de mallas para hallar io(t), t > 0, en la red mostrada en la Fig. P14.16.


14.17 Dada la red en la Fig. P14.17, halle io(t), t > 0, usando ecuaciones de mallas.

Figura P14.17

14.18 Use anlisis de mallas para hallar vo(t) para t > 0 en la red de la Fig. P14.18.

14.19 Use anlisis de mallas para hallar vo(t) para t > 0 en la red de la Fig. P14.19.

Jos R. Morn 159


14.20 Use superposicin para hallar vo(t), t > 0, en la red mostrada en la Fig. P14.20.

14.21 Use Transformacin de Fuentes para hallar vo(t), t > 0, en el circuito mostrado en la Fig. P14.21.


14.22 Use el teorema de Thvenin para hallar vo(t), t > 0, en el circuito de la Fig. P 14-22 .

Figura P14.22

14.23 Use el teorema de Thvenin para hallar vo(t), t > 0, en el circuito de la Fig. P 14-23 .

Figura P14.23

14.24 Use el teorema de Thvenin para hallar io(t), t > 0, en el circuito de la Fig. P14-24 .

Figura P14.24

14.25 Use el teorema de Thvenin para hallar io(t), t > 0, en el circuito de la Fig. P14-25 .

14.26 Determinar vo(t), t > 0, en la red de la Fig. P14.26 usando el teorema de Thvenin.

14.27 Use el teorema de Thvenin para hallar vo(t), t > 0, en el circuito de la Fig. P14-27.


Jos R. Morn 160






14.31 Use el teorema de Thvenin para hallar io(t), t > 0, en el circuito de la Fig. P14-31.

Figura P14.31

14.32 Halle io(t), t > 0, en la red mostrada en la Fig. P14.32.

Jos R. Morn 161

Figura P14.32

14.33 Hallar vo(t), t > 0, en la red mostrada en la Fig. P14.33. Suponga que el circuito ha alcanzado el rgimen estacionario en t = 0.

Figura P14.33

14.34 Halle vo(t), t > 0, en el circuito en la Fig. P14.34.

Figura P14.34

14.35 Halle io(t), t > 0, en la red mostrada en la Fig. P14.35.

Figura P14.35

14.36 Calcule v(t) para t > 0 en el circuito de la Fig. P14.36.

Figura 14.36

14.37 Para la red en la Fig. 14.37, determine i(t) para t > 0-

Jos R. Morn 162

Figura P14.37

14.38 Determine i(t) para t > 0 en el circuito de la Fig. P14.38.

Figura P14.38

14.39 Cuando la entrada a un sistema es una funcin escaln unitario, la respuesta es 10 cos 2 ( )t u t . Obtenga la funcin de transferencia del sistema.

14.40 Cuando se aplica un escaln unitario a un sistema en t = 0, su respuesta es

( )3 21( ) 4 2 cos 4 3sen 4 ( )2

t ty t e e t t u t

= + +

Cul es la funcin de transferencia del sistema?

14.41 Para el circuito de la Fig. P14.38, hallar ( ) ( ) ( )o ss s s=H V V . Suponga cero condiciones iniciales.

Figura P14.41

14.42 Para el circuito de la Fig. P14.39, hallar ( ) ( ) ( )o ss s s=H V V .

Figura P14.42

14.43 La funcin de transferencia de un cierto circuito es

5 3 6( )

1 2 4s

s s s= +

+ + +H

Halle la respuesta al impulso del circuito.

Jos R. Morn 163

14.44 Para el circuito de la Fig. P14.41, hallar ( ) ( ) ( )o ss s s=H V V . Suponga cero condiciones iniciales.

Figura P14.44

14.45 Para el circuito mostrado en la Fig. P14.42, determine la respuesta al escaln si la entrada es el voltaje de la fuente vi(t) y la salida es el voltaje del capacitor vo(t).

Figura P14.45

14.46 Un circuito tiene la funcin de transferencia

( )( )24

( )1 2

ss

s s

+=

+ +H

Halle la respuesta al impulso.

Jos R. Morn 164

Referencias

Alexander, C., Sadiku, M.: Fundamental of Electric Circuits (2013)

Irwin, David: Basic Engineering Circuit Analysis (2008)

Svoboda, James A., Dorf, Richard C.: Introduction to Electric Circuits (2013)

CAPTULO 15

TCNICAS DEL ANLISIS DE FOURIER

Introduccin Hemos usado una cantidad de tiempo considerable en el anlisis de circuitos con fuentes senoidales. Este captulo se ocupa de un medio para analizar circuitos con excitaciones peridicas no senoidales. Aqu se introducen las series de Fourier, una tcnica para expresar una funcin peridica en trminos de sinusoides. Una vez que la funcin fuente es expresada en trminos de sinusoides, se puede aplicar el mtodo de fasores para analizar circuitos. 15.1 Series de Fourier Una funcin peridica es una que se repite cada T0 segundos; es decir, una funcin peridica satisface la relacin

( ) ( )0 , 1, 2, 3, f t f t nT n= + = para todo valor de t; T0 es el perodo. Como se ha mostrado en captulos anteriores, la funcin sinusoidal es una funcin peridica muy importante. Sin embargo, muchas otras funciones peridicas tienen amplias aplicaciones. Por ejemplo, los generadores de seales en laboratorios producen las seales de tren de pulsos y de onda cuadrada mostradas en la Fig. 15.1a y b, respectivamente, las cuales se usan para comprobar circuitos. El osciloscopio es otro instrumento de laboratorio y el barrido de su haz de electrones a travs de la pantalla del tubo de rayos catdicos es controlado por una seal triangular de la forma mostrada en la Fig. 15.1c.

