CONJUNTOS DIFUSOS Aspectos generales Nomenclatura...
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1 CONJUNTOS DIFUSOS Aspectos generales Nomenclatura Estructura algebraica Operaciones algebraicas Representación del conocimiento Razonamiento difuso
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CONJUNTOS DIFUSOS
Aspectos generalesNomenclaturaEstructura algebraicaOperaciones algebraicasRepresentación del conocimientoRazonamiento difuso
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CONJUNTOS DIFUSOS
Textos Básicos– Lofti Zadeh, Fuzzy Sets, Information and
Control, vol.8, 1965– Watson, Weiss & Donnell, Fuzzy decision
analysis, IEEE Trans. Systems, Man & Cybernetics, vol.9, 1979
– Zadeh, Knowledge representation in fuzzylogic, IEEE Trans. Knowledge & Data Engineering, vol.1, 1989
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CONJUNTOS DIFUSOS
Planteamiento general…– Criterios lingüísticos para describir los objetos
del mundo– Ambigüedad
LenguajeClasificaciónTaxonomíasJerarquíasRazonamiento
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CONJUNTOS DIFUSOS
Concepto de “ser vivo”… Definición– ¿planta? ¿piedra? ¿virus?
Cuestiones subjetivas– Lo hermoso– Esto es hermoso
Contextos…Ejemplo: Alto– Sueco– Pigmeo– Niño
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CONJUNTOS DIFUSOS
Lofti Zadeh, 1965– Universo N de los números naturales
...32
}8,6,4,2{10____/
AA
AquemenoresparesnaturalesANA
∉∈=
=⊆
6
CONJUNTOS DIFUSOS
Referencial U = seres humanos vivosB ⊆ U / B = seres humanos vivos morenos y altos…¿B?
)()(1)(00)(1)(
],1,0[:)(/,_
},,1:,0{:)(/,_
AxAxxAxxAxx
UxUxUAUdifusosConjuntos
UxAxAxUxUAUordinariosConjuntos
A
A
A
A
A
∉∧∈→<<∉→=∈→=
∈∀→∃⊆
∈∀∈∉→∃⊆
µµµ
µ
µ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Criterios para definir la función µ de grado de pertenencia…
– U = personas vivas
– A ⊆ U / A = personas vivas jóvenes
– Criterio para µ¿edad?¿cómo?
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CONJUNTOS DIFUSOS
Aplicación ferroviaria del criterio– Joven → Inter-Rail– No Joven → Tarjeta oro de Renfe (3ª edad)
?65)(25/:)(¿_65)(/:0)(_25)(/:1)(
<<∀≥∀=≤∀=
xEdadxxañosxEdadxxañosxEdadxx
A
A
A
µµµ
9
CONJUNTOS DIFUSOS
Criterio lineal para µ:
00.0)(73)(20.0)(57)(45.0)(47)(
85.0)(31)(00.1)(17)(
__
]65,25[)(/:40
)(65)(
=→==→==→=
=→==→=
=
∈∀−
=
AlexAlexEdadAnaAnaEdadBlasBlasEdad
MarisaMarisaEdadJuanJuanEdad
jovenvivaPersonaA
xEdadxxEdadx
joven
joven
joven
joven
joven
A
µµµµ
µ
µ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Cuantificación lingüística (incorrecta)
– Juan es 1.00 Joven– Marisa es 0.85 Joven– Blas es 0.45 Joven– Ana es 0.20 Joven– Alex es 0.00 Joven
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CONJUNTOS DIFUSOS
Escala semántica (correcta)
EsxtebasEsx
eradamenteEsxoaEsx
pocoEsxpocomuyEsx
esNox
A
A
A
A
A
A
A
→==→<<→≤≤→<<→≤≤→<<→==
00.1)(00.1tan_00.1)(80.0
mod_80.0)(60.0lg_60.0)(40.0
_40.0)(20.0__20.0)(00.0
_00.0)(00.0
µµµµµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Traducción
JovenNo esAlexJovenEs pocoAnaJovenEs algoBlasJovenEs bastanteMarisaJovenEsJuanA ⊆ UEtiqueta(µ)x ∈ U
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CONJUNTOS DIFUSOS
Comentarios
– La zona difusa no tiene por qué ser lineal
– La escala lingüística es arbitraria
– El número de elementos de la escala es arbitrario
– Podemos definir conjuntos difusos complementarios
