Teoría de Conjuntos

5/26/2018 Teor a de Conjuntos

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Escuela de Diseo Grfico Matemtica

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TEORA DE CONJUNTOS

La idea o concepto de conjunto es muy antigua e intuitiva por tanto podemos decir que un conjunto es

un grupo o coleccin de objetos bien definidos de tal forma que se puede afirmar con certeza si

cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupacin.

Podemos ejemplificar un conjunto de la siguiente forma: los miembros de una familia, una coleccin de

objetos, un equipo de ftbol, una plantilla o un rebao de ovejas, los pasajeros de un autobs etc.

Los conjuntos se designan por letras maysculas (A, B, C,Z) Los elementos con las letras minsculas (a, b, c,z), nmeros (1, 2, 3, 4,). El contenido de los conjuntos se escribe dentro de los signos de agrupacin como son las llaves { }.

Cada uno de los objetos denominados elementos se separan por medio de una coma.

Ejemplos:

A= {Lus, Jos, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto, Fausto}

B= {1, 2, 3, 4, 5, }

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA (,)Los objetos que forman parte del conjunto se denominan elementos. Si un elemento forma parte de un

conjunto se dice que el elemento pertenece () al conjunto. Si el elemento no forma parte delconjunto, se dice que no pertenece () al conjunto. Es decir:

Si x es un elemento del conjunto A, se escribe x A que se lee x pertenece a A o x eselemento de A.

Si x no es elemento del conjunto A, se denota x A, que se lee x no pertenece a A o no eselemento de A

FORMAS DE DETERMINAR UN CONJUNTO

Para determinar un conjunto contamos con dos formas, por extensin y por comprensin.

Decimos que un conjunto est definido por compresin, si sus elementos se describen a travs de

propiedades que tienen en comn.

Un conjunto est definido por extensin, si se enumeran sus elementos.


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Ejemplo:

A = {x / x es un nmero obtenido al lanzar un dado corriente} es un conjunto definido por comprensin

ya que sus elementos x se describen a travs de la propiedad es un nmero obtenido al lanzar un

dado corriente. Esa expresin se lee: A es el conjunto formado por todos aquellos nmeros que se

obtengan al lanzar un dado.

El conjunto A expresado por extensin, es A = {1,2,3,4,5,6}.

Ejemplo:Analiza con detenimiento cada uno de los conjuntos siguientes

Por comprensin Lectura Por extensin

B = {x / x N, x | 6 }B es el conjunto de todos los nmeros naturales que sean

divisores de 6B = {1,2,3,6 }

C = { x / x N, 6 | x, x 12}

C es el conjunto de los nmeros naturales divisibles por 6 que

sean menores o iguales que 12, o bien, C es el conjunto de

los mltiplos de 6 que sean menores o iguales que 12

C = {6, 12 }

D = { x R / x23 x = 0}D es el conjunto de los nmeros reales que sean races de la

ecuacin x 2 3 x = 0 D = {0,3}

E = { x N / x = 2n, nZ }

E es el conjunto de los nmeros naturales que se obtengan

de multiplicar 2 por un nmero entero , o bien, E es el

conjunto de los nmeros naturales que sean mltiplos de 2

E = {2,4,6,...}

F = { x R / x2= x}F es el conjunto de todos los nmeros reales que coincidan

con su cuadradoF = {0,1}

Ejercicios propuestos

A. Escriba los siguientes conjuntos por comprensin y por extensin.1) El conjunto F, formado por los nombres de los colores de la bandera del Ecuador.2) El conjunto G, formado por los nombres de los dedos de la mano del cuerpo humano.3) El conjunto H, formado por los nombres de los tomos que intervienen en la molcula del agua.4) El conjunto I, formado por las estaciones del ao.5) El conjunto de los nmeros enteros que cumplen la desigualdad 7 x < 2

B. Escribe cmo leeras cada uno de los conjuntos dados a continuacin, y exprsalos por extensin:1) A = {x / x es una vocal del abecedario castellano}2) B = {x / x es una letra de la palabra PERIDICO}


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3) C = { x / x N, x < 10, x es un nmero primo}4) D = {x N / x = 2n + 1, n Z}5) E = {x Z / x = 3n, n Z}6) F = {x R / x = x }7) G = { y R / y = x, x2 3 x = 0}8) H = {x / x es el nombre de la capital de una provincia de Chimborazo}9) I = {x / x es el nombre de un continente de la Tierra}10)J = {x / x es el nombre de un color de la bandera de Riobamba}11) K = {x / x es el nombre de un dedo de la mano del cuerpo humano}12) L = {x / x es el smbolo de un tomo de la molcula del cido sulfrico}

CLASIFICACIN DE LOS CONJUNTOS

La clasificacin de los conjuntos est fundamentada en el anlisis de sus elementos o miembros, por

ejemplo si no tiene miembros, el conjunto es vaco, si sus miembros son innumerables infinito, etc.

