Actividades Problematicas Con El Uso Las Nuevas Tecnologias En El Estudio De La Funcion Logaritmica...
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ACTIVIDADES PROBLEMATICAS CON EL USO DE LAS NUEVAS TECNOLOGIAS EN EL ESTUDIO DE LA FUNCION LOGARITMICA CON LOS ESTUDIANTES DEL GRADO NOVENO DEL COLEGIO
FRANCISCO MOLINA SANCHEZ
WILCAR DAMIAN CIFUENTES ALVAREZ
COD: 0320303003
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION
LICENCIATURA EN MATEMATICAS E INFORMATICA
VALLEDUPAR (CESAR)
2008
10
ACTIVIDADES PROBLEMATICAS CON EL USO DE LAS NUEVAS TECNOLOGIAS EN EL ESTUDIO DE LA FUNCION LOGARITMICA CON LOS ESTUDIANTES DEL GRADO NOVENO DEL COLEGIO
FRANSISCO MOLINA SANCHEZ
WILCAR DAMIAN CIFUENTES ALVAREZ
COD: 0320303003
ASESORES:
LUCÍA MARTÍNEZ DE AMAYA
GELYS IGRETH MESTRE CARRILLO
ALVARO DE JESUS SOLANO SOLANO
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION
LICENCIATURA EN MATEMATICAS E INFORMATICA
VALLEDUPAR (CESAR)
2008
11
CONTENIDO.
INTRODUCCIÓN 9
1. DESCRIPCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 11
1.1. Justificación 12
1.2. Objetivos 13
1.2.1. Objetivo general 13
1.2.2. Objetivos específicos 13
2. METODOLOGIA 14
2.1 Tipo de investigación 14
2.2 Población 14
2.3 población de estudio 14
2.4 Muestra 15
2.5 Fases 15
3. REFERENTES TEÓRICOS 16
3.1. Antecedentes históricos de la función logarítmica 16
3.2. Estudio de la función logarítmica 25
3.2.1 Definición de logaritmo 25
3.2.2 Logaritmos Decimales 26
3.2.3 Logaritmo Neperiano 26
3.2.4 Propiedades Generales 26
3.2.5 Cambio De Base 29
3.2.6 Definición De Función Logarítmica 29
3.2.7 Grafica De La Función Logarítmica 30
3.2.8 Aplicación De La Función Logarítmica 31
3.3. Aprendizaje Significativo 32
3.3.1 Tipos De Aprendizaje Significativo 33
3.4 Memoria Semántica 36
3.5 Lo Didáctico 37
3.5.1 Los Sistemas De Representación En La Educación Matemática 37
12
3.5.2 Situaciones Problémicas 39
3.5.3 Unidad Didáctica 41
3.5.3.1 Componentes De La Unidad Didáctica 41
3.5.3.1.1 Selección Del Objetivo 41
3.5.3.1.2 Análisis De Contenido 41
3.5.3.1.3 Diagnostico Final 42
3.5.3.1.4 Selección De Estrategias Didácticas 42
3.5.3.1.5 Selección De Estrategias De Evaluación 42
3.6 Las Tecnologías En La Matemática 43
3.6.1 Software graph 45
4 UNIDAD DIDACTICA Y ANALISIS DE ACTIVIDADES 47
5 CONCLUSIONES GENERALES 88
6 RECOMENDACIONES 90
BIBLIOGRAFIA 91
ANEXOS 94
13
Dedico este trabajo a Dios creador del universo y dueño de mi vida.
A mi madre, YINED ALVAREZ CORREA por el apoyo incondicional que me dio a
lo largo de la carrera.
A mi padre, FABIO CIFUENTES, por darme la vida y la oportunidad de estudiar.
A mis hermanos, ENITH JOHANA, MARÍA DEL CARMEN y YEMILSON quienes
me apoyaron en este arduo camino y me ayudaron a pensar que si se podía.
A mi sobrina, ANDREA CAROLINA por ser una luz en el camino y la mayor
alegría de mi vida.
A mis profesores, ALVARO SOLANO, LUCIA MARTÍNEZ, GERMAN SOSSA y
HUMBERTO BARRIOS participes activos de este proyecto.
Y a todos mis amigos quienes me apoyaron y estuvieron presentes en todo
momento y prestos a colaborarme en lo que necesité.
WILCAR DAMIAN CIFUENTES ALVAREZ
14
INTRODUCCION.
El aprendizaje como un proceso natural, social, activo y no pasivo, puede ser
lineal o no lineal. Es integrado y contextualizado, basado en un modelo que debe
ser cambiante. Se fortalece en contacto con las habilidades, interés y cultura del
estudiante. Este aprendizaje natural debe ser acompañado por el docente, a quien
le corresponde ser un agente activo en el proceso y no la máquina que lo sabe
todo; por el contrario, debe ir aprendiendo con sus alumnos.
En la enseñanza de las matemáticas dominaba el modelo transmisivo-receptivo,
donde el profesor elaboraba contenidos que el alumno recibía pasivamente. Este
modelo didáctico, que adopta la clase magistral como prototipo, transmite una
visión de las matemáticas muy ortodoxa, con saberes ya hechos, donde los
contenidos son netamente memorísticos, lo que de alguna manera ha contribuido
a que la propia enseñanza de las matemáticas aleja a una parte importante de los
niños de sus intereses iniciales por el conocimiento.
La enseñanza de las matemáticas, bajo el modelo tradicional de recepción de
conocimientos elaborados, pone toda su preocupación en los contenidos, de forma
que sobresale una visión despreocupada del propio proceso de enseñanza,
entendiéndose que enseñar constituye una tarea sencilla que no requiere especial
preparación. Esta concepción ha pesado sobre las propias formaciones iniciales
15
que se exige a los profesores de matemáticas, de forma que las demandas se
reducen al propio conocimiento de las materias y contenidos a impartir, y muy
poco o nada a las cuestiones didácticas o de cómo enseñar.
Por todo lo anterior, los docentes tienen la obligación de buscar estrategias que
lleven al estudiante a utilizar la memoria semántica para la solución de problemas,
logrando un aprendizaje significativo de las matemáticas y en especial de la
función logarítmica. Es por esto que este trabajo contiene una unidad didáctica,
basada en situaciones problemas para el aprendizaje de la función logarítmica
utilizando como herramienta una interfaz grafica, generada en el software
matemático GRAPH, el cual funciona independientemente en cualquier
computador y que permite graficar varios tipos de funciones en dos dimensiones.
16
1. DESCRIPCION Y PLANTEAMIANTO DEL PROBLEMA
En los procesos de enseñanza y de aprendizaje muy a menudo se encuentran
factores que van en contra de la construcción del conocimiento, uno de ellos es el
poco interés hacia el estudio de las matemáticas, provocando preocupaciones en
la educación básica secundaria, más precisamente en el Colegio FRANCISCO
MOLINA SANCHEZ en la jornada de la mañana, en donde la observación a los
procesos de aprendizaje evidencian que los alumnos no logran un aprendizaje
significativo de la función logarítmica.
Es deber de los docentes proponer alternativas que posibiliten el mejoramiento de
los procesos de enseñanza y de aprendizaje que lleven al estudiante a despertar
el interés por las matemáticas y apropiarse del conocimiento, ayudando al
desarrollo de la memoria semántica, que conllevará al fortalecimiento de los
conocimientos previos, convirtiéndolos en un aprendizaje significativo.
Toda lo anterior, lleva al siguiente interrogante:
¿Son las actividades problemáticas y la utilización de las nuevas tecnologías útiles
para lograr la comprensión y aprendizaje de la función logarítmica por parte de los
estudiantes en el grado noveno del colegio FRANCISCO MOLINA SÁNCHEZ?
17
1.1 JUSTIFICACION
Hay diversas funciones matemáticas, todas muy importantes, pero entre ellas
existe una, “La función logarítmica” que se convierte en una herramienta muy útil
para explicar y analizar tanto fenómenos naturales (terremotos) como económicos
(inflación), y modelar el crecimiento de una población (humana o bacterial), entre
otros.
El acercamiento de los aprendices a las matemáticas a través de las calculadoras
y los computadores convierte la clase en un laboratorio que favorece tanto a
profesores como a estudiantes en el estudio, búsqueda y experimentación de
trabajos de aula que tiendan a mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje. Por
esto la enseñanza de la función logarítmica en el grado noveno con la ayuda de
nuevas tecnologías, permiten lograr un espacio propicio para la comprensión de
este concepto.
Los mediadores computacionales contribuyen al diseño de estrategias de solución
de problemas, a la conceptualización mediante las diversas representaciones y
permiten explorar y desarrollar el potencial de conjeturas y generalizaciones.
18
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 GENERAL
Utilizar las actividades problémicas y las nuevas tecnologías para lograr la
comprensión y aprendizaje de la función logarítmica en el grado noveno del
colegio Francisco Molina Sánchez de la ciudad de Valledupar.
1.2.2 ESPECIFICOS
• Elaborar actividades que utilicen como mediador las nuevas tecnologías.
• Diseñar y ejecutar una serie de actividades para optimizar el aprendizaje de la
función logarítmica.
• Evaluar la influencia de las nuevas tecnologías en la adquisición de
conocimientos acerca de la función logarítmica. .
19
2. METODOLOGIA
2.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN
El diseño metodológico de este trabajo se basó en la observación de la enseñanza
sobre la función logarítmica en el colegio FRANCISCO MOLINA SANCHEZ. Luego
se hizo el estudio de la función logarítmica, donde se analizaron los conceptos,
propiedades y las diferentes representaciones usando las nuevas tecnologías
(SOFTWARE GRAPH), para que el proceso aprendizaje y enseñanza fuera claro,
dinámico y divertido.
2.2. POBLACION
La población a la cual se dirigió este trabajo fue a los estudiantes del grado
noveno de las instituciones educativas de la ciudad de Valledupar.
2.3. POBLACIÓN DE ESTUDIO
Los estudiantes del grado noveno del colegio FRANCISCO MOLINA SANCHEZ de
la ciudad de Valledupar.
20
2.4. MUESTRA
Treinta alumnos de grado 9-02 de la jornada de la mañana de la institución
educativa FRANCISCO MOLINA SANCHEZ.
2.5. FASES
Revisión bibliográfica, consulta en la red y pesquisa documental.
Elaboración de la propuesta.
Diseño de la secuencia de actividades.
Aplicación de la secuencia de actividades.
Recolección y análisis de la información.
Elaboración de recomendaciones y conclusiones.
Revisión y corrección del primer borrador.
Presentación del informe final.
21
3. REFERENTES TEORICOS
3.1. ANTECEDENTES HISTORICOS DE LA FUNCION LOGARITMICA
El estudio del movimiento fue el problema que más interesó a los científicos del
siglo XVII, influidos por los descubrimientos de Kepler y Galileo en relación con los
cuerpos celestes.
A este gran interés también contribuyeron motivaciones de carácter económico y
militar, del mismo modo que en la actualidad.
Respecto del primer motivo, los navegantes europeos, en su búsqueda de
materias primas y de nuevas relaciones comerciales, se alejaban cada vez más de
las costas de las que partían y esto les ocasionaba grandes dificultades para
conocer su posición en alta mar y llegar al lugar deseado. Necesitaban saber la
latitud y la longitud (coordenadas terrestres); la primera se conseguía por
observación directa del Sol o de las estrellas; pero la segunda ofrecía serias
dificultades porque no disponían de los medios adecuados para medir
correctamente la dirección del movimiento de la Luna, y cometían numerosos
errores.
22
Los gobiernos de Europa estaban muy interesados en solucionar este problema
porque se producían cuantiosas pérdidas económicas. Por ello se estimulaba a los
científicos a que construyeran tablas de datos cada vez más aproximados.
Con relación al segundo motivo, las trayectorias de los proyectiles, sus alcances y
alturas, el efecto de la velocidad de la boca del arma sobre ellos eran asuntos de
sumo interés para los gobernantes, por lo que invertían grandes sumas de dinero
para financiar la búsqueda de soluciones satisfactorias.
Del estudio de diversos problemas del movimiento se extrajo la conclusión que era
necesario medir el tiempo con mayor precisión, y se llegó a vincular este problema
con el movimiento del péndulo, mecanismo básico para la medida del tiempo.
La carencia de instrumentos de medida suficientemente precisos para construir
tablas de variables impidió que el estudio de este concepto se abordara antes. Por
ejemplo, los griegos, que en otros aspectos tenían un desarrollo matemático
admirable (el libro Los elementos de Euclides que ya en el siglo III a.C. recogía
toda la geometría de su tiempo), no llegaron a tener una idea del movimiento lo
suficientemente elaborada.
De los anteriores estudios, obtuvieron los matemáticos un concepto fundamental,
que fue central en casi todo el trabajo de los dos siglos siguientes: el concepto de
función o de relación entre variables.
23
El concepto de función aparece explícitamente con Leibniz (1692), y es utilizado
por los Bernoulli desde 1694. Euler (1707-1783) introdujo en 1734 el símbolo f (x).
El concepto general de función algebraica, incluso no expresable por radicales, fue
claramente definido por Euler, quien llamaba trascendentes a las funciones
definidas por algoritmos indefinidos, lo que no es correcto; pero debe
sobrentenderse que se refiere a las funciones definidas por series potenciales y
que no son algebraicas.
El concepto bernoulliano y euleriano de variable “y” dependiente de “x”, o función
de “x”, coincidía con el de expresión aritmética formada con la variable “x”º , y
ciertos números fijos o constantes. La palabra continua significa para Euler función
dada por una sola expresión.
El problema de la cuerda vibrante, resuelto por D'Alembert (1747), introdujo a
Euler a admitir funciones arbitrarias definidas gráficamente, puesto que la forma
inicial de la cuerda puede ser arbitraria. Por otra parte, dio Bernoulli una expresión
por serie trigonométrica a la forma de la cuerda en todo momento, y en vista de
ello hubo que suprimir esa distinción entre función matemática y función arbitraria,
ya que también éstas son expresables por las operaciones aritméticas. Todo esto
condujo a prescindir del modo de dar la correspondencia entre los valores de x y
los de y, para atender solamente a la correspondencia en sí misma, y así quedó
establecido por Dirichlet el concepto general de función (1854) como
correspondencia arbitraria entre dos variables.
24
No se debe ver la historia de las matemáticas como una marcha triunfal a lo largo
de una avenida sin obstáculos. Al contrario, esta historia presenta numerosas
interrupciones, y el camino seguido raramente se parece a una línea recta,
encontrándose incluso a veces en un callejón sin salida....Hubo avances bruscos
debidos a nuevos conceptos, que respondieron a problemas a veces muy alejados
de las cuestiones iniciales que los habían generado.
Los logaritmos son un ejemplo de este desarrollo caótico y fecundo a la vez.
Partiendo de una idea simple, pero cuya puesta en práctica necesitaba un gran
trabajo (la construcción de las tablas), han sido en primer lugar el motor de un
desarrollo de las matemáticas aplicadas, antes de revelarse como la solución de
un problema geométrico. Objeto de estudios teóricos seguidos de
profundizaciones, han sido también una herramienta indispensable para la
modelización de múltiples fenómenos físicos.
La presentación pedagógica tradicional de los logaritmos privilegia el logaritmo
llamado "neperiano". Se lo introduce como la función primitiva de la función
inversa que se anula para el valor 1 de la variable. Aunque esta introducción sea
matemáticamente satisfactoria se halla muy lejos de ser evidente para los
estudiantes y su propiedad fundamental queda oculta. Por supuesto, el problema
histórico que llevó a concebir los logaritmos también está ausente, mientras que
su uso para presentar esta nueva noción tiene la ventaja de la simplicidad: se trata
sencillamente de construir una tabla que permita realizar rápidamente
multiplicaciones, divisiones y potencias.
25
Hoy la utilización de los logaritmos para el cálculo está en desuso, pero el
concepto sigue siendo fundamental en la cultura matemática básica y están
presentes tanto en física como en química. Su historia es sin duda un capítulo
modesto, pero su ejemplaridad, incluso su riqueza dan testimonio del desarrollo de
las Matemáticas.
El origen del concepto de logaritmo se encuentra en un problema matemático, sin
duda, pero en un problema de matemáticas aplicadas: se trata de simplificar la
pesada tarea de los calculadores, excesivamente complicada en cuanto implica
multiplicaciones, divisiones, incluso potencias o extracción de raíces.
En los siglos XIV, XV y XVI (y seguramente antes) los campos implicados no son
tanto las cuestiones económicas como los problemas de agrimensura, y sobre
todo, la astronomía, en particular en sus aplicaciones a la navegación. Estas
operaciones exigen ahora cierta precisión. Si los progresos de la numeración han
podido hacer avanzar las cosas, como la utilización de las cifras llamadas árabes,
los algoritmos de multiplicación y de división son desconocidos; los números
racionales, sistemáticamente escritos en forma de parte entera más una fracción
de la unidad, convierten incluso a la suma en una operación muy complicada.
Se debe al matemático árabe IBN JOUNIS el haber propuesto, en el siglo XI, un
método, llamado prostaféresis, para reemplazar la multiplicación de dos senos por
una suma de las mismas funciones, y este método permanecio mucho tiempo en
vigor. La multiplicación de senos (y su división) es una operación esencial, ya que
26
todo cálculo en geometría, en particular la resolución de triángulos, es una
operación sobre longitudes no medibles, obtenidas a partir de la medida de
ángulos.
A ARQUÍMEDES se debe la idea fundamental que generaría los logaritmos:
"Cuando varios números están en proporción continua a partir de la unidad, y
algunos de estos números se multiplican entre si, el producto estará en la misma
progresión, alejado del más grande de los números multiplicados tantos números
como el más pequeño de los números multiplicados lo está de la unidad en la
progresión, y alejado de la unidad la suma menos uno de los números de lugares
que los números multiplicados están alejados de la unidad"
(Arenario, trad. VERECKE)
La idea de ARQUÍMEDES vuelve a aparecer en los trabajos de CHUQUET y de
STIFEL, en el siglo XV, pero, ni uno ni otro han tenido suficiente influencia para
imponer la comparación de una progresión geométrica con una progresión
aritmética como medio de cálculo, o como nuevo campo de investigación
matemática.
John NAPIER (escrito también NEPER) nació en 1550. Procedente de la baja
nobleza escocesa, mostró toda su vida un espíritu curioso y dinámico, a pesar de
una vida alejada de los centros culturales de la época. La introducción de los
logaritmos no es su único título de gloria, puesto que escribió también un texto
27
sobre las ecuaciones e imaginó además un sistema de cálculo por medio de
regletas graduadas (Rabdología)
En 1614 publicó el "Mirifici logarithmorun canonis descriptio..." donde, utilizando
una aproximación cinemática, pone en relación una progresión geométrica con
una progresión aritmética. La primera es la de las distancias recorridas con
velocidades proporcionales a ellas mismas, la segunda, la de las distancias
recorridas con velocidad constante; éstas son entonces los "logaritmos" de las
primeras ( el neologismo es de NAPIER). La unidad elegida es 107, y la obra
comprende una tabla de logaritmos de senos, cuya importancia se ha mencionado
anteriormente, con los ángulos variando de minuto en minuto. En 1619 apareció
una segunda obra, "Mirifici logarithmorum canonis constructio...." donde el autor
explica cómo calcular los logaritmos. Esta obra es póstuma, puesto que NAPIER
murió en 1617.
Mientras tanto, un eminente matemático de Londres, Henry BRIGGS, había
descubierto la importancia de estos trabajos y viajó a Escocia para encontrarse
con el autor. Retomando la idea fundamental, pero considerando una progresión
geométrica simple, la de las potencias de 10, publica en 1617 una primera tabla,
con 8 decimales. El logaritmo de un número x es por lo tanto definido como el
exponente n de 10, tal que x sea igual a 10 elevado a n.
Siguieron otras tablas que permitieron la difusión del método, en particular en el
continente. En realidad, la idea estaba en el aire; un colaborador de KEPLER, el
28
suizo BÜRGI, proponía en la misma época, para simplificar los cálculos que debía
realizar, hacer corresponder una progresión aritmética (números rojos) y una
progresión geométrica (números negros); sin embargo sus trabajos no fueron
publicados hasta 1620.
Es en Alemania donde se van a desarrollar los logaritmos. Al principio de 1617,
KEPLER, que se hallaba fortuitamente en Viena, tiene la ocasión de consultar la
primera obra de NEPER. Hojeándola rápidamente, comete un error de
interpretación. El año siguiente hará partícipe de ello a un amigo en una carta:
" Un barón escocés del que no recuerdo su nombre, propone un brillante trabajo
en el que reemplaza la necesidad de la multiplicación y de la división, por la
simplicidad de la suma y de la sustracción, sin emplear los senos: en cambio,
necesita la regla de las tangentes; y la cantidad, la amplitud y la pesadez de la
adición y de la sustracción sustituyen la dificultad de la multiplicación y la división"
Ahora bien KEPLER utiliza evidentemente la regla de los senos, tanto en un
triángulo plano como esférico; para él, el trabajo de NEPER no tiene interés. En el
transcurso de 1618, dispone, sin embargo, de la obra de Benjamín URSINUS:
"Trigonometría Logarithmica John Neperi"; reconoce entonces su error y se
muestra entusiasta de este nuevo cálculo. En 1619, por fin, el libro "Mirifici
Logarithmorum descriptio" llega a Linz, a KEPLER, el cual emprende rápidamente
la tarea de modificar el concepto para adaptarlo a sus necesidades. Su adhesión
29
es tal que dedica sus efemérides de 1620 ( aparecidas al final de 1619) al "célebre
y noble señor JOHN NEPER, barón de MERCHISTON"
La difusión en el continente de esta nueva noción se debe sobre todo a las tablas
publicadas por el flamenco Adrien ULACQ, en 1628, retomando las tablas de
BRIGGS. El objetivo era realizar un tratado de cálculo práctico, en particular para
uso de los agrimensores. Las primeras tablas fueron seguidas por otras, cada vez
más precisas, y en ellas se menciona que su principal aplicación son los cálculos
trigonométricos.
El método para la construcción de las tablas pasa primero, evidentemente, por la
determinación de los logaritmos de los números primos; los demás se calculan
entonces por simple suma. Se trata de hecho de tomar "o bien medias
proporcionales o bien raíces cuadradas". EULER escribirá en 1748:
"Así tomando medias proporcionales, se llega a encontrar Z=5,000000, a lo que
responde el logaritmo buscado 0,698970, suponiendo la base logarítmica = 10. En
consecuencia 1069897/100000 = 5 aproximadamente. Es de esta manera como
BRIGGS y ULACQ han calculado la tabla ordinaria de logaritmos, aunque se haya
encontrado después métodos más expeditivos."
30
3.2. ESTUDIO DE LA FUNCION LOGARITMICA:
3.2.1. DEFINICION DE LOGARITMO:
Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar
la base para obtener dicho número.
xabx ba =⇔=log
Que se lee: "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b
se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del
sistema de logaritmos.
Aquí están los nombres que reciben cada uno de los elementos, donde c = x:
31
3.2.2. LOGARITMOS DECIMALES:
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el
número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
xx loglog10 =
3.2.3. LOGARITMO NEPERIANO:
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que
tienen por base el número e.
Lxxxe == lnlog
3.2.4. PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS:
Conocidas las propiedades de la función exponencial se deducen las propiedades
de la función logarítmica.
1) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa, porque si fuera
negativa, sus potencias pares serian positivas y las impares negativas, y
tendríamos una serie de números alternativamente positivos y negativos, y por
tanto habría números positivos que no tendrían logaritmo.
2) Los números negativos no tienen logaritmos porque siendo la base positiva,
todas sus potencias, ya sean pares o impares, son siempre positivas
32
3) Todas las graficas correspondientes a la función logarítmica pasan por un
punto fijo que es: (1,0); loga1=0
4) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es uno, porque
siendo a la base, se tiene: a1=a por lo tanto logaa=1
Logaritmo de un producto:
El logaritmo de un producto es igual al suma de los logaritmos de los factores:
NMMN aaa logloglog +=
Demostración: Si loga M=x y loga N=y entonces ax=M (1); ay=N (2) por definición
de logaritmo.
Multiplicando miembro a miembro (1) y (2) obtiene
yx aa * =M*N entonces ax+y = M*N luego por la definición de logaritmo se
concluye que NMyxMN aaa logloglog +=+=
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor: loga(N/M)=logaN-logaM
Demostración: Si logaN=x y logaM=y entonces ax=N (1) y ay=M (2) definición de
logaritmo
33
Dividiendo miembro a miembro (1) y (2) obtenemos
ax / ay=N/M entonces ax- y= N-M por propiedad exponencial.
Aplicando la definición de logaritmo se obtiene
MNyxMN aaa loglog)/(log −=−=
Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de
la base: logaNy=ylogaN
Demostración: Si logaN=x entonces ax=N por definición de logaritmo
Elevando ambos miembros de la igualdad a la potencia “y” se tiene
(ax)y=Ny entonces axy=Ny por propiedad exponencial
Por definición de logaritmo se tiene que xy=logaNy; como x = loga N entonces
logaNy = y loga N
Propiedad de biunicidad
ax = ay si y solo si x = y por propiedad exponencial;
por definición de logaritmo se tiene que logax = logay si y solo si x = y
34
3.2.5. CAMBIO DE BASE EN LOS LOGARITMOS:
Demostración: Si y=logbN (1) entonces por definición de logaritmo se obtiene
N=by; aplicando logaritmo en base a en ambos lados se tiene que logaN=logaby ;
luego por logaritmo de un cociente queda logaN=ylogab ; entonces despejando se
tiene que y=logaN/logab (2) luego reemplazando (1) en (2) y queda
logbN=logaN/logab .
Para trabajar la función logarítmica en las calculadoras graficas o en cualquier
software, se hace necesario conocer el cambio de base ya que dichos programas
solo reconocen los logaritmos vulgares o base 10 y los naturales o base e.
3.2.6. DEFINICION DE FUNCION LOGARITMICA
Se llama función logarítmica a la expresión de la forma:
y = loga(x)
p.eje. y = log(x2 – 1) ; log5 x/x2 + 3 ; ln(2x + 3) ; etc…
La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R+ en R :
35
o La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
o Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
o Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 (vulgares o de
o Briggs) y la de base e = 2’71828182845... (naturales o neperianos)
3.2.7 GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA
y=logax ; (a>1)
Dominio: R+
Recorrido: R
Puntos: (1, 0) y (a, 1)
Siempre creciente
Continua
36
y=logax ; (0<a<1)
Dominio: R+
Recorrido: R
Puntos: (1, 0) y (a, 1)
Siempre decreciente
Continua
3.2.8. APLCACIONES DE LA FUNCION LOGARITMICA
Entre las múltiples aplicaciones se menciona:
La escala de Richter (diseñada por el científico norteamericano C.F. Richter en el
año de 1935) es una forma de convertir las lecturas sismo gráficas en números
que proporcionan una referencia sencilla para medir la magnitud M de un
terremoto. Todos los terremotos se comparan con un Terremoto de nivel cero
cuya lectura sismo gráfica mide 0.001 de milímetro a una distancia de 100
kilómetros del epicentro. Un terremoto cuya lectura sismo gráfica mide x
milímetros tiene una magnitud M(x) dada por:
M(x)= log(x/x0)
Donde “Xo=10^-3” es la lectura de un terremoto de nivel cero a la misma distancia
del epicentro.
37
Richter estudió muchos terremotos ocurridos entre 1900 y 1950. El mayor,
ocurrido en San Francisco en el año de 1906, tuvo una magnitud de 8.9 en la
escala de Richter, y, el menor una magnitud de 0. Esto corresponde a una razón
de intensidades de 800.000.000, así que, la escala de Richter proporciona
números mucho más manejables para su trabajo.
Cada unidad de incremento en la magnitud de un terremoto en la escala de
Richter, indica una intensidad 10 veces mayor. Así, por ejemplo, un terremoto de
magnitud 6 es 10 veces mayor que un terremoto de magnitud 5. Uno de magnitud
8, es 10 x 10 x 10 = 1000 veces mayor (en intensidad) que uno de magnitud 5. En
general, puede probarse que la intensidad relativa de dos terremotos se puede
determinar elevando 10 a una potencia igual a la diferencia de sus lecturas en la
escala de Richter.
3.3. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO.
“Un aprendizaje es significativo cuando los contenidos: Son relacionados de modo
no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno ya sabe. Por
relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se relacionan
con algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura
cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un
concepto o una proposición” (AUSUBEL; 1983, 18). El aprendizaje significativo
38
ocurre cuando una nueva información "se conecta" con un concepto relevante
preexistente en la estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas ideas,
conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la medida
en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente
claras y disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como
un punto de "anclaje" a las primeras.
3.3.1. TIPOS DE APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
Es importante recalcar que el aprendizaje significativo no es la "simple conexión"
de la información nueva con la ya existente en la estructura cognoscitiva del que
aprende; por el contrario el aprendizaje significativo involucra la modificación y
evolución de la nueva información, así como de la estructura cognoscitiva envuelta
en el aprendizaje.
Ausubel distingue tres tipos de aprendizaje significativo: de representaciones
conceptos y de proposiciones.
1 Aprendizaje De Representaciones
39
Es el aprendizaje más elemental del cual dependen los demás tipos de
aprendizaje. Consiste en la atribución de significados a determinados símbolos:
Ocurre cuando se igualan en significado símbolos arbitrarios con sus referentes
(objetos, eventos, conceptos) y significan para el alumno cualquier significado al
que sus referentes aludan (AUSUBEL;1983, 46).
Este tipo de aprendizaje se presenta generalmente en los niños, por ejemplo, el
aprendizaje de la palabra "Pelota", ocurre cuando el significado de esa palabra
pasa a representar, o se convierte en equivalente para la pelota que el niño está
percibiendo en ese momento, por consiguiente, significan la misma cosa para él;
no se trata de una simple asociación entre el símbolo y el objeto sino que el niño
los relaciona de manera relativamente sustantiva y no arbitraria, como una
equivalencia representacional con los contenidos relevantes existentes en su
estructura cognitiva.
2 Aprendizaje De Conceptos
Los conceptos se definen como "objetos, eventos, situaciones o propiedades de
que posee atributos de criterios comunes y que se designan mediante algún
símbolo o signos" (AUSUBEL 1983:61), partiendo de ello podemos afirmar que en
cierta forma también es un aprendizaje de representaciones.
Los conceptos son adquiridos a través de dos procesos. Formación y asimilación.
40
En la formación de conceptos, los atributos de criterio (características) del
concepto se adquieren a través de la experiencia directa, en sucesivas etapas de
formulación y prueba de hipótesis, del ejemplo anterior podemos decir que el niño
adquiere el significado genérico de la palabra "pelota" , ese símbolo sirve también
como significante para el concepto cultural "pelota", en este caso se establece una
equivalencia entre el símbolo y sus atributos de criterios comunes. De allí que los
niños aprendan el concepto de "pelota" a través de varios encuentros con su
pelota y las de otros niños.
El aprendizaje de conceptos por asimilación se produce a medida que el niño
amplía su vocabulario, pues los atributos de criterio de los conceptos se pueden
definir usando las combinaciones disponibles en la estructura cognitiva por ello el
niño podrá distinguir distintos colores, tamaños y afirmar que se trata de una
"Pelota", cuando vea otras en cualquier momento.
3 Aprendizaje de proposiciones.
Este tipo de aprendizaje va más allá de la simple asimilación de lo que
representan las palabras, combinadas o aisladas, puesto que exige captar el
significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones.
El aprendizaje de proposiciones implica la combinación y relación de varias
palabras cada una de las cuales constituye un referente unitario, luego estas se
41
combinan de tal forma que la idea resultante es más que la simple suma de los
significados de las palabras componentes individuales, produciendo un nuevo
significado que es asimilado a la estructura cognoscitiva. Es decir, que una
proposición potencialmente significativa, expresada verbalmente, como una
declaración que posee significado denotativo (las características evocadas al oír
los conceptos) y connotativo (la carga emotiva, actitudinal e ideosincrática
provocada por los conceptos) de los conceptos involucrados, interactúa con las
ideas relevantes ya establecidas en la estructura cognoscitiva y, de esa
interacción, surgen los significados de la nueva proposición.
3.4. MEMORIA SEMANTICA
La memoria semántica se refiere a nuestro archivo general de conocimiento
conceptual y fáctico, no relacionado con ninguna memoria en particular. Es un
sistema eminentemente declarativo y explícito, pero claramente distinto del de la
memoria episódica, porque de hecho se puede perder memoria de
acontecimientos y mantener la memoria de conceptos. La memoria semántica
muestra nuestro conocimiento del mundo, los nombres de las personas y de las
cosas y su significado. Viene a estar localizada más especialmente en los lóbulos
temporales ínfero laterales. Pero en un amplio sentido, la memoria semántica
puede residir en las múltiples y diversas áreas de la corteza relacionadas con los
diversos tipos de conocimiento. De nuevo los lóbulos frontales intervienen en su
activación para recuperar la información.
42
3.5. LO DIDÁCTICO
3.5.1. Los sistemas de representación tecnológica en la educación
matemática.
Actualmente las nuevas tecnologías ocupan un lugar de gran importancia en
nuestra sociedad debido a que son muchas las actividades que se pueden
desarrollar por medio de estas. Está claro que la educación es parte fundamental
del desarrollo del individuo como ser social, lo cual provoca que este evolucione al
ritmo en que lo hace la actual sociedad.
Las nuevas tecnologías han llegado a complementar la educación matemática
debido a la facilidad de proporcionar un ambiente que permita manipular objetos y
relacionarlos con expresiones matemáticas. Existen actualmente muchos
programas interactivos que suministran una interfaz para que el estudiante
adquiera habilidades y destrezas en un determinado tema matemático.
El computador es uno de los sistemas de representación tecnológico, el cual
permite que los alumnos se introduzcan en el campo de las matemáticas a través
de la observación, exploración, manipulación, formulación y resolución de
situaciones problemas. “El computador hace posible que fórmulas, tablas de
números y gráficas se enlacen rápidamente. Cambiar una representación y ver los
43
cambios en las otras, ayuda a los estudiantes a comprender las relaciones entre
ellas.”(Serie Lineamientos curriculares. Nuevas tecnologías y currículo de
matemáticas. 1999)
El proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas se hace dinámico
cuando empleamos recursos tecnológicos, puesto que permite cambiar la visión
que tienen los estudiantes acerca de ella, ya que estos piensan que la matemática
es un cuerpo de conceptos y fórmulas que solo se pueden trabajar en papel. Hoy
en día se hace necesario que los docentes de matemáticas se capaciten en la
utilización de las nuevas tecnologías aplicadas dentro de su campo de acción,
para ofrecer a sus estudiantes nuevas y mejores formas de adquirir el
conocimiento.
Douady plantea que “La didáctica de las matemáticas estudia los procesos de
transmisión y adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia,
particularmente en situación escolar o universitaria. Se propone describir y
explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su enseñanza y el
aprendizaje… la didáctica se propone actuar sobre el sistema de enseñanza en su
sentido “benéfico”, a saber: de lograr los métodos y contenidos de la enseñanza y
proponer condiciones que aseguren a los alumnos la construcción de un saber
viviente (susceptible de evolución), y funcional (que permita resolver problemas y
plantear nuevos interrogantes)”. (Douady, sin fecha, P 2. Serie Lineamientos
curriculares, Nueva tecnologías y currículo de matemática, 1999).
44
La didáctica es el conjunto de técnicas destinadas a dirigir la enseñanza mediante
principios y procedimientos aplicados a todas las disciplinas, se interesa por lo que
se enseña y como se enseña por lo tanto es de vital importancia que el docente
maneje esta gama de conocimientos para que pueda llevar a cabo su labor
académica de la mejor manera
3.5.2. Situaciones problémicas.
Los métodos problémicos tienen una gran significación en este reto por cuanto su
esencia consiste en que los estudiantes, guiados por el profesor, se introducen en
el proceso de búsqueda de la solución de problemas nuevos para ellos, a partir de
lo cual aprenden a adquirir de manera “independiente” determinados
conocimientos y a emplearlos en la actividad práctica.
Los métodos problémicos “...brindan la posibilidad de desarrollar conscientemente
el proceso de aprendizaje, por cuanto las situaciones problémicas planteadas,
tienen en sí no sólo el aspecto de contenido especifico de la asignatura, sino
también lo relacionado con la profesión y lo metodológico o personológico, en
donde lo relativo a la motivación (intereses, necesidades), se conjuga con la
comprensión y sistematización del contenido.” (Fuentes,1998;156).
45
En este trabajo se asume como clasificación de métodos problémicos, la expuesta
por Martínez (1987).
La exposición problémica: En la exposición problémica, “...el profesor no comunica
a los estudiantes conocimientos acabados, sino que conduce la exposición
demostrando la dinámica de formación y desarrollo de los conceptos, y plantea
situaciones problémicas que él mismo resuelve. Mediante este método el docente
les enseña a los estudiantes a hallar la solución a determinado problema
revelando la lógica del mismo a partir de sus contradicciones, indicando las
fuentes de surgimiento del problema, argumentando cada paso en la búsqueda.”
(Martínez,1998; 85).
En este sentido, se reproduce en una escala menor la historia del surgimiento y
desarrollo de la ciencia; es decir, el profesor demuestra la vía del pensamiento
hacia la consecución de la verdad científica y convierte al alumno en copartícipe
de este hallazgo.
3.5.3. Unidad Didáctica
46
Una unidad didáctica es una estructura pedagógica de trabajo cotidiano en el aula;
consiste en planificar el proceso enseñanza-aprendizaje y prever posibles
dificultades que pueden presentar los estudiantes, con el objetivo de brindar los
recursos necesarios para que estos construyan su aprendizaje. Durante el diseño
de la unidad didáctica, el docente establece su plan de actuación que le va a servir
de guía para su intervención durante la ejecución de las actividades programadas.
3.5.3.1. Componentes de la Unidad Didáctica
3.5.3.1.1. Selección del objetivo.
El objetivo representa la modelación del resultado esperado sin desconocer el
proceso para llegar a este. Los objetivos se deben enunciar en función del alumno,
de lo que este debe ser capaz de lograr en términos de aprendizaje, de sus formas
de pensar y de la formación de acciones valorativas.
3.5.3.1.2. Análisis del contenido
El análisis del contenido consiste en estructurar los contenidos de enseñanza y la
actualización del profesor durante la adquisición del conocimiento.
3.5.3.1.3. Diagnóstico inicial.
47
El diagnóstico inicial está dirigido a establecer los conceptos previos que posee el
estudiante para enfrentar los nuevos conocimientos.
3.5.3.1.4. Selección de estrategias didácticas
La selección de estrategias didácticas está dirigida a lograr que las normas de
actuación del docente en el aula de clases sean eficaces para el logro de los
objetivos propuestos. Consiste en planear los métodos a emplear durante la
secuencia de actividades de enseñanza. El desarrollo de la unidad transcurre a
través de un conjunto de actividades de enseñanza o tareas docentes entre las
que se incluyen el planteamiento y resolución de problemas, el trabajo de consulta
bibliográfica, la resolución de cuestiones en equipo, la explicación del profesor, el
trabajo independiente, entre otras.
3.5.3.1.5. Selección de Estrategias de Evaluación
En el diseño de unidades didácticas, las estrategias de evaluación se convierten
en instrumentos para el seguimiento del aprendizaje de los alumnos y para la
mejora de la unidad en el aula.
En el proceso de evaluación se toma en cuenta el estado de cumplimiento por
parte de los estudiantes, de los logros propuestos anteriormente y los progresos
en la asimilación de los contenidos adquiridos.
3.6 LAS TECNOLOGIAS EN LAS MATEMATICAS
48
En la actualidad hay avances significativos tanto en el desarrollo tecnológico como
en el desarrollo de la matemática, algunos de los cuales, en este último caso,
obedecen a la contribución de la tecnología en la investigación y en las
aplicaciones matemáticas. Estos cambios afectan decisiones tales como qué
enseñar y cómo enseñar y proporcionar conocimientos sobre cómo aprenden los
estudiantes. Los desarrollos iniciados en la década de los setenta abrieron
posibilidades inéditas al empleo de las nuevas tecnologías. En particular, las
tecnologías computacionales impactaron desde entonces el campo de la
educación. Primero las calculadoras científicas y los recursos audiovisuales y,
posteriormente, los demás instrumentos tecnológicos y computacionales, ahora
potenciados con recursos interactivos y de comunicación, han ido señalando
caminos y estrategias para abordar la articulación de las nuevas tecnologías al
currículo de matemáticas.
Las nuevas tecnologías han cambiado profundamente el mundo de las
matemáticas. No sólo han afectado el tipo de matemáticas que es importante sino
también al modo en que éstas se hacen. Este hecho tiene consecuencias
importantes en el currículo de matemáticas que exigen un reajuste de las
matemáticas escolares.
49
Hasta hace muy poco tiempo, las matemáticas escolares han sido un reflejo del
conocimiento matemático generado dentro de una tradición: la tradición del papel
y el lápiz.
Es de resaltar que el currículo tradicional de matemáticas consiste en la
realización de cálculos con papel y lápiz. Expertos afirman que estos cálculos
incluyen procesos analíticos y algebraicos que requieren la aplicación, casi
exclusiva, de habilidades cognitivas que no involucran procesos superiores de
abstracción, generalización, diseño de estrategias de resolución de problemas,
etc. En consecuencia, ha sido frecuente escuchar que las habilidades
matemáticas escolares tienen que ver con la habilidad de realizar cálculos
rutinarios, que en realidad no pueden traducirse en un genuino pensamiento
matemático. Este es el tipo de función cognitiva que puede trasladarse a las
nuevas tecnologías: debido a que las expresiones matemáticas que se tienen en
un instrumento electrónico son procesables (el cálculo de una raíz cuadrada, la
factorización de un polinomio etc.), entonces pueden diseñarse estrategias
didácticas que tomen en cuenta estos servicios cognitivos que prestan las nuevas
tecnologías. El estudiante podrá concentrar sus esfuerzos en la interpretación de
los resultados, el diseño de estrategias de resolución de problemas y la creación
de soluciones novedosas a los mismos.
Se hace necesario entonces una reformulación de lo que se enseña, del cómo y
del para qué y, de acuerdo con varios autores, aparecerán en escena nuevas
necesidades de preparación matemática que tendrán que ser atendidas desde la
50
educación básica y media. Es decir, pueden anticiparse movimientos importantes
en el campo del diseño y desarrollo curriculares, así como en la aplicación de
nuevos métodos de enseñanza y uso de herramientas de aprendizaje.
El impacto de las tecnologías computacionales en la educación matemática se
está dando entre otros, en el aprendizaje de los alumnos, en la transformación de
las prácticas educativas de los docentes y en la transformación de las estructuras
curriculares.
3.6.1. Software Graph
Graph es una aplicación que te ayudará a la hora de dibujar gráficas matemáticas
en un sistema de coordenadas.
Incorpora funciones de todo tipo, trigonométricas, logarítmicas, hiperbólicas, etc.
Por supuesto también incorpora las constantes matemáticas más utilizadas como
i, e o pi. Gracias a estas funciones y constantes podrás llegar a reproducir una
gráfica de cualquier función que te imagines.
Ideal para estudiantes y profesionales de matemáticas.
51
52
Pantalla principal de GRAPH 4.3
4. UNIDAD DIDACTICA Y ANALISIS DE ACTIVIDADES
CONCEPTOS PREVIOS
ACTIVIDAD Nº 1
1. Referentes teóricos.
1.1 Dificultades para el aprendizaje: Vacíos conceptuales en
conocimientos previos tales como: función, función exponencial, grafica
de parejas ordenadas en el plano cartesiano.
1.2 Enfoques o perspectivas para la enseñanza. Se muestran
representaciones en el plano cartesiano que involucran objetos
matemáticos para que los alumnos revisen algunos conceptos que son
necesarios para la ejecución de actividades posteriores.
1.3 Objetos matemáticos involucrados en el problema. Representaciones
de una función, parejas ordenadas y medidas.
2 Estándares: Analizar en representaciones gráficas cartesianas los
comportamientos de cambio de funciones logarítmicas y exponenciales.
3 Logros: establecer y graficar la función exponencial y logarítmica.
53
3.1Indicadores de logros:
• Reconoce las grafica de las funciones exponencial y logarítmica.
• Establece y grafica la función logarítmica como inversa de la función
exponencial.
4 Competencias: Interpretar datos contenidos en la representación gráfica de la
función logarítmica
5 Diseño de la situación problemática.
1. Determinar cuales de las siguientes gráficas corresponde a una función
exponencial.
54
a) b)
55
f)
c) d)
e)
g) h)
Si dejaste de marcar una grafica escribe las razones del por que:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Que diferencia hay entre las graficas:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. A continuación se presentan las gráficas correspondientes a la función
logarítmica.
56
a) b)
¿Que tienen en común dichas graficas?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
La funcion logaritmica alog es la inversa de la funcion exponencial de base
a
57
c)d)
Es muy importante recordar que yb bxyxy == log definen la misma
función, por tanto podemos utilizarlas sin distinción.
Ejemplo:
2
19log981981281log819 81
2
12
92 =⇔====⇔= y
3) convirtamos de la forma exponencial a la forma logarítmica:
93)416
1)82)464) 233 ==== − dcba
4. Grafica la siguientes funciones en graph
• xexfyxxf == )(log)(
¿Que podemos decir de las graficas?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
58
5.1Metodología del software.
Inicialmente el docente presenta el software GRAPH a los estudiantes, luego
explica la manera en que funciona y se harán unos ejemplos, para facilitar su
manejo, luego el estudiante mediante la guía del docente observará distintas
gráficas de funciones con el objetivo de desarrollar las preguntas propuestas.
Ejecución didáctica.
59
MOMENTOS ACTIVIDADES RECURSOS
Presentación de la
actividad
El profesor socializa el
material de trabajo a
sus estudiantes
Papel impreso con la
actividad, video beam.
Análisis de la situación
presentada.
Los estudiantes en
forma grupal analizan el
problema.
Actividad presentada.
Preguntas orientadoras.
Discusión de los tópicos
subyacentes
involucrados que
inciden en el desarrollo
de la actividad.
Guiados por las
preguntas orientadoras,
los estudiantes discuten
las distintas alternativas
de solución.
Ideas presentadas por
los estudiantes.
Presentación de las
alternativas de solución
Los estudiantes
presentan las
soluciones encontradas
Conceptos previos
usados en el desarrollo
de la actividad.
Conceptualización
Con la orientación del
profesor, los
estudiantes socializan
los conceptos
involucrados en la
actividad.
Conceptos utilizados en
el desarrollo de la
actividad.
Profundización
Organización de los
conceptos vistos
durante la clase.
Conceptos
desarrollados durante la
clase.60
Evaluación.
61
¿QUÉ MIRAR? ¿CÓMO MIRARLO? ¿CÓMO
REGISTRARLO?Dominio de los
conceptos necesarios
para el desarrollo de la
actividad.
A través de expresiones
comunicativas, cómo
realizan las
representaciones y
cómo hacen las
deducciones,
generalizaciones y
conjeturaciones.
Formato de evaluación
preparado.
Expresión de
comportamientos
Entusiasmo demostrado
por la actividad.
Cooperación y trabajo
en grupo.
Participación durante el
desarrollo de la clase.
Observación directa del
trabajo de los
estudiantes
62
CONCEPTOS PREVIOS
ACTIVIDAD Nº 1
GUIA DEL ALUMNO
Logros: establecer y graficar la función logarítmica como inversa de la función
exponencial.
1. Determinar cuales de las siguientes gráficas corresponde a una función
exponencial.
63
a)
b
c)
d)
Si dejaste de marcar una grafica escribe las razones del por que:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
64
f)e)
g)h)
Que diferencia hay entre las graficas:
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
2. A continuación se presentan las gráficas correspondientes a la función
logarítmica.
65
a) b)
c) d)
¿Que tienen en común dichas graficas?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
La función logarítmica alog es la inversa de la función exponencial de base
a
Es muy importante recordar que yb bxyxy == log definen la misma función, por
tanto podemos utilizarlas sin distinción.
Ejemplo:
2
19log981981281log819 81
2
12
92 =⇔====⇔= y
3. convirtamos de la forma exponencial a la forma logarítmica:
93)416
1)82)464) 233 ==== − dcba
4. Grafica la siguientes funciones en graph
• xexfyxxf == )(log)(
¿Que podemos decir de las graficas?
__________________________________________________________________
66
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
VALORACION DE LOS APRENDIZAJES
ACTIVIDAD Nº 1
CONCEPTOS PREVIOS
Escala valorativa:
Insuficiente: 0 – 59 Aceptable: 60 – 79
Sobresaliente: 80 – 89 Excelente: 90 – 100
67
ANALISIS DE LOS RESULTADOS DE LA ACTIVIDAD Nº 1
ASPECTOS
CONCEPTUALES ANALISIS.
A, F
En la escala de valoración se pudo determinar que los
estudiantes solo cumplieron los logros mínimos para superar
estos aspectos, los docentes tuvieron que hacer explicaciones
extras porque tuvieron mucha dificultad para dominar estos
logros, por lo que se obtuvo una calificación de aceptable con
un promedio de 71, 76 %.
B, C, G, H, I
Según escala valorativa se determino que los dicentes
obtuvieron un mejor desempeño y manejo de los aspectos
conceptuales, logrando una calificación de sobresaliente
con un porcentaje promedio de 84.3 %. Los logros
concernientes a estos aspectos fueron alcanzados en su
mayoría.En estos aspectos fue donde mejor desempeño tuvieron los
68
D, E, J
alumnos, alcanzando en la escala valorativa la mayor
calificación, excelente logrando un porcentaje promedio de
93.9 %. Los alumnos dominaron los aspectos conceptuales y
no hubo nesecidad que los docentes participaran.
GENERAL
En esta actividad la totalidad de los estudiantes alcanzaron
los logros mínimos, con un rendimiento del 84.7 %
alcanzando en la escala valorativa sobresaliente, lo que
indica que en general se obtuvieron los resultados esperados
logrando un aprendizaje significativo de aspectos previos
necesarios para continuar con la ejecución del proyecto.
69
ACTIVIDAD 1 PROMEDIO POR ASPECTOS
CONCEPTUALES
A
B C
D E
F
G HI
J
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ASPECTOS CONCEPTUALES
PO
RC
EN
TA
JE
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
ACTIVIDAD Nº 2
1. Referentes teóricos.
Dificultades para el aprendizaje: Vacíos conceptuales en conocimientos previos
tales como: aplicación de propiedades, logaritmación, potenciación y cambio de
base de los logaritmos.
1.2 Enfoques o perspectivas para la enseñanza. Se harán
representaciones en el plano cartesiano que involucran objetos
matemáticos para que los alumnos revisen algunos conceptos que son
necesarios para la ejecución de actividades posteriores.
1.3 Objetos matemáticos involucrados en el problema. Representaciones
de una función, parejas ordenadas y propiedades.
2 Estándares
70
• Hace uso del concepto de función, sus elementos y propiedades, para
analizar situaciones representables matemáticamente por funciones.
• construye la función inversa de una función dada a partir de la definición de
función.
3 Logros: usar propiedades de los logaritmos para calcular logaritmos.
3.1Indicadores de logros:
• Grafica las funciones exponencial y logarítmica.
• usa propiedades de los logaritmos para calcular logaritmos.
• Establece y grafica lo función logarítmica como inversa de la función
exponencial
4. Competencias: Resolver problemas que surgen en matemáticas utilizando los
conceptos y propiedades de los logaritmos.
5. Diseño de la situación problemática.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
Logaritmo de un producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores: NMMN aaa logloglog +=
71
Ejemplo: si 532log2 = y 664log2 = , calcular el valor de )3264(log2 × .
Solución: se aplica la propiedad de logaritmo de un producto:
1156)3264(log
32log64log)3264(log
2
222
=+=×+=×
Logaritmo de un cociente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor: MNM
Naaa logloglog −=
Ejemplo: si 327log3 = y 29log3 = ; calcular 9
27log3
Solución: se aplica la propiedad de logaritmo de un cociente:
1239log27log9
27log 333 =−=−=
Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo de la base: NyN ay
a loglog =
Ejemplo: ;364log4 = calcular 24 64log
Se aplica la propiedad de potencia:
6)3(264log264log 42
4 ==×=
72
Logaritmo de una raíz: el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la
cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz: n
mm an
a
loglog =
Ejemplo: si 2100log = , calcular 2 100log
Solución: se aplica la propiedad de la raíz:
12
2100log
2
1100log100log 2
12 ====
Nota: como todos los software y calculadoras solo trabajan en los logaritmos en
base diez y logaritmos naturales, es necesario efectuar una operación matemática
llamada cambio de base, para poder trabajar en otras bases. El cambio de base
se efectúa de la siguiente manera:
a
NN
b
ba log
loglog =
Ejemplo:
47712.03log;90309.08log == ;
89279.13log
8log8log3 ==
73
3. Utilizando el cambio de base. En el software GRAPH grafica las siguientes
funciones:
a. )(log)()8.0()( 8.0 xxfyxf x == c. 1);(log)( >= axyaxf ax
b. )(log6)( 6 xyxf x= d. 10;)(log)( <<= axyaxf ax
En cada par de graficas, compara ¿que sucede con las graficas?:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______________________________
5.1 Metodología del software.
Inicialmente el docente presenta el software GRAPH a los estudiantes, luego
explica la manera en que funciona y se harán unos ejemplos, para facilitar su
manejo, luego el estudiante mediante la guía del docente observará distintas
gráficas de funciones con el objetivo de desarrollar las preguntas propuestas.
Ejecución didáctica.
74
MOMENTOS ACTIVIDADES RECURSOS
Presentación de la
actividad
El profesor socializa el
material de trabajo a
sus estudiantes
Papel impreso con la
actividad, video been
Análisis de la situación
presentada.
Los estudiantes en
forma grupal analizan el
problema.
Actividad presentada.
Preguntas orientadoras.
Discusión de los tópicos
subyacentes
involucrados que
inciden en el desarrollo
de la actividad.
Guiados por las
preguntas orientadoras,
los estudiantes discuten
las distintas alternativas
de solución.
Ideas presentadas por
los estudiantes.
Presentación de las
alternativas de solución
Los estudiantes
presentan las
soluciones encontradas
Conceptos previos
usados en el desarrollo
de la actividad.
Conceptualización
Con la orientación del
profesor, los
estudiantes socializan
los conceptos
involucrados en la
actividad.
Conceptos utilizados en
el desarrollo de la
actividad.
Profundización
Organización de los
conceptos vistos
durante la clase.
Conceptos
desarrollados durante la
clase.75
Evaluación.
¿QUÉ MIRAR? ¿CÓMO MIRARLO? ¿CÓMO
REGISTRARLO?Dominio de los
conceptos necesarios
para el desarrollo de la
actividad.
A través de expresiones
comunicativas, cómo
realizan las
representaciones y
cómo hacen las
deducciones,
generalizaciones y
conjeturaciones.
Formato de evaluación
preparado.
Expresión de
comportamientos
Entusiasmo demostrado
por la actividad.
Cooperación y trabajo
en grupo.
Participación durante el
desarrollo de la clase.
Observación directa del
trabajo de los
estudiantes
76
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
ACTIVIDAD Nº 2
GUIA DEL ALUMNO
Logros: usar propiedades de los logaritmos para calcular logaritmos.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
1. Ejemplo: si 532log2 = y 664log2 = , calcular el valor de )3264(log2 × .
Solución: se aplica la propiedad de logaritmo de un producto:
32log64log)3264(log 222 +=×
Basado en el anterior ejemplo realiza los ejercicios propuestos:
a) =× )8127(log3
b) =× )12816(log2
77
c) =xyalog
¿Que podemos decir del ejemplo y los ejercicios realizados?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Conclusión:________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. Ejemplo: si 327log3 = y 29log3 = ; calcular 9
27log3
Solución: se aplica la propiedad de logaritmo de un cociente:
Basado en el siguiente ejemplo realiza los ejercicios propuestos:
9log27log9
27log 333 −=
a) =32
64log2
78
b) =27
81log3
c) =y
xalog
¿Que podemos decir del ejemplo y los ejercicios realizados?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Conclusión:________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
79
3. Ejemplo: calcular 24 64log
Se aplica la propiedad de potencia:
64log264log 42
4 ×=
Basado en el anterior ejemplo realiza los ejercicios propuestos:
a) =32 16log
b) =62 32log
c) =ya xlog
¿Que podemos decir del ejemplo y los ejercicios realizados?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
80
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Conclusión:________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. Ejemplo: si 2100log = , calcular 2 100log
Solución: se aplica la propiedad de la raíz:
12
2100log
2
1100log100log 2
12 ====
Basado en el anterior ejemplo realiza los ejercicios propuestos:
a) =81log3
b) =16log2
81
c) =xalog
¿Que podemos decir del ejemplo y los ejercicios realizados?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Conclusión:________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Nota: como todos los software y calculadoras solo trabajan en los logaritmos en
base diez y logaritmos naturales, es necesario efectuar una operación matemática
llamada cambio de base, para poder trabajar en otras bases. El cambio de base
se efectúa de la siguiente manera:
a
NN
b
ba log
loglog =
82
Ejemplo:
47712.03log;90309.08log == ;
89279.13log
8log8log3 ==
3. Utilizando el cambio de base. En el software GRAPH grafica las siguientes
funciones:
a. )(log)()8.0()( 8.0 xxfyxf x ==
b. )(log6)( 6 xyxf x=
c. 1);(log)( >= axyaxf ax
d. 10;)(log)( <<= axyaxf ax
En cada par de graficas, compara ¿que sucede con las graficas?:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
83
VALORACION DE LOS APRENDIZAJES
ACTIVIDAD N° 2.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.
Escala valorativa:
Insuficiente: 0 – 59 Aceptable: 60 – 79
Sobresaliente: 80 – 89 Excelente: 90 – 100
84
ANALISIS DE LOS RESULTADOS DE LA ACTIVIDAD N° 2
ASPECTOS
CONCEPTUALES ANALISIS.
B
En este aspecto conceptual los estudiantes no alcanzaron los
logros mínimos requeridos, obteniendo según escala
valorativa un rendimiento del 59.3 %, lo que equivale a una
calificación de insuficiente, lo que hizo necesario la
intervención de los docentes para aclarar dicho tema.
C
En la escala de valoración se logro establecer que los
educandos no manejan los aspectos conceptuales, por lo que
se obtuvo una calificación de aceptable con un promedio de
79, 3 %. Solo se cumplieron los logros mínimos para superar
este aspecto, los docentes intervinieron para aclarar dudas.
D, E
Según escala valorativa se determino que los dicentes
obtuvieron un mejor desempeño y manejo de los aspectos
conceptuales, logrando una calificación de sobresaliente
con un porcentaje promedio de 85.5 %. Los logros
respectivos a estos aspectos fueron adquiridos en su
mayoría.
A, F
En estos aspectos fue donde mejor desempeño tuvieron los
alumnos, alcanzando en la escala valorativa excelente
obteniendo un porcentaje promedio de 95 %. Dominando los
aspectos conceptuales casi en su totalidad.En esta actividad la totalidad de los estudiantes alcanzaron
85
GENERAL
los logros mínimos, con un rendimiento del 84.41 %
alcanzando en la escala valorativa sobresaliente, En general
se obtuvieron los resultados esperados, logrando los
estudiantes construir su propio conocimiento sobre las
propiedades de los logaritmos, necesarios para continuar con
la ejecución del proyecto.
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
ACTIVIDAD Nº 3
1. Referentes teóricos.
86
ACTIVIDAD 2 PROMEDIO POR ASPECTO
CONCEPTUAL
A
B
CD E
F
0102030405060708090
100
ASPECTOS CONCEPTUALES
PO
RC
EN
TA
JE
A
B
C
D
E
F
1.1 Dificultades para el aprendizaje: Vacíos conceptuales en
conocimientos previos tales como: interpretación de situaciones
problemas, interpretación de datos obtenidos de la representación
algebraica de la función, interpretación de datos obtenidos de una
grafica.
1.2 Enfoques o perspectivas para la enseñanza. Se muestran
representaciones en el plano cartesiano que involucran objetos
matemáticos para que los alumnos revisen algunos conceptos que son
necesarios para la solución de situaciones problémicas no rutinarias.
1.3 Objetos matemáticos involucrados en el problema. Representaciones
de una función, parejas ordenadas.
2 Estándares:
Aplica la regla aritmética que define una función para calcular la imagen
de elementos del dominio.
Determina el dominio y el rango de funciones expresadas en forma de
una regla; como pares ordenados o en forma de graficas.
3 Logros: resolver problemas no rutinarios, mediante la selección de conceptos
y técnicas matemáticas apropiadas.
3.1 Indicadores de logros:
Grafica la función exponencial y su inversa
Interpreta datos obtenidos de una función.
87
Interpreta graficas de la función logarítmica y propone soluciones a
problemas de propuestos.
4. Competencias:
Interpretar datos contenidos en la representación gráfica de la función
logarítmica.
Propone soluciones a situaciones problémicas dadas.
Argumenta resultados obtenidos de la representación algebraica de la
función logarítmica.
5. Diseño de la situación problemática.
1. Dado el siguiente texto, relacionado con una situación problema:
Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido
desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su
interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material
radiactivo encontraremos. C(x) = k. 3 – x es la fórmula que se utiliza, donde C (x)
representa la concentración del material radiactivo, x el tiempo transcurrido
medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento
de formarse la roca. Si k = 4500.
Responde las siguientes situaciones:
a. Realiza la tabla de la función expresada.
88
b. Grafica los puntos obtenidos en el enciso a.
Interpretando la grafica
c. ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una
concentración de 1500?
d. ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos?
e. ¿En qué tiempo se acabaría este material?
f. Representa la función dada como una función logarítmica e
interpreta la grafica.
5.1 Metodología del software.
Inicialmente el docente explicara el cambio de variable de las funciones
dadