1

Teoría de conjuntos difusos1 Introducción2 Teoría de conjuntos difusos

2.1 Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos)2.2 Conjuntos Difusos

2.2.1 Funciones de pertenencia2.2.2 Etiquetas lingüísticas

2.3 Operaciones elementales con conjuntos difusos2.3.1 Complementario2.3.2 Intersección2.3.3 Unión

2.4 Razonamiento difuso2.4.1 Inferencia difusa2.4.2.Decodificación

1

Teoría de conjuntos difusos1 Introducción2 Teoría de conjuntos difusos

2.1 Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos)2.2 Conjuntos Difusos

2.2.1 Funciones de pertenencia2.2.2 Etiquetas lingüísticas

2.3 Operaciones elementales con conjuntos difusos2.3.1 Complementario2.3.2 Intersección2.3.3 Unión

2.4 Razonamiento difuso2.4.1 Inferencia difusa2.4.2.Decodificación

2

Introducción (I)

Necesidad de lógica/teoría de conjuntos difusa/difusosEn el mundo real existe mucho conocimiento no-perfecto, esdecir, conocimiento vago, impreciso, incierto, ambiguo,inexacto, o probabilístico por naturaleza.

El razonamiento y pensamiento humano frecuentementeconlleva información de este tipo:

• inexactitud inherente de los conceptos humanos y• razonamiento basado en experiencias similares, pero no

idénticas

Problema: Poca capacidad de expresión de la lógica clásica.Ejemplo 1. Clasificación de personas en altas o bajasEjemplo 2. Definición del término joven

2

Introducción (I)

Necesidad de lógica/teoría de conjuntos difusa/difusosEn el mundo real existe mucho conocimiento no-perfecto, esdecir, conocimiento vago, impreciso, incierto, ambiguo,inexacto, o probabilístico por naturaleza.

El razonamiento y pensamiento humano frecuentementeconlleva información de este tipo:

• inexactitud inherente de los conceptos humanos y• razonamiento basado en experiencias similares, pero no

idénticas

Problema: Poca capacidad de expresión de la lógica clásica.Ejemplo 1. Clasificación de personas en altas o bajasEjemplo 2. Definición del término joven

3

Introducción (II)Origen y éxito de los difusosArtículo publicado por Lofti Zadeh en 1.965 (9000 citas)En la actualidad es un campo de investigación muy activo

– Revistas internacionales (Fuzzy Sets and Systems, IEEETransactions on Fuzzy Systems..)

– Congresos (FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...)– Miles de aplicaciones reales:

Control de sistemas: Tráfico, vehículos, compuertas enplantas hidroeléctricas, centrales térmicas, lavadoras,metros ascensores...Predicción y optimización: Predicción de terremotos,

optimización de horarios...Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador:

Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento deescritura, reconocimiento de objetos, compensación devibraciones en cámaras, sistemas de enfoque automático...Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos,

sistemas expertos...

3

Introducción (II)Origen y éxito de los difusosArtículo publicado por Lofti Zadeh en 1.965 (9000 citas)En la actualidad es un campo de investigación muy activo

– Revistas internacionales (Fuzzy Sets and Systems, IEEETransactions on Fuzzy Systems..)

– Congresos (FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...)– Miles de aplicaciones reales:

Control de sistemas: Tráfico, vehículos, compuertas enplantas hidroeléctricas, centrales térmicas, lavadoras,metros ascensores...Predicción y optimización: Predicción de terremotos,

optimización de horarios...Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador:

Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento deescritura, reconocimiento de objetos, compensación devibraciones en cámaras, sistemas de enfoque automático...Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos,

sistemas expertos...

4

Introducción (III)

Situaciones en las que es útil la LD/TCD

� En procesos complejos, si no existe un modelo de soluciónsencillo.

� Cuando haya que introducir la experiencia de un operador“experto” que se base en conceptos imprecisos.

� Cuando ciertas partes del sistema a controlar sondesconocidas y no pueden medirse de forma fiable (conerrores posibles).

� Cuando el ajuste de una variable puede producir eldesajuste de otras.

� En general, cuando se quieran representar y operar conconceptos que tengan imprecisión o incertidumbre

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Introducción (III)

Situaciones en las que es útil la LD/TCD

� En procesos complejos, si no existe un modelo de soluciónsencillo.

� Cuando haya que introducir la experiencia de un operador“experto” que se base en conceptos imprecisos.

� Cuando ciertas partes del sistema a controlar sondesconocidas y no pueden medirse de forma fiable (conerrores posibles).

� Cuando el ajuste de una variable puede producir eldesajuste de otras.

� En general, cuando se quieran representar y operar conconceptos que tengan imprecisión o incertidumbre

5

Teoría de conjuntos difusos (I)

Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos)

Los conjuntos clásicos surgen de forma natural por la necesidad delser humano de clasificar objetos y conceptos.

Ejemplo: Productos de alimentación:– Frutas: Manzana, Pera, plátano, etc.– Verduras: Calabacín, Espinaca, ...– Carnes: ...

Formas de definirlos:– Listado de elementos– Funciones de pertenecia µA(x) =

– Dando una característica común que defina sus elementos• Dando directamente la definición:

Fruto = Producto del desarrollo del ovario de una flordespués de la fecundación.

• Como un subjconjunto de un conjunto ya definido:Frutas = Fruto comestible

∈∉

Axsi1Axsi0

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Teoría de conjuntos difusos (I)

Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos)

Los conjuntos clásicos surgen de forma natural por la necesidad delser humano de clasificar objetos y conceptos.

Ejemplo: Productos de alimentación:– Frutas: Manzana, Pera, plátano, etc.– Verduras: Calabacín, Espinaca, ...– Carnes: ...

Formas de definirlos:– Listado de elementos– Funciones de pertenecia µA(x) =

– Dando una característica común que defina sus elementos• Dando directamente la definición:

Fruto = Producto del desarrollo del ovario de una flordespués de la fecundación.

• Como un subjconjunto de un conjunto ya definido:Frutas = Fruto comestible

∈∉

Axsi1Axsi0

6

Teoría de conjuntos difusos

En los conjuntos difusos relajamos la restricción de que la función depertenencia valga ó 0 ó 1, y dejamos que tome valores en el intervalo[0,1].

A diferencia de los conjuntos nítidos, los conjuntos difusos sólo se puedendefinir dando su función de pertenencia.

Las funciones de pertenencia pueden emplearse de dos formasdiferentes:

– Para estimar grados de pertenencia a un conjuntoSi nos dicen que una persona mide 170 cm, ¿en qué grado es alta?

– Para expresar posibilidades en una situación en la que se dispone deinformación incompleta

Si nos dicen que una persona es mediana, ¿cuál será su altura?En este caso la función de pertenencia µ puede interpretarse comouna distribución de posibilidad que nos indica la preferencia sobrelos valores que una variable de valor desconocido puede tomar.

Teoría de conjuntos difusos (II)

6

Teoría de conjuntos difusos

En los conjuntos difusos relajamos la restricción de que la función depertenencia valga ó 0 ó 1, y dejamos que tome valores en el intervalo[0,1].

A diferencia de los conjuntos nítidos, los conjuntos difusos sólo se puedendefinir dando su función de pertenencia.

Las funciones de pertenencia pueden emplearse de dos formasdiferentes:

– Para estimar grados de pertenencia a un conjuntoSi nos dicen que una persona mide 170 cm, ¿en qué grado es alta?

– Para expresar posibilidades en una situación en la que se dispone deinformación incompleta

Si nos dicen que una persona es mediana, ¿cuál será su altura?En este caso la función de pertenencia µ puede interpretarse comouna distribución de posibilidad que nos indica la preferencia sobrelos valores que una variable de valor desconocido puede tomar.

Teoría de conjuntos difusos (II)

7

Teoría de conjuntos difusos: notación habitual

Si el universo es discreto: F=

Si el universo es continuo: F=

∑U

A xx /)(µ

xxu

A /)(∫µ

Ejemplo: Tirada alta del dadoF = { 0/1 + 0/2 + 0.3/3 + 0.6/4 + 0.9/5 + 1/6}

Normalmente, el resto de los valores se interpolan conrectas (por ejemplo FuzzyClips)

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Teoría de conjuntos difusos: notación habitual

Si el universo es discreto: F=

Si el universo es continuo: F=

∑U

A xx /)(µ

xxu

A /)(∫µ

Ejemplo: Tirada alta del dadoF = { 0/1 + 0/2 + 0.3/3 + 0.6/4 + 0.9/5 + 1/6}

Normalmente, el resto de los valores se interpolan conrectas (por ejemplo FuzzyClips)

8

Teoría de conjuntos difusos: definiciones útiles (I)

Variable lingüística X: noción o concepto que vamos acalificar de forma difusa.

altura, la edad, el error..Universo de discurso U: rango de valores que pueden tomar loselementos que poseen la propiedad expresada por la variablelingüística.

X = altura; U = [1.4, 2.3]Valor lingüístico: diferentes clasificaciones que efectuamossobre la variable lingüística

La variable X= Altura se clasificará en bajo, mediano yalto.

Conjunto difuso: (valor lingüístico, función de pertenencia).– Conjunto nítido: función de pertenencia en {0,1}– Conjunto difuso: función de pertenencia en [0,1]

Alfa-corte de un conjunto difuso A:Aa = {x∈U/ µA(x) ≥α}

Se dice que el alfa corte es estricto si la desigualdad es estricta

8

Teoría de conjuntos difusos: definiciones útiles (I)

Variable lingüística X: noción o concepto que vamos acalificar de forma difusa.

altura, la edad, el error..Universo de discurso U: rango de valores que pueden tomar loselementos que poseen la propiedad expresada por la variablelingüística.

