TALLER 3

1. (10 Puntos) De acuerdo a una recolección de datos que se llevó a cabo en el campus de la Escuela se sugiere que una distribución exponencial con valor esperado 3.15 horas es un buen modelo para describir la duración de los períodos de lluvia que se presentan constantemente en la zona.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando llueva en la escuela la duración del evento sea: Por lo menos 2,15 horas? A lo sumo 1,9 horas? Entre 1,1 y 2,15 horas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de la lluvia en la escuela supere el valor medio por más de 1,5 desviaciones estándar? c) ¿Cuál es el valor de la mediana de tiempo que dura un evento de lluvia en la escuela? d) ¿A partir de qué instante de tiempo se acumula más del 70% probabilidad de que haya llovido?

SOLUCIÓN:

Sea {X t , t>0}unaCMTC

X t :Número deveces que llueve en laescuelaenel intante t

Donde

λ= 13,15horas

a)

P (X>2,15 )=e−( 13,15

)(2,15 )

P (X>2,15 )=0,5053

La probabilidad de que cuando llueva la duración de esta sea de 2,15 horas es del 50,53%.

P (X<1,9 )=1−e−( 13,15

)(1,9)

P (X<1,9 )=0,4529

La probabilidad de que cuando llueva la duración de esta sea de 1,9 horas es del 45,29%.

P (1,1<X<2,15 )=P (X<2,15 )−P (X>1,1)

P (1,1<X<2,15 )=−e−( 13,15 ) (2,15)

+e−( 13,15

)(1,1)

P (1,1<X<2,15 )=0,1999

La probabilidad de que cuando llueva la duración de esta se encuentre en 1,1 horas y 2,15 horas es de 19,99%.

b)

P(X>1,5∗(√ 1λ2 ))=P(X>1,5∗(1λ))=P (X>4,725 )=e

−( 13,15 ) (4,725)

=0,2231

La probabilidad de que la duración de la lluvia en la escuela supere el valor medio por más de 1,5 desviaciones estándar es del 22,31%.

c) ln (2)λ

=ln (2)1

3,15horas

=3,15∗ln (2 )=2,18horas

El valor de la mediana de tiempo que dura un evento de lluvia en la escuela es de alrededor de 2,18 horas.

d)

P (X>t )=e−( 13,15 ) (t )

si p=0,70 , entonces

0,70=e−( 13,15 ) ( t )

ln (0,70 )=ln (e−( 13,15 ) (t ))

ln (0,70 )= −13,15

∗t

ln (0,70 )∗3,15=−tln (0,70 )∗3,15=−t1,1235horas=t

El instante de tiempo en donde se acumula más del 70% probabilidad de que haya llovido es a partir de 1,1235 horas.

2. (9 Puntos) Una de las máquinas de su compañía funciona a partir del uso de dos baterías independientes, es decir que en caso de que alguna falle la máquina para. El tiempo de vida media de la las baterías es de 8 semanas para la primer batería y 10 semanas para la segunda. Determine:

a) La probabilidad que la batería 1 falle antes que la batería 2 y viceversa.

b) El tiempo esperado en el que para la máquina.

c) La probabilidad que la máquina pare antes de la semana 6.

d) El tiempo esperado que transcurre hasta la 5 parada de la máquina.

SOLUCIÓN:

Sea {X t , t>0}unaCMTC

a)

P (batería1 falle antes que la batería2 )=λ1

λ1+λ2

Donde

λ1=1

8 semanas

Y

λ2=1

10 semanas

Quedando así:

P (batería1 falle antes que la batería2 )=

18 semanas

18 semanas

+1

10 semanas

P (batería1 falle antes que la batería2 )=59=0,5555

La probabilidad que la batería 1 falle antes que la batería 2 es del 55,55% tiene una gran probabilidad de ocurrencia.

