Algoritmos de bit-loading discreto

Comunicaciones de banda anchaLuca Martino

Eduardo Martínez

Introducción

Modulación multi-canal Adaptación de la energía o info de cada modulación

subcanal en función de las características del canal de TX

Introducción(II)

Necesidad de subcanales planos y estrechos

Objetivo: Búsqueda de la estrategia óptima en la “colocación” de la energía en subcanales

Hipótesis: Canal lineal, estacionario, AWGN

Introducción(III)

Definiciones en canales paralelos: Bits/dimensión

Estudio en dimensiones (N canales reales unid), o en canales Total núm de bits portados por el sistema

Tasa

R es dividido desigualmente entre los subcanales

SNR

posibles símbolos (mensajes) a TX en cada subcanal

2

2

n

nn

Hg

nnn gSNR

N

nnbb

0

nb

N

N

nnRT

bR

0

nb2

Introducción(IV)

Gap Capacidad

Bits/dimensión

Gap

Gap f (esquema de codificación, Pe)

Ej. QAM,

)1(log2

12 nn SNRc

)1(log2

12

nn

SNRb

1212

1222

2

bb

c SNR

dBPe 8.810 6

dBPe 5.910 7

Introducción(V)

A más SNR del subcanal, más info lleva

Margen, dado SNR, b, Pe-esq codgap

Con b definido por la aplicación ¿Cuánto puedo bajar o debo subir la SNR sin violar la

restricción de Pe?

nN

n

SNRb 1log

2

1

12

12

/

12

1222

2 max

bb

b

mSNR

Introducción(VI). Ejemplo

AWGN, SNR=20.5 dB Cap canal

Con Pe=10^-6

Con turbocódigos gano 7dB a esa Pe

Aplicación requiere

dim/5.3)1(log2

12 bitsSNRc

dim/2)10

1(log2

188.02 bits

SNRb

dim/3)10

1(log2

118.02 bits

SNRb n

dim/5.2 bitsb

dBm 331

63

12

125.2*2

3*2

Ejemplo matlab 1. Canal con igual energía por dimensión

Conclusión: Energía por subcanal y distribución de bits no optimizada

Ej. Algoritmo óptimo de bit-loading:Water-Filling Objetivo:

Sujeto a:

Función de coste a maximizar (Lagrange):

Diferenciando respecto a En

Resultando:

nnN

n

gb

n

1log2

1max

12

N

nnxN

1

n

xnn

nn Ng

1ln)2ln(2

1

nn g1

1

)2ln(2

1

cteg n

n

Algoritmos de bit-Loading

Rate-Adaptive(RA) loading criterion

Sujeto a

Margin-Adaptive(MA) loading criterion

Sujeto a

Máx margen queda:

nnN

n

gb

n

1log2

1max

12

N

nnxN

1

N

nnx

n 1

min

nnN

n

gb

1log

2

1

12

xNmax

Ejemplo matlab 2. Water filling para resolución de RA Mayor cantidad de bits para la misma restricción de

energía Problema: Solución de Water-filling produce bn

fraccionarios, complicando la implementación de cod y decod.

Solución: Algortimos subóptimos que restringen a que bn sea enteroBit loading discreto (de granularidad finita)

Loading con unidades de información discretas Granularidad de la información (β)

Definición : Mínima cantidad incremental de info Bits por subcanal

Con Bn entero

Algoritmos de granularidad finita: Chow. Aproximación del water-filling Levin-Campello. Marco matemático. Solución

directa (sin water-filling)

nn Bb

Algoritmo de Chow (I)

Calcula una distribución de bits aproximando los resultados del waterfilling.

Se divide en 2 fases:

Chow’s “on/off” Loading Primer

Chow’s RA (o MA) Algorithm

Algoritmo (Chow’s Primer)

3. punto al volvemos)1()( Si

. )1( a ientecorrespondon distribuci lacon

quedamos nos )1()( Si

SNR1log

2

1)(

SNR ; 1...1,

,0)1(

. edecrecient maneraen Ordenar

21

2

2

ibib

ib

ibib

ib

gNNii

N

NiNb

Hg

temptemp

temp

temptemp

ni

temp

nnnx

n

temp

nn

1.

2.

3.

4.

5.

btemp(i) = numero total de bits tentativo, utilizando i-subcanales.

Quiero maximizar btemp

Ejemplo: H(z)=1+0.9z-1

Mis canales están en:

Los canales en banda base y a la f de Nyquist se modulan PAM, mientras los demás con una parte real y una imaginaría (QAM). Asi´que en total vamos a tener N=8 subcanales.

,4

3,

2,

4,0n

12

22

1

1.0 7392.0 3454.1 7558.1 9.1 43210 HHHHH

Paso 1 ( Ґ=1,σ2=0.181)

8533.11SNR

1log2

1)8(

181.0

1.01SNR

181.0

7392.01SNRSNR

181.0

3454.11SNRSNR

181.0

7558.11SNRSNR

181.0

9.11SNR

: )(SNR 18

8 8

8

12

2

8

2

76

2

54

2

32

2

1

n

ntemp

nnn

b

gi

Como btemp(8)>btemp(9) (=0 por inicialización), seguimos quitando un subcanal!

Paso 2

4118.12SNR

1log2

1)7(

181.0

7392.0

7

8SNRSNR

181.0

3454.1

7

8SNRSNR

181.0

7558.1

7

8SNRSNR

181.0

9.1

7

8SNR

: )(SNR 7

8 7

8

12

2

76

2

54

2

32

2

1

n

ntemp

nnn

b

gi

Como btemp(7)>btemp(8) seguimos quitando un subcanal…pero esta vez es QAM!