Figura 15.1

Jos R. Morn 166

Las tcnicas que exploraremos estn basadas en el trabajo de Jean Baptiste Fourier. Aunque nuestro anlisis estar confinado a circuitos elctricos, es importante sealar que las tcnicas son aplicables a una amplia gama de problemas en ingeniera. De hecho, fue el trabajo de Fourier sobre flujo de calor lo que condujo a las tcnicas que se presentarn aqu.

En su trabajo, Fourier demostr que cualquier funcin peridica f(t) poda expresarse como una suma infinita de funciones sinusoidales. Por tanto, dado este hecho y el hecho que si una funcin peridica es expresada como una suma de funciones linealmente independientes, entonces cada funcin en la suma debe ser peridica con el mismo perodo y la funcin f(t) puede expresarse en la forma

( )0 0 0

( ) cosn nnn

f t a D n t

=

= + + (15.1)

donde 0 02 T = pi se conoce como la frecuencia fundamental en radianes por segundo y a0 es el valor promedio de la seal. Un examen de esta expresin ilustra que todas las seales sinusoidales que son peridicas con perodo T0 han sido incluidas. Por ejemplo, para n = 1, un ciclo cubre T0 segundos y ( )1 0 1cosD t + se denomina la armnica fundamental. Para n = 2, dos ciclos caen dentro de T0 segundos y el trmino ( )0 2cos 2sD t + se denomina la segundo armnica. En general, para n = k, k ciclos caen dentro de T0 segundos y ( )0cosk kD k t + es la k-sima armnica.

Puesto que la funcin ( )0cos nn t + puede escribirse en forma exponencial usando la identidad de Euler o como una suma de trminos coseno y seno de la forma 0cos n t y 0sen n t , la serie en la Ec. (15.1) puede escribirse como

0 00

0

( ) jn t jn tn nn nn

f t a c e c e

= =

= + = (15.2)

Usando la relacin de la parte real empleada como una transformacin entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia, podemos expresar ( )f t como

( ) 001

( ) Re jn tn nn

f t a D e

=

= + (15.3)

( )001

Re 2 jn tnn

a c e

=

= + (15.4)

( ) 001

Re jn tn nn

a a jb e

=

= + (15.5)

( )0 0 01cd

ca

cos senn nn

a a n t b n t

=

= + +

(15.6)

La Ec. (15.6) se denomina la serie de Fourier trigonomtrica de ( )f t . Las constantes an y bn son los coeficientes de

Fourier. El coeficiente a0 es la componente de CD o el valor promedio de ( )f t . Los coeficientes an y bn (para n 0) son las amplitudes de las sinusoides en la componente de CA y se conocen como los coeficientes de Fourier. La Ec. (15.3) se conoce como la forma de amplitud-fase de la serie de Fourier.

La serie de Fourier de una funcin peridica ( )f t es una representacin que resuelve a ( )f t en una componente de CD y una componente de CA formada por una serie infinita de sinusoides armnicas.

Jos R. Morn 167

Las ecuaciones anteriores nos permiten escribir la serie de Fourier en varias formas equivalentes. Observe que el fasor para el n-simo armnico es

2n n n n nD c a jb = = (15.7)

El enfoque que usaremos ser representar una entrada peridica no sinusoidal mediante una suma de funciones exponenciales complejas, lo que debido a la identidad de Euler es equivalente a una suma de senos y cosenos. Entonces usaremos (1) la propiedad de superposicin de los sistemas lineales y (2) nuestro conocimiento que la respuesta en rgimen permanente de un sistema lineal e invariable en el tiempo a una entrada sinusoidal de frecuencia 0 es una funcin sinusoidal de la misma frecuencia para determinar la respuesta de ese sistema.

La funcin ( )f t cuya representacin es dada por la serie (15.6) debe satisfacer las propiedades siguientes, denominadas condiciones de Dirichlet:

1. ( )f t es una funcin uno a uno; es decir, ( )f t satisface la definicin matemtica de una funcin.

2. La integral 11

( )t T

tf t dt

+

existe para cualquier valor de t0.

3. ( )f t tiene un nmero finito de discontinuidades en cualquier periodo.

4. ( )f t tiene un nmero finito de mximos y mnimos en cualquier periodo.

Para ilustrar la forma en que una seal peridica no senoidal puede ser representada mediante una serie de Fourier, considere la funcin peridica mostrada en la Fig. 15.2a. En las Figs. 15.2bd se puede ver el impacto de usar un nmero especfico de trminos de la serie para representar la funcin original. Observe que la representacin en serie se asemeja ms fielmente a la funcin original conforme se emplea un nmero mayor de trminos.

