APLICACIONES DE LA DERIVACIONAPLICACIONES DE LA DERIVACION

TEOREMA TEOREMA (Teorema de los valores extremos)

Si es una función continua definida en el intervalo cerrado ,

existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual

toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal

que en el cual toma el menor valor.

f ba, bax ,1 bxa 1

f bax ,2 bxa 2 f

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓNMÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

GráficamenteGráficamente

bax , se cumple en que)()()( 12 xfxfxf

)( 1xf es el máximo valor de en f ba, y

)( 2xf es el mínimo valor de en f ba,

x

y

a0 1x 2x b

)( 2xf

)( 1xf

)(xfy

TEOREMA: TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma su

valor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del

Intervalo. Si existe , entonces

f

0x)( 0xf 0)( 0 xf

COROLARIO: Sí es un mínimo de , entonces ,

Siempre que exista la derivada

)( 0xf f 0)( 0 xf

NOTA: Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al

intervalo, puesto que , definida en0x

2)( xxf 21 xTiene un máximo en y un mínimo en y además

en todo punto del intervalo

2x 1x 0)( xf 2,1

x

y

0

2)( xxfy

1 2

1)1( f

4)2( f

es un mínimo de

es un máximo de

2,1enf

2,1enf

APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONESREPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES

Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función.

Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí:)(xfy

),(0)( 111 yxxf es un máximo o un mínimo

)(xf concavidad

0)(xf Punto de inflexión de la función, cambio de concavidad

Entonces:

)(0)(0)( 111 xfxfxf 1) es un máximo relativo de la función en 1x

2) )(0)(0)( 111 xfxfxf es un mínimo relativo de en 1x

)(xf

3) )(0)( 1 xfxf tiene un punto de inflexión en 1x

NOTA 1: Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de

inflexión se llaman puntos críticos de la función.

)(xf

NOTA 2: No siempre cuando la función tiene un 0dxdy )(xfy

punto extremo (máximo o mínimo).

Ej: Estudie y grafique la función 15)( 5 xxxf

Dominio de existencia: R

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

010)(,55)( 44 xxfxxf

0)1()1()1(

0)1()1(2

22

xxx

xx

Rix

x

x

1

1

Puntos extremos 11 xyx-1 1

Sí

)(0)(1 xfxfx

)(0)(11 xfxfx

)(0)(1 xfxfx

es creciente

es decreciente

es creciente

Concavidad:

00)(,20)( 3 xxfxxf Punto de inflexión )1,0(

Sí

)(0)(0

)(0)(0

xfxfx

xfxfx

es cóncava hacia abajo

es cóncava hacia arriba

Ahora: )(0)1(0)1( xfff y tiene un máximo, su valor5)1( f

)(0)1(0)1( xfff tiene un mínimo, su valor3)1( f

Así la gráfica resulta:

x

y

0

15)( 5 xxxf

-1 1

1

5

-3