Aplicaciones de las derivadas - Sistema Educativo Digital · Real”, “ Gráficas de Funciones...

Aplicacionesde las

derivadas(estudio de funciones)

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2006

Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones)

Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

Aplicaciones de las derivadas( estudio de funciones )

PorJavier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2006

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones)

Depósito Legal : CE & 53 / 2006

ISBN : 84 & 689 &8843 & X

Número de Registro : 06 / 39348

Ceuta 2006

Prólogo

El título de este tema “Aplicaciones de las derivadas(estudio de funciones)” es suficientemente elocuente.

Veremos como el conocimiento de la derivada de unafunción y sus derivadas sucesivas nos brinda unainformación que permitirá conocer el comportamiento deesa función en un punto concreto, en un intervalo o en todosu dominio, es decir, las derivadas sucesivas constituyenuna herramienta para el estudio completo de funciones,entendiendo por tal el conocimiento de su forma en un puntoconcreto & crecimiento, decrecimiento, extremos, puntos deinflexión, concavidad , convexidad, etc. & o en un intervalo& crecimiento, decrecimiento, concavidad , convexidad,etc.& de tal modo que podamos tener un conocimientoexhaustivo de ella para poder trazar su gráfica con exactitud.

Evidentemente, es imprescindible abordar este temacon el estudio previo del tema “Derivadas de funciones”,así como los relativos a “Funciones Reales de VariableReal”, “Gráficas de Funciones Reales de Variable Real”,“Propiedades y formas de las Funciones Reales deVariable Real”, “Límites de funciones” y “Continuidadde funciones”, pertenecientes a esta colección de apuntes.

Por último, hacer constar que este tema puede serútil, además de a los alumnos de 2º de bachillerato en lasmodalidades de Ciencias de la Naturaleza y Salud oCientífica Tecnológica, a los que comienzan estudiosuniversitarios con contenidos de matemáticas en el primercurso.

IMatemáticas de 2º de bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones)

Índice

Página

Introducción ................................................... 11.Función creciente en un punto. .............................. 12.Función decreciente en un punto.............................. 5

Ejemplo 1 ................................................ 83.Función creciente en un intervalo ........................... 8

Ejemplo 2 ................................................ 114.Función decreciente en un intervalo ......................... 13

Ejemplo 3 ................................................ 15Ejemplo 4 ................................................ 17

5.Condición suficiente de función creciente en un punto......... 17Ejemplo 5 ................................................ 19Ejemplo 6 ................................................ 19Ejemplo 7 ................................................ 20

6.Condición suficiente de función decreciente en un punto...... 21Ejemplo 8 ................................................ 22Ejemplo 9 ................................................ 22Ejercicio nº1............................................. 24Ejercicio nº2 ............................................ 25Ejemplo 10 ............................................... 27Ejemplo 11 ............................................... 27Ejercicio nº3 ............................................ 28

7.Extremos (máximos y mínimos) de una función................... 297.1.Máximo relativo de una función en un punto ............ 297.2.Máximo absoluto de una función en un punto ............ 31

Ejemplo 12........................................... 31Ejemplo 13 .......................................... 31

7.3.Mínimo relativo de una función en un punto ............ 317.4.Mínimo absoluto de una función en un punto ............ 33

Ejemplo 14........................................... 33Ejemplo 15 .......................................... 33

8.Condición necesaria para la existencia de un extremo ......... 34 Ejemplo 16 ................................................ 35Ejemplo 17 ............................................... 35Ejemplo 18 ............................................... 36

9.Condiciones suficientes para la existencia de un extremo...... 36Ejemplo 19 ............................................... 38Ejercicio nº4 ............................................ 39Ejemplo 20 ............................................... 40Ejercicio nº5 ............................................ 40

10.Concavidad y convexidad de una función en un punto .......... 4110.1.Función cóncava hacia arriba o convexa abajo en un punto... 4110.2.Func. cóncava hacia arriba o convexa abajo en un intervalo.. 4210.3.Func. cóncava hacia arriba o convexa abajo en su dominio ... 4410.4.Func. cóncava hacia abajo o convexa arriba en un punto...... 4410.5.Func. cóncava hacia abajo o convexa arriba en un intervalo.. 4510.6.Func. cóncava hacia abajo o convexa arriba en su dominio.... 46

11.Determinación de la concavidad-convexidad .................... 46Ejemplo 21 ....... .........................................50Ejemplo 22 ....... .........................................51

IIMatemáticas de 2º de bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones)

Página

Ejemplo 23 ............................................... 51Ejemplo 24 ............................................... 52Ejercicio nº6 ............................................ 53Ejercicio nº7 ............................................ 53Ejercicio nº8 ............................................ 54Ejercicio nº9 ............................................ 55Ejercicio nº10 ........................................... 56Ejercicio nº11 ........................................... 56

12.Puntos de inflexión ........................................ 5713.Condiciones suficientes para determinar la inflexión ....... 57

Ejemplo 25 ............................................... 60Ejercicio nº12 ........................................... 61Ejercicio nº13 ........................................... 62Ejemplo 26 ............................................... 64Ejercicio nº14 ........................................... 65

14.Asíntota oblicuas de una función ................ ........... 6615.Forma de hallar las asíntotas oblicuas de una función ....... 70

Ejemplo 27 ................................................ 71Ejemplo 28 ................................................ 73Ejercicio nº15 ............................................ 73Ejercicio nº16 ............................................ 74

16.Estudio exhaustivo de una función ........................... 7417.Problemas de optimización ................................... 79

Problema nº1 .............................................. 79Problema nº2 .............................................. 80Problema nº3 .............................................. 82Problema nº4 .............................................. 83Problema nº5 .............................................. 86Problema nº6 .............................................. 87Problema nº7 .............................................. 89

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones)

Introducción.-Con este tema pretendemos que el alumno comprenda y valore la información que aporta

el conocimiento de la derivada y las derivadas sucesivas de una función y sus valores en un puntox = a, para conocer el comportamiento de dicha función en ese punto, en un intervalo o en todosu dominio.

Cuando nos referimos a la idea “comportamiento de una función”, nos referimos aconceptos vistos en temas anteriores, esto es, “crecimiento”, “decrecimiento”, “concavidad”,“convexidad”,”máximo”, “mínimo”, “puntos de inflexión”, etc.

Generalmente, el estudio de una función, esto es, su comportamiento, referido a un puntox = a, se denomina “estudio local de una función”, ya que dicho estudio está localizado en unpunto. Debe entenderse que para conocer el comportamiento general sea necesario la localizaciónde puntos concretos de la función, tales como máximos, mínimos, inflexiones etc.

Recordemos que para comenzar este tema es necesario el estudio previo de los siguientes:L Funciones reales de variable realL Derivadas de funcionesL Gráficas de funciones reales de variable realL Propiedades y formas de las funciones reales de variable real.

En el presente tema recordaremos y ampliaremos muchos de los conceptos explicados enlos temas mencionados.

1.Función creciente en un punto.-(NOTA: Es recomendable ver el tema “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”)Z Sea y = f (x) una función real de variable real.Z Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df Vamos a definir el concepto de función creciente en el punto a :

Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente (y) :

Aplicaciones de las derivadas(estudio de funciones)

Se dice que la función y = f (x) es creciente en el punto a si existe un entorno de centro a yradio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es menor o igualque la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es mayor o igual quela de a.


figura 1 figura 2

En la figura 1 se aprecia como la gráfica de y = f (x) “atraviesa” la recta vertical x = ade “izquierda a derecha” y “subiendo”.

La figura 2 explica el concepto viendo como se verifica que f (a&) < f (a) < f (a+) en unentorno de centro a y radio ε

Gráficamente, una función que es creciente en elpunto x = a, “atraviesa” la recta vertical “situada” enx = a “pasando” del “lado izquierdo” al “lado derecho”“subiendo”.

Observa la gráfica de la izquierda e intentacomprender la coherencia de esta con la definición deque y = f (x) es creciente en el punto x = a.

Nótese que la “franja” delimitada por el entornoEg = (a&g, a+g) es “atravesada” por la función deizquierda a derecha “subiendo”.Fuera de esa “franja”, es posible que la función cambiede tendencia, es decir, “baje”

figura 3

El tamaño del entorno no tiene ninguna importancia, puede ser grande, pequeño,infinitamente pequeño, etc.

La forma de la gráfica de la función creciente en x = a puede ser muy distinta. Veamos:En la figura 3 tenemos “trozos”de cuatro funciones imaginarias. Todas ellas son

crecientes en el punto a0ú. Hagamos las siguientes observaciones:( La función y = f (x) atraviesa la recta vertical en x = a de forma horizontal, es

decir, ni sube ni baja (obsérvese que cumple la definición).( La función y = g (x) es una recta (al menos en un entorno de centro a) que tiene

pendiente positiva.

y f x es creciente en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x

= ⇔ ∃ = − +− < < ≤< < + ≤

( ) ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε

Si a&g< x < a entonces f (x)#f (a)Si a < x < a+g entonces f (a) #f (x)


( Las otras dos gráficas son curvas.Otra forma de expresar que una función y = f (x) es creciente en un punto x = a, es :

(yy)

Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función creciente en a, si esbastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:

Hemos definido el concepto de función creciente en un punto. Ahora vamos a modificarligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente creciente en un punto”.

Matemáticamente sería (yyy) :

La figura 3 nos aclara la diferencia entre función creciente y estrictamente creciente enun punto x = a :

) Las cuatro funciones representadas son crecientes en el punto x = a , pero lasfunciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x) son, además, estrictamente crecientes.

) Observa que la función y = f (x) cumple la definición de función creciente en elpunto x = a, pero no cumple la de función estrictamente creciente.

) Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+) g (a&) < g (a) < g (a+)

h (a&) < h (a) < h (a+)r (a&) < r (a) < r (a+)

La definición (y) la podemos modificar ligeramente y quedaría (IV y):

Se dice que la función y = f (x) es estrictamente creciente en el punto a si existe un entornode centro a y radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen esmenor que la de a y si x está en la mitad derecha, su imagen es mayor que la de a.

y f x es creciente en a Rf a f af a f a

= ∈ ⇔≤

≤

−

+( )

( ) ( )( ) ( )

y f x es estric crec en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x

= ⇔ ∃ = − +− < < << < + <

( ) . . ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε

y f x es creciente en a E a x E asi x verifica que x a entonces f x f asi x verifica que x a entonces f x f a

= ⇔ ∃ ∀ ∈< ≤> ≥

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ε ε

“La función y = f (x) es creciente en el punto x = a sí y sólo sí para valores de x infinitamentepróximos a a por su izquierda, sus imágenes son menores o iguales que la imagen de a y paravalores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las imágenes de esos valores sonmayores o iguales que la de a”.


De la definición (IV y) sacaremos otra nueva:( La expresión x < a equivale a la expresión x&a < 0( La expresión f (x) # f (a) equivale a la expresión f (x) & f (a) # 0Entonces:

{x af x f a

f x f ax a

negativo o ceronegativoequivale

− <− ≤

⇔−−

= ≥0

00

( ) ( )( ) ( )

) La expresión x > a equivale a la expresión x&a > 0) La expresión f (x) $ f (a) equivale a la expresión f (x) & f (a) $ 0Entonces:

{x af x f a

f x f ax a

positivo o ceropositivoequivale

− >− ≥

⇔−−

= ≥0

0 0( ) ( )( ) ( )

Por tanto, ∀ ∈ ≥−−x E a se verifica que

f x f ax aε ( )

( ) ( )0

De este modo, definimos (V y):

Veamos la interpretación gráfica de esta última definición:

Obsérvese lo siguiente:3 Si a& ε < x < a se verifica que:

f x f a

x anegativonegativo positivo

( ) ( )−− = =

3 Si a < x < a+ ε se verifica que:

f x f a

x apositivopositivo positivo

( ) ( )−− = =

Es decir:

,∀ ∈ ≥−−x E a es

f x f ax aε ( )

( ) ( )0

condición que debe cumplir una funciónf (x) para ser creciente en x = a.Si la condición fuese :

∀ ∈ >−−x E a es

f x f ax aε ( )

( ) ( )0

tendríamos la definición de funciónestrictamente creciente en x = a.

Por tanto (VI y):

y f x es creciente en a E a x E a se verifica quef x f a

x a= ⇔ ∃ ∀ ∈

−−

≥( ) ( ) ( )( ) ( )

ε ε 0

y f x estric creciente en a E a x E a se verifica quef x f a

x a= ⇔ ∃ ∀ ∈

−−

>( ) . ( ) ( )( ) ( )

ε ε 0


2.Función decreciente en un punto.-(NOTA: Es recomendable ver el tema “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”)Z Sea y = f (x) una función real de variable real.Z Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df Vamos a definir el concepto de función decreciente en el punto a :

Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente (i) :

figura 5 figura 6

En la figura 5 se aprecia como la gráfica de y = f (x) “atraviesa” la recta vertical x = ade “izquierda a derecha” y “bajando”.

La figura 6 explica el concepto viendo como se verifica que f (a&) > f (a) > f (a+) en unentorno de centro a y radio ε

Gráficamente, una función que es decrecienteen el punto x = a, “atraviesa” la recta vertical“situada” en x = a “pasando” del “lado izquierdo”al “lado derecho” “bajando”.

Observa la gráfica de la izquierda e intentacomprender la coherencia de esta con la definición deque y = f (x) es decreciente en el punto x = a.

Nótese que la “franja” delimitada por elentorno Eg = (a&g, a+g) es “atravesada” por la funciónde izquierda a derecha “bajando”.Fuera de esa “franja”, es posible que la funcióncambie de tendencia, es decir, “suba”

Se dice que la función y = f (x) es decreciente en el punto a si existe un entorno de centro ay radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es mayor o igualque la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es menor o igual quela de a.

y f x es decreciente en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x

= ⇔ ∃ = − +− < < ≥< < + ≥

( ) ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε


El tamaño del entorno no tiene ninguna importancia, puede ser grande, pequeño,infinitamente pequeño, etc.

La forma de la gráfica de la función decreciente en x = a puede ser muy distinta.Veamos:

En la figura 7 tenemos “trozos”de cuatro funciones imaginarias. Todas ellas sondecrecientes en el punto a0ú. Hagamos las siguientes observaciones:

Z La función y = f (x) atraviesa la recta vertical en x = a de forma horizontal, esdecir, ni sube ni baja (obsérvese que cumple la definición).

Z La función y = g (x) es una recta (al menos en un entorno de centro a) que tienependiente negativa.

( Las otras dos gráficas son curvas.Otra forma de expresar que una función y = f (x) es decreciente en un punto x = a, es :

(ii)

Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función decreciente en a, si esbastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:

Hemos definido el concepto de función decreciente en un punto. Ahora vamos a modificarligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente decreciente en un punto”.

Matemáticamente sería (iii) :

La figura 7 nos aclara la diferencia entre función decreciente y estrictamente decrecienteen un punto x = a :

; Las cuatro funciones representadas son decrecientes en el punto x = a , pero lasfunciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x) son, además, estrictamente decrecientes.

Se dice que la función y = f (x) es estrictamente decreciente en el punto a si existe un entornode centro a y radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen esmayor que la de a y si x está en la mitad derecha, su imagen es menor que la de a.

y f x es decreciente en a Rf a f a

f a f a= ∈ ⇔

≥

≥

−

+( )( ) ( )

( ) ( )

y f x es estric decrec en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x= ⇔ ∃ = − +

− < < >< < + >

( ) . . ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε

“La función y = f (x) es decreciente en el punto x = a sí y sólo sí para valores de xinfinitamente próximos a a por su izquierda, sus imágenes son mayores o iguales que laimagen de a y para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las imágenes deesos valores son menores o iguales que la de a”.


; Observa que la función y = f (x) cumple la definición de función decreciente enel punto x = a, pero no cumple la de función estrictamente decreciente.

; Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+) g (a&) > g (a) > g (a+)

h (a&) > h (a) > h (a+)r (a&) > r (a) > r (a+)

La definición (i) la podemos modificar ligeramente y quedaría (IV i):

De la definición (IV i) sacaremos otra nueva:( La expresión x < a equivale a la expresión x&a < 0( La expresión f (x) $ f (a) equivale a la expresión f (x) & f (a) $ 0Entonces:

{x af x f a

f x f ax a

positivo o ceronegativoequivale

− <− ≥

⇔−−

= ≤0

0 0( ) ( )( ) ( )

) La expresión x > a equivale a la expresión x&a > 0) La expresión f (x) # f (a) equivale a la expresión f (x) & f (a) # 0Entonces:

{x af x f a

f x f ax a

negativo o ceropositivoequivale

− >− ≤

⇔−−

= ≤0

00

( ) ( )( ) ( )

Por tanto, ∀ ∈ ≥−−x E a se verifica que

f x f ax aε ( )

( ) ( )0

De este modo, definimos (V i):

A la derecha tenemos la interpretación gráfica:Obsérvese lo siguiente:3 Si a& ε < x < a se verifica que:

f x f a

x apositivonegativo negativo

( ) ( )−− = =

3 Si a < x < a+ ε se verifica que:

f x f a

x anegativopositivo negativo

( ) ( )−− = =

Es decir:

,∀ ∈ ≤−−x E a es

f x f ax aε ( )

( ) ( )0

condición que debe cumplir una funciónf (x) para ser decreciente en x = a.Si la condición fuese :

y f x es decreciente en a E a x E asi x verifica que x a entonces f x f asi x verifica que x a entonces f x f a

= ⇔ ∃ ∀ ∈< ≥> ≤

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ε ε

y f x es decreciente en a E a x E a se verifica quef x f a

x a= ⇔ ∃ ∀ ∈

−−

≤( ) ( ) ( )( ) ( )

ε ε 0


tendríamos la definición de función estrictamente decreciente∀ ∈ <−−x E a es

f x f ax aε ( )

( ) ( )0

en el punto x = a.Por tanto (VI i):

Ejemplo 1.-Consideremos la función . Queremos estudiar su crecimientof x x( ) = − +2 9

decrecimiento en el punto x = 2.VeamosP Comprobemos si cumple alguna de las definiciones (VI y) o (VI i):P Imaginemos un entorno Eε(2) = (2&ε , 2+ε)P Tomemos un número de su mitad izquierda, 2& y otro de su mitad derecha, 2+

( )

( )x

f f

xf f

= ⇒−−

=− + −

−= = <

= ⇒−−

=− + −

−= = <

−−

−

−

−

+

−+−

++

+

+

+

−

+−+

22 22 2

2 9 5

2 200

0

22 22 2

2 9 5

2 200

0

2

2

( ) ( )

( ) ( )

P A la vista de lo anterior tenemos que:

∃ ∀ ∈ <−−E tal que x E se verifica que

f x fxε ε( ) ( )

( ) ( )2 2 0

22

Por tanto: “La función es estrictamente decreciente en el punto x = 2 “f x x( ) = − +2 9

NOTA: Aplicar la definición para averiguar si una función es creciente o decreciente en unpunto no es el método más adecuado, aunque hemos visto con el ejemplo anterior que hay casosen los que es factible. Veremos a lo largo de este tema como el uso de la derivada es el métodomás adecuado para este fin.

3.Función creciente en un intervalo.-(NOTA: Es recomendable ver el tema “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”)º Sea y = f (x) una función y sea Df dú su dominio.º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dDf .Vamos a definir el concepto “ f (x) creciente en A”) Una forma de definirlo:

Matemáticamente:

“La función y = f (x) es creciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”

y f x estric decreciente en a E a x E a se verifica quef x f a

x a= ⇔ ∃ ∀ ∈

−−

<( ) . ( ) ( )( ) ( )

ε ε 0


f x creciente en A D a A f x creciente en af( ) , ( )⊂ ⇔ ∀ ∈

f x estr crec en A D a A f x estr crec en af( ) . . , ( ) . .⊂ ⇔ ∀ ∈

f x es creciente en A D

a b A a b entonces f a f b

f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < ≤

1 244444 344444

c

6 74444444 84444444

) Otra forma de definirlo:

(e)

Es decir, y = f (x) es creciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda(a) tiene una imagen (f (a)) menor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b).

Matemáticamente será:

Š Gráficamente se interpreta del siguiente modo: figura 9En la figura de la derecha tenemos: A = [α,β] intervalo cerrado. Cualesquiera que sean los números

a y b del intervalo A , tales que seaa < b, entonces se verifica que f (a) # f (b). En este caso concreto esf (a) < f (b).

Nótese como la gráfica de la funciónatraviesa la franja existente entre larectas x = α y x = β ”subiendo” deizquierda a derecha.

Nótese como en cualquier punto delintervalo A la función y = f (x) escreciente.

En este caso la función es estrictamente creciente en todos los puntos del intervaloA, es decir, es estrictamente creciente en todo el intervalo A.

La definición de función estrictamente creciente en un intervalo A es la siguiente:

Matemáticamente:

NOTA: El intervalo A puede ser abierto o cerrado.

Otra forma de definirlo:

“La función y = f (x) es estrictamente creciente en el intervalo A si lo es en todoslos puntos de A”.

“La función y = f (x) es creciente en el intervalo A si dados dos númeroscualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)#f (b)”.


f x es estrictamente creciente en A D


f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < <

1 244444444 344444444

c

6 74444444 84444444

Es decir, y = f (x) es estrictamente creciente en A si dados dos números de A, el que está a laizquierda (a) tiene una imagen (f (a)) menor que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b)


Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia existente entre función creciente yestrictamente creciente en un intervalo:

figura 10

En la figura 10 tenemos cuatro gráficas de funciones trazadas en un intervalo deextremos α y β.

La función y = f (x) es estrictamente creciente en todo el intervalo [α , β].Las funciones y = g (x) , y = h (x) e y = r (x) son crecientes en el intervalo [α , β], pero

no son estrictamente crecientes.La función y = g (x) es constante en todo el intervalo (aunque sea constante, cumple la

definición de ser creciente). Se entiende así que una función constante es creciente, aunque noestrictamente.

“La función y = f (x) es estrictamente creciente en el intervalo A si dados dosnúmeros cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)<f (b)”.


La expresion

La expresion

&

& ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

a b equivale a quea b

yb a

f a f b equivale a quef a f b

yf b f a

<− <

− >

≤− ≤

− ≥

0

0

0

0

Ejemplo 2 .-

Demuestra que que es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4 , 0).y f xx

= =( ) 12

Veamos:Si construimos la gráfica de esa función tendremos:Por tanto, hemos demostrado que ( )∀ ∈ − ∞ < <α β α β α β, , , ( ) ( )0 tales que es f f

(Nótese que hemos llamado α =&a y β = &b ).

Conclusión: La función es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4 , 0)y f xx

= =( ) 12

Modificando la definición (e) podemos obtener otra definición de función creciente enun intervalo. Veamos:

La definición quedará:

figura 11

Gráfica de la función y f xx

= =( )12

Obsérvese como todo número real, excepto el cero tiene imagen.

Q En la gráfica, a simple vista seaprecia que la función es estrictamentecreciente en todo el intervalo (& 4,0),ya que la curva “viaja” por todo elintervalo de izquierda a derechasubiendo.Q V a m o s a d e m o s t r a r l omatemáticamente:,Sean &a y &b dos números negativos,es decir, &a,&b0 (& 4,0) tales que&a<&b., Es evidente que a y b son positivos.Además a > b., Es evidente que (&a)2= a2 >b2 =(&b)2

, Entonces:

f aa a b b

f b( )( ) ( )

( )− =−

= < =−

= −1 1 1 1

2 2 2 2

f b f ab a

o

f a f ba b

o

o

o

( ) ( )

( ) ( )

−−

++

−−

−−

= = +

= = +

0

0

0

0

De las equivalencias de laderecha deducimos que:

es decir, ambos cocientesson positivos.


f b f ab a

f a f ba b

( ) ( )

( ) ( )

−−

++

−−

−−

= = +

= = +

(ee)

Para el caso de una función estrictamente creciente será:

(eee)

Vamos a interpretar gráficamente estas últimas definiciones:

Observando la figura 12 apreciamos:3 Tenemos un intervalo de

extremos α y β (cerrado oabierto) y una función f(x)definida en él.

