TEORIA DE CONTROL DISCRETO Flavio Torres Edición: Depto. Ing. Eléctrica - UFRO

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TEORIA DE SISTEMAS DISCRETOS

1.1 INTRODUCCIÓN El control por computador es hoy en día una herramienta común en la industria actual. Por tanto es importante entender los aspectos teóricos involucrados en los sistemas controlados por computador. En la figura 1.1 se muestra un proceso controlado por computador

Los términos, como sistemas de control en tiempo discreto, sistemas de control de datos muestreados y control digital, implican el mismo tipo de sistemas de control por computador.

1.2 SISTEMAS DISCRETOS Las señales que maneja el computador son discretas, por lo tanto se analizará este tipo de señales. Para obtenerlas se comenzará con señales continuas que son más familiares.

Señal de entrada y salida de un proceso. Se convendrá en asignar la señal de entrada a un

proceso como “u” (ya sea como u(t) para señal continua ó como u(k) para señal discreta) y la salida como “y” (ya sea como y(t) señal continua ó como y(k) para señal discreta), tal como se muestra en la figura 1.2. Para no confundir la señal de entrada con la señal escalón, se señalizará explícitamente cuándo corresponda a un escalón.

Figura 1.2 señales de proceso

Proceso yu

Procesoreal

SalidaEntrada

Figura 1.1 Sistema de control por computador

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Representación de un proceso continuo Las formas más comunes de representar matemáticamente un proceso son:

- Función de transferencia - Variables de estado

Ambas representaciones son equivalentes en el sentido que desde la función de transferencia se puede llegar a la representación de estado y viceversa. Ejemplo 1.1 Obtener la representación de estado de la siguiente función de transferencia continua

212

21)(asas

bsbsG++

+=

(1.1)

Solución Usando el método de equivalencias de bloques tenemos:

212

21

asasbsb++

+ y(s)u(s)

212

1asas ++

y(s)u(s)21 bsb +

)(1 21

2

2

asass

++ −

−

u(s)2b

s 1b

y(s)+

+

2b

s 1b

y(s)+

+2−s

21 asa +

+u(s)

-

3

2b

s 1b

y(s)+

+2−s+

u(s)

-

s1a

2a

-

2b

s 1b

y(s)+

+2−s+

u(s)

-

s1a

2a

-

1−ss

2b

1b

y(s)+

+1−s+

u(s)

-

1a

2a

-

1−sx1(s)x2(s)

Con la asignación de variables del ultimo diagrama de bloques podemos deducir lo siguiente:

)()( 21 sxsxs = (1.2.a)

)()()()( 12212 susxasxasxs +−−= (1.2.b)

)()()( 1221 sxbsxbsy += (1.2.c)

Expresándolo en forma matricial vectorial (una raya debajo de la letra indica vector), tendremos finalmente la siguiente la representación de estado del proceso

4

)()()( suBsxAsxs += (1.3.a)

)()( sxCsy T= (1.3.b)

donde

=

)()(

)(2

1

sxsx

sx

−−

=12

10aa

A

=

10

B [ ]12 bbCT = (1.3.c)

OBS: Usando el resultado del ejemplo 1.1 ( o sea el último diagrama en bloques), podemos extrapolarlo para generalizar y representar cualquiera función de transferencia en un diagrama de bloques donde los coeficientes del polinomio se expresan en forma separada e individual. Como ejercicio, hacer la representación en bloque y de estado de otras funciones de transferencia. Inversamente, si sólo dispusiéramos de la representación de estado dado por ecuaciones (1.3), podemos retroceder en el análisis partiendo del final del ejemplo 1.1 y obtener finalmente la función de transferencia dada por la ecuación (1.1).

Concepto práctico de señal discreta Al hacer pasar una señal continua por un conversor análogo digital y luego seguido por un conversor digital análogo, a la salida se obtiene la señal discretizada que se muestra en la figura 1.3.

A/D D/A

Figura 1.3. Obtención de una señal discreta

Reloj conperiodo T0

t t T0 2T0 3T0 kT 0

1.3 CONTROL POR COMPUTADOR

En un sistema controlado por computador , las señales continuas y discretas aparecen como se muestra en la figura 1.4

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PC

ProcesoanálogoD/A

Figura 1.4. Esquema general de control por computador

u(t)y(t)

t A/Dt

La información numérica al interior del computador tiene una correspondencia biunívoca con el nivel de altura de los escalones que se observan a la salida del conversor D/A. En rigor la operatoria es la siguiente: Sea un número al interior del PC que se desea enviar a la salida. Para ello el número, que esta codificado en en byte, es enviado al bus de datos de salida, que lo transporta a la entrada del conversor D/A. A la salida del conversor se obtiene el nivel de señal (altura ó voltaje) correspondiente al número. Por lo tanto el nivel de salida u(kT0) tiene el mismo valor que el número al interior del PC. De manera que el análisis matemático a la señal escalonada es equivalente a considerar sus correspondientes valores numéricos al interior del PC. Ambos enfoques se usan indistintamente porque significan lo mismo. Más adelante se formalizara una representación matemática más precisa para representar señales discretas.

Representación de estado discreta de un proceso Aplicando la transformada inversa de Laplace a la sistema de variables de estado continuo representado por la ecuación (1.3), tenemos

)()()( tuBtxAtx−−

•

−+=

(1.4.a)

)()( txCty T

−−=

(1.4.b)

La solución de la ecuación (1.4.a) a partir del instante

0Tktk = (1.5)

(ver salida de figura 1.3), conocida la condición inicial )( ktx , esta dada por

τττ duBetxetxt

t

tAk

ttA

k

k )()()( )()( ∫ −− +=

(1.6) Evaluando en t = tk+1 tenemos

)()()( 111 )()(

1 k

t

t

tAk

ttAk tuBdetxetx k

k

kkk ττ∫+

++ −−+ +=

(1.7)

usando el cambio de variable en la integración τη −= +1kt , tenemos

6

∫ ∫∫ −

−−

+

+++ =−=

0

0

)(

1

111 )(

kk

kkk

k

k

tt

tt AAt

t

tA dedede ηητ ηητ

(1.8) por lo tanto la representación de estado discreta del proceso es

)()()( 1 kdkdk tuBtxAtx +=+ (1.9.a)

)()( kT

k txCty = (1.9.b)

donde

01 )( TAttAd eeA kk == −+ (1.10)

∫∫ Ψ===−+ 01

00

T Att Ad BBdeBdeB kk ηη ηη

(1.11)

con

∫=Ψ 0

0

T A de ηη

(1.12) OBS: En muchos textos usan las variables A y B para representar al sistema discreto dados por Ad y Bd

(también se usan para representar polinomios). Sin embargo la relación entre la representación continua y discreta esta dada por la ecuación (1.10) y (1.11). En todo caso la clarificación, si las variables pertenecen a uno u otro caso, dependerá implícitamente del planteamiento del problema.

Otra forma de expresar Ad es usando series de Taylor,

....!2

20

2

00 +++=

TATAIe TA

(1.13)

con I matriz de identidad. Entonces

......!2

0

0

20

0 ++=∫T A TATIde ηη

(1.14)

por lo tanto

Ψ+= AIAd (1.15)

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Ejemplo 1.2 Obtener la representación de estado discreta del siguiente proceso, expresado en variable de estado continuo

uxx

+

=

•

10

0010

[ ] xy 01= Solución Usando el método de series de Taylor

=+

+

=+++==

101

000

01001

....!2

002

02

00

TTTATAIeA TAd

Para calcular dB , sustituimos T0 por η , o sea

==

101 ηηA

d eA

luego de ecuación (1.11)

=

== ∫∫

0

20

002

100

T

TdBdeB

TT Ad η

ηηη

finalmente tenemos

)(2)(10

1)(

0

200

1 kkk tuT

Ttx

Ttx

+

=+

[ ] )(01)( kk txty = Variables de estado con periodo de muestreo T0 = 1 Si T0 = 1, entonces usando ecuación (1.5), ecuación (1.9) queda

)()()1( kuBkxAkxdd −−−

+=+ (16.a)

)()( kxCky T

−−= (16.b)

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Ejemplo 1.3 Obtener la representación de estado discreto de

uxx

+

−=

•

01

0101

[ ] xy 10= usando Laplace. Solución Aplicando el método de transformada de Laplace, tenemos de la ecuación (1.4.a)

( ) ( ) )()0()( 11 suBAIsxAIssx −− −+−= Ahora aplicando la inversa de Laplace

( ) ( ) )()0()( 1111 suBAIsLxAIsLtx −−−− −+−= evaluando en t = T0 tendremos la misma ecuación (1.9.a) para k = 0, por lo tanto

( ) 0

0

0

0

1)1(

1

01

1

101 1

1111

TT

T

TAd

sss

sLs

sLAIsLeA

+

+=

−+

=−== −−

−−−

−=

−

−

110

0

0

T

T

d eeA

para el cálculo de

−dB de la ecuación (1.11) tenemos

+−−

=

−==

−

−

−

−

∫ ∫ 0

00 0

11

1 00 0 T

TT TAd

eTe

de

eBdeB ηη

η

ηη

1.4 LA TRANSFORMADA Z Al igual que la transformada de Laplace para sistemas continuos, existe una transformada para sistemas discretos denominada transformada z Para entender su razón de ser y su deducción, sea una señal continua de la figura 1.5.

x(t)

t

Figura 1.5. señal de proceso

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la discretización de esta señal se muestra en la figura 1.6

tFigura 1.6 señal discretizada con periodo T0

m(t)

T0 2T0 3T0 kT 0

La expresión matemática de la discretización es

[ ]∑∞

=

+−−−=0

000 ))1(()()()(k

TktukTtukTxtm

(1.17)

donde )( 0kTx es la señal )(tx evaluada en kT0 con k = [0,1,2,3,....] y )(tu es la señal escalón unitario.

La transformada de Laplace de )(tm es

[ ]∑∞

=

−− −=0

000 11)()(

k

sTskT es

ekTxsm

(1.18)

[ ] )(11)( *0 sXes

sm sT−−=

(1.19)

con

∑∞

=

−=0

0* 0)()(

k

skTekTxsX

(1.20)

donde la transformada de Laplace X*(s) posee la información básica de la señal en el tiempo x(t), y por lo tanto concentra toda la información relevante de la señal real m(t) (con T0 constante) para el análisis discreto, o sea cuando se trabaja en procesos controlados por computador. Asignando, por comodidad, la siguiente variable

sTez 0= (1.21)

10

desaparece la variable s y queda la siguiente función en z

∑∞

=

−=0

0 )()(k

kzkTxzX

(1.22)

también se expresa como

[ ])()( 0kTxZzX = (1.23)

a dicha expresión se le denomina transformada z de la señal continua x(t). Como se verá a continuación las facilidades matemáticas que otorga la transformada z para sistemas discretos es aún más fácil que la que otorga Laplace a los sistemas continuos. Por ejemplo para pasar de x(kT0) a x(z) y viceversa no requiere resolver integrales, como ocurre en algunos casos en el sistema continuo. Dada la relación directa que existe entre x(t), x(s) y x(kT0), se usa indistintamente

[ ] [ ] [ ])(ˆ)(ˆ)(ˆ)( 0 txZsxZkTxZzX === (1.24)

Ejemplo 1.4 Obtener la transformada z de la señal escalón de la figura 1.7

u(t)

1

tFigura 1.7. señal escalón

Solución De la ecuación (1.22) tenemos que

......1)( 321 ++++= −−− zzzzX

esto representa una serie matemática, cuya fórmula es:

11

1)( 1 −=

−= − z

zz

zX y converge si 1>z

Ejemplo 1.5 Obtener la transformada z de la señal exponencial, ate− , de la figura 1.8

u(t)

1

t

Figura 1.8. señal exponencial

11

Solución De la ecuación (1.22) tenemos

.....)()(1)( 21 00 +++= −− zezezX TaTa

00 1)(1

1)( TaTa ezz

zezX −− −

=−

= converge para 10 >ze Ta

1.5 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z Las propiedades más importantes de la transformada z son la de corrimientos. Para el resto de las propiedades, ver referencia [1],[2],[3].

Corrimiento hacia la izquierda Sea y(kT0) la señal desplazada hacia la izquierda en un instante de muestreo de la señal x(kT0), como se muestra en la figura 1.9

t

x(kT0)

Figura 1.9. corrimiento a laizquierda

T0 2T0 3T0 kT0

y(kT0)=x((k+1)T0)

de ecuación (1.22) tenemos

........)3()2()()0()()( 30

20

10

00 ++++== −−−

∞

=

−∑ zTyzTyzTyyzkTyzYk

k

(1.25)

........)4()3()2()()( 30

20

100 ++++= −−− zTxzTxzTxTxzY (1.26)

........)4()3()2()()0()0()( 30

20

100 ++++++−= −−− zTxzTxzTxTxxzxzzY (1.27)

∑∑∞

=

−∞

=

−− −=+−=0

00

)1(0 )0()()()0()(

k

k

k

k xzzkTxzzkTxxzzY

(1.28)

Luego nos queda la siguiente expresión

12

[ ] )0()())1(()( 0 xzzXzTkxZzy −=+= (1.29)

Corrimiento hacia la derecha Sea y(kT0) la señal de x(kT0) desplazada en un tiempo de

muestreo hacia la derecha como se muestra en la figura 1.10

t

x(kT0)

Figura 1.10 corrimiento a laderecha

T0 2T0 3T0 kT0

y(kT0)=x((k-1)T0)

de ecuación (1.22) tenemos

........)3()2()()0()()( 30

20

10

00 ++++== −−−

∞

=

−∑ zTyzTyzTyyzkTyzYk

k

(1.30)

........)2()()0(0)( 30

20

1 ++++= −−− zTxzTxzxzY (1.31)

∑∑∞

=

−−∞

=

−− ==0

01

0

10 )()()(

k

k

k

k zkTxzzkTxzY

(1.32)

Luego nos queda la siguiente expresión

[ ] )())1(()( 10 zXzTkxZzY −=−= (1.33)

Ejemplo 1.6

Sea la función de transferencia, de la figura 1.4, una constante de valor 1 a) Grafique y(kT0), que captura el PC, frente a un escalón unitario u(kT0) a la salida del PC

b) Obtenga )()()(

zuzyzG = de la planta unitaria

Solución a) El PC sincroniza sus datos de salidas y entradas, es decir, ocurren al mismo instante. Si a la

salida de PC se origina un escalón unitario en k = 0, la entrada del PC no se percatará de este cambio al mismo instante dado que el conversor A/D requiere un tiempo para hacer la conversión. Por lo tanto el PC deberá esperar el siguiente periodo de muestreo para poder capturar la data, tal como se muestra en la figura 1.11

13

y(kT0)

1

kT0

Figura 1.11 señal entrada y salida del proceso

T0 2T0

u(kT0)

1

kT0T0 2T0

b) De la figura 1.10 vemos que y(kT0) = u((k-1)T0). Entonces de la propiedad de corrimiento

1)( −= zzG

1.6 LA TRANSFORMADA INVERSA DE Z

La transformada inversa de z consiste en encontrar los valores x(kT0) de la ecuación (1.22), dada

X(z) Ejemplo 1.7

Obtener la transformada inversa de z de 1

1)( 2 ++=

zzzX

Solución Haciendo división sucesiva

...)( 6532 +−+−= −−−− zzzzzX

Con T0 =1,

0)0( =x , 0)1( =x , 1)2( =x , 1)3( −=x , 0)4( =x , 1)5( =x , 1)6( −=x , . . .