– Cualquier conjunto es difuminable
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CONJUNTOS DIFUSOS
Caracterización y nomenclatura de conjuntos ordinarios
– ImplícitamenteEn función del dominio: Naturales pares
– ExplícitamenteIdentificando sus elementos: {2, 4, 6, 8}
– Mediante una función booleana ∀ x ∈ U
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CONJUNTOS DIFUSOS
Caracterización y nomenclatura de conjuntos difusos
– Dado un referencial U, y un subconjunto A de ese referencial U:
UxUxdifusoAUA A ∈∀→∃↔⊂∀ ]1,0[:)(_: µ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Dado un referencial U, y sea A ⊂ U
...}10/09/08/17/06/15/04/13/02/11/0{)(
...}0)10(0)9(1)8(0)7(1)6(0)5(1)4(
0)3(1)2(0)1({)(10____
},1:,0{)(_
+++++++++++=
+=+=+=++=+=+=+=+
+=+=+==
∈∉=→
x
xquemenoresparesNaturales
AxAxxordinarioA
A
AAA
AAAA
AAAA
A
µµµµ
µµµµµµµµ
µ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Estructura algebraica– Conjunto vacío
UxxZUxUxUZ
UlreferenciaUniverso
Z
Z
∈∀=↔∅=∈∀→∃⊂
0)(]1,0[:)(/
:_
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Identidad
UxxxBAUxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BA
B
A
∈∀=↔=∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
:)()(]1,0[:)(/]1,0[:)(/
:_
µµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Complementariedad
UxxxAAUxUxUA
UlreferenciaUniverso
AA
A
∈∀−=↔=¬∈∀→∃⊂
:)(1)(´]1,0[:)(/
:_
´ µµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Inclusión
UxxxABUxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
AB
B
A
∈∀≤↔⊂∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
:)()(]1,0[:)(/]1,0[:)(/
:_
µµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Ejemplo de inclusión
6/06/0:5/05/0:4/04/13/13/1:2/02/1:1/11/1
}6/05/04/03/12/01/1{)(}6/05/04/13/12/11/1{)(
}3,1{/}4,3,2,1{/
}6,5,4,3,2,1{
==>=>=
+++++=+++++=
=⊂=⊂
=
xx
BUBAUA
U
B
A
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Unión
CBACBAdadAsociativiUxxxxBAC
UxUxUCUxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BAC
C
B
A
∪∪=∪∪∈∀=↔∪=
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
)()(::)}(),(max{)(
]1,0[:)(/]1,0[:)(/]1,0[:)(/
:_
µµµµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Intersección
CBACBAdadAsociativiUxxxxBAC
UxUxUCUxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BAC
C
B
A
∩∩=∩∩∈∀=↔∩=
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
)()(::)}(),(min{)(
]1,0[:)(/]1,0[:)(/]1,0[:)(/
:_
µµµµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Leyes de DeMorgan
UxxxxxBABA
LeyUxxxxx
BABALey
UxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BABA
BABA
B
A
∈∀¬∨¬=∧¬¬∪¬=∩¬
∈∀¬∧¬=∨¬¬∩¬=∪¬
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
:)]()([)]()([)(
ª2:)]()([)]()([
)(ª1
]1,0[:)(/]1,0[:)(/
:_
µµµµ
µµµµ
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Demostración 1ª ley de DeMorgan (1)
UxxxxBAUxxxxBA
UxUxUBUxUxUA
UreferencalUniverso
BABA
BABA
B
A
∈∀−−=→¬∩¬∈∀−=→∪¬
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
¬∩¬
∪¬
:)}(1),(1min{)(:)}(),(max{1)()(
]1,0[:)(/]1,0[:)(/
:_
)(
µµµµµµ
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Demostración 1ª ley de DeMorgan (2)
UxxxxUxxxx
UxxxUxxxx
UxxxxUxxx
extremosCasos
BBA
BBA
BA
ABA
ABA
BA
∈∀−=−−∈∀−=−
∈∀≤∈∀−=−−
∈∀−=−∈∀≥
:)(1)}(1),(1min{:)(1)}(),(max{1
:)()(:)(1)}(1),(1min{
:)(1)}(),(max{1:)()(
_
µµµµµµ
µµµµµ
µµµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Leyes distributivas
UxxxxxxxxBCACBAC
leyUxxxxxxxx
BCACBACley
UxUxUCUxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BCACBAC
BCACBAC
C
B
A
∈∀∨∧∨=∧∨∪∩∪=∩∪
∈∀∧∨∧=∨∧∩∪∩=∪∩
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
:)]()([)]()([)]()([)()()()(
_ª2:)]()([)]()([)]()([)(
)()()(_ª1
]1,0[:)(/]1,0[:)(/]1,0[:)(/
__
µµµµµµµ
µµµµµµµ
µµµ
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CONJUNTOS DIFUSOSLos conjuntos difusos no son un álgebra de Boole(1)
21)(
:)}(1),(max{)}(),(max{)(:)(1)(]1,0[:)(/
:_:_
_____
´
´´
´
≥
∈∀−==→¬∪∈∀−=→¬∈∀→∃⊂
=¬∪
∪
∪
x
UxxxxxxAAUxxxAUxUxUA
difusosConjuntosUAAordinariosConjuntos
UlreferenciaUniversoexcluidotercerodelLey
AA
AAAAAA
AA
A
µ
µµµµµµµ
µ
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CONJUNTOS DIFUSOSLos conjuntos difusos no son un álgebra de Boole(2)
21)(
:)}(1),(min{)}(),(min{)(:)(1)(]1,0[:)(/
:_:_
_____
´
´´
´
≤
∈∀−==→¬∩∈∀−=→¬∈∀→∃⊂
∅=¬∩
∩
∩
x
UxxxxxxAAUxxxAUxUxUA
difusosConjuntosAAordinariosConjuntos
UlreferenciaUniversoióncontradiccnodeLey
AA
AAAAAA
AA
A
µ
µµµµµµµ
µ
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CONJUNTOS DIFUSOSProducto de conjuntos difusos
UxxxxBAUxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BAAB
B
A
∈∀×=→×∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
:)()()(]1,0[:)(/]1,0[:)(/
__
µµµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOSRelación Producto-Intersección
BABAUxxxx
UxxxxBAUxxxxBA
UxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniversodifusosConjuntosBABAordinariosConjuntos
BAAB
BABA
BAAB
B
A
∩⊂×∈∀<
∈∀=→∩∈∀×=→×
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
∩=×
∩
:)}(),(min{)(:)}(),(min{)(
:)()()(]1,0[:)(/]1,0[:)(/
___
_
µµµµµµ
µµµµµ
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CONJUNTOS DIFUSOSSuma y suma acotada
UxxxxBAUxxxxBA
UxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BABA
BABA
B
A
∈∀+=→⊕∈∀+=→+
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
⊕
+
:)}()(,1min{)(:)()()(
]1,0[:)(/]1,0[:)(/
__
µµµµµµ
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOSDiferencia y diferencia absoluta
UxxxxBAUxxxxBA
UxUxUBUxUxUA
UlreferenciaUniverso
BABA
BABA
B
A
∈∀−=→−∈∀−=→−
∈∀→∃⊂∈∀→∃⊂
−
−
|:)()(|)(||:)()()(
]1,0[:)(/]1,0[:)(/
__
|| µµµµµµ
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOSNúcleo de un conjunto difuso
}{}1)(/{:
]1,0[:)(/__
∅≠↔==∈=∈∀→∃⊂
A
AA
A
NoNormalizadAxUxNNúcleo
UxUxUAUlreferenciaUniverso
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Relación difusa– Dado un referencial U, definimos una relación difusa
de orden “n” en U, como un conjunto difuso A en el espacio U x U x…x U (n veces), caracterizado por una función de grado de pertenencia del tipo:
UxxnxA ∈∀:),...,1(µ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Ejemplo– Referencial U = {1, 2, 3, 4}– Relación difusa de orden 2– A = {números aproximadamente iguales}
0.00.80.20.040.81.00.80.230.20.81.00.820.00.20.81.014321U1
U2
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CONJUNTOS DIFUSOS
Representación y razonamiento– Normalmente se tarda alrededor de 45´ en
llegar desde Oleiros a Santiago, por la autopista, y con tráfico ligero
– No es previsible que el paro disminuya en España, al menos de manera drástica, en los próximos meses
– La mayoría de los expertos opinan que la probabilidad de un terremoto serio en el Caurel es pequeña en un futuro inmediato