Figura 15.2. Funcin peridica (a) y su representacin por un nmero fijo de trminos de la serie de Fourier, (b) 2 trminos, (c) 4 trminos, (d) 100 trminos.

Jos R. Morn 168

Serie de Fourier Exponencial

Cualquier seal peridica fsicamente realizable puede ser representada en el intervalo 1 1 0t t t T< < + por la serie de Fourier exponencial

( ) 0jn tnn

f t c e

=

= (15.8)

donde los coeficientes cn son los coeficientes de Fourier complejos (fasores). Estos coeficientes se deducen en la

forma siguiente. Multiplicando ambos lados de la Ec. (15.8) por 0jk te e integrando en el intervalo de t1 a t1 + T0, se obtiene

( )1 0

1 00 0 0

11

t Tt T

jk t jn t jk tn

tnt

f t e dt c e e dt

++

=

=

ya que

( )1 00

1 0

0,

,

t Tj n k t

t

n ke dt

T n k

+

= =

Por tanto, los coeficientes de Fourier son definidos por la ecuacin

( )1 0 010

1 t T jn tn

tc f t e dt

T

+

= (15.9)

El ejemplo siguiente ilustra la forma en la que se puede representar una seal peridica mediante una serie de Fourier exponencial. Ejemplo 15.1 Se quiere determinar la serie de Fourier exponencial para la onda de voltaje peridica mostrada en la Fig. 15.3.

Figura 15.3 Solucin Los coeficientes de Fourier se determinan usando la Ec. (15.9) para integrar en un perodo completo de la onda:

( )

( ) ( ) ( )

( )

0

0 0 0

0 0 0

2

2

4 4 2

2 4 4

4 4 22 4 4

0

2 2

0

1

1 1 1

2 2

Tjn t

nT

T T Tjn t jn t jn t

T T T

T T Tjn t jn t jn tT T T

jn jn jn jn

c f t e dtT

V e dt V e dt V e dtT T T

Ve e e

jn T

Ve e e e

jn T

pi pi pi + pi

=

= +

= +

= +

Jos R. Morn 169

( ) 4 sen 2 sen2 20, par

2sen , impar

2

V nn

n

n

V nn

n

pi = pi pi

= pi pi

Por tanto,

0

0

impar

2( ) sen

2jn t

nn

n

V nv t e

n

=

pi=

pi

Esta ecuacin puede escribirse como

0 0

0 0

1 1 impar impar

*

1 impar

2 2( ) sen sen

2 2

2 2 sen sen

2 2

jn t jn t

n nn n

jn t jn t

nn

V n V nv t e e

n n

V n V ne e

n n

= =

=

pi pi= +

pi pi

pi pi = +

pi pi

Puesto que un nmero cualquiera ms su conjugado complejo es igual a dos veces la parte real del nmero, v(t) puede escribirse como

0 1

impar

2( ) 2Re sen cos

2n

n

V nv t n t

n

=

pi =

pi

Observe que este resultado tambin se pudo obtener integrando en el intervalo de T/4 a 3T/4. E15.1 Hallar los coeficientes de Fourier para la seal en la Fig. E15.1

Figura E15.1

Respuesta: 01 1

; 2 2

jn

n

ec c

j n

pi

= =

pi

E15.2 Hllense los coeficientes de Fourier para la seal en la Fig. E15.2.

Figura E15.2

Respuesta: 02 2

2 sen sen ; 23 3nn n

c cn

pi pi = =

pi

t0

1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 -1

2 4

v(t)

t

v(t)

t 4 3 2 1 0 1

1

Jos R. Morn 170

Serie Trigonomtrica de Fourier

Ahora se examinar otra forma de la serie de Fourier. Puesto que

2 n n nc a jb= (15.10)

se examinar cantidad 2cn y se separar en sus partes real e imaginaria. Usando la Ec. (15.9), se determina que

1 0

0

10

22 ( )

t Tjn t

nt

c f t e dtT

+

= (15.11)

Usando ahora la identidad de Euler, podemos escribir esta ecuacin en la forma

( )1 01

1 0 1 0

1 1

0 00

0 00 0

22 ( ) cos sen

2 2 ( )cos ( )sen

t T

nt

t T t T

t t

c f t n t j n t dtT

f t n t dt j f n t dtT T

+

+ +

=

=

De la Ec. (15.10) se observa que

1 0

1

00

2( )cos

t T

nt

a f t n t dtT

+

= (15.12)

1 0

1

00

2( )sen

t T

nt

b f t n t dtT

+

= (15.13)

stos son los coeficientes de la serie de Fourier descrita por la Ec. (15.6), y es la serie de Fourier trigonomtrica ya mencionada. Estas ecuaciones se derivan directamente en la mayora de los libros de texto usando las propiedades de ortogonalidad de las funciones seno y coseno. Observe que ahora es posible evaluar cn, an y bn, y como

2 2 1

2

, tan

n n n

nn n n n

n

c D

bD a b

a

=

= + = (15.14)

entonces se puede deducir los coeficientes para la serie de Fourier coseno descrita por la Ec. (15.1). Esta forma de la serie de Fourier es particularmente til ya que permite representar cada armnico de la funcin como un fasor. Para evitar alguna confusin en la determinacin de n, puede ser mejor relacionar los trminos en forma compleja como

n n n nD a jb = (15.15)

La grfica de la amplitud Dn de las armnicas versus n0 se denomina el espectro de amplitud de ( )f t ; la grfica

de la fase n versus n0 es el espectro de fase de ( )f t . Ambos espectros forman el espectro de frecuencia de ( )f t .

