Análisis de Fourier en tiempo Continuo y Discreto

Señales y Sistemas IGrupos 2, 6Análisis de Fourier en Tiempo Continuo y DiscretoContinuo y Discreto

Jan Bacca Rodríguez

[email protected]

Of: 411-203

Generalidades:

• Para el estudio de sistemas LIT es conveniente representar las señales como combinaciones lineales de señales básicas

• Con el conjunto de señales básicas se debe poder • Con el conjunto de señales básicas se debe poder construir una gran cantidad de señales

• La respuesta de un sistema LIT a cada señal básica debe ser simple

▫ Impulsos desplazados

▫ exponenciales complejas.

Respuesta de un LIT a una exponencial compleja

• Sea x(t) = est y h(t) la respuesta impulso de un sistema LIT.

• Si la integral final converge, H(s) es una constante compleja que depende solo de s

∫∞

∞−

−= τττ dtxhty )()()( ( )∫∞

∞−

−= ττ τ deh ts)(

∫∞

∞−

−= ττ τ dehe sst )( )(sHest=


• Sea x[n] = zn y h[n] la respuesta impulso de un sistema LIT.

• Si la sumatoria final converge, H(z) es una constante compleja que depende solo de z

∑∞

−∞=

−=k

knxkhny ][][][ ∑∞

−∞=

−=k

knzkh ][

∑∞

−∞=

−=k

kn zkhz ][ )(zHzn=


h(t)

h[n]

est H(s)est

H(z)znzn

• En ambos casos la salida del sistema es igual a la entrada multiplicada por una constante compleja.

• Las exponenciales complejas son vectores propios del espacio de sistemas LIT.

• H(s) y H(z) son sus valores propios


h(t)est H(s)est h[n] H(z)znzn

∑=k

ts

kkkesHaty )()(h(t)∑=

k

ts

kkeatx )(

∑=k

nkkk zzHany )(][h[n]∑=

k

nkk zanx ][

Ejemplo

• Sea el sistema : y(t) = x(t-3)

• y la señal de entrada x(t) = ej2t

• y(t) = ej2(t-3) = e-j6 ej2t

• H(j2) = e-j6• H(j2) = e

• Por otro lado, la respuesta impulso del sistema es h(t) = δ(t-3). De donde:

∫∫∞

∞−

−∞

∞−

− −== ττδττ ττ dedehsH ss )3()()( se 3−=

6)2( jejH −=

Ejemplo• Tomemos ahora la entrada:

x(t) = cos(4t)+cos(7t) → y(t) = cos(4(t-3))+cos(7(t-3))

• Por la relación de Euler:

( ) ( )tjtjtjtj eeeetx 7744 11)( −− +++= ( ) ( )tjtjtjtj eeeetx 7744

2

1

2

1)( −− +++=

( ) ( )tjtjtjtj ejHejHejHejHty 7744 )7()7(2

1)4()4(

2

1)( −− −++−+=

( ) ( )tjjtjjtjjtjj eeeeeeeety 721721412412

2

1

2

1)( −−−− +++=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )37373434

2

1

2

1)( −−−−−− +++= tjtjtjtj eeeety

Combinaciones lineales de exponenciales complejas armónicas.

• x(t) es periódica con periodo T si x(t) = x(t+T) ∀t.

• Período fundamental To: Real positivo más pequeño que cumple la relación anterior.pequeño que cumple la relación anterior.

• Frecuencia fundamental:

• Señales armónicas: , k = 0, ±1, ± 2…

0

0

2

T

πω =

tjk

k et 0)( ωφ =


• Las señales φk(t) tienen frecuencias fundamentales que son múltiplos de ω0

• Todas son periódicas con período To

• Una combinación lineal de la forma:• Una combinación lineal de la forma:

es periódica con período To

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

==k

tjk

kk

kk eatatx 0)()( ωφ


• φ0(t) es una señal constante

• φ (t) tienen frecuencia fundamental ω y se

,...2,1,0,)()()( 0 ±±=== ∑∞

−∞=

kettatx tjk

kk

kk

ωφφ

• φ±1(t) tienen frecuencia fundamental ω0 y se llaman componentes fundamentales o primeras armónicas.

