UNIDAD 10 DERIVADAS Y APLICACIONESProfesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 10: Derivadas y...

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I

Departamento de Matemáticas Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones

UNIDAD 10 DERIVADAS Y APLICACIONES

1. Tasa de variación media 2. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas 3. Reglas de derivación 4. Interpretación geométrica de la derivada 5. Rectas tangente y normal a una función ( )xfy = en un punto ( )( )afaA , 6. Derivadas laterales 7. Derivabilidad y continuidad 8. Aplicaciones de las derivadas

8.1. Máximos y mínimos relativos (extremos relativos) 8.2. Crecimiento y decrecimiento (monotonía) 8.3. Convexidad y concavidad (curvatura) 8.4. Optimización de funciones

9. Representación gráfica de funciones



3

UNIDAD 10 DERIVADAS Y APLICACIONES

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA Se define la tasa de variación media de una función ( )xfy = en un intervalo [ ]ba, como:

[ ] ( ) ( )ab

afbfbaTVM−−

=,

Si considero la recta que une ( )( ),, afaA ( )( )bfbB , , su pendiente es:

[ ]baTVMtgm ,== α

Es usual escribir [ ] [ ],,, haaba += siendo ⎪⎩

⎪⎨

⎧

→→+

→

intervalo. del Longitudhintervalo. delsuperior Extremoha

intervalo. delinferior Extremo a

Con lo cual:

[ ] ( ) ( )h

afhafhaaTVMtgm −+=+== ,α

Ejemplo: Halla la TVM de la función ( ) xxxf 22 −= en: a) Los intervalos [ ] [ ] [ ].4,1;3,1;2,1 b) El intervalo [ ].1,1 h+



4

2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Una función ( )xfy = es derivable en a, si existe el siguiente límite y es finito:

( ) ( )

axafxflím

ax −−

→

En cuyo caso al valor de este límite se le llama derivada de f en a, y se escribe ( ).af ′

( ) ( ) ( )af

axafxflím

ax′=

−−

→ (También se escribe )(a

dxdf

)

Si tomamos hax += entonces ⎩⎨⎧

→⇒→−⇒→=−

00 haxaxhax

con lo cual, la definición anterior

de derivada de una función en un punto equivale a que exista:

( ) ( ) ( )af

hafhaflím

h′=

−+→0

Ejemplo: Sea la función ( ) .32 xxxf += Calcula, usando la definición de derivada, ( ) ( )1,0 ff ′′ y ( ).3f ′

Como hemos visto en el ejemplo anterior, hay que calcular un límite para obtener la derivada de una función en cada uno de los puntos en los que se nos pida, lo cual es un trabajo molesto y engorroso. Es preferible obtener la función derivada de ( )xf , es decir ( )xf ′ , que nos permita obtener fácilmente el valor de la derivada de esa función en un punto “cualquiera” simplemente sustituyendo.

Ejemplo: Halla la función derivada de ( ) xxxf 32 += y úsala para calcular de nuevo ( ) ( )1,0 ff ′′ y ( ).3f ′



5

También se pueden calcular las derivadas sucesivas de una función: Si derivamos dos veces la función ( )xf (es decir, hacemos la derivada de la función derivada ( )xf ′ ) obtenemos la derivada segunda ( )xf ′′ ; si derivamos tres veces obtenemos la derivada tercera ( )xf ′′′ y así sucesivamente (también se escribe ...,, yyy ′′′′′′ ). Dicho de un modo más formal: Si f es una función derivable en todos los puntos de un intervalo abierto ( )ba, , entonces la función:

( )

( )xfxbaf

′ℜ→′

a

,: se llama función derivada de f .

Si a su vez f ′ es derivable en ( )ba, obtenemos su derivada ( ) ff ′′=′ ´ :

( )

( )xfxbaf

′′ℜ→′′

a

,: que se llama función derivada segunda de .f

Análogamente se pueden definir ) )...,, viv fff ′′′

Sin embargo, para derivar funciones NO es necesario hacerlo resolviendo límites como en el ejemplo anterior. Existen sencillas reglas prácticas con las que se pueden hallar fácilmente las derivadas de las funciones elementales. Veamos esas reglas.

3. REGLAS DE DERIVACIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN Suma y resta ( ) gfgf ′+′=′+ ( ) gfgf ′−′=′−

Producto y cociente ( ) gfgfgf ′⋅+⋅′=′⋅ 2g

gfgfgf ′⋅−⋅′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Producto por un número ( ) fkfk ′⋅=′⋅

Composición de funciones

( ) ( )cadena la de Regla

ffgfg ′⋅′=′o



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1. Halla la derivada de las siguientes funciones:

( ) xxf 5)1 = ( ) 27)2 xxf = ( ) 64)3 xxf =

( )21

32

43

311

73)4 234 +−+−= xxxxxf

( ) 143)5 23 +−+= xxxxf ( ) ( )xxxf 27)6 2 −=

( ) ( )( )xxxf 3452)7 −−=

( ) ( )32 453)8 +−= xxxf

( ) ( )52 372)9 −+= xxxf

( )3

2)10−

=x

xf

( )1

)11 2

2

+=

xxxf

( ) xxf =)12 ( ) 7)13 xxf =

( ) xxxf −= 3)14

( ) ( )3 26)15 += xxf ( ) xexf −=)16

( ) 52

3)17 += xxf

TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones simples Funciones compuestas

kxf =)( 0)( =′ xf xxf =)( 1)( =′ xf

xkxf ⋅=)( kxf =′ )( fkg ⋅= fkg ′⋅=′ nxxf =)( 1)( −⋅=′ nxnxf nfg = ´1 ffng n ⋅⋅=′ −

xxf =)( x

xf2

1)( =′ fg = ff

g ′⋅=′2

1

n xxf =)( n nxn

xf1

1)(−⋅

=′ n fg = ffn

gn n

′⋅

=′−

.11

xxf ln)( = x

xf 1)( =′ ( ) fxg ln= ( )ffxg′

=′

xxf alog)( = ax

xfln11)( ⋅=′ ( ) fxg alog=

affgln⋅′

=′

xexf =)( xexf =′ )( fexg =)( fexg f ′⋅=′ )( xaxf =)( aaxf x ln)( ⋅=′ faxg =)( afag f ln⋅′⋅=′

xsenxf =)( xxf cos)( =′ fsenxg =)( ( ) ffg ′⋅=′ cos xxf cos)( = xsenxf −=′ )( fxg cos)( = ( ) ffseng ′⋅−=′

xtgxf =)( xx

xtgxf 22

2 seccos

11)( ==+=′ ftgxg =)( ( ) ( ) fff

ffftgg ′⋅=′

=′⋅+=′ 22

2 seccos

1

xgxf cot)( = xecxsen

xf 22 cos1)( −=

−=′ fgg cot= ( ) ffec

fsenfg ′⋅−=′−

=′ 22 cos

xxf sec)( = xxtgxf sec)( ⋅=′ fg sec= ( ) ffftgg ′⋅⋅=′ sec

xecxf cos)( = xecxgxf coscot)( ⋅−=′ fecg cos= ( ) ffecfgg ′⋅⋅−=′ coscot

xarcsenxf =)( 21

1)(x

xf−

=′ farcseng = 21

)(f

fxg−

′=′

xxf arccos)( = 21

1)(x

xf−

−=′ fxg arccos)( =

21)(

ffxg−

′−=′

xarctgxf =)( 211)(x

xf+

=′ farctgxg =)( 21

)(f

fxg+′

=′

xgarcxf cot)( = 211)(x

xf+−

=′ fgarcg cot= 21 f

fg+

′−=′



7

( ) xexf =)18

( ) 22

)19 xexf x +=

( ) ( )xxexf x 11)20 32

+=

( )52

)21−

=xexf

x

( )1273)22

−−

=xxxf

( )x

xf 5)23 =

( ) 3ln)24 xxf = ( ) ( )15ln)25 2 −+= xxxf

( )xxxf ln)26 =

( ) xxxf ln)27 ⋅= ( ) xexf x ln)28 ⋅=

( ) ( ) ( )5372)29 2 −−= xxxf( ) xxf ln)30 = ( ) ( )3)31 2 += xsenxf

( ) xsenxf =)32 ( ) xsenxxf ⋅=)33

( )xsen

xxf =)34

( ) xxf 7cos2)35 = ( ) ( )2cos)36 xxf =

( ) ( )2)37 xtgxf =

( ) 2)38 xtgxf =

( ) senxexf x +=23)39

( ) 652

)40 −+= xxexf ( ) ( )xarcsenxf 2)41 = ( ) 2)42 xarccosxf = ( ) xearctgxf =)43

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2)44 xarcsenxf

( ) ( )xarccosxf ln)45 =

( )xsenx

senxxfcos

)46+

=

2. Halla la derivada de las siguientes funciones: ( ) ( ) )1ln(13) 23 +⋅+= xxxfa

( )47

) 5 −=

xexfb

x

( ) ( ) xexxfc 73 1) ⋅+= ( ) xxfd x ln3) ⋅= ( ) ( ) 652 )6(1) xxxxfe −⋅+=

( ) ( )2

1) 2

2

−+

=xxxff

( )( )

)1ln(52

3) 2 xx

xfg −+−

=

( )1

) 3 +=

xexfh

x

( ) 132) −⋅= xexxfi ( ) )2ln() 1 ++= − xexfj x

( ) ( )32531) −+−

= xx

xxfk

( ) ( ) )2ln(2) 22 +⋅+= xxxfl( ) xx exfm += 53)

( ) 2

ln)x

xxfn =

( ) ( ) xxxfñ cos1) 3 ⋅−=

( ) xexxxfo 154) 3 +−=

3. Calcula la derivada de las siguientes funciones (son de la forma ( ) ( ) ( )xhxgxf = ).

( ) xxxfa 2) = ( ) ( )xsenxxfb =) ( ) xxxfc cos) = ( ) ( ) xxxfd coscos) = 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

¿Qué ha ocurrido en la gráfica de ( )xfy = al tomar este límite “en la tasa de variación media”? Todas estas rectas son secantes a la función con un punto común ( )( )., afaA

Si 0→ih entonces APi → , con lo cual la recta tangente a f en ( )( )afaA , se obtiene como límite de las rectas secantes.

Pero además, la pendiente m de la recta tangente a la función f en ( )( )afaA , es:

( ) ( ) ( ) ( )afh

afhaflímtglímtgmhi

i

′=−+

===→→ 0

αααα

, es decir: ( )afm ′=

[ ] ( ) ( )1

111 ,

1 hafhafhaaTVMtgmAP

−+=+== α

[ ] ( ) ( )2

222 ,

2 hafhafhaaTVMtgmAP

−+=+== α

[ ] ( ) ( )3

333 ,

3 hafhafhaaTVMtgmAP

−+=+== α



8

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧←

afaApuntoelenfdegráficalaa

normalrectaladeEcuación

,

El resultado anterior ( )( )afmque ′= se conoce como Interpretación geométrica de la derivada y nos dice que:

( )( )⎩⎨⎧

= punto el en funciónla de

gráficala a tangente recta la de Pendiente en funcionuna de Derivada

afaAfaf

,

5. RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 5.1. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN ( )xfy = EN UN PUNTO ( )( )afa,A

La ecuación de la recta tangente en su forma punto pendiente es ( ) ( )axmafy −=− . Pero ( )afm ′= (Por la interpretación geométrica de la

derivada). Por tanto:

( ) ( ) ( )axafafy −⋅′=−

5.2. RECTA NORMAL A UNA FUNCIÓN ( )xfy = EN UN PUNTO ( )( )afa,A La ecuación de la recta normal en su forma punto pendiente es ( ) ( )axmafy −′=− .

Las rectas tangente y normal son perpendiculares entre sí. Condición de perpendicularidad:

( )afmmmm

′−=−=′⇒−=′⋅

111

Por tanto:

( ) ( ) ( )axaf

afy −′

−=−1

Ejemplo1: Calcula la función derivada de ( ) 32 23 +−= xxxf y halla:

a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas 1− y .3 b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

Ejemplo 2: Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función a) ( ) xxxf 52 −= en .1−=x b) ( ) xxf ln= en .1=x

c) ( ) xxf ln= en .ex =

6. DERIVADAS LATERALES A los siguientes límites, si existen y son finitos, se les llama:

( ) ( ) ( )→

−+=′

+→

+

hafhaflímaf

h 0Derivada por la derecha de f en .a

( ) ( ) ( )→

−+=′

−→

−

hafhaflímaf

h 0Derivada por la izquierda de f en .a

Ambos límites reciben el nombre de derivadas laterales de la función f en .a

Propiedad:

f es derivable en ⇔a Existen ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

′

′−

+

afaf , son finitas y ( ) ( )−+ ′=′ afaf

En cuyo caso, ( ) ( ) ( )−+ ′=′=′ afafaf

Ejemplo: Comprueba que la función valor absoluto ( ) xxf = , que es continua en ,0=x no es derivable en .0=x Represéntala.

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧←

afaApuntoelenfdegráficalaagentetanrectaladeEcuación

,



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Solución: ( )⎩⎨⎧

<−≥

==00

xsixxsix

xxf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−

→→→

+

→→→

−

′≠′⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==−

=−+

=′

−=−

=−

=−+

=′

+++

−−

0010000

10000

000

000 ff

hhlím

hfhflím

hfhflímf

hhlím

hfhflím

hfhflímf

hhh

hhh

Por tanto, la función no es derivable en .0=x

7. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si observas el ejemplo anterior está claro que “Una función continua en a NO tiene por qué ser derivable en a ” (podrá serlo o no). Si f es continua en a pero no derivable en ,a tendremos puntos “angulosos” (con pico) como en las dos primeras figuras, o puntos de tangente vertical como en la tercera:

Sin embargo: Propiedad: Si f es derivable en fa ⇒ es continua en a

Por tanto: Si f NO es continua en ⇒a NO puede ser derivable en a

Una función derivable tendrá una gráfica “suave” sin “puntos angulosos”. Ejemplo 1: Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+−

≤≤−+−<++

=

282122

112)

2

2

xsixxxsix

xsixxxfa ( )

⎩⎨⎧

−>+

−≤−=

2122

)2 xsix

xsixfb

( )⎩⎨⎧

≥−<−

=26321ln

)()xsixxsix

xfc

Ejemplo 2: Sea la función ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>++−

≤≤+<≤

=

410422202

2

2

xsibxxxsiaxxsix

xf

a) Calcula los valores de a y b para que f sea continua en su dominio. b) Estudia la derivabilidad de f para esos valores de a y .b

Ejemplo 3: Estudiar la continuidad y derivabilidad de esta función: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥++−

<<≤

=

323301

0)(

2 xsixxxsi

xsiexf

x

Ejemplo 4: Obtén los valores de m y n para que sea derivable la función: ( )⎩⎨⎧

>−

≤+=

1213

2 xsinxxsimx

xf

Ejemplo 5: Estudia la derivabilidad de: 3)() −= xxfa 9)() 2 −= xxfb .

Función no continua en a y, por tanto, no derivable en a

Funciones continuas en a pero no derivables en a



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8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 8.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS (EXTREMOS RELATIVOS)

Si f alcanza un extremo relativo en ax = ⇒La recta tangente (si existe, es decir, si f es derivable en a ) a f en ese punto es horizontal y tendrá pendiente cero

( ) .0=′⇒ af

Puntos críticos o singulares: son aquellos en los que ( ) 0=′ af , es decir, los “candidatos” a máximos o mínimos

relativos. Los puntos críticos se obtienen resolviendo la ecuación ( ) .0=′ xf

Propiedad: (Condición necesaria pero NO suficiente para la existencia de extremos relativos) Si f es derivable en a y tiene un extremo relativo en a ( ) 0=′⇒ af

Sin embargo, que ( ) 0=′ af NO implica que tenga un extremo relativo en a como podemos observar en la gráfica de esta función (Pero SÍ proporciona los “candidatos”).

Propiedad: Si ( ) 0=′ af entonces: ( ) aenrelativomáximountienefafSia ⇒<′′ 0) ( ) aenrelativomínimountienefafSib ⇒>′′ 0)

Ejemplo: Estudiar los extremos relativos de las funciones: a) ( ) 296 23 ++−= xxxxf b) ( ) xxxg −= 3 Solución: a) Máximo relativo en 1=x con valor ( ) ( )6,161 Mf ⇒=

Mínimo relativo en 3=x con valor ( ) ( )2,323 mf ⇒=

b) Mínimo relativo en 33=x con valor ( ) ( )9

3233

932

33 , −⇒−= mg

Máximo relativo en 33−=x con valor ( ) ( )9

3233

932

33 ,−⇒=− Mg

8.2. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO (MONOTONÍA)

Observa la gráfica adjunta de una función derivable: Si f es estrictamente creciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán⇒ sus pendientes serán positivas⇒ 0>′f en ese intervalo. Por otro lado, si 0>′f en un intervalo abierto en el que f es derivable⇒ Las pendientes de las rectas tangentes serán positivas⇒Las rectas tangentes serán estrictamente crecientes⇒ f es estrictamente creciente en ese intervalo abierto.