Existen una serie de métodos para obtener la transformada inversa de z, como también la tabla de transformada z de señales conocidas. Para tal efecto consultar la referencia [1].

1.7 REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE PROCESOS DISCRETOS Así como una ecuación diferencial puede representar el comportamiento de un sistema continuo, la ecuación de diferencia puede representar el comportamiento de un sistema discreto.

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Ecuación de diferencia Sea el siguiente proceso integrador

yu ∫

la ecuación que representa al proceso es (área bajo la curva de la señal de entrada)

∫=t

dttuty0

)()(

(1.34) la ecuación diferencial correspondiente es

)()( tudt

tyd=

(1.35)

Aproximando por rectángulos, tenemos (ver figura 1.6)

∑−

=

=1

0000 )()(

k

qqTuTkTy

(1.36)

∑=

=+k

qqTuTTky

0000 )())1((

(1.37)

restando la ecuación anterior

)()())1(( 0000 kTuTkTyTky =−+ (1.38)

con T0=1, tenemos

)()()1( kukyky =−+ ó

)1()1()( −+−= kukyky (1.39) Así como la ecuación 1.(35) se le llama la ecuación diferencial del proceso, la ecuación (1.39) se denomina la ecuación de diferencia del proceso discreto. Para encontrar y(t) es necesario resolver la ecuación (1.35) matemáticamente, en cambio para encontrar y(k) la resolución de la ecuación (1.39) es mucho más simple. Por ejemplo sea u(k) e y(0)conocidos, entonces la solución de y(k) es

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)0()0()1( uyy +=

)1()0()0()1()1()2( uuyuyy ++=+=

)2()1()0()0()2()2()3( uuuyuyy +++=+=

.

)1(...)2()1()0()0()1()1()( −+++++=−+−= kuuuuykukyky

Función de transferencia discreta o función de transferencia en z, G(z) La función de transferencia en z de un proceso es el cuociente de señal de salida y entrada en z , o sea

)()()(

zuzyzG =

(1.40)

Ejemplo 1.8

Obtener la función de transferencia en z de la ecuación (1.39) Solución Aplicando las propiedades de corrimiento, tenemos

)()()( 11 zuzzyzzy −− =− (1.41)

[ ] )(1)( 11 zuzzzy −− =− (1.42)

11

1)()()( 1

1

−=

−==

−

−

zzz

zuzyzG

(1.43)

que corresponde a la función de transferencia discreta del proceso integrador de la figura 1.11.

Representación polinómica de un proceso Observando la relación existente entre las ecuaciones (1.35) y (1.39) podemos decir que la ecuación diferencial de primer orden de un sistema continuo tiene su representación discreta dada por la ecuación de diferencia de primer orden. Generalizando podemos decir entonces que una ecuación diferencial de orden n siguiente

)()(...)()()(...)( 0101 tutudtdtu

dtdtyty

dtdty

dtd

n

n

nn

n

n βββααα +++=+++

(1.44)

tiene su representación discreta dada por la ecuación de diferencia de orden n siguiente

)(....)1()()(....)1()( 1010 nkubkubkubnkyakyakya nn −++−+=−++−+ (1.45)

16

Aplicando transformada de Laplace y z a ecuaciones (1.44) y (1.45) respectivamente tendremos

)()(

)()()(

ss

susys

ΑΒ

==Η

(1.46)

)()(

)()()(

zAzB

zuzyzG ==

(1.47)

con los polinomios )()(),(),( zByzAss ΒΑ dados por

011

1 ....)( αααα ++++=Α −− ssss n

nn

n (1.48)

011

1 ....)( ββββ ++++=Β −− ssss n

nn

n (1.49)

n

n zazazaazA −−− ++++= ...)( 22

110 (1.50)

n

n zbzbzbbzB −−− ++++= ...)( 22

110 (1.51)

finalmente la representación polinómica de procesos reales (b0 = 0), con el polinomio )(zA en forma mónica ( a0 =1)

)()(

...1...

)( 11

11

zAzB

zazazbzbzG nn

nn =

+++++

=−−

−−

(1.52)

Obtención de G(z) a partir de G(s) Sea una planta cualquiera representada en la figura 1.12.

Figura 1.12. Proceso continuo

G(s) yu

Circunscribiendo el análisis al control por computador, nos interesa las señales escalonadas como se muestra a la salida de la figura 1.3. Observamos que la señal esta compuesta por una suma de señales escalones. Entonces sea la señal escalón unitaria

ssu 1)( =

(1.53)

)(1)( sGs

sy =

(1.54)

17

de la tabla de transformada Z, se obtiene

[ ]

==

ssGZsyZzy )()()(

(1.55)

pero

)()()(

zuzyzG =

(1.56)

de la tabla de transformada Z, el escalón es 1

)(−

=z

zzu , por lo tanto la relación entre )(zG y )(sG es

−

=ssGZ

zzzG )(1)(

(1.57)

Ejemplo 1.9

Resolver el ejemplo 1.8 usando la ecuación (1.57)

Solución El proceso integrador se muestra en la figura 1.13

Figura 1.13. Proceso integrador

yus

sG 1)( =

de ecuación (1.57) tenemos

−

= 2

11)(s

Zz

zzG

de la tabla de transformada z tenemos

20

2 )1(1

−=

zzT

sZ

por lo tanto

1

100

20

11)1(1)(

−

−

−=

−=

−−

=zzT

zT

zzT

zzzG

si T0 = 1 entonces

18

11)(−

=z

zG

que corresponde a la misma ecuación (1.43) resuelto en el ejemplo 1.8

1.8 ANALISIS DE SISTEMAS DISCRETOS Usando técnicas lineales similares a las del sistema continuo, se pueden obtener información relevante de los sistemas discretos. Por ejemplo es importante saber si un proceso es realizabable y/o estable. Ganancia en estado estacionario de un proceso En estado estacionario se cumple que

0)(........)2()1()( Ynkykykyky =−==−=−= (1.58)

y

0)(........)2()1()( Unkukukuku =−==−=−= (1.59)

con 00 UyY constantes, por lo tanto de ecuación (1.45), con )(zA mónico, tendremos

).....().....1( 210210 nn bbbUaaaY +++=++++ (1.60)

luego la ganancia en estado estacionario, K, será

)1(....1

....

21

21

0

0 Gaaa

bbbUYK

n

n =++++

+++==

(1.61)

En consecuencia, la ganancia en estado estacionario de cualquier función de transferencia expresada en z, es la función de transferencia evaluada en z=1, o sea )1(G . Proceso de retardo puro Un proceso con retardo puro de T tiempo, se representa por

sTdTs eesG 0)( −− == (1.62)

con d = 1,2, ... , numero entero dependiendo de la magnitud del retardo, T, y del periodo de muestreo T0 por lo tanto de la ecuación (1.21)

dzzG −=)( (1.63)

Proceso generalizado más retardo Se obtiene del proceso de la ecuación (1.52) seguido por el proceso de la ecuación (1.630)

dzzAzBzG −=)()()(

(1.64)

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Realizabilidad Un proceso se dice realizable si se cumple la ley causa efecto, es decir la salida de un proceso no puede reaccionar antes que se le aplique una excitación en la entrada. Ejemplo 1.10 Determine si la siguiente ecuación de diferencia representa a un proceso realizable

)1()1()( ++−= kukyky Solución Se observa que la salida depende de entrada futura por lo tanto no se cumple la ley causa efecto. Condición general de realizabilidad. Primero el denominador debe quedar expresado en forma de polinomio mónico dado por la ecuación (1.52). Ahora, si existen exponentes positivos en el denominador, entonces deben multiplicarse el numerador y denominador de G(z) por un factor “z” con exponente correspondiente al negativo del exponente positivo más grande presente en el denominador. En estas condiciones, entonces decimos que una función de transferencia , G(z), es realizable si no existen exponentes positivos (con cero incluido) en la variable z del numerador. Ejemplo 1.11 Determinar si el siguiente proceso es realizable

)2()1()2()2()1()( 101201 −+++++−−=++ − kubkubkubkyakyakya

,,,,,, 101210 bbbaaa − constantes cualquiera distintos de cero.

Solución Aplicando propiedades de desplazamientos, tenemos

)()()()()()( 210

21

2201 zuzbzuzbzuzbzyzazyazzya −

−− +++−=+

2210

210

21)(

−

−−

++++

=zaazazbzbzbzG

Multiplicando por 1

1

−

−

zz

, tenemos

32

110

3101)(

−−

−−

++++

=zazaa

zbbzbzG

Podemos deducir que el proceso no es realizable dado que posee potencia positiva de z en el numerador Respuesta a pulso de un proceso Es la evolución que experimenta la salida de un proceso frente a un pulso, como el de la figura 1.14, a la entrada del proceso, con condiciones iniciales cero

20

u(kT0)

1

kT0T0 2T0

Figura 1.14 señal de entrada pulso

a este pulso se le conoce en los textos como Delta de Kroneker y su definición es

≠=

=0001

)(kk

kKδ

(1.65)

O sea )()( kku Kδ= corresponde a la figura 1.14 con T0 = 1 Ejemplo 1.12 Sea un proceso dado por la siguiente ecuación de diferencia

)2()1()2()1()( 2121 −+−+−−−−= kubkubkyakyaky

Obtener los valores de y(k) para k = 0,1,2 y 3 cuando se le aplica un Delta de Kroneker a la entrada Solución

0)0( =y

1)1( by =

211)2( bbay +−=

121121 )()3( bababay −−−=

Ejemplo 1.13 Demostrar que la transformada inversa de z de una función de transferencia discreta de un proceso corresponde a la respuesta a pulso del proceso. Use el proceso del ejemplo 1.12 para la demostración Solución El G(z) del ejemplo 1.12 es

22

11

22

11

1)(

−−

−−

+++

=zaza

zbzbzG

haciendo la división entre los polinomios tenemos

[ ] ..)()()1(:)( 3121121

2112

11

22

11

22

11 +−−−+−+=+++ −−−−−−− zbababazbabzbzazazbzb

312

211

11

−−− −−− zbazbazb

312

2112 )( −− −− zbazbab

21

41122

31121

2112 )()()( −−− −−−−−− zbabazbabazbab

[ ] 41122

3121121 )()( −− −−−−− zbabazbababa

De ecuación 1.22 vemos que

∑∞

=

−=0

0 )()(k

kzkTgzG

(1.66)

Donde la transformada inversa de G(z) es g(k) con

0)0( =g

1)1( bg =

211)2( bbag +−=

121121 )()3( bababag −−−=

Que corresponde a la respuesta a pulso del proceso del ejemplo 1.12 , tal como lo muestra en la figura 1.15

Figura 1.15 Proceso integrador

)(zG)(kKδ )(kg

Convolución discreta Cualquiera entrada u(k) se puede expresar como

∑∞

−∞=

−=n

K nknuku )()()( δ

(1.67)

Sabemos que la entrada y salida del proceso están dadas por

)()()( kgkykK =→δ (1.68)

)()()()()( nkgnukynknu K −=→−δ (1.69)

por lo tanto para una entrada cualquiera

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=→−=nn

K nkgnukynknuku )()()()()()( δ

(1.70)

Para que se cumpla la condición de realizabilidad (ley causa –efecto) la sumatoria debe llegar hasta k-1, dado que y(k) sólo es afectado hasta u(k-1). Por lo tanto

∑−

−∞=

−=1

)()()(k

nnkgnuky

(1.71)

22

Haciendo el cambio de variables nk −=τ tenemos finalmente la convolución discreta

∑∞

=

−=1

)()()(τ

ττ kugky

(1.72)

Que tiene su equivalencia a la convolución de en sistemas continuos

ηηη dtugtyt

)()()(0

−= ∫

(1.73)

Respuesta en frecuencia Veremos qué ocurre cuando a un proceso discretizado, G(z), se le aplica una señal sinusoidal de frecuencia ω , o sea cuando la entrada es ( 10 =T )

kjekku ωω ℜ== cos)( (1.74)

OBS: si 10 ≠T , )2cos()cos()( 00sw

kkTkTu πωω == , con

0

2T

wsπ

=

de ecuación (1.72)

ℜ=ℜ= ∑∑ −−∞

=

)()(

1)()()( τωτω

τ

ττ kjkj egegky

(1.75)

)()()(1

ωω

τ

τωω τ jkjjkj eGeegeky ℜ=

ℜ= ∑∞

=

−

(1.76)

[ ] ( )[ ] )()(1)( jwjw eGarctgeGkky ∠∠ℜ= ω (1.77)

)cos()()( ϕω += kweGky j (1.78)

con

( ))( ωϕ jeGarctg= (1.79)

)( ωjeG con πωπ ≤≤− se conoce como función de frecuencia de G(z). )( ωjeG es conocida como Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT) de g(m)

23

Estabilidad Decimos que un proceso es estable si frente a un pulso en la entrada (ó condición inicial distinta de cero), la salida, luego de un transiente, decae a cero.

Ejemplo 1.13 Determine si el siguiente proceso es estable

)1()1(4)(2 −+−= kukyky

Solución Despejando y(k), tenemos

)1(5.0)1(2)( −+−= kukyky

para kkuy ∀== 0)(,1)0( , evaluando tenemos

2)0(2)1( == yy 4)1(2)2( == yy

.

. kkyky 2)1(2)( =−=

vemos que el proceso es inestable porque y(k) crece hacia valor infinito cuando ∞→k

Condición de estabilidad Sabemos que el denominador de G(s) puede expresarse en factores de primer orden usando el método de fracciones parciales, consiguiendo con esto ser expresado en los polos del sistema. Por lo tanto si los polos del sistema están en el semiplano derecho ,el sistema es inestable. Sea entonces la siguiente función de transferencia

asKsG+

=)(

(1.80)

usando ecuación (1.57), tenemos

+

−=

)(1)(

assKZ

zzzG

(1.81)

de la tabla de transformada z, [1]tenemos

1

1)(az

bzG+

=

(1.82)

donde

24

)1( 01

TaeaKb −−=

(1.83)

y

01

Taea −−= (1.84)

el límite de establidad de G(s) es para el polo ubicado en el eje imaginario jwa = que corresponde, en el

plano z, al polo 1a ubicado en 01

Twjea −−= , con ∞<<∞− w . Vemos que al variar w, el polo 1a traza un circulo unitario en el plano z que corresponde al límite de estabilidad en el plano z. Por lo tanto podemos deducir que G(z) es estable si posee todos sus polos dentro del circulo unitario y consecuentemente es inestable si posee al menos un polo fuera del circulo unitario. Criterios de estabilidad Existen varios métodos para saber si una función de transferencia, G(z) es estable. Ver referencia [1],[2].