Paso 3

428.11SNR

1log2

1)5(

181.0

3454.1

5

8SNRSNR

181.0

7558.1

5

8SNRSNR

181.0

9.1

5

8SNR

: )(SNR 5

8 5

8

12

2

54

2

32

2

1

n

ntemp

nnn

b

gi

Como btemp(5)<btemp(7) nos quedamos con la distribución anterior (i=7)!

Resultado Chow Primer

btotales=12.4118

1.54 Bits/dimensión

Como en el WaterFilling, no utilizamos el tono a la f de Nyquist.

Algoritmo de Chow RA

A la distribución calculada con el Primer, aplicamos:

redondea, y ajusta la energia.

12

12~ , B 5.0 Si

12

12~ , B 5.0 Si

2

2

2

2

n

n

n

n

b

B

nnn

nnn

b

B

nnn

nnn

bbb

bbb

Algoritmo de Chow RA (β=1)

2 13.2181.0

7392.0

7

81log

2

1

181.0

7392.0

7

81log

2

1bb

4 6356.3181.0

3454.1

7

81log

2

1

181.0

3454.1

7

81log

2

1bb

4 355.4181.0

7558.1

7

81log

2

1

181.0

7558.1

7

81log

2

1bb

2 28.2181.0

9.1

7

81log

2

1b

2

2

2

276

2

2

2

254

2

2

2

232

2

21

Algoritmo de Chow RA (β=1)

2.0215 12

12

7

16

3.0001 12

12

7

16

1.7614 12

12

7

16

0.7520 12

12

7

8

2.1349

2

76

3.6356

4

54

4.355

4

32

2.282

22

1

Potencia necesaria=7.5349<8 (Potencia max)

Podríamos incrementar la potencia en todos los canales de un factor 8/7.5349.

Ejemplo matlab 3. Algoritmo de Chow

Número de bits totales un poco por debajo del Water-filling

Ejemplo para distintos canales

Algoritmos óptimos de bit-loading discreto (I) Conceptualmente, cada incremento de

información adicional a transportar en una trasnmisión multicanal, es colocado en el subcanal que menos energía requiere para transportarlo

Algoritmos óptimos de bit-loading discreto(II). Definiciones Vector de distribución de bits:

Energía incremental:

Cantidad adicional de Energía para enviar una unidad adicional de información β

)( nnn b

Nbbbbb ...321

)()()( nnnnnn bbbe

Algoritmos óptimos de bit-loading discreto(III). Definiciones Ej 1.Cálculo de e(n) para QAM y β=1

Desarrollando f(gap):

Ej 2. QAM β cualquiera

122)(

nb

nnn gb

)1(2)( nnnn bebe

)22(2)( 11

nb

nnn gbe

Algoritmo de eficiencia de Levin-Campello (EF)

Algortimo de eficiencia de Levin-Campello (EF) Concepto: No existen movimientos de un bit

de un subcanal a otro que reduzcan la energía por símbolo

Matemáticamente:

)]([)]([ mmm

nnn

bemínbemáx

Algoritmo de eficiencia de Levin-Campello (EF)(II)

Cualquier distrib bitdistrib eficiente 1.

2.

3. Mientras A)

B)

C)

D)

)]}([arg{1

iiNi

bemínm

)()( nnmm bebe

)]}([arg{1

jjNj

bemáxn

)]}([arg{1

iiNi

bemínm

)]}([arg{1

jjNj

bemáxn

mm bb

nn bb

Algoritmo de eficiencia de Levin-Campello (EF) (III)

Distribución no eficiente Distribución eficiente

Ejemplo

Algoritmo de E-ajuste de Levin-Campello (ET)

Algortimo E-ajuste de Levin-Campello (ET) Concepto: No puedo añadir ninguna unidad de

información más sin violar la restricción de energía total

Forma de operar: Añade bits en las posiciones que menor energía consumen (si estoy por debajo del límite). Quita bits cuando me paso del límite

Matemáticamente:

)]([)(01

1

ii

Nin

N

nnx bemínbN

Algoritmo de E-ajuste de Levin-Campello (ET) (II)

1. Fija

2. Mientras Si

A)

B)

C)

Si no

A)

B)

C)

0 SN x

)(1

N

nnn bS

)]([()0(1

iiNi

xx bemínSNorSN

)]}([arg{1

iiNi

bemáxn

)( nn beSS

nn bb

)]}([arg{1

iiNi

bemínm

)( mm beSS

mm bb

Levin-Campello RA

Seleccionamos b

Hacemos b eficiente (EF)

Ajustamos en energía con ET la distribución resultante del EF

Ejemplo matlab 4. Levin Campello

Г=8.8 dBn 0 1 2 3 4

en(1) 1.14 0.891 1.5 5.11 412

en(2) 4.5 1.7 3.0 10.2 1647.6

en(3) 18.3 3.56 6.07 20.4 6590.5

en(4) 73.0252 7.13 12.1 40.8937 26362

en(5) 292.1007 14.2 24.3 81.7874 -----

Referencias

[1] Cioffi, J.M. Lecture notes for advanced Digital Communications, Standford, Fall 1997

[2] Cioffi, J.M. Lecture notes for Digital Communication: Signal processing, Standford, Fall 1997

[3] Campello, Jorge. “Optimal Bit loading for multicarrier modulation systems”.

[4] Chow, Peter “A practical discrete multitone transceiver loading algortihm for data dransmission over spectrally shaped channels”