3 T o m a m o s d o s p u n t o scualesquiera a y b de eseintervalo.

3 Notamos que:

3 Es decir, si tomamos dos puntos cualesquiera x1 y x2 del intervalo, el cociente de la forma

es positivo, sin importar que x1 < x2 o que x1 > x2 (en el caso de la figuraf x f x

x x( ) ( )1 2

1 2

−−

12, la función es estrictamente creciente en el intervalo [α , β] ).

En la figura 13 tenemos la gráficade una función que no es crecienteen el intervalo [α , β] ya que a,b0[α , β] y sin embargo:

f b f a

b anegativopositivo

( ) ( )−− = < 0

Puede apreciarse que en unospuntos del intervalo la función escreciente y en otros decreciente.

Si en vez de considerar un intervalo, consideramos el dominio de la función, podemosdefinir el concepto de función creciente (o estrictamente creciente) en su dominio D.

(IVe)

f x es creciente en el ervalo A a b A esf b f a

b a( ) int ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ ≥−− 0

f x es estric creciente en el ervalo A a b A esf b f a

b a( ) . int ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ >−− 0

f x es creciente en D a b D esf ff b f a

b a( ) ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ ≥−− 0


f(x) decrec. en A D a A, f(x) decrec en af⊂ ⇔ ∀ ∈ .

f x es decreciente en A D


f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < ≥

1 2444444 3444444

c

6 74444444 84444444

(Ve)

4.Función decreciente en un intervalo.-(NOTA: Es recomendable ver el tema “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”)º Sea y = f (x) una función y sea Df dú su dominio.º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dDf .Vamos a definir el concepto “ f (x) decreciente en A”; Una forma de definirlo:

Matemáticamente:

) Otra forma de definirlo:

(q)

Es decir, y = f (x) es decreciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a)tiene una imagen (f (a)) mayor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b).


Gráficamente se interpreta del siguiente modo:Dibujamos la gráfica de una función que es decrecienteen un intervalo A = [α,β]Observa la gráfica de la derecha (figura 14):9 A = [α,β] intervalo cerrado.9 Cualesquiera que sean los números reales a y b

del intervalo A , tales que a < b, se verifica quef (a) $ f (b).En este caso concreto es f (a) > f (b)

9 Nótese como la gráfica de la función atraviesa lafranja existente entre las rectas de ecuaciones x = α y x = β ”bajando” de izquierda a derecha.

9 Nótese como en cualquier punto del intervalo Ala función y = f (x) es decreciente.

9 En este caso la función es estrictamente decreciente en todos los puntos del intervalo A,es decir, es estrictamente decreciente en todo el intervalo A.

“La función y = f (x) es decreciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”

“La función y = f (x) es decreciente en el intervalo A si dados dos númeroscualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)$f (b)”.

f x esestric creciente en D a b D esf ff b f a

b a( ) . ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ >−− 0


f x estrictamentedecreciente en A D a A f x estrictamente decreciente en a

f

( ), ( )⊂

⇔ ∀ ∈

f x es estrictamente decreciente en A D


f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < >

1 2444444444 3444444444

c

6 74444444 84444444

La definición de función estrictamente decreciente en un intervalo A es la siguiente:

Matemáticamente:

Otra forma de definirlo:

Es decir, y = f (x) es estrictamente decreciente en A si dados dos números de A, el queestá a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor que la imagen (f (b)) del que está a laderecha (b).


figura 15Distingamos de un modográfico la diferencia queexiste entre funcióndecreciente y estrictamentedecreciente en un intervaloEn la figura 15 tenemoscuatro gráficas de otrascuatro funciones.La función y = f(x) esestrictamente decrecienteen todo el intervalo [α , β]Las funciones y=g(x),y=h(x) e y = r(x) sondecrecientes, pero no ensentido estricto.La función y = g (x) esconstante en todo elintervalo [α , β]. Nóteseque es creciente ydecreciente.

“La función y = f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo A si lo es en todoslos puntos de A”.

“La función y = f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo A si dados dosnúmeros cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)>f (b)”.


[ ]f

x f x x

: ,

( ) cos

0 π →

→ =

R

La expresion

La expresion

&

& ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

a b equivale a quea b

yb a

f a f b equivale a quef a f b

yf b f a

<− <

− >

≥− ≥

− ≤

0

0

0

0

Ejemplo 3 .-Consideremos la función coseno definida en el intervalo cerrado de extremos 0 y π :

Veamos que es estrictamente decreciente en todo el intervalo [0 , π].3 f (0) = cos 0 = 1 ; f (π) = cos π = &1 3 œx0[0 , π] , se verifica que &1 #f (x) #1 3 Sabemos que œα,β 0 [0 , π] tales que α<β , se verifica que f (α) = cos α < cos β = f (β)

(Recordar la definición de coseno de un ángulo y su interpretación gráfica en lacircunferencia goniométrica o círculo trigonométrico).

Dibujemos su gráfica:figura 16

En la gráfica de la izquierda, correspondientea la función f (x) = cos x , definida en el intervalocerrado [0,π], apreciamos que:

[ ]∀ ∈ < >a b a b es f a f b, , , ( ) ( )0 π

La gráfica “recorre” todo el intervalo [0,π], deizquierda a derecha, “bajando”.

Nótese que la gráfica corta al eje de abcisas en elpunto (π/2 , 0)

Modificando la definición (q) podemos obtener otra definición de función creciente enun intervalo. Veamos:

La definición quedará:

(qq)

Para el caso de una función estrictamente decreciente será:

f x es decreciente en el ervalo A a b A esf b f a

b a( ) int ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ ≤−− 0

f b f ab a

o

f a f ba b

o

o

o

( ) ( )

( ) ( )

−−

−+

−−

+−

= = −

= = −

0

0

0

0

De las equivalencias de laderecha deducimos que:

es decir, ambos cocientesson negativos.


f b f ab a

f a f ba b

( ) ( )

( ) ( )

−−

−+

−−

+−

= = −

= = −

(qqq)

Vamos a interpretar gráficamente estas últimas definiciones:

Observando la figura 17 apreciamos:3 Tenemos un intervalo de

extremos α y β (cerrado oabierto) y una función f(x)definida en él.

3 T o m a m o s d o s p u n t o scualesquiera a y b de eseintervalo.

3 Notamos que:

3 Es decir, si tomamos dos puntoscualesquiera x1 y x2 del intervalo,el cociente de la forma

es negativo, sin importar que x1 < x2 o que x1 > x2 (en este caso la figuraf x f x

x x( ) ( )1 2

1 2

−−

17 la función es estrictamente decrecienteen el intervalo [α , β]).

En la figura 18 tenemos la gráficade una función que no esdecreciente en el intervalo [α , β]ya que a,b 0[α , β] y sin embargo:

f a f b

a bpositivopositivo

( ) ( )−− = > 0

Puede apreciarse que en unospuntos del intervalo la función escreciente y en otros decreciente.

Si en vez de considerar un intervalo, consideramos el dominio de la función, podemosdefinir el concepto de función decreciente (o estrictamente decreciente) en su dominio D.

(IVq)

(Vq)

f x es estric decreciente en el ervalo A a b A esf b f a

b a( ) . int ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ <−− 0

f x es decreciente en D a b D esf ff b f a

b a( ) ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ ≤−− 0

f x es estric decreciente en D a b D esf ff b f a

b a( ) . ,( ) ( )

⇔ ∀ ∈ <−− 0


Supongamos que a b

a b

e eb aa b

f b f ab a

b e a eb a

f a f ba b

a e b ea b

a b

b a

a b< ⇒

<

<− >− <

⇒

−−

=−−

=++

>

−−

=−−

=−−

>

3 3 3 3

3 300

0

0

( ) ( )

( ) ( )

Ejemplo 4 .-Queremos averiguar si la función es creciente o decreciente en todo suf x x ex( ) = 3

dominio.Veamos:O Observamos que œx0ú , f (x) = x3 ex 0ú. Por tanto, Df = ú.O Imaginemos dos números cualesquiera a, b 0ú= Df

Es decir, œx1, x2 0Df se verifica que , es decir, la función f (x) esf x f x

x x( ) ( )1 2

1 20

−− >

estrictamente creciente en todo ú.Al ser estrictamente creciente, ya no puede ser decreciente.

5.Condición suficiente de función creciente en un punto.-L Sea y = f (x) una función de dominio DfL Sea a un punto de su dominio, es decir, a0Df y tal que f es derivable en a.

Queremos saber si f (x) es creciente en a, es decir, ¿qué condición debe cumplir lafunción f (x) para que podamos asegurar que es creciente en el punto a?

Pues bien:

Expresado de otra forma:

Matemáticamente:

Nota: La idea de “condición suficiente” viene porque “para asegurar que f es creciente en elpunto a, es suficiente con que f ´(a) sea positiva”. Nótese que se exige que f ´(a) exista.

Antes de demostrar esta importante propiedad, lo veremos gráficamente, es decir, aunquelo siguiente no es una demostración rigurosa, si nos permite relacionar la condición de que laderivada f ´(a) sea positiva con que f (x) es creciente en x = a.

“Para asegurar que f (x) es creciente en el punto x = a es suficiente que f ´(a) > 0 “

“Si la derivada de f en el punto a es positiva, entonces la función f es creciente en a”

f a f x creciente en a′ > ⇒( ) ( )0


f a tg mr′ = = >( ) α 0

figura 19.aSabemos que por el punto P(a,f (a)) pasala gráfica de la función f, pero queremossaber si pasa por ese punto creciendo odecreciendo, es decir, queremos saber si“atraviesa” la línea vertical “subiendo” o“bajando”.

figura 19.bSupongamos que hemos averiguado quela derivada de f en el punto x = a espositiva, es decir, la recta tangente a lagráfica de f (x) en el punto P(a,f (a)) tienependiente positiva, lo que significa que:

siendo mr = pendiente de la recta r.

figura 19.cConsiderando que r es tangente a f (x), enP, una forma aproximada de la gráfica def (x) podría ser como aparece en estafigura, es decir, creciente estrictamente.En este caso se ha dibujado de forma quela gráfica es cóncava hacia arriba(convexa hacia abajo) en el punto x = a.

figura 19.dEn esta figura tenemos otra forma posiblede la gráfica de f (x) a su paso por elpunto P(a,f (a)), es decir, estrictamentecreciente. En este caso la tangente “va”por encima de la curva en un entorno delpunto a, es decir, la gráfica de f (x) escóncava hacia abajo (convexa haciaarriba) en el punto a.

figura 19.ePuede apreciarse en este caso otraposibilidad de la gráfica de f (x), es decir,estrictamente creciente en x = a, pero larecta tangente atraviesa a la gráfica.Nótese que el punto P(a,f (a)) es un puntode inflexión de f (x). Debe quedar clara la idea de que:f ´(x) > 0 Y f (x) creciente en x = a


Observación: Nótese que la condición expuesta es una condición suficiente pero no necesaria,es decir, “si f ´(a) > 0, podemos asegurar que f es creciente en a, pero puedeocurrir que y, sin embargo, f sea creciente en a”.f a′ />( ) 0

Veamos la idea gráfica de esta observación:En la figura 20 tenemos la gráfica deuna función f (x) que “pasa” por elpunto P(a, f (a)) y cuya recta tangenteen ese punto es horizontal, es decir:f a m pendiente de rr′ = = =( ) 0

Nótese que la función esestrictamente creciente en el punto a,es decir, a pesar de que la derivada def en el punto a no es positiva, lafunción es estrictamente creciente endicho punto.Lo anterior se interpreta como quepara ser creciente en un punto, no esnecesario que la derivada sea positiva

Ejemplo 5 .-

Sea la función . f xex

x( ) =

Queremos averiguar si es creciente en los puntos x = 0, x = 1 y x = 2.Veamos:K Hallamos la función derivada de f (x) :

f xe x e

xe x

x

x x x′ =

−=

−( )

( )2 2

1

K Veamos el valor de la derivada para cada caso: Para x = 0 no existe f (0), es decir, 0 óDf

Por tanto, f no es creciente en el punto x = 0, simplemente porque la función noexiste en ese punto.

Para x fe

= ⇒ = = =1 1 00

101( )

.

En este caso la derivada no nos informa sobre el crecimiento de la función f (x)en el punto x = 1

( )

Para x fe e

f x es creciente en x= ⇒ ′ =−

= > ⇒ =2 22 1

2 40 2

2

2

2( ) ( )

Ejemplo 6 .-Sea la función f x x( ) ( )= − 5 3

Queremos averiguar si es creciente en el punto x = 5.Veamos:R Hallemos la función derivada: f x x′ = −( ) ( )3 5 2


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )f

f

f

f f ff es crecienteen x

5 5 5 0 0

5 5 5 0 0

5 5 5 0 0

5 5 55

3 3

3 3

3 3

− − − −

+ + + +

− +

= − = =

= − = =

= − = =

⇒ < < ⇒=

R Hallemos el valor de la derivada en x = 5: f ′ = ⋅ − = ⋅ =( ) ( )5 3 5 5 3 0 02

La derivada no nos informa sobre el crecimiento de f en el punto x = 5.R Intentemos aplicar otro método :

$ Imaginemos un entorno de centro 5 y radio tan pequeño como queramos yestudiemos las imágenes de f (x) en ese entorno .

R El punto anterior nos indica que la función es creciente estrictamente en x = 5.R Representemos gráficamente la función:

x y = (x&5)3

5 0

5& 0&

5+ 0+

4 &1

6 1

3 &8

7 8

&4 &4

%4 %4

La gráfica de f (x) (figura 21) nos muestra como la función es estrictamente creciente enx = 5 y como la recta tangente en P(5,0) es el eje de abcisas. Nótese que dicho punto es deinflexión (en este caso pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba).

Ejemplo 7 .-Sea la función f x x x( ) = − +2 5 42

Queremos saber en que puntos de su dominio es creciente.Veamos:W La función f (x) es una función polinómica de grado 2 ( su gráfica es una parábola) y, por

tanto, su dominio es ú.W En los punto a0ú tales que f ´(a) > 0, la función f (x) es creciente.W Hallemos la función derivada: f ´(x) = 4 x - 5W Veamos donde es f ´(x) > 0


4 5 04 5 0

54

54

x inecuacionx

x

Si x entonces f x− >>

>

⇒ > ′ >&

( )

W De lo anterior deducimos que

si a entonces f a y f creciente en x a> ′ > =54 0( ) .

Conclusión:

( )f x x x es creciente en el( ) ,= − + + ∞2 5 42 54 intervalo

Demostración:Hemos “demostrado” de un modo gráfico la condición suficiente para que una función

sea creciente en un punto x = a. Ahora veremos la demostración formal. Debemos demostrar que f ´(a) > 0 Y f es creciente en a

Veamos:

{f a f a f a

el

es positivo es deciren un entorno E

h

f a h f ah

llamando a h xh x a

h

f a h f ah x a

f x f ax a

f(x) - f(a)x-a

f(x) - f(a)x-a

′ > ⇒ ′ = > ⇒ ′ = = > ⇒

⇒>

⇒

→

+ −

+ == −

→

+ −

→

−−( ) ( ) lim ( ) lim lim

,

, ,(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0

0 0

Para valores de x infinitamente proximos a " a"

cociente ε a es

f x es creciente en x a

f(x)- f(a)x-a)

( ) .

>

⇒

⇒ =

0

6.Condición suficiente de función decreciente en un punto.-L Sea y = f (x) una función de dominio DfL Sea a un punto (un número real) de su dominio, es decir, a0Df y tal que f ´(a) existe.

Queremos saber si f (x) es decreciente en a, es decir, ¿qué condición debe cumplir lafunción f (x) para que podamos asegurar que es decreciente en el punto a?

Pues bien:

Expresado de otra forma:

Matemáticamente:

“Para asegurar que f (x) es decreciente en el punto x = a es suficiente que f ´(a) < 0 “

“Si la derivada de f en el punto a es negativa, entonces la función f es decreciente en a”

f a f x decreciente en a′ < ⇒( ) ( )0


Nota: La idea de “condición suficiente” viene porque “para asegurar que f es decreciente enel punto a, es suficiente con que f ´(a) sea negativa”. Nótese que f ´(a) debe existir.

Demostración:En este caso veremos la demostración forma y posteriormente la demostración gráfica..Debemos demostrar que f ´(a) < 0 Y f es decreciente en a

Veamos:{f a f a f a

el

es negativo es deciren un entorno E a es

h

f a h f ah

llamando a h xh x a

h

f a h f ah x a

f x f ax a

f(x) - f(a)x-a

f(x)- f(a)x-a

f(x)- f(a)x-a

′ < ⇒ ′ = < ⇒ ′ = = < ⇒

⇒<

⇒ <

→

+ −

+ == −

→

+ −

→

−−( ) ( ) lim ( ) lim lim

,

, ,( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

00

0 0

Para valores de x infinitamente proximos a " a"

cociente ε ⇒

⇒ =f x es decreciente en x a( ) .

Ejemplo 8 .-Sea la función . g x x e x( ) = −

Queremos estudiar su crecimiento o decrecimiento en los puntos x = 0, x = &1 y x = 1Veamos:3 Hallamos la función derivada: g x e x e e xx x x′ = − = −− − −( ) ( )13 Hallemos su valor en cada uno de los puntos a estudiar:

g e g es creciente en x

g eNo podemosdecidir aun sobre elcrecimiento decrecimiento en x

g e e g es creciente en x

e

′ = − = ⋅ = > ⇒ =

′ = − = = ⇒− =

′ − = + = > ⇒ = −

−

( ) ( )

( ) ( )&

( ) ( )

0 1 0 1 1 1 0 0

1 1 1 0 1

1 1 1 2 0 1

0

1 0

1

Ejemplo 9 .-Sea la función Queremos saber en que puntos es decreciente.f x x x( ) = − +2 5 42

Veamos:W La función f (x) es una función polinómica de grado 2 y, por tanto, su dominio es ú.W En los punto a0ú tales que f ´(a) < 0, la función f (x) es decreciente.W Hallemos la función derivada: f ´(x) = 4 x - 5

W Veamos donde es f ´(x) < 0 : 4 5 0 4 5 54x x x− < < <; ;

W De lo anterior deducimos que

si a entonces f a y f decreciente en x a< ′ < =54 0( ) .

Conclusión:

( )f x x x es decreciente en el( ) ,= − + − ∞2 5 42 54 intervalo

Ahora veremos la demostración gráfica de la condición suficiente de decrecimiento en un punto.


f a tg mr′ = = <( ) α 0

figura 22.aSabemos que por el punto P(a,f (a)) pasala gráfica de la función f, pero queremossaber si pasa por ese punto creciendo odecreciendo, es decir, queremos saber si“atraviesa” la línea vertical “subiendo” o“bajando”.

figura 22.bSupongamos que hemos averiguado quela derivada de f en el punto x = a esnegativa, es decir, la recta tangente a lagráfica de f (x) en el punto P(a,f (a)) tienependiente negativa, lo que significa que:

siendo mr = pendiente de la recta r.

figura 22.cConsiderando que r es tangente a f (x), enP, una forma aproximada de la gráfica def (x) podría ser como aparece en estafigura, es decir, decreciente estrictamente.En este caso se ha dibujado de forma quela gráfica es cóncava hacia abajo(convexa hacia arriba) en el punto x = a.

figura 22.dEn esta figura tenemos otra forma posiblede la gráfica de f (x) a su paso por elpunto P(a,f (a)), es decir, estrictamentedecreciente. En este caso la tangente “va”por debajo de la curva en un entorno delpunto a, es decir, la gráfica de f (x) escóncava hacia arriba (convexa haciaabajo) en el punto a.

figura 22.ePuede apreciarse en este caso otraposibilidad de la gráfica de f (x), es decir,estrictamente decreciente en x = a, pero larecta tangente atraviesa a la gráfica.Nótese que el punto P(a,f (a)) es un puntode inflexión de f (x). Debe quedar clara la idea de que:f ´(x) < 0 Y f (x) decreciente en x = a


f x

como xx

Si x entonces f xx

x

′ >

− >

>

>>

⇒ > ′ >

( )

, ( )

0

1 0

1

01

1 0

1

1

f x

como xx

Si x entonces f xx

x

′ >

− >

>

>>

⇒ > ′ >

( )

, ( )

0

1 0

1

01

1 0

1

1

f x x por ser x x

Es decir Si x entonces f xx x

xx′ < − < < < > <

< ′ <

( ) ; ; ; ( ) ;

: ( )

0 1 0 1 0 1

1 0

1 1

Observación: Nótese que la condición expuesta es una condición suficiente pero no necesaria,es decir, “si f ´(a) < 0, podemos asegurar que f es decreciente en a, pero puedeocurrir que y, sin embargo, f sea decreciente en a”.f a′ /<( ) 0

Veamos la idea gráfica de esta observación:En la figura 23 tenemos la gráfica deuna función f (x) que “pasa” por elpunto P(a, f (a)) y cuya recta tangenteen ese punto es horizontal, es decir:f a m pendiente de rr′ = = =( ) 0

Nótese que la función esestrictamente decreciente en el puntoa, es decir, a pesar de que la derivadade f en el punto a no es negativa, lafunción es estrictamente decrecienteen dicho punto.Es decir, para ser decreciente en unpunto, no es necesario que la derivadasea negativa.

Ejercicio nº 1 .-Sea la función ( Lx es logaritmo neperiano de x).f x x Lx( ) = −

Se pide:a) Determina su dominio.b) Determina en qué puntos es creciente.c) Determina en qué puntos es decreciente.

Solución:a) Es evidente que f (x) no existe si x # 0.

Por tanto: Dominio de f = Df = ú+ = (0, +4)b) f es creciente en los puntos x tales que f ´(x) > 0

Hallamos f ´(x) : f x x′ = −( ) 1 1

c) f es decreciente en los puntos x tales que f´(x) < 0

De lo anterior deducimos que f es decreciente en el intervalo (0,1)

Por tanto, si x > 1 función f tienederivada positiva en x, es decir, lafunción es creciente.

Expresamos que:

f es creciente en el intervalo (1, +4)


Una forma de expresar los resultados es:

&4 < x # 0 0 < x < 1 1 < x < +4

f no existe f es decreciente f es creciente

Ejercicio nº 2 .-

Sea la función f x xx x( ) = − −3 2

3 2 20Se pide:

a) Determina donde es creciente.b) Determina donde es decreciente.c) Indica si es creciente o decreciente en los puntos x = &6 , x = 0 , x = 7´5 , x = &4,

x = 5Solución:

a) En los punto x tales que f ´(x) > 0, la función es creciente.Hallemos la función derivada de f :

f x f x x xx x simplificando′ = − − → ′ = − −( ) ( )

33

22

22

20 20Debemos averiguar qué puntos x verifican la desigualdad x2 & x & 20 > 0Como se trata de una inecuación de segundo grado con una incógnita, factorizamos elpolinomio x2 & x & 20.Para factorizar el polinomio, debemos resolver la ecuación de 2º grado x2 & x & 20 = 0

x x xxx

2 1

220 0

1 1 802

1 92

54− − = ⇒ =

± +=

±=

== −

Ahora podemos factorizar: f ´(x) = x2 & x & 20 = (x&5) (x + 4)Ahora resolvemos la inecuación (x&5) (x + 4) > 0 :

( ) ( )x x

obienx x

y yx x

x

obienx x

y yx x

x

− + > ⇒

− > ⇒ >

+ > ⇒ > −

⇒ >

− < ⇒ <

+ < ⇒ < −

⇒ < −

5 4 0

5 0 5

4 0 45

5 0 5

4 0 44

Por tanto: f x x o x′ > ⇔ < − >( ) 0 4 5Conclusión:

b) En los punto x tales que f ´(x) < 0, la función es decreciente.Debemos resolver la inecuación x2 & x & 20 < 0Como hemos factorizado en el apartado anterior, resolvemos (x&5) (x + 4) < 0Efectuamos un razonamiento similar al del punto a):

f (x) es creciente en (&4, &4) c (5, + 4)


( ) ( )x x

obienx x

y yx x

obienx x

y yx x

x

− + < ⇒

− > ⇒ >

+ < ⇒ < −

⇒

− < ⇒ <

+ > ⇒ > −

⇒ − < <

5 4 0

5 0 5

4 0 4

5 0 5

4 0 44 5

Imposible

Por tanto: f x x′ < ⇔ − < <( ) 0 4 5Conclusión:

Una forma de resumir los resultados sería:

&4 < x < &4 &4 < x < 5 5 < x < +4

f es creciente f es decreciente f es creciente

c) Determinemos el crecimiento-decrecimiento en los puntos que nos dan: Q f (x) es creciente en x = &6 porque &4 < &6 < &4

Q f (x) es decreciente en x = 0 porque &4 < 0 < 5Q f (x) es creciente en x = 7´5 porque 5 < 7´5 < + 4Q f (x) tiene un máximo en el punto x = &4Q f (x) tiene un mínimo en el punto x = 5

Para comprobar los resultados obtenidos, representamos gráficamente la función:

La figura 24 nos muestra lagráfica de la función dada

f x xx x( ) = − −3 2

3 2 20En ella pueden apreciarse losresultados obtenidos.Además, hemos señalado elpunto M, que se llamamáximo relativo de f (x) y elpunto P que se denominamínimo relativo de f (x).En el punto M la curva pasa decreciente a decreciente y en Pde decreciente a creciente.Nótese que la función no estáacotada ni superior niinferiormente.

f (x) es decreciente en el intervalo abierto (&4 , 5)


Hemos visto las condiciones suficientes para que una función sea creciente o decrecienteen un punto. Vamos a ampliar estas condiciones:S Supongamos que se da el caso en que f ´(a) = 0.