De la Ec. (15.9) se observa que c0, escrita como a0, es

1 0

1

01

( )t T

ta f t dt

T

+

= (15.16)

ste es el valor promedio de la seal f(t) y con frecuencia puede evaluarse directamente a partir de las mismas seales. Ejemplo 15.2 Evaluar la serie de Fourier para la funcin peridica en la Fig. 15.4. Solucin La funcin se describe como

, 0 1( )

0, 1 2

t tf t

t

<

Jos R. Morn 171

Figura 15.4

Como T0 = 2, 0 02 1T = pi = y entonces

0

121 20 0 1 00

1 1 1( ) 0

2 2 4

T

o

ta f t dt t dt dt

T

= = + = =

Para evaluar an y bn, se necesitan las integrales en (15.12) y (15.13):

( ) ( )

0

000

1 2

0 1

1

2 20

2 2 2 2

2( )cos

2 cos 0 cos

2

1 cos sen

1 1 1 cos 1 0

T

n

n

a f t n t dtT

t n t dt n t dt

tn t n t

nn

nn n

=

= pi + pi

= pi + pi pipi

= pi + =pi pi

y

( )

0

000

1 2

0 1

1

2 20

1

2( )sen

2 sen 0 sen

2

1 sen . cos

cos 1 0

T

n

n

b f t n t dtT

t n t dt n t dt

tn t n t

nn

n

n n

+

=

= pi + pi

= pi pi pipi

pi = =

pi pi

y la serie para ( )f t es

( )( )

( ) 12

1

1 1 1 1( ) cos sen

4

n n

n

f t n t n tnn

+

=

= + pi + pi pi pi

Simetra y la Serie de Fourier Trigonomtrica

Si una seal exhibe ciertas propiedades de simetra, podemos aprovecharnos de estas propiedades para simplificar los clculos de los coeficientes de Fourier. Hay tres tipos de simetra: (1) simetra de funcin par, (2) simetra de funcin impar y (3) simetra de media onda. Simetra de Funcin Par Se dice que una funcin es par si

( ) ( )f t f t= (15.17)

Una funcin par es simtrica con respecto al eje vertical y un ejemplo notable es la funcin 0cosn t . Ntese que la seal en la Fig. 15.3 tambin exhibe simetra de funcin par. Determinemos ahora las expresiones para los coeficientes de Fourier si la funcin satisface la Ec. (15.17).

Jos R. Morn 172

Si se toma 1 0 2t T= en la Ec. (15.16), se obtiene

0

0

2

020

1( )

T

Ta f t dt

T =

la cual puede escribirse como

0

0

0 2

02 00 0

1 1( ) ( )

T

Ta f t dt f t dt

T T= +

Si ahora se cambia la variable de integracin en la primera integral (esto es, se hace t = x), entonces ( ) ( )f x f x = , dt = dx y el intervalo de integracin es de x = T0/2 a 0. Por tanto, la ecuacin anterior se convierte

en

( ) 00

0 0

0

0 2

02 00 02 2

0 00 02

00

1 1( ) ( )

1 1 ( ) ( )

2 ( )

T

T

T T

T

a f x dx f t dtT T

f t dt f t dtT T

f t dtT

= +

= +

=

(15.18)

Los otros coeficientes de Fourier se derivan en una forma similar. El coeficiente an puede escribirse como

0

0

0 2

0 02 00 0

2 2( )cos ( )cos

T

nT

a f t n t dt f t n tdtT T

= +

Empleando el cambio de variable que condujo a la Ec. (15.18), es posible expresar la ecuacin precedente como

( ) ( ) 00

0

0

0 2

0 02 00 0

0 2

0 02 00 0

2 2( )cos ( )cos

2 2 ( )cos ( )cos

T

nT

T

T

a f x n x dx f t n t dtT T

f x n x dx f t n tdtT T

= +

= +

o

0

000

4( )cos

T

na f t n t dtT

= (15.19)

Una vez ms, siguiendo el procedimiento anterior, es posible escribir la ecuacin para los coeficientes bn como

0nb = (15.20)

El anlisis precedente indica que la serie de Fourier para una funcin peridica par consiste solamente de un trmino constante y de trminos tipo coseno. Por tanto, si f(t) es par, bn = 0 y de las Ecs. (15.10) y (15.14), los coeficientes cn son reales y los ngulos n son mltiplos de 180. Simetra de Funcin Impar Una funcin es impar si

( ) ( )f t f t= (15.21)

Un ejemplo de una funcin impar es 0sen n t . Otro ejemplo es la seal en la Fig. 15-4a . Siguiendo el desarrollo matemtico que condujo a las Ecs. (15.18) a (15.20), es posible demostrar que para una funcin impar los coeficientes de Fourier son

0 0a = (15.22)

0 para toda 0na n= > (15.23)

Jos R. Morn 173

0 2

000

4( )sen

T

nb f t n t dtT

= (15.24)

Por tanto, si ( )f t es impar, an = 0 y, de las Ecs. (15.10) y (15.14), cn es imaginaria pura y los ngulos n son mltiplos impares de 90. Simetra de Media Onda Una seal posee simetra de media onda si

0( )2

Tf t f t

=

(15.25)

Bsicamente, esta ecuacin establece que cada medio ciclo es una versin invertida del semiciclo adyacente; es decir, si la forma de onda de T0/2 a 0 es invertida, se obtiene una forma de onda idntica a onda de 0 a T0/2. Las seales en las Figs. 15.5a y c poseen simetra de media onda.