X = altura; U = [1.4, 2.3]Valor lingüístico: diferentes clasificaciones que efectuamossobre la variable lingüística

La variable X= Altura se clasificará en bajo, mediano yalto.

Conjunto difuso: (valor lingüístico, función de pertenencia).– Conjunto nítido: función de pertenencia en {0,1}– Conjunto difuso: función de pertenencia en [0,1]

Alfa-corte de un conjunto difuso A:Aa = {x∈U/ µA(x) ≥α}

Se dice que el alfa corte es estricto si la desigualdad es estricta

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Teoría de conjuntos difusos: definiciones útiles (II)Soporte de un conjunto difuso A,:

Soporte(A) = { x ∈U / µA (x) > 0 }Núcleo de un conjunto difuso A:

Núcleo(A) = { x ∈U / µA (x) = 1 }Altura de un conjunto difuso A: valor más grande de su función

de pertenencia.Se dice que un conjunto difuso está normalizado si y solo si:

∃ x ∈U µA(x) = 1Punto de cruce de un conjunto difuso A: elemento(s) x de U

tales que µA(x) = 0.5Un conjunto difuso cuyo soporte es un único punto x de U y tal

que la función de pertenencia de x es 1 (es decir, el soportecoincide con el núcleo y tienen un único punto) se llama unconjunto difuso unitario (singleton).

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Teoría de conjuntos difusos: definiciones útiles (II)Soporte de un conjunto difuso A,:

Soporte(A) = { x ∈U / µA (x) > 0 }Núcleo de un conjunto difuso A:

Núcleo(A) = { x ∈U / µA (x) = 1 }Altura de un conjunto difuso A: valor más grande de su función

de pertenencia.Se dice que un conjunto difuso está normalizado si y solo si:

∃ x ∈U µA(x) = 1Punto de cruce de un conjunto difuso A: elemento(s) x de U

tales que µA(x) = 0.5Un conjunto difuso cuyo soporte es un único punto x de U y tal

que la función de pertenencia de x es 1 (es decir, el soportecoincide con el núcleo y tienen un único punto) se llama unconjunto difuso unitario (singleton).

10

Teoría de conjuntos difusos: funciones de pertenencia (I)Algunas de las funciones de pertenencia más utilizadas son:

≥

<<−−

≤

=

mxpara1

xaparaamax

axpara0

)( mxµ

1

a m

• Función GAMMA (Γ):

• Función LAMBDA o triangular

• Función L

Puede definirse simplemente como 1menos la función GAMMA

1

ma

>

≤<−−

≤<−−

≤

=

bxpara0

xmparambxb

xaparaamax

axpara0

)(b

mxµ

1

a bm

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Teoría de conjuntos difusos: funciones de pertenencia (I)Algunas de las funciones de pertenencia más utilizadas son:

≥

<<−−

≤

=

mxpara1

xaparaamax

axpara0

)( mxµ

1

a m

• Función GAMMA (Γ):

• Función LAMBDA o triangular

• Función L

Puede definirse simplemente como 1menos la función GAMMA

1

ma

>

≤<−−

≤<−−

≤

=

bxpara0

xmparambxb

xaparaamax

axpara0

)(b

mxµ

1

a bm

11

• Función PI o trapezoidal

>

≤<−−

≤<

≤<−−

≤

=µ

dxpara0

dxcparacbxd

cxbpara

bxaparaabax

axpara0

)x( 1

1

a b c d

Teoría de conjuntos difusos: funciones de pertenencia (II)

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• Función PI o trapezoidal

>

≤<−−

≤<

≤<−−

≤

=µ

dxpara0

dxcparacbxd

cxbpara

bxaparaabax

axpara0

)x( 1

1

a b c d

Teoría de conjuntos difusos: funciones de pertenencia (II)

12

Otras funciones de pertenencia (definibles en Fuzzy Clips):• Función S

• Función Π

• Función Z (opuesta de la S)

≥

≤≤+

−−−

+≤≤

−−

≤

=µ

cxpara1

cx2

capara,acax21

2caxapara,

acax2

axpara0

(x) 2

2

S

µZ(x) = 1- µS(x)

>µ≤µ

=µΠ bxpara)x(bxpara)x(

(x)Z

S

a c(a+c)/2

b-d b+db

Teoría de conjuntos difusos: funciones de pertenencia (III)

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Otras funciones de pertenencia (definibles en Fuzzy Clips):• Función S

• Función Π

• Función Z (opuesta de la S)

≥

≤≤+

−−−

+≤≤

−−

≤

=µ

cxpara1

cx2

capara,acax21

2caxapara,

acax2

axpara0

(x) 2

2

S

µZ(x) = 1- µS(x)

>µ≤µ

=µΠ bxpara)x(bxpara)x(

(x)Z

S

a c(a+c)/2

b-d b+db

Teoría de conjuntos difusos: funciones de pertenencia (III)

13

Teoría de conjuntos difusos: etiquetas lingüísticas omodificadores

• Equivalentes a los adverbios del lenguaje natural• Se utilizan para definir conjuntos difusos a partir de otros ya

existentes. Por ejemplo, viejo —> MUY viejo• Lo que se hace es componer la función de pertenencia con

alguna otra función, de forma que la función resultantetenga la forma deseada.