¿Como saber si f es creciente o decreciente en a?S Un estudio más exhaustivo de la situación (que omitimos en este curso), nos lleva a lo

siguiente:

Ejemplo 10 .-Queremos averiguar si la función f (x) = &x5 + 10 x4&40 x3 + 80 x2 & 80 x + 32 es

creciente o decreciente en el punto x = 2.Veamos:9 Hallemos la derivada de f : f ´(x) = &5 x4 + 40 x3 &120 x2 + 160 x &80

f ´(2) = &5 · 24 + 40 ·23 &120 · 22 + 160 · 2 &80 = &80 + 320 &480 + 320 & 80 = 0No podemos tomar una decisión.

9 Hallemos la segunda derivada de f : f ´´(x) = &20 x3 + 120 x2&240 x + 160f ´´(2) = &20 · 23 + 120 · 22&240 · 2 + 160 = &160 + 480&480 + 160 = 0Seguimos si poder toma una decisión.

9 Hallemos la tercera derivada de f : f ´´´(x) = &60 x2 + 240 x &240 f ´´´(2) = &60 · 22 + 240 · 2 &240 = &240 + 480&240 = 0Tampoco ahora podemos toma una decisión.

9 Hallemos la cuarta derivada de f : f 4)(x) = &120 x + 240 f 4)(2) = &120 · 2 + 240 = &240 +240 = 0Aún no podemos tomar una decisión.

9 Hallemos la quinta derivada de f : f 5)(x) = &120 f 5)(2) = &120 … 0Ya es posible tomar una decisión.

Tomemos la decisión:

f f f f fk impar

f

f es estrictamentedecreciente en x

′ = ′ ′ = ′ ′ ′ = = ≠= =

= − <

⇒=

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

( )

) )

)

2 0 2 0 2 0 2 0 2 05

2 120 02

4 5

5

Ejemplo 11 .-La función f (x) = x4 en el punto x = 0 no es creciente ni decreciente ya que:f f f f

k par f

f ni creciente nidecreciente en

′ = ′ ′ = ′ ′ ′ = = ≠

= = = >

⇒

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

; ( )

)

)

0 0 0 0 0 0 0 24 0

4 0 24 0 2

4

4

Supongamos que f a f a f a f ak k′ = ′ ′ = = ≠−( ) ; ( ) ; ; ( ) ; ( )) )0 0 0 01LLL

Se verifica que:

Si k impar entoncesf a f x es estrictamente creciente en a

f a f x es estrictamente decreciente en aSi k par entonces f x no es creciente ni decreciente en a

k

k=> ⇒

< ⇒

=

,( ) ( )

( ) ( ), ( ) .

)

)

0

0


− − − > −

− − <

− − < ⇒

− > ⇒ >

− < ⇒ <

⇒ < <

− < ⇒ <

− > ⇒ >

⇒

3 1 6 0 1

3 1 6 0

1 6 0

1 0 1

6 0 61 6

1 0 1

6 0 6

13

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x x multiplicamos en ambos miembros por

x x multiplicamos en ambos miembros por

x x

o bienx x

y yx x

x

o bienx x

y yx x

Imposible

− − − <− − >

− − >

3 1 6 03 1 6 0

1 6 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

x xx x

x x

Ejercicio nº 3 .-Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función siguiente:

g x x x x( ) = − + − +3 212

2 18 5Solución:3 Hallemos la derivada de g (x) : g´(x) = &3 x2 + 21 x & 183 Veamos los valores de x para los que g´(x) > 0

Debemos ver los valores de x que verifican la desigualdad &3 x2 + 21 x & 18 > 0Para resolver la inecuación anterior debemos factorizar el polinomio &3 x2 + 21 x & 18Para factorizar el polinomio debemos resolver la ecuación &3 x2 + 21 x & 18 = 0− + − = −

− + =

− + =

=± −

=±

=±

===

3 21 18 0 1

3 21 18 0 3

7 6 0

7 49 242

7 252

7 52

61

2

2

2

1

2

x x multiplicamos por

x x por

x x

despejamos xxx

raices del polinomio

dividimos

:

De lo anterior deducimos que: x2 + 7 x + 6 = (x&1) (x&6)Si multiplicamos por 3 : 3x2 + 21 x + 18 = 3 (x&1) (x&6)Multiplicando por &1 : &3x2 & 21 x &18 = &3 (x&1) (x&6) ¡Ya hemos factorizado!Ahora resolvemos la inecuación &3 (x&1) (x&6) > 0

Por tanto, g´(x) > 0 si 1 < x < 6, es decir:

NOTA: No olvidar que si multiplicamos en ambos miembros de una desigualdad por unnúmero negativo, la desigualdad cambia de sentido.

3 Veamos los valores de x para los que g´(x) < 0Debemos ver los valores de x que verifican la desigualdad &3 (x&1) (x&6) < 0Siguiendo el mismo razonamiento que en el punto anterior:

g (x) es creciente en el intervalo abierto ( )1 6,


( ) ( )x x

o bienx x

y yx x

x

o bienx x

y yx x

− − > ⇒

− > ⇒ >

− > ⇒ >

⇒ >

− < ⇒ <

− < ⇒ <

⇒ <

1 6 0

1 0 1

6 0 66

1 0 1

6 0 61x

Por tanto, g´(x) < 0 si x < 1 o x > 6 , es decir:

Expresamos los resultados de otro modo:

&4 < x < 1 1 < x < 6 6 < x < +4

f es decreciente f es creciente f es decreciente

7.Extremos (máximos y mínimos) de una función .-(NOTA: Es recomendable ver el tema “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”)

En este punto definiremos los conceptos de máximo y mínimo relativo (o local) de unafunción en un punto x = a y su determinación mediante las derivadas primera y segunda de dichafunción.

7.1. Máximo relativo de una función en un punto.-

Y Sea y = f (x) una función real de variable real.Y Sea a 0ú, es decir, a un punto del eje de abcisas.

Matemáticamente:

NOTAS: Î En ocasiones se omite el término “relativo” o “local” y se dice únicamente máximo. Ï Recuerda que E a a aε ε ε( ) ( , )= − +Gráficamente se interpreta como que f (a) es la mayor imagen dentro del entorno Eε(a),

Se dice que la función f (x) tiene un máximo relativo (o local) en a, si existe unentorno de centro a y radio ε tal que la imagen de cualquier número x de ese entorno esmenor o igual que la imagen de a.

g (x) es decreciente en el conjunto (&4,1) c (6,+ 4)

f x tiene un en a E a x E a es f x f a( ) & ( ) ( ) ( ) ( )maximo ⇔ ∃ ∀ ∈ ≤ε ε


o lo que es lo mismo, el punto M(a, f (a)) es el punto “más alto” de la gráfica de f(x) en susproximidades, aunque puede haber puntos “más altos” en otros lugares de la gráfica.

En la figura 25 tenemos partede la gráfica de una función enun entorno Eε (a) = (a&ε , a+ε)Puede apreciarse que la imagende a ( f (a) ) es la mayor detodas las imágenes de lospuntos de ese entorno, es decir:∀ ∈ ≤x E a es f x f aε ( ) ( ) ( )Nótese que en este caso noexiste otro punto x del entornoque sea f (x) = f (a).

Puede ocurrir, con arreglo a la definición dada, que junto al punto máximo a, existan otrosinfinitos máximos situado en cualquier entorno de a. Veámoslo gráficamente:

En la figura 26 puede apreciarsecomo el punto a es un máximolocal de la función f (x) ya que ∀ ∈ ≤x E a es f x f aε ( ) ( ) ( )Nótese que los puntos de lamitad derecha del entorno, esdecir los x tales que a < x < a+εtambién verifican la definiciónde máximo local, por lo que sepueden considerar como tales.

NOTA: No debe extrañar que algunos textos cambian ligeramente la definición demáximo local (o relativo) en x = a para evitar el caso (o casos parecidos) de lafigura 26. Expresamos esta definición, que como decimos, también es válida:

Si una función tiene un máximo en un punto x = a, se denomina valor de ese máximo ala imagen de a, es decir, f (a), siendo el punto M(a,f(a)) el punto más alto de la gráfica en lasproximidades de a.

Insistimos en que la existencia de un máximo (relativo o local) en a no impide que existanotros puntos b del dominio de f tales que f (b) > f (a).

A una función le puede ocurrir que ningún punto de su dominio sea máximo relativo, queexista uno o más e, incluso, que tenga infinitos máximos.

f x tiene un en a E a x E a es f x f ax a

( ) & ( ) ( ) ( ) ( )maximo ⇔ ∃ ∀ ∈ <≠

ε ε1 24 34


7.2. Máximo absoluto de una función en un punto.-


Matemáticamente:

Ejemplo 12 .-La función f (x) = &x2 + 5 tiene como gráfica a un parábola de vértice el punto V(0,5).Es fácil apreciar (el alumno debe hacerlo a simple vista) que en x = 0 existe un máximo

relativo de valor f (0) = 5. Por la forma de la parábola, debe también apreciarse que en x = 0 elmáximo es absoluto.

Ejemplo 13 .-De la función f (x) = sen x sabemos que es continua en todo ú y que está acotada entre

&1 y 1, es decir, œx 0ú se verifica que &1 #sen x # 1. Además, sabemos que en los puntos : π/2 , &3π/2 , 5π/2 , &7π/2 , 9π/2 , &11π/2 , 13π/2 , &15π/2 , 17π/2 , .......

el seno vale 1, es decir, toma el valor máximo de la función.Por tanto, la función f (x) = sen x tiene infinitos máximos relativos que también son

absolutos. El valor de esos máximos (todos iguales) es 1.Abreviadamente puede expresarse:

x es de f x sen xk

k Z

= =+

∈

4 12 π

1 24 34maximo& ( )

Por ejemplo : para k es x un de f x sen x

para k es x un de f x sen x

= = =

= − = =

−

5

3

212

112

π

π

maximo

maximo

& ( )

& ( )

7.3. Mínimo relativo de una función en un punto.-


Se dice que la función f (x) tiene un máximo absoluto en a, si para cualquier númerode su dominio, la imagen de ese número es menor o igual que la imagen de a

Se dice que la función f (x) tiene un mínimo relativo (o local) en a, si existe unentorno de centro a y radio ε tal que la imagen de cualquier número x de ese entorno esmayor o igual que la imagen de a.

f x tiene un absoluto en a x D es f x f af( ) max. ( ) ( )⇔ ∀ ∈ ≤


Matemáticamente:

NOTAS: Î En ocasiones se omite el término “relativo” o “local” y se dice únicamente mínimo Ï Gráficamente se interpreta como que f (a) es la menor imagen dentro del entorno

Eε(a), o lo que es lo mismo, el punto Q(a, f (a)) es el punto “más bajo” de la gráfica de f(x) en susproximidades, aunque puede haber puntos “más bajos” en otros lugares de la gráfica.

En la figura 27 tenemos parte dela gráfica de una función en un entornoEε (a) = (a&ε , a+ε)

Puede apreciarse que la imagende a ( f (a) ) es la menor de todas lasimágenes de los puntos de ese entorno,es decir:

∀ ∈ ≥x E a es f x f aε ( ) ( ) ( )Nótese que en este caso no existe otropunto x del entorno que sea f (x) = f (a).

Puede ocurrir, con arreglo a ladefinición dada, que junto al puntomínimo a, existan otros infinitos mínimos situado en cualquier entorno de a. Veámoslográficamente:

En la figura 28 tenemos dibujada unafunción f (x) que es constante en todo elentorno Eε (a) = (a&ε , a+ε).Nótese que a es un punto mínimo, ya que∀ ∈ ≥x E a es f x f aε ( ) ( ) ( )También ,∀ ∈ ≤x E a es f x f aε ( ) ( ) ( )por lo que a es un punto máximo.En realidad cualquier punto de eseentorno es un máximo y mínimo relativode la función.

NOTA: No debe extrañar que algunos textos cambian ligeramente la definición demínimo local (o relativo) en x = a para evitar el caso (o casos parecidos) de lafigura 28. Expresamos esta definición, que como decimos, también es válida:

Puede apreciarse que con esta definición al punto a de la figura 28 no se le puede

f x tiene un en a E a x E a es f x f a( ) & ( ) ( ) ( ) ( )minimo ⇔ ∃ ∀ ∈ ≥ε ε

f x tiene un en a E a x E a es f x f ax a

( ) & ( ) ( ) ( ) ( )minimo ⇔ ∃ ∀ ∈ >≠

ε ε1 24 34


considerar como mínimo relativo de la función, ya que no cumple con ella, sin embargo, el puntoa de la figura 27 si cumple con esta última definición.

Si una función tiene un mínimo en un punto x = a, se denomina valor de ese mínimo a laimagen de a, es decir, f (a), siendo el punto P(a,f(a)) el punto más bajo de la gráfica en lasproximidades de a.

Insistimos en que la existencia de un mínimo (relativo o local) en a no impide que existanotros puntos b del dominio de f tales que f (b) < f (a).

A una función le puede ocurrir que ningún punto de su dominio sea mínimo relativo, queexista uno o más e, incluso, que tenga infinitos mínimos.

7.4. Mínimo absoluto de una función en un punto.-


Matemáticamente:

Ejemplo 14 .-La función f (x) = x2 & 4 tiene como gráfica a un parábola de vértice el punto V(0,&4).Es fácil apreciar (el alumno debe hacerlo a simple vista) que en x = 0 existe un mínimo

relativo de valor f (0) = &4. Por la forma de la parábola, debe también apreciarse que en x = 0el mínimo es absoluto.

Ejemplo 15 .-La función f (x) = cos x tiene infinitos puntos mínimos relativos que también son

absolutos. Recordemos que es una función continua en ú y tal que œx0ú es &1 # cos x # 1.Dibujemos su gráfica:En la figura 29 está representada lafunción y = cos x. Hemos señalado lospuntos P(&3π,&1) ; Q(&π,&1) ; S(π,&1) y T(3π,&1) de la gráfica.Sabemos que la función coseno toma elvalor &1 en lo puntos:x = (2k +1)π con k 0Z , es decir, en los puntos:þþ &5 π , &3π , &π , π , 3π , 5π , þþPor tanto, la función f (x) = cos x tieneinfinitos mínimos locales y absolutos.

Se dice que la función f (x) tiene un mínimo absoluto en a, si para cualquier númerode su dominio, la imagen de ese número es mayor o igual que la imagen de a

f x tiene un absoluto en a x D es f x f af( ) min. ( ) ( )⇔ ∀ ∈ ≥


8.Condición necesaria para la existencia de un extremo.-] Sea y = f (x) una función.] Sea a un número de su dominio ( a es un punto del eje de abcisas) tal que f ´(a) existe.

Es decir:[ Para que en x = a haya un extremo, es necesario que f ´(a) = 0"[ Si en x = a hay un extremo y f es derivable en a, entonces debe ser f ´(a) = 0

Matemáticamente:

Demostración:f derivable en af tiene un extremo en a

f no es creciente en af no es decrecienteen a

f a no puede ser positivaf a no puede ser negativa

f a⇒

⇒

′′

⇒ ′ =

( )( )

( ) 0

Veámoslo gráficamente:

“La condición necesaria para que la función f tenga un extremo (máximo o mínimo) en a esque f ´(a) = 0 (la derivada de f en a es igual a cero)”

f tiene un extremo en af derivable en a f a

⇒ ′ =( ) 0

m f ar = ′ =( ) 0

En la figura 30.a tenemos la gráficade una función f (x) que en x = a tieneun mínimo relativo.Puede apreciarse que la recta rtangente a la gráfica de f (x) en elpunto P(a , f (a)) es horizontal, esdecir, paralela al eje de abcisas, loque significa que su pendiente escero, es decir:

Por tanto, gráficamente se aprecia quesi una función f tiene un mínimo enun punto a, la derivada de f en esepunto (en caso de que exista) es 0.

En la figura 30.b se aprecia lomismo, pero en el caso en que lafunción tiene un máximo relativo enel punto x = a, es decir:

“ la pendiente de la curva f (x) en elpunto P(a , f( a)) es cero.”


Ejemplo 16 .-Sea la función f (x) = 2x3 & 4x2 + x & 5. Queremos saber si en el punto x = 3/2 hay un

extremo.Veamos:

T Para que en el punto haya un extremo, es necesario que x = 32 ( )f ′ =3

2 0T Hallemos la derivada de f : f ´(x) = 6x2 & 8x + 1

T Hallamos : ( )f ′ 32 ( ) ( )f ′ = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − + = − = ≠3

232

2 32

94

272

526 8 1 6 12 1 11 0

T Como , podemos asegurar que f en x = 3/2 no tiene extremo.( )f ′ ≠32 0

Observación: La condición de que f ́ (a) = 0 para que f (x) tenga un extremo (máximo o mínimo)en a, es una condición necesaria pero no suficiente, es decir, puede ocurrir quef ´(a) = 0 y sin embargo no exista extremo en a. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 17 .-Consideremos la función f (x) = x3 Su función derivada es f ´(x) = 3x2 La derivada en x = 0 es f ´(0) = 0.Sin embargo, en 0 la función esestrictamente creciente.A la derecha hemos demostrado elcrecimiento de f en 0.

Observación: Puede ocurrir que una función f (x) no sea derivable en un punto a (es decir, f ́ (a)no existe) y sin embargo tenga un extremo en dicho punto.

Veamos esto gráficamente:La figura 31 nos muestra lagráfica de una hipotéticafunción f (x) que en el punto atiene un máximo y sin embargola derivada f ´(a) no existe, esdecir, la función no es derivableen a.Debe apreciarse a simple vistacomo existen las derivadaslaterales f ´(a&) y f ´(a+), peroson distintas, es decir, no existef ´(a).

NOTA: Algunos textos expresan por f&´(a) y f +´(a) a las derivadas por la izquierda y porla derecha de f en a.

Demostremos que f es creciente en x = 0

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

f

f

f

f f f

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3

3

3

− − −

+ + +

− +

= =

= =

= =

⇒ < <( )

La función es estrictamente creciente enel punto x = 0.


Sabemos que f af a la funcion f x es decrecienteen a

E a a asi a x a entonces f x f asi a x a entonces f x f a

En ese entornoLa derivada f x es positiva a la izquierda de aLa derivada f x es negativa a la derecha de

la derivada de f x en a es negativa

′ =′ ′ < ⇒ ′ ⇒

⇒ ∃ = − +− < < ′ > ′ =< < + ′ < ′ =

⇒

⇒′′

′

( )( ) ( )

( ) ( , )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

00

00

1 24 34

ε ε εε

ε

a

f es creciente a la izquierda de af es decreciente a la derecha de a En x a hay un MAXIMO

⇒

⇒

⇒ = &

Ejemplo 18 .-La función f (x) = *x &4* expresada en forma de intervalos es:

f xx si xx si x

( ) =− + <

− ≥

4 44 4

Las derivadas laterales en x = 4 son:

( )( )

f

f

h

f h fh h

hh h

hh

h

f h fh h

hh h

hh

′ = = = = −

′ = = = =

−→

+ −

→

− − + −

→

−

+→

+ −

→

+ − −

→

− − −

+ − −

4 1

4 1

0

4 4

0

4 4 0

0

0

4 4

0

4 4 0

0

lim lim lim

lim lim lim

( ) ( )

( ) ( )

Por tanto, f ´(4) no existe ya que f ´(4&)…f ´(4+)Sin embargo, la función f (x) tiene un mínimo relativo (en este caso también absoluto) en

x = 4 ya que:

( )

( )

f

f

f

E x E es f x f En x hay

4 4 4 0 0

4 4 4 0 0

4 4 4 0 0

4 4 4 0 4

− − − +

+ + + +

= − = =

= − = =

= − = =

⇒ ∃ ∀ ∈ ≥ = ⇒ =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) &ε ε minimo

9.Condiciones suficientes para la existencia de un extremo.-K Sea y = f (x) una función.K Sea x = a un punto del dominio de f y tal que f ´(a) existe.O Queremos saber si en a, la función f tiene un máximo o un mínimo.

Veamos:

Hemos visto anteriormente que f a En a no hay extremof a En a puede haber extremo

′ ≠ ⇒′ = ⇒

( )( )

00

Se verifica lo siguiente: () ()

Demostración de () :

f af a f tiene un en x a

′ =′ ′ >

⇒ =

( )( )

&00 minimo

f af a f tiene un en x a

′ =′ ′ <

⇒ =

( )( )

&00 maximo


Sabemos que f af a la funcion f x es crecienteen a

E a a asi a x a entonces f x f asi a x a entonces f x f a

En ese entornoLa derivada f x es negativa a la izquierda de aLa derivada f x es positiva a la derecha de a

la derivada de f x en a es positiva

′ =′ ′ > ⇒ ′ ⇒

⇒ ∃ = − +− < < ′ < ′ =< < + ′ > ′ =

⇒

⇒′′

′

( )( ) ( )

( ) ( , )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

00

00

1 24 34

ε ε εε

ε

⇒

⇒

⇒ =

f es decreciente a la izquierda de af es creciente a la derecha de a En x a hay un MIXIMO&

Veamos gráficamente esta demostración:En la figura 32 tenemos la gráfica deuna función f (x) con un máximo en a.Además:t : recta tangente en el punto (a ,f (a))Observa que su pendiente es 0, esdecir, mt = f ´(a) = 0r: recta tangente en un punto xsituado a la izquierda de a. Observaque su pendiente es positiva, es decir,mr = f ´(x) > 0s: recta tangente en un punto xsituado a la derecha de a. Observaque su pendiente es negativa, es decir,

ms = f ´(x) < 0 Por tanto, la función f ´(x) es decreciente en las proximidades del punto a, al verificarse

que f ´(a&) > f ´(a) > f ´(a+), lo que significa que f ´´(a) < 0 o f ´´ (a) = 0, pero no f ´´(a) > 0

Demostración de () :

Veámoslo gráficamente:

En este caso (figura 33), f (x) tienemáximo en a. Además:t : recta tangente en el punto (a ,f (a))Observa que su pendiente es 0, esdecir, mt = f ´(a) = 0r: recta tangente en un punto xsituado a la derecha de a. Observaque su pendiente es positiva, es decir,mr = f ´(x) > 0s: recta tangente en un punto xsituado a la izquierda de a. Observa que su pendiente es negativa, es decir, ms = f ´(x) < 0

Por tanto, la función f ´(x) escreciente en las proximidades del


punto a, al verificarse que f ´(a&) < f ´(a) < f ´(a+), lo que significa que f ´´(a) > 0 o f ´´ (a) = 0,pero no f ´´(a) > 0.