• φ±N(t) tienen frecuencia fundamental Nω0 y se llaman N-ésimas armónicas.

• La representación de x(t) como combinación lineal de armónicas es la Serie de Fourier de x(t)

Ejemplo

•

• a0 = 1, a±1 = ¼, a±2 = ½, a±3 = 1/3.

∑−=

=3

3

2)(k

ktjkeatx π

ππππππ 111111 −−−•

•

• x(t) = 1 + ½ cos(2πt) + cos(4πt) + 2/3 cos(6πt)

tjtjtjtjtjtj eeeeeetx ππππππ 642246

3

1

2

1

4

11

4

1

2

1

3

1)( ++++++= −−−

( ) ( ) ( )tjtjtjtjtjtj eeeeeetx ππππππ 664422

3

1

2

1

4

11)( −−− ++++++=

Ejemplo

Ejemplo

• x(t) = 1 + ½ cos(2πt) + cos(4πt) + 2/3 cos(6πt) es una forma alternativa de escribir la Serie de Fourier para señales reales.

• Sea x(t) ∈ R

• De donde ak* = a-k

• En el ejemplo anterior los ak son reales, entonces ak = a-k

)(0 txeak

tjk

k =∑∞

−∞=

ω)(* tx= ∑

∞

−∞=

−=k

tjk

kea 0* ω ∑∞

−∞=−=

k

tjk

kea 0* ω

Formas Alternativas de la Serie de Fourier

• En general, para señales reales:

( )∑∑∞

=

−−

∞

−∞=

++==1

0000)(

k

tjk

k

tjk

kk

tjk

k eaeaaeatx ωωω

• Expresando ak en forma polar:

=−∞= 1kk

( )∑∞

=

−++=1

*0

00

k

tjk

k

tjk

k eaeaa ωω

{ }∑∞

=

+=1

002

k

tjkω

keaa Re

kj

kk eAa θ=

Formas Alternativas de la Serie de Fourier

( ){ }∑∞

=

++=1

002

k

tkωj

kkeAa θRe

{ }∑∞

=

+=1

002)(

k

tjkω

keaatx Re

• Expresando ak en forma cartesiana:

( )∑∞

=

++=1

00 cos2k

kk tkAa θω

∑=1k

kkk jCBa +=

( ) ( )[ ]∑∞

=

−+=1

000 sencos2)(k

kk tkCtkBatx ωω

Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Continua.

• Se requiere un método para calcular los coeficientes usados en la representación de una señal en serie de Fourier (ak).

∑∞

−∞=

−− =k

tjntjk

k

tjn eeaetx 000)( ωωω

∑∞

−∞=

=k

tjk

keatx 0)( ω


• Integrando sobre un período

∫ ∑∫∞

−− =0

00

0

0)(

T

jnjk

k

T

jn deeadex τττ τωτωτω

0

0

2

ωπ

=T

• Intercambiando el orden de la suma y la integral

∫ ∑∫−∞=00 k

k

( )∫∑∫ −∞

−∞=

− =0

0

0

0

00

)(

T

nkj

kk

T

jn deadex τττ τωτω



( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫ −+−=−000

0

0

0

0

0

0

sencos

TTT

nkj dnkjdnkde ττωττωττω

• Para k≠n se están integrando sinusoidales sobre un número de períodos completos.

• Para k=n se está integrando cos(0)=1 y sen(0)=0

( )

≠

==∫ −

nk

nkTde

T

nkj

0

0

0

0

0 ττω

000


• Reemplazando en( )

≠

==∫ −

nk

nkTde

T

nkj

0

0

0

0

0 ττω

∑∞ 00 TT

• Se obtiene

( )∫∑∫ −∞

−∞=

− =0

0

0

0

00

)(

T

nkj

kk

T

jn deadex τττ τωτω

n

T

jn aTdex 0

0

0

0)( =∫ − ττ τω ∫ −=⇒0

0

00

)(1

T

tjn

n dtetxT

a ω


• La representación en Serie de Fourier de una señal continua está dada por dos ecuaciones:

• Ecuación de Análisis∫ −= 0)(

1 jk

k dexT

a ττ τω

• Ecuación de Síntesis

• Los ak se llaman coeficientes espectrales o coeficientes de Fourier de x(t)

∑∞

−∞=

=k

tjk

keatx 0)( ω

∫=0

)(0 T

k dexT

a ττ

katx →←FFFF

)(

Ejemplo:

• x(t) = sen(ω0t)

• Esta función es sencilla por lo que se puede usar la relación de Euler en lugar de la Ec. de análisis

tjtj eettx11

)(sen)( ωωω −−==

• De donde:

tjtj ej

ej

ttx 00

2

1

2

1)(sen)( 0

ωωω −−==

−=−

=

=

valores otros0

12

1

12

1

kj

kj

ak

Ejemplo:

++++=

42cos)cos(2)(sen1)( 000

πωωω ttttx

( ) ++−+= −− 0000

2

11)( ωωωω tjtjtjtj eeee

jtx

++

+−

+

42

42 00

2

1π

ωπ

ω tjtj

ee

tjj

tjj

tjtj eeeeej

ej

tx 0000 2424

2

1

2

1

2

11

2

111)( ω

πω

πωω −

−− ++

−+

++=

Ejemplo:

• Los coeficientes de Fourier serán:

=−=+

=

12

11

2

11

01

kjj

k

>

−=−=

=+=

−=+=−

=

−

20

2)1(4

2

2

1

2)1(4

2

2

1

12

11

2

11

22

4

4

k

kje

kje

kjj

j

a

j

jk

π

π

Ejemplo: Señal Cuadrada

• Hallar la representación en serie de Fourier de:

≤

=1

)(1Tt

tx

<≤=

20

)(1

TtT

tx

Periódica con período T

Ejemplo: Señal Cuadrada

• La descomposición de la señal en exponenciales complejas no es obvia, por lo que se debe usar la ecuación de análisis:

∫ −= jkk dexa ττ ωτ)(

1

• Debido a la simetría de la función es conveniente escoger el intervalo de integración

22

TT<≤− τ

∫=T

k dexT

a ττ )(

Ejemplo : Señal Cuadrada

∫−

−=2

2

)(1

T

T

jkk dex

Ta ττ ωτ ∫

−

−=1

1

1T

T

jk deT

τωτ 1

1

1 T

T

jkeTjk −

−−= ωτ

ω

( )111 TjkTjk ee

Tjk

ωω

ω−−= ( )1sen2

1Tkj

Tjkω

ω=

( )1sen2

TkTk

ωω

= ( )1sen2

2Tk

k

ω

ωπ

ω=

( )πω

k

Tk 1sen=


∫−

=2

2

0 )(1

T

T

dxT

a ττ

∫−

=1

1

1T

T

dT

τ

T

T12=


4

11 =T

T

8

11 =T

T

16

11 =T

T

Representación en Series de Fourier de Señales Periódicas Discretas

• El análisis es muy similar al caso continuo.• El análisis es muy similar al caso continuo.

• Pequeñas diferencias surgirán de fenómenos como la periodicidad de exponenciales complejas discretas o el número finito de exponenciales armónicas en el dominio discreto


• x[n] es periódica con periodo N si x[n] = x[n+N] ∀ n.

• Período fundamental No: Entero más pequeño que cumple la relación anterior.que cumple la relación anterior.

• Frecuencia fundamental:

• Señales armónicas: , k = 0, 1, …, N0-1

•

0

0

2

N

πω =

nN

jk

k en 0

2

][

π

φ =

( )][][ 000

0

0

2

2

22

neeeen k

nN

jknj

nN

jknN

Nkj

Nk φφπ

πππ

====+

+

Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Discreta.

• Sólo existen N0 exponenciales armónicas diferentes.