Análogamente, si f es estrictamente decreciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán y por tanto sus pendientes serán negativas⇒ 0<′f en ese intervalo. Por otro lado, si 0<′f en un intervalo abierto en el que f es derivable⇒ Las pendientes de las rectas tangentes serán negativas⇒Las rectas tangentes serán estrictamente decrecientes⇒ f es estrictamente decreciente en ese intervalo abierto.



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Propiedad: Sea f una función derivable en un intervalo abierto ).,( ba a) Si 0>′f en ),( ba f⇒ es estrictamente creciente en ).,( ba b) Si 0<′f en ),( ba f⇒ es estrictamente decreciente en ).,( ba c) Si 0=′f en ),( ba f⇒ es constante en ).,( ba

Para determinar los intervalos de monotonía de una función derivable así como sus extremos relativos, tendremos en cuenta el signo de la primera derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real.

En el caso de que existan puntos en los que f no es continua o no es derivable, también habrá que considerarlos al hacer el esquema anterior.

Propiedad: Si a es un punto crítico de f (es decir, ( ) 0=′ af ) y ( )( ) aenrelativomáximountienef

edecrecientestderechasuafcrecienteestizquierdasuafa

⇒<′

>′

⎭⎬⎫

.0.0)

( )( ) aenrelativomínimountienef

crecienteestderechasuafedecrecientestizquierdasuafb

⇒>′

<′

⎭⎬⎫

.0.0)

Ejemplo 1: Estudia la monotonía de las funciones: a) ( ) xxxxf 1232 23 −+= b) ( )1

2

−=

xxxg

Estudia también sus extremos relativos a partir de la información proporcionada por la monotonía. Solución: a) Estr. creciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,12, ; Estr. decreciente en ( )1,2−

Máximo relativo en 2−=x con valor ( ) ( )20,2202 −⇒=− Mf Mínimo relativo en 1=x con valor ( ) ( )7,171 −⇒−= mf

b) Estr. creciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,20, ; Estr. decreciente en ( ) ( )2,11,0 ∪ Máximo relativo en 0=x con valor ( ) ( )0,000 Mg ⇒= Mínimo relativo en 2=x con valor ( ) ( )4,242 mg ⇒=

Ejemplo 2: Sea la función ( ) .23 cbxaxxxf +++= Calcula ba, y c sabiendo que su gráfica pasa por el punto ( ),0,0A que tiene un máximo relativo en 1−=x y un mínimo relativo en .1=x

Solución: ( ) xxxfcba 30;3;0 3 −=⇒=−==

Ejemplo 3: Halla a y b para que la función ( ) 123 +++= bxaxxxf tenga un mínimo relativo en el punto ( ).15,2 −P Solución: ( ) 11212;0 3 +−=⇒−== xxxfba

Ejemplo 4: Sea la función ( ) .2 baxxxf ++= Calcula a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto ( )0,3A y que la recta tangente a la gráfica en ese punto es paralela a la recta

.52 += xy Solución: ( ) 343;4 2 +−=⇒=−= xxxfba



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8.3. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD (CURVATURA) Para determinar los intervalos de convexidad y de concavidad de una función tendremos en cuenta el signo de la segunda derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real:

En el caso de que existan puntos en los que f no es continua o no es derivable, también habrá que considerarlos al hacer el esquema anterior.

Por tanto: Propiedad: Si 0>′′f en un intervalo abierto ),( ba f⇒ es convexa en ).,( ba Si 0<′′f en un intervalo abierto ),( ba f⇒ es cóncava en ).,( ba

Además, diremos que f presenta en a un punto de inflexión si en ( )( )afa, la función pasa de ser convexa a cóncava o viceversa (la recta tangente atravesará la curva).

“Candidatos” a puntos de inflexión: son aquellos en los que ( ) 0=′′ af . Es decir, los posibles puntos de inflexión se obtienen resolviendo la ecuación ( ) .0=′′ xf El cambio de curvatura nos asegurará que, en efecto, estamos en presencia de un punto de inflexión siempre que la función sea, al menos, continua en a. También podemos aplicar la siguiente propiedad:

Propiedad: ( ) aenflexiónindepuntountienefafyafSi ⇒≠′′′=′′ 0)(0

Ejemplo 1: Estudia la curvatura y puntos de inflexión de ( ) .15126 234 +−+−= xxxxxf Solución: Convexa en ( ) ( )+∞∪∞− ,21, ; Cóncava en ( )2,1

Punto de inflexión en 1=x con valor ( ) ( )3,131 1Pf ⇒= 2=x con valor ( ) ( )7,272 2Pf ⇒=

Ejemplo 2: Estudia la monotonía y curvatura de ( ) .6 24 xxxf −= Esboza su gráfica.