Ejemplo 19 .-

Estudiemos la posibilidad de extremos de en los puntos &1, 0 y 2.f x xx( ) = −

2

1Veamos:3 Hallamos la derivada de f :

( )( ) ( ) ( )f x

x x xx

x x xx

x xx

′ = = =− −−

− −−

−−

( )2 1

12 2

12

1

2

2

2 2

2

2

2

3 Para que en un punto a exista extremo, es necesario que f ´(a) = 0Veamos esto para los puntos que nos piden:

x f En x NO HAY EXTREMO

x f En x POSIBLE EXTREMO

x f En x POSIBLE EXTREMO

= − ⇒ ′ − = = ≠ ⇒ = −

= ⇒ ′ = = = ⇒ =

= ⇒ ′ = = = ⇒ =

− − ⋅ −− −

− ⋅−

− ⋅−

1 1 0 1

0 0 0 0

2 2 0 2

1 2 11 1

34

0 2 00 1

01

2 2 22 1

01

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

3 Ahora completemos el estudio en los puntos x = 0 y x = 2Necesitamos hallar la segunda derivada de f :

( ) ( ) ( )( )f x

x x x x x

x′ ′ =

− − − − −

−( )

( )2 2 1 2 1 2

1

2 2

4

Calculamos su valor en los puntos x = 0 y x = 2 :

x f

x f

= ⇒ ′ ′ = = − <

= ⇒ ′ ′ = = >

− ⋅ − ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅ ⋅

0 0 2 0

2 0 2 0

2 1 2 1 01

2 1 2 1 01

( )

( )

( )

3 Podemos tomar decisiones:

En xff

f x tiene un en x

En xff

f x tiene un en x

=′ =′ ′ <

⇒ =

=′ =′ ′ >

⇒ =

00 00 0

0

22 02 0

2

( )( )

( ) &

( )( )

( ) &

maximo

minimo

3 Podemos hallar los valores que se alcanzan en los extremos:

x f M punto de la grafica relativo

x f P punto de la grafica relativo

= ⇒ = = ⇒

= ⇒ = = ⇒

−

−

0 0 0 0 0

2 2 4 2 4

00 12

2 1

2

2

( ) ( , ) & , &

( ) ( , ) & , &

maximo

minimo

Forma de hallar los extremos de una función: Hemos visto las condiciones que se debencumplir para que una función f (x) tenga un máximo o un mínimo en un punto. Ahora diremosla forma de actuación para determinar sus extremos.Î Buscamos los extremos de la función f (x).


Ï Hallamos la función derivada de f, es decir, f ´(x).Ð Igualamos dicha función a 0 y tenemos una ecuación, es decir, f ´(x) = 0Ñ Resolvemos la ecuación.Ò Si la ecuación no tiene solución, podemos asegurar que f (x) no tiene extremos.

Si a es una solución de la ecuación, “a” es un posible extremo.Ó En el caso de que haya un posible extremo, halamos la segunda derivada, f ´´(x)Ô Hallemos el valor de f ´´(x) para x = a.

Si f ´´(x) > 0, entonces la función f tiene un mínimo en aSi f ´´(x) < 0, entonces la función f tiene un máximo en a

Ejercicio nº 4 .-Hallar los extremos de la función f x x x x( ) = + − +1

33 1

22 12 2

Solución:O Hallamos la derivada de f : f x x x′ = + −( ) 2 12

O Igualamos a cero y resolvemos la ecuación: x x2 12 0+ − =

xx

x=

− ± +=

− ±=

− ±=

= = =

= = = −

− +

− − −1 1 48

21 49

21 72

3

4

11 72

62

21 72

82

O Del punto anterior deducimos que:xx

posibles extremos de f por serff

1

2

34

3 04 0

== −

′ =′ − =

( )( )

O Hallamos la segunda derivada de f : f x x′ ′ = +( ) 2 1O Substituimos los posibles extremos en f ´´(x) :

x f En x hay unx f En x hay un

= → ′ ′ = ⋅ + = > ⇒ == − → ′ ′ − = ⋅ − + = − < ⇒ =

3 3 2 3 1 7 0 34 4 2 4 1 7 0 3

( ) &

( ) ( ) &

minimomaximo

O Ahora hallamos el valor del mínimo y el valor del máximo:x f

x f

P

M

= → = ⋅ + ⋅ − ⋅ + = + − + = − = − ′

= − → − = ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − + = + + + = = ′

⇒

− ′

− ′−

3 3 3 3 12 3 2 9 36 2 20 5

4 4 4 4 12 4 2 8 48 2 36 6

3 20 5

4 36 6

13

3 12

2 92

412

13

3 12

2 643

1103

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( , )

( , )) )

La figura 34 nos muestra un esquema gráfico de losresultados obtenidos, es decir, en este ejerciciohemos descubierto que la función dada tiene dosextremos relativos. Uno corresponde al mínimo x=3, siendo P(3, -20´5)el punto de su gráfica en el que la pendiente es cero.El otro extremo es un máximo relativo quecorresponde a x = &4 y cuyo punto en la gráfica esM(&4, 36´666...).Intuitivamente puede apreciarse que la gráfica esdecreciente en el intervalo (&4,3), aunque no hemosdibujado este tramo de función por no haber

realizado el estudio del crecimiento&decrecimiento.3


Hemos visto las condiciones suficientes para que una función f (x) tenga un máximo oun mínimo en un punto a de su dominio. Ahora vamos a ampliar estas condiciones.ö Supongamos que se da el caso en que f ´(a) = 0 y que también f ´´(a) = 0.

¿Como saber si en x = a la función tiene un máximo, un mínimo o no tiene extremo?ö ¡Pues bien!, un estudio que supera el nivel pretendido en este curso, nos demuestra lo

siguiente:

Ejemplo 20 .-Queremos hallar los extremos de la función f (x) = x6.

Veamos:& Hallamos la derivada: f ´(x) = 6x5

& Igualamos a cero y resolvemos la ecuación:6 0 05x x posible extremo de f x= ⇒ = ← ( )

& Hallamos la segunda derivada : f ´´(x) = 30x4

& Substituimos x = 0 en f ´´ para ver el signo (no nos interesa el valor):f ´´(0) = 30·04 = 0 Y No podemos tomar una decisión.

& Hallamos las derivadas sucesivas y damos el valor x = 0 hasta que una de ellas sea …0

f x xf

f x x

f

f x x

f

f x

f

′ ′ ′ =′ ′ ′ =

=

=

=

=

=

= ≠

( )( )

;( )

( );

( )

( );

( )

( )

)

)

)

)120

0 0

360

0 0

720

0 0

720

0 720 0

3 4 2

4

5

5

6)

6)

& Resumiendo:

⇒

Ejercicio nº 5 .-Estudiar los extremos de la función f x x x x( ) = − + −3 18 36 243 2

Solución:¾ Hallamos la derivada de f (x) : f x x x′ = − +( ) 9 36 362

Supongamos que f a f a f a f ak k′ = ′ ′ = = ≠−( ) ; ( ) ; ; ( ) ; ( )) )0 0 0 01LLL

Se verifica que:

Si k par entoncesf a f x tiene un MINIMO en a

f a f x tiene un MAXIMO en aSi k impar entonces en x a no hay extremo

k

k=> ⇒

< ⇒

= =

,( ) ( ) &

( ) ( ) &

, .

)

)

0

0

fff

f

f

f

′ =′ ′ =′ ′ ′ =

=

=

≠

( )( )( )

( )

( )

( )

)

)

0 00 00 0

0 0

0 0

0 0

4

5

6)

f 6) 0 720 0( ) = >

k = 6 = número par

En x = 0 hay un mínimo relativo

Valor del mínimo = f (0) = 06 = 0


⇒

¾ Igualamos a cero y resolvemos la ecuación: 9 36 36 02x x− + =

9 36 36 0

4 4 04 16 16

242

2

2

2

x x

x x x raiz doble

− + =

− + = ⇒ =± −

= = ( & )

¾ En x = 2 tenemos un posible extremo¾ Hallamos la segunda derivada de f (x) y su valor para x = 2 : f ´´(x) = 18 x & 36

f ´´(2) = 18 · 2 & 36 = 0¾ Necesitamos seguir derivando: f ´´´(x) = 18 ; f ´´´(2) = 18 … 0¾ En definitiva:

10.Concavidad y convexidad de una función en un punto.-(NOTA: Es recomendable ver el tema “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”)

Veremos ahora un concepto relativo a la gráfica de una función. Se trata del concepto deconcavidad o convexidad de la gráfica de una función ( o más abreviadamente, concavidado convexidad de una función). Se refiere a la posición y forma que tiene la gráfica en un puntode ella (y sus proximidades) con respecto al eje de ordenadas y a la recta tangente a dicha gráficaen ese punto.

Veamos:” Sea y = f (x) una función de dominio Df.” Sea a0Df , f (a) su imagen y P(a, f (a)) el punto correspondiente de su gráfica.” Supongamos que la gráfica de f (x) tiene recta tangente en el punto P. Llamaremos r a

dicha recta, cuya ecuación será y = r (x). Recuérdese que esta recta se corresponde conuna función polinómica de grado 1, es decir, y = r (x) = ax + b.

Definimos el siguiente concepto:

10.1.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en un punto.-

Veamos la interpretación gráfica:En la figura 35 tenemos representada una hipotética función que es cóncava hacia arriba

(convexa hacia abajo) en el punto x = a.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa haciaabajo) en el punto P de su gráfica, de abcisa x = a, si todos los puntos de sugráfica situados infinitamente próximos a P están por encima de la recta r quees tangente a la gráfica de f (x) en ese punto P.

fff

′ =′ ′ =′ ′ ′ ≠

( )( )( )

2 02 02 0

k = 3 = número imparEn x = 2 no hay extremo


figura 35 Observa la gráfica y = f (x) de la izquierda y elpunto P(a, f (a)) situado en ella.Observa la recta r tangente a y = f (x) en elpunto P.Observa como los puntos de la gráfica de lafunción y = f (x) que están infinitamentepróximos a P, se encuentran situados porencima de la recta r. Hemos representado dos.Se dice que (alguna de estas expresiones):4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia arriba en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

convexa hacia abajo en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia las Y positivas en elpunto P.

4 La función y = f (x) (o su gráfica) esconvexa hacia las Y negativas en elpunto P.

Obsérvese que si tomamos un x que esté infinitamente próximo a a, por su derecha o por suizquierda, las imágenes mediante f (x) son mayores que sus imágenes mediante r (x), es decir:

Si x = a&, entonces f ( a&) $ r (a&) y Si x = a+, entonces f ( a+) $ r (a+)Esta última idea nos induce a mejorar la definición anterior, dándole un significado másmatemático. Veamos:

En forma matemática:

La concavidad hacia arriba de una función f (x) en un punto puede apreciarse, en general, asimple vista si se visualiza la gráfica de la función. También es posible apreciarla, si no sedispone de la gráfica, aplicando la definición, pero más fácil se puede conseguir utilizando laderivada segunda de f (x), algo que veremos a continuación.

10.2.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en un intervalo.-

f (x) es cóncava hacia arriba en x = a ] › Eε(a) * œx0Eε(a) se verifica que f (x) $r (x)

( siendo r (x) la recta tangente a f (x) en P(a , f (a)) )

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo) en el punto desu gráfica P, de abcisa x = a, si existe un entorno de centro a y radio ε tal que para cualquierx situado en ese entorno, su imagen mediante f (x) es mayor o igual que su imagen mediantela recta r (x) tangente a la gráfica en el punto P.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa haciaabajo) en un intervalo A si lo es en cada uno de los puntos de ese intervalo.


NOTA: Este concepto es aplicable a un conjunto A, sin necesidad de que sea un intervalo.La idea gráfica de este concepto es la siguiente:

: En la gráfica de la figura 36 puedeapreciarse como la función f(x)verifica en todos los valores x0(a,b)que en los puntos P(x, f (x)) escóncava hacia arriba (o convexa haciaabajo).

: Nótese como no se cumple ladefinición para algunos puntos que seencuentran fuera de ese intervalo.

figura 36

La definición anterior es mejorable del siguiente modo:Ê Considera la gráfica anterior correspondiente a una función cóncava hacia arriba en A.Ê Imagina dos números cualesquiera x1 y x2 del intervalo A, es decir, x1,x20A.Ê Imagina los puntos correspondientes de la gráfica S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)).Ê Imagina la cuerda (el segmento) que une los puntos S y T.Ê ¿“Ves” que la gráfica de y = f (x) “queda” por debajo del segmento de extremos S y T?Pues esa es la idea que nos va a permitir definir el concepto de función cóncava hacia arriba(o convexa hacia abajo) en un intervalo.Es decir:

Expresemos esta definición en forma matemática:

Gráficamente:

Nótese que si tomamos dos puntoscualesquiera del intervalo A, x1< x2 y unimoslos puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)), elsegmento (trozo de la recta r (x) ) que resultaestá por encima de la gráfica de f (x). Es decir:

Si x0[x1 , x2], entonces f (x) < r (x)

figura 37

Se dice que la función f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo)en el intervalo A, si dados dos números cualesquiera x1 y x2 de A, elsegmento (trozo de recta) que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)) dela gráfica de f (x) está por encima de dicha gráfica.

f x es concava hacia arriba oconvexa hacia abajo en el ervalo A x x A x x es f x r x x x x

( ) &

int , , ( ) ( ) [ , ]

⇔ ∀ ∈ < ≤ ∀ ∈1 2 1 2 1 2

Siendo r (x) la recta que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2))


10.3. Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en su dominio.-Una función es cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en su dominio si lo es en cada

uno de los puntos de este. Esto significa que lo será en cualquier intervalo que esté contenido endicho dominio.

10.4. Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en un punto.-

Gráficamente:figura 38 Observa la gráfica y = f (x) de la izquierda y el

punto P(a, f (a)) situado en ella.Observa la recta r tangente a y = f (x) en el punto P.

Observa como los puntos de la gráfica de lafunción y = f (x) que están infinitamentepróximos a P, se encuentran situados pordebajo de la recta r. Hemos representado dos.Se dice que (alguna de estas expresiones):4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia abajo en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

convexa hacia arriba en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia las Y negativas en elpunto P.

4 La función y = f (x) (o su gráfica) esconvexa hacia las Y positivas en elpunto P.

Obsérvese que si tomamos un x que estéinfinitamente próximo a a, por su derecha o por su izquierda, las imágenes mediante f (x) sonmenores que sus imágenes mediante r (x), es decir:

Si x = a&, entonces f ( a&) # r (a&) y Si x = a+, entonces f ( a+) # r (a+)Esta última idea nos induce a mejorar la definición anterior, dándole un significado másmatemático. Veamos:

f (x) cóncava hacia arriba en Df ] œAdDf , f (x) es cóncava hacia arriba en A Siendo: Df = dominio de f (x) y A = intervalo.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa haciaarriba) en el punto P de su gráfica, de abcisa x = a, si todos los puntos deaquella situados infinitamente próximos a P están por debajo de la recta r quees tangente a la gráfica de f (x) en ese punto P.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia arriba) en el puntode su gráfica P, de abcisa x = a, si existe un entorno de centro a y radio ε tal que paracualquier x situado en ese entorno, su imagen mediante f (x) es menor o igual que su imagenmediante la recta r (x) tangente a la gráfica en el punto P.


En forma matemática:

La concavidad hacia abajo de una función en un punto puede apreciarse, en general, a simplevista si se visualiza la gráfica de la función. También es posible apreciarla, si no se dispone dela gráfica, aplicando la definición, pero más fácil se puede conseguir utilizando la derivadasegunda de f (x), algo que veremos a continuación.

10.5.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en un intervalo.-

NOTA: Este concepto es aplicable a un conjunto A, sin necesidad de que sea un intervalo.La idea gráfica de este concepto es la siguiente:

: En el dibujo puede observarse comof (x) verifica en todos los valoresx0(a,b) que en los puntos P(x, f (x))que es cóncava hacia abajo (oconvexa hacia arriba).

: Nótese como no se cumple ladefinición para algunos puntos que seencuentran fuera de ese intervalo.

figura 39

La definición anterior es mejorable del siguiente modo:Ê Considera la gráfica anterior correspondiente a una función cóncava hacia abajo en A.Ê Imagina dos números cualesquiera x1 y x2 del intervalo A, es decir, x1,x20A.Ê Imagina los puntos correspondientes de la gráfica S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)).Ê Imagina la cuerda (el segmento) que une los puntos S y T.Ê ¿“Ves” que la gráfica de y = f (x) “está” por encima de ese segmento de extremos S y T?Pues esa es la idea que nos va a permitir definir el concepto de función cóncava hacia abajo (oconvexa hacia arriba) en un intervalo.Es decir:

Expresemos esta definición en forma matemática:

f (x) es cóncava hacia abajo en x = a ] › Eε(a) * œx0Eε(a) se verifica que f (x) # r (x)

( siendo r (x) la recta tangente a f (x) en P(a , f (a)) )

Se dice que la función f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia arriba)en el intervalo A, si dados dos números cualesquiera x1 y x2 de A, elsegmento que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)) de la gráfica de f (x)está por debajo de dicha gráfica.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa haciaarriba) en un intervalo A si lo es en cada uno de los puntos de ese intervalo.


Gráficamente: figura 40

Nótese que si tomamos dos puntoscualesquiera del intervalo A, x1 < x2 y unimos los puntos S( x1, f ( x1)) yT(x2,f (x2)), el segmento (trozo de larecta r (x) ) que resulta está por debajode la gráfica de f (x)Es decir:Si x0[x1 , x2], entonces f (x) > r (x)

10.6.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en su dominio.-Una función es cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en su dominio si lo es en cada

uno de los puntos de su dominio. Esto significa que lo será en cualquier intervalo que estécontenido en dicho dominio.

11.Determinación de la concavidad-convexidad.-En este apartado veremos la forma de determinar si en un punto a la función f (x) es

cóncava hacia las Y positivas o negativas.U Sea a un punto de úU Sea y = f (x) una función derivable en un entorno de aQueremos saber si f (x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo en x = a. ¡Pues bien! Se verifica lo siguiente:

No haremos la demostración rigurosa, pero sí veremos la demostración gráfica:

f (x) cóncava hacia arriba en Df ] œAdDf , f (x) es cóncava hacia abajo en A Siendo: Df = dominio de f (x) y A = intervalo.

f x es concava hacia abajo oconvexa hacia arriba en el ervalo A x x A x x es f x r x x x x

( ) &

int , , ( ) ( ) [ , ]

⇔ ∀ ∈ < ≥ ∀ ∈1 2 1 2 1 2

Siendo r (x) la recta que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2))

Hallamos la segunda derivada de f f xHallamos el valor de f x en a f a

Si f a entonces f x es concava hacia arriba en aSi f a entonces f x es concava hacia abajo en aSi f a entonces no podemas decidir aun

: ( )( ) : ( )

( ) ( ) &

( ) ( ) &

( ) &

′ ′′ ′ ′ ′

′ ′ >′ ′ >′ ′ =

000


m f a tgr = ′ = >( ) α 0

m f a tgs = ′ = >−( ) β 0

m m o sea f a f as r< ′ < ′−, , ( ) ( )

f a f a f a′ < ′ < ′− +( ) ( ) ( )

figura 41.aLa figura 41.a nos muestra lagráfica de una hipotética función f(x) que es cóncava hacia las Ypositivas (convexa hacia las Ynegativas) en x = a. Como detalleadicional, añadimos que la funciónes creciente estrictamente en dichopunto a.

figura 41.bEn este caso la figura nos muestrauna ampliación de la anterior en laque se ha dibujado la recta tangenteen el punto P(a , f (a)).Observése que la pendiente dedicha recta es tg α, es decir:

Nótese que como la función escreciente (podría ser decreciente ycóncava hacia arriba), la derivada f´(a) es positiva

figura 41.cEn este caso hemos añadido la rectatangente (s) en un punto “muypróximo” a P(a, f (a)) por suizquierda, es decir Q(a&, f (a&)).La pendiente en dicho punto es:

Nótese, a simple vista, que:

figura 41.dAñadimos ahora la tangente (t) enun punto “muy próximo” a laderecha de P, M(a, f (a+)). Puedeapreciarse, a simple vista, ladesigualdad , estg tg tgβ α γ< <decir:

lo que significa que la función f´(x), es decir, la derivada de f, esuna función creciente en a y, portanto, su derivada f ´´(x) en x = adebe ser positiva (o cero) esto es:


En figura 41 hemos visto como se asocia el que f ´´(a) > 0 con la idea de que la gráficade la función f es cóncava hacia las Y positivas en x = a.

En dicha figura vemos que además de ser f (x) cóncava hacia arriba en a, es estrictamentecreciente en dicho punto, pero recordemos que es f ´(a&) < f ´(a) < f ´(a+), es decir, la funciónderivada de f es creciente en ese punto y, por ello, es f ´´(a) > 0.

Puede ocurrir que la función sea cóncava hacia arriba y decreciente en x = a. Es decir:

En la figura 42 tenemos lagráfica de una función f (x) que esestrictamente decreciente ycóncava hacia las Y positivas enel punto x = a. Nótese que severifica que f ´´(a) > 0 ya que: r, s, t rectas tangentes en

los puntos de la gráficaP(a, f (a)) , Q(a&, f (a&)) yM(a+, f (a+))

Sus pendientes son:mr = tg α = f ´(a) < 0ms = tg β = f ´(a&) < 0

m t = tg γ = f ´(a+) < 0 A simple vista se aprecia que f ´(a&) < f ´(a) < f ´(a+), es decir, la función f ´(x) es

creciente en a, por lo que f ´´(a) > 0.

Resumiendo:

Conclusión:

Veamos ahora elotro caso:

( )

f a la derivada de f x es positiva en a la funcion f x es creciente en a

E a a a tal quesi a x a entonces f x f asi a x a entonces f a f x

pendientede f a laizquierda de x a

pendientede f en x apendientede f a laderecha de x a

′ ′ > ⇒ ′ ⇒ ′ ⇒

⇒ ∃ = − +− < < ′ < ′< < + ′ < ′

⇒

⇒=

< = <

=

⇒

( ) ( ) & ( )

( ) ( , )( ) ( )( ) ( )

0

ε ε εε

ε

⇒ La grafica tiene que ser de la forma de figura o figura41 42

( )

f a la derivada de f x es negativa en a la funcion f x es decreciente en a

E a a a tal quesi a x a entonces f x f asi a x a entonces f a f x

pendientede f a laizquierda de x a pendientede f en x a

pendientede f a laderecha de x a

′ ′ < ⇒ ′ ⇒ ′ ⇒

⇒ ∃ = − +− < < ′ > ′< < + ′ > ′

⇒

⇒=

> = >

=

( ) ( ) & ( )

( ) ( , )( ) ( )( ) ( )

0

ε ε εε

ε

⇒

⇒ La grafica tiene que ser de la forma de figura o figura43 44

f a f x concava hacia arriba en a′ ′ > ⇒( ) ( ) &0


m f a tgr = ′ = >( ) α 0

m f a tgs = ′ = >−( ) β 0

m m o sea f a f as r> ′ > ′−, , ( ) ( )

f a f a f a′ > ′ > ′− +( ) ( ) ( )

figura 43.aLa figura 43.a nos muestra la gráficade una hipotética función f (x) que escóncava hacia las Y negativas(convexa hacia las Y positivas) en x =a. Como detalle adicional, añadimosque la función es crecienteestrictamente en dicho punto a.

figura 43.bEn este caso la figura nos muestra unaampliación de la anterior en la que seha dibujado la recta tangente en elpunto P(a , f (a)).Observése que la pendiente de dicharecta es tg α, es decir:

Nótese que como la función escreciente (podría ser decreciente ycóncava hacia arriba), la derivada f ́ (a)es positiva

figura 43.cEn este caso hemos añadido la rectatangente (s) en un punto “muypróximo” a P(a, f (a)) por su izquierda,es decir Q(a&, f (a&)).La pendiente en dicho punto es:

Nótese, a simple vista, que:

figura 43.dAñadimos ahora la tangente (t) en unpunto “muy próximo” a la derecha deP, M(a, f (a+)). Puede apreciarse, asimple vista, la desigualdad

, es decir:tg tg tgβ α γ> >

lo que significa que la función f ´(x),es decir, la derivada de f, es unafunción decreciente en a y, por tanto,su derivada f ´´(x) en x = a debe sernegativa (o cero) esto es:“Si la derivada segunda de f en a esf ´´(a) > 0, hay concavidad hacia abajoen a”.


En la figura 43 hemos visto como se asocia el que f ́ ´(a) < 0 con la idea de que la gráficade la función f es cóncava hacia las Y negativas en x = a.