• ∑∑==

== 0

2

][][Nk

nN

jk

kNk

kk eananx

π

φ

• Cálculo de los coeficientes:

∑∑== 00 NkNk

∑=

−−

=0

000

222

][Nk

nN

jk

k

nN

jrnN

jr

eaeenx

πππ

( )

∑ ∑∑= =

−

=

−

=0 0

0

0

0

22

][Nn Nk

nN

rkj

kNn

nN

jr

eaenx

ππ


( )

∑ ∑∑= =

−

=

−

=0 0

0

0

0

22

][Nk Nn

nN

rkj

kNn

nN

jr

eaenx

ππ

• Se puede demostrar que, análogamente al caso continuo:

•

±±=

=∑=

−

valores otros0

,...2,,0 000

2

0

0NNkN

eNk

nN

jkπ

• Si k = r

•


0

2

0

0][ Naenx rNn

nN

jr

=∑=

−π

2π

Ec. de Análisis

Ec de Síntesis

•Como las son periódicas, los ak

también lo son

∑=

−

=0

0

2

0

][1

Nn

nN

jk

k enxN

a

π

∑=

=0

0

2

][Nk

nN

jk

keanx

π

nN

jk

k en 0

2

][

π

φ =

Ejemplo

• x[n] = sen(ω0n)

• Si la señal es periódica con M, Nenteros.

• Si MCD(M,N)=1, N=N0 es el período

M

N=

0

2

ωπ

• Si MCD(M,N)=1, N=N0 es el período fundamental.


nN

jMnN

jM

ej

ej

nx 00

22

2

1

2

1][

ππ−

−=

−=−

=

=

valores otros02

12

1

Mkj

Mkj

ak

Ejemplo

• Si M=1, N0 = 5,

= nnx

5

2sen][

π

• Si M=3, N0 = 5,

= nnx

5

6sen][

π

Ejemplo: Señal cuadrada periódica discreta

2π −2

1 N njkπ

• Haciendo m = n + N1

•

∑=

−

=0

0

2

0

][1

Nn

nN

jk

k enxN

a

π

∑−=

−

=1

1

0

2

0

1 N

Nn

nN

jk

eN

π

( )

∑=

−−

=1 1

0

2

0

2

0

1 N

m

NmN

jk

k eN

a

π

∑=

−

=1

01

0

2

0

22

0

1 N

m

mN

jkNN

jk

eeN

ππ


• Los términos forman una serie geométrica de la forma αpm con:

▫ α = 1

▫ p =

1

0

2

0

2N

m

mN

jk

e

=

−π

2jk

π−▫ p =

• La suma de los primeros N términos de dicha serie es:

0

2

Njk

e

π−

p

pS

N

−−

=+

1

1 1

α


• Reemplazando:

0,

11

1

0

10

2

122

2

≠

−

=

+−

k

e

ea

N

Njk

NN

jk

k π

π

π

0,

1 0

2

0

≠

−

=−

k

e

eN

aN

jkk π

−

−

=−−

+−

+−

000

10

100

2

2

2

2

2

2

2

12

2

12

2

2

0

1

Njk

Njk

Njk

NN

jkNN

jkN

jk

eee

eee

N πππ

πππ


+

=1

0

0 sen

2

12sen

1

Nk

NN

k

Nak

π

π

0N

• Para k = 0:

( )

0

1

0

20

0

0

121

11 1

1

1

1

0

N

N

Ne

Na

N

Nn

N

Nn

nN

j +=== ∑∑

−=−=

−π

• Recordemos que para la señal cuadrada continua:


( )

≠

==

0

02

1

1

kk

Tksen

kT

T

ak

πω

4

11 =T

T

Ejemplo: Señal cuadrada periódica continua

8

11 =T

T

16

11 =T

T

Ejemplo : Señal Cuadrada Periódica Discreta

4

112

0

1 =+

N

N

8

112

0

1 =+

N

N

16

112

0

1 =+

N

N

Transformada de Fourier para Tiempo Continuo

<≤

≤=

0

1)(

1

1

TtT

Tttx

<≤

20 1 tT

Periódica con período T

Señal Cuadrada PeriódicaLos coeficientes de la Serie de Fourier de esta señal son:

( )0,

2sen

0

10 ≠= kTk

Tkak ω

ω

Reorganizando:Reorganizando:

( )0

12sen

ωωωω

k

k

TTa

=

=

Los Tak se pueden considerar muestras igualmente espaciadas de la función ( )

ωω 12sen T

Señal Cuadrada Periódica

T = 4T1

T = 8T1

T = 16T1

Conclusiones

• Si, en una señal periódica, hacemos crecer el período, la señal se parecerá cada vez más a una señal de duración finita.