Las clases de conjuntos son:

Conjunto finito Conjunto infinito Conjunto unitario Conjunto vaco

Conjunto universal o referencial Conjuntos homogneos Conjuntos heterogneos

Conjunto Finito:

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar.

Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensin

es:

A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}

Conjunto Infinito:

Es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunvoca con ningn conjunto de los

nmeros Naturales.

Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre debern

determinarse por comprensin; por el ejemplo:

B = {x/x son las estrellas del universo}


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Conjunto Unitario:

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Ejemplo:

C = {luna}

Conjunto Vaco:

Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes, ejemplos:

D = {x/xN; x+3=0} D = { }

Se considera el conjunto vaco como subconjunto de cualquier conjunto y se lo denota como D={ } o

D=.

Conjunto Universal o Referencial:

Se llama as al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen

parte de la caracterizacin.

Por ejemplo

Dados los conjuntos A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = { 6, 7, 8, 9}, el conjunto universal o referencial

es: U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Conjuntos homogneosCuando sus miembros o elementos que lo componen, pertenecen al mismo tipo o gnero. Por ejemplo

un conjunto compuesto por letras nicamente, o por nmeros, etc.

A = {a, l, m, p, r }

El conjunto es homogneo pues todos sus miembros son letras.

Conjuntos heterogneos

Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de diferentes tipos, clases, gneros, etc.

B = {1, a, prado, rojo}

DIAGRAMAS DE VENN

Los Diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemtica especialmente en la teora

de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de cosas elementos en

conjuntos, representando cada conjunto mediante figuras planas. El rectngulo es una de las figuras

planas usadas especialmente para la representacin del conjunto universo.


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A. Escriba 5 ejemplos de cada uno de los conjuntos mencionados en la clasificacin.B. Identifique que clase de conjuntos son:

1) = / ; 4 = 02)

= { / 2 ; 6}

3) = / ; 2 < 64) = / ; 6 = 45) = / ; 4 = 0

6) = / ; 67)

= / ; 2 < 68) = / ; 6 = 4

9) = 3,7,27,3310) = 1,4,,,5

RELACIN ENTRE CONJUNTOS

Conjuntos equivalentes

Corresponde a los conjuntos con el mismo nmero cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad

de elementos. Por ejemplo:

A = {a, b, c, d} B = {1, a, I, alpha} Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes

Conjuntos iguales

Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales:

A = { 2, 4, 6, 8, 10}

B = { 4, 10, 2, 8, 6}

A y B son iguales porque contienen los mismos elementos. Es bueno anotar que en un conjunto no

importa el orden en que se ubiquen, por eso el conjunto B es igual que el A

Conjuntos disyuntos o disjuntos

Son aquellos conjuntos que al compararlos ninguno de sus elementos

son comunes. Grficamente la interseccin de dos crculos que

representa a cada uno de los conjuntos no existe.Por ejemplo los conjuntos B = {2, 3, 4} y C = {6, 7, 8, 9} son conjuntos

disyuntos pues no tienen ningn elemento en comn y su representacin grfica sera.


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Conjuntos intersecantes

Son aquellos conjuntos que al compararlos algunos de sus elementos son

comunes. Grficamente la existe interseccin de los crculos que

representa a cada uno de los conjuntos.

Por ejemplo los conjuntos B = {2, 3, 4} y C = {3, 6, 9} son conjuntos

intersecantes pues tienen algn elemento en comn y su representacin grfica sera.

Contenencia o Inclusin

Esta relacin es recproca la relacin de contenencia, se dice que un conjunto est incluido en otro

cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto, en este caso de define cuando

un conjunto es subconjunto de otro. La simbologa que nos permite representar a un conjunto incluido

en otro es:

se lee Contiene a

se lee Esta contenido

Por ejemplo sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10} y B = { 4, 8} puesto que

todos los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A entonces

decimos que:

B A y se lee el conjunto B est incluido en el conjunto A oA B y se lee el conjunto A contiene al conjunto B. Grficamente

observamos que:

Ejemplo:

A. Observe la grfica, determine el tipo de relacin entre los conjuntos y escriba los elementos. A es intersecante aB

B es intersecante aC A es intersecante aC A esta contenido enU A U B est contenido enU B U C est contenido enU C U