Solución: Estr. creciente en ( ) ( )+∞∪− ,30,3 ;Estr. decreciente en ( ) ( ).3,03, ∪−∞−

Máximo relativo en 0=x con valor ( ) ( )0,000 Mf ⇒=

Mínimo relativo en: 3−=x con valor ( ) ( )9,393 1 −−⇒−=− mf

3=x con valor ( ) ( )9,393 2 −⇒−= mf Convexa en ( ) ( )+∞∪−∞− ,11, ; Cóncava en ( )1,1− Punto de inflexión en: 1−=x con valor ( ) ( )5,151 1 −−⇒−=− Pf

1=x con valor ( ) ( )5,151 2 −⇒−= Pf

Ejemplo 3: Sea la función ( ) .23 baxxxg ++= Calcula a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto ( ).5,2 Solución: ( ) 21621;6 23 +−=⇒=−= xxxgba

Propiedad: Si

0)()1...

...)()(

=−

=

=′′=′

anf

afaf

y .0)()≠anf

Entonces: • Si n es par

⇒ Extremo relativo en

.ax = • Si n es

impar⇒ Punto de inflexión en

.ax =



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8.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES En matemáticas y en otras disciplinas científicas se trata con frecuencia de optimizar una función (hacer máximos o mínimos unos costes, un volumen o área, unos beneficios...). Para resolverlos:

1º) Construimos la función a maximizar o minimizar y se expresa con una sola variable. 2º) Se hallan los máximos y/o mínimos de esa función. Si f es continua en un intervalo cerrado

[ ]ba, , habrá que tener en cuenta el valor que toma la función en a y .b 3º) Se interpretan los resultados rechazando los no posibles por la naturaleza del problema.

Ejemplo 1: Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que la suma del quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo. Solución: .20;24 == yx

Ejemplo 2: Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y 864 dm3 de capacidad. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que su superficie sea mínima? Solución: Lado de la base ;12 dmx = Altura .6 dmy =

Ejemplo 3: De entre todos los rectángulos de perímetro ,8cm determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. Calcula su diagonal. Solución: cmyx 2== (Un cuadrado). Diagonal .22 cm

Ejemplo 4: De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20 cm, ¿qué base tiene el de área máxima? Solución: cm10 de base.

Ejemplo 5: De todos los cilindros de 8 dm3 de volumen, ¿cuánto mide el radio y la altura del de menor superficie total? Solución: .2; 3 43 4 dmhdmr ππ ==

Ejemplo 6: Se quiere construir una ventana de forma rectangular de 1m2 de superficie. Si el precio del marco es de m/€52′ para la parte vertical y de m/€63′ para la horizontal. ¿Qué dimensiones debe tener para que el coste sea mínimo? Solución: Tramo horizontal: ;6

5 mx = Tramo vertical: .56 my =

Ejemplo 7: Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Hallar las dimensiones más convenientes para que el área encerrada sea máxima. Solución: 500m; 250m.

Ejemplo 8: Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie del papel. Solución: Ancho ;5cm Alto: .10cm

Ejemplo 9: Un jardinero tiene que hacer un jardín con forma de sector circular de 150m de perímetro. ¿Qué radio le debe dar para que su superficie sea máxima? Solución: .5.37 mr = Ten en cuenta que .2

1sec lrS tor =

9. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Para llevar a cabo la representación gráfica de una función estudiaremos los siguientes puntos:

1. Dominio de la función. 2. Puntos de corte con los ejes. (Esto nos permitirá, además, conocer el “signo de la función”). 3. Simetrías. 4. Periodicidad. 5. Continuidad, discontinuidades y asíntotas. 6. Monotonía. Extremos relativos. 7. Curvatura. Puntos de inflexión. 8. Si es necesario, cálculo de otros puntos de la gráfica construyendo una tabla de valores.

Ejemplos: Representa gráficamente las siguientes funciones:

( )1

)2

−=

xx

xfa ( ) xxxxfb 96) 23 +−= ( )1

9)2

2

−

−=

x

xxfc ( )14)

2

+−

=x

xxfd ( ) xsenxfe =)



14

Soluciones: a) b)

c) d) e)

UNIDAD 10 DERIVADAS Y APLICACIONESProfesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 10: Derivadas y...

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