La dicotomía de lo continuo y lo discreto en la filosofía y la matemática griegas

1. Contar por necesidad.

2. Medir magnitudes.

3. Números racionales.

4. Herencia oriental

Los primeros pasos

1. Uno de los siete sabios: Exigencia de la razón.

2. Termina la etapa precientífica.

3. Circunstancias histórico-geográficas

Tales de Mileto (585 a. C.)

1. Culto al número. Enteros positivos.La justificación de esta creencia en los números como el principio constitutivo de la physis

reside en la confusión del punto geométrico con la unidad aritmética.

En efecto, considerando que la yuxtaposición de puntos engendra líneas, la yuxtaposición de líneas engendra superficies, la yuxtaposición de superficies engendra cuerpos, se tiene que los puntos son las unidades reales que componen los cuerpos de naturaleza

1. Número: agregado de unidades.

2. Número es un atributo.

3. Abstracción. Al agrupar los números en series, obtuvieron resultados importantes acerca de los números triangulares, cuadrados, rectángulos, pentagonales, hexagonales, piramidales, etc.

Pitágoras de Samos (585 a. c. ?)

Pentagrama venerado como figura mística. Pero,…La relación entre la diagonal del pentágono y su lado encerraba un número no racional: la razón áurea.

 

El pentagrama envenenado

Hipaso de Metaponto ( siglo V a.C), que inicialmente fue pitagórico y quien al estudiar las propiedades geométricas del pentagrama descubrió la existencia de segmentos inconmensurables.

Nace el imperio de la geometría: todo razonamiento matemático riguroso se expresó en lenguaje geométrico.

El imperio de la geometría

En “Aritmética”: resuelve diversos tipos de ecuaciones algebraicas admitiendo como soluciones números enteros o números fraccionarios positivos.

Consideró los fraccionarios positivos como auténticos números y no solamente como proporciones.

Diofanto (214 – 298 d. C.)

1. Deseo de conocer.

2. Problema de las Cuadraturas: construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada.

3. Esfuerzos por lograr lo imposible.

Anaxágoras de Clazomene

1. Propiedad arquimediana .

2. Principio de convergencia.

3. Área de un segmento parabólico.

Eudoxo de Cnido (400-347 a. C.)

1. Propiedad arquimediana:

“Dadas magnitudes cualesquiera a > 0 y b > 0, siempre es posible, por pequeña que sea a y grande que sea b, conseguir que un múltiplo conveniente de a exceda a b, es decir

na > b

para algún número natural n.”

Eudoxo

1. Principio de convergencia:

Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este procesos de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.

Eudoxo

Teorema: El área ( PVQ)= 4/3 área (triángulo PVQ).

En su estudio de la materia los griegos se hicieron la pregunta fundamental: ¿se puede dividir de forma continua la materia en trozos más y más pequeños o se alcanza una pieza tan diminuta que no puede dividirse aún más?

1. Pitagóricos

2. Parménides y la escuela Eleática. Paradojas de Zenón

3. Demócrito y el atomismo

Dicotomía continuo-discreto

Los pitagóricos habían supuesto que el espacio y el tiempo pueden ser imaginados como constituidos por puntos e instantes.

Pitagóricos

1. Parménides distingue entre la apariencia y la esencia de las cosas.

2. El espacio, el tiempo,… son indivisibles: porque el vacío que separaría las partes sería el no-ser, y el no-ser no es.

3. La ciencia ha de buscar esa realidad detrás de las apariencias del mundo de los sentidos y distinguir la verdad (el ser) de la opinión (el no ser).

Parménides (510-450 a. C.) y la escuela eleática

Método dialéctico: partir de las premisas que defiende el oponente para terminar reduciéndolas al absurdo.

Las aporías de Zenón son un extraordinario desafío, al que filósofos y matemáticos han dado diversas respuestas, sin que aún hoy se tenga conciencia clara de haberlas podido explicar de forma totalmente convincente.