Los elementos del conjunto A=1, 2, 4, 6B=2, 3, 4, 8

C=2, 5, 6, 8 yU=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9


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A. Determine de las siguientes expresiones cuales son verdaderas.1) A = 2)

B=0

3) C=4)

D=

B. Sean los conjuntos A=1,2,1,2, 3,4 B=1,2 C=2,1 D=3,4 E=1,2 F=3,4G=2, determine cul de los tems son verdaderos.

1) D A2) B A3) G C

4) F A5) D A6) G E

7) B C8) C A9) C

10)F A11) A12) C A

C. Observe la grfica, determine el tipo de relacin de cada uno de los conjuntos y escriba loselementos de cada conjunto.

1)

2)

3)

4)

D. Dadas las siguientes condiciones represntelas a travs de una sola grfica1) A intersecante aB ; B disjuntoA ; C A2) B A ; C A ; B disjuntoC3) D A ; B C ; A disjuntoB ; D disjuntoC4) A intersecante aB ; C A y C B5) A intersecante aB ; C intersecante aB; A disjuntoC; D B y D disjunto de A y C

E. Dados los conjuntos siguientes, analice la relacin entre cada uno de ellos y represntelos a travsde una sola grfica.

1) = / ; 1 = 0; = / 4; 4 < 10 =/ ; 2


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OPERACIONES

Unin

Dados los conjuntos cualesquiera A y B llamamos unin de A y B al conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B.

Simblicamente: A U B = { x / x A v xB}

Grficamente:

Grfi ca de la Unin Operacin en forma simbli ca Tipo de relacin entre los conjuntos

AB A es intersecante a B

AB A es disjunto de B

AB BA

Interseccin:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos interseccin de A y B al conjunto formado por

todos los elementos que pertenecen al conjunto A y pertenecen tambin al conjunto B.

Simblicamente: A B = {x/ xA xB}

Grficamente

Grfi ca de la I nterseccin Operacin en forma simbli ca Tipo de relacin entre los conjuntos


AB A es disjunto de B


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AB BA

Diferencia:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos diferencia de A menos B al con junto formado

por los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.

Simblicamente: A-B = {x/ xA xB}

Grficamente

Grfica de la dif erencia Operacin en forma simbli ca Tipo de relacin entre los conjuntos

A-B A es intersecante a B

B-A A es intersecante a B

A-B A es disjunto de B

B-A A es disjunto de B

A-B BA

B-A AB


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Complemento:

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos

los elementos del conjunto universal que no estn en el conjunto A y se denota como .Tambin podemos encontrar algunas otras notaciones para el complemento del conjunto A: ; A';

Simblicamente: AC= {x/ xU xB}

Grficamente

Diferencia Simtrica

La diferencia simtrica entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que se simboliza como AB, cuyos

elementos son todos los elementos de la unin de los conjuntos (A-B) y (B-A).

Simblicamente: AB = {x/ x(A-B) (B-A)}

Grficamente

Grfica de la dif erencia simtr ica Operacin en forma simbli ca Ti po de relacin entre los conjun tos


A

B A es disjunto de B

AB BA


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Leyes de algebra de Conjuntos

1. Asociatividad: C C) (AC = AC)

2. Conmutatividad: AB = BA

3. Distributividad: AC C) AC) = (C)

4. Absorcin: A A A

5. Idempotencia: A B

6. Identidad: U A AU U A=

7. Complemento: Ac U Ac = (Ac)c= A U= = U

8. Ley de Morgan: (AB)c= Acc (Ac= Acc A B = Ac

Algunas propiedades ms

9. A AB10. AB A11. A B A B


A. Demuestre grficamente las leyes del algebra de conjuntos.B. Hallar en forma analtica y grfica AB ; AB ; (A-B)(AB); (AB)-(AB) donde A y B son los

conjuntos que a continuacin se indican:

1) A = 1,2,3,4,5,6 B = 3,4,5,62) = / 2 = /|| > 33) = / = 5 = / + 2 = 4) = / + 5 + 2 = 0 = { / 2 1 7 + 5 = 0}

C. Dados los conjuntos U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 } A = { 4, 8, 10 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 }C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 } E = { 12, 13, 14, 15 }; realice las operaciones que se indican a


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continuacin en forma analtica y grfica.

