TEORÍA DE CONTROL

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

ARQUITECTURA DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITAL

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

TIPOS DE SEÑALES

TIEMPO CONTINUO

TIEMPO DISCRETO

ANALÓGICAS

CUANTIFICADAS

NO CUANTIFICADAS

DIGITALES

{

{

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

TRANSFORMADA Z

0

)()()()(k

kzkTxkTxtxzX ZZ

0 tpara 0

0 tpara 1)(tx

ESCALÓN UNITARIO

1

321

1

1

1

1....1)(

zrzzzzX

ka

0k para 0

0k para a)(

k

kx 1

133221

1

1)(

....1)(

azzX

azrzazaazzX

1 2 3( ) (0) ( ) (2 ) (3 ) .... ( ) ....kX z x x T z x T z x T z x kT z

Teoría de Control

ate

0 tpara 0

0 tpara )(

-atetx

1

133221

1

1)(

....1)(

zezX

zerzezezezX

aT

aTaTaTaT

0 tpara 0

0 tparat )(tx

RAMPA UNITARIA

21

13211

321

1....4321

....32)(

z

TzzzzTz

TzTzTzzX

TRANSFORMADA Z

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

TRANSFORMADA Z

PROPIEDADES

SISTEMAS DISCRETOS

( ) ( )a x t a X zZ

1

0( ) ( ) ( )

nn k

kx t nT z X z x kT zZ

( ) ( ) ( ) ( )a x t b y t a X z b Y zZ

1 ( ) ( )ka x t X a zZ

( ) ( )nx t nT z X zZ

Teorema del Valor Final

Teorema del Valor inicial

(0) lim ( )z

f F z

1( ) lim ( 1) ( )

zf z F z

Teoría de Control

RETENCIÓN DE ORDEN CERO

SISTEMAS DISCRETOS

( ) ( ) ( )

( ) escalón

y t u t u t T

u t

( ) 1 1 1ROC

( )

sTsTY s e

eR s s s s

1 1( ) ( )sTX s e G s

1

( ) 1( ) 1 ( )

( )

sTsTY s e

G s e G sR s s

1 0 1 0

0

( ) g ( ) ( )

t

x t g t g d t t T

1 1 1

0

( ) g ( )

t

x t t T g d t T

( ) respuesta al impulsoy t

Teoría de Control

RETENCIÓN DE ORDEN CERO

SISTEMAS DISCRETOS

1

1 1 1( ) ( ) ( )x t g t T z G zZ Z

1 1( ) ( )g t G zZ

1( ) ( )(1 )

( )

Y z G sz

R z sZ

1 1

( )( ) ( )

( )

sTY zG s e G s

R zZ

( ) 1( )

( )

sTY s eG s

R s s

1

1

( )(1 ) ( )

( )

Y zz G z

R z

1

1 1

( )( ) ( )

( )

Y zG z z G z

R z

Teoría de Control

MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS

)(tx )(* tx

T

SISTEMAS DISCRETOS

*

0( ) ( ) ( )

kx t x kT t kT

* 2( ) (0) ( ) (2 ) ...sT sTX s x x T e x T e

*

0( ) ( ) ( ) con skT sT

kX s x kT e X z z e

*( ) (0) ( ) ( ) ( ) ...X s x t x T t TL L

0( ) ( )T kt kT t kT

Teoría de Control

La respuesta de y(t) es la suma de las respuestas al impulso

FUNCIÓN

TRANSFERENCIA

DE PULSO

SISTEMAS DISCRETOS

0

( ) ( ) ( ) k

ky t Y z y kT zZ

*

0( ) ( ) ( )

kx t x kT t kT

* *

0 0

( )

t t

y t g t x d x t g d

( ) (0) 0

( ) (0) ( ) ( ) T 2( )

...

( ) (0) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ...

g t x t T

g t x g t T x T t Ty t

g t x g t T x T g t kT x kT kT t

1k T

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

FUNCIÓN TRANSFERENCIA DE PULSO

0( ) ( ) ( )

hy t g t hT x hT

0( ) ( ) ( )

hy kT g kT hT x hT

( ) ( ) ( )*

y kT x kT g kT

0 0( ) ( ) ( ) k

k hY z g kT hT x hT z

m k h

0 0( ) ( ) ( ) m h

m hY z g mT x hT z

0( ) ( ) k

kY z y kT z

Sumatoria de Convolución

0 0( ) . -m -h

m hY z g(mT) z x(hT) z

( ) ( ). X(z)Y z G z

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

SISTEMAS CON RETARDO

1( ) ( )(1 )

( )dsTY z G s

z eX z s

Z

1( ) ( )(1 )

( )

dT

TY z G s

z zX z s

Z

Si Td = N.T

1( ) ( )(1 )

( )

NY z G sz z

X z sZ

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

TABLA DE TRANSFORMADA Z

Si bien la transformada Z se define en el dominio temporal existen tablas que permiten

transformar al plano Z expresiones representadas en el campo transformado de Laplace.

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

EJEMPLO:

El siguientes diagrama representa un sistema muestreado de control. Obtenga una

expresión para la salida C(z) cuando se le aplica una entrada R(s) en forma de escalón

de amplitud unitaria.