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CONJUNTOS DIFUSOS
Cuestiones importantes– Predicados difusos, cuantificadores difusos,
probabilidades difusas– El conocimiento derivado del sentido común
es léxicamente impreciso– El conocimiento derivado del sentido común
es no categórico– Las lógicas de 1er orden, o las teorías
clásicas de la probabilidad no son suficientes para representar el sentido común
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CONJUNTOS DIFUSOS
Características– En lógica difusa, el razonamiento categórico es un
caso particular del razonamiento aproximado– En lógica difusa todo es cuestión de grado– Cualquier sistema lógico puede ser difuminado– En lógica difusa el conocimiento se interpreta como
una colección de restricciones difusas que operan sobre variables
– En lógica difusa los procesos inferenciales son propagaciones de las restricciones difusas
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CONJUNTOS DIFUSOS
Implicación difusa– Si x es A Entonces y es B
VyUxyxyxVUenBABA
VyVyVBVlreferenciaUniverso
UxUxUAUlreferenciaUniverso
BABA
B
A
∈∈+−=×⊕¬≡→
∈∀→∃⊂
∈∀→∃⊂
→ ,:)}()(1,1min{),(_:
]1,0[:)(/__
]1,0[:)(/__
µµµ
µ
µ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Modus Ponens Generalizado:– Si x es A entonces y es B– x es A*– y es B*
VyUxxyxy
VBVBUAUA
ABAy
ABAVB
VB
∈∈+−=
⊂⊂⊂⊂
∩⊕¬=
:)]}()],()(1,1{min[min[sup)(
*:*:
*}]{[sup)(
**
*
µµµµ
µ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Ejemplo– Sean A ⊂ U, A* ⊂ U, B ⊂ V, B* ⊂ V– U = V = {1, 2, 3, 4}
*______
}4/2.03/6.02/0.11/0.0{)(}4/0.13/6.02/2.01/0.0{)(
}4/5.03/0.12/6.01/0.0{)(*
AesxBesyAesx
yx
x
B
A
A
→+++=+++=
+++=
µµµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Encontrar:
– ¬ A
– Evaluar ¬ A ⊕ B en U x V
– Evaluar [¬ A ⊕ B ] ∩ A* en U x V
– Encontrar la expresión que caracteriza a B*
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CONJUNTOS DIFUSOS
VUBAxA A
×⊕¬+++=→¬ ¬
:}4/5.03/0.02/4.01/0.1{)(µ
0.71.01.00.540.20.61.00.030.61.01.00.421.01.01.01.014321U
V
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CONJUNTOS DIFUSOS
VUABAxA A
×∩⊕¬+++=→
:*)(}4/13/6.02/2.01/0{)(* *µ
0.71.01.00.540.20.60.60.030.20.20.20.220.00.00.00.014321U
V
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CONJUNTOS DIFUSOS
Y el resultado final, que caracteriza al conjunto difuso B* es…
VyyVUABAyB
B
VB
∈+++=×∩⊕¬=→:}4/7.03/0.12/0.11/5.0{)(
:*}){(sup)(**
*
µµ
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CONJUNTOS DIFUSOS
Diferencias entre razonamiento (±) convencional y razonamiento difuso (1)– Modus Ponens Generalizado– Certeza
Lógica bivalente– Cierto o Falso
Sistemas multivaluados– Elemento de un conjunto finito– Un intervalo– Un álgebra de Boole
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CONJUNTOS DIFUSOS
Diferencias entre razonamiento (±) convencional y razonamiento difuso (2)– Predicados
Sistemas bivalentes– Predicados categóricos
Sistemas difusos– Predicados difusos
– ModificadoresSistemas clásicos : NOTSistemas difusos : MUY, MÁS O MENOS, BASTANTE,…
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CONJUNTOS DIFUSOS
Diferencias entre razonamiento (±) convencional y razonamiento difuso (3)– Cuantificadores
Sistemas clásicos: ∀ , ∃Sistemas difusos: pocos, bastantes, la mayoría,…
– ProbabilidadesSistemas clásicos: probabilidad numéricaSistemas difusos: etiquetas lingüísticas (plausible,…)