1. A B 2. BAC CC

3. B C 4. CCAB

5. BCA 6. C CA B A B 7. A C 8. ( A D )

9. (D E) A 10. E D

11. B E 12. (A B)

13. DAB 14. B E

15. BCA 16. ( E C )

17. (D E) ))(( DAB 18.A

19. ACCBBA 20.B

21. A B B 22. ( C D )

23. )( EDCBA 24. ( B C)

25. A B A B A B 26. C CA B A B B A

27. A B B A 28. ( ) ' ' ' ' 'A B C A B C

29. ( ) ( ') ( ')A B C C A C B 30. A B C 31. = 32. ( ) ( )B C A B C


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33. 34. ( ' ' ') ' ( ') ( ')A B C A C B C

35.( ) 36. CABC 37. DEB )( 38. BAC

39. )())(( ECDAB 40. CCBA

D. Sombrea en cada uno de los diagramas la solucin que satisfaga a la operacin solicitada.

S (R T) L KC

( A B ) C ( H G ) I

H IC ( H G ) I

E. Observe el grfico y escriba la operacin sombreada.


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INTERPRETACIN DE LAS REGIONES DE UN DIAGRAMA DE VENN

Es importante identificar e interpretar a travs del lenguaje comn las regiones de un diagrama de Venn,

puesto que nos permitir una mejor comprensin para la solucin de problema de aplicacin.Grfica Traduccin

Elementos del conjunto A


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Elementos del conjunto C

Elementos del conjunto A y B

Elementos del conjunto B y C

Elementos solo del conjunto A y B

Elementos solo del conjunto B y C

Elementos del conjunto A, B y C


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Elementos del conjunto A pero no de C

Elementos del conjunto B pero no de C

Elementos del conjunto A o C pero no de B

Elementos del conjunto B o C pero no de A

Elementos del conjunto A o C


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Elementos que no pertenece al conjunto A

Elementos solo del conjunto A


A. Resolver1) En una encuesta realizadas a mujeres casadas se obtuvieron los siguientes resultados: 150

mujeres vean pelculas romnticas, 190 mujeres lean novelas de misterios, 160 mujeres

escuchaban msica para meditar y un grupo mujeres preferan ver telenovelas, adems de

estos datos algunas de las damas anexaron lo siguiente: 90 mujeres preferan ver pelculas

romnticas y leer novelas de misterio, 75 mujeres disfrutaban de escuchar msica y leer

novelas de misterio, 68 mujeres vean pelculas romnticas y escuchaban msica para

meditar, 30 vean tanto pelculas romnticas, escuchaban msica para meditar y lean

novelas de misterio, 15 vean telenovelas y lean novelas de misterio. Cuntas mujeres veantelenovelas si el grupo encuestado era de 350 mujeres?

2) En una escuela de preparatoria con dos turnos de trabajo, la planta docente de ambosturnos tiene los siguientes datos: 19 profesores de Biologa, 30 profesores de Qumica, 15

profesores de Fsica, 24 profesores de Matemticas y 19 profesores de Ingls; algunos

maestros ensean otras materias y he aqu los datos: 8 profesores ensean tanto Biologa

como Qumica, 9 profesores ensean tanto Fsica como Qumica, 10 profesores de

Matemticas ensean tambin Qumica y 9 profesores de Ingls tambin imparten la

materia de Matemticas. Si existen 230 profesores de otras asignaturas Qu cantidad de


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profesores hay en ambos turnos? Cuntos profesores imparten a lo ms una asignatura?

3) En un estudio realizado en 24 municipios de nuestro pas se encontr la siguienteinformacin, 20 especies de serpientes arbreas, 24 especies de serpientes son terrestres,

24 especies de serpientes son de agua, 19 especies de serpientes son venenosas, adems

algunas especies de serpientes presentan algunas de las siguientes caractersticas: 6

especies arbreas tambin terrestres, 10 especies que son acuticas tambin son arbreas,

4 especies arbreas son terrestres y tambin son acuticas, 9 especies de las serpientes

terrestres tambin son acuticas, 3 especies que son terrestres tambin son acuticas y son

venenosas, 6 especies terrestres son tambin son venenosas, 8 especies de serpientes que

son acuticas tambin son venenosas Cuntas especies estudian los expertos?

4) En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos A, B y C,se encontr el siguiente resultado:

82 consumen el producto A. 54 consumen el producto B. 50 slo consumen el producto A. 30 slo consumen el producto B. El nmero de personas que consumen slo B y C es la mitad de las personas que

consumen slo A y C.

El nmero de personas que consumen slo A y B es el triple de las personas queconsumen los tres productos.

El nmero de personas que no consumen los productos mencionados son tantos comolos que consumen slo C.