Zenón de Elea (siglo IV a. C.)

Dicotomía: Afirma que antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una distancia dada, debe recorrer en primer lugar la mitad de esta distancia, pero aún antes de recorrer un primer cuarto de la mitad inicial ,…y así indefinidamente, a través de una cantidad infinita de subdivisiones. El corredor que quiere iniciar su carrera debe realizar un número infinito de etapas sin ninguna primera en un tiempo finito, y, por lo tanto el mismo comienzo del movimiento es imposible. 

Zenón de Elea (siglo IV a. C.)

Aquiles y la tortuga. Aquiles deja una distancia inicial a la tortuga. Cuando Aquiles llega a la posición inicial de la tortuga ésta se encuentra en una posición más avanzada, cuando el primero llega a esta posición la tortuga se encuentra en una tercera posición, y así e proceso continúa indefinidamente, con el resultado de que el veloz Aquiles permanece corriendo sin alcanzar jamás a la tortuga que le lleva unos pocos metros de ventaja veloz Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga.

Zenón de Elea (siglo IV a. C.)

Flecha disparada: Si se supone que el espacio y el tiempo están formados por unidades mínimas indivisibles y el movimiento es una sucesión de diminutos saltos consecutivos, en cada uno de esos instantes indivisible de tiempo, la flecha. debe permanecer quieta. Por tanto, en cada instante la flecha está quieta y, como el tiempo se compone de instantes, la flecha está siempre quieta y el movimiento no tiene lugar. 

Zenón de Elea (siglo IV a. C.)

Los atomistas mantienen que hay dos principios fundamentales: los átomos y el vacío.

Niegan la infinita divisibilidad del espacio y la materia y afirman que cualquier magnitud contiene elementos últimos indivisibles: los átomos (significa lo que no puede dividirse).

Los átomos son invisibles, infinitos en número y de diversas formas y tamaños, perfectamente sólidos, indestructibles y permanentes.

Demócrito (460 - 370 a.C.) y el atomismo físico

Argumento:

Si una magnitud continua fuera dividida en todo punto, entonces no quedaría nada o sólo quedarían puntos sin extensión, porque en caso contrario el proceso de división podría proseguir. Si quedan puntos sin extensión, entonces no es posible recomponer la magnitud original a partir de ellos, pues por la agregación de puntos sin extensión no puede lograrse nunca una magnitud finita.

Demócrito y el atomismo físico

Una magnitud continua puede ser dividida en cualquier punto, pero no puede ser dividida en todo punto. Para Aristóteles, dividir un continuo en todos sus puntos es reducirlo a lo discreto. Mientras que un continuo tiene la propiedad de densidad, es decir, entre dos cualesquiera de sus puntos siempre hay otro punto del continuo y si dividimos un continuo en cualquier punto, lo que obtenemos son dos continuos cada uno de ellos con la propiedad de densidad.

Refutación de Aristóteles

'La interacción de filosofía y matemáticas en raras ocasiones se revela con tanta claridad como en el estudio del infinito entre los antiguos griegos. Los enigmas dialécticos de los Eleáticos del siglo V, refinados por Platón y Aristóteles en el siglo IV, y complementados con la invención de métodos precisos de límites, como los aplicados por Eudoxo en el siglo IV y Euclides y Arquímedes en el III'.

El Infinito y más allá

La introducción de conjuntos o procesos infinitos es la causa principal de la aparición de paradojas en Matemáticas.

Los matemáticos griegos fueron plenamente conscientes de este fenómeno, lo que les llevó a una autolimitación en el uso infinito.

El infinito, como el espacio, es uno de los conceptos matemáticos que entran de lleno en el terreno de la filosofía. Ambos atañen a la percepción del mundo, por lo que no es de extrañar que la evolución del infinito, como objeto matemático, haya estado muy unida a su concepción filosófica.