Estabilidad para procesos de hasta segundo orden Para polinomios de hasta segundo orden en el denominador existe un procedimiento gráfico para determinar en forma rápida si el sistema es estable o no. Sea el proceso dado por

22

111

)()( −− ++=

zazazBzG

(1.85

donde B(z) dado por la ecuación (1.51) Usando el método de estabilidad de Jury [1] se puede demostrar que G(z) es estable si 21 aya están dentro de la zona delimitada por la figura 1.16

1 2

-1

1

-1-2 a1

a2

Figura 1.16 Zona de estabilidad

Ejemplo 1.14 Determine si el siguiente proceso es estable

25

21

21

3.05.012)(

−−

−−

−++

=zz

zzzG

Solución Trazando las coordenadas 21 aya en figura 1.13 obtenemos el punto que se muestra en la figura 1.17

1 2

-1

1

-1-2 a1

a2

Figura 1.17 Zona de estabilidad

0.5

-0.3

deducimos entonces que el sistema es estable porque las coordenadas caen dentro de la zona de estabilidad Propiedades de variables de estados discretas Aplicando transformada z a la ecuación (1.16), tenemos

)()()( zuBzxAzxz dd−−−

+= (1.86.a)

)()( zxCzy T

−−= (1.86.b)

Observando la similitud de estas ecuaciones con las ecuaciones (1.3) podemos deducir que el tratamiento de variables de estado discretas es similar al de sistemas continuos debido a que su estructura son semejantes. Ver referencia [1],[2]

EJERCICIOS 1.- Determine cuales de las siguientes ecuaciones de diferencia posee su representación de estado continuo

a) )(6)(5.0)( 0000 kTukTyTkTy =−+

b) )(6)(5.0)( 0000 kTukTyTkTy =++ 2.- sea d una variable entera positiva y [ ] )()( 0 zXTxZ = , entonces demostrar que

26

a) [ ]

−=+ ∑

−

=

−1

000 )()())((

d

q

qd zqTxzXzTdkxZ

b) [ ] )())(( 0 zXzTdkxZ d−=− 3.- sea el siguiente sistema

)(11

)(116.0

10)1( kukxkx

+

−−

=+

[ ] )(01)( kxky =

a) Obtener la matriz de transición de estado [ ]zAIzZ d11 )( −− −

b) Calcular )(kx e )(ky para )(ku escalón unitario y

−

=1

1)0(x

4).- Deducir la expresión en función de k del ejemplo 1.5, o sea hallar x(k) 5) Comprobar que la transformada z de una función en el tiempo x(t) es única, sin embargo a la inversa no lo es. Compare con el análisis de la transformada de Laplace.

6) sea as

KsG+

='

)( con 'K y a constantes. Obtener )(zG

7) Obtener G(z) del proceso continuo caracterizado por la ecuación diferencial )()(3

3

tutydd

= . Use T0 = 1.

8) Frente a un función de transferencia determine cuál es la correcta secuencia de análisis: estabilidad y luego realizabilidad ó viceversa

9) Sea la función de transferencia 11

1

1)(

−

−

+=

zazzG . Graficar y(k) en función de k para y(0) = 1 y

u(k) = 0, en los siguientes casos a) 21 −=a b) 11 −=a c) 5.01 −=a d) 01 =a

f) 5.01 =a g) 11 =a h) 21 =a 10) Si los polos de la función de transferencia continua , G(s), se mueven dentro de la zona de la figura 1.18

27

s

σ

ωj

2/π

4/π

2/π−

4/π−

Figura 1.18. zona de los polos de G(s)

al transformar a función de transferencia discreta G(z), ¿Cuál es la zona de los correspondientes polos en el plano z? 12) Sea el siguiente proceso realimentado de la figura 1.18

+R(s)

-y(s)

u(s)

11)(+

=s

sGc ssG p

1)( =

E(s)

Controlador

Planta

Figura 1.18 Controlador continuo

Transformar el control analógico, Gc(s), al digital Gc(z). Luego grafique u(k) e y(k) con periodo de muestreo T0 = 0.5 y escalón unitario en la referencia. 13) Explique porqué b0 = 0 e n la ecuación (1.51) para procesos reales 14) Usando los pasos de la ecuación (4) a la (8) deduzca la representación de estado discreta para un proceso de tiempo continuo con retardo 0T≤τ , o sea para el proceso

)()()( τ−+=•

tuBtxAtx

)()( txCty T=

15) Obtenga la respuesta en frecuencia de un conversor A/D. Grafique la magnitud y fase versus frecuencia

28

2

CONTROLADORES DETERMINISTICOS

2.1 INTRODUCCIÓN El control determinístico se refiere al diseño de control de un proceso cuando las entradas y/o perturbaciones (ruidos) que le afectan son aproximadas a señales concretas expresables matemáticamente (señal impulso, escalón, sinusoidal, etc.). En consecuencia se usan las técnicas de teoría de sistemas lineales. Nos concentraremos en procesos de una sola entrada y una sola salida ó SISO (Single Input Single Output). Obviamente existen procesos MISO (Múltiple Input Single Output) y MIMO (Múltiple Input Múltiple Output) que serán tratados en cursos superiores. Controladores de estados basados en la teoría de variables de estado también serán tratados en cursos superiores.

2.2 CONTROL EN LAZO ABIERTO Y CERRADO Como sabemos , el objetivo básico de un controlador es que la salida del proceso alcance un valor deseado. Par alcanzar este objetivo existen dos técnicas

- control en lazo abierto (controlador prealimentado o de cancelación) - control en lazo cerrado (controlador realimentado)

Control en lazo abierto El control en lazo abierto esta orientado a aquellos procesos donde se

conocen exactamente su formulación matemática y donde las perturbaciones y ruidos son también conocidos exactamente o despreciables. es así como el controlador de cancelación de la figura 2.1 se logra que la salida es exactamente la señal deseada, es decir el control perfecto

Figura 2.1. Controlador de cancelación

Gp(z) yu

Gp(z)1_____Ref

Controlador Planta

Para lograr lo anterior se debe cumplir que el controlador sea realizable y estable. Si ahora se desea una función de transferencia , GT(z), preestablecida entre salida y Ref, entonces el controlador deberá ser:

)()(

)(zGzGzG

p

Tc =

(2.1)

Para que )(zGc sea estable en la práctica, )(zG p no debe poseer ceros fuera del circulo unitario. Porque si ocurriese lo contrario entonces cualquier corrimiento del cero de la planta, el polo inestable del controlador no se eliminaría y por lo tanto el sistema sería inestable.

29

Control en lazo cerrado Cuando no se puede encontrar un controlador en lazo abierto que sea

estable o cuando el conocimiento de la planta y las perturbaciones o ruidos impiden determinar satisfactoriamente a )(zG p en ecuación (2.1), se recurre al control en lazo cerrado como se muestra en al figura 2.2.

y(z))(zGc+

Ref(z)

-

)(zG p

u(z)

Figura 2.2. Sistema realimentado

El control en lazo abierto no tiene mucha ciencia, porque es prácticamente directo su diseño. En cambio el diseño de controladores en lazo cerrado requiere mayor análisis. Esquema general de control Consiste en una fórmula que contemple los dos tipos de control: lazo abierto y cerrado. La formula es la siguiente

)()()(Re)()()( zyzSzfzTzuzR −= (2.2) El esquemático se muestra en la figura 2.3

y(z)+

Ref(z)

-

u(z)

Figura 2.3. Esquema general de control

)()(

zRzT )(zG p

)()(

zRzS

Si S = 0 entonces corresponde a un control en lazo abierto. Para el caso de la figura 2.1, el control que resulta es

)(1

)()()(

zGzRzTzG

pc ==

(2.3)

y el diseño de los polinomios T y R son directos Si T(z) = S(z) entonces corresponde a un control en lazo cerrado. Según la figura 2.2 , el control que resulta es

)()()(

zRzTzGc =

(2.4)

30

El diseño de T y R va a corresponder a algún criterio de control en lazo cerrado como se verá más adelante. El control en lazo cerrado es más común en la industria que el control en lazo abierto, por lo tanto se hará hincapié en estos tipos de controladores durante todo el curso. Estos controladores también son denominados controladores realimentados

2.3 CONTROLADORES REALIMENTADOS En figura 2.4 se muestra un esquema general de control de proceso SISO

y(z))(zGc+Ref(z)

-

)(zG p

uv (z)

Figura 2.4. Proceso realimentado más perturbaciones

n(z)

u(z)++ +

+e(z)

donde uv(z) y n(z) representa los ruidos ó perturbaciones a la entrada y salida del proceso. Sea la planta

)()()(

zAzBzG p =

(2.5)

El controlador )(zGc se expresa, al igual que la planta, en un cuociente de polinomios en z, a saber

)()()(

zPzQzGc =

(2.6)

Con

ν

ν

nn zqzqzqqzQ −−− ++++= ...)( 2

21

10 (2.7)

µ

µ

nn zpzpzppzP −−− ++++= ...)( 2

21

10 (2.8)

donde νn y µn son los ordenes de los polinomios Q(z) y P(z) respectivamente Tipos de controladores Existen básicamente dos tipos de controladores: de parámetros optimizados y de estructura optimizada. En los controladores de parámetros optimizados µn y νn son fijos y se debe encontrar los coeficientes de los polinomios para que se obtenga una respuesta deseada. Ejemplo de este tipo de controladores es el PID , que se verá luego. En cambio los controladores de estructura optimizados los ordenes de los polinomios dependen de un criterio de minimización de error entre salida y referencia. Ejemplos de este tipo de controladores son los de ubicación de polos y de Deadbeat (latido muerto) que también se verá más adelante.

31

2.4 CONTROLADORES DE PARÁMETROS OPTIMIZADOS

El objetivo principal de este tipo de controladores es asegurar que en estado estacionario el error sea cero. Además que el error alcance el cero lo más pronto posible y sin excesiva oscilaciones en la salida. Lamentablemente cumplir todos requisitos al mismo tiempo es difícil y requiere mayor atención. Análisis del error en estado estacionario Suponga un proceso suficientemente estable, es decir polos al interior del circulo unitario. De figura 2.4 vemos que

)()(1)()(

)()(1)()(Re)(

zGzGzuzG

zGzGznzfze

pc

vp

pc +−

+−

=

(2.9)

Para escalón en Ref(z) ó n(z) ó en vu , el valor del error en estado estacionario se obtiene aplicando el teorema del valor final , ver ecuación (1.61). Si deseamos que el error en estado estacionario sea cero, entonces debe cumplirse que

∞=)1()1( pc GG (2.10)

pero dado que )(zG p es estable, entonces

∞≠)1(pG (2.11)

por lo tanto el controlador debe ser

∞=)1(cG (2.12)

finalmente tenemos entonces que el controlador debe tener la siguiente forma

)1()()()( ' −

=zzPzQzGc

(2.13a)

o también

)1()()()( 1'

1

−

−

−=

zzPzzQzGc

(2.13b)

Por lo tanto el controlador debe tener una componente integral, donde

)1()()( ' −= zzPzP (2.14a)

ó

)1()()( 1' −−= zzPzP (2.14b)

32

2.4.1 CONTROLADOR PID DISCRETO

Del controlador PID análogo tenemos

)()11()( sesTsT

Ksu DI

++=

(2.15)

Recordemos que el error en estado estacionario, con sólo la parte P, no asegura que sea cero. Con la parte I el error es cero. Por último con la parte D, corrige anticipadamente el error, dado que la derivada da la tendencia del error. La inversa de Laplace es

dttdeKTde

TKteKtu D

t

I

)()()()(0

++= ∫ ττ

(2.16)

discretizando con periodo de muestreo T0

0

00

1

000

))1(()(()1()()(

0

TTkekTeKTie

TKTkTeKkTu D

kT

iI

−−+−+= ∑

=

(2.17)

Esta expresión se conoce como estructura posicional del controlador PID Evaluando en ))1(( 0Tku − , tenemos

0

00)1(

1

000

))2(())1((()1())1(())1((

0

TTkeTkeKTie

TKTTkeKTku D

Tk

iI

−−−+−+−=− ∑

−

=

(2.18)

haciendo la resta ))1(()( 00 TkukTu −− , tenemos

2(())1((2)(())1(()))1(()(())1(()( 000

00

0000 KeTkekTeT

KTTkeT

KTTkekTeKTkukTu D

I

−+−−+−+−−=−−

(2.19)

Aplicando transformada z tenemos

))()(2)(()()1()()1()( 21

0

1011 zezzezzeT

KTzezT

KTzzeKzzu D

I

−−−−− +−++−=−

(2.20)

La función de transferencia del controlador queda entonces

1

2

0

10

00

1

211

)()(

)()()(

−

−−

−

+

−+−+

===z

zTTz

TT

TT

TTK

zezu

zPzQzG

D

i

DD

c

(2.21)

33

aparece el factor )1( 1−− z en el denominador como en la ecuación (2.13b) con 1)(' =zP , por lo tanto asegura el error en estado estacionario cero. Ahora de ecuación (2.20) despejando )(zu , tenemos

)()1()1()()1()()1()( 11

0

011 zezzT

KTzeT

KTzzeKzzu D

I

−−−− −−++−=−

(2.22)

)()1()1(

)()()( 1

01

0 zezT

KTzze

TKTzeKzu D

I

−− −+

−+=

(2.23)

A esta expresión se le conoce como forma de velocidad del controlador PID

El controlador discreto del PID permite otras variantes propuestas por diferentes autores. Por ejemplo Takahashi propuso la siguiente modificación para evitar grandes valores en la variable manipulada frente a cambios en la referencia. Para ello en la parte derivativa de la ecuación 2.20 se sustituye e(z) por y(z). En el resto de la fórmula se sustituye e(z) por Ref(z)-y(z), quedando

−−+−+−=− −−−− ))()()(2())()((Re)1()()1()( 21

0

011 zyzyzzyzTTzyzf

TTzzyKzzu D

I

(2.24)

Para sintonizar los parámetros del controlador discreto PID y de Takahashi se usan las conocidas técnicas empíricas de Ziegler y Nichols que aparecen en la referencia [3]. Estas técnicas son iguales a las aplicadas al PID continuo. La regla empírica para seleccionar el tiempo de muestreo es que

410

→=TTr

(2.25)

Donde rT es el tiempo de subida de la respuesta a escalón del proceso continuo en lazo abierto. Gráficamente se obtiene sacando la máxima pendiente de la curva, haciéndola proyectar a las coordenadas del valor final y cero. La diferencia en el tiempo de estas dos intersecciones arroja el valor de rT

Efecto del retardo de la planta bajo control realimentado Por lo general el retardo en los procesos produce efectos nefastos en los sistemas realimentados. Por ejemplo si a un sistema realimentado debidamente sintonizado aparece en forma repentina un retardo en el proceso (que es común en la industria) puede llegar a ser inestable el sistema. Otro efecto negativo es que el sistema completo se hace más lento frente a cambios en la referencia.

34

Ejemplo 2.1 Sea el proceso de la figura 2.5

Figura 2.5 Proceso y respuesta a escalón

yu1

1+s

1 2 3 4 t

1

y(t)

Determinar un controlador PI y sintonizarlo empíricamente usando SIMULINK para a) Proceso sin retardo sintonizado b) Proceso con retardo con el PI de a) c) Proceso con retardo sintonizado

Solución a) De acuerdo a ecuación (2.25) y gráfico de la figura 2.5 se escoge

10 == rTT

El proceso realimentado usando SIMULINK se muestra en la figura 2.6a . Se emplea un controlador PI dado por la ecuación (2.23) con TD = 0.