• Por ejemplo, función para el adverbio MUY —> f(y) = y2

0

1

viejo Muy viejo

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Teoría de conjuntos difusos: etiquetas lingüísticas omodificadores

• Equivalentes a los adverbios del lenguaje natural• Se utilizan para definir conjuntos difusos a partir de otros ya

existentes. Por ejemplo, viejo —> MUY viejo• Lo que se hace es componer la función de pertenencia con

alguna otra función, de forma que la función resultantetenga la forma deseada.

• Por ejemplo, función para el adverbio MUY —> f(y) = y2

0

1

viejo Muy viejo

14

Teoría de conjuntos difusos: modificadoresAlgunas operaciones usuales

−−≤

= −

−

casootroen)y(0.5yparay

)y(f pp

pp

1212

1

1

−−≤

=casootroen/)y(0.5ypara/y

)y(f211

2

– Concentración

– Intensificación contraste

– Dilatación

– Difuminación

– Normalizaciónf(y) = y/Altura

f(y)=yp, con p>1

f(y)=yp, con 0<p<1

0

1

0

1

0

1

0

1

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Teoría de conjuntos difusos: modificadoresAlgunas operaciones usuales

−−≤

= −

−

casootroen)y(0.5yparay

)y(f pp

pp

1212

1

1

−−≤

=casootroen/)y(0.5ypara/y

)y(f211

2

– Concentración

– Intensificación contraste

– Dilatación

– Difuminación

– Normalizaciónf(y) = y/Altura

f(y)=yp, con p>1

f(y)=yp, con 0<p<1

0

1

0

1

0

1

0

1

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Teoría de conjuntos difusos: etiquetas lingüísticas

El usuario también puede definir sus modificadores

Nombre del modificador Descripción del modificadornot 1-yvery (muy) y2

somewhat (algo) y1/3

more-or-less (más o menos) y1/2

extremely (extremadamente) y3

Existe todo un catálogo de adverbios/funciones

Por ejemplo, en Fuzzy Clips:

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Teoría de conjuntos difusos: etiquetas lingüísticas

El usuario también puede definir sus modificadores

Nombre del modificador Descripción del modificadornot 1-yvery (muy) y2

somewhat (algo) y1/3

more-or-less (más o menos) y1/2

extremely (extremadamente) y3

Existe todo un catálogo de adverbios/funciones

Por ejemplo, en Fuzzy Clips:

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Siendo c: [0,1] → [0,1]. La función c debería cumplir las siguientespropiedades

– c1. concordancia caso nítido c(1) = 0 y c(0) = 1– c2. estrictamente decreciente ∀α,β∈ [0,1] α>β ⇒ c(α) < c(β)– c3. involución ∀α∈ [0,1] c(c(α)) = α

Las funciones más utilizadas son:

ComplementarioDado un conjunto difuso A, su complemento vendrá definido por

0

1

• c(α) = 1 - α.

• Sugeno cλ(α) = (1-α)/(1-λα) λ∈ [0, 1]

0

1

))x((c)x( AA µ=µ

• Yager cw(α) = ( 1 - αw)1/w w∈ [0, ∞]

0

1

(w=2)

(λ=1/2)

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Siendo c: [0,1] → [0,1]. La función c debería cumplir las siguientespropiedades

– c1. concordancia caso nítido c(1) = 0 y c(0) = 1– c2. estrictamente decreciente ∀α,β∈ [0,1] α>β ⇒ c(α) < c(β)– c3. involución ∀α∈ [0,1] c(c(α)) = α

Las funciones más utilizadas son:

ComplementarioDado un conjunto difuso A, su complemento vendrá definido por

0

1

• c(α) = 1 - α.

• Sugeno cλ(α) = (1-α)/(1-λα) λ∈ [0, 1]

0

1

))x((c)x( AA µ=µ

• Yager cw(α) = ( 1 - αw)1/w w∈ [0, ∞]

0

1

(w=2)

(λ=1/2)

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Siendo i: [0,1]x[0,1] → [0,1]. La función i debería cumplir las siguientespropiedades:i1. concordancia caso nítido i(0,1) = i(0,0) = i (1,0) = 0; i(1,1) = 1i2. conmutatividad i(α,β) = i(β,α)i3. asociatividad i(α,i(β,γ)) = i(i(α,β),γ)i4. identidad i(α,1) = αi5. monotonía si α≤α’ β ≤ β’, entonces i(α,β) ≤ i(α’, β’)

IntersecciónDados dos conjuntos difusos A y B, su intersección vendrá definida por

µA∩B (x) = i(µΑ(x),µΒ (x))

([0,1],i) tiene estructura de semigrupo abeliano con elemento neutro.