• En frecuencia, los coeficientes de su Serie de • En frecuencia, los coeficientes de su Serie de Fourier se acercarán cada vez más, aproximando una señal continua.

• Si queremos calcular la Transformada de Fourier de una señal de duración finita la podemos convertir en periódica, calcular la serie y hacer el período tender a infinito.

Transformada de Fourier

• Sea x(t) una señal de duración finita y la señal obtenida haciendo x(t) periódica con período T.

)(~ tx

∑∞

~ ω ∫ −=2

0)(~1

T

tjk dtetxa ω

• Integrar sobre un período equivale a integrar x(t) sobre todo el eje.

∑∞

−∞=

=k

tjk

keatx 0)(~ ω ∫−

−=

2

0)(~1

T

tjk

k dtetxT

a ω

)(~ tx

∫∞

∞−

−= dtetxT

a tjk

k0)(

1 ω


• Cuya envolvente será:

∫∞

∞−

−= dtetxTa tjk

k0)( ω

∫∞

−= tjωω

• De donde:

• Reemplazando en la Ec. de Síntesis

∑∞

−∞=

=k

tjkejkXT

tx 0)(1

)(~0

ωω

)(1

0ωjkXT

ak =

∫∞−

−= dtetxjX tjωω )()(


• Por otro lado: , reemplazando:

• Si ahora hacemos T→∞:

0

2ω

π=

T

∑∞

−∞=

=k

tjkejkXtx 000)(

2

1)(~ ωω

πω

• Si ahora hacemos T→∞:

▫

▫ ω0 → dω▫ kω0 → ω▫ La suma tiende a una integral

∫∞

∞−

= ωωπ

ω dejXtx tj)(2

1)(

( )txtx →)(~

Ejemplo

• x(t) = e-atu(t), a>0

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()( ∫∞

−−=0

dtee tjat ω ( )∞

+−

+−=

0

1 tjaeja

ω

ω

1

ωja +=

1

• La transformada es compleja por lo que se debe graficar en dos partes

( ) ( )

−=∠+

= −

ajX

ajX

ωω

ωω 1

22tan

1

Ejemplo

Ejemplo

• x(t) = e-a|t|, a>0

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

∞0

∫∫∞

−−

∞−

− +=0

0

dteedtee tjattjat ωω

22

2

ω+=

a

a

ωω jaja ++

−=

11

Ejemplo

x(t)

X(jω)

Ejemplo

• Hallar la transformada de Fourier de δ(t).

• Aplicando la definición:

1)()( ===∆ −∞

−∫ tjtj edtetj ωωδω 1)()(0===∆

=∞−∫ t

edtetj δω

FFFF

Ejemplo

• Hallar x(t)

• Por la Ec. de Síntesis:

>

≤=

W

WjX

ωω

ω,0

,1)(

∫∞

∞−

= ωωπ

ω dejXtx tj)(2

1)( ∫

−

=W

W

tj de ωπ

ω

2

1

W

W

tj

jt

e

−

=ω

π2

1 ( )jWtjWt eetj

−−=π21

t

Wt

π)(sen

= )(sencW

Wtπ

=

Ejemplo

X(jω)

x(t)

Ejemplo

• Hallar la transformada de Fourier de x(t) = 1

• La señal no es absolutamente integrable

• No se puede aplicar la definición para calcular la transformada.

• Una señal constante en tiempo es el límite • Una señal constante en tiempo es el límite cuando T→∞ de un pulso de duración T.

• La transformada de esta señal es conocida.

ωω

ω)(Sen2

)( valoresotros0

1)(

TjX

Tttx =→←

≤

=FFFF

Ejemplo

Transformada de Fourier en Tiempo Discreto

• Para hallar la transformada de Fourier de una señal continua se partió de la de una señal periódica cuyo período aumentaba.periódica cuyo período aumentaba.

• Un enfoque similar se puede seguir en tiempo discreto.