CONT ROLADOR PI

Zero -OrderHo ld

0 .5

T i

Sum 1Sum

Scope1

Scope

1

Referencia

1

s+1

PROCESO

0.1

K

1

1-z -1

..

u (1 )/u (2)

.

M ux

Figura 2.6a Sistema realimentado usando SIMULINK

Luego de probar distintos valores de K y TI se encontró que los valores que dan buena regulación son K = 0.4 y TI = 0.4. La salida y entrada al proceso se muestra en la figura 2.6b

35

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

t

u(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

t

y(t)

Figura 2.6b Control PI del proceso

b) Suponga ahora que aparece retardo en el proceso. O sea, ahora el proceso es como se muestra en la figura 2.7

Figura 2.7 Proceso y respuesta a escalón

yu1

2

+

−

se s

1 3 4 t

1

y(t)

50 2

Para representar esta situación en SIMULINK se puede agregar al proceso de la figura 2.6a el bloque “transport Delay”. El nuevo proceso se muestra en la figura 2.8

yu

T ransportDe lay

1

s+1

PROCESO

Figura 2.8 Proceso mas retardo

36

Si se mantienen los mismos parámetros del controlador, el sistema realimentado se vuelve inestable con retardo igual a 2 instantes de muestreo, tal como se muestra en la figura 2.9

0 5 10 15 20 25 30 35 40-150

-100

-50

0

50

100

t

y(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-200

0

200

400

t

u(t)

Figura 2.9 Comportamiento inestable con retardo

c) Para evitar la inestabilidad y volver a regular bien, se debe resintonizar el PI. Los nuevos parámetros encontrados fueron K = 0.1 y TI = 0.5. En figura 2.10 se muestra la entrada y salida para esta nueva situación.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

t

y(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

t

u(t)

Figura 2.10 Respuesta del PI sintonizado

De las gráficas de las figuras 2.6 y 2.10 se observa que el retardo hace más lenta la regulación

37

2.4.2 CONTROL PREDICTOR DE SMITH

Este autor propuso un controlador discreto con el objeto de evitar la lentitud de reacción de los

controladores PID en presencia de retardo en la planta. Para su deducción, sean dos sistemas realimentados para una misma planta, una sin retardo y la otra con retardo, tal como se muestra en la figura 2.11 con sus respectivos controles PI sintonizados

y(z))(zGc+Ref(z)

-

)(zG p

u(z)

Figura 2.11 Control PI para a) proceso sin retardo y b) proceso con retardo

y(z))(1

zGc+Ref(z)

-

dp zzG −)(

u(z)

a) b)

Ahora, supongamos que idealmente, aunque realmente no se pueda, podamos separar el proceso b) en dos bloques y cambiamos el controlador por el de a) tal como se muestra en la figura 2.12

y(z))(zGc+Ref(z)

-

)(zG p

u(z)dz −

Figura 2.12. Proceso realimentado con separación de retardo

La respuesta de esta configuración con retardo igual a d = 2 corresponde a la gráfica de la figura 2.6 pero desplazada 2 instantes de muestreo, tal como se muestra en la figura 2.13

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

t

y(t)

Figura 2.13 Respuesta del proceso mas retardo

Igualando las funciones de transferencia de b) de figura 2.11 y figura 2.12 obtenemos el controlador

de Smith , )(1

zGc . Evaluando tenemos

)()(1)()(

)()(1)()(

1

1

zGzzGzGzzG

zGzGzzGzG

pd

c

pd

c

pc

dpc

−

−−

+=

+

(2.26)

38

despejando )(1

zGc tenemos

)1()()(1)(

)(1 d

pc

cc zzGzG

zGzG −−+=

(2.27)

La implementación del controlador de Smith se muestra en la figura 2.14

y(z))(zGc+

Ref(z)

-

dp zzG −)(

u(z)

Figura 2.14. Controlador de Smith para procesos con retardo

)(zG pdz −−1

+

-

Por lo tanto el controlador de Smith da la misma respuesta que el sistema de la figura 2.12, o sea figura 2.13 a diferencia que aquí no necesitamos separar el retardo de la planta. Ahora comparando la respuesta del control PI (figura 2.13 ) y control Smith (figura 2.10 ) podemos concluir que el predictor de Smith es más rápido en reaccionar en presencia de retardo. No es común encontrar el equivalente continuo de controlador de Smith porque agregar un retardo en la realimentación significa agregar un bloque Tse− en el controlador por lo tanto no sería lineal.

2.5 CONTROLADORES DE ESTRUCTURA OPTIMIZADA La estructura del controlador resulta despejando el controlador de la figura 2.4 o sea

)(1)(

)(1)(

zGzG

zGzG

T

T

pc −

=

(2.28)

Por lo tanto los ordenes de los polinomios del numerador y denominador del controlador no son fijos y dependen de las funciones de trasferencias deseada en lazo cerrado y de la planta. Se debe tener presente que la elección de la función de transferencia )(zGT debe cumplir que )(zGc sea realizable. 2.5.1 CONTROLADOR DE LATIDO MUERTO O DEADBEAT Es un controlador realimentado que frente a un escalón en la referencia, la salida alcanza la referencia en un numero finito de periodos de muestreo. No existe un equivalente en controladores continuos porque ellos requieren un tiempo infinito para llevar el error a cero. La característica de este controlador discreto produce entonces una función de transferencia en lazo cerrado que es común en los filtros digitales FIR (Finite Impulse Response), es decir

)()(Re

)()( zWzf

zyzGT ==

(2.29)

39

Con

n

nnnnn

n zzwzwzw

zwzwzW1

22

111

........)(

−−−−− ++++

=++=

(2.30)

es decir, )(zGT posee n polos en el origen. Un ejemplo de función de transferencia en lazo cerrado con control Deadbeat es el siguiente Ejemplo 2.2 Sea una función de transferencia en lazo cerrado dada por

321 3.15.02.0)( −−− +−= zzzzGT

Grafique la salida frente a un escalón en la referencia

Solución La ecuación de diferencia es

)3(Re3.1)2(Re5.0)1(Re2.0)( −+−−−= kfkfkfky

Luego, evaluando tenemos

.

.1)4(1)3(

3.0)2(2.0)1(

0)0(

==

−===

yyyyy

El gráfico se muestra en la figura 2.15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

k

y(k)

Figura 2.15 respuesta constante a partir de k = 3

Observando la figura 2.4 vemos que para que la salida tenga una forma como el de la figura 2.15 implica que la variable de control también debe estabilizarse en el mismo numero finito de tiempos de muestreo ( en este

40

caso 3). Esto quiere decir que la función de transferencia entre u(z) y Ref(z) , )(zGu , también debe ser FIR, o sea

)()(Re

)()( zQzf

zuzGu ==

(2.31)

n

n zqzqqzQ −− +++= ....)( 110 (2.32)

Determinación de numero mínimo de tiempos de muestreo n De acuerdo a la técnica de ubicación de polos en variables de estado, la respuesta transitoria dada por la ecuación (2.30) se puede lograr si se puede ubicar los n polos, de la función de transferencia en lazo cerrado, en el origen. Esto se consigue si el proceso es completamente controlable. Si es así, entonces el numero de instantes de muestreo para alcanzar el estado final debe coincidir con el orden de la matriz A, o lo que es lo mismo coincidir con el orden del polinomio del denominador de la planta. Por lo tanto en el controlador Deadbeat la salida alcanza la referencia en un mínimo de n instantes de muestreo, donde n es el orden del polinomio de denominador de la planta, A(z). Diseño del controlador Deadbeat Dividiendo las ecuaciones (2.29) y (2.31) obtenemos

)()(

)()()(

zQzW

zuzyzG p ==

(2.33)

o sea

)()(

)()()(

zQzW

zAzBzG p ==

(2.34)

igualando coeficientes, tenemos

nn

nn

nn

nn

p zqzqqzwzw

zazazbzb

zG−−

−−

−−

−−

+++

++=

+++

++=

......

...1...

)(1

10

11

11

11

(2.35)

por lo tanto

)()( 0 zAqzQ = (2.36)

y

)()( 0 zBqzW = (2.37)

incorporando ecuaciones (2.29) y (2.33) en ecuación (2.28) tenemos

41

)(1)()(ZW

zQzGc −=

(2.38)

usando ecuación (2.36) y (2.37) tenemos finalmente el diseño del controlador

)(1)(

)(0

0

zBqzAqzGc −

=

(2.39)

para hallar 0q aplicamos el teorema del valor final a la ecuación (2.37) o sea

)1()1( 0 BqW = (2.40)

lo que nos da

)...(... 21021 nn bbbqwww +++=+++ (2.41)

Ahora al aplicar también el valor final a la ecuación (2.30) nos da

1...)1( 1 =++= nT wwG (2.42)

lo que da

nbbq

++=

...1

10

(2.43)

Ejemplo 2.3 Diseñar un controlador Deadbeat para el siguiente proceso

)3679.01()1()7181.01(3679.0)( 11

11

−−

−−

−−+

=zz

zzzG p

Solución El controlador se obtiene de la ecuación (2.39). Para ello necesitamos resolver 0q de ecuación (2.43). Por lo tanto tenemos

)7181.01(3679.01

0 +=q

por lo tanto

42

( ) ( )

( ) 11

11

7181.013679.0)7181.01(3679.0

11

3679.011)7181.01(3679.0

1

)(−−

−−

++

−

−−+

=zz

zzzGc

11

11

)7181.01(3679.0)7181.01(3679.0)3679.01()1()(

−−

−−

+−+−−

=zz

zzzGc

Eliminando factores comunes para reducir la expresión, tenemos

21

11

7181.03679.03679.07181.03679.03679.0)3679.01()1()(

−−

−−

⋅−−⋅+−−

=zz

zzzGc

)1(7181.03679.0)1(3679.0)3679.01()1()( 21

11

−−

−−

−⋅+−−−

=zz

zzzGc

)1(7181.03679.03679.03679.01)( 1

1

−

−

+⋅+−

=z

zzGc

finalmente tenemos

1

1

418.01582.0582.1)(

−

−

+−

=z

zzGc

En figura 2.16 se muestra la gráfica de la salida y la entrada del proceso en lazo cerrado para el ejemplo 2.3 obtenida de las ecuaciones (2.37) y (2.36) respectivamente

43

y(k)

1 2 3 4 5

1

k

u(k)

1

2

3 4 5

2

k

Figura 2.16 Respuesta de la salida y entrada del ejemplo 2.1

-2

Ejemplo 2.4

Demuestre que u(0) es igual a 0q Solución De ecuaciones (2.31) y (2.32) se tiene que

)0(0 uq =

2.6 PROGRAMACIÓN DE CONTROLADORES DISCRETOS Una vez definido el tiempo de muestreo se procede a implementar el algoritmo de control en el computador. Ejemplo 2.4 Programar el controlador del ejemplo 2.3 en un computador Solución El controlador debe expresarse en ecuación de diferencia, por lo tanto

)1(582.0)(582.1)1(418.0)( −−+−−= kekekuku Por lo general los software de programación usan variables sin argumentos. Una forma de reasignar las variables argumentadas de la ecuación anterior es

44

)1(1_)(

)1(1_)(

−==

−==

keekkeek

kuukkuuk

dependiendo del tipo de programación el programa básico del controlador al interior del computador es

ciclorepetiryaSaltarcomputadordelsalidalaaukvalorelMandar

ekekukuk

iablesActualizarekekukuk

rcontroladodelsalidalaFormarykfekerrorelFormar

ykprocesodelsalidadedatoCapturarfferenciaIngresar

)2)7)6

1_1_

:var)51_*582.0*582.11_*418.0

:)41_Re:)3

1_:)2Re:Re)1

==

−+−=

−=

2.7 REDUCCIÓN DE LAS PERTURBACIONES La presencia de perturbaciones es una de las principales razones para utilizar la teoría de control. Sin perturbaciones no es necesaria la realimentación. Las perturbaciones se pueden reducir en el origen que las produce. Los efectos de las perturbaciones también se puede reducir mediante realimentación local, como muestra la figura 2.17 ó por prealimentación desde el origen de la perturbación como muestra la figura 2.18.

y(z)+

-

Figura 2.17. reducción de perturbaciones por realimentación

++

Realimentacionlocal

Perturbación

u(z)

Por lo general la realimentación local no es necesario, porque un controlador PI, para la entrada u basta. Sin embargo se requiere un lazo extra de realimentación local, por ejemplo para

- Reducir las variaciones de corriente de un motor DC controlado por voltaje - Reducir las variaciones en el control de temperatura estabilizando la fuente de alimentación de

tensión

45

++

+-

Proceso

Gv

Gp

Efecto de laperturbacionen la salida

Compensador deprealimentación Gp Gv

-1

Perturbación medida

u y

Figura 2.18. reducción de perturbaciones por prealimentación

Para el caso de la prealimentación de la figura 2.18, y de acuerdo al esquema de la figura 2.3 el control de prealimentación corresponde al compensador de realimentación ( S = 0 ), o sea

)()(

)()()(

zGzG

zRzTzG

p

vc ==

(2.44)

Si )(zGc resulta inestable o irrealizable, debe elegirse, en su lugar, una aproximación conveniente. La prealimentación es particularmente útil para perturbaciones generadas por cambios en la señal de referencia, o bien, para procesos en cascada en los que las perturbaciones en un proceso están generadas por variaciones en los procesos precedentes. Finalmente las perturbaciones se pueden reducir por predicción. Que es nada menos que una extensión del principio de prealimentación que puede utilizarse cuando la perturbación no puede medirse. El principio es muy simple: la perturbación se predice midiendo señales, y la prealimentación se genera a partir de la predicción.

EJERCICIOS 2.1.- Determine la repuesta de un controlador Deadbeat si la referencia es una señal rampa Ref(k) = k

2.2.- Encuentre el controlador deadbeat si el proceso tiene retardo, osea

dp z

zAzBzG −=)()()(

2.3) Averigüe qué ocurre con )0(u cuando el tiempo de muestreo disminuye en los controladores Deadbeat 2,4) Averigüe para condición debe cumplir el proceso para que con control deadbeat en lazo cerrado se tenga que )1()0( uu > 2.5) Si se quiere controlar un proceso continuo con deadbeat

a) ¿Qué hacer? b) Si se desea alterar el u(0) en lazo cerrado ¿Qué alternativa hay?

46

2.6) Sea el siguiente proceso

21

42

5.05.115.0)(

−−

−−

+−+

=zz

zzzG p

a) Encontrar un controlador de más bajo orden polinómico, tanto en el numerador como en el denominador, tal que el error en estado estacionario sea cero.

b) Diseñe el controlador tal que u(2) = 0.85 cuando se aplica un escalón unitario en al referencia. 2.7) Sea el siguiente proceso

110)(

6

+=

−

sezG

s

p

a) Diseñe un controlador de latido muerto. El tiempo de muestreo debe ser la quinta parte de la

constante de tiempo del proceso continuo. b) B) Grafique la salida, y(k) y la entrada u(k) del proceso realimentado con un escalón unitario en la

referencia para k = 0,1,2,3,4 y 5. 2.8) Implementar un programa básico para calcular el siguiente controlador en tiempo real

)2()(5.1)2(9.0)( −−+−= kekekuku 2.9) Indique y grafique dos señales senoidales tal que al muestrearlas resulten en una señal periódica y la otra no periódica.