Las funciones i que verifican esta propiedad se llaman normastriangulares (t-normas).

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Siendo i: [0,1]x[0,1] → [0,1]. La función i debería cumplir las siguientespropiedades:i1. concordancia caso nítido i(0,1) = i(0,0) = i (1,0) = 0; i(1,1) = 1i2. conmutatividad i(α,β) = i(β,α)i3. asociatividad i(α,i(β,γ)) = i(i(α,β),γ)i4. identidad i(α,1) = αi5. monotonía si α≤α’ β ≤ β’, entonces i(α,β) ≤ i(α’, β’)

IntersecciónDados dos conjuntos difusos A y B, su intersección vendrá definida por

µA∩B (x) = i(µΑ(x),µΒ (x))

([0,1],i) tiene estructura de semigrupo abeliano con elemento neutro.

Las funciones i que verifican esta propiedad se llaman normastriangulares (t-normas).

18

Operaciones con conjuntos difusos

Algunas t-normas usuales:

• t-norma del mínimo imin(α,β) = min(α,β)

0

1

• t-norma del producto i*(α,β) = αβ

0

1

0

1

• t-norma delproducto drástico

iinf (α,β) =α si β = 1β si α = 10 en otro caso

Toda t-norma verifica las siguientes desigualdades:∀α,β∈ [0,1] iinf(α,β) ≤ i(α,β) ≤ imin(α,β)

(la menor t-norma es la t-norma del producto drástico yla mayor t-norma es la norma del mínimo).

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Operaciones con conjuntos difusos

Algunas t-normas usuales:

• t-norma del mínimo imin(α,β) = min(α,β)

0

1

• t-norma del producto i*(α,β) = αβ

0

1

0

1

• t-norma delproducto drástico

iinf (α,β) =α si β = 1β si α = 10 en otro caso

Toda t-norma verifica las siguientes desigualdades:∀α,β∈ [0,1] iinf(α,β) ≤ i(α,β) ≤ imin(α,β)

(la menor t-norma es la t-norma del producto drástico yla mayor t-norma es la norma del mínimo).

19

Operaciones elementales con conjuntos difusos

Siendo u: [0,1]x[0,1] → [0,1]. La función i debería cumplir las siguientespropiedades:- u1. concordancia con el caso nítido u(0,1)=u(1,1)=u(1,0) =1; u(0,0) = 0- u2. conmutatividad u(α,β) = u(β,α)- u3. asociatividad u(α,u(β,γ)) = u(u(α,β),γ)- u4. identidad (A ∪ ∅ = A) u(α,0) = α- u5. monotonía Si α≤α’ β≤β’, entonces u(α,β)≤u(α’, β’)

UniónDados dos conjuntos difusos A y B, su unión vendrá definida por

Además, podemos pedir que se cumpla:-u6. Leyes de De Morgan u(α,β) = c(i(c(α),c(β))

i(α,β) = c(u(c(α),c(β))Las funciones i que verifican estas seis propiedad se llaman conormastriangulares (t-conormas).

µ A∪B( x) = u (µΑ(x ),µΒ( x))

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Siendo u: [0,1]x[0,1] → [0,1]. La función i debería cumplir las siguientespropiedades:- u1. concordancia con el caso nítido u(0,1)=u(1,1)=u(1,0) =1; u(0,0) = 0- u2. conmutatividad u(α,β) = u(β,α)- u3. asociatividad u(α,u(β,γ)) = u(u(α,β),γ)- u4. identidad (A ∪ ∅ = A) u(α,0) = α- u5. monotonía Si α≤α’ β≤β’, entonces u(α,β)≤u(α’, β’)

UniónDados dos conjuntos difusos A y B, su unión vendrá definida por

Además, podemos pedir que se cumpla:-u6. Leyes de De Morgan u(α,β) = c(i(c(α),c(β))

i(α,β) = c(u(c(α),c(β))Las funciones i que verifican estas seis propiedad se llaman conormastriangulares (t-conormas).

µ A∪B( x) = u (µΑ(x ),µΒ( x))

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Si consideramos como complemento la función c(u) = 1-u, las t conormascorrespondientes a las t-normas anteriores son:

• t-conorma del máximo umax(α,β) = max(α,β)

• t-norma de lasuma drástica

Toda t-conorma satisface las siguientes desigualdades:∀α,β∈[0,1] umax(α,β) ≤ u(α,β) ≤ usup(α,β)

•la menor t-conorma es la t-conorma del máximo•la mayor t-conorma es la t-conorma de la suma drástica.

0

1

• t-conorma de la suma u*(α,β) = α+β−αβ

0

1

usup (α,β) =α si β = 0β si α = 01 en otro caso

0

1

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Si consideramos como complemento la función c(u) = 1-u, las t conormascorrespondientes a las t-normas anteriores son:

• t-conorma del máximo umax(α,β) = max(α,β)

• t-norma de lasuma drástica

Toda t-conorma satisface las siguientes desigualdades:∀α,β∈[0,1] umax(α,β) ≤ u(α,β) ≤ usup(α,β)

•la menor t-conorma es la t-conorma del máximo•la mayor t-conorma es la t-conorma de la suma drástica.