Anaximandro (ca.610 - 546 a.C.) introdujo el infinito en la filosofía Griega como el ápeiron que significa etimológicamente lo sin límites.

El Infinito y más allá

Aristóteles (384-322 a. C.)El principio de no contradicción, según el cual

una proposición y su negación no pueden ser ambas verdaderas al mismo tiempo y en el mismo sentido.

Proporciona unas reglas de razonamiento indispensables para argumentar de forma inequívoca

Primero, dice, “hay que examinar en general si es o no es posible que haya un cuerpo sensible infinito”. Después del correspondiente estudio, llega a la conclusión de que“no existe un cuerpo que sea actualmente infinito”. Pero “la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles”.

Aristóteles

Aristóteles termina estableciendo en su Libro III de su Física, dos clases diferentes de infinito: el infinito potencial y el infinito actual.

Entiende el infinito potencial, como un proceso constante , secuencial de adición o de subdivisión sin final.

El infinito actual potencial nunca será plenamente realizado: pues no hay un infinito tal que después sea en acto.

Aristóteles

El infinito actual está concebido como obra terminada y cuya existencia niega. (nunca será plenamente realizado).

metáfora : el ser de un día es un estar siendo de forma sucesiva, de manera que en ningún momento el día queda realizado plenamente como un todo. Decimos que el infinito “es” en el sentido en que decimos “el día es”.

Aristóteles

Tener la posibilidad de hacerlo define el infinito potencial; tenerlo hecho, el infinito actual.

Decir que la serie de los números naturales 1,2,3, 4, … es infinita, significa que: dado cualquier número N siempre podremos crear un siguiente número que será N + 1, pero…

nadie puede construir toda la serie.

Aristóteles

Lo infinito es un atributo que puede predicarse de la cantidad o de determinados procesos de adición y de división infinita de un continuo.  El tiempo es infinito. lo que, aparentemente, contradice la no existencia de infinitos actuales. El espacio es finito y “resulta entonces razonable pensar que no hay un infinito por adición que sea tal que pueda superar toda magnitud”. Los números están entre los procesos infinitos, esto es, o que no puede ser recorrido o se puede recorrer pero sin llegar a un término

Aristóteles

1. Euclides, en sus famosos Elementos,  cuando se refiere a rectas habla de “segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos”, en una clara alusión al infinito potencial, pero no dirá “rectas infinitas”. Igualmente, al enunciar que los números primos son infinitos, lo expresa diciendo que “Hay más números primos que cualquier cantidad de números primos propuesta”. De esta forma evita considerar el infinito actual de los números primos.

Pies de plomo

Más atrevido, hace un uso muy libre del infinito: descompone volúmenes como sumas infinitas de secciones, es decir, reduce un continuo a elementos indivisibles.

El método exhaustivo aunque consiste en una aproximación al área seguida e incluso su nombre sugiere “agotamiento”, estaba basado en un razonamiento muy cuidadoso de doble reducción al absurdo (razonamiento apagógico), precisamente para evitar la consideración de un infinito actual.

Arquímedes (287-212 a. C)

El volumen de la pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura.

2. Un prisma triangular puede descomponerse en tres pirámides triangulares que tienen, dos a dos, igual altura e igual área de la base,

3 Dos pirámides de bases y alturas iguales descompuestas en una cantidad inifinita de secciones transversales infinitamente delgadas y en correspondencia biunívoca,

Aplicaciones

ArquímedesExpresa la equivalencia del círculo con el

triángulo de altura el radio y de base la circunferencia rectificada.

Utilizando el método de inscribir y circunscribir polígonos duplicando el número de lados, partiendo del hexágono para llegar a 96 lados, y calculando aproximadamente sus perímetros, obtiene que el número π (la razón de la circunferencia y el diámetro) está entre 3+10/71 (3’1408..) y 3+1/7 (3’1428…)

Teorema: El área ( PVQ)= 4/3 área (triángulo PVQ).