En dicha figura vemos que además de ser f (x) cóncava hacia abajo en a, es estrictamentecreciente en dicho punto, pero recordemos que es f ´(a&) > f ´(a) > f ´(a+), es decir, la funciónderivada de f es decreciente en ese punto y, por ello, es f ´´(a) < 0.

Puede ocurrir que la función sea cóncava hacia abajo y decreciente en x = a. Es decir:

En la figura 44 tenemos la gráfica de una función f (x) que es estrictamente decreciente ycóncava hacia las Y negativas en el punto x = a. Nótese que se verifica que f ´´(a) < 0 ya que: r, s, t rectas tangentes en los puntos de la gráfica P(a, f (a)) , Q(a&, f (a&)) y M(a+, f (a+)) Sus pendientes son:

mr = tg α = f ´(a) < 0ms = tg β = f ´(a&) < 0m t = tg γ = f ´(a+) < 0

A simple vista se aprecia que f ´(a&) > f ´(a) > f ´(a+), es decir, la función f ´(x) esdecreciente en a, por lo que f ´´(a) < 0.

Conclusión:

Ejemplo 21 .-Queremos conocer la concavidad - convexidad de la función f (x) = xex en x = &1.

Veamos:L Hallamos la derivada de f : f ´(x) = ex + xex

L Hallamos la derivada de f ´: f ´´(x) = ex + ex + xex = 2 ex + xex = ex (2 + x) L Hallamos el signo de f ´´ en x = &1 : f e e e′ ′ − = − = = >− −( ) ( )1 2 1 01 1 1

Conclusión: La función f (x) = xex es cóncava hacia arriba en x = &1Si queremos saber el punto de la gráfica: f e e( ) .....− = − ⋅ = = − ′− −1 1 0 367879441 1

Si queremos saber si es creciente o decreciente: f e e e e′ − = − ⋅ = − =− − − −( )1 1 01 1 1 1

Conclusión: En el punto x = &1, además de ser cóncava hacia arriba, hay un mínimo relativo. El punto mínimo es P(&1, &0´36787944....)

f a f x concava hacia abajo en a′ ′ < ⇒( ) ( ) &0


Hemos visto que : Si f a entonces f x es concava hacia arriba en x aSi f a entonces f x es concava hacia abajo en x a

′ ′ > =′ ′ > =

( ) , ( )( ) , ( )

00

Pero, ¿qué ocurre si f ´´ (a) = 0?¡Pues bien!

Si f a puede ocurrirQue f sea concava hacia arriba en x aQue f sea concava hacia abajo en x aQue no sea ni concava hacia arriba ni hacia abajoen x a

′ ′ ==

==

( ) ,0

Si ocurre que f ´´ (a) = 0 estamos en un “caso dudoso” que requiere un análisis más profundo:.

Ejemplo 22 .-Sea la función f (x) = 2 (x&2)4

Queremos estudiar su concavidad & convexidad en el punto x = 2.Veamos:

4 Hallamos las derivadas primera y segunda de f :f x x

f x x

′ = −

′ ′ = −

( ) ( )

( ) ( )

8 2

24 2

3

2

4 Hallamos el valor de f ´´ en 2 : f ′ ′ = ⋅ − = ⋅ =( ) ( )2 24 2 2 24 0 0Por tanto, la segunda derivada no nos ayuda a tomar una decisión.

Sin embargo, si representamos lagráfica de la función obtenemos larepresentada en la figura 45.En ella se aprecia que la función escóncava hacia arriba en todos lospuntos de ú y, en especial, en elpunto x = 2, en el cual existe unmínimo relativo.La existencia del mínimo en elpunto x = 2 puede apreciarse sinnecesidad de utilizar las derivadas.En efecto:

( )

( )

f

f

f

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 0 0

4 4

4 4

4 4

− − − +

+ + + +

= ⋅ − = ⋅ =

= ⋅ − = ⋅ =

= ⋅ − = ⋅ =

es decir, existe un entorno Eε (2) = (2&ε , 2 + ε) tal que si x es f x fsi x es f x f

2 2 2 02 2 2 0

− < < < =< < + > =

εε

( ) ( )( ) ( )

Ejemplo 23 .-La función f (x) = &2 (x&2)4 tiene un máximo relativo en el punto x = 2 y es cóncava

hacia las Y negativas en ese punto, aunque se verifica que f ´´(2) = 0.En efecto:


Hallemos las derivadas primera y segunda: f x x

f x x

′ = − −

′ ′ = − −

( ) ( )

( ) ( )

8 2

24 2

3

2

El valor de f ´´ (x) para x = 2 es f ´´(2) = &24·0 = 0, es decir, caso dudoso.

Si embargo:

( )

( )

f

f

f

f tiene un en x

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

&

2 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 0 0

2

4 4

4 4

4 4

− − − +

+ + + +

= ⋅ − = ⋅ =

= ⋅ − = ⋅ =

= ⋅ − = ⋅ =

⇒ =maximo

Por tener un máximo en x = 2 y dado que la función es derivable en ese punto, podemosasegurar que es cóncava hacia abajo.

Ejemplo 24 .- Consideremos la función f x x x x( ) = − + +3 23 3 1Queremos estudiar su concavidad - convexidad en el punto x = 1.

Veamos:X Hallamos la primera derivada de f : f x x x′ = − +( ) 3 6 32

X Hallamos la derivada de f ´: f x x′ ′ = −( ) 6 6X Hallamos el valor de f ´´ en x = 1 : f ′ ′ = ⋅ − =( )1 6 1 6 0Por tanto: No podemos decidir sobre la concavidad- convexidad de f en x = 1Intentemos tomar una decisión por otro procedimiento:U Imaginemos un número infinitamente próximo a 1 por su izquierda, es decir, x = 1&

Vemos el signo (+ o &) de f ´´ para ese valor: f ′ ′ = ⋅ − = − = <− − − −( )1 6 1 6 6 6 0 0Conclusión: A la izquierda infinitamente próxima a 1 la derivada segunda de f (x) es negativa,

por lo que podemos decir que f es cónvaca hacia abajo a izquierda infinitamentepróxima a x = 1.

U Imaginemos un número infinitamente próximo a 1 por su derecha, es decir, x = 1+

Vemos el signo (+ o &) de f ´´ para ese valor: f ′ ′ = ⋅ − = − = >− + + +( )1 6 1 6 6 6 0 0Conclusión: A la derecha infinitamente próxima a 1 la derivada segunda de f (x) es positiva,

por lo que podemos decir que f es cónvaca hacia arriba a la derecha infinitamentepróxima a x = 1.

Por tanto:“Existe un entorno de centro 1,

Eε(1), talque en la mitad izquierda la funciónes cóncava hacia abajo y en la mitadderecha es cóncava hacia arriba”Lo anterior significa que el punto x = 1 seproduce un cambio de concavidad haciaabajo a concavidad hacia arriba, es decir, enx = 1 hay un punto de inflexión, lo quesignifica que en ese punto la función no es nicóncava ni convexa.El punto de inflexión en la gráfica será: P (1, f (1) ) = (1, 2)La figura 46 nos muestra la gráfica de lafunción.


∀ ∈ ′ ′ = − <x R se verifica que f x( ) 2 0

Ejercicio nº 6 .-Determinar los conjuntos para los que la función es cóncava haciaf x x x( ) = − +2 3

arriba y cóncava hacia abajo.

Solución:T Derivemos hasta obtener la segunda derivada:

f x xf x

′ = − +′ ′ = −( )( )

2 32

T Estudiemos el signo de la segunda derivada:

Conclusión: La función es cóncava hacia abajo en todo su dominio (ú)f x x x( ) = − +2 3NOTA: A simple vista debe apreciarse que la gráfica de esta función es una parábola cuyovértice es el punto máximo, es decir, se trata de una función cóncava hacia abajo en todo ú

Ejercicio nº 7 .-Estudiar la concavidad de la función f x x x x( ) = + − +5 30 9 53 2

Solución:

[ Busquemos la derivada segunda de f : f x x xf x x

′ = + −′ ′ = +

( )( )

15 60 930 60

2

[ En los puntos x donde f ´´(x) > 0, la función f (x) es cóncava hacia las Y positivas.f x

x x x x

′ ′ >

+ > > − > > −−

( )

; ; ;

0

30 60 0 30 60 26030

Por tanto: f x x′ ′ > ⇔ > −( ) 0 2

Conclusión: f (x) es cóncava hacia las Y positivas en el intervalo (&2 , + 4)

[ En los puntos x donde f ´´(x) < 0, la función f (x) es cóncava hacia las Y negativas.f x

x x x x

′ ′ <

+ < < − < < −−

( )

; ; ;

0

30 60 0 30 60 26030

Por tanto: f x x′ ′ < ⇔ < −( ) 0 2

Conclusión: f (x) es cóncava hacia las Y negativas en el intervalo (&4 , &2 )

En la figura 47 tenemos la gráfica de lafunción realizadaf x x x x( ) = + − +5 30 9 53 2

con un programa informático.Apréciese como en el punto x = &2 se produceun cambio de concavidad hacia abajo aconcavidad hacia arriba, es decir, el puntoP(&2,103) es de inflexión.3


Hemos visto las condiciones suficientes para determinar la concavidad - convexidad deuna función f (x). Recordemos:

Si f a entonces f x es concava hacia las Y positivas en x aSi f a entonces f x es concava hacia las Y negativas en x a

′ ′ > =′ ′ < =

( ) , ( ) &

( ) , ( ) &

00

También hemos visto que estas no son condiciones necesarias, es decir, puede ocurrir quef ´´(a) = 0 y, sin embargo, f sea cóncava o convexa hacia arriba o abajo.

¡Pues bien! Vamos a aumentar las condiciones suficientes para determinar la concavidad -convexidad de una función en un punto x = a.

ö Supongamos que se da el caso en que f ´´(a) = 0.¿Como saber si en x = a la función f es cóncava hacia las Y positivas o negativas?

ö ¡Pues bien!, un estudio que supera el nivel pretendido en este curso, nos demuestra losiguiente:

Ejercicio nº 8 .-Estudiar la concavidad - convexidad de en x = &5f x x x x x( ) = + + + −4 3 220 150 500 200

Solución:

4 Debemos obtener la segunda derivada de f : f x x x x

f x x x

′ = + + +

′ ′ = + +

( )

( )

4 60 300 500

12 120 300

3 2

2

4 Hallamos el valor f ´´(&5) : f ′ ′ − = ⋅ − + ⋅ − + = − + =( ) ( ) ( )5 12 5 120 5 300 300 600 300 02

Por tanto, estamos en un caso dudoso para tomar una decisión.4 Seguimos derivando y obteniendo los valores de esas derivadas en x = &5

f x x f

f x f

x

x

′ ′ ′ = + → ′ ′ ′ − = ⋅ − + = − + =

= → − = ≠

= −

= −

( ) ( ) ( )

( ) ( )) )

24 120 5 24 5 120 120 120 0

24 5 24 0

5

4 5 4

4 Organizamos lo obtenido:f f f′ ′ − = ′ ′ ′ − = − = >( ) ; ( ) ; ( ))5 0 5 0 5 24 04

En este caso k PAR

ff x es concava hacia las Y positivas en x

= =

− >

⇒ = −

4

5 054)( )

( )

4 Nótese además que :f f f f′ − = ′ ′ − = ′ ′ ′ − = − = >( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ))5 0 5 0 5 0 5 24 04

En este caso k PAR

ff x tiene un en x

= =

− >

⇒ = −

4

5 054)( )

( ) &minimo

4 El punto de la gráfica donde se alcanza el mínimo es P(&5, f (&5)) ; P (&5 , -825)

Si k par entoncesf a f x CONCAVA hacia las Y positivas en x a

f a f x CONCAVA hacia las Y negativas en x aSi k impar entonces en x a se produce un cambio de concavidad convexidad

k

k=> ⇒ =

< ⇒ =

= = −

,( ) ( ) &

( ) ( ) &

, ( & ).

)

)

0

0inflexion

Supongamos que f a f a f ak k′ ′ = = ≠−( ) ; ; ( ) ; ( )) )0 0 01LLLL

Se verifica que:


Ejercicio nº 9 .-Estudiar la concavidad - convexidad de la función f x x ex( ) ( )= − 1 3

Solución:L Hallamos la segunda derivada de f :

f x x e x e

f x x e x e x e x e

x x

x x x x

′ = − + −

′ ′ = − + − + − + −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 1 1

6 1 3 1 3 1 1

2 3

2 2 3

Sacando factor común: ( ) ( )f x x e x x x x e x xx x′ ′ = − + − + − + − = − + +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 6 3 1 3 1 1 1 4 12 2

Por tanto: ( )f x e x x xx′ ′ = − + +( ) ( )1 4 12

L Debemos hallar los puntos x en los que f ´´(x) > 0 y los x en los que f ´´(x) < 0Para facilitar esto conviene factorizar el polinomio x x2 4 1+ +

x x xx

x2

21

24 1 0

4 4 42

4 122

4 2 32

2 3

2 3+ + = ⇒ =

− ± −=

− ±=

− ±=

= − +

= − −

Por tanto: ( ) ( )x x x x x x x x21 24 1 2 3 2 3+ + = − − = + − + +( ) ( )

La segunda derivada de f quedará: ( ) ( )f x e x x xx′ ′ = − + − + +( ) ( )1 2 3 2 3Obsérvese que la función f ´´(x) es continua en todo ú, es decir, su gráfica no presentasaltos de discontinuidad.

L Veamos en qué puntos es f ´´ positiva y en qué puntos es negativa :

[

{ ( ) ( )

{ ( ) ( )

f x x x x

f x x x x

por ser e

por ser e

x

x

′ ′ > ⇒ − + − + − >

′ ′ < ⇒ − + − + − <

>

>

( ) ( )

( ) ( )

0 1 2 3 2 3 0

0 1 2 3 2 3 0

0

0

[ Consideremos la función continua en ú( ) ( )g x x x x( ) ( )= − + − + +1 2 3 2 3[ Buscamos dónde es g (x) > 0 donde g (x) < 0

Nótese que g(x) = 0 para Siendo x2 < x1 < x3

x

xx

1

2

3

2 3

2 31

= − +

= − −=

Por la continuidad de la función g(x) (que es una función polinómica de grado 3 con tresraíces distintas), podemos asegurar que:

( )( )( )( )

− ∞ − −

− − − +

− +

+ ∞

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

2 3

2 3 2 3

2 3 1

1

g x tiene signo

g x tiene signo

g x tiene signo

g x tiene signo

constante

constante

constante

constanteEstudiemos estos signos. Para ello tomamos un valor de cada intervalo y obtenemos laimagen mediante g, cuyo signo coincidirá con el de f ´´ . Tomaremos:

( ) ( )( ) ( )

− ∈ − ∞ − − − ∈ − − − +

∈ − + ∈ + ∞

4 2 3 2 2 3 2 3

0 2 3 1 2 1

, ; ,

, ; ,


− ∞ < < − −x 2 3 − − < < − +2 3 2 3x − + < <2 3 1x 1< < + ∞x

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

g

g

g

g

f x en

f x en

f x en

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ,

( ) ,

( )

− = − ⋅ − − ⋅ − + = − ⋅ − ⋅ − <

− = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ + >

= − ⋅ − ⋅ + = − ⋅ + ⋅ + <

= ⋅ − ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + >

⇒

′ ′ < − ∞ − −

′ ′ > − − − +

′ ′ < − +

4 5 2 3 2 3 0

2 3 3 3 0

0 1 2 3 2 3 0

2 1 4 3 4 3 0

0 2 3

0 2 3 2 3

0 2( )( )

3 1

0 1

,

( ) ,f x en′ ′ > + ∞

Conclusión final:

f (x) es cóncavahacia las Y negativas

f (x) es cóncavahacia las Y positivas

f (x) es cóncavahacia las Y negativas

f (x) es cóncavahacia las Y positivas

En la figura 48 está dibujada la gráfica de lafunción en un sistema def x x ex( ) ( )= − 1 3

ejes en el que, por conveniencia, hemostomado escalas distintas para cada eje.Puede apreciarse que los puntos donde cambiala concavidad- convexidad son:x1 = &0´26794919.....x2 = &3´73205080.....x3 = 1

Ejercicio nº 10 .-Estudiar la concavidad - convexidad de la función f x ex( ) =

Solución: Para determinar la concavidad - convexidad, debemos hallar la segunda derivada de f :

f x e

f x eComo e x entonces f x x

x

xx′ =

′ ′ =

> ∀ ∈ ′ ′ > ∀ ∈

( )

( ), ( )0 0R R

Conclusión: es cóncava hacia las Y positivas en todo su dominio úf x ex( ) =

Ejercicio nº 11 .-Estudiar la concavidad - convexidad de la función g x Lx( ) =

Solución: Es importante recordar que el dominio de g es Dg = ú+ = (0, +4)Para determinar la concavidad - convexidad, debemos hallar la segunda derivada de g :

g x

g xComo x entonces g x xx

xx

′ =

′ ′ = −

− < ∀ ∈ = + ∞ ′ ′ < ∀ ∈ + ∞

( )

( )( , ) , ( ) ( , )

1

11

2

2 0 0 0 0R+

Conclusión: es cóncava hacia las Y negativas en todo su dominio.3g x Lx( ) =


12.Puntos de inflexión.-(NOTA: Es recomendable ver el tema “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”)

L Sea y = f (x) una función.L Sea P(a , f (a)) un punto de su gráfica.

Gráficamente: figura 49En el dibujo de la izquierda (figura 49) hemos

representado a una función f (x) que tiene dos puntos deinflexión, P y Q.

Obsérvese que en los puntos de la gráfica queestán infinitamente próximos a P por su izquierda, laconcavidad es hacia arriba y en los puntos pegados a Ppor su derecha es hacia abajo.

En el punto Q ocurre lo contrario, en lasproximidades a Q por su izquierda la concavidad es haciaabajo y en las proximidades a Q por su derecha laconcavidad es hacia arriba.

Una función puede tener desde ninguno hastainfinitos puntos de inflexión. En los puntos de inflexión

de una gráfica, la recta tangente en dicho punto atraviesa a dicha gráfica.

Según lo visto anteriormente, podemos definir el concepto “punto de inflexión” de otromodo:

13.Condiciones suficientes para determinar la inflexión.- En este apartado vamos a enunciar las condiciones que deben cumplirse para asegurar queen un punto a 0ú, esto es, las condiciones suficientes de existencia de inflexión.O Sea y = f (x) una funciónO Sea a un punto del dominio de f, es decir, a 0Df.Queremos saber si en el punto a la función f tiene inflexión. Pues bien:L Si f´´(a) = 0 y f ´´´(a) … 0, entonces en x = a hay un punto de inflexión.

Se dice que P es un punto de inflexión de la gráfica de f (x) (o simplemente de la funciónf (x)) si en los puntos de dicha gráfica situados infinitamente próximos a P por suizquierda, la concavidad es hacia un sentido y en los puntos situados infinitamentepróximos a P por su derecha, la concavidad es en sentido contrario. Dicho de otra forma,en el punto P se produce un cambio en la concavidad.

f x tienex a E a a a si

a x a f es concava en x hacia una direcciona x a f es concava hacia la direccion contraria

( )&

( ) ( , ), & &

, & &inflexion en =

⇔ ∃ = − +− < << < +

ε ε εε

ε


Por tanto:

No demostramos esta importante condición, por ser de un nivel superior a este curso,aunque sí haremos una demostración gráfica.

Supongamos quef af a veremos que f tiene punto de en a

′ ′ =′ ′ ′ ≠

( )( )

&00 infexion

Si f a f a es creciente en x a

E a a a si a x a x a entonces f x f a f x

f x f xf x es negativa en la mitad izquierda del entornof x es positiva en la mitad derecha del entorno

f x es decreciente en la mitad izquierda

′ ′ ′ > ⇒ ′ ′ = ⇒

∃ = − + − < < < < + ′ ′ < ′ ′ < ′ ′ ⇒

′ ′ < < ′ ′ ⇒′ ′′ ′

⇒

′

( ) ( )

( ) ( , ) , ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )

0

0

1 2 1 2

1 2

ε ε ε ε ε

de E af x es creciente en la mitad derecha de E a

la funcion f x debe ser concava hacia las Y negativas en la mitada izquierda de E ala funcion f x debe ser concava hacia las Y positivas en la mitada derecha de E a

En el punto x a se produce un cambio de concavidad de f x f x tiene en x a

ε

ε

ε

ε

( )( ) ( )

( ) & ( )( ) & ( )

( ) ( ) &

′

⇒

⇒

= ⇒ =inflexion

Gráficamente se vería del siguiente modo:Observa la figura 50• Tenemos la gráfica de unafunción f (x) definida en unentorno de centro a y radio ε.• Observa que en el punto dela gráfica P(a,f (a)) se produceuna inflexión al pasar decóncava hacia la Y negativas acóncava hacia las Y positivas.Además, la recta tangente en P(r) atraviesa la gráfica por esepunto.• Fíjate en la mitad izquierdadel entorno e imagina que elpunto S(x1 , f (x1)) se desplaza alo largo de la gráfica de f.Debes notar como laspendientes de las rectas s vandecreciendo, es decir, lasderivadas f ´(x1) se hacenmenores a medida que el punto

S se acerca al punto P, esto es, a medida que los x1 se aproximan a a.• Del punto anterior deducimos que la función f ´(x) es decreciente en la mitad izquierda del entorno y,por tanto, su derivada f ´´ (x) es negativa en esa mitad izquierda.

f ay

f af tiene en x a

′ ′ =

′ ′ ′ ≠

⇒ =( )

( )&

0

0inflexion


• Fíjate ahora en la mitad derecha del entorno e imagina que el punto T(x2 , f (x2)) se desplaza a lo largode la gráfica de f. Debes notar como las pendientes de las rectas t van creciendo, es decir, las derivadasf ´(x1) se hacen mayores a medida que el punto T se aleja del punto P, esto es, a medida que los x2 sealejan de a.• Del punto anterior deducimos que la función f ´(x) es creciente en la mitad derecha del entorno y, portanto, su derivada f ´´ (x) es positiva en esa mitad derecha.• Si resumimos los puntos anteriores tenemos que:

En la mitad izquierda f ´´(x) es negativa En x = a es f ´´(a) = 0 En la mitad derecha f ´´(x) es positiva

Conclusión: El caso en que f ´´ (a) = 0 y f ´´´(a) > 0 se adapta al caso de la figura 50, esdecir, la gráfica cambia en a de cóncava hacia las Y negativas a cóncava hacia lasY positivas.

Expresamos:

Continuamos con la demostración:

Si f a f a es decreciente en x a

E a a a si a x a x a entonces f x f a f x

f x f xf x es positiva en la mitad izquierda del entornof x es negativa en la mitad derecha del entorno

f x es creciente en la mitad izquierda

′ ′ ′ < ⇒ ′ ′ = ⇒

∃ = − + − < < < < + ′ ′ > ′ ′ > ′ ′ ⇒

′ ′ > > ′ ′ ⇒′ ′′ ′

⇒

′

( ) ( )

( ) ( , ) , ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )

0

0

1 2 1 2

1 2

ε ε ε ε ε

de E af x es decreciente en la mitad derecha de E a

la funcion f x debe ser concava hacia las Y positivas en la mitada izquierda de E ala funcion f x debe ser concava hacia las Y negativas en la mitada derecha de E a

En el punto x a se produce un cambio de concavidad de f x f x tiene en x a

ε

ε

ε

ε

( )( ) ( )

( ) & ( )( ) & ( )

( ) ( ) &

′

⇒

⇒

= ⇒ =inflexionExpresamos:

En este caso tampoco haremos la demostración rigurosa, pero si una demostración gráfica.

