TEMA 9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 2° BACH(CN)

TEMA 9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

9.1. RECTA TANGENTE.

Recta tanaente a una curva en un Dunto dado

Para calcular la recta tangente a una curva en un punto concreto, xo' tan sólo habrá

que calcular la derivada de la función en el punto (que será la pendiente de la recta tangente)

y luego imponer la condición de que la recta pase por el punto.

r:y = mx + n, donde m = f'(xo) y para calcular n hacemos Yo = f(xo)

9.2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA.

MONOTONÍA

Recordemos que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva

en ese punto. Si la pendiente es positiva (es decir, la derivada) sabremos que la recta

tangente es creciente y por tanto la curva es creciente, y si la pendiente es negativa,

entonces la función será decreciente. Paralelamente, si la pendiente es cero es porque la

recta tangente es constante, por tanto en ese punto la función no crece ni decrece, habrá un

extremo.

Sea} y,naJunción derivable en los puntos deliotervalo abierto I:

• Si f' (xo) >() para todo Xo del intervalo, entonces ..f es estrictamente creciente en r. ' , ...

• Si f'(xo/< O para todp>;o del intervalo, entonces f es estrictamente decrecien't:een t .• Si. f'(xo) = O en un punto/del intervalo, entonces Xo es candidato a seL·unextrerno,

djremosque es un pul'Ilo'singular.

Demostración: Supongamos que f'(x) = lim_f_(x_+_h)_-_f_(_x_)> O, para todoh~o h

x

contenido en un intervalo (a,b) ; tenemos que distinguir los límites

f(x +h)- f(x ) ,laterales: lim o o > O, para que este limite sea positivo, dado que, en este

h~o- h

caso, hes negativa, es necesario que f(xo +h)- f(xo) < O yeso sólo ocurre en el caso de

que f(xo+h)<f(xo)' Igualmente con el límite lateral por la derecha:

lim f(xo +h)- f(xo) >0, para que este límite sea positivo, dado que h es positiva, esh~o+ h

necesario que f(xo +h) > f(xo)' De esta forma queda demostrado quef es creciente en

todos los puntos del intervalo (a,b).

De igual forma se demuestra para los casos en que la función derivada es decreciente.

De esta forma, el estudio de la monotonía de una función se reduce al estudio del signo

de su derivada.1/5

DAVID RIVIER SANZ

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>- Ejemplo: f(x) = x2 , entonces f'(x) = 2x. Estudiando el signo:

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1-00lliiOOf'(x)=2x <O O >0

~

Luego en (- 00,0) f es decreciente; en (0,+00) f es creciente y en x = O hay un mínimo;

lo cual cuadra con el dibujo de la parábola f(x) = x2

EXTREMOS,

Para calcular los extremos no es suficiente con que la derivada valga cero en un punto,

esa es una condición necesaria pero no suficiente (de hecho, la derivada de f(x) = x3 en el O

vale O y no es un extremo). Para asegurarnos que es un extremo tendremos que ver que la

función pasa de crecer a decrecer o al contrario justo en ese punto. Además se debe dar la

condición de que la función sea continua y derivable en ese punto. La manera de calcular

extremos será con la segunda derivada.

9.3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA.

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Con la segunda derivada podemos estudiar la concavidad y la convexidad de una

función, así como sus extremos y los puntos de inflexión (que son los puntos donde la función

cambia de ser cóncava a convexa).

Sea f una funcióndos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1:

• Si f"(xo»O para todo Xo del intervalo, entonces la funciÓn es convexa

• Si f"(xoJ <O para todo xodel intervalo, entonces la función es cóncava

• Si f"( xo) = O, xoes candidato a punto de inflexión.

MÁXIMOS, MINIMOS y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Sea f una función dos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1:

es un máximo.

es un mínimo.

• Si f" (xo) = O y 1'''(XoJ *- O=::;, Xo es un punto de inflexión .

concavidad, los extremos y los puntos de•:. Ejercicios: Estudia la monotonía, la

inflexión de las siguientes funciones:

A) f(x)=x2-3x+S B) f(x)=lnx

3xE) f(x)= -- F) f(x)=x2Inx

x-S

DAVID RIVIER SANZ

C) f(x)=x4 D)f(x)=ex

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9.4. REGLA DE l r HOPITAL.