47

3

CONTROLADORES ESTOCASTICOS

3.1 INTRODUCCIÓN

Hasta ahora se supuso perturbaciones determinísticas, o sea conocidas analíticamente. Cuando no es posible describirla analíticamente, una aproximación gruesa (impulso, sinuosidal , etc, ) es suficiente a veces para representarlas, por lo tanto en general las perturbaciones determinísticas son intentos de aproximación de señales de perturbaciones reales. Sin embargo en la práctica, las perturbaciones son desconocidas e imposibles tratarlas analíticamente. El interés por conocer las perturbaciones con más detalle es debido a que influyen notoriamente en la calidad final de ciertos productos industriales. (industria del papel, Industrial del acero, etc.) De los hechos cotidianos, es común asociar las perturbaciones a señales aleatorias, como las que se observan en el osciloscopio cuando se aumenta la sensibilidad de la magnitud. En la figura 3.1 se muestra una señal típica de perturbación ó ruido.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 3.1 Señal aleatoria ó ruido del haz del osciloscopio

Se observa que es imposible describir la señal matemáticamente. Sin embargo si dispusiéramos algún tipo de información alternativa sobre ella, es natural pensar que se pueda manejar con mayor dominio y conocimiento de causa su influencia sobre los procesos industriales. Uno de estas herramientas son las técnicas de las probabilidades y variables estadísticas ó aleatorias. Los controladores digitales que se diseñan tomando en consideración las técnicas de variables aleatorias, se denominan controladores estocásticos.

3.2 SEÑALES ALEATORIAS DISCRETAS

Existen variadas señales aleatorias presente en la naturaleza. De allí surgió la necesidad de caracterizarlas en distintas distribuciones de probabilidades. Los tipos de señales aleatorias comúnmente encontrados en procesos industriales tienen distribución gaussiana, como se verá más adelante. A continuación se describen algunos ejemplos de situaciones aleatorias discretas. Ejemplo 3.1 Describa la distribución de la variable aleatoria x en el tiempo del siguiente experimento. Sea x el valor que resulta un dado una vez lanzado.

48

Solución Recurriendo a variables estadísticas, sea P la probabilidad que ocurra un evento, entonces la probabilidad que el dado resulte 1 ó 2, .. ó 6, es decir

61)6()5()4()3()2()1( ====== PPPPPP

La función de distribución de probabilidad es

)()( xresultadoPxF ≤=

Matemáticamente la función de distribución de probabilidad se puede expresar de la siguiente forma

∑=

−=6

1)(

61)(

iixuxF

Donde la función u es el escalón unitario La función de densidad de probabilidad es )()( xPxf = y esta dado por

)(61)(

6

1ixxf K

i−= ∑

=

δ

La gráfica de la distribución y densidad de probabilidad se muestra en la figura 3.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 00

0 . 5

1

1 . 5

x

F (x )

f(x )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 00

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

Figura 3.2 gráfica de F(x) y f(x)

f(x) es constante para todas las posibilidades de ocurrencia, lo que significa que no existe preferencia por un valor determinado. En Figura 3.3 se muestran el resultado para 11 instantes seguidos de lanzamientos del dado, en que cada resultado ocurre dos veces

49

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

k

x ( k )

Figura 3.3 Evolución de los resultados del lanzamiento del dado

Ejemplo 3.2

Describa la distribución de la variable aleatoria x en el tiempo del siguiente experimento. Sea x la suma de las caras superiores que resultan del lanzamiento de son dados.

Solución La suma de dos dados va desde 2 hasta 12. El total de ocurrencias distintas son 36 (6x6), por lo tanto las probabilidades de los resultados son

361)2( =P

362)3( =P

363)4( =P

364)5( =P

365)6( =P

366)7( =P

365)8( =P

364)9( =P

363)10( =P

362)11( =P

361)12( =P

La gráfica de la distribución ( F(x) ) y densidad ( f(x) ) de probabilidad se muestra en la figura 3.4

0 5 1 0 1 50

0 . 5

1

1 . 5

x

F (x )

0 5 1 0 1 50

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

x

f(x )

Figura 3.4 Distribución F(x) y f(x) para dos dads

50

A diferencia del ejemplo 3.1, la probabilidad de ocurrencia esta sesgada, o sea hay mayor probabilidad de ocurrencia de la suma que resulta 7 y disminuyendo a ambos lados de este valor en la medida que se aleja. De acuerdo a este análisis un posible variación de x en el tiempo se muestra en la figura 3.5 .Note que en x = 7 ocurre mayor repitencia de resultados

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 00

5

1 0

1 5

k

x ( k )

Figura 3.5 Resultado de dos dados para instantes consecutivos que se realiza

Si se repite el ejemplo 3.2 pero con tres dados , en figura 3.6 se muestra la distribución de densidad de probabilidad f(x) que resulta

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

0 . 0 8

0 . 1

0 . 1 2

0 . 1 4

x

f( x )

Figura 3.6 Distribución de densidad de probabilidades, f(x), del experimento de tres dados

Del ejemplo 3.2 se observa que si aumenta el numero de dados, la figura 3.6 se va transformándose en una campana de Gauss y la variable aleatoria en el tiempo de la figura 3.5 se asemeja a la figura 3.1 . Por esta razón decimos que las perturbaciones ó ruidos tiene distribución gaussiana. La distribución gaussiana se caracteriza por dos variables estadísticas: desviación standard (σ ) ó varianza ( 2σ ) y valor promedio ó

esperanza (−

x ). Recordemos algunas propiedades estadísticas

51

Definición de propiedades estadísticas Recordemos que la esperanza esta dada por

∑=

∞→===

N

kNx kxN

kmxkxE1

_)(1lim)()(

(3.1)

La función de autocorrelación es

∑=

∞→+==+=

N

kNx kxkxrkxkxEautocorr1

)()(lim)()()()( ττττ

(3.2)

Una variable aleatoria se caracteriza porque su valor no depende de valores pasados o futuros de la misma señal (señal independiente), o sea si 0)( =kxE , entonces 0)( =τxr para todo 0≠τ La función de autocovarianza es

−+−= ])([])([],cov[

__xkxxkxEx ττ

(3.3)

La varianza se obtiene para 0=τ , es decir

[ ] 20,cov)( xxxVar σ== (3.4)

Si 0)(_

== xkxE entonces

)0())(()( 2xrkxExVar == (3.5)

Ejemplo 3.3

Determinar la varianza y esperanza de las distribuciones gaussianas mostradas en la figura 3.7

0 50 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

(a)

f1(x)

0 50 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

(b)

f2(x)

0 50 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

(c)

f3(x) f4(x)

0 50 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

(d) Figura 3.7 Distribuciones gaussianas para distintos proceos

52

Solución a) Varianza 10 y esperanza 25 b) Varianza 10 y esperanza 50 c) Varianza 5 y esperanza 25 d) Varianza 5 y esperanza 50 En figura 3.8 se muestras las realizaciones de las variables aleatorias para cada representación gaussiana

0 50 100 0

20 40 60 80

100

(a)

X1(k)

0 50 100 0

20 40 60 80

100

(b)

x2(k)

0 50 100 0

20 40 60 80

100

(c)

x3(k)

0 50 100 0

20 40 60 80

100

(d)

x4(k)

Figura 3.8 variaciones de las variables aleatorias para distintas distribuciones gaussiana

3.3 TRASNFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)

Al igual que en sistemas continuos, la trasformada de Fourier discreta es una herramienta útil para llevar una señal en el tiempo discreto al dominio de la frecuencia discreta y viceversa, de tal manera que el análisis que se haga en uno u otro dominio es equivalente, facilitando los conceptos durante el análisis de sistemas discretos [4].

Señales periódicas Para el presente análisis, una señal periódicas discreta será aquella que se repite cada N instantes de muestreo, es decir

)()( Nkxkx += (3.6) Donde k y N son números enteros Ejemplo 3.4 ¿Cuántas oscilaciones cosenoidales distintas caen en N instantes de muestreo?

Solución Sea N = 16. En figura 3.9 se muestran cuatro formas periódicas

53

0 5 10 15-2

-1

0

1

2

(a)

x1(k)

0 5 10 15-2

-1

0

1

2

(b)

x2(k)

0 5 10 15-2

-1

0

1

2

(c)

x3(k)

0 5 10 15-2

-1

0

1

2

x4(k)

(d)

Figura 3.9 Cuatro formas periódicas que caen en N =16

De las figuras podemos deducir que se pueden graficar 16 señales periódicas. Las formas de onda de la figura 3.9 se pueden expresar matemáticamente como la parte real de

kN

nj

n ek

=Φπ2

)(

(3.7)

con N = 16 y n = 1,....,N. Los gráficos de la figura 3.9 son para

(a) n=1 (b) n=2 (c) n=3 (d) n=6

De ecuación (3.7) se verifica que

)()( kk nNrn Φ=Φ + (3.8)

con r múltiplo entero de N.

Señal periódica como combinación lineal de )(knΦ Sea x(k) señal periódica de largo N. Probaremos entonces que

54

∑∑−

=

−

=

=Φ=1

0

21

0)()(

N

n

kN

nj

n

N

nnn eakakx

π

(3.9)

ó si la señal periódica se considera a partir de n = .. –3, -2, -1 , 2, 3, etc. Por ejemplo a partir de n = 3

∑+

=

Φ=2

3)()(

N

nnn kakx

(3.10)

ó, si N es par se puede tomar de la siguiente forma

∑−

−=

Φ=12

2

)()(N

Nnnn kakx

(3.11)

Evaluando la ecuación (3.9) para 1,,1,0 −= Nk L

( )∑

∑

∑

−

=

−

−

=

−

=

=−

=

=

1

0

12

1

0

2

1

0

)1(

.

.

)1(

)0(

N

n

NN

nj

n

N

n

Nnj

n

N

nn

eaNx

eax

ax

π

π

(3.12)

Vemos que hay N ecuaciones con N incognitas por lo tanto existe solución para los na

Ahora multipliquemos ambos miembros de la igualdad de la ecuación (3.12) por k

Nrj

e

−

π2

, r entero cuaquiera

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑∑

∑∑

−

=

−

−−

−−

=

−

−

−

−

=

−

−−

=

−

−

=

−

−−

=

−

==−

==

==

1

0

12121

0

1212

1

0

12121

0

1212

1

0

02021

0

0202

)1(

.

.

)1(

)0(

N

n

NN

rnj

n

NN

rjN

n

NN

nj

n

NN

rj

N

n

Nrnj

nN

rjN

n

Nnj

nN

rj

N

n

Nrnj

nN

rjN

n

Nnj

nN

rj

eaeeaeNx

eaeeaex

eaeeaex

ππππ

ππππ

ππππ

(3.13)

55

Sumando ambos lados de la igualdad

( )∑ ∑∑

−

=

−

=

−−

=

−

=1

0

1

0

21

0

2

)(N

k

N

n

kN

rnj

n

N

k

kN

rjeaekx

ππ

(3.14)

al intercambiar el orden de la sumatoria tenemos

( )∑ ∑∑

−

=

−

=

−−

=

−

=1

0

1

0

21

0

2

)(N

n

N

k

kN

rnj

n

N

k

kN

rjeaekx

ππ

(3.15)

Recurriendo a la serie geométrica

∑−

=

≠−

−=

=1

0 11

11N

k

NkN

αα

αα

α

(3.16)

tenemos que al al hacer

( )

−

= Nrnj

eπ

α2

(3.17)

el lado derecho de la igualdad de ecuaciones (3.15) nos da

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

===

−

−

==−=

−

−

−

−

−

=

−

−

=

−−

=

∑

∑∑

)1(0

1

1

)1(0

22

2

21

0

2

1

0

21

0

ππ

π

π

π

π

rnjN

Nrnj

Nrnj

NN

rnjN

nn

Nrnj

rN

k

kN

rnjN

nn

eeporque

e

ea

eporquernparaNaea

por lo tanto ecuación (3.15) queda

Naekx r

N

k

kN

rj=∑

−

=

1

0

2

)(π

(3.18)

despejando ra

∑−

=

=1

0

2

)(1 N

k

kN

rj

r ekxN

aπ

(3.19)

como esta ecuación se cumple para rnórn ==− ,0 entonces

56

∑−

=

=1

0

2

)(1 N

k

kN

nj

n ekxN

aπ

(3.20)

por lo tanto x(k) se puede expresar a traves de la ecuación (3.9) con an dada por la ecuación (3.20) Si x(k) se expresa mediante ecuación (3.11) entonces

∑−

−=

=12

2

2

)(1N

Nk

kN

nj

n ekxN

aπ

(3.21)

Señales no periódicas sea una señal aperiódica mostrada en la figura 3.10

x ( k )

- N 1 N 10

Figura 3.10 señal no periódica Si ahora formamos una señal periódica (de periódo N, con N par) con la señal de la figura 3.10, obtenemos la figura 3.11

Figura 3.11 señal periódica

Vemos que las señales de las figuras 3.10 y 3.11 estan relacionadas por

57

1)(~)( Nkkxkx ≤= (3.22)

Sabemos que para señales periódicas (ver ecuación(3.21))

∑∑∑∞

−∞=

−

−=

−

−=

===k

kN

njN

Nk

kN

njN

Nk

kN

nj

n ekxN

ekxN

ekxN

aπππ 212

2

212

2

2

)(1)(1)(~1

(3.23)

na se puede expresar como

)(10ωnX

Nan =

(3.24)

donde

∑∞

−∞=

−=k

knjekxnX 0)()( 0ωω

(3.25)

con Nπ

ω2

0 =

de ecuación (3.11) y usando (3.24)

0

12

2

2

0

12

2

2

00

12

2

2

0

12

2

2

)(21)(

2

)(1)(~

ωωπ

ωπ

ω

ω

ππ

ππ

∑∑

∑∑−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

==

==

N

Nn

kN

njN

Nn

kN

nj

N

Nn

kN

njN

Nn

kN

nj

n

enXenX

enXN

eakx

(3.26)

La sumatoria se puede expresar como una suma de N áreas. Cada área tiene una altura de )( 0ωnX y una

anchura de Nπ

ω2

0 = . El rango completo del eje x, o sea la anchura total, es ππ

ω 220 ==

NNN , es

decir fija y de valor π2 para cualquier N.