De los tres puntos deducimos que lafunción f ´´´(x) es creciente en a y, portanto, f ´´´(a) > 0

f af a

f tiene punto deen x a del tipo

′ ′ =′ ′ ′ >

⇒

=

( )( ) &

00 inflexion

f af a

f tiene punto deen x a del tipo

′ ′ =′ ′ ′ <

⇒

=

( )( ) &

00 inflexion


Observa la figura 53– Tenemos la gráfica de unafunción f (x) definida en unentorno de centro a y radio ε.– Observa que en el punto dela gráfica P(a,f (a)) se produceuna inflexión al pasar decóncava hacia la Y positivas acóncava hacia las Y negativas.Además, la recta tangente en P(r) atraviesa la gráfica por esepunto.– Fíjate en la mitad izquierdadel entorno e imagina que elpunto S(x1 , f (x1)) se desplaza alo largo de la gráfica de f.Debes notar como laspendientes de las rectas s vancreciendo, es decir, lasderivadas f ´(x1) se hacen

mayores a medida que el punto S se acerca al punto P, esto es, a medida que los x1 se aproximan a a.– Del punto anterior deducimos que la función f ́ (x) es creciente en la mitad izquierda del entorno y, portanto, su derivada f ´´ (x) es positiva en esa mitad izquierda.– Fíjate ahora en la mitad derecha del entorno e imagina que el punto T(x2 , f (x2)) se desplaza a lo largode la gráfica de f. Debes notar como las pendientes de las rectas t van decreciendo, es decir, las derivadasf ´(x1) se hacen menores a medida que el punto T se aleja del punto P, esto es, a medida que los x2 sealejan de a.– Del punto anterior deducimos que la función f ´(x) es decreciente en la mitad derecha del entorno y,por tanto, su derivada f ´´ (x) es negativa en esa mitad derecha.– Si resumimos los puntos anteriores tenemos que:

En la mitad izquierda f ´´(x) es positiva En x = a es f ´´(a) = 0 En la mitad derecha f ´´(x) es negativa

Conclusión: El caso en que f ´´ (a) = 0 y f ´´´(a) < 0 se adapta al caso de la figura 53, esdecir, la gráfica cambia en a de cóncava hacia las Y positivas a cóncava hacia lasY negativas.

Ejemplo 25 .-Queremos averiguar si la gráfica de la función tiene un cambio def x x x( ) ( )= − +8 2 3

concavidad-convexidad en el punto de abcisa x = 4.Veamos:

R Necesitamos la segunda derivada de f : f x x xf x x x

′ = − ⋅ + = − +′ ′ = − ⋅ = −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 8 2 2 1 6 8 2 112 8 2 2 24 8 2

2 2

R Debemos hallar f ´´(4) : fEn x puedehaber

′ ′ = − ⋅ = ⋅ = ⇒=

( ) ( )

&4 24 8 2 4 24 0 0

4inflexion

R Necesitamos la tercera derivada de f : f ´´´(x) = & 48R Debemos hallar f ´´´(4) : f ´´´(4) = &48 … 0

De los tres puntos deducimos que lafunción f ´´´(x) es decreciente en a y, portanto, f ´´´(a) < 0


( )( )

( )( )

( )( )

f

fEn x hay

ff

En x hay

Si deseamos matizar

Como f la funcion pasa de concava hacia abajo a concava hacia arriba

Como f la funcion pasa de concava hacia arriba a concava hacia abajo

′ ′ =

′ ′ ′ ≠

⇒ =

′ ′ − =′ ′ ′ − ≠

⇒ = −

′ ′ ′ >

′ ′ ′ − <

5252

52

52

0

0

2 02 0

2

0

2 0

inflexion

inflexion

& .

& .

:

& & &

& & &

Conclusión: ff

f x tiene en x′ ′ =′ ′ ′ ≠

⇒ =

( )( )

( ) &4 04 0

4inflexion

Maticemos más el detalle de la inflexión:

Ejercicio nº 12 .-Determinar los puntos de inflexión de la función f x x xx x( ) = − − + −

4 3

6 625 2

Solución:3 En los puntos x donde f ´´(x) = 0 , tenemos posible inflexión

Debemos resolver la ecuación f ´´(x) = 0

3 Necesitamos hallar la segunda derivada de f : f x x

f x x x

x x′ = − − +

′ ′ = − −

( )

( )

23 2

2

3 2

10 1

2 10

3 Resolvemos la ecuación: 2 10 02x x− − =

En los puntos xx

x=

± +=

±=

=

= −

1 1 804

1 94 2

152

2

x

xhay posible1

52

2 2

=

= −

inflexion&

3 Necesitamos hallar la tercera derivada de f : f x x′ ′ ′ = −( ) 4 13 Comprobamos el signo de los valores de f ´´´(x) en los posibles puntos de inflexión:

( )( )

x f

x f

= → ′ ′ ′ = ⋅ − = >

= − → ′ ′ ′ − = ⋅ − − = − <

52

52

524 1 9 0

2 2 4 2 1 9 0( )Conclusiones:

ff

f x tieneen x del tipo

′ ′ =′ ′ ′ <

⇒

=

→

( )( )

( ) &4 04 0 4

inflexion

La figura 54nos da una ideadel tipo deinflexión. Noes la gráfica dela función


Ejercicio nº 13 .-Hallar los puntos de la gráfica de la función donde se produce inflexión .g x x ex( ) = 3

Solución:9 En los puntos x donde g´´(x) = 0, tenemos posible inflexión.

9 Hallemos g´´(x) :g x x e x e

g x x e x e x e x e x e x e x e

x x

x x x x x x x

′ = +

′ ′ = + + + = + +

( )

( )

3

6 3 3 6 6

2 3

2 2 3 3 2

9 Resolvamos la ecuación g´´(x) = 0

( ) { ( )x e x e x e

x e x x x x xo bien x

o bien x x

x x x

x

por ser e x

3 2

2

0

22

6 6 0

6 6 0 6 6 00

6 6 0

+ + =

+ + = ⇒ + + = ⇒=

+ + =

≠

Ya tenemos que es una solución de la ecuaciónx = 0

Ahora resolvamos x x2 6 6 0+ + =

xx

x=

− ± −=

− ±=

− ±=

= − +

= − −

6 36 242

6 122

6 2 32

3 3

3 31

29 Por tanto:

x

xx

posibles puntos de1

2

3

3 3

3 30

= − +

= − −=

inflexion&

9 Necesitamos la tercera derivada de g :

( )g x x e x e x e x e e x e

x e x e x e e e x x x

x x x x x x

x x x x x

′ ′ ′ = + + + + + =

= + + + = + + +

( ) 3 12 6 6 6

9 18 6 9 18 6

2 3 2

3 2 3 2

9 Necesitamos saber el signo (no el valor) de g´´´(x) para x1 , x2 , x3 :

( )( ) { ( )

x signo de g x

signo de e x x x signode x x xx

como e x

1 1

13

12

10

13

12

1

3 3

9 18 6 9 18 61

1

= − → ′ ′ ′ =

= + + + = + + +>

Veamos:( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 18 3 3 6 3 3 3 3 3 3 3 3 27 54 3 81 18 3 54 6

3 3 27 27 3 27 27 54 3 81 18 3 54 6 6 6 3 0

3 2 3 2 2 3− + − + − + = − ⋅ + ⋅ − + − + + − + =

= − + − + − + + − + = − <Por tanto:

( ) ( )( ) { ( )

x signo de g x

signo de e x x x signode x x xx

como e x

2 2

23

22

20

23

22

2

3 3 3 3

9 18 6 9 18 62

2

= − − = − + → ′ ′ ′ =

= + + + = + + +>

( )( )

g

g

En x hay unaarriba a concava hacia abajo

′ ′ − =

′ ′ ′ − <

⇒

= −

3 3 0

3 3 0

3 31 inflexiondeconcava hacia

&

& &


Veamos:( ) ( ) ( )− + + + − + + = − − ⋅ − ⋅ − + + + − − + =

= − − − − + + + − − + = + >

3 3 9 3 3 18 3 3 6 3 3 3 3 3 3 3 3 27 54 3 81 18 3 54 6

3 3 27 27 3 27 27 54 3 81 18 3 54 6 6 6 3 0

3 2 3 2 2 3

Por tanto:

( )x g e30 3 20 0 0 9 0 18 0 6 1 6 6 0= → ′ ′ ′ = + ⋅ + ⋅ + = ⋅ = >( )

Por tanto:

La figura 55 nos muestra la gráfica de lafunción en la que se apreciang x x ex( ) = 3

los punto de inflexión O, P y Q, es decir:x

g x x eP

x

g x x eQ

x

g x eO

x

x

1

1 13

2

2 23

3

33 0

3 3 1 2679

0 57361 2679 0 5736

3 3 4 7320

0 93334 7320 0 9333

0

0 00 0

1

2

= − = − ′

= = − ′

− ′ − ′

= − − = − ′

= = − ′

− ′ − ′

=

= =

....

( ) ....( ..., ....)

....

( ) ....( ...., ....)

( )( , )

Hemos visto las condiciones suficientes para determinar el que una función f (x) tengainflexión en un punto. Recordemos:

f ay

f af tiene en x a

′ ′ =

′ ′ ′ ≠

⇒ =( )

( )&

0

0inflexion

Profundicemos algo más en estas condiciones:M La condición f ´´ (a) = 0 es una condición necesaria (siempre y cuando que existe la

segunda derivada de f en a), es decir, para encontrar los puntos de inflexión de f, debemosbuscarlos entre los valores que anulan a f ´´(x), esto es, entre las soluciones de laecuación f ´´ (x) = 0.

M Si sabemos que f ´´(a) = 0, entonces el que f ´´´(a)…0 es una condición suficiente paraasegurar que la función f tiene un punto de inflexión en x = a. Expresado de otro modo:“las condiciones f ´´(a) = 0 y f ´´´(a)…0 son suficientes, pero no necesarias para poderasegurar que en x = a hay inflexión”.

M De lo anterior deducimos que puede ocurrir que f ´´(a) = 0 y f ´´´(a) = 0 y también exista

( )( )

g

g

En x hay unaabajo a concava hacia arrtiba

′ ′ − − =

′ ′ ′ − − >

⇒

= − −

3 3 0

3 3 0

3 32 inflexiondeconcava hacia

&

& &

gg

En x hay unaabajo a concava hacia arrtiba

′ ′ =′ ′ ′ >

⇒

=

( )( )

&

& &

0 00 0

00 inflexiondeconcava hacia


( ) ( )

f x x

x f

′ ′ ′ = − −

= → ′ ′ ′ = − − ⋅ = − − = − ⋅ =

( ) ( )

( )

480 3 2

480 3 2 480 3 3 480 0 0

2

32

32

32

2 2

inflexión de f en x = a, es decir, podemos considerar que:

M La duda que se plantea en el punto anterior no invita a realizar un estudio más profundosobre la posibilidad de existencia o no de inflexión en x = a.¡Pues bien! De la realización de ese estudio (que obviamos en este curso) obtendríamoslo siguiente:

Ejemplo 26 .-Queremos encontrar los puntos de inflexión de la función f x x( ) ( )= − +3 2 25

Veamos:X Para que la función f (x) tenga inflexión en x = a es necesario que f ´´ (a) = 0 (siempre

que existe esa derivada). Por tanto, los posibles puntos de inflexión debemos buscarlosentre los valores que anulan a la segunda derivada de f.f x x f x x

Igualando a x

x x x x x

En x puede haber

′ = − − ′ ′ = −

− =

− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

=

( ) ( ) ; ( ) ( )

: ( )

: ( ) ( )

: &

10 3 2 80 3 2

0 80 3 2 0

80 3 2 0 3 2 0 3 2 0 3 2

4 3

3

3 3 32

32

Resolviendo

Por tanto inflexionX Para decidir sobre la existencia de inflexión es ese punto debemos hallar f ´´´(x):

X Por tanto, nos encontramos que:

( )( )

f

fCaso dudoso

no podemos decidir aun

sobre la en

′ ′ =

′ ′ ′ =

⇒

3232

32

0

0

&

&inflexion

f ay

f aDudamos sobre la en x a

′ ′ =

′ ′ ′ =

⇒ =( )

( )&

0

0inflexion

Si k par entoncesf a f x CONCAVA hacia las Y positivas en x a

f a f x CONCAVA hacia las Y negativas en x a

Si k impar entoncesen x a hay

de tal quesi f a

la es de concava haciaabajo a concava hacia arriba

si f ala es de concava haciaarriba a c

k

k

k

k

=> ⇒ =

< ⇒ =

==

>

<

,( ) ( ) &

( ) ( ) &

,&

( )& &

&

( )& &

&

)

)

)

)

0

0

0

0inflexion

modo

inflexion

inflexiononcava hacia abajo

Supongamos que f a f a f a f ak k′ ′ = ′ ′ ′ = = ≠−( ) ; ( ) ; ; ( ) ; ( )) )0 0 0 01LLLL

Se verifica que:


X Debemos seguir derivando f y hallar los valores de las derivadas en :x = 32

( ) ( )( )

f x x f

f x f

4 4 32

32

5 5 32

1920 3 2 1920 3 2 1920 0 0

3840 3840 0

) )

) )

( ) ( ) ;

( ) ;

= − = ⋅ − ⋅ = ⋅ =

= − = − ≠

X Resumiendo:

X Si deseamos hallar el punto de la gráfica, será: ( ) ( )f 32

32

53 2 2 0 2 2= − ⋅ + = + =

Ejercicio nº 14 .-Hallar los puntos de inflexión de la función f x x( ) = − 23

Solución:U Buscamos la segunda derivada de f (x) :

( )

( )

( )( )

f x x

f x x

f x xx x

( )

( )

( )( )

= −

′ = −

′ ′ = − − = −−

=−

−

−

−

2

2

22

9 2

2

9 2

13

23

53

53

13

29 53

U Los posibles puntos de inflexión los buscamos entre los valores que anulan a f ´´:Observamos que f x existe x x′ ′ ∀ ∈ ≠( ) R 2

Observamos que Si x es f xSi x es f x

f no existe> ′ ′ << ′ ′ >

′ ′2 02 0

2( )( )

sin ( )embargo

Es decir, la función existe para x = 2 , ya que f (2) = 0f x x( ) = − 23

No existe la segunda derivada de f en x = 2, por lo que lo que no podemos decidir sobrela existencia de inflexión en dicho punto a través de ella. Ahora bien:

− ∞ < <x 2 2 < < + ∞x

f ´´(x) > 0. f (x) es cóncava hacia arriba

f ´´(x) < 0. f (x) es cóncava hacia abajo

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f f f f

k IMPAR En x la funcion f tiene

la grafica pasa de concava hacia las Ypositivas a concava hacia las Y negativas

′ ′ = ′ ′ ′ = = ≠

= = ⇒ =

<

32

32

4 32

5 32

32

32

0 0 0 0

5

0

; ; ;

&

,& &

&

) )

inflexion

Como f 5)

( )P punto de32 2, &→ inflexion


U Del punto anterior deducimos que en el punto x = 2 se produce un cambio de concavidad,es decir, en x = 2 existe inflexión, a pesar de que no existe ni la primera ni la segundaderivada en dicho punto.

U La inflexión se produce en el punto de la gráfica P(2,0)U Nos preguntamos: ¿Cómo es posible que la función f (x) existe en x = 2 y, sin embargo,

no exista la primera ni la segunda derivada en dicho punto?. La respuesta es que “la rectatangente en P(2,0) es perpendicular al eje de abcisas, es decir, forma un ángulo de 90ºcon este, por lo que la pendiente en dicho punto es tg 90º, esto es, no existe”

La figura 56 nos muestra la gráficade la función , en laf x x( ) = − 23

que se aprecia como en el puntoP(2,0) la función pasa de cóncavahacia las Y positivas a cóncavahacia las Y negativas, es decir, en Phay inflexión. Apréciese como la recta tangente enP es perpendicular al eje de abcisas,es decir la pendiente es tg 90º, loque significa que f (x) no esderivable en x = 2.

Observación: En el ejercicio anterior hemos visto un caso en el que la derivada f ́ ´(x) no existepara un valor x = a y, sin embargo, en ese valor existe inflexión. Esto nos vienea decir, que “si la derivada segunda existe en un punto a, es condición necesariaque su valor en ese punto sea cero para que haya inflexión”.“En caso de que no existe f ´´(a), puede ocurrir que haya inflexión en a.”

14.Asíntotas oblicuas de una función.- Para completar el estudio de las funciones reales de variable real, añadimos a este tema

el concepto y la obtención de las asíntotas oblicuas de una función, que se relaciona más con eltema “Límite de funciones” y que hemos preferido incluirlo en este con el objetivo de que secomplete el estudio exhaustivo de una función para poder obtener su gráfica.

Además de las asíntotas horizontales y verticales de una función (rectas paralelas a losejes de coordenadas), una función puede tener asíntotas oblicuas, es decir, rectas inclinadas queforman un ángulo entre 0º y 180º con el eje de abcisas.

Veamos:

L Sea y = f (x) una función.L Sea r una recta del planoL Sea y = mx + b la ecuación de dicha recta.(recuerda que m = pendiente de r)W Se dice que la recta r es una asíntota oblicua de la función y = f (x) si se verifica lo

siguiente:Î lim ( ) / lim ( )

x xf x o o y f x o

→ + ∞ → − ∞= + ∞ − ∞ = + ∞ − ∞


x es f x mx bpara valores de x las imagenes de

f y de r nproximas

= + ∞ ≈ +

infinitamente grandespositivos

estainfinitamente

123 1 244 344( )&

&&

Ï “para valores de x infinitamente grandes positivos o/y negativos, la gráfica de f(x) y r están infinitamente próximas”

La idea gráfica de este concepto seríacomo se muestra en la figura 57, es decir, lafunción y la recta se aproximan cada vez máscuando x tiende a +4.

Lo expresamos del siguiente modo:

de tal modo que la aproximación entre lagráficas de f y r es tanta como podamosimaginar, sin que lleguen nunca a tocarse.Nótese que en el caso dibujado se verifica quef (x) < mx + b, es decir, la función f (x) es menor que la recta, aunque podría darse el caso en quef (x) > mx + b cuando x ÷+4Otra forma de expresar la relación entre la función y su asíntota, según el dibujo de la figura 57es la siguiente:

Es decir, para valores de x infinitamente grandespositivos, las diferencias entre las imágenes de fmediante x y las imágenes de x mediante r sonnúmeros infinitamente próximos a 0, pero negativos.

En el caso expresado (figura 57) la recta ”r es una asíntota oblicua de f (x) por la derecha yhacia arriba”. Además la asíntota va por encima de la gráfica de f.Es decir:

Este es el caso de asíntota oblicuade f (x) por la derecha y haciaarriba ( figura 57). Nótese que laexpresión 0& es la idea de que laasíntota va por encima de lafunción.

W Veamos el caso de que la asíntota oblicua sea por la derecha y hacia abajo:Ahora la recta r : y = m x + b esuna asíntota oblicua de f (x) por laderecha y hacia abajo ( figura 58).El límite será 0& o 0+ según la rectar vaya por encima o por debajo def (x).

En este caso se verifica lo siguiente:Î lim ( )

xf x

→ + ∞= − ∞

Ï lim ( )x

m x b→ + ∞

+ = − ∞

Ð [ ] ( )lim ( ) ( )x

f x m x b o→ + ∞

+ −− + = 0 0 0

[ ] ( )lim ( ) ( )x

f x m x b→ + ∞

−− + = 0 0

[ ] ( )lim ( )

lim ( ) lim ( ) ( )x

xx

f x

mx b f x mx b→ + ∞

→ + ∞→ + ∞

−= + ∞

+ = + ∞

− + = 0 0

[ ]lim ( )

lim ( ) lim ( ) ( )x

xx

f x

mx b f x mx b→ + ∞

→ + ∞→ + ∞

= − ∞

+ = − ∞

− + = 0

Del punto Ï se deduce que lapendiente de la recta y = mx+bes negativa, es decir, m < 0Ð nos dice que f (x) •mx+bcuando x infinitamente grande


En la figura 58 se aprecia la gráfica de unafunción y = f (x) que tiende a &4 cuando xtiende a +4 y la de una recta y = r(x) quetambién tiende a &4 cuando x tiende a +4.Es evidente que la recta r tiene pendientenegativa.Nótese además que las gráficas de f (x) y de r(x) = m x + b se aproximan tanto comopodamos imaginar cuando x ÿ+4, sin quelleguen a tocarse. Esto último se interpreta:

[ ] ( )lim ( ) ( )x

f x m x b o→ + ∞

+ −− + = 0 0 0

En el caso de la figura el límite es 0+ por serf (x) > r(x) para valores x = +4 (muy grandes).

La figura 58 corresponde a una asíntota oblicua por la derecha y hacia abajo

W Veamos el caso de que la asíntota oblicua sea por la izquierda y hacia arriba:Ahora la recta r : y = m x + b esuna asíntota oblicua de f (x) por laizquierda y hacia arriba (ver lafigura 59). El límite será 0& o 0+

según la recta r vaya por encima opor debajo de f (x).


xf x

→ − ∞= + ∞

Ï lim ( )x

m x b→ − ∞

+ = + ∞

Ð [ ] ( )lim ( ) ( )x

f x m x b o→ − ∞

+ −− + = 0 0 0

En la figura 59 se aprecia la gráfica de unafunción y = f (x) que tiende a +4 cuando xtiende a &4 y la de una recta y = r(x) quetambién tiende a +4 cuando x tiende a &4.Es evidente que la recta r tiene pendientenegativa.Nótese además que las gráficas de f (x) y de r(x) = m x + b se aproximan tanto comopodamos imaginar cuando x ÿ&4, sin quelleguen a tocarse. Esto último se interpreta:

[ ] ( )lim ( ) ( )x

f x m x b o→ − ∞

+ −− + = 0 0 0

En el caso de la figura el límite es 0& al ser f (x)< r(x) para valores x=grandes negativos

La figura 59 corresponde a una asíntota oblicua por la izquierda y hacia arriba

[ ]lim ( )

lim ( ) lim ( ) ( )x

xx

f x

mx b f x mx b→ − ∞

→ − ∞→ − ∞

= + ∞

+ = + ∞

− + = 0

Del punto Ï se deduce que lapendiente de la recta y = mx+bes negativa, es decir, m < 0Ð nos dice que f (x) •mx+bcuando x infinitamente grande


W Veamos el caso de que la asíntota oblicua sea por la izquierda y hacia abajo:Ahora la recta r : y = m x + b esuna asíntota oblicua de f (x) porla izquierda y hacia abajo (verla figura 60). El límite será 0&o 0+ según la recta r vaya porencima o por debajo de f (x).


xf x

→ − ∞= − ∞

Ï lim ( )x

m x b→ − ∞

+ = − ∞

Ð [ ] ( )lim ( ) ( )x

f x m x b o→ − ∞

+ −− + = 0 0 0

En la figura 60 se aprecia la gráfica de unafunción y = f (x) que tiende a &4 cuando xtiende a &4 y la de una recta y = r(x) quetambién tiende a &4 cuando x tiende a &4.Es evidente que la recta r tiene pendientepositiva.Nótese además que las gráficas de f (x) y der(x) = m x + b se aproximan tanto comopodamos imaginar cuando x ÿ&4, sin quelleguen a tocarse. Esto último se interpreta:

[ ] ( )lim ( ) ( )x

f x m x b o→ − ∞

+ −− + = 0 0 0

En el caso de la figura el límite es 0& por serf (x)< r(x) para valores x = grandes negativos La figura 60 corresponde a una asíntota

oblicua por la izquierda y hacia abajo

Observaciones:Î Las asíntotas oblicuas de una función son útiles conocerlas para comprender y poder

dibujar la gráfica de una función cuando x tiente a + 4 y a &4Ï Es importante conocer la posición de la función f (x) y de la asíntota r (x), esto es, cual

está por encima de la otra. Ello se puede comprobar hallando algunos de los límitesque correspondan siguientes:

[ ] ( )[ ] ( )

∗ − + =

∗ ∗ − + =

→ + ∞+ −

→ − ∞+ −

lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

x

x

f x mx b o

f x mx b o

0 0 0

0 0 0

Ð Una misma recta puede se una asíntota oblicua por ambos lados (derecha e izquierda),pero evidentemente no puede ser por arriba y abajo por el mismo lado.

Ñ Una función f (x) y su asíntota r(x) pueden tener uno o más puntos de corte. Eso nocontradice al comentario de que cuando x tiende a + 4 y a &4 ambas gráficas seaproximen tanto como podamos imaginar sin que lleguen nunca a tocarse.Para hallar los puntos de corte, basta con resolver la ecuación f (x) = r (x).