REGlADEl'HOPITAL

Si J (x) y g(x) son funciones derivables en un entorno de Xo donde g'(x) * O Y

siendo J(xo) = g(xo) = O, entonces si existe lim J:(x) se verifica queHXo g (x)

lim J(x) = lim f'(x)Hxog(x) x--Hog'(x)

Nota: Esta regla sigue siendo vá.lida cuando las funciones f(x) y g(x) admiten límites

infinitos cuando xtiendea xo(J(xo) = g(xo) = (0)

.:. Ejercicio: Calcular los siguientes límites:

a) lim senxx-->o X

e) lim GOS xX~~ Jr

2 x-~2

b) lim lnxx-->co X

f) lim--tgx-x-->oeX - GOS x

x2 -1c) lim~x-->l X

l. xg) zm­x-->oIn x

d) lim 1- GOS2 xx-->o x3

h) lim .Jx-2X-->2.J 2X -4

9.5. TEOREMAS DERIVADOS DE lA PROPIEDAD DE DERIVABILlDAD EN UN PUNTO.

TEOREMAuDE ROllE

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el abiertO (a,b)

y además f(a) = f(b) entonces existe al menos un punto a E (a,b) donde la derivada de la

función se anula, es decir J'( a) = O.

Nota: Es decir, si la función es derivable (y por lo tanto continua) y vale lo mismo en dos

puntos, entonces debe existir un punto intermedio que sea

máximo o mínimo.

~ Ejemplo:

f(x)=x2-4

f(-1) = -3;f(1) =-3f'(x) = 2x

Luego debe existir un punto en el intervalo (-1,1) donde

la derivada valga cero, y efectivamente en x = O la derivada se anula porque hay un mínimo.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe al menos un punto

a E (a,b) tal que:

J'(a) = J(b)- J( a)b-a

3/5DAVID RIVIER SANZ

II

I

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... ... :/:\

/\

o

x

-o:/

:\

/1/

//

/ //:/

'/'/-6/

Nota: Es decir, que si la función es derivable en un intervalo (y por lo tanto continua), se

verifica que existe un punto dentro del intervalo donde la recta tangente es paralela a la que

pasa por los extremos del intervalo .

)- Ejemplo:

f(x)=x2-4

f'(x) = 2x

f(2) = O;f(-l) =-3

f'(e) = f(2)- f(-l) = 0-3 = 1-1-2 -3

f' (e) = 1=> 2e = 1=> e = .!.2

9.6. APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

Función constante.

Sea f(x) continua en [a,b] yderivableen (a,b). Si f'(x)=0 para todo xE(a,b),

entonces f(x) es constante en [a,b].

Función cred.ente.

Sea f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f'(x) > O para todo x E (a,b),

entonces f (x) es creciente en [a, b].

Mínimo relativo.

Sea f(x) continua en [a,b] y derivable ..en (a,b). Si f'(xo) = Oy f"(xo) > O

entonces f(x) tiene un mínimo en xO' (Igual con máximo relativo)

9.7. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES.

Con mucha frecuencia, en la vida real, aparecen problemas físicos, geométricos,

económicos, biológicos,.", en los que se trata de optimizar una función (hacer máximo un

volumen, unos beneficios, una población; hacer mínimos unos costes o un área, etc ...).

La dificultad de estos problemas, normalmente, no estriba en optimizar una función

conocida, sino en encontrar la expresión analítica de la función que debemos optimizar. Para

resolver este tipo de problemas tendremos que:

1. Aprender la técnica de hallar los extremos de una función que viene dada

mediante su expresión analítica.

2. Ejercitarse en expresar analíticamente funciones que se describen mediante un

enunciado.

4/5DAVID RIVIER SANZ

TEMA 9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 2° BACH(CN)

Para el punto 1:

a) Si f(x) es derivable en [a,b], los máximos y los mínimos estarán entre los puntos

singulares y los extremos del intervalo. Por tanto, el procedimiento a seguir será:

• Resolver la ecuación f' (xo) = O .

• Seleccionar las raíces XI'X2'X3' •.• que estén entre a y b .

• Calcular f( a), j(xl ), ... , j(b), con estos valore veremos cuál es el máximo o el

mínimo.

b) Si existe algún punto de [a,b] en el que j(x) no sea derivable, pero si continua,

calculamos el valor de la función en ese punto, ya que en ese punto se puede

alcanzar el máximo o el mínimo.

c) Si f(x) no es continua en algún punto Xo de [a,b], estudiaremos el

comportamiento de la función en las cercanías de xo'

Para el punto 2, sólo la práctica hará que seáis capaces de plantear cualquier problema.

~ Ejemplo: Con una pieza cuadrada de 36 cm de lado queremos realizar una caja (sin

tapa). Calcula las dimensiones de la caja para que el volumen se máximo.