De modo que cuando ωωωω →→=∞→ 00,)()(~, nydkxkxN y la sumatoria se transforma en una integral

∫−=

π

π

ω ωωπ

deXkx kj)(21)(

(3.27)

Con

∑∞

−∞=

−=k

kjekxX ωω )()(

(3.28)

58

La ecuación (3.28) se conoce como la transformada de Fourier Discreta (DFT) de x(k) y la ecuación (3.27) su inversa

3.4 INTERPRETACION DE PROCESOS CON VARIABLES ALEATORIAS Sea un proceso como muestra en la figura 3.13, con u e y variables aleatorias

Gp(z) yu

Figura 3.13 Proceso

Relación de esperanzas Usando ecuación (1.72) tenemos que la esperanza a la salida del proceso es

∑∑∞

=

∞

=

−==−=11

)()()()()()(n

uyn

nkmngkmnkuEngkyE

(3.29)

o sea la esperanza a la salida del proceso es función de la esperanza de entrada Relación de autocovarianzas Usando la ecuación (3.2) tenemos que la autocorrelación en la salida es

)()()( kykyEry ττ += (3.30)

y de ecuación (1.71) tenemos

−

−+= ∑∑

∞

=

∞

= 11)()()()()(

lny lkulgnkungEr ττ

(3.31)

acomodando las sumatorias

)()()(

)()()()(

)()()()()(

1 1

1 1

1 1

lglnrng

lglkunkuEng

lkulgnkungEr

nu

l

n l

n ly

∑∑

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+−=

−−+=

−−+=

τ

τ

ττ

(3.32)

o sea, la autocorrelación a la salida del proceso es función de la autocorrelación de entrada

59

Relación de densidades espectrales de potencias La transformada de Fourier Discreta de la

autocorrelación de una señal, x, se denomina densidad espectral de potencia de la señal y se denomina por )(ωxΦ . Por lo tanto de ecuación (3.28) tenemos

∑∞

−∞=

−=Φk

kjxx ekr ωω )()(

(3.33)

y su inversa

∫−Φ=

π

π

ω ωωπ

dekr kjxx )(

21)(

(3.34)

La densidad espectral de potencia en la salida será entonces

∑∞

−∞=

−=Φk

kjyy ekr ωω )()(

(3.35)

incorporando ecuación (3.32) tenemos

ωωω

ωω

)(

1 1

1 1

)()()(

)()()()(

nlkjlj

k

nj

nu

l

k

kj

nu

ly

eeelglnkrng

elglnkrng

−+−∞

−∞=

−∞

=

∞

=

∞

−∞=

−∞

=

∞

=

∑ ∑∑

∑ ∑∑

+−=

+−=Φ

(3.36)

haciendo nlk −+=α tenemos

)()()(

)()()()(

11

11

ω

αω

ωω

α

ωαωω

ul

lj

n

nj

uj

l

lj

n

njy

lgenge

relgenge

Φ=

=Φ

∑∑

∑∑∑∞

=

∞

=

−

∞

−∞=

−∞

=

∞

=

−

(3.37)

Ahora evaluando ecuación (1.21) para ωjs = y T0 = 1, tenemos que la función de transferencia del proceso es (ver ejemplo 1.13)

( ) )()()(1

ngejGzGn

n

jpp

−∞

=∑== ωω

(3.38)

por lo tanto

)()()()( ωω ωωu

jp

jpy eGeG Φ=Φ −

(3.39) Ruido blanco corresponde a una señal que posee todas las componentes del espectro de frecuencia y además poseen la misma magnitud, o sea, espectro constante.

60

Propiedad de inpendencia de variables aleatorias Si dos señales aleatorias, y(k) y x(k) son totalmente independiente una de otra, entonces se cumple que

)()()()( kyEkxEkykxE = (3.40)

Ejemplo 3.5 Determine la potencia que consume una señal en la banda 12 ωωω −=∆ al pasar por una

resistencia de 1 Ω , Solución la potencia es el área bajo la curva de la densidad espectral de potencia de la señal, o

sea

∫ Φ= 2

1)(2

ω

ωωω dP

Ejemplo 3.6

Determine la densidad espectral de potencia del ruido blanco con esperanza del ruido igual a cero y varianza 2σ Solución Sea x la señal de ruido blanco. Como es una variable aleatoria entonces se

cumple 00)( ≠= ττ todopararx , por lo tanto de ecuaciónes (3.33) y (3.5) se tiene

22 )())(()0()( σω ====Φ xVarkxErxx

o sea, es constante y corresponde a la varianza del ruido blanco Ejemplo 3.7 Sea el proceso de la figura 3.13 siguiente

azzG p −

=1)(

)(ku ruido blanco con esperanza 0)( =kuE y varianza 2σ . Determine la densidad espectral de

potencia a la salida del proceso Solución Del ejemplo anterior tenemos que la densidad espectral de entrada es

2)( σω =Φ u

y de ecuación (3.39)

ωσσ

σωωω

ωω

cos21)()()()()( 2

222

aaaeaeeGeG jj

jp

jpy −+

=−−

==Φ−

−

Se observa que cuando un ruido blanco se hace pasar a traves de una función de transferencia ó filtro, a la salida se obtiene ruido que depende de la frecuencia (ruido coloreado)

61

Formula general de varianza a la salida de una función de transferencia Sea la función de tranferencia

)()()(

zAzBzG =

(3.41)

con )(zB ) y )(zA dadas por ecuaciones (1.50) y (1.51) respectivamente, con 10 =a

)(ku ruido blanco con esperanza cero y varianza 1. De ecuación (3.39) tenemos

)()()()()( 1

1

−

−

=ΦzAzAzBzB

y ω

(3.42)

la salida es una variable aleatoria, por lo tanto

)0()( yryVar = (3.43)

y de ecuación (3.34)

∫−Φ=

π

πωω

πdr yy )(

21)0(

(3.44)

dado que ωjez = , entonces

zdz

jedz

jdej

ddz

jj 11

==→= ωω ω

ω

(3.45)

por lo tanto la ecuación (3.44) se convierte en la siguiente integral cerrada, usando también la ecuación (3.42)

zdz

zAzAzBzB

jry ∫ −

−

=)()()()(1)0( 1

1

(3.46)

Se puede comprobar que la solución de esta integral, para proceso de primer orden es

21

1102

120

12

)0()var(a

abbbbry y −−+

==

(3.47)

y para proceso de segundo orden es

2121

22

122121110

)1()1()(

)0()var(aaea

eaaBaBeBry y −−−−+−

==

(3.48)

donde

62

21

202

21101

22

21

200

12

)(2

aebbB

bbbbBbbbB

+=

=+=++=

(3.49)

ahora si la varianza del ruido blanco a la entrad es 2σ , entonces del ejemplo 3.7 y ecuación (3.44), las ecuaciones (3.47) y (3.48) se modifican a

221

1102

120

12

)0()var( σa

abbbbry y −−+

==

(3.50)

22121

22

122121110

)1()1()(

)0()var( σaaea

eaaBaBeBry y −−−−+−

==

(3.51)

Ejemplo 3.8 Sea la siguiente función de transferencia de la influencia de un ruido (no puede representar un proceso porque 00 ≠b )

21

1

7.07.119.01

)()()(

−−

−

+−−

==zz

zzuzyzG

si la entrada, )(zu , es ruido blanco con media cero y esperannza 2σ . Determine la varianza en la salida,

)(zy Solución los coeficientes de la función de transferencia son

7.07.19.0

1

2

1

1

0

=−=−=

=

aabb

es un proceso de segundo orden por lo tanto usando ecuaciones (3.49) y (3.51) tenemos que

7.10

8.181.1

1

2

1

0

==

−==

eBBB

∞=== 2

0017.0)0()var( σyry

63

3.5 CONTROLADOR DE VARIANZA MINIMA Este controlador es del tipo regulador, vale decir, en presencia de ruidos y/o perturbaciones mantiene el valor medio de la salida constante y las desviaciones, o dispersión, con respecto a la media, mínimas, o sea, de varianza mínima. Mantener las desviaciones mínimas en un proceso otorgan grandes ventajas, por ejemplo, reduce consumo de energia, de materias primas, aumenta la producción, aumento de la calidad, etc. En un proceso sin control de varianza mínima, la salida puede comportarse como el gráfico (a) dela figura 3.7 ó señal (a) de la figura 3.8. En cambio con controlador de varianza mínima , la salida cambia al gráfico (c) de la figura 3.7 ó señal (c) de la ficura 3.8. En lo que sigue se supondrá esperanza de ruido blanco igual a cero; en caso contrario se especificará claramente. Un proceso con ruido lo podemos modelar como muestra la figura 3.14

++

Gp(z)

Gv(z)v(z)ruido

blanco

u(z) y(z)

PROCESO

n(z)

Figura 3.14 Proceso con ruido

con )(zG p dado por

dp z

zAzBzG −=)()()(

(3.52)

los polinomios )(zB y )(zA estan dados por la ecuación (1.52) y d representa el retardo del proceso

)(zGv esta dado por

)()()(

zCzDzGv =

(3.53)

donde

nn zdzdzdzD −−− ++++= L2

21

11)( (3.54)

y

nn zczczczC −−− ++++= L2

21

11)( (3.55)

Para entender el concepto del controlador de varianza mínima , veamos un ejemplo sencillo Ejemplo 3.9 Mediante un sistema realimentado, determine una secuencia de u(k) para reducir el ruido ó varianza a la salida del proceso de la figura 3.14 para los siguientes casos

64

a) 11

11

1)(

−

−

+=

zazbzG p y 1)( =zGv

b) 11

11

1)( −

−

+=

zazbzGp y 1

1

11

11

)(−

−

++

=zazdzGv

Solución a) En este caso es imposible reducir el ruido porque, dado que )()( zvzn = , con la medición de y(k) no permite crear un control u(k) que pueda anular el error en n(k+1) = v(z+1) (donde puede afectarlo) porque no existe manera alguna cuanto valdrá v(k+1) en el instante k. Es decir el ruido n(z) se suma a las salida del proceso sin poder reducirlo.

b) En este caso tenemos

)(11

)(1

)( 11

11

11

11 zv

zazdzu

zazbzy

−

−

−

−

++

++

=

(3.56)

aplicando la transformada inversa de z se obtiene la siguiente ecuación de diferencia

)1()()1()1()( 111 −++−+−−= kvdkvkubkyaky (3.57)

la idea es minimizar la varianza en la salida y(k) debido a la presencia del ruido n(k), o sea minimizar el siguiente criterio

)(2 kyEJ =

(3.58)

más exactamente

)1(2 += kyEJ (3.59)

porque u(k) afectará a y(k+1) y no a y(k) por lo tanto aumentando en uno el argumento de la ecuación (3.57) tenemos

)()1()()()1( 111 kvdkvkubkyaky ++++−=+ (3.60)

aplicando la esperanza

( ) ( )

( ) )1(

)1()()()(2)()()(

)()1()()()1(

2111

2111

2111

2

+

++++−+++−=

++++−=+

kvEkvkvdkubkyaE

kvdkubkyaE

kvdkvkubkyaEkyE

(3.61)

El segundo término del lado derecho de la igualdad es cero porque v(k+1) es independiente de las otras variables, por lo tanto de acuerdo a ecuación (3.40) y dado que 01( =+kvE , entonces

65

( ) ( ) 0)1()()()(2)1()()()(2 111111 =+++−=+++− kvEkdkubkyaEkvkdkubkyaE

es correcto decir que

)1()1( 22 +≥+ kvEkyE (3.62)

dado que el primer término del lado derecho de la ecuación (3.61) es siempre positivo. La mínima varianza se logra para

)1()1( 22 +=+ kvEkyE (3.63)

y ello se logra haciendo el primer término del lado derecho de la ecuación (3.61) igual a cero , es decir

0)()()( 111 =++− kvdkubkya

despejando u(k) tenemos

1

11 )()()(

bkvdkyaku −

=

(3.64)

Como se cumple para todo k, entonces también se cumple para

)()( 22 kvEkyE = (3.65)

esto implica que es válido asumir

)()( kvky = (3.66)

finalmente tenemos que la ley del control es

)()(1

11 kyb

daku −=

(3.67)

y la función de transferencia del controlador de varianza mínima, )(zGCVM , es

1

11)(b

adzGCVM−

=

(3.68)

cuando 0)(Re =zf En figura 3.15 se muestra la implementación del controlador

66

++

v(z)ruido

blancou(z)

y(z)

PROCESO

n(z)

b1z-1

1+ a1z-1

1+d1z-1

1+ a1z-1

d1-a1

b1

+Ref(z)=0

-

CONTROLADORGCVM(z)

Figura 3.15 Controlador de varianza mínima del ejemplo 3.8 (b)

Para ver la salida controlada, reemplazamos el u(k) de la ecuación (3.60) por el u(k) de la ecuación (3.67) y nos da

)()1()()1( 11 kvdkvkydky ++=++ (3.69)

aplicando transformada z

1)()(

1

1 =++

=dzdz

zvzy

(3.70)

es decir )()( kvky = , que coincide con la ecuación (3.66).

3.6 CONTROLADOR DE VARIANZA MINIMA GENERALIZADO A continuación se desarrolla el control de varianza mínima generalizado, )(zGCVM , con 0)(Re =zf ver figura 3.15. Este desarrollo es una extensión del ejemplo 3.9 De figura 3.14 y ecuaciones (3.52) y 3.(53) tenemos

)()()()(

)()()( zv

zCzDzuz

zAzBzy d += −

(3.71)

sacando factor común

)()()()()()( *** zvzDzuzzBzyzA d += − (3.72)

donde

mm

mm

mm

zdzdzdzAzDzDzbzbzbzCzBzBzazazazCzAzA

−−−

−−−

−−−

++++==

+++==

++++==

*2*2

1*1

*

*2*2

1*1

*

*2*2

1*1

*

1)()()(

)()()(

1)()()(

L

L

L

(3.73)

con nm 2=

67

OBS: En el caso de que )()( zAzC = , en la ecuación (3.72) se tiene

)()()()()()(

*

*

*

zDzDzBzBzAzA

=

=

=

(3.74)

Con retardo, el criterio de la ecuación (3.59) cambia a

)1(2 ++= dkyEJ (3.75)

La transformada z de )1( ++ dky es )(1 zyz d + . De ecuación (3.72) se obtiene )(zy por lo tanto

)()()()(

)()()( 1

*

*

*

*1 zvz

zAzDzuz

zAzBzyz dd ++ +=

(3.76)

Al igual que la parte (b) del ejemplo3.9, la varianza de la ecuación (3.75) se puede descomponer en ternimos

conocidos y desconocidos. El término )()()(

*

*

zuzzAzB

contiene términos presente y pasados, por lo tanto son

todos conocidos. Nos queda por analizar el término )()()( 1

*

*

zvzzAzD d + . Del ejemplo 1.13 vimos que la

división de polinomios puede expresarse como

)()()(

**

*

zArestocuociente

zAzD

+=

(3.77)

y existen infinitas formas de representar el resultado dependiendo de numero de terminos que se desea para el

cuociente. Sin embargo nos sinteresa aquel cuociente y resto tal que en )()()( 1

*

*

zvzzAzD d + se puedan

distinguir y separar los términos futuros (desconocidos) de los no futuros (presente y pasados conocidos). El siguiente ejemplo nos ayudará a encontrar estos términos Ejemplo 3.10

