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Análisis y Control de Sistemas Lineales
Modelado de sistemas
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Contenido
Sistema: definiciones
Modelado
Representación de la estructura del sistema
Función de transferencia
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Sistema
Sistema
Realiza
FUNCIÓNPosee ESTRUCTURA
Presenta COMPORTAMIENTO
Un sistema realiza una función, posee una estructura y
presenta un comportamiento.
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Sistema de control
De lazo abierto
• Ni la salida, ni las variables del sistema influyen en el control
De lazo cerrado
• Las variables del sistema o la salida, por medio de realimentación, influyen en el control
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Control de lazo abierto
Exactitud del modelo
Invariancia en el tiempo
Control de lazo abierto
Ausencia de perturbaciones
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Control de lazo cerrado
Control de lazo cerrado
Realimentación
Variables
Salida
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Definiciones
• Una muestra de la salida es redirigida hacia la entrada para comparaciónRealimentación
• Es el equipo físico que se relaciona con la magnitud que se controla
• Se representa como sistema LTIPlanta
• Elemento que se añade para llevar a cabo el controlControlador
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Definiciones (2)
• Propiedad de un sistema que ante una entrada finita reacciona con una salida finita
Estabilidad (E/S)
• Sistema de control en el cual la salida es la posición o alguna de sus derivadas
Servo control
• Unidad funcional cuyos principales descriptores varían en el tiempo (Pueden ser descritos como funciones del tiempo)
Sistema dinámico
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Relación entre componentes del modelo
Modelado
• Del comportamiento a la función
Simulación
• De la función al comportamiento
Identificación
• Del comportamiento a la estructura
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Modelado
Modelado
• El modelado es una abstracción: La dinámica será abstraída del carácter físico.
Objetivo de la abstracción
• Describir los procesos temporales por medio de funciones del tiempo
• Resumir las relaciones entre esos procesos como dependencias funcionales
Representación
• Cuáles variables del fenómeno reproducen el comportamiento dinámico del sistema
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Relación entre el sistema y el modelo
• Identificación• Simulación
• Simulación• Modelado
Comportamiento
Función
Comportamiento
Estructura
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Pasos del modelado
Prueba del modelo
Obtención de las relaciones funcionales para cada elemento o componente
Creación de una descripción de la estructura
Identificación de entradas y salidas (aún de perturbaciones)
Definición de la exactitud del modelo (linealizaciones, aproximaciones)
Selección de las variables que son importantes para la descripción del comportamiento dinámico
Descripción concreta del problema (y la planta)
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Creación de la descripción de la estructura
Descripción de la
estructura
Identificar los componentes importantes y sus relaciones
Partir el sistema en sus elementos. Las relaciones son
cualitativas
Identificación de las entradas,
variables y perturbaciones
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Obtención del modelo cuantitativo
Modelo cuantitativo
Empíricamente
•Experimentalmente
Analíticamente
•A partir de leyes físicas
Relaciones funcionales
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Prueba del modelo y síntesis del control
Análisis
Estabilidad
Error de estado estacionario
Respuesta de frecuencia
Simulación
Comparación de resultados con las
medidas del proceso
Validación
Síntesis
Estructura del control
Diseño
DimensionamientoPrueba
Contr
ol
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Importancia de la estructura del sistema
Contribuye a la comprensión del sistema
Muestra la relación entre las partes
Proporciona una visión global de las propiedades dinámicas del sistema
Muestra dónde el sistema se encuentra realimentado, y los
acoples
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Representaciones gráficas de la estructura
Diagramas de bloques
Diagramas de flujo de señales
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Diagramas de bloques
Control Actuador Planta Medidor
La estructura del sistema se describe a través de un
conjunto de elementos de transferencia
(transmitancias) y las relaciones entre éstos.
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Elementos del diagrama de bloques
Puntos de suma o resta
Lineales
• Ecuaciones
• Transformadas
• Funciones de transferencia
• Variables de estado
• Gráficas o curvas características
No lineal Señal Vector
+
-
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Diagramas de flujo de señal
ControlError PlantaAcción
de control
MedidorSalida
La estructura del sistema se describe a través de un
gráfico dirigido, donde los nodos representan las
señales y las flechas representan propiedades de
transferencia.
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Elementos del diagrama de flujo de señales
Señal x
• Nodos
Relación funcional
• Flechas
• Propiedades de transferencia
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Descripción temporal de sistemas lineales
A través de ecuaciones
diferenciales
De diferencia
Leyes físicas →modelo matemático
Sistema eléctrico →Leyes de Kirchhoff
Sistema mecánico →Leyes de Newton, conservación de la
energía
Sistemas hidráulicos → Bernoulli
Los sistemas serán lineales
De parámetros concentrados
Invariantes en el tiempo
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Forma general de la ecuación diferencial
Ecuación diferencial ordinaria de n-orden, donde ai y bi
son reales y provienen de los parámetros físicos del
sistema
Dadas u(t) para t 0 y las condiciones iniciales es posible
conocer y(t)
ad y t
dta
d y t
dta
dy t
dta y t
bd u t
dtb
d u t
dtb
du t
dtb u t
n
n
n n
n
n
q
q
q q
q
q
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
+ + + + =
+ + + +
−
−
−
−
−
−
1
1
1 1 0
1
1
1 1 0 1
Condiciones
iniciales
d y
dt
d y
dty q n
n
n
n
n
( ),
( ), , ( ) ;
0 00
1
1
−
− para causalidad
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Función de transferencia
Aplicamos la Transformada de Laplace a la ecuación (1) y
poniendo todas las condiciones iniciales en cero se tiene:
Función de transferencia
en forma de cociente de polinomios
a s Y s a s Y s a sY s a Y s b s U s b sU s b U sn
n
n
n
q
q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + = + + +−
−
−
−
1
1
1 0 1
1
1 0
( ) ( ) ( ) ( )a s a s a s a Y s b s b s b s b U sn
n
n
n
q
q
q
q+ + + + = + + + +−
−
−
−
1
1
1 0 1
1
1 0
Características de la FT
Tiene n polos y q
ceros
Es completa
Depende únicamente de la planta
Y s
U s
b s b s b s b
a s a s a s aG s
q
q
q
q
n
n
n
n
( )
( )( )=
+ + + +
+ + + +=
−
−
−
−
1
1
1 0
1
1
1 0
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Propiedades de la transformada de Laplace
L f(t)d
dt
= L ( ) ( )f(t) = −
=sF s f t
t 0
F s( ) = L f(t)
L f(t)d
dt
k
= s F s s f t s f t
d f t
dt
k k
t
k
t
k
t
( ) ( ) ( )( )
− − −−
=
−
=
−
=
1
0
2
0
1
0
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Otras formas de representar G(s)
ZPK: Cociente de producto de ceros entre
producto de polos• q < n Función estrictamente
propia (planta, real)
• q ≤ n Función propia (controlador)
• q > n Función impropia (no existe)
1 2
1 2
( )( ) ( )( )
( )( )( )
q q
n
C s c s c s cG s
s s s
− − −=
− − −1
1
( )
( )
( )
q
ii
q n
ii
s c
G s C
s
=
=
−
=
−
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Referencias
Ogata, Katsuhiko. „Dinámica de Sistemas“, Prentice
Hall, 1987, México.
Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control
Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.