El volumen de una caja viene dado por:

V = ÁreaBase x Altura

tenemos que

En nuestro caso la base es un cuadrado de lado 36 - 2x , y

la altura es x. Por tanto:

V = (36 - 2x), x, luego la función que

maximizar o de la que buscamos el máximo es:

f(x)=(36-2x).x que desarrollando nos queda más

¡X

.....;rr · ·· ·· [..· ·36 -2x

36

....... !" ' : .

simplificada como j(x) = 36x - 2X2 .

A la hora de buscar el máximo tendremos que tener en

cuenta que el dominio de la función es (0,18).

Calculamos la derivada: f'(x) = 36 -4x

f'(x) = 36 -4x = O <=> x = 9 (que pertenece al dominio).

Calculamos la segunda derivada: f"(x) = -4 < O siempre, en particular para x = 9,

luego es un máximo de la función.

Calculamos j(0),j(9) y f(18) (para comprobar qué en x = 9 se alcanza el máximo

absoluto): j(O) = O, f(9) = 162 y j(18) = O.

Por tanto las dimensión es son:

18 cm de lado de la base y 9 cm de alto.9cm

5/5DAVID RIVIER SANZ

é :rE!( e le' o So ­•

Como el punto P pertenece a la circunferencia, debe verificar que:

x2 + y 2 = 100 -7 Y = "./100 - x2

Así pues, hay que maximizar 5(x) = 2x--l100 - x2 .

Área máxima

En un jardín con forma de se­micírculo de radio 10m se vaa instalar un parterre rectan­gular, uno de cuyos lados estásobre el diámetro y el opuestoa él tiene sus extremos en laparte curva.Calcula las dimensiones delparterre para que su área seamáxima.

~P(x.')

~ i x y~ '.

1, .¡, ·1la lO

Tomamos como origen de coordenadas elcentro de la circunferencia.

P(x, y) es un punto de la circunferencia.

El área del parterre es: S = 2:>..y

2 Pn,,:;biema de tiempo mínimo

? X = 5-fi2(100 - 2x-). , = 0----

Calculamos 5'(x) = -i ? ' S (x) --- x = -5-fi (no vale)100 - x-

En x = 5-fi hay, efectivamente, un máximo, ya que 5'(x) > ° si

x < 5-fi, Y 5/(x) < O si x> 5-fi.

Las dimensiones del parterre serán 1O-fi m y 5-fi m, y su área máximaserá 100 m2

El tiempo empleado es:

. -ix2+96-x , 2x 1t(x) = --- + -- -7 t(x) = - ----- --3 5 6-ix2 + 9 5

t'( x) = O -7 10x - 6 .,,¡x2 + 9 = O -7 5x = 3"'¡ Xl + 9 -7

Un nadador, A, se encuentraa 3 km de la playa enfrente deuna caseta. Desea ir a B, enla misma playa, a 6 km de lacaseta.

Sabielzdo que nada a 3 km/h yanda por la arena a 5 km/h,averigua a qué lugar debe di­rigirse a nado para llegar a Ben el menor tiempo posible .

3km

A

p 6-x B Llamamos x a la distancia de la

caseta al punto P al que debellegar a nado.

Tiene que recorrer:

AP = .,,¡x2 + 9 a 3 km/h y- t+.

PE = 6 - x a5 km/h

x = 9/4 = 2,25 km-7 25x2= 9(x1 + 9) -7 16x2 = 81 <x = -9/4 (no vale)

Comprobamos que: • si x < 2,25 t/(x) < O

• si x > 2,25 t/(x) > O

Debe dirigirse a nado a un punto que diste 2,25 km de la caseta.

El tiempo que tardará en llegar a E es:

";2,252 + 9 +t= 3

6 - 2;25 = 1,25 + 0,75 = 2 horas5

3 Regla de L'Hopital

Calculaestos límites:

c) lím (ln xy/e'x -7 +00

a) r (1 1)x z: O ln (1 + x) - x

x - sen x ( O ) 1 - eas x ( O )b) lím ) = - = fím . ) = - =

.\'~ () sen x- O.\" ~ o 2x eas x- O

12

Efectuamos la resta:-~)=oo_ooX

r x - In O + x) ( O).\' ~¡() x In (1 + x) = O = (Aplicamos la regla de L'HÓpita])