0

1

• t-conorma de la suma u*(α,β) = α+β−αβ

0

1

usup (α,β) =α si β = 0β si α = 01 en otro caso

0

1

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Operaciones elementales con conjuntos difusos

Sin embargo, estas propiedades que les hemos pedido a las operacionesde unión e intersección no garantizan que se satisfagan estas otraspropiedades:

I1: Idempotencia (A ∩ A = A) i(α,α) = αI1: Distributividad (A ∩ (B ∪ C)) = ... i(α,u(β,γ)) = u(i(α,β),i(α,γ))U1 : Idempotencia (A ∪ A = A) u(α,α) = αU2 : Distributividad (A ∪ (B ∩ C)) = ... u(α,i(β,γ)) = i(u(α,β),u(α,γ))propiedades que sólo verifican la t-norma del mínimo junto con la t-conorma del máximo

Conjuntos vacío y total:– Conjunto vacío– Conjunto total

∀ x∈X µ∅ x( ) = 0∀ x∈X µX x( ) =1

Sin embargo, con esta definición no se satisfacen algunos famososprincipios de la lógica clásica, como por ejemplo:

A ∩ A = ∅A ∪ A = X

Principio de contradicciónPrincipio del tercio excluso

21

Operaciones elementales con conjuntos difusos

Sin embargo, estas propiedades que les hemos pedido a las operacionesde unión e intersección no garantizan que se satisfagan estas otraspropiedades:

I1: Idempotencia (A ∩ A = A) i(α,α) = αI1: Distributividad (A ∩ (B ∪ C)) = ... i(α,u(β,γ)) = u(i(α,β),i(α,γ))U1 : Idempotencia (A ∪ A = A) u(α,α) = αU2 : Distributividad (A ∪ (B ∩ C)) = ... u(α,i(β,γ)) = i(u(α,β),u(α,γ))propiedades que sólo verifican la t-norma del mínimo junto con la t-conorma del máximo

Conjuntos vacío y total:– Conjunto vacío– Conjunto total

∀ x∈X µ∅ x( ) = 0∀ x∈X µX x( ) =1

Sin embargo, con esta definición no se satisfacen algunos famososprincipios de la lógica clásica, como por ejemplo:

A ∩ A = ∅A ∪ A = X

Principio de contradicciónPrincipio del tercio excluso

22

Razonamiento difuso: ejemplo

REGLAS• Si la temperatura es alta y el

volumen es pequeñoentonces la presión es elevada

• Si la temperatura es baja o elvolumen es grandeentonces la presión es baja

• Si la presión es bajaentonces la entrada decombustible debe ser grande

• Si la presión es elevadaentonces la entrada decombustible debe ser pequeña

Temperatura= altaVolumen= pequeño

Temperatura = 30º

Volumen = 500 cc Entradacombustible =Conjunto?

Entradacombustible= Valor?

Difu

min

ar

Dec

odifi

car

22

Razonamiento difuso: ejemplo

REGLAS• Si la temperatura es alta y el

volumen es pequeñoentonces la presión es elevada

• Si la temperatura es baja o elvolumen es grandeentonces la presión es baja

• Si la presión es bajaentonces la entrada decombustible debe ser grande

• Si la presión es elevadaentonces la entrada decombustible debe ser pequeña

Temperatura= altaVolumen= pequeño

Temperatura = 30º

Volumen = 500 cc Entradacombustible =Conjunto?

Entradacombustible= Valor?

Difu

min

ar

Dec

odifi

car

23

Razonamiento difuso

Reglas

Inferencia

Codificador Decodificador

u ∈Up

Conjuntosdifusos entrada

v ∈VConjuntos

difusos salida

Entradanítidax ∈Up y=f(x) ∈V

Salidanítida

Funcionamiento de un sistema de control basadoen lógica difusa

23

Razonamiento difuso

Reglas

Inferencia

Codificador Decodificador

u ∈Up

Conjuntosdifusos entrada

v ∈VConjuntos

difusos salida

Entradanítidax ∈Up y=f(x) ∈V

Salidanítida

Funcionamiento de un sistema de control basadoen lógica difusa

24

Razonamiento difuso

Habrá por tanto que definir los siguientes conceptos:

– Proposiciones (simples, compuestas)– Operadores (no, y, o)– Reglas SI… ENTONCES– Codificación/Difuminación– Tratamiento entradas nítidas para una regla– Tratamiento entradas difusas para una regla– Decodificación

24

Razonamiento difuso

Habrá por tanto que definir los siguientes conceptos:

– Proposiciones (simples, compuestas)– Operadores (no, y, o)– Reglas SI… ENTONCES– Codificación/Difuminación– Tratamiento entradas nítidas para una regla– Tratamiento entradas difusas para una regla– Decodificación