P (batería2 falle antes que la batería1 )=

110 semanas1

10 semanas+

18 semanas

P (batería2 falle antes que la batería1 )=49=0,4444

La probabilidad que la batería 2 falle antes que la batería 1 es del 44,44%.

b)E (T )=8 semanas+10 semanas

E (T )=18 semanas

El tiempo esperado en el que para la máquina es de 18 semanas.

c)

P (X<6 )=1−e−( 940 ) (6 )

P (X<6 )=0,7407

La probabilidad que la máquina pare antes de la sexta semana es del 74,07%.

d)

E (T )= kλ

Donde

k=5 y λ= 940

, este λ se sacade la sumade los dos λ anteriores .

Luego

E (T )= 59

40 semanas

E (T )=22,22 semanas

El tiempo esperado que transcurre hasta la 5 parada de la máquina es de 22,22 semanas.

3. (13 Puntos) Programe una macro en MS. EXCEL que calcule una buena aproximación (precisión de 5 cifras decimales) de la matriz P(t), para un t específico en el tiempo. Considere una CMTC de 11 estados. ATENCION: Incluya un instructivo paso-a-paso de cómo debe el usuario operar su macro.

4. (15 Puntos) Su empresa se dedica a fabricar bombillos incandescentes de corta duración para propósitos especiales. Actualmente se encuentra en proceso de rediseño del subsistema interno conformado por el aislante de vidrio y el filamento de tungsteno. Este subsistema determina la duración del bombillo. Una muestra de 100 unidades de cada componente recientemente diseñado fue sometida a pruebas en un laboratorio

independiente. Los datos obtenidos sobre la duración en minutos de cada unidad de cada unidad se muestran en las siguientes tablas:

Con la información suministrada se pide: a. Estimar el valor esperado de la vida media de cada componente. Probar la hipótesis de que la duración de los componentes son variables aleatorias exponenciales por medio de pruebas de bondad de ajuste 𝜒2. Utilizar confianza (1 − 𝛼) de 99%. b. Si se prueban las hipótesis del punto anterior, determinar el valor esperado en horas del sistema aislante – filamento. c. Un cliente desea que se garantice duración mínima de 20 horas, determinar la probabilidad de que el subsistema diseñado cumpla con este requerimiento. d. A su grupo de trabajo se le encomienda la responsabilidad de decidir si este diseño es satisfactorio. Con base en la información suministrada y los análisis realizados deberán, en un máximo de dos párrafos, ofrecer emitir una opinión concertada e informada.

Nota: Para la prueba de bondad de ajuste es necesario agrupar clases de tal forma que garantice que no haya ninguna con frecuencia observada menor a cuatro datos.

SOLUCIÓN:

a) Prueba de hipótesis= Duración de componentes son variables aleatorias exponenciales.

5. (10 Puntos) Un sistema de generación eléctrica se alimenta de 𝑘 fuentes. Las vidas medias de las fuentes son variables aleatorias iid𝐸(𝜆). Si una de las fuentes falla el sistema se reconfigura para satisfacer la demanda de energía entre las fuentes restantes. Sin embargo este proceso tiene probabilidad de éxito 𝑝 que baja a 𝑝2si el número de fuentes funcionales está entre 2 y 𝑛 (1<𝑛<𝑘). Si este proceso no tiene éxito el sistema colapsa. Asuma que la reconfiguración (si se produce) es instantánea y que si el sistema colapsa no vuelve a funcionar nunca. a. Modelar como CMTC y construir la matriz de tasas (caso general). b. Construir el diagrama de tasas para el caso particular 𝑘=8, 𝑛=3 y 𝑝=95%, el tiempo medio de vida de las fuentes es de 20 años.