1- 1-1/0+x) (O) 1- 1/0+x)2= 1m ---------= - = un ---------

.\"~ ° In O + x) + x/O + x) O .\" ~ () l/O + x) + l/O + x)2

a) lín¡ (__ 1.\"~() In(l +x)

x -sen xsen x2

b) límX~ O

_ 1- sen x- 1m )? 7 = O.\" --7 ° 2 eas x- - 4x- sen x-

c) lím (In x)1/,,s = 00° Tomamos logaritmos:x -1 +00

_. ,'. 1 (00) l/(x In x)In 11m (In x)]/, = fím - In (In x) = - = lím -----

x ---7 +00 X -7 +00 eX 00 .,Y -7 +00 eX

1 •= lím \. = O -+ lím ([n x)l/e = eO = 1x --7 += X In x e- x --7 +=

4 Reg!!:l de l'Hopital

El límite es del tipo (0/0). Por la regla de L'H6pital:

_ eX - e-X + kx _ eX + e-X + k11m ------ = 11m ------

x ~ O x - sen x x ~ O 1 - eas x

Para poder seguir aplicando la regla, es necesario que el numerador seaigual a O en x = O, es decir: eO + eO + k = O -+ k = -2. Entonces:

Determina k para que existay seafinito:

_ eX _e-X + kxlzm -----­

X-) O x -sen xCalcula el límite para ese va­lor de k.

1- eX + e-x - 2 ( O ) 1-1m ------ = - = 1m

x ~ O 1 - eas x O x ~ ()

é): - e-xsenx (O) eX + e-x

= - = lím. = 2O x ~ ° ~Q,sx

5 Teorema de Ralle

(O, ~), podemos asegurar que existe un

Demuestra que la funciónf(x) = (1 - x2) sen x tiene unmáximo relativo en el interva-

lo (o, ;).

• .1 es continua y derivahle en todo IR.

• <ea) = C1 - O) sen O = O } .l cumple las hipótesis del• }O) = C1- 1) sen 1 = O teorema de Rolle en ea, n

Como (O, 1) está contenido en~/

e E (O, ~) tal que f'(e) = O.

Para saber si en e hay un máximo o un mínimo, utilizamos la segundaderivada:

.I/(x) = '-2x sen x + O - x2)eos x

f"(x) = (x2 - 3)sen x - 4x cos x

Si e E (O, 1): e2 - 3 < O, sen e > O,. 4e > O, eas e > O

.I"(e) = (-. +) - (+ . +) < O -+.1 tiene un máximo en x = e.

APLf 'ACID~S

'bE '-A J)e: 4l' \16 bA -•

2 . 2xs t Halla las tangentes a la curva y = -- parale-e • X - 1

las a la recta 2x + y = O.

s 14 ¡Se desea construir un depósito de latón con for­ma de cilindro de área total 54 cm2, Determina

el radio de la base y la altura del cilindro paraque el volumen sea máximo,

le- AT= 2rrRh + 2rrRJ; V= rrRJh

s6 ¡Halla los máximos, los mínimos y los puntos deinflexión de las siguientes funciones:

s8 :Estudia la concavidad, la convexidad y los pun­tos de inflexión de las siguientes funciones:

s7 i Halla los intervalos de crecimiento y de decreci­miento, y los máximos y los mínimos de las si­

guientes funciones:

s 16 1Calcula, utilizando la regla de L'Hopital, los si-

guientes límites, que son del tipo ( ~ ):a)

lím 2x3 + 1

b) límIn (eX + x3)

x -+ -1 x - 3x - 4x-+ox

c) lím

senxd) lím

aX_ bX

x-+ o 1 - eos xx-+o

x

e) lím

aretg x- xf) lím

eX - éenx

x-+o

x- senx x -+ O 1 - eos x

g) 1¡;A

In (eos 3x)h) límInO +x)

x-+O

x2 x-+OV;3

j) lím

1- eos2 (2x)

j) lím ( x - sen x )x-+O

3x2x-+ O x sen x

k) lím

1 - eos x1)

lím tg x- 8

x-+O

eX - 1 x -+ rr/2 sfc: x + 10:. ~,

518 ISea fex) = ax3 + bx2 + ex + d un polinomioque cumple fO) = O, feO) = 2 Y tiene dos ex­tremos relativos para x = 1 Y x = 2, Halla a,b, e y d,

f) y = eX (x - 1)

b) Y = x3(3x - 8)12

a) y = x3 - 6x2 + 9x

c) y = x4 - 2x3

1e)Y=x2+1

a) y =

8 - 3x x2 + 1

x(x- 2)

b)y=-, -. x2 - 1

c) y =

x3

d»)' =2x2 - 3x

x2 - 1

2-x

x2 - 1

Re) y= -.--

f) y = ,(x

. x-(x- 3)

a) y = x3 - 3x + 4

c) y = (x - 2)4

2-xe) y=--. x + 1

b) Y = x4 - 6x2

d) y = x eX

f) y = lr¡(x + 1)