Efectuar la división )()(

*

*

zAzD

para que resulten dos térmicos en el cuociente

Solución Usando lo polinomios de la ecuación (3.73) tenemos que la división es

68

)1(*1

*1

*2*1

*1

*1

*2

*2

)1(*1

*1

**1

*1

*1

2*1

*1

*1

1*1

*1

**2*2

*2

1*1

*1

*2*2

1*1

1*1

*1

*2*2

1*1

*2*2

1*1

)())((

)()()()(

)()()(0

1

)(1)1(:)1(

+−−

+−−−

−−

−−−

−−−

−−−−−−−

−−+−−−

−−−−−−−−−

−++−+−+

−+−−−

−+=++++++++

mm

mm

mm

mmm

mm

mm

mm

zadazadaad

zadazadazadazadzadzadzad

zazazazadzazazazdzdzd

L

L

L

L

LL

donde

1*

1*1 )(1 −−+= zadcuociente

(3.78)

y

)1(*1

*1

*2*1

*1

*1

*2

*2 )())(( +−− −−+−−−= m

m zadazadaadresto L (3.79)

El resultado del ejemplo 3.10 lo podemos generalizar para p términos en el cuociente, a saber

mm

pmm

pp

p zazazazlzlzfzf

zAzD

−−−

−+−−

−−−−

++++++

++++= *2*2

1*1

)1(10)1(1

1*

*

11

)()(

L

LL

(3.80)

por lo tanto

444444 3444444 21L

L

4444444 34444444 21L

**

*2*2

1*1

21

10

*

21

11*

*

1)()(

)()()()()()(

mm

pmdm

pd

pdp

ddd

zazazazvzlzvzl

zvzfzvzfzvzzvzzAzD

−−−

+−−−

+−

+−++

++++++

++++=

(3.81)

observese que si 12 =+− pd , o sea 1+= dp , se distinguen claramente los términos futuros de

)(zv (*) de los no futuros (presente y pasados) (**). En este caso la ecuación (3.81 ) se puede expresar como

)()(

)()()()()()(

*11

*

*

zvzAzLzvzzFzvz

zAzD dd += ++

(3.82)

con

dd zfzfzF −− +++= L1

11)( (3.83)

)1(

11

10)( −−−

− +++= mm zlzllzL L (3.84)

dividiendo por )(zv la ecuación (3.82) y acomodando los terminos se obtiene la siguiente identidad

69

)()()()( )1(** zLzzAzFzD d +−+=

(3.85) sustituyendo la ecuación (3.82) en la ecuacion (3.76) se tiene

)()(

)()()()()()()( *

1*

*1 zv

zAzLzvzzFzuz

zAzBzyz dd ++= ++

(3.86)

separando los términos conocidos y desconocidos , tenemos

)()()(1 zRzHzyz d +=+ (3.87)

donde

)()()( 1 zvzzFzH d += (3.88)

contiene los términos desconocidos y

)()()()(

)()()( **

*

zvzA

zLzuzzAzBzR +=

(3.89)

contiene los términos conocidos Ahora podemos evaluar la esperanza de la ecuacion (3.75 ), o sea

( ) 22 )()()1( kRkHEdkyE +=++ (3.90)

222 ))(()()(2))(()1( kREkRkHEkHEdkyE ++=++

(3.91)

El segundo termino del lado derecho es igual a cero es 0)( =kHE (ver ejemplo 3.9), por lo tanto

222 ))(())(()1( kREkHEdkyE +=++

(3.92)

la mínima esperanza ocurre para

0))(( 2 =kRE

(3.93)

o sea de ecuación (3.89 )

0)()(

)()()()(

**

*

=+ zvzA

zLzuzzAzB

(3.94)

despejando )(zv de ecuación (3.72) y reemplazando en ecuación ( 3.94 ) obtenemos

70

0)()()(

)()()()(

)()()()(

**

*

**

*

=−+ zuzDzA

zBzLzyzD

zLzuzzAzB

(3.95)

reagrupando términos

0)()(

)()()()()(

)()(

*

*

*

*

* =

−+

−

zuzA

zzLzzDzDzBzy

zDzL d

(3.96)

reemplazando el término entreparentesis por la identidad de la ecuación (3.85) se tiene

)()()()()(

)()(

*

*

* zuzFzzDzBzy

zDzL

−=

(3.97)

finalmente la ley de control de varianza mínima es

)()()(

)()( * zyzFzBz

zLzu −=

(3.98)

y el controlador de varianza mínima generalizando, )(zGCVM , es

)()()()( * zFzBz

zLzGCVM =

(3.99)

Limitaciones del controlador Para la estabilidad los ceros de )(* zB y )(* zD deben estar

dentro del circulo unitario

Obtención de la salida con controlador de varianza mínima De figura 3.15 tenemos que

dpCVM

v

zAB

zzBzL

zAzD

zGzGzG

zvzy

−+=

+=

)()(1

)()(

)()(1)(

)()(

*

(3.100)

de ecuación (3.73)

)()()()()(

)()(

)()(1

)()(

)()(

*

*

*

*

*

*

*

zLzzAzFzzFzDz

zzAzB

zzBzL

zAzD

zvzy

dd

−− +

=+

=

(3.101)

reemplazando )(* zD por la ecuación (3.85)

71

)()()()(

)())()()(()()(

*

*

zFzLzzAzFz

zFzLzzAzFzzvzy

d

d

=+

+=

−

−

(3.102)

Ejemplo 3.11 De acuerdo a figura 3.14, sea el siguiente proceso

121

21

7.07.115.0)( −

−−

−−

+−+

= zzz

zzzG p

21

1

7.07.119.01)(

−−

−

+−−

=zz

zzGv

con )(zv ruido blanco de media cero y esperanza 22 =σ

a) Determine la varianza en la salida con 0)( =zu , es decir sin control de varianza mínima

b) Diseñe el controlador de varianza mínima, )(zGCVM c) Obtenga la varianza en la salida en lazo cerrado Solución

a) al hacer 0)( =zu , se debe analizar entonces la siguiente función de tranferencia

21

1

7.07.119.01

)()()(

−−

−

+−−

==zz

zzvzyzGv

en el ejemplo 3.8 tenemos este mismo caso por lo tanto

∞== )0()var( yry

b) vemos que

19.01)()(

5.0)()(7.07.11)()(

1*

21*

21

=−==

+==

+−==

−

−−

−−

dzzDzD

zzzBzBzzzCzA

falta por determinar los polinomios )(zF y )(zL . De ecuaciones (3.83) y (3.84)

110

11

)(

1)(−

−

+=

+=

zllzLzfzF

de la ecuación de identidad (3.85) tenemos

72

)()7.07.11()1(9.01 1

102211

11 −−−−−− +++−+=− zllzzzzfz

igualando coeficientes se obtiene

56.066.08.0

1

0

1

−===

llf

Por lo tanto el controlador de varianza mínima resulta

21

1

4.03.1156.066.0)(

−−

−

++−

=zz

zzGCVM

b) De ecuación (3.102) tenemos

28.3)()1())()(()( 221

22 =+== kvEfkvkFEkyE

EJERCICIOS 1.- Sea u una señal de voltaje. Demuestre que )(ωuΦ es una densida espectral de potencia de u y no una densidad espectral de tensión. 2.- Sea )(ωxΦ , donde x es señal cualquiera. Demuestre que

a) )(ωxΦ es real

b) ωω ∀≥Φ 0)(x

c) )()( ωω Φ=−Φ x 3.- La salida de un proceso estocástico tiene el siguiente espectro

ωω

ωcos6.164.1

cos25.1)(+

+=Φ u

Determine )(zG p del proceso. 4.- Sea

11)()()( −+== zc

zuzezH

Demuestre que

∑∞

=

−−=0

)()()(n

n nkecku

73

5.- Sea el siguiente lazo realimentado

++

v(z)ruido

blancou(z)

y(z)

PROCESO

n(z)

z-1

1-0.25 z-1+0.5 z-2

1+0.5 z-1

1-0.25 z-1+0.5 z-2

+Ref(z)=0

-

CONTROLADOR

K

)(zv ruido blanco con 0)( =kvE y 1)( =kvVar a) Determine la varianza a la salida del proceso b) ¿ Para qué valor de K se obtiene mínima variamza ? 6.- Sea el siguiente proceso

u(z) y(z)2 z+0.22 z+1.8

a) Si kku ∀= 10)( . Determine )(ky

b) Si se le superpone ruido en a) tal que 1)( =kuVar . Determine )(kyVar c) Grafique )(),( kyku de b) 7.- Sea el siguiente proceso

u(z) y(z)1

1-0.5 z-1z-1

g(z)

++

Se sabe que la densidad espectral de )(zg esta dado por ω

ωcos25.1

1)(+

=Φ g

Diseñe el controlador de varianza mínima 8.- Dado el siguiente proceso

)()3(5.0)2()2(7.0)1(5.1)( kvkukukykyky +−−−=−+−−

Diseñe a) Control de varianza mínima para )1(2.0)()( −−= kekekv con )(ke ruido blanco

74

b) Control de latido muerto con 0)( =kv c) Encuentre la varianza de )(ky para a) y b). Compare 9) Sea el siguiente proceso

9 21 t

2

1.26

y

exponencial

yu PLANTA

En el tiempo t = 0 se aplica un escalón unitario y la salida, enausencia de ruido, se muestra en la figura. Diseñar uincontrolador de varianza mínima. Considere la funcion de ruidocomo el siguiente

Gv(z) = 1A(z)

con Ev(k) = 0 y Varv(k) = 1

Considere el tiempo de muestreo la cuarta parte de la constante de tiempo de la exponencial

75

4

CONTROLADORES AVANZADOS

4.1 INTRODUCCION En procesos complejos , se requiere de controladores más avanzados que los vistos hasta ahora para cumplir las exigencias de producción y calidad de los productos. Entre estos controladores destacaremos dos: 1) Control Adaptivo y 2) Control Fuzzy

4.2 CONTROL ADAPTIVO El control adaptivo consiste en un controlador en lazo cerrado (como los vistos hasta ahora) que van modificando sus parámetros en tiempo real según las variaciones y condiciones de la planta, es decir se va adaptando a las circunstancias de la planta. Para captar las variaciones de la planta se recurre a la identificación de sistemas, pues permite estimar los parámetros de la planta en forma recursiva. En figura 4.1 se muestra el esquema general del control adaptivo.

y(z)+

Ref(z)

-

CONTROLADOR PROCESO

ESTIMACION DEPARAMETROS

CALCULOPARAMETROS

CONTROLADOR

Figura 4.1 Control adaptivo

Aquí para obtener la identificación de parámetros no basta con medir las señales de entrada y salida como en el capítulo anterior por la siguiente razón: Sea el proceso descrito por la siguiente expresión en el dominio –z

)()()()()()( zvzDzuzBzyzA += (4.1)

y el controlador dado por

76

)()()(

zPzQzGc =

(4.2)

Para facilitar el análisis sea la referencia 0)(Re =zf . Insertando la ecuación (4.2) en (4.1) y omitiendo los argumentos tenemos que

vDyPQByA +−= )(

(4.3)

Agregando a esta ecuación un polinomio arbitrario , )(zS , tenemos que

vDySyPQBySA ++−=+ )()(

(4.4)

vDyPQ

QPSBySA +−−=+ )()()(

(4.5)

321321

4342143421*

)(*

)(*)(

D

vQD

u

yPQ

B

PSQBy

A

QSA +−−=+ (4.6)

lo cual da

vDuByA *** += (4.7)

Esto demuestra que que el proceso AB y el ruido A

D pueden ser reemplazados por

QSQAPSQB

AB

+−

=*

*

(4.8)

y

QSQAQD

AD

+=*

*

(4.9)

respectivamente sin cambiar las señales )(ku e )(ky . Como )(zS es arbitrario, los ordenes de A y B no pueden determinarse únicamente basados en la medición de )(ku e )(ky . Por lo tanto existen infinitas estructuras que dan idénticos resultados para las señales )(ku e )(ky . Para obviar esta situación es necesario inyectar una pequeña señal de ruido a la entrada del proceso, no correlacionada con ninguna señal de proceso, de manera que no se cumpla la relación (4.9), de lo contrario ( o sea, sin señal externa) es necesario, pero no suficiente, conocer previamente los ordenes del proceso y el retardo. Sin embargo en algunas controles adaptivos empíricos, una estimación sesgada puede funcionar adecuadamente.

77

Ejemplo 4.1 Sea el proceso del control adaptivo de la figura 4.1 dado por el proceso de la figura 4.2

++

D(z)v(z)ruido

blanco

u(z) y(z)

PROCESO

n(z)A(z)

B(z)A(z)

z-d

Figura 4.2 Proceso de la figura 4.1

y el controlador de la figura 4.1 de parámetros constantes y conocidos, )()()(

zPzQzGc = . Sean los ordenes

de los polinomios de )(),(),(),( zQzDzBzA y )(zP , νmmmm dba ,,, y µm respectivamente.

a) ¿Basta conocer los ordenes del proceso y retardo para poder estimar correctamente los parámetros

ia y ib de la planta? b) Sea el proceso dado por

)()1()1()( kvkubkyaky +−+−−= (4.10)

analice si el proceso es identificable para los siguientes controladores b1) )()( 0 kyqku −=

b2) )1()()( 10 −−−= kyqkyqku Solución a) Si la referencia es igual a cero entonces

)()(

11

)()()()()()(

)()(

11

11

zz

zzzz

zQzzBzPzAzPzD

zvzy

ml

mr

d ΨΓ

=+++

+++=

+=

−−

−−

− ψ

γ

ψψ

γγ

L

L

(4.11)

los ordenes γm y ψm conocidos y corresponden a

[ ]

µγ

νµψ

mmmdmmmmm

d

ba

+=

+++= ,max

(4.12)

Entonces mediante sólo la data de salida )(ky y siguiendo el procedimiento de estimación de

parámetros con MATLAB dado en el capítulo anterior, se puede estimar los parámetros iψ y iγ .

Si )(zA y )(zD no tienen factor común, entonces es posible estimar los ba mm + del proceso,

a través del polinomio )(zΨ , si

[ ] baba mmdmmmm +≥+++ νµ ,max (4.13)

78

o sea para ser completamente identificable es necesario que se cumpla que

dmm a −≥ν (4.14)

ó

bmm ≥µ (4.15)

b). para que se cumpla la identificabilidad, debe cumplirse la ecuación (4.14), por lo tanto

b1) Para este controlador se tiene que 0=νm y 0=µm , por lo tanto no se cumple la

condición ya que 1=am y 1=bm y por lo tanto no es identificable. Para verificar esto, multipliquemos la ecuación del controlador por α , o sea

)()( 0 kyqku αα −= (4.16)

ó

)1()1( 0 −−=− kyqku αα (4.17)

sumando esta ecuación a la ecuación (4.10) tenemos

)()1()()1()()( 0 kvkubkyqaky +−−+−+−= αα (4.18)

Para estimar a y b es necesario estimar )( 0qa α+ y )( α−b respectivamente y tenemos tres incógnitas y vemos que no existe solución única, es decir existen infinitas soluciones

b2) Para este controlador se tiene que 1=νm y 0=µm , por lo tanto se cumple la condición (4.14) y por lo tanto es identificable. Para verificar esto, multipliquemos la ecuación del controlador por α , o sea

)1()()( 10 −−−= kyqkyqku ααα

ó

)2()1()1( 10 −−−−=− kyqkyqku ααα

sumando esta ecuación a la ecuación (4.10) tenemos

)()1()()2()1()()( 10 kvkubkyqkyqaky +−−+−−−+−= ααα

79

Para estimar a y b es necesario estimar )( 0qa α+ , 1qα y )( α−b respectivamente y tenemos tres incógnitas y tres ecuaciones por lo tanto existe solución única, es decir es identificable.