Figura 15.5 Tres seales: (a) y (c) poseen simetra de media onda. Una vez ms, en este caso se pueden derivar las expresiones para los coeficientes de Fourier repitiendo el desarrollo matemtico que condujo a las ecuaciones para la simetra de la funcin par usando el cambio de variable 0 2t x T= + y la Ec. (15.25). Los resultados de este desarrollo son las siguientes ecuaciones:

0 0a = (15.26)

0 para parn na b n= = (15.27)

0 2

000

4( )cos para impar

T

na f t n t dt nT

= (15.28)

0 2

000

4( )sen para impar

T

nb f t n t dt nT

= (15.29) Las relaciones siguientes con frecuencia son tiles en la evaluacin de los coeficientes de las series trigonomtricas de Fourier:

2 2

1 1 1 1sen sen cos , cos cos senx ax dx ax x ax x ax dx ax x ax

a aa a= = + (15.30)

Jos R. Morn 174

Ejemplo 15.3 Se desea encontrar la serie de Fourier trigonomtrica para la seal peridica en la Fig. 15.3. Solucin La seal exhibe simetra de funcin peridica y por tanto

0 0

0 para toda n

a

b n

=

=

La seal tambin exhibe simetra de media onda y por tanto

0 para parna n= En consecuencia,

( )

2

000

2 2

0 00 0

4 20 00 4

0

0

4( )cos para impar

4 cos cos

4 sen sen

4 sen sen sen

2 24

sen impar2

T

n

T T

T T

T

a f t n t dt nT

V n t dt V n t dtT

Vn t n t

n T

V n nn

n T

V nn

n

=

=

=

pi pi = pi +

pi=

pi

El lector debe comparar este resultado con el obtenido en el Ejemplo 15.1. Ejemplo 15.4 Determnese la expansin en serie de Fourier trigonomtrica para la forma de onda en la Fig. 15.5a. Solucin La funcin no slo exhibe simetra de funcin impar, sino que tambin posee simetra de media onda. Por tanto, solamente es necesario determinar los coeficientes bn para n impar. Observe que

00

0 00

4 0 4

( )4

2 4 2

Vt t T

Tv t

VV t T t T

T

=

<

Los coeficientes bn son entonces

0

24

0 00 0 0 00 4

4 4 4 4sen 2 sen

TT

nT

Vt Vtb n t dt V n t dt

T T T T

= +

La evaluacin de estas integrales es tediosa pero se puede obtener directamente de una tabla y produce

2 2

8sen para impar

2nV n

b nn

pi=

pi

La expansin en serie de Fourier es entonces

02 2 1

impar

8( ) sen sen

2n

n

V nv t n t

n

=

pi=

pi

Ejemplo 15.5 Se quiere hallar la expansin en serie de Fourier trigonomtrica de la seal en la Fig. 15.5b.

Jos R. Morn 175

Solucin Observe que esta onda tiene un valor promedio de 3/2. Por tanto, en vez de determinar la expansin en serie de Fourier de ( )f t , determinaremos la serie de Fourier para f(t) 3/2, que es la seal mostrada en la Fig. 15.5c. Esta ltima seal posee simetra de media onda. La funcin tambin es impar y, por tanto,

( )

0022

0 000 0 0 0

0 0

4 1 2 1sen cos

2

2 2 cos 1 para impar

TT

nb n t dt n tT T n

n nn T n

= =

= pi = pi

En consecuencia, la expansin en serie de Fourier para ( ) 3 2f t es

0 0 1 1

impar impar

3 2 3 2( ) sen o ( ) sen

2 2n n

n n

f t n t f t n tn n

= =

= = + pi pi

E15.3 Determine el tipo de simetra exhibido por las seales en las Figs. E15.2 y E15.3.

Figura E15.3

Respuesta: La Fig. E15.2, simetra par, la Fig. E15.3, simetra de media onda. E15.4 Halle la serie de Fourier trigonomtrica para la seal de voltaje en la Fig. E15.2.

Respuesta: 1

4 2( ) 2 2 sen sen cos

3 3 3n

n n nv t t

n

=

pi pi pi = +

pi E15.5. Halle la serie de Fourier trigonomtrica para la seal de voltaje en la Fig. E15.3.