520 La curva y = x3 + ax2 + bx + e corta al eje deabscisas en x = -1 Y tiene un punto de infle­xión en (2, 1). Calcula a, b y e,

522 ISea f(x) = x3 + ax2 + bx + 5. Halla a y b pa­ra que la curva y = f(x) tenga en x = 1 unpunto de inflexión con tangente horizontal.

s 12 Se desea construir una caja cerrada de base cua­

drada cuya capacidad sea 8 dm3. Averigua lasdimensiones de la caja para que su superficieexterior sea mínima.

s 13 iEntre todos los triángulos isósceles de perímetro30 cm, ¿cuál es el de área máxima?

1"- Llama 2b a la base del triángulo,

s25,

1 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva

ly = 4x3 - 2x2 - 10 en su punto de inflexión,

528 !Halla el valor de e de modo que la funciónI x!Y = ze tenga un único extremo relativo.! x + eI1 ¿Se trata de un máximo, de un mínimo o de unI punto de inflexión?,

549 Un polinomio de 3.er grado ax3 + bxz + ex + dtiene un máximo relativo en el punto x = p.Ese máximo relativo, ¿puede ser máximo abso­luto de la función? Razónalo.

1I529 ¡La curva y = x3 + axZ + px + y corta al eje de

¡abscisas en x = 1 Ytiene un punto de inflexión!en (3, 2).I1 Calcula los puntos de la curva que tengan recta

1 tangente paralela al eje Ox.

550 i a) Si es posible, dibuja la gráfica de una funcióncontinua en el intervalo [O, 4] que tenga, almenos, un máximo relativo en el punto (2, 3)y un mínimo relativo en el punto O, 4).

b) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha deser como mínimo su grado?

530

538

I,í Halla los puntos de la curva y = 3xz - 5x + 12¡en los que la recta tangente a ella pase por el

Iorigen de coordenadas.,Escribe las ecuaciones de dichas tangentes.I,

En un triángulo isósceles de bJse 12 cm Celladodesigual) y altura 10 cm, se inscribe un rectán­gulo de forma que uno de sus lados esté sobrela base del triángulo y dos de sus vértices sobre

: los hielos iguales:

a) Expresa el área, A, del rectángulo en fun­ción de la longitud de su base, x, y di cuáles el dominio de la función.

b) Halla el valor máximo de esa función.

531 ¡¿Puede existir una función f definida en el in­tervalo 1 = [O,5] continua en todos los puntosde 1, que tenga un máximo local en el puntox = 3, pero que no sea derivable en x = 3?

s;'5&j : De una función .f sabemos que fCa) = O,!.tl/Ca) = O Y f'IICa) = 5. ¿Podemos asegurar queiJ tiene máximo, mínimo o punto de inflexión¡ en x = a?

533 ¡El punto PCx, y) recorre la elipse de ecuación:? ?

x- + L = 125 9

Deduce las posiciones del punto P para las quesu distancia al punto (O, O) es máxima y tambiénaquellas para las que su distancia es mínima.

555 ¡ Si f'Ca) = O, ¿cuál de estas proposiciones escierta?: t.,

a) f tiene un máximo o un mínimo en x = a.

b).f tiene una int1exión en x = a.

c)f tiene en x = a tangente paralela al eje Ox.

, ,Q!;' Busca el máximo absoluto en lus extremus del in­

: terualo de definición,

En un cuadrado de lado 10 cm queremos apo­yar la base de un cilindro cuya área lateral es50 cmz. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro paraque su volumen sea el mayor posible?

534

535 , Dada la funcióni

i fC) 1 l'¡.' x = x + nx,

f: [1, e] -¿ IR definida por

determina cuáles de las rectas

557 i Se tiene la función:

_ {; si -2 $;x$;-l

f(x) - xZ - 3___ si -1 $; x $; O

2

Prueba que .f satisface las hipótesis del teorerriadel valor medio en [-2, O]Ycalcula el o los pun­

1 tos en los que se cumple el teorema.

tangentes a la gráfica de f tienen la máximapendiente.

536 Entre todos los triárlgulos inscritos en una semi­circunferencia de 10 cm de diámetro, ¿cuál es elde área máxima?

559 ¡La función y = x3 - 5xz + 3x - 2, ¿cumple lashipótesis del teorema del valor medio en el in­tervalo [O,4]?

En caso afirmativo, di cuál es el Xo que cumplela tesis.