E E*

V

C*

21212)11( **** GHCGGERGHCGERVRE

****** 2121 GHCGGERE

***** 21211 GHCRGGE

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

EJEMPLO:E E*

V

C*

*

****

211

21

GG

GHCRE

32132132)11( **** GGHCGGGEGGHCGEC

***** 321321 GGHCGGGEC

***

*

**** 321321

211

21GGHCGGG

GG

GHCRC

***** 21211 GHCRGGE

Teoría de Control

SISTEMAS DISCRETOS

EJEMPLO:E E*

V

C*

*

*********

211

21132132121321

GG

GGGGHCGGGGHCGGGRC

********** 21132132121321211 GGGGHCGGGGHCGGGRGGC

******** 32121132132121211 GGGRGGGGHGGGGHGGC

*****

***

21132132121211

321

GGGGHGGGGHGG

GGGRC

)(211)(321)(321)(21)(211

)(321)()(

zGGzGGHzGGGzGHzGG

zGGGzRzC

Teoría de Control

2 1s

2 1s

Aliasing

Teorema del

muestreo

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una

señal periódica continua en banda base a partir de sus

muestras, es matemáticamente posible si la señal está

limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble

de su ancho de banda.

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

FILTRO ANTI ALIASING

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

)(1

)(

)(*

sGs

e

sU

sC sT

1( ) ( )( ) 1

( )

C z G sG z z

U z sZ

)()(1

)()(

)(

)(

zDzG

zDzG

zR

zC

SISTEMAS DISCRETOS

CONTROL DISCRETO

Teoría de Control

CORRESPONDENCIA ENTRE EL PLANO S Y EL PLANO Z

sTez js con

)2()( kTjTTjTTj eeeeez 1 Tez

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

TjTTj eeez )(

CORRESPONDENCIA ENTRE EL PLANO S Y EL PLANO Z

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

1( ) ( )( ) 1

( )

V z GH sGH z z

U z sZ

)(1

)(

)(

)(

zGH

zG

zR

zC

0)(1)( zGHzP

1 1

1

1)(

TH(s)

sssG

SISTEMAS DISCRETOS

1

2

1 1 1( ) (1 )

( 1)G z z

s s sZ

2

( 1)( )

( 1) ( 1) ( )T

z Tz z zG z

z z z z e

Teoría de Control

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

0 3679 0 7183( )

1 0 3679

, z+ ,G z

z - z - ,

2( ) 1 0 3679 0 3679 0 2642 0 6321P z z - z - , , z+ , z - z + ,

0,61820,5 0,61820,5 21 jzjz

10,7950919 21 zz ESTABLE

SISTEMAS DISCRETOS

2

2

( 1) ( 1)( 1)( )

( 1)

T T

T

z T z e z z e zzG z

z z z e

1 1( )

( 1)

T T T

T

z T e e TeG z

z z e

Teoría de Control

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

1 1

1)(

TH(s)

ss

KsG

0 3679 0 7183( )

1 0 3679

, K z+ ,G z

z - z - ,

K=1

K=2,39

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

SISTEMAS DISCRETOS

1 1( )

( 1)

T T T

T

z T e e TeG z

z z e

( 1) 1 11 ( )

( 1)

T T T T

T

z z e z T e e TeG z

z z e

Si el periodo de muestreo T no es conocido

2 2 11 ( )

( 1)

T

T

z T z TeG z

z z e

Para T=3.923

2 1,923 0,92241 ( )

( 1) 0,01978

z zG z

z z

Y los ceros son z1= -0,91583 y z2= -1,00716

Teoría de Control

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

SISTEMAS DISCRETOS

2 2 11 ( )

( 1)

T

T

z T z TeG z

z z e

Teoría de Control

TRANSFORMACIÓN BILINEAL 1

12

z

z

Tw

21

21

wT

wT

z

jez 1

2cos

222

1

12

22

22

sen

Tj

ee

ee

Te

e

Tw

jj

jj

j

j

j

W

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

www

T

Tjjw

2

2 1

2

T si

TRANSFORMACIÓN BILINEAL

Tj

js

sT eez

2

tan2

2cos

22 T

Tj

T

Tsen

Tjw

SISTEMAS DISCRETOS

1

12

z

z

Tw

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

w

2s

Teoría de Control

1 1

1

1)(

TH(s)

sssG

0 3679 0 7183( )

1 0 3679

, z+ ,G z

z - z - ,

0 03788 12 2 2( )

0 9242

- , w+ , w-G w

w w+ ,

SISTEMAS DISCRETOS

TRANSFORMACIÓN BILINEAL

Teoría de Control

APROXIMACIÓN DE LA RETENCIÓN DE ORDEN CERO

sj

s

s

ROC esen

TjG

)(

* 1( ) ( ) ( ) ( )ROC ROC s sG j GH j G j jn GH j jn

T

2*21

( ) ( ) ( )

2

s

sn

j T

ROC s

s

nsen

G j GH j T GH j jnnT

e

2/* )()()( Tj

ROC ejGHjGHjG

SISTEMAS DISCRETOS

Teoría de Control

APROXIMACIÓN DE LA RETENCIÓN DE ORDEN CERO

2/)( TjejGH

)(wGH

SISTEMAS DISCRETOS