Respuesta: ( ) 1

impar

2 2( ) sen cos 2 cos sen

2 2 2n

n

n n nv t t t n t

n n

=

pi pi pi= + pi

pi pi

Es interesante observar que cualquier funcin peridica v(t) que no sea de simetra par o impar puede descomponerse en partes par e impar. Usando las propiedades de las funciones pares e impares, se puede escribir

( ) [ ] [ ]par impar

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 p iv t v t v t v t v t v t v t= + + = +

(15.31)

Observe que [ ]12( ) ( ) ( )pv t v t v t= + satisface la propiedad de una funcin par, en tanto que [ ]12( ) ( ) ( )iv t v t v t= satisface la propiedad de una funcin impar. El hecho de que vp(t) contenga slo trminos de CD y los trminos coseno, mientras que vi(t) contenga solamente los trminos seno, puede aprovecharse agrupando la expansin en serie de Fourier de v(t) como

0 0 01 1

par impar

( ) cos sen ( ) ( )n n p in n

v t a a n t b n t v t v t

= =

= + + = +

(15.32)

De (15.32) se deduce rpidamente que cuando v(t) es par, bn = 0, y cuando v(t) es impar, 0 0 na a= = .

0 1 2 3 4 5 6 t

v(t)

4 3 1

Jos R. Morn 176

Observe tambin las siguientes propiedades de las funciones pares e impares:

1. El producto de dos funciones pares es tambin una funcin par.

2. El producto de dos funciones impares es una funcin impar.

3. El producto de una funcin par y una funcin impar es una funcin impar.

4. La suma o diferencia de dos funciones pares es tambin una funcin par.

5. La suma o diferencia de funciones impares es una funcin impar.

6. La suma o diferencia de una funcin par y una funcin impar no es ni par ni impar. Desplazamiento en el Tiempo

Ahora se examinar el efecto de desplazar en el tiempo una seal peridica f(t) definida por la ecuacin

0( ) jn tnn

f t c e

=

= Observe que

( ) ( )0 djn t td nn

f t t c e

=

= o

( ) ( )0 0djn t jn td nn

f t t c e e

=

= (15.33)

Puesto que 0 dj te corresponde a un corrimiento de fase, los coeficientes de Fourier de la funcin desplazada en el tiempo son los coeficientes de Fourier de la funcin original, con el ngulo desplazado por una cantidad directamente proporcional a la frecuencia. Por tanto, el desplazamiento en el dominio del tiempo corresponde a un desplazamiento de fase en el dominio de la frecuencia. Ejemplo 15.5 la seal en la Fig. 15.3 se retrasa por un cuarto de perodo y se calcular la serie de Fourier correspondiente. Solucin. La seal en la Fig. 15.3 retrasada por T0/4 se muestra en la Fig. 15.5. Como el retraso es igual a T0/4, entonces

00

0

290

4 2dT

n t n nT

pi pi = = =

Figura 15.5

Por tanto, usando la Ec. (15.33) y los resultados del Ejemplo 15.1, los coeficientes de Fourier para la seal desplazada en el tiempo son

2sen 90 impar

2nV n

c nn

pi=

pi

y por tanto,

Jos R. Morn 177

( )0 1

impar

4( ) sen cos 90

2n

n

V nv t n t n

n

=

pi=

pi

Si se calculan los coeficientes de Fourier para la onda desplazada en el tiempo en la Fig. 15.5, se obtiene

( )

00

0

00 0

0

0 00 0

0

2

200 2

2 00 0

2 2

0 00 0

2

000

1( )

1 1

1 1

2 sen

2 para impar

Tjn t

nT

Tjn t jn t

T

T Tjn t jn t

T

c f t e dtT

Ve dt Ve dtT T

Ve dt Ve dtT T

j Vn t dt

T

Vn

jn

=

= +

= +

=

=

pi

En consecuencia, 2

90 , imparnV

c nn

= pi

Como n es impar, se puede demostrar que esta expresin es equivalente a la obtenida anteriormente. En general, el corrimiento de fase se puede calcular en grados usando la expresin

( )00

Corrimiento de fase (grados) 360 ddt

tT

= = (15.34)

de modo que un desplazamiento en el tiempo de un cuarto de perodo corresponde a un corrimiento de fase de 90.

Como otra caracterstica interesante del desplazamiento en el tiempo, considere una funcin f1(t) que es diferente de cero en el intervalo 0 t T0/2 y es cero en el intervalo T0/2 < t T0. Como ilustracin, supngase que f1(t) es la seal triangular mostrada en la Fig. 15.6a. ( )1 0 2f t T es entonces como muestra la Fig. 15.6b. As pues, la funcin f(t) definida como

01 1( ) ( ) 2T

f t f t f t

=

(15.35)

es como se muestra en la Fig. 15.6c. Observe que f(t) tiene simetra de media onda. Adems, note que si

01( )

jn tn

n

f t c e

=

=

entonces

( )

0

01 1( ) ( ) 12

2 impar

0 par

jnn

n

jn tn

n

Tf t f t f t c e

c e n

n

pi

=

=

= =

=

(15.36)

Jos R. Morn 178

Figura 15.6 Por tanto, se ve que cualquier funcin con simetra de media onda puede expresarse en la forma de la Ec. (15.35), donde la serie de Fourier es definida por la Ec. (15.36) y cn representa los coeficientes de Fourier para f1(t). Ejemplo 15.6 Determnese la serie de Fourier para la funcin coseno con rectificacin de media onda mostrada en la Fig. 15.7.

Figura 15.7. Una onda coseno con rectificacin de media onda.