25

Razonamiento difuso

Proposición difusa simple:– Proposición que asigna un valor a una variable difusa:

“Pepe es de estatura mediana”.– Tiene asociado un conjunto difuso y su función de

pertenencia.Proposición difusa compuesta:

– Agrupación de dos o más proposiciones difusas simples“la velocidad es normal” Y “el objeto está cerca”“la velocidad es alta” O “el objeto está muy cerca”“la velocidad NO es alta”

Necesidad de definir operadores difusos:– NO (¬p) µ¬A(u) = 1 - µA(u)– Y (p∩q) vendrá definida por una función de pertenencia tipo

intersección, por ejemplo µ A∩B(u,v) = min( µA(u), µB(v))– O (p∪q) vendrá definida por una función de pertenencia tipo unión,

por ejemplo µAUB(u,v) = max(µA(u), µB(v))

25

Razonamiento difuso

Proposición difusa simple:– Proposición que asigna un valor a una variable difusa:

“Pepe es de estatura mediana”.– Tiene asociado un conjunto difuso y su función de

pertenencia.Proposición difusa compuesta:

– Agrupación de dos o más proposiciones difusas simples“la velocidad es normal” Y “el objeto está cerca”“la velocidad es alta” O “el objeto está muy cerca”“la velocidad NO es alta”

Necesidad de definir operadores difusos:– NO (¬p) µ¬A(u) = 1 - µA(u)– Y (p∩q) vendrá definida por una función de pertenencia tipo

intersección, por ejemplo µ A∩B(u,v) = min( µA(u), µB(v))– O (p∪q) vendrá definida por una función de pertenencia tipo unión,

por ejemplo µAUB(u,v) = max(µA(u), µB(v))

26

Razonamiento difuso: implicaciones

El siguiente paso es definir lo que es una implicación, es decir, asignar unafunción de pertenencia a una agrupación antecedente consecuente deltipo p→→→→qEsto nos permitirá razonar con afirmaciones tales como:

SI “la velocidad es normal”ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada”

Opciones:– Teórica: Dar a la implicación el mismo significado que en la lógica

clásica.p→q ≡ ¬p∨q µp→q(u,v) = max(1-µA(u), µB(v))p→q ≡ ~(p∧(~q)) µp→q(u,v) = 1 – min[µA(u), 1-µB(v)]

– Práctica: Dar a la implicación el significado de relación causa-efecto:Implicación de Mamdani

p→q ≡ p∧q µp→q(u,v) = min( µA(u), µB(v))

(Ambas funciones dan el mismo resultado)

26

Razonamiento difuso: implicaciones

El siguiente paso es definir lo que es una implicación, es decir, asignar unafunción de pertenencia a una agrupación antecedente consecuente deltipo p→→→→qEsto nos permitirá razonar con afirmaciones tales como:

SI “la velocidad es normal”ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada”

Opciones:– Teórica: Dar a la implicación el mismo significado que en la lógica

clásica.p→q ≡ ¬p∨q µp→q(u,v) = max(1-µA(u), µB(v))p→q ≡ ~(p∧(~q)) µp→q(u,v) = 1 – min[µA(u), 1-µB(v)]

– Práctica: Dar a la implicación el significado de relación causa-efecto:Implicación de Mamdani

p→q ≡ p∧q µp→q(u,v) = min( µA(u), µB(v))

(Ambas funciones dan el mismo resultado)

27

Inferencia difusa

Caso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

Tenemos una regla difusa del tipo:

Si p ENTONCES qy un valor de entrada difuso p*

La conclusión será un hecho difuso q*, del cual queremossaber su función de pertenencia

Ejemplo:

SI la velocidad es normal,ENTONCES la fuerza de frenado es moderadap* = la velocidad es alta

27

Inferencia difusa

Caso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

Tenemos una regla difusa del tipo:

Si p ENTONCES qy un valor de entrada difuso p*

La conclusión será un hecho difuso q*, del cual queremossaber su función de pertenencia

Ejemplo:

SI la velocidad es normal,ENTONCES la fuerza de frenado es moderadap* = la velocidad es alta

28

Inferencia difusa

Caso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

Varios tipos de inferencia:

1) Inferencia tipo max-min (implicación de Mamdani):µB*(v) = min(z, µB(v))donde z = max(min(µA*(u), µA (u)))

v1

0

70 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

28

Inferencia difusa

Caso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

Varios tipos de inferencia:

1) Inferencia tipo max-min (implicación de Mamdani):µB*(v) = min(z, µB(v))donde z = max(min(µA*(u), µA (u)))

v1

0

70 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

29

Inferencia difusa

Caso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

2) Inferencia tipo max-prodµB*(v) = prod(z, µB(v))donde z = max(min(µA*(u), µA (u)))

v1

0

70 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

29

Inferencia difusa

Caso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

2) Inferencia tipo max-prodµB*(v) = prod(z, µB(v))donde z = max(min(µA*(u), µA (u)))

v1

0

70 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

30

Inferencia difusaCaso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

3) Inferencias basada en las implicaciones de la lógica:

µB*(v) = 1-min(z, 1-µB(v))v

1

0

70 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

µB*(v) = max(1-z, µB(v)) v1

070 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

z

1-z

30

Inferencia difusaCaso 1: Inferencia difusa con antecedentes difusos

3) Inferencias basada en las implicaciones de la lógica:

µB*(v) = 1-min(z, 1-µB(v))v

1

0

70 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

µB*(v) = max(1-z, µB(v)) v1

070 80 90 100 4000 4500 5000

normal

f_frenado

moderada

velocidad

alta

z

1-z

31

Inferencia difusa

Caso 2: Inferencia difusa con antecedentes nítidos

La única diferencia con el caso difuso es la forma de escogerel valor z, que en este caso se calcula simplemente comoz=µA(x)La inferencia se hace entonces con cualquiera de lasalternativas vistas en el apartado anterior.Ejercicio: calcular la fuerza de frenado si velocidad = 75 km/hcon todas las alternativas anteriores (max-min, max-prod,implicaciones lógicas).

31

Inferencia difusa

Caso 2: Inferencia difusa con antecedentes nítidos

La única diferencia con el caso difuso es la forma de escogerel valor z, que en este caso se calcula simplemente comoz=µA(x)La inferencia se hace entonces con cualquiera de lasalternativas vistas en el apartado anterior.Ejercicio: calcular la fuerza de frenado si velocidad = 75 km/hcon todas las alternativas anteriores (max-min, max-prod,implicaciones lógicas).

32

Decodificación

Una vez llevado a cabo el proceso de razonamiento difuso, es necesariodotar al sistema de la capacidad de tomar decisiones.

¿ Qué fuerza de frenado aplicar si fuerza de frenado = moderada*?Para ello se utilizan las llamadas técnicas de decodificación:• El valor máximo (es decir, el más posible).

Si se producen empates puede seleccionarse el primer valorencontrado o la media (media de máximos, MOM en FuzzyCLIPS)Ejemplo:

Primer valor máximo: 4250MOM: 4500

4000 4500 5000f_frenado

moderada

32

Decodificación

Una vez llevado a cabo el proceso de razonamiento difuso, es necesariodotar al sistema de la capacidad de tomar decisiones.

¿ Qué fuerza de frenado aplicar si fuerza de frenado = moderada*?Para ello se utilizan las llamadas técnicas de decodificación:• El valor máximo (es decir, el más posible).

Si se producen empates puede seleccionarse el primer valorencontrado o la media (media de máximos, MOM en FuzzyCLIPS)Ejemplo:

Primer valor máximo: 4250MOM: 4500

4000 4500 5000f_frenado

moderada

33

• El centroide difuso (o centro de gravedad, COG enFuzzyCLIPS), definido como:

∑

∑

∈

∈=

XxA

XxA

centroide x

xxy

)(

)(

µ

µ

Si varias reglas tienen el mismo consecuente, para acumularla evidencia se unen los conjuntos resultantes y después sedecodifica el resultado.

4000 4500 5000f_frenado

moderada

450011

0*50001*47501*42500*4000 =+

+++

Ejemplo:

Decodificación

33

• El centroide difuso (o centro de gravedad, COG enFuzzyCLIPS), definido como:

∑

∑

∈

∈=

XxA

XxA

centroide x

xxy

)(

)(

µ

µ

Si varias reglas tienen el mismo consecuente, para acumularla evidencia se unen los conjuntos resultantes y después sedecodifica el resultado.

4000 4500 5000f_frenado

moderada

450011

0*50001*47501*42500*4000 =+

+++

Ejemplo:

Decodificación

34

En resumen

• La lógica difusa se concibió originalmente como un método mejor paramanejar y almacenar información imprecisa

• Ha demostrado ser una excelente alternativa para sistemas de control, yaque imita a la lógica de control humana

• Se pede incluir en cualquier sistema, desde dispositivos pequeños a sistemasde control complejos

• Usa un lenguaje impreciso pero muy descriptivo para operar con datos deentrada de una forma parecida a la usa un operador humano

• Es robusta y no demasiado dependiente de los datos de entrada• Incluso las primeras versiones funcionan bastante bien, con escasa

necesidad de ajustes

34

En resumen

• La lógica difusa se concibió originalmente como un método mejor paramanejar y almacenar información imprecisa

• Ha demostrado ser una excelente alternativa para sistemas de control, yaque imita a la lógica de control humana

• Se pede incluir en cualquier sistema, desde dispositivos pequeños a sistemasde control complejos

• Usa un lenguaje impreciso pero muy descriptivo para operar con datos deentrada de una forma parecida a la usa un operador humano

• Es robusta y no demasiado dependiente de los datos de entrada• Incluso las primeras versiones funcionan bastante bien, con escasa

necesidad de ajustes