[ ]lim ( )

lim ( ) lim ( ) ( )x

xx

f x

mx b f x mx b→ − ∞

→ − ∞→ − ∞

= − ∞

+ = − ∞

− + = 0

Del punto Ï se deduce que lapendiente de la recta y = mx+bes positiva, es decir, m > 0Ð indica que f (x) •mx+b si xinfinitamente grande negativo.

El que el límite sea 0+ o 0& nosinforma sobre las posicionesrelativas de f (x) y r(x)


15.Forma de hallar las asíntotas oblicuas de una función.-En este punto veremos si una función tiene alguna asíntota oblicua y, en su caso, la

forma de hallar sus ecuaciones. Veamos:. Sea y = f (x) una función. Queremos hallar sus asíntotas oblicuas.. Supongamos que y = f (x) tiene una asíntota oblicua r.. Como r es una recta, su ecuación es una función polinómica de grado 1, es decir:

y r x m x b m b numeros desconocidos= = + →( ) , &

Debemos hallar los valores de m y b.. Como r(x) es una asíntota oblicua, se debe verificar que :

[ ][ ]

lim ( ) ( ) &

lim ( ) ( ) &

x

x

f x r x si la es por la derecha

f x r x si la es por la izquierda→ + ∞

→ − ∞

− =

− =

0

0

asintota

asintota

Es decir:

[ ]lim ( ) /x

f x m x b entiendase que x o y→ ∞

− − = → + ∞ − ∞0

Si dividimos por x (números infinitamente grandes) el límite seguirá siendo cero:

lim

lim lim lim lim lim

lim lim

: lim

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

x

f x m x bx

x

f xx

m xx

bx x

f xx

bx x

f xx x x

bx

x

f xx x

f xx

x

f xx

m m

m m

Deducimos que m forma de hallar m

→ ∞

− −

→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

→ ∞

=

− −

= − −

= − − =

= − − = − =

= ←

0

0 0

. Por tanto, según el límite sea cuando x tiende a +4 o a &4 sera:Esto significa que existe asíntota oblicua por la derecha.Si m > 0, la pendiente de la recta es positiva y, por tanto, laasíntota es por la derecha y hacia arriba.Si m < 0, la pendiente de la recta es negativa y, por tanto, laasíntota es por la derecha y hacia abajo.Esto significa que existe asíntota oblicua por la izquierda.Si m > 0, la pendiente de la recta es positiva y, por tanto, laasíntota es por la izquierda y hacia abajo.Si m < 0, la pendiente de la recta es negativa y, por tanto, laasíntota es por la izquierda y hacia arriba.

En este caso no existe asíntota oblicua por la derecha

En este caso no existe asíntota oblicua por la izquierda.

mx

f xx=

→ + ∞lim

( )

mx

f xx=

→ − ∞lim

( )

lim( )

x

f xx o

→ + ∞= + ∞ − ∞

lim( )

x

f xx o

→ − ∞= + ∞ − ∞


. Una vez conocido m (distinto de infinito), podemos hallar el valor de b :

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

Sabemos que f x mx b

f x mx b f x mx b f x mx b

f x mx b

Por f x mx b

x

x x x x

x

x

lim ( ) ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim

lim ( )

: lim ( )

→ ∞

→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

− + =

− + = − − = − − =

= − − =

− =

0

0

tanto

. De este modo, después de hallar m, hallamos b :

Forma de hallar el valor de b para la asíntota oblicuapor la derecha.

Forma de hallar el valor de b para la asíntota oblicuapor la izquierda.

De este modo obtenemos la (o las) asíntotas oblicuas de f (x): y = m x + b

NOTA: Es fácil comprender que si se obtenemos que , la asíntotalim( )

x

f xx m

→ ∞= = 0

será la recta y = 0 x + b, es decir, y = b, que corresponde a una asíntotahorizontal.

Ejemplo 27 .-

Queremos hallar las asíntotas oblicuas de la función f x xx( ) = +

2

1Veamos:3 Supongamos que hay alguna asíntota oblicua (recta r ). Su ecuación será y = m x+ b

Buscamos los valores de m y b.3 Asíntota oblicua por la derecha.

Hallemos m :

mx

xx xx

f xx x

xx

x= = =

+=

→ + ∞ → + ∞+

→ + ∞lim lim lim

( )2

12

2 1

Hallemos b :

[ ] [ ]b f x m x xx x

xx x

x x xx x

xx= − = − = = = −

→ + ∞ → + ∞ + → + ∞− −

+ → + ∞−+lim ( ) lim lim lim

2 2 2

1 1 1 1

Por tanto:La función y = f (x) tiene una asíntota oblicua por la derecha y haciaarriba (por ser m = 1 > 0) r : y = x &1

Para ver la posición relativa de la función y de la asíntota (cual va por encima) podemoshacerlo experimentalmente con calculadora o viendo el límite [ ]lim ( ) ( )

xf x mx b

→ + ∞− +

[ ]b f x m xx

= −→ + ∞lim ( )

[ ]b f x m xx

= −→ − ∞lim ( )

y x= − 1


Veamos:

[ ]lim ( ) lim lim lim( ) ( )

xx

x x

x x xx x

x xx x xx

→ + ∞ + → + ∞

− + −+ → + ∞

− ++ → + ∞ + + ∞

+− − = = = =2 2 2 2

11 11

11

11

11 0

En este caso el último límite nos ha dado con facilidad el valor 0+, pero si hubiesealguna dificultad para determinar si es 0+ o 0& actuamos dándole a x un valor grandepositivo:

xf

rvemos que f r= →

= = ′

= − =

>999

999 998 001

999 999 1 998999 999

9980011000( )

( )( ) ( )

Por lo que podemos suponer que la función “va por encima” de la recta.

3 Asíntota oblicua por la izquierda.Actuando de forma similar obtenemos:

mx

xx xx

f xx x

xx

x= = =

+=

→ − ∞ → − ∞+

→ − ∞lim lim lim

( )2

12

2 1

[ ] [ ]b f x m x xx x

xx x

x x xx x

xx= − = − = = = −

→ − ∞ → − ∞ + → − ∞− −

+ → − ∞−+lim ( ) lim lim lim

2 2 2

1 1 1 1

Por tanto:

Es también asíntota por la izquierda y por abajo (al ser m = 1> 0)

Veamos la posición de f (x) y r en este caso:

[ ]lim ( ) lim lim lim( ) ( )

xx

x x

x x xx x

x xx x xx

→ − ∞ + → − ∞

− + −+ → − ∞

− ++ → − ∞ + − ∞

−− − = = = =2 2 2 2

11 11

11

11

11 0

Para confirmar esta decisión podemos experimentar con un valor grande negativo:

xf

rvemos que f r= − →

− = = − ′

− = − − = −

− < −−1001

1001 1002 001

1001 1001 1 10021001 1001

10020011000( )

( )( ) ( )

Por lo que podemos suponer que la función “va por debajo” de la recta.

Conclusión:La función tiene una única asíntota oblicua por ambos lados. Por laizquierda hacia abajo y por la derecha hacia arriba. Por la izquierdala función va por debajo de la asíntota y por la derecha va por arriba.

NOTA: En esta caso y en otros es posible hallar las asíntotas obteniendo al mismo tiempo

ambos límites del modo siguiente: [ ]m y b f x mxx

f xx x

= = −→ ± ∞ → ± ∞lim lim ( )

( )

Por la parate derecha, la función está por encima de la asíntota

Por la parte izquierda, la función está por debajo de la asíntota

y x= − 1

r y x: = − 1


Dibujemos la gráfica de la función y de la asíntota:La figura 61 nos muestra la gráfica

de la función y suf x xx( ) = +

2

1asíntota oblicua y = x &1.Nótese la posición de la asíntota y lafunción. Se aprecia como ambasgráficas se aproximan cada vez másen +4 y &4, sin llegar nunca atocarse.En la figura puede apreciarsetambién la existencia de una asíntotavertical de ecuación x = &1. No hay asíntotas horizontales.

Ejemplo 28 .-Supongamos que queremos averiguar si la asíntota y la gráfica de la función anterior

se cortan en algún punto, lo cual no está en contradicción con la idea de asíntota.Veamos:

y

y xse La ecuacion x tiene solucion

xx x

x=

= −

⇔ = −+

+

22

111

1cortan & &

Resolvemos la ecuación:

xx x x x x x x x x x

2

12 2 2 2 2 21 1 1 1 1 0 1− = + = − + = − − = − = −; ( ) ( ) ; ; ;

Es decir, la ecuación no tiene solución, esto es, la asíntota y la función no se cortan.

Ejercicio nº 15 .-Hallar las asíntota oblicuas de la función f x x

x( ) = +5

2 33

Solución:

Apreciamos lo siguiente:

lim ( ) lim

lim ( ) lim

x x

xx

x x

xx

f x

f x

→ + ∞ → + ∞+

→ − ∞ → − ∞+

= = + ∞

= = + ∞

52 3

52 3

3

3

Caso de existir asíntotas oblicuas serían por la derecha hacia arriba y por la izquierda haciaarriba.Supongamos que existe una asíntota oblicua r : y = m x + bDeterminemos su existencia por la derecha:

mf x

x xx

x xx x

xx

x= = =

+= + ∞

→ + ∞ → + ∞+

→ + ∞lim

( )lim lim

52 3

3

2

3

52 3

Por tanto: “no existe asíntota oblicua por la derecha”Determinemos su existencia por la izquierda:

mf x

x xx

x xx x

xx

x= = =

+= − ∞

→ − ∞ → − ∞+

→ − ∞lim

( )lim lim

52 3

3

2

3

52 3


Por tanto: “no existe asíntota oblicua por la izquierda”En este caso se dice que la función f (x) tiene ramas parabólicas por la derecha y por

la izquierda hacia arriba.

Ejercicio nº 16 .-Hallar las asíntota oblicuas de la función f x x

x x( ) =

+5

2 3

3

3

Solución:

Apreciamos lo siguiente:

lim ( ) lim

lim ( ) lim

x x

xx x

x x

xx x

f x

f x

→ + ∞ → + ∞ +

→ − ∞ → − ∞ +

= = = ′

= = = ′

52 3

52

52 3

52

3

3

3

3

2 5

2 5

De lo anterior deducimos que hay una asíntota horizontal por ambos lados, de ecuación y =2 ´5 Esto supone que no existe asíntota oblicua.Supongamos que insistimos en la existencia de una asíntota oblicua r : y = m x + b3 Determinemos su existencia por la derecha:

( )mf x

x xx

x xx x

xx x

x= = =

+=

→ + ∞ → + ∞+

→ + ∞+lim

( )lim lim

52 3

3

4 2

3

3 52 3

0 0

Lo anterior nos indica la existencia de asíntota horizontal, ya que es y = 0 x + b

Hallemos b: [ ] [ ]b f x mx xx x

xx x x

xx x

= − = − = = = ′→ + ∞ → + ∞ + → + ∞ +lim ( ) lim lim5

2 35

2 352

3

3

3

30 2 5

Es decir, la “asíntota oblicua” por la derecha es , o sea, asíntota horizontal.y = ′2 53 Determinemos su existencia por la izquierda:

( )mf x

x xx

x xx x

xx x

x= = =

+=

→ − ∞ → − ∞+

→ − ∞−lim

( )lim lim

52 3

3

4 2

3

3 52 3

0 0

Lo anterior nos indica la existencia de asíntota horizontal, ya que es y = 0 x + b

Hallemos b: [ ] [ ]b f x mx xx x

xx x x

xx x

= − = − = = = ′→ − ∞ → − ∞ + → − ∞ +lim ( ) lim lim5

2 35

2 352

3

3

3

30 2 5

Es decir, la “asíntota oblicua” por la izquierda es , o sea, asíntota horizontal.y = ′2 5Conclusión: La función no tiene asíntotas oblicuas, tiene un asíntota horizontal por amboslados.

Observación: Es fácil comprender que puede considerarse a una asíntota horizontalcomo una asíntota oblicua de pendiente m = 0.

16.Estudio exhaustivo de una función.- Los conocimientos adquiridos en este tema y en lo anteriores (Funciones reales de

variable real, Propiedades y formas de las funciones, Gráficas de funciones, Límites y


continuidad de funciones) nos permiten el estudio completo de una función, esto es, sucomportamiento local ( en uno o más puntos) o su comportamiento general (en su dominio).Todo esto nos permitirá dibujar su gráfica para visualizar de un modo dinámico dichocomportamiento.El protocolo a seguir, aunque no necesariamente en este orden, es el siguiente:

P Supongamos y = f (x) una función real de variable real. Tenemos como objetivoconocer todo lo que podamos sobre ella. Para conseguirlo, actuamos del siguiente modo:

º Dominio.- Determinamos el dominio de f, es decir, el conjunto de ú donde la funciónexiste o está definida.

þ Recorrido.- Determinamos el conjunto imagen o recorrido de la función, es decir, elconjunto de números de ú que son imagen de algún número real. El conjunto imageno recorrido se representa en el ej de ordenadas.

þ Continuidad.- Determinamos el conjunto del dominio donde la función es continua,así como los puntos de discontinuidad. Debemos analizar el tipo de discontinuidad (sies evitable, si existe un salto finito o infinito, etc.) en cada punto.

þ Signo.- Es interesante saber donde la función es positiva (gráfica por encima del ejede abcisas) y donde es negativa (gráfica por debajo del eje de abcisas). Para ellodebemos determinar las soluciones de las inecuaciones siguientes:

f xf x

( )( )

><

00

þ Cortes con los ejes.- Se trata de hallar los puntos donde la gráfica de la función cortaa los ejes de coordenadas. Esto no facilitará su dibujo. Recordemos que:x f b P b corte con eje de abcisasy f x x a Q a corte con eje de ordenadas

= → = →= → = → = →

0 0 00 0 0

( ) ( , )( ) ( , )

þ Periodicidad.- Si la función es periódica, debemos indicarlo, así como el periodocorrespondiente.

þ Asíntotas.-Determinamos las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y, si esposible, la posición relativa de la gráfica de f (x) y sus asíntotas. Del estudio de lasasíntotas horizontales y oblicuas deducimos el comportamiento de la función en ± 4

þ Crecimiento-decrecimiento.- A simple vista o utilizando la primera derivada,podemos determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

þ Extremos.- Con las derivada primera y segunda (o sucesivas) podemos hallar lospuntos máximos y mínimos de la función. En algunos casos puede hacerse sin utilizarlas derivadas. Este punto debe ser coherente con los resultados obtenidos en el puntoanterior

þ Concavidad-convexidad.- Determinar los intervalos donde la función tiene laconcavidad en un sentido o en otro nos facilitará el dibujo de su gráfica.

þ Puntos de inflexión.- Con la segunda y tercera derivada (o sucesivas) podemosdeterminar los puntos donde la función cambia la concavidad-convexidad (punto deinflexión). Los resultados obtenidos en este punto deben ser coherentes con losobtenidos en el punto anterior. Si es posible, debemos determinar como es el cambioque se produce, es decir, de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.

þ Gráfica.-Con todos los resultados anteriores podemos dibujar la gráfica de la función.No obstante, si en algunos de los puntos mencionados resulta excesivamentecomplicado su consecución, debemos omitirlo.


Ejercicio nº 17 .- Realizar un estudio exhaustivo y dibujar la gráfica de la función exponencial siguiente:

f x e x( ) = − 2

Solución:Se trata de averiguar todo lo que sea posible de dicha función. Veamos:

º Dominio.-

∀ ∈ = = ∈−x se verifica que f x ee

xx

R R( )2

2

1

Es decir, todo número real tiene imagen mediante f (x), por lo que el dominio de lafunción es ú, es decir: úD f =

þ Recorrido.-

Observamos que ∀ ∈ = > ⊂ +x es f xe

por lo que de fx

R Imgen R( )1

02

Además, apreciamos que ∀ ∈ ≥ = =x es e para x es exR2

1 0 10( )De lo anterior deducimos que 0 1< ≤f x( )Como apreciamos (a simple vista) que la función es continua en todo ú, podemos decidir:

( ]Img f = 0 1,þ Continuidad.-

∀ ∈=

= = =

−

→ →− −a R se verifica que

f a e existe

f x e e f a

a

x a x ax a

( )

lim ( ) lim ( )

2

2 2

Por tanto, f (x) es continua en todo el conjunto ú.

þ Signo.-

Hemos visto anteriormente que , es decir, la función∀ ∈ = =++

>x R es f xex

( )1

02

es positiva en todo su dominio (no corta al eje de abcisas), por lo que su gráfica estará porencima del eje del eje de las X..

þ Cortes con los ejes.- 4 Corte con el eje de abcisas: Si corta, será en un punto de la forma (a,0), siendo

f (a) = 0, pero la ecuación no tienee a− =2

0solución. Por tanto, no corta al eje de abcisas.

4 Corte con el eje de ordenadas: Si corta, será en un punto de la forma (0,b), siendo

f (0) = b, es decir, f e e( )0 10 02= = =−

Por tanto, corta al eje de ordenadas en P(0,1).þ Periodicidad.-

La función no es periódica ya que ( )

f x e

f x h esiendo f x f x h

x

x h

( )

( )( ) ( )

=

+ =

≠ +

−

− +

2

2

þ Asíntotas.-3 Asíntotas verticales : Como la función es continua en todo ú, no hay posibilidad

de asíntota vertical, es decir, no existe este tipo de asíntota


3 Asíntotas horizontales: Para determinarlas, debemos estudiar el comportamientode la función en el infinito (+4 y &4).

( )lim ( ) limx x x

f xe e→ + ∞ → + ∞ + ∞

+= = =+ ∞

=1 1 1

0 02

El eje de abcisas es una asíntota horizontal por laderecha. La gráfica de la función “va” por encima de laasíntota.

( )lim ( ) lim( )x x x

f xe e→ − ∞ → − ∞ − ∞

+= = =+ ∞

=1 1 1

0 02 2

El eje de abcisas es una asíntota horizontal por laizquierda. La gráfica de la función “va” por encima de laasíntota.

Conclusión: La recta y = 0 es una asíntota horizontal por ambos lados. Lafunción está por encima de la asíntota.

3 Asíntotas oblicuas: Con la información anterior podemos determinar que nohay asíntotas oblicuas por ninguno de los lados, ya que laexistencia de asíntota horizontal por la izquierda y derechaes incompatible con la existencia de las oblicuas.

þ Crecimiento-decrecimiento.-

Necesitamos hallar la derivada de f (x) : f x x e x′ = − −( ) 22

3 Crecimiento: En los puntos x donde f ´(x) > 0, la función es creciente.

{

f x

x e x x xx

e x

′ >

− > ⇔ − > ⇔ < ⇔ <−

>−

( ) 0

2 0 2 0 2 0 02

20

Por tanto, f (x) es crece estrictamente en el intervalo (&4,0)3 Decrecimiento: En los puntos x donde f ´(x) < 0, la función es decreciente.

{

f x

x e x x xx

e x

′ <

− < ⇔ − < ⇔ > ⇔ >−

>−

( ) 0

2 0 2 0 2 0 02

20

Por tanto, f (x) es decrece estrictamente en el intervalo (0 , +4)Resumiendo:

&4 < x < 0 0 < x < +4

f (x) estrictamente creciente f (x) estrictamente decreciente

þ Extremos.- Los posibles máximos y mínimos están entre los valores que anulan la derivada de f

{

f x

x e x x xx

e x

′ =

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =−

>−

( ) 0

2 0 2 0 2 0 02

20

Debemos hallar la segunda derivada:

( ) ( ) ( )f x e x e x e x e e xx x x x x′ ′ = − + − ⋅ − = − + = −− − − − −( ) 2 2 2 2 4 4 22 2 2 2 22 2

En x = 0 posible extremo


( )x f e= → ′ ′ = − = − <0 0 0 2 2 00( )Por tanto, en x = 0 hay un máximo. No hay mínimos.Hallemos el punto máximo: ( )P f P es el punto0 0 0 1, ( ) ( , ) &→ maximo

þ Concavidad-convexidad.-4 En los puntos x donde f ´´(x) > 0 la función es cóncava hacia arriba.

( ) {

f x

e x x x xo bien x

o bien x

x

e x

′ ′ >

− > ⇒ − > ⇒ > ⇒ > ⇒< +

< −

−

>−

( ) 0

4 2 0 4 2 0 4 22

2

2

0

2 2 2 12

12

12

Si racionalizamos: 12

12

1 22 2

22= = =⋅

⋅

Por tanto, f (x) es cóncava hacia arriba en − ∞ −

+ ∞

, ,2

22

2U

4 En los puntos x donde f ´´(x) < 0 la función es cóncava hacia abajo.

( ) {

f x

e x x x x xx

e x

′ ′ <

− < ⇒ − < ⇒ < ⇒ < ⇒ − < <−

>−

( ) 0

4 2 0 4 2 0 4 22

2

2

0

2 2 2 12

12

12

Si racionalizamos: − < <22

22x

Por tanto, f (x) es cóncava hacia abajo en el intervalo −

22

22,

Resumiendo:

− ∞ < < −x 22 − < <2

22

2x 22 < < + ∞x

f (x) es cóncava haciaarriba

f (x) es cóncava haciaabajo

f (x) es cóncava haciaarriba

þ Puntos de inflexión.-A la vista de los resultados obtenidos en el punto anterior, intuimos que existen dospuntos de inflexión:

x y x12

2 22

2= − =No obstante los hallaremos utilizando la segunda derivada:En los puntos x donde f ´´(x) = 0 tenemos posible inflexión.

( ) {

f x

e x x x x xx

x

x

e x

′ ′ =

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒= +

= −

−

>−

( ) 0

4 2 0 4 2 0 4 22

2

2

0

2 2 2 12

12

12

2

22

2

Conclusión: En los puntos hay inflexión.x y x12

2 22

2= − =Los puntos de la gráfica donde se produce la inflexión los hallamos sustituyendo los

valores de x1 y x2 en la función f x e x( ) = − 2


x f e e

x f e e

Q e

T e

12

22

21

22

22

21

22

1

22

1

12

12

= − → − = = +

= + → + = = +

⇒− +

+

− −

− −

−

−

,

,

þ Gráfica.-Con todos los resultados obtenidos debemos ser capaces de esbozar una gráfica bastanteaproximada de la función.La figura 62 muestra la

gráfica de f x e x( ) = − 2

Destacamos el máximo enx = 0, la asíntota horizontaly = 0 por ambos lados, lospuntos de inflexión Q y T,que separan la concavidadhacia arriba y hacia abajo(Q) y la concavidad haciaabajo y hacia arriba (T).Nótese que la escalatomada en los ejes esdistinta.

17.Problemas de optimización.- La obtención del máximo o mínimo de una función es algo útil para aplicar en algunos

problemas de diversa índole, tales cono geométricos, físicos, económicos, etc. En estos casos setrata de convertir el problema en una función de la que debemos determinar alguno de susextremos (máximo y/o mínimo), para lo cual, en la mayoría de los casos debemos ser capaces dedeterminar dicha función y su dominio o campo de existencia.

La complejidad de este tipo de problema oscila en un amplio abanico de valores, por loque veremos algunos ejemplos asequibles al nivel de este curso.

Problema nº 1 .- Con una cuerda de 60 cm de longitud queremos unir sus extremos para que formen un

rectángulo de tal modo que la superficie de este sea lo máximo posible.¿Cuánto debe medir cada lado de ese rectángulo?

Solución:; Lo primero que debemos hacer es entender el problema y lo que nos piden:

esta línea representa a la cuerda estirada longitud L = 60 cm (escala 1:10)

Queremos formar un rectángulo con ella: b

Este rectángulo tiene de lados a = 10 cm y b = 20 cma Su superficie es S = a · b = 10 · 20 = 200 cm2


ba Este rectángulo tiene de lados a = 7´5 cm y b = 22´5 cm

Su superficie es S = a · b = 7´5 · 22´5 = 168´75 cm2

Nótese que en los dos rectángulos dibujados (a escala), los perímetros son el mismo (lalongitud de la cuerda) y, sin embargo, las superficies son distintas, es decir, un mismoperímetro no tiene por qué encerrar la misma superficie.