Solucin sta es una funcin par, de modo que bn = 0. Tambin, T0 = 4, 0 02 2T = pi = pi . En un periodo,

0 2, 1

( ) cos , 1 12

0, 1 2

t

f t t t

t

< < pi

= <

Jos R. Morn 179

[ ]11

10 0

1 1 sen 1cos 1

2 2 2t

a t dt tpi

= pi + = + = pi

Para n > 1,

( ) ( ) ( ) ( )1 1

sen 1 sen 11 2 1 2n

a n nn n

pi pi= + +

pi + pi

Para n impar, tanto (n + 1) como (n 1) son pares y, por tanto,

( ) ( )sen 1 0 sen 12 2

n npi pi

+ = =

Para n par, (n + 1) como (n 1) son impares y entonces

( ) ( ) ( ) 2sen 1 sen 1 cos 12 2 2

nnn n

pi pi pi+ = = =

En consecuencia,

( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2

2

1 1 2 1, par

1 1 1

n n n

na nn n n

= + =pi + pi pi

As pues,

( ) 22

par

1 1 2 1( ) cos cos

2 2 21

n

n

nf t t t

n

pi pi= +

pi pi

o

( )2

1

1 1 2 1( ) cos cos

2 2 4 1

k

k

f t t k tk

=

pi = + pi

pi pi

que es una serie de Fourier en cosenos. E15.6 Si la seal en la Fig. E15.1 es retrasada 1 s, se obtiene la seal en la Fig. E15.6. Calcule los coeficientes de la serie de Fourier exponencial para la seal en la Fig. E15.6 y demuestre que ellos difieren de los coeficientes para la seal en la Fig. E15.1 por un ngulo n(180).

Figura E15.6

Respuesta: 012

c = , 1

2

jn

n

ec

j n

pi

= pi

Generacin de Seales La magnitud de los armnicos en una serie de Fourier es independiente de la escala del tiempo de una forma de seal dada. Por tanto, las ecuaciones para una variedad de seales se pueden dar en forma tabular sin expresar un escala especfica para el tiempo. La Tabla 15.2 es un conjunto de seales peridicas que ocurren comnmente donde se ha usado la simetra para simplificar los coeficientes. Estas seales pueden usarse para generar otras seales. El nivel de una onda puede ajustarse cambiando la componente del valor promedio; el tiempo puede desplazarse ajustando el ngulo de los armnicos; y dos seales pueden sumarse para producir una tercera seal. Por ejemplo, las seales en las Figs. 15.8a y b pueden sumarse para producir la seal en la Fig. 15.8c.

v(t)

t (s) 4 3 2 1 0 1

1

Jos R. Morn 180

Figura 15.8 TABLA 15.2 Series de Fourier para algunas seales comunes

02 2 1

impar

8( ) sen sen

2n

n

A nf t n t

n

=

pi=

pi

( )0 20

( ) sen jn t

n

A nf t e

n T

=

pi=

pi

( ) 10

1 impar

2( ) 1 senn

nn

Af t n t

n

+

=

= pi

Jos R. Morn 181

0 02 21

4 2( ) cos sen

n

A Af t n t n t

nn

=

= + pipi

01

( ) sen2

n

A Af t n t

n

=

= + pi

( )0

1

1( )

2jn t

n

A ef t e

j n

=

=

+ pi

E15.7 En la Fig. E15.7 se muestran dos seales peridicas. Calcule la serie de Fourier exponencial para cada una de ellas y luego sume los resultados para obtener la serie para la seal en la Fig. E15.2.

Jos R. Morn 182

Figura E15.7

Respuesta: 01 0

2 2( ) sen

3 3jn t

nn

nv t e

n

=

pi= +

pi ; 02

4 4 2( ) sen sen

3 3 3jn t

n

n nv t e

n

=

pi pi = +

pi

Espectro de Frecuencias

El espectro de frecuencias de la funcin f(t) expresado como una serie de Fourier consiste de una grfica de la amplitud de los armnicos versus la frecuencia, a la cual se le llama el espectro de amplitud, y una grfica de la fase de los armnicos versus la frecuencia, al cual llamamos el espectro de fase. Como las componentes de frecuencia son discretas, los espectros se denominan espectros de lneas. Estos espectros ilustran el contenido de frecuencia de la seal. Las grficas de los espectros de amplitud y de fase se basan en las Ecs. (15.1), (15.3) y (15.7) representan la amplitud y la fase de la seal para frecuencias especficas. As pues, el anlisis de Fourier es tambin una herramienta matemtica para hallar el espectro de una seal peridica. Ejemplo 15.7 La serie de Fourier para la seal de tipo triangular mostrada en la Fig. 15.8c con A = 5 es dada por la ecuacin

0 02 2 1

impar

20 40( ) sen cos

nn

v t n t n tn n

=

=

pi pi

Se quiere graficar los primeros cuatro trminos de los espectros de amplitud y fase para esta seal. Solucin. Como n n n nD a jb = , los primeros cuatro trminos para esta seal son

1 1 240 20

7.5 122D j = = pipi

3 3 2

40 202.2 102

39D j = =

pipi

5 5 2

40 201.3 97

525D j = =

pipi

7 7 240 20

0.91 95749

D j = = pipi

Por tanto, las grficas de amplitud y fase versus son como se muestra en la Fig. 15.9.