4.3 CONTROL FUZZY En el pensamiento científico tradicional, la comprensión de un fenómeno se mide por la capacidad de analizarlo en términos cuantitativos. Sin embargo, a medida que la complejidad crece, disminuye la posibilidad en hacerlo en los mismos términos, es decir, ya no es posible hacer afirmaciones precisas y significativas sobre su comportamiento. Esta imprecisión dio origen al control FUZZY ó control Difuso. Su premisa se basa en que los elementos claves del razonamiento humano no son precisamente elementos exactos sino conceptos imprecisos, de allí su nombre FUZZY ó “Difuso”. Aprovechando la capacidad del cerebro humano, en el sentido que no sólo puede trabajar en términos cuantitativos sino que también cualitativos, es que permitió desarrollar esta teoría. Zadeh (1973) inicia el desarrollo de la teoría de conjuntos difusos. Desde ese momento diversos autores contribuyen a crear la teoría del control difuso. Específicamente, se introducen las técnicas basadas en reglas como una forma de captar la experiencia humana y de tratar las incertidumbres. Sea el conjunto de la figura 4.3

papa

manzana

martes

sabado

viernes

silla

mesa

domingo

Figura 4.3 conjunto de cosas ó conceptos La pregunta es : Seleccione los días de la semana. La respuesta obvia es : martes, sábado, viernes y domingo . Es decir tal como se muestra en la figura 4..4

80

papa

manzana

martes

sabado

viernes

silla

mesa

domingo

Figura 4.4 Conjunto de los días de la semana Si ahora nos preguntamos ¿Cuáles son los días de fin de semana?. Para muchos el fin de semana comienza el viernes, e incluso hasta el lunes por la mañana, por lo tanto la respuesta se muestra en la figura 4.5

papa

manzana

martes

sabado

viernes

silla

mesa

domingo

Figura 4.5 Pertenencia parcial del día viernes al fin de semana

Como una forma de cuantificar esta situación, sea verdadero = 1 y falso =0. Entonces, las preguntas que surgen son las siguientes: ¿Es sábado fin de semana? Respuesta: 1 ¿Es martes fin de semna? Respuesta: 0 ¿Es viernes fin de semana? Respuesta: 0.8

81

¿Es domingo fin de semana? Respuesta: 0.95 Un diagrama de esta situación se muestra en la figura 4.6

Jueves viernes sabado domingo lunes

Figura 4.6 Esquemático del fin de semana

Un enfoque intuitivo lógico es: Sea A el conjunto de los días de fin de semana y x la variable que representa un día de la semana. Entonces frente a la pregunta ¿ Es x miembro del conjunto A ?. La respuesta es que x puede pertenecer parcialmente al conjunto A . Si pertenecer al conjunto A completamente se le asigna un 1, y total ausencia un 0, vemos que la respuesta es que x puede pertenecer parcialmente al conjunto A . En la figura 4.7 se representa en forma continua.

Jueves viernes sabado domingo lunes

1

0

figura 4.7 curva de pertenencia de fin de semana Ejemplo 4.2 Trace una curva de pertenencia para ubicar los meses de las estaciones del año solución En figura 4.8 se muestra una curva lógica de pertenencia

82

diciembre marzo mayo junio

verano otoño

Figura 4.8 Curva de pertenencia de las estaciones del año

Sabemos que una caracterización clásica de un conjunto es, por ejemplo, el siguiente:

6/ fxxA = (4.19)

La caracterización de un conjunto fuzzy es una extensión del conjunto clásico. De manera que si X es el universo de discusión, y sus elementos se asignan por x , entonces un conjunto fuzzy de X es definido como un par ordenado

XxxxA A ∈= /)(, µ (4.20)

donde )(xAµ se denomina grado de pertenencia ó función miembro de x en A . Cada elemento de x se mapea a un valor comprendido entre 0 y 1. Existen varias curvas ó formas de mapeo. La intuición heurística sugiere las formas de la figura 4.9.

triangular trapesoidal gauss

Figura 4.9 Formas de pertenencia

Podemos concluir que los conjuntos fuzzy describen conceptos vagos (más rápido, muy alto, más caliente, etc.). Un conjunto fuzzy admite que un elemento pertenezca parcialmente a él. Recordemos que la lógica clásica permite hacer, por ejemplo, el análisis de la figura 4.10.

83

A CB

Figura 4.10 conjunto clásico

la lógica dice: Si Bx ∈ y Cx ∈ entonces Ax ∈ Ejemplo 4.3 Seleccionar los hombres que cumplan dos características simultáneamente, a saber , Los hombres altos y de raza blanca. Solución Un método de análisis es escoger tres conjuntos: El conjunto de altura A , el conjunto de raza B y el conjunto de altura más raza R . Los conjuntos se pueden asignar de la siguiente manera:

→→

=01

BajoAlto

A

→→

=01

NegroBlaco

B

→→

=01

negroyBajoBlancoyAlto

R

Si x es bajo y Negro, entonces 0=R Si x es bajo y Blanco, entonces 0=R Si x es alto y Negro, entonces 0=R Si x es alto y Blanco entonces 1=R

La tabla de verdad es

A B R 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

84

En la figura 4.11 se muestra la tabla mediante señales en el tiempo

A

B

R

Figura 4.11 el ejemplo mediante señales

Para expresarlo en conjunto fuzzy, el ejemplo se transformaría en la siguientes señales de la figura 4.12

A

B

R

Figura 4.12 relación de pertenencia para conjunto fuzzy

Ventajas del control Fuzzy

- Es amigable en su concepción y diseño - No necesita sintonizarse para distintos puntos de operación como ocurre con el PI - Funciona adecuadamente en un amplio rango de operación - Permite abordar fácilmente los imprevistos

Desventajas del control fuzzy - No existe criterio definido para seleccionar los conjuntos Fuzzy - Tampoco existe un criterio para atribuir formas de onda a las funciones de pertenencias - Tampoco hay un criterio para asignar el grado de traslape - L formación de la tabla es subjetiva - No existe un procedimiento sistemático para el diseño de controladores Fuzzy - Se requiere bastante consumo de tiempo en pruebas y errores finales - El software es más grande que su contraparte PI.

El control fuzzy en procesos reales se estructura de acuerdo a la figura 4.13

85

Base del conocimiento

Motor de inferenciasEtapa

FusificaciónEtapa de

Defusificación

Proceso

Figura 4.13 Esquema de un control difuso

Para explicar cada bloque se presentará el siguiente ejemplo Ejemplo 4.6 Simular un control PI standard por un control difuso. El corazón del bloque "control basado en el método difuso" es la base del conocimiento a partir de un PI standard. Solución Como experto en controladores PI clásico elaboramos la BASE DEL CONOCIMIENTO. Sabemos que su comportamiento es como se muestra en la figura 4.14 :

Ref

Tiempo

1/4

Figura 4.14 Funcionamiento típico de un r PI

Podemos dividir la señal por zonas, de acuerdo al error y la derivada del error, tal como se muestra en la figura 4.15

Ref

e(t)de(t)dt

a aa aaa21 3 4 65

- -- -

- -+

+ ++ + - Tiempo

e=(ref-out)A B

Figura 4.15 Dividendo la curva en zonas

86

Analizando la figura podemos deducir lo siguiente:

1) Si )(ke y dt

kde )( son cero: entonces se mantenga el control constante. 0=∆u

Esto ocurre en cuando salida es igual a la referencia en estado estacionario 2) Si )(ke tiende a cero con velocidad aceptable: se mantenga el control 0=∆u Esto ocurre en la zona a1 y a3 3) Si )(ke no está tendiendo a cero, la acción de control dependerá del signo y magnitud del )(ke y

dtkde )(

. En zona a2 0<∆u , en zona a4 0>∆u

La gráfica del error y la derivada del error se muestra en la figura 4.16

dedt

e

a1 a2 a3 a4

Figura 4.16 error y derivada del error La caracterización de zonas o sectores es la siguiente:

>>=

><=

<<=

<>=

0,0

0,0

0,0

0,0

4

3

2

1

dtdeea

dtdeea

dtdeea

dtdeea

Las alternativas de las pendientes en los puntos A y B de la figura 4.14 se muestran en la figura 4.17

87

bbb

bbb

2

1 34

65

Ref

Figura 4.17 Pendientes en dos puntos de la curva

La caracterización en función de velocidad y sentido es la siguiente:

>>>==

>>==

>==

<==

<<==

<<<==

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

6

5

4

3

2

1

dtdeeb

dtdeeb

dtdeeb

dtdeeb

dtdeeb

dtdeeb

Los valores máximos y mínimos con respecto a la referencia se muestran en la figura 4.18

c

c

c

cc

c

21

3 4

65

Ref

Figura 4.18 Valores máximos y mínimos

La caracterización de los sobreimpulsos es la siguiente

88

>>>==

>>==

>==

<==

<<==

<<<==

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

6

5

4

3

2

1

edtdec

edtdec

edtdec

edtdec

edtdec

edtdec

De este análisis empírico, podemos interpretar a los ii ba , y ic como rangos imprecisos, lo cual da origen a las variables difusas. NG: Negativo Grande NM: Negativo Mediano NP: Negativo Pequeño CE: Cero PP: Positivo Pequeño PM: Positivo Mediano PG: Positivo Grande El encasillamiento de una variables de ingeniería (por ejemplo voltaje) a una variable difusa (por ejemplo NG), se denomina FUZIFICACIÓN.

Podemos construir la siguiente matriz de Estados en función de )(te y dtde

89

NG NM NP CE PP PM PGNG

NMNPCEPPPMPG

CEdedt

e(t)

a aaaaaa

aa11 1

1 11

1 1 1

a aaaaaa

aa44 4

4 44

4 4 4

a aaaaaa

aa22 2

2 22

2 2 2

a aaaaaa

aa33 3

3 33

3 3 3

b

b

b

b

b

b

4

1

2

5

3

6

c cc cacc21 3 4 65

En base a nuestra experiencia con controladores PI podemos construir en forma gruesa las siguiente acciones de control.

NG NM NP CE PP PM PGNG

NM

NP

CE

PP

PMPG

dedt

e(t)

U<0

>0

U

U =0U < 0

U< 0

U =0

U>0

U >0

precisando este arreglo podemos construir los estados de la acción de control ó MOTOR DE INFERENCIA de la figura 4.19. Esta tabla es conocida en la literatura como “tabla de 49 reglas”

90

NG NM NP CE PP PM PGNG

NMNPCEPPPMPG

CECE

CECE

CECE

CE

PPPP

PPPP

PPPP

NPNP

NPNP

NPNP

NMNM

NMNM

PMPM

PMPM

PMPM

NMNM

PGPPPGPGPGPGPG

PGPM

NG NG NGNG NGNG

NGNMNPde

dt

e(t)

Figura 4.19 Tabla de inferencia

Una asignación razonable de funciones de pertenencia para e y dtde

se muestra en la figura 4.20

NG NM NP CE PP PM PG

de

dt-1 -1/3-2/3 1/3 2/3 1

0,8de=e(k)-e(k-1)

0,2

ui(e) ó ui(de)

i es una variable fuzzy =[NG,NM,NP,CE,PP,PM,PG]

e, ó

Figura 4.20 Funciones de pertenencia Una vez inferida la variable de salida, es necesario convertir la variable difusa du en un valor nítido. este conversión se denomina DEFUSIFICACION .

91

Al entrar el valor de e y dtde

a la tabla de inferencia de la figura 4.18 , siempre interceptará dos curvas para

e y dos curvas para dtde

, por lo tanto el análisis involucra a 4 celtas de la tabla ó sea a 4 curvas de la figura

4.19. En figura 4.21 se muestra el análisis completo para 8.0=e y 308

−=dtde

(- 0.26667)

0,6

1/3

12/31/3

-2/3 -1/3 1/3

12/3

0,4

1

0,2

0,8 1

0,4

0,6

du0,2

u'i(du)

CE

ui(e)

ui(de)

de

e

PM PG

NP

PP

u'i(du)= mín[wi , ui(du)] donde wi=mín[ ui(e) , ui(de)][ 0,6, 0,8 ]= 0,6

Figura 4.21 Deducción de la variable de control Finalmente los cuatro análisis anteriores se traducen en la siguiente relación, para obtener la variable de control denominada de medida máxima modificada.

du=(0,6)(1/3)+(0,2)(2/3)+(0,2)(2/3)+(0,4)(2/3)=0,52 0,6+0,2+0,2+0,4

EJERCICIOS

1) Demuestre que una realimentación de bajo orden introduce dependencia lineal en la matriz 2) ΦΦT

Obtener el du del controlador fuzzy , emulando un PID, en el punto indicado en la gráfica para una tabla de 25 implicancias, con conjunto fuzzy: NG,NM,CE,PM,PG

92

Ref = 1

0.5

t3

t

y NG NM CE PM PM NG NG NG NM NM CE NM NG NM NM CE PM CE NM NM CE PM PM PM NM CE PM PM PG PG CE PM PM PG PG

error

derror

3)

0.10.2

0.7

1

t

y

t1

Usando una tabla de 25 reglas determinar lavariación de la variable de control u en el instante t 1

NG

NM

CE

PM

PG

NG

NG

NG

NM

NM

CE

NM

NG

NM

NM

CE

PM

CE

NM

NM

CE

PM

PM

PM

NM

CE

PM

PM

PG

PG

CE

PM

PM

PG

PG

e

de

4)

a) Evalúe el programa para error = 0.6 b) Evalúe el programa para error = -0.1 c) Explique qué hace el programa si: NG = 1 NM = 2 NP = 3 CE = 4 PP = 5 PM = 6 PG = 7

FOR i=1 TO 7 fe(i,1) = 0 fe(i,2) = 0 NEXT i error = referencia – medición IF(error < -1) THEN error = -1 IF(error > 1) THEN error = 1 FOR i = 1 To 7 Y = 3 * error + 5 – i IF(Y > 0) AND (Y <= 1) THEN fe(i,1) = i fe(i,2) = Y ELSE Y = -3 * error + i - 3 IF(Y > 0) AND (Y <= 1) THEN fe(i,1) = i fe(i,2) = Y END IF END IF NEXT i

93

5) Resuelva el ejercicio sobre fuzzy ( o sea encontrar ∆U) explicado en clases pero para

e = -0.4 de = 0.1 dt

BIBLIOGRAFÍA [1] Ogata K., “SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO”, Prentice Hall, 1996 [2] Àström K., “SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR”, PARANINFO, 1988 [3] sermann R., “DIGITAL CONTROL SYSTEMS”, Spriager-Verlag, 1981 [4] Oppenheim J.,”SIGNALS AND SISTEMS”, Prentice Hall, 1985 [5] Ljung L. ,”SYSTEM IDENTIFICATION”, Printice Hall, 1987 [6] Ljung L., “TOOL BOX FOR USE WITH MATLAB”, Math Works, 1995