Determinar:

a) El nmero de personas que consumen slo dos de los productos.b) El nmero de personas que no consumen A, B ni C.c) El nmero de personas que por lo menos consumen uno de los productos.

5) Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan ftbol, 32 bsquet y 23 vley. Seis figuranen los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces:

a) Cuntas personas practican slo un deporte?b) Cuntas personas practican slo dos deportes?c) Cuntas personas practican al menos dos deportes?d) Cuntas personas practican como mximo dos deportes?


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6) En un Congreso Internacional de Medicina, se debati el problema de la Eutanasia,plantendose una mocin:

a) 115 europeos votaron a favor de la mocinb) 75 cardilogos votaron en contrac) 60 europeos votaron en contrad) 80 cardilogos votaron a favor.

Si el nmero de cardilogos europeos excede en 30 al nmero de americanos de otras

especialidades y no hubo abstenciones. Cuntos mdicos participaron en el congreso?.

7) Se hizo una encuesta a 160 alumnos de la UNACH sobre la preferencia de 4 carrerasprofesionales: Ingeniera de Sistemas (S), Enfermera (E), Comunicacin Social (C) y Biologa

en Acuicultura (B), obtenindose los siguientes datos: Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B). 22 slo con (S) 20 slo con (E) 20 slo con (C) 20 con (S) y (B) pero no con (E) 6 slo con (C) y (E)

4 con (S) y (C) 24 con (B) y (E) 28 slo (B).

Cuntos prefieren slo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera profesional?

8) Suponga que los brevetes slo se consiguen legalmente, los que tienen brevete profesionalsaben mecnica mientras que los que tienen brevete particular slo estn autorizados a

manejar automviles y as lo hacen.

Si tienen los siguientes datos referentes a un grupo de personas:

21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones. 13 saben encender un vehculo pero no tienen brevete. 8 saben manejar vehculos pero no tienen brevete. 2 saben mecnica y manejan camiones. El mismo nmero sabe manejar vehculos pero

no maneja camiones ni tiene brevete.

11 no tienen brevete profesional y no manejan camiones. 3 tienen brevete particular.

Adems, tngase en cuenta que los que saben mecnica tienen brevete profesional.


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Se pregunta lo siguiente:

Cuntos son en total?. Cuntos no tienen brevete?. Cuntos cometen infraccin de manejar vehculos sin tener brevete?. Cuntos saben encender un vehculo pero no manejarlos?.

9) De una muestra aplicada a 92 turistas, se obtuvo la siguiente informacin: 30 eran Mexicanos 40 eran Espaoles 50 eran msicos de los cuales: 13 hablan ingls o francs pero no ambos idiomas; dos

hablan francs y alemn pero no ingls.

Cuntos hablan un slo idioma?

10)En un avin hay 9 jvenes, 5 nios ecuatorianos, 9 hombres, 7 jvenes extranjeros, 14ecuatorianos, 6 ecuatorianos varones, y 7 mujeres extranjeras.

a) Cul es el nmero de personas del avin?b) Cuntos son solamente ecuatorianos?

11)

La tabla siguiente muestra la distribucin de personas segn hbito de fumar, padecerbronquitis, y presin sistlica.

HABITO DE FUMARSI NO

BronquitisPresin Sistlica Presin SistlicaALTA NORMAL ALTA NORMAL

SI 400 300 150 100NO 200 50 40 30

a) Determine el nmero de personas que fuman o tienen bronquitisb) De las personas fumadoras; cuntas tiene presin sistlica normal o tienen

bronquitis?

c) De las personas con bronquitis; cuntas tiene presin sistlica alta o sonfumadoras?

12) En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian ingls, 163 estudian francs y 52 estudianambas lenguas. Cuntos alumnos estudian ingls o francs?, Cuntos alumnos no

estudian ninguna de las dos lenguas?

13) Una poblacin consume tres tipo de jabn : A, B y C. Hecha una investigacin de mercado ,


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conocindose los resultados la tabla siguiente,

Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tresN de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115

Responda:

a) El nmero de personas consultadasb) El nmero de personas que slo consumen la marca Ac) El nmero de personas que no consumen las marcas A o C.d) El nmero de personas que consumen al menos dos marcas.

14) En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca , negra, y amarilla. Sabiendoque 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla, responda:

a) Cuntos individuos tiene la comunidad?b) Cuntos individuos son de raza amarilla?

15) Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con"scaris". Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjunto A

y B.

a) El paciente tiene slo una de las dos enfermedades.b) El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades.c) El paciente no tiene las enfermedades descritas.d) El paciente tiene slo tifoidea.

Teoría de Conjuntos

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