SOLUCIÓN:

a)Sea {X t , t>0}unaCMTC

X t :Número de fuentes funcionales de generaciónelectricaenel instante t

s={k , k−1 ,…,n ,n−1 ,…,3,2,1,0 }

Matriz de tasas R caso general

k k-1 … n n-1 … 3 2 1 0k 0 Kʎp 0 0 0 0 0 0 0 Kʎ(1-p)

k-1 0 0 (k-1)ʎp 0 0 0 0 0 0 (k-1)ʎ(1-p)… 0 0 0 (k-t)ʎp 0 0 0 0 0 (k-t)ʎ(1-p)n 0 0 0 0 nʎp^2 0 0 0 0 nʎp^2

n-1 0 0 0 0 0 (n-1)ʎp^2 0 0 0 (n-1)ʎ(1-p^2)

… 0 0 0 0 0 0 (n-t)ʎp^2 0 0 (n-t)ʎ(1-p^2)3 0 0 0 0 0 0 0 3ʎp^2 0 3ʎ(1-p^2)2 0 0 0 0 0 0 0 0 3ʎp^2 2ʎ(1-p^2)1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ʎ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

b) Matriz de tasas R caso particular

8 7 6 5 4 3 2 1 08 0 0,38 0 0 0 0 0 0 0,027 0 0 0,3525 0 0 0 0 0 0,01756 0 0 0 0,285 0 0 0 0 0,0155 0 0 0 0 0,2375 0 0 0 0,01254 0 0 0 0 0 0,19 0 0 0,013 0 0 0 0 0 0 0,1353 0 0,01462 0 0 0 0 0 0 0 0,09 9,15E-031 0 0 0 0 0 0 0 0 0,050 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Se observa que al irse alejando de 0 los valores de las tasas van aumentando su valor.

6. (14 Puntos) Un sistema de comunicaciones estratégicas del gobierno necesita el funcionamiento de tres componentes cuyas vidas medias son variables aleatorias iid 𝐸𝑥(𝜇) donde 𝜇=0.00005 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠−1. Para dar confiabilidad al sistema, se propone configurar el sistema en tres grupos independientes de dos componentes cada uno de tal forma que para que el sistema funcione se necesita que al menos un componente de cada grupo funcione. Para hacer el sistema menos proclive a sabotaje, los tres grupos tienen localizaciones geográficas secretas en el territorio nacional. Si un componente falla no es posible repararlo sin parar toda la operación.

a. Modelar el sistema como CMTC y construir la matriz de tasas.

b. Si el sistema se pone en funcionamiento (la totalidad de sus componentes) justo a las 00:00 horas del primero de enero de 2016, ¿cuál sería la fecha (día y hora) esperada en la que el sistema deje funcionar?

c. ¿Es adecuado el diseño en grupos?, ¿Realmente ofrece confiabilidad al sistema?. Responder estas preguntas por medio de una opinión concertada e informada por parte del grupo de trabajo. Para esto deberá comparar los resultados obtenidos con los que se obtienen de la versión más simple del sistema. Nota: Es necesario sumir que la CMTC continúa evolucionando aunque el sistema deje de funcionar.

SOLUCIÓN:

a)Sea {X t , t>0}unaCMTC

X t :Estado de los componentes (a ,b , c )del sistemaenel instante ts={(0,0,0 ) , (1,0,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1 ) , (2,0,0 ) , (0,2,0 ) , (0,0,2 ) , (1,1,0 ) , (1,0,1 ) , (0,1,1 ) ,

(1,2,0 ) , (0,1,2 ) , (2,0,1 ) , (2,2,0 ) , (0,2,2 ) , (2,0,2 ) . (2,1,0 ) , (0,2,1 ) , (1,0,2 ) , (1,1,1 ) , (1,1,2 ) , (2,1,1 ) ,(1,2,1 ) , (2,2,1 ) , (2,1,2 ) , (1,2,2 ) , (2,2,2)}

Dado que para que sistema funcione se necesita que al menos un componente de cada grupo funcione, por ende los espacios que no funcionan se agrupan en un súper nodo A, quedando así

s={(nodo A ) , (1,1,1 ) , (1,1,2 ) , (2,1,1 ) , (1,2,1 ) , (2,2,1 ) , (2,1,2 ) , (1,2,2 ) ,(2,2,2)}