• A partir de una secuencia finita de N1+N2+1 muestras se construye una señal de período N y se hace aumentar progresivamente N.

Transformada de Fourier en Tiempo Discreto

x[n]

][~ nx

Transformada de Fourier en tiempo Discreto

• Para se puede definir:

∑=

−=

Nn

nN

jk

k enxN

aπ2

][~1

][~ nx

• Pero x[n] = entre –N1 y N2, entonces

• Ya que x[n] = 0 fuera del intervalo [-N1, N2]

= NnN

∑−=

−=

2

1

2

][1 N

Nn

nN

jk

k enxN

aπ

∑∞

−∞=

−=

n

nN

jk

enxN

π2

][1

][~ nx


• Se define:

( )01 ωjk

k eXN

a =⇒∑∞

−∞=

−=n

njj enxeX ωω ][)(

• Reemplazando ak en la ecuación de síntesis:

( )∑=

=Nk

njkjk eeXN

nx 001

][~ ωω

−∞=n

( )∑=

=Nk

njkjk eeX 000

2

1ω

πωω


• Si ahora se hace N→∞, ω0 →dω, la suma se convierte en una integral y

∫= ωω ω)(1

][ deeXnx njj

][][~ nxnx →

• Es la transformada inversa discreta de Fourier, mientras que

• Es la transformada discreta de Fourier

∫=π

ωω ωπ

2

)(2

1][ deeXnx njj

∑∞

−∞=

−=n

njj enxeX ωω ][)(


• son los coeficientes de la combinación lineal de exponenciales complejas que

genera x[n].

• X(ejω) es el espectro de frecuencia de x[n]

)(2

ω

πω jeXd

• X(ejω) es el espectro de frecuencia de x[n]

• Los coeficientes de la serie de Fourier se pueden calcular a partir de la transformada.

• La transformada en tiempo discreto es periódica y de período 2π.

• La integral de la ecuación de síntesis se hace sobre un intervalo de longitud 2π.

Ejemplo

• x[n] = anu[n], |a|<1


njnj enuaeX ωω −∞

∑= ][)(n

enuaeX−∞=∑= ][)(

( )∑∞

=

−=0n

njae ω

ωjae−−=

1

1

Ejemplo

a>0 a<0

( )ωjeX

( )ωjeX∠

Ejemplo

• x[n] = a|n|, |a|<1


∑∞

−∞=

−=n

njnj eaeX ωω )(

∑∑∞

−−

−− +=1

njnnjn eaea ωω ∑∑=−∞=

+=0nn

eaea

ωω

ω

jj

j

aeae

ae−−

+−

=1

1

1

( ) ( )∑∑∞

=

−∞

=

+=01 n

nj

m

mj aeae ωω

2

2

cos21

1

aa

a

+−−

=ω

Ejemplo

Ejemplo

• Pulso rectangular


∑N

>

≤=

Nn

Nnnx

0

1][

∑−=

−=N

Nn

njj eeX ωω )(

+=

2sen

2

1sen

ω

ω N

Ejemplo

Transformada de Fourier para Señales Periódicas

• En teoría la transformada de Fourier se podría calcular para cualquier señal

• Muchas señales periódicas continuas no son absolutamente integrablesabsolutamente integrables

• Por las condiciones de Dirichlet su transformada de Fourier no se puede calcular usando la ecuación de análisis.

• Las funciones periódicas se pueden representar como sumas de exponenciales complejas.

• Teniendo la transformada de la exponencial compleja se podría calcular las de otras señales periódicas.

Transformada de Fourier de la Exponencial Compleja

• Considere X(jω)=2πδ(ω-ω0)

• La correspondiente señal en tiempo sería:

( )∫∫∞∞

−== ωωωπδωω ωω dedejXtx tjtj 21

)(1

)( ( )∫∫∞−∞−

−== ωωωπδπ

ωωπ

dedejXtx 022

)(2

)(

tjwetx 0)( =

Transformada de Fourier para señales periódicas

• En general si ( )∑∞

−∞=

−=k

k kajX 02)( ωωπδω

( )∫ ∑∞ ∞

−= ωωωπδ ω dekatx tj21

)( ( )∫ ∑∞− −∞=

−= ωωωπδ

πω dekatx tj

kk 02

2

1)(

( )∑ ∫∞

−∞=

∞

∞−

−=k

tjk deka ωωωδ ω

0

∑∞

−∞=

=k

tjk

kea 0ω

Ejemplo

• Para la señal cuadrada periódica:

πω

k

Tksenak

)( 10=

( )∑∞

( )∑∞

−∞=

−=k

k kajX 02)( ωωδπω

( ) ( )∑∞

−∞=

−=k

kk

Tksen0

102 ωωδπω

π

( ) ( )∑∞

−∞=

−=k

kTksenk

010

2ωωδω

Ejemplo

Ejemplos:• x(t) = sen(ω0t)

( )tjtj

ooo ee

jt

ωωω −−=2

1)(sen

( ) ( )( )jX ωωδωωδπ

ω +−−=)( ( ) ( )( )ooj

jX ωωδωωδπ

ω +−−=)(

Ejemplos:

• x(t) = cos(ω0t)

( )tjtj

ooo eet

ωωω −+=2

1)cos(

( ) ( )( )jX ωωδωωδπω ++−=)( ( ) ( )( )oojX ωωδωωδπω ++−=)(

Transformada de Fourier para Señales Periódicas Discretas• Al igual que en el caso continuo, las funciones

periódicas se pueden representar como sumas de exponenciales complejas, por lo que teniendo la transformada de la exponencial compleja se podría calcular las de otras señales periódicas.podría calcular las de otras señales periódicas.

• En el caso continuo, la transformada de la exponencial compleja es un impulso en la frecuencia de la exponencial.

• La transformada de señales discretas es periódica.

• Supongamos que será un tren de impulsos de período 2π

Transformada de Fourier de la Exponencial Compleja Discreta

• Considere

• La correspondiente señal en tiempo sería:

( ) ( )∑∞

−∞=

−−=l

j leX πωωπδω 22 0

• Un intervalo de longitud 2π contiene uno solo de los impulsos del tren

∫=π

ωω ωπ

2

)(2

1][ deeXnx njj

( )∫ ∑∞

−∞=

−−=π

ω ωπωωπδπ

2

0 222

1del nj

l

Transformada de Fourier de la Exponencial Compleja Discreta

• Tomemos el intervalo [- π, π], este contendría el impulso correspondiente a l = 0.

( )

( )∫

∫ ∑

−

−

∞

−∞=

−=

−−=

π

π

ω

π

π

ω

ωωωπδπ

ωπωωπδπ

de

delnx

nj

nj

l

0

0

22

1

222

1][

nje 0ω=

Transformada de Fourier para Señales Periódicas

• Si ahora tenemos ∑∞

−∞=

−=

kk

j

NkaeX

πωδπω 2

2)(

∫ ∑

−=

∞

−∞=π

ω ωπ

ωδππ

2

22

2

1][ de

Nkanx nj

kk

−∞=ππ2

2 Nk

∑ ∫=

−=Nk

nj

k deN

kaπ

ω ωπ

ωδππ

2

22

2

1

∑=

=Nk

nN

jk

kea

π2

∑ ∫=

∞

∞−

−=Nk

nj

k deN

ka ωπ

ωδ ω2

Ejemplo:

• x[n] = cos(ω0n)

( )njnj

ooo een ωωω −+=

2

1)cos(

( ) ( )

−++−−= ∑∑∞∞

j lleX πωωδπωωδπω 22)( ( ) ( )

−++−−= ∑∑

−∞=−∞= l

o

l

oj lleX πωωδπωωδπω 22)(

Ejemplo:

• [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

kNnnx δ

[ ]∑ ∑−

=

−∞

−∞=

−=

1

0

21 N

k

nN

jk

l

k elNnN

aπ

δ

−1 21 N π

∑∞

−∞=

−=

k

kj

NkaeX

πωδπω 2

2)(

[ ]∑−

=

−=

1

0

21 N

k

nN

jk

enN

π

δ

N

1=

∑∞

−∞=

−=k N

kN

πωδ

π 22

Ejemplo

Análisis de Fourier en tiempo Continuo y Discreto

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