( Una vez entendido el problema, nos proponemos plantearlo, es decir, buscamos losvalores de los lados a y b para que la superficie S = a · b sea la máxima posible.Sabemos que a b cmEntonces b a

Definimos la funcion S a a b a a a a

+ == −

= ⋅ = − = −

3030

30 30 2& ( ) ( )superficieEs decir, hemos definido una función que relaciona el valor de un lado (a) con el área delrectángulo, es decir:

[ ]S

a S a a a

: ,

( )

0 30

30 2

→

→ = −

R

Por ejemplo:Para a = 11 ( b = 19 ) tenemos que S (11) = 30 ·11&112 = 330 &121 = 209Busquemos los extremos de esta función:S a aS a a a posible extremoS aS En a se produce un

′ = −′ = ⇒ − = ⇒ = ←′ ′ = −′ ′ = − < ⇒ =

( )( )( )( ) &

30 20 30 2 0 15

215 2 0 15 maximo

Por tanto, tomando como lados:a cmb cm tenemos un cuadrado de S cm

==

= ⋅ − =1515 15 30 15 15 2252 2 superficie ( )

Formando un cuadrado de lado 15 centímetros obtenemos la máximasuperficie posible. Debe entenderse que el mínimo se consigue si hacemosa = 30 y b = 0 o a = 0 y b = 30, es decir, S (0) = S(30) = 0 cm2, aunque elrectángulo sería, en realidad, un segmento.

Problema nº 2 .- Se quiere construir un depósito cónico cuya generatriz tiene que medir mida 3 metros y

cuyo volumen pretendemos que sea lo máximo posible. ¿Cuanto deben medir la altura y el radiode la base?Solución:; Primero intentemos comprender el problema.

Se trata de construir un depósito con forma de cono. Estamos obligados a que lageneratriz mida 3 metros de longitud, pero la altura y el radio de la base del cono puedenvariar, respetando dicha medida de la generatriz. Deseamos que el volumen sea máximo.Llamaremos: generatriz = g = 3 m ; altura del cono = h ; radio de la base = r

Nótese que se trata de una función de una variable “a” yque esta puede variar entre 0 y 30 centímetros. Se apreciaque S(a) es una parábola de vértice punto máximo.


¿Que medida damos a h y r para conseguir el objetivo (optimizar)?( Una vez comprendido el problema intentamos plantearlo como un problema matemático.

En la figura 63 hemos hecho unesquema gráfico del problema quenos permitirá plantearlo:

volumen del cono.V r h= 13

2πPor el Teorema de Pitágoras:h r g

h r

r h

2 2 2

2 2

2 2

9

9

+ =

+ =

= −Sustituyendo en V :

( )V h h

V h h

= −

= −

13

2

13

3

9

3

π

π πHemos construido una función (de una variable) que relaciona la variable altura (h) conel volumen del cono, es decir:

función real de una variable real que es polinómica de grado 3.V h h h( ) = − ←3 13

3π πEl objetivo es buscar los máximos de esta función.

M Una vez planteado el problema matemáticamente, procedemos a su resolución:

Derivamos V h V h h

Igualamos a h ecuacion

h h h

( ): ( )

: &

:

′ = −

− = ←

= ⇒ = ⇒ = ±

3

0 3 0

3 3 3

2

2

2 2

π π

π π

π πResolvemos

Hallamos la derivada segunda de V h h h( ) := −3 13

3π π

( )V h h

Para h V

Por en h tenemos un relativo

′ ′ = −

= + → ′ ′ + = − <

= +

( )

, &

2

3 3 2 3 0

3

π

π

tanto maximoM Ya tenemos el valor de la altura del cilindro. Ahora debemos encontrar el radio de la

base:

( )r h g

r g h r r r

2 2 2

2 2 2 2 2 2 23 3 6 6

+ =

= − = − = ⇒ = +; ;

Conclusión: Para r m

h mtenemos el volumen posible

= +

= +

6

3 maximo&

El volumen que se obtiene es Vr h

m m= =⋅

= ≈ ′π π

π2

3 33

6 33

2 3 10 88

NOTA: Puede comprobarse que dando otros valores a h y r (siempre que g = 3),se obtiene un volumen inferior.Nótese que el mínimo se obtiene para h = 0 y r = 3, siendo V = 0 m3

Como la altura h no puedeser negativa, por elcontexto del problema,consideramos sólo el valor

h = + 3


Problema nº 3 .- De entre todos los conos de volumen igual a , calcula el radio de la base y la18 3π m

altura de aquel cuya generatriz sea mínima.

Solución:; Intentemos comprender el problema. No ayudamos de algún dibujo:

V m

V

condicion g debe ser lomenor posible

r h

=

= =

18

18

3

3

2

π

ππ

& :

Buscamos los valores de h y r

Por el Teorema de Pitágoras:

g h r2 2 2= +

( Una vez entendido el problema, intentamos plantearlo. Para ello busquemos una funciónde la que pretendemos hallar sus extremos:π

πr h despejamos r

hr2 2

32 5418= → =

Sustituimos en g2 : g h r h h2 2 2 2 54= + = +

Despejando g : g h h= + +2 54

Consideramos la función g h h funcion de unah( ) &= + + ←2 54 variableObjetivo: Hallar los mínimos de g (h), es decir, el valor de h que hace a g (h) mínima.

L Ahora podemos resolver el problema matemáticamente:

( )g hh

hh

h hhh

h

′ =+

+ =−

+−( )

12

2 542 54

543

2 2 542

Igualando a cero : 2 540 2 54 0 2 54 27 27 3

3

2 2 543 3 3 3h

h hh h h h

h

−

+= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

Por tanto: En h=3 tenemos posible extremo, es decir, puede haber máximo o mínimo.Ahora bien, un análisis del problema nos debe hacer entender que para h = 3 no puedehaber máximo, ya que el máximo no tendría límite si hacemos r muy pequeño, por lo queh y g serían muy grandes, es decir, la función no tiene máximo. Por tanto, para h = 3habrá un mínimo.No obstante, otra alternativa sería hallar la segunda derivada de g (h) y su valor g´´(3) yveríamos que g´´(3) > 0, aunque observamos que hallar g´´(h) es laborioso.


M Una vez entendido que haciendo h = 3 m obtenemos el mínimo de la generatriz,obtengamos su valor:

g m( )3 3 9 18 27 3 32 543= + + = + + = + =

Ahora podemos obtener el valor del radio:

V r r mr h r

= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =π π

π π2 2

33

3218 18 18 3 2

Conclusión:

Problema nº 4 .- Sea la función f x x( ) = − +2 4Sea P(a,b) un punto de la gráfica de f (x) situado en el cuadrante I (es decir, a>0 y b>0)Sea r la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto P(a,b).Sean A y B los puntos de corte de la recta r con los ejes de abcisas y ordenadas

respectivamente. Determinar el punto P(a,b) para que la superficie del triángulo rectángulo AOB sea

mínima.

Solución:; El primer paso debe ser entender el problema. Para ello intentamos expresarlo

gráficamente.

En la figura 65 hemos expresado la gráfica de la función f (x) (parábola) y los elementosque intervienen en el problema. Veamos:3 P(a,b) es un punto del primer cuadrante y situado en la gráfica de f (x) = &x2+43 r es la recta tangente a f (x) = &x2+4 en el punto P(a,b)3 La recta r cortará al eje de abcisas en un punto A(α,0) y al de ordenadas en B(0,β)

Parar mh m

obtenemos g m

g m es el valor quehace V m

==

=

= =

3 23

3 3

3 3 18 3minimo π


3 Consideremos el triángulo rectángulo AOB, el cual será distinto y dependerá dequien sea el punto P(a,b).

3 El triángulo AOB tendrá una superficie. Hemos dibujado a la derecha el detalledel triángulo AOB y sombreada su superficie.

3 !Pues bien! Buscamos el punto P(a,b), es decir, los valores de a y b que hacen quele triángulo AOB tenga la mínima superficie (S) posible.

NOTA: Es evidente que no existe un punto P que haga que la superficie sea máxima, yaque esta puede ser tan grande como queramos. Para conseguirla, nos basta contomar un punto P(a,b) lo suficientemente próximo al vértice V(0,4).

( Una vez entendida la información que nos dan y la información que nos piden, intentamosplantearlo como un problema matemático. En este caso como un problema de hallar losmínimos de una función. Veamos: Como queremos minimizar la superficie S para los valores de a y b, buscamos unafunción que relacione S con alguno de estos valores. Veamos:

r recta quepasa por a bes a f x

r y b m x a:( , )

( ): ( )

Ptangente

− = −

Como P(a,b) es un punto de la gráfica de f (x), será f a a b( ) = − + =2 4Como la recta r es tangente a f (x) en P(a,b), su pendiente es m = f ´(a) = &2aPor tanto, la ecuación de la recta r será:

( ) ( )

( )

r y a a x a

y a ax a

y ax a

: − − + = − −

+ − = − +

= − + +

2

2 2

2

4 2

4 2 2

2 4

Ahora hallemos los puntos de corte de la recta r con los ejes de coordenadas:º Con el eje de abcisas. Cortará en un punto de la forma A(α,0):

( )y ax a ax a x aa= → − + + = → = + → = +0 2 4 0 2 42 2 4

22

Por tanto, r corta al eje de abcisas en el punto ( )A aa

2 42 0+ ,

º Con el eje de ordenadas. Cortará en un punto de la forma B(0,β):

( )x a a y y a= → − ⋅ + + = → = +0 2 0 4 42 2

Por tanto, r corta al eje de ordenadas en el punto ( )B a0 42, +

De la figura 65 deducimos que el área del triángulo rectángulo de vértices AOB es :

( ) ( )S

base altura a a

a

aa=

×=

×=

× +=

++

2 2

4

2

4

4

2 42

2 2 2

2α β

Tenemos así una función que relaciona “la abcisa a del punto P(a,b) con el área S deltriángulo AOB”, es decir:

( ]( )

S

a S aa

a

: ,

( )

0 22 2

42

→

→ =

+

R

A la izquierda tenemos la forma de conseguircomo la recta r está expresada en función,únicamente, de la abcisa a del punto P(a,b).Recuerda que buscamos a y b.

Nótese que la función S (a) se ha definido en el intervalo (0,2],ya que los posibles valores para a, según el contexto delproblema están en ese intervalo (ver figura 65).


Una vez construida la función S(a) que relaciona el área que pretendemos minimizarcon una de las variables (a) implicadas en el problema, hallamos el valor de a que hacemínima a la superficie S. Veamos:Debemos hallar los mínimos de la función S (a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )( )S a

a a a a

a

a a a

a

a a a

a

sacando factor comun S aa a a

a

a a

a

′ =+ ⋅ ⋅ − +

=+ − +

=+ − +

′ =+ − +

=+ −

( )

& : ( )

2 4 2 2 2 4

4

8 4 2 4

4

4 4 4

2

4 4 4

2

4 3 4

2

2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

Los posibles mínimos están entre los valores que anulan a la derivada S´(a) :

( )( ){

a a

aa a a

a

apor ser a

a

2 2

24 0

2 0

2 2 43

12 3

3

22 33

4 3 4

20 3 4 0

232

2

+ −= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ± =

=

=

+ >

>

−

En principio se detectan dos posibles extremos, a1 y a2, pero considerando que la funciónS(a) está definida en el intervalo (0,2], desechamos a2.

Por tanto, en tenemos un posible extremo (máximo o mínimo).a12 3

3=Por el contexto del problema, podemos asegurar que se trata de un mínimo (ya que el áreamáxima puede ser infinita). No obstante, si la segunda derivada no es excesivamentecomplicada podemos hallarla y ver su valor para a1. Lo intentamos:

( ) ( )[ ] ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

S aa a a a a a a a

a

S

′ ′ =− + + − + −

′ ′ =

− + +

− + −= = >

( )2 3 4 4 6 2 4 4 3 4

2

4 4 4 4 3 4 4 4 64 33

0

2 2 2 2 2

2

2 33

4 33

43

83

8 33

43

83

512 3983

Por tanto:

S

SEn a existe un MINIMO

′ =

′ ′ >

⇒ =

2 33

2 33

2 33

0

0&

Hallemos el valor del área mínima:

( )S u2 3

3

2 33

2 2

2 33

43

2

4 33

163

4 33

22

4

2

4 16 33 4 3

643

64 33

2

2

=

+

=+

= =⋅

⋅ ⋅= =

No olvidemos que el problema nos pide que determinemos el punto P(a,b) :Como el punto P(a,b) está en la gráfica de la función , será f (a) = bf x x( ) = − +2 4

Es decir: a f= →

= −

+ = − + =2 3

32 3

32 3

3

2 43

834 4

Conclusión: El punto pedido es ( )P P2 33

83 1 1547 2 6666, ...., ....

→ ′ ′


[ ]S

a S a a a

: ,

( )

0 2

4 3

→

→ = −

R

Problema nº 5 .- Sea la función f x x( ) = − +2 4Sea P(a,b) un punto de la gráfica de f (x) situado en el cuadrante I (es decir, a>0 y b>0)Consideremos el rectángulo de vértices PAOB tales que P(a,b) es el punto mencionado,

A(a,0), O(0,0) y B(0,b).Determinar el punto P(a,b) para que la superficie del rectángulo sea máxima.

Solución:; En primer lugar intentamos comprender el problema. Para ello nos ayudamos de alguna

gráfica.

La figura 66 es la interpretación gráfica del problema. Es evidente que según se elija elpunto P(a,b) situado en el primer cuadrante y en la parábola y = &x2 + 4, el rectánguloPAOB será distinto y también su área. Pretendemos elegir P(a,b) de modo que la zonasombreada indicada sea la máxima posible. Nótese que la mínima superficie posible seobtiene tomando P(2,0) o P(0,4).

( Una vez entendido el problema pasamos a su planteamiento matemático. Intentaremosconvertirlo al caso de hallar los máximos de una función. Dicha función puede ser la querelacione la superficie del rectángulo con las coordenadas de P, a>0 y b>0.Veamos:De la figura 66 deducimos que S S base altura a bPAOB = = × = ×Como el punto P(a,b) está en la gráfica de f (x) = &x2 + 4, debe ser f (a) = &a2 + 4 = b

Entonces: ( )S a a a a= ⋅ − = −4 42 3

Tenemos, de este modo, definida la siguiente función de una variable (a) :

El objetivo es encontrar el valor de a que hace a S(a) lo mayor posible, es decir, encontrarel máximo (o máximos) de la función S(a) = 4a & a3.

N Una vez planteado el problema, pasamos a su resolución . Para ello obtenemos la primeraderivada de S(a) e igualamos a cero.

S (a) es una función que nos relaciona la superficie delrectángulo generado por P(a,b), con la abcisa de P.


S a a a buscamos sus

S a a

a a a aa

a

( ) &

( )

= − ←

′ = −

− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± = ± ==

= −

4

4 3

4 3 0 4 3

3

2

2 2 43

2 23

2 33

12 3

3

22 3

3

maximos

Por tanto, en a1 y a2 hay posibles extremos, pero si descartamos a2 por estar fuera delintervalo [0,2], nos queda como única posibilidad a1. A simple vista intuimos que se tratade un máximo ya que, como dijimos, el mínimo se obtiene para a =2 o a = 0, es decir, unasuperficie S(2) = S(0) = 0.No obstante, hallamos la segunda derivada:S a a

a S En a hay

′ ′ = −

= → ′ ′ = − = − < =

( )

&

6

6 4 3 02 33

2 33

2 33

2 33 maximo

Como nos piden el punto P(a,b), debemos hallar el valor de b:

b f a f= =

= −

+ = − + =( ) 2 3

32 3

3

2 43

834 4

Si queremos hallar la superficie del rectángulo:

S a b u= ⋅ = ⋅ =2 33

83

16 39

2

M Conclusión final:

Problema nº 6 .- ¿Cuánto debe medir cada uno de los lados de un triángulo isósceles de perímetro 30 cm.

que encierra la superficie máxima?Solución:; En primer lugar intentamos comprender el problema. Para ello nos ayudamos de alguna

gráfica.La superficie del triángulo es:

Sbase altura b h= =

× ×2 2

De la figura 67 podemos apreciarque si aumentamos la base b, laaltura h disminuye y viceversa.Nótese que por el Teorema dePitágoras:

( )h a b2 22

2= −

Pretendemos que la superficie S sea la mayor posible.

P es el punto pedido

S u es la s

2 33

83

16 39

2

,

&

= uperficie maxima


Además, debe apreciarse que a + a debe ser mayor que b, es decir, 2a > b, es decir, sihacemos a = 5 y b = 20, no tendríamos un triángulo, aunque a + a + b = 30

( Un vez comprendido el problema, intentamos plantearlo matemáticamente. Para elloprocuraremos construir una función que haya que maximizar. Veamos:

( ) ( )

h a h h

a b b a

h

b a b a b

a a a a a a

2 24

2 44

42

4 30 22

4 900 120 42

120 9002

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 30 30 2

= − = =

+ = = −

= = =

− + −

+ − − − − + −

; ;

;

Sustituyendo b y de h en la fórmula de la superficie:

( ) ( )S

b h a a aa

=×

=−

=− −

−

230 2

230 2 120 900

4

120 9002

Por tanto, tenemos una función que relaciona la medida del lado a con la superficie deltriángulo:

Para cada valor de a tenemos una superficie.( )

S aa a

( ) =− −30 2 120 900

4Por ejemplo, para b = 8 cm y a = 11 cm tenemos un triángulo de superficie:

S cm( ) ....11 2 420 2 2 105 4 105 40 98780308 420

42= = = ⋅ = = ′

⋅

M Una vez planteado el problema matemáticamente, pasamos a su resolución.Buscamos el máximo (o máximos) de la función (simplificamos) :

( ) ( ) ( )S a

a a a aa a( ) =

− −=

− −= − −

15 120 9002

15 2 30 2252

15 30 225

Hallamos la derivada:

S a a a aa

aa

′ = − ⋅ − + − = − −−

−−

( ) ( )( )

1 30 225 15 30 225302 30 225

15 1530 225

Igualando a cero: S´(a) = 015 1530 225

15 1530 225

30 225 0

30 225

15 15 30 225225 15 30 225450 45

10

( )

( )

( )

−−

−−

− − =

= −

− = −− = −=

=

aa

aa

a

a

a aa aa

a

Es fácil sospechar que para a = 10 se produce un máximo y no un mínimo. Hagamos unacomprobación:para a S

para a SS S

= → = − ⋅ − = ⋅ =

= → = − ⋅ − = ⋅ =

<

10 10 15 10 300 225 5 75 25 3

9 9 15 9 270 225 5 45 15 39 10

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

A la izquierda hemos resuelto la ecuación quese genera al hacer S ´(a) = 0 y obtenido comoresultado que a = 10.Por tanto, para a = 10 tenemos un posibleextremo.Para saber si se trata de un máximo o unmínimo, podemos hallar la segunda derivadade S (a) y ver el valor en a = 10, pero si estoresulta muy complicado, podemos analizar lasituación de otro modo.


Es decir, en a = 10 no puede haber un mínimo, es decir, debe haber un máximo.No obstante, hallemos la segunda derivada de S (a) :

( ) ( ) ( )( )

S aa

aa

a aa

aa

S aa a

aa a

a a

S En a hay

a

′ =−

−− − =

− − +−

=−

−

′ ′ =− − − −

−=

− − − −

− −

′ ′ =− ⋅ − ⋅

=−

< ⇒ =

−

( )( ) ( )

( )

( ) &

15 1530 225

30 22515 15 30 225

30 225450 4530 225

45 30 225 450 45

30 22545 30 225 15 450 45

30 225 30 225

1045 75 15 0

75 754575

0 10

302 30 225

maximo

Conclusión:

Problema nº 7 .-En un sistema de ejes cartesiano rectangular, una partícula sale del punto A(0,3) en línea

recta hasta tocar a un punto P(a,0) del eje de abcisas, tal que 0 #a #10 y posteriormente sedirige en línea recta hasta el punto B(10,5). Determinar el punto P(a,0) para que el recorrido dela partícula sea mínimo.Solución:; En primer lugar intentamos comprender el problema. Para ello lo expresamos

gráficamente.La partícula sale enlínea recta de A, tocaen P y se dirige, enlinea recta, a B.El recorrido que hacees la suma de lasdistancias AP y PB, esdecir:r = d (A,P) + d (P,B)siendo:r = recorridod(A,P) = distancia APd(P,B) = distancia PB

Es evidente que el recorrido será distinto según el punto P(a,0), por lo que el objetivo esencontrar el valor de a que hace que r = d (A,P) + d (P,B) sea lo menor posible.

( Una vez comprendido el problema pasamos a su planteamiento matemático. En principioparece que se trata de construir la función recorrido r(a) (que depende de a) y hallar elvalor de a que la hace mínima. Veamos:Recordemos la distancia entre dos puntos del plano

La superficie máxima se consigue con los lados a cm y b cm= =10 10es decir, un triángulo equilátero.El valor de dicha superficie esS cm cm( ) ......10 25 3 43 30127012 2= = ′


AP A P

PB

P B

( , )( , ) ( , ) ( ) ( )

( , )( , )

( , ) ( ) ( ) ( )

0 30 0 0 3 9

010 5

10 5 0 10 25

2 2 2

2 2 2

a d a a

ad a a

= + − + − = + +

= + − + − = + − +

El recorrido de la partícula será:

Observa que es una función de variable a0[0,10]r a a a( ) ( )= + + − +2 29 10 25Se trata de hallar el (o los) mínimos de la función r(a).

N Una vez planteado el problema, procedemos a su resolución:

es la derivadar aa

a

a

a

a

a

a

a′ =

++

−

− +=

++

−

− +( )

( )

( ) ( )

2

2 9

2 10

2 10 25 9

10

10 252 2 2 2

Igualando a cero y resolviendo:

[ ] [ ]

r aa

a

a

a

a a a a

a aa a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

′ =

++

−

− +=

− + + − +

+ − += ⇒ − + + − + =

− + = − − +

− + = − +

− + = − +

− +

( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

9

10

10 250

10 25 10 9

9 10 250 10 25 10 9 0

10 25 10 9

10 25 10 9

10 25 10 9

10 25

2 2

2 2

2 22 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

[ ]

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

145 75

8154

245 75

8

1

2

10 9 10 10 10

25 9 10

16 180 900 0

4 45 225 0

45 2025 36008

45 56258

45 758

3 75

15

3 75 0 10

15 0

= − + − − = −

= −

+ − =

+ − =

=− ± +

=− ±

=− ±

== = = ′

= = −

= ′ ∈ ←

= − ∉

− +

− −

( ) ( ) & ( ) ( )

( )

,

a a a Notese que a a a a y los anulamos

a a

a a

a a

aa

a

Observamos quea posible extremo

a [ ],10

Debemos hallar la segunda derivada:

( ) ( ) [ ][ ]

r aa

a

a

a

r aa a a a a a

Observamos que a es r

aa

a

a

a aa

a aa

′ ′ =+ −

++

− + −

− +

′ ′ =+

+− +

=+ +

+− + − +

∀ ∈ ′ ′

// +

/ −

/ − +

+ −+

− + − −− +

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

,

(

(

( ((

2 22 9

2

2 2 10)

2 10) 252

99

2

10) 25 10)10) 25

2 2 2 2 2

9

9

10 25

10 25

9 10 259

9 9

25

10 25 10 25

0 10

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

( )( )

: &

a

r a En a hay un

positivo positivo= + >

′ ′ > ←

9 25

1 1

0

0Por tanto minimo


( ) ( )a r a= ⇒ = + + − + = + = = = ′+15

4154

2 154

2 36916

102516

3 41 5 4149 10 25 2 41 12 80624( ) ...

Conclusión:El punto del eje de abcisas que debe tocar la partícula para que su recorrido sea mínimo es:

Hallemos el valor delrecorrido mínimo:

Por tanto, el mínimo recorrido que puede realizar la partícula para ir del punto A(0,3) a B(10,5)pasando por el eje de abcisas es:

Si probamos con otro valor distinto de a1, debemos obtener un recorrido mayor. Veamos:

a r

unidades

= ′ ⇒ ′ = ′ + + ′ − + =

= ′ + ′ = ′

3 5 3 5 3 5 9 3 5 10 25

21 25 67 25 12 8103819

2 2( ) ( )

....

P P154 0 3 75 0, ( , )

′es decir

Recorrido mínimo = r unidades unidades( ) ...3 75 2 41 12 80624′ = = ′

Aplicaciones de las derivadas - Sistema Educativo Digital · Real”, “ Gráficas de Funciones...

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