7. (15 Puntos) Usted es el operador de una compañía de atención médica pre hospitalaria. Cuenta con cuatro ambulancias, dos de ellas son básicas y las demás son medicalizadas. La operación eficiente se logra cuando las ambulancias llegan donde se requiere en treinta minutos o menos. Las ambulancias que no estén en servicio pueden ser ubicadas en dos zonas de la ciudad: zona norte, y zona sur. Las ambulancias que estén prestando servicio no se consideran disponibles. Si no tiene ambulancias disponibles en la zona donde se requiere, otras compañías operadoras responderán los llamados. Considere que la zona norte requiere tres ambulancias por hora, y la sur cinco ambulancias por hora. 30% de las llamadas requieren ambulancias medicalizadas y el resto pueden ser de cualquier tipo. Las ambulancias que no estén disponibles, tardan un tiempo que se distribuye exponencial con medias 5 horas. Al terminar el servicio, las ambulancias se ubican con probabilidad 40% en el norte y con 60% en el sur. Con esta información, calcule:

a. En promedio, ¿cuantas ambulancias medicalizadas están disponibles en la zona sur?

b. ¿Cómo cambiaría usted la probabilidad de reubicación de ambulancias cuando estas terminan el servicio? Justifique su respuesta.

SOLUCIÓN:

a)Sea {X t , t>0}unaCMTC

X t :Número deambulanciasmedicalizadas queestandisponibles en la zona sur enel instante ts :{0,1,2,3,4,5 }

8. (14 Puntos) El número de publicaciones y mensajes que se realizan en el fan page de Facebook para el Programa de Ingeniería Industrial (https://www.facebook.com/programaingenieria.industrial.1?fref=ts) con el hashtag #AmoMoes se puede modelar como un proceso de Poisson con tasa de 67.3 publicaciones y mensajes por día. Usando esta información, analice:

a. ¿Cuál es la probabilidad que haya más de 100 publicaciones y mensajes en las próximas 42 horas?

b. Considerando que 30% de la actividad corresponde a mensajes, y 70% corresponde a publicaciones, ¿Cuál es la probabilidad que en 2 horas no haya ningún mensaje?

c. Condicionado a que en un día hubo 85 publicaciones y mensajes, ¿cuál es la probabilidad que 40 de ellos hayan sido mensajes?

d. Si diseñar una publicación toma 1.5 horas y responder un mensaje toma 25 minutos, ¿Cuántas personas cree usted que se requieren para administrar el fan page? Justifique su respuesta.

SOLUCIÓN:

Sea {X t , t>0}unaCMTCX t :Número de publicaciones y mensajes conel ¿ AmoMoes en la pagina oficial enel instante t

λ=67,3

publicaciones ymensajesdía

∗1día

24horas=2,8041

publicaciones y mesajeshora

a)

P (N42>100 )=1−P (N42=0 )−P (N42=1 )−P (N 42=2 )−…−P(N 42=100)

P (N42>100 )=1−0,05281

P (N42>100 )=0,9471%

La probabilidad que haya más de 100 publicaciones y mensajes en las próximas 42 horas es del 94,71%.

b)

λ1=2,8041 publicaciones y mesajeshora

∗0,30=0,8412 publicaciones y mesajeshora

λ2=2,8041 publicaciones ymesajeshora

∗0,70=1,9628 publicaciones y mesajeshora

P (N2=0 )=(0,8412∗2 )0∗e−(0,8412∗2 )

0 !

P (N2=0 )=0,1859

La probabilidad que en 2 horas no haya ningún mensaje es del 18,59%.

c)

P (X=40 )=0

La probabilidad que 40 de ellos hayan sido mensajes es del 0%

d) Valor esperado total es 115 minutos para publicar y responder mensaje, la media es de 90 minutos+25 minutos/ 2 = 57.5

115minutos publicar y responder mensajes por persona57,5minutos

=2 personas

se requieren para administrar el fan page 2 personas.