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CONJUNTOS DIFUSOS
Diferencias entre razonamiento (±) convencional y razonamiento difuso (4)– Posibilidades
A diferencia de lo que ocurre con los sistemas lógicos clásicos, el concepto de posibilidad en los sistemas difusos no es bivalente. Al igual que sucede con las probabilidades, las posibilidades pueden ser tratadas como variables lingüísticas que adoptan valores del tipo: casi imposible, bastante posible,…
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CONJUNTOS DIFUSOS
Modos de Razonamiento (1)– Razonamiento categórico
Utiliza declaraciones difusas, pero no emplea ni cuantificadores difusos ni probabilidades difusasEjemplo
– María es una chica delgada– María es una chica muy inteligente– _____________________________________– María es una chica delgada y muy inteligente
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CONJUNTOS DIFUSOS
Modos de Razonamiento (2)– Razonamiento Silogístico
Produce inferencias con premisas que incorporan cuantificadores difusosEjemplo
– La mayoría de los suecos son rubios– La mayoría de los suecos rubios son altos– ______________________________________– (La mayoría)2 de los suecos son rubios y altos– (La mayoría)2 es el cuadrado de (La mayoría) en
aritmética difusa
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CONJUNTOS DIFUSOS
Modos de Razonamiento (3)– Razonamiento Cualitativo
Se define como un modo de razonamiento en el cual las relaciones entrada/salida de un sistema se representan por medio de una colección de reglas difusas de tipo IF-THEN, en las que los antecedentes y los consecuentes incluyen variables lingüísticasEste tipo de razonamiento es el empleado habitualmente en las aplicaciones de la lógica difusa al análisis de sistemas y al control de procesos
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Control Difuso
Control– Cuando hablamos de control nos referimos a la regulación de
características que pueden ser físicas, mecánicas, numéricas, etc.– Ejemplos de características a controlar serían: la temperatura, la
corriente eléctrica, el fluido de gases o líquidos, medidas financieras como el nivel de caja óptimo, el tiempo de espera en un semáforo, etc.
Controlador– Un controlador es un mecanismo que lee una serie de variables de
estado de un determinado dominio, en base a estas entradas decide cómo actuar sobre el dominio modificando una serie de variables de control
– Ej. Un termostato lee la temperatura ambiente, cuando esta cae por debajo de un mínimo enciende la caldera, cuando sobrepasa un máximo apaga la caldera
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Control Difuso Partes de un controlador
Dominio
Controlador
Variables de Estado(entrada)
Variables de Control(salida)
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Control Difuso Partes de un controlador difuso– Codificación (Fuzzificación)
Se encarga de leer y codificar las variables de entrada Estas variables de entrada serán datos numéricos no difusos (crisp) que es necesario convertir a datos difusos para ser tratados por el controlador difusoPor ejemplo, si leemos que la temperatura es de 25º C esto se puede codificar como que la temperatura pertenece al conjunto “temperatura alta”, con un grado de pertenencia del 0,75.
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Control Difuso Partes de un controlador difuso– Base de conocimiento
Contiene el conocimiento asociado al dominio de la aplicación y los objetivos del controlEstá formado por un conjunto de reglas difusas de la forma:Si (X1 es A1) y (X2 es A2) y … (Xn es An) entonces (Y es B)Donde Xi son variables de estado, Y es una variable de control y los Ai y B son conjuntos difusos.Ejemplo: Si la temperatura es alta la potencia de la caldera tiene que ser baja
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Control Difuso Partes de un controlador difuso– Motor de inferencias
Es el núcleo del controlador difusoInfiere las acciones de control utilizando las reglas de la base de conocimientos y simulando el proceso de decisión humano mediante la implicación difusa y las reglas de inferencia de la lógica difusa
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Control Difuso Partes de un controlador difuso– Decodificación (Defuzzificación)
La salida de un controlador difuso es una variable difusa que esnecesario convertir en una variable concreta (crisp) del dominio de discursoEl proceso de decodificación genera una acción no difusa a partir da la acción difusa resultante del sistema de inferenciaEjemplo, el resultado puede ser: potencia de la caldera media con un grado de pertenencia del 0,25 y potencia de la caldera baja con un grado de pertenencia del 0,5. La decodificación convertirá este conjunto difuso en el valor exacto al que hay que poner la potencia de la caldera
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Control Difuso Partes de un controlador difuso
Dominio
Controlador
Variables de Estado(entrada)
Variables de Control(salida)
Codificación(Fuzzificación)
Motor de Inferencias
Decodificación(Defuzzificación)
Base de Conocimientos
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Control Difuso Implicación clásica– La implicación en lógica clásica tiene la
siguiente tabla de verdad
Ejemplo
100
111
001
110
A → BBA
1
0
1
1
Si Llueve → Hay Nubes
Si llueve y hay nubes la implicación se cumple
Si llueve y no hay nubes la implicación es falsa
Si no llueve pero hay nubes no se contradice la implicación
Si no llueve ni hay nubes no se contradice la implicación
Explicación
00
11
01
10
NubesLlueve
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Control Difuso Implicación en control difuso
– La implicación puede interpretarse como una implicación “local” y no “global” como en lógica clásica
– Quiere decir que la implicación se cumple cuando el antecedente y el precedente son ciertos
– En lógica difusa significa que el valor de verdad de la función de implicación será alto si el valor de verdad del antecendente y el consecuente es alto.
1
0
0
0
Abrir válvula → Salir gas
Si abro la válvula sale gas, la implicación se cumple
De darse esta situación no se cumpliría la implicación
Esta situación es indeterminada no se considera que se cumpla la implicación
Esta situación es indeterminada no se considera que se cumpla la implicación
Explicación
00
11
01
10
Salir gasAbrir válvula
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Control Difuso
Implicación en control difuso (cont.)– La implicación se convierte en una regla
IF A THEN B ELSE NADA– La función de implicación definida de esta forma es igual a la función de
conjunción f→(a,b) = f∧(a,b)
– Este tipo de implicación se conoce como implicación de Mamdani ya que fue el primer autor que la propuso en un trabajo de control difuso
– Para representar la conjunción puede utilizarse cualquier norma aunque lo habitual es emplear la norma estándar del mínimo
f→(a,b) = f∧(a,b) = min (a,b)
64
Control Difuso Ejemplo de implicación difusa– Modus ponens generalizado
IF x es A THEN y es Bx es A*-------------------------------
y es B*– Representación gráfica del operador de implicación de Mamdani
x
A BB*
65
Control Difuso (Ejemplo) Reglas difusas de la base de conocimientos
Rule: 1 Rule: 1
IF x is A3 IF project_funding is adequateOR y is B1 OR project_staffing is smallTHENz is C1 THEN risk is low
Rule: 2 Rule: 2
IF x is A2 IF project_funding is marginalAND y is B2 AND project_staffing is largeTHENz is C2 THEN risk is normal
Rule: 3 Rule: 3
IF x is A1 IF project_funding is inadequateTHENz is C3 THEN risk is high
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Control Difuso (Ejemplo)Codificación– Variable x1 en el referencial {A1, A2, A3}– Variable y1 en el referencial {B1. B2}
Crisp Inputy1
0.1
0.71
0 y1
B1 B2
Y
Crisp Input
0.20.5
1
0
A1 A2 A3
x1
x1 Xµ (x = A1) = 0.5µ (x = A2) = 0.2
µ (y = B1) = 0.1µ (y = B2) = 0.7
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Control Difuso (Ejemplo)Razonamiento (evaluación de reglas)
A31
0 X
1
y10 Y0.0
x1 0
0.1C1
1C2
Z
1
0 X
0.2
0
0.2 C11
C2
Z
A2
x1
Rule 3:
A11
0 X 0
1
Zx1
THEN
C1 C2
1
y1
B2
0 Y
0.7
B10.1
C3
C3
C30.5 0.5
OR(max)
AND(min)
OR THENRule 1:
AND THENRule 2:
IF x is A3 (0.0) y is B1 (0.1) z is C1 (0.1)
IF x is A2 (0.2) y is B2 (0.7) z is C2 (0.2)
IF x is A1 (0.5) z is C3 (0.5)
68
Control Difuso (Ejemplo)Razonamiento (agregación de los consecuentes de las reglas)
00.1
1C1
Cz is 1 (0.1)
C2
00.2
1
Cz is 2 (0.2)
0
0.5
1
Cz is 3 (0.5)ZZZ
0.2
Z0
∑
C30.50.1
69
Control Difuso (Ejemplo)Decodificación– Variable Z en el referencial {C1, C2, C3} se convierte a un valor
numérico
– Principal método de decodificación: Centro de Gravedad (COG) o método del centroide
Encuentra el punto en el que una línea vertical cortaría el conjunto difuso resultante en dos, cada parte con la misma “masa”
( )
( )∫
∫
µ
µ
= b
aA
b
aA
dxx
dxxx
COG
70
Control Difuso (Ejemplo)Decodificación (cont.)– El método COG implica la realización de una integral.– Puede obtenerse una aproximación razonable muestreando la
función de pertenencia y hallando el centro de gravedad según esas muestras (no es necesaria la realización de una integral)
– Ejemplo:4.67
5.05.05.05.02.02.02.02.01.01.01.05.0)100908070(2.0)60504030(1.0)20100(=
++++++++++×++++×++++×++
=COG
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 20 30 40 5010 70 80 90 10060Z
Degree ofMembership
67.4
∑
∑
=
== b
axA
b
axA
)(
)(COG
x
xx
µ
µ
71
Control Difuso (Ejemplo)Alternativas al razonamiento
– Pueden utilizarse otras normas para la conjunción y otras conormas para la disyunción
– Ejemplo: Utilización de la norma producto para representar el AND difuso
72
Control Difuso (Ejemplo)Alternativas al razonamiento (cont.)
– La utilización de la norma mínimo o producto en la definición de la implicación también da lugar a variaciones (f→ = f∧).
– Corte (implicación de Mamdani)La evaluación de la implicación se hace mediante la aplicación de la función mínimo entre el antecedente de la regla y la función de pertenencia del resultadoLa operación es poco compleja de realizar y el resultado es fácil de defuzzificarSin embargo al hacer un corte se pierde la verdadera forma del conjunto difuso
– Escalamiento (implicación de Larsen)La evaluación de la implicación se hace mediante la aplicación de la función producto entre el antecedente de la regla y la función de pertenencia del resultadoLa operación es más compleja de realizar que el mínimoPero el resultado pierde menos información ya que lo que hace es escalar la función de pertenencia del resultado para que tenga la misma forma que la original pero sin que sobrepase el valor del antecedente
73
Control Difuso (Ejemplo)Alternativas al razonamiento (cont.)– Representación gráfica del Corte y Escalamiento
Degree ofMembership1.0
0.0
0.2
Z
Degree ofMembership
Z
C2
1.0
0.0
0.2
C2
74
Links de lógica y control difusosPáginas web con herramientas y ejemplos
– FuzzyJ ToolKit for the Java(tm) Platform & FuzzyJessURL: http://www.iit.nrc.ca/IR_public/fuzzy/fuzzyJToolkit2.htmlMuestra los ejemplos de la ducha, el camión y el péndulo realizados con el FuzzyJToolkit
– Fuzzy Logic: Freeware and Shareware ToolsURL: www.emsl.pnl.gov:2080/proj/neuron/fuzzy/systems/shareware.htmlDescripción de herramientas con lógica difusa
– Fuzzy Logic: DemosURL: http://www.emsl.pnl.gov:2080/proj/neuron/fuzzy/demos.htmlColección de demos de lógica difusa
– Fuzzy Logic: The Net's Original Fuzzy Logic ArchiveURL: http://www.austinlinks.com/Fuzzy/Archivos con información sobre lógica difusa