Figura 15.9

Jos R. Morn 183

Ejemplo 15.8

Hllese la serie de Fourier compleja para la onda en diente de sierra de la Fig. 15.10. Grafique los espectros de amplitud y de fase.

Figura 15.10

Solucin De la Fig. 15.10, ( )f t t= , 0 < t < 1, T0 = 1, de modo que 0 02 2T = pi = pi . Por tanto,

( ) ( )

( )

00

1212

20 000

2

2 2

1 1( ) 2 1

1 2

2 1 1

4

j n tTjn t j nt

n

j n

ec f t e dt t e dt j n t

T j n

e j n

n

pi pi

pi

= = = pi pi

pi +=

pi

o, como 2 1j ne pi = ,

2 2

2, 0

24n

j n jc n

nn

pi= =

pi pi

Cuando n = 0,

0121

00 0 00

1 1( ) 0.5

1 2

T tc f t dt t dt

T= = = =

Por tanto,

2

0

( ) 0.52

j n t

nn

jf t e

n

pi

=

= +pi

y

1, 0

2 , 90 , 00.5, 0

n n

nnc n

n

pi= =

=

Graficando nc y n para diferentes valores de n, se obtienen los espectros de amplitud y de fase mostrados en

la Fig. 15.11.

Figura 15.11 Espectros para el Ejemplo 15.8: (a) amplitud, (b) fase.

Jos R. Morn 184

E15.8 Determinar la serie de Fourier trigonomtrica para la seal de voltaje en la Fig. E15.8 y grafique los primeros cuatro trminos de los espectros de amplitud y fase para esta seal.

Figura E15.8

Respuesta: 0 1 2a = ; ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4D j D j D j D j= pi = pi = pi = pi Aplicaciones a Circuitos Respuesta de la Red en Rgimen Permanente Si se aplica una seal peridica a una red, la respuesta de voltaje o corriente en rgimen permanente (estado estacionario) en algn punto en el circuito puede determinarse en la forma siguiente. Primero, representamos la funcin peridica de excitacin mediante una serie de Fourier. Si la funcin de excitacin para una red es un voltaje, ella puede expresarse en la forma

0 1 2( ) ( ) ( ) v t v v t v t= + + +

y por tanto representarse en el dominio del tiempo como se muestra en la Fig. 15.12. Cada fuente tiene su propia amplitud y frecuencia. Luego se determina la respuesta debida a cada componente de la serie de Fourier en la entrada; es decir, usamos anlisis fasorial en el dominio de frecuencia para determinar la respuesta de la red debida a cada fuente. La respuesta de la red debida a cada fuente en el dominio de frecuencia es entonces transformada al dominio del tiempo. Finalmente, se suman las soluciones en el dominio del tiempo que se deben a cada fuente usando el Principio de Superposicin para obtener la serie de Fourier para la respuesta total de la red en el rgimen permanente.

Red

Figura 15.12

Ejemplo 15.9 Se quiere determinar el voltaje en rgimen permanente vo(t) en la red de la Fig. 15.13 si el voltaje de entrada v(t) es dado por la expresin

2 2 1

impar

20 40( ) sen 2 cos 2 V

nn

v t nt ntn n

=

=

pi pi

0 1 2 t 1

v(t)

Jos R. Morn 185

Solucin. Observe que esta fuente no tiene trmino constante y por tanto su valor de CD es cero. La amplitud y fase para los primeros cuatro trminos de esta seal se dan en el Ejemplo 15.6 y por tanto la seal v(t) puede escribirse como

( ) ( )( ) ( )

( ) 7.5cos 2 122 2.2 cos 6 102

1.3cos 10 97 0.91cos 14 95

v t t t

t t

= +

+ + +

Figura 15.13

Para la red se determina que

( )1 2

2 4 421 1

j

j j

j

+ = =

+ +

+

VVI

( )

11

2 1 1 2

j

j j

= =

+ +

I II

( ) ( )1 1 2 11 1 4 4 1 2 4 4oj

j j j

+ = = =

+ + +

V VV I

Por tanto, como 0 = 2,

( ) ( )4 8o

nn

j n=

+

VV

Las componentes individuales de la salida debidas a las componentes de la fuente de entrada son entonces

( )0 7.5 122 0.84 185.4 V4 8o j

= = +

V

( )0 2.2 1023 0.09 182.5 V4 24o j

= = +

V

( )0 1.3 975 0.03 181.3 V4 40o j

= = +

V

( )0 0.91 957 0.016 181 V4 56o j

= = +

V

En consecuencia, el voltaje de salida en rgimen estacionario vo(t) puede escribirse como

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 0.84 cos 2 185.4 0.09 cos 6 182.5

0.03cos 10 181.3 0.016 cos 14 181 Vov t t t

t t

= +

+ + +

Ejemplo 15.10

Suponga que la funcin v(t) en el ejercicio E15.1 es la fuente de voltaje vs(t) en el circuito de la Fig. 15.14. Halle la respuesta vo(t) del circuito.

Jos R. Morn 186

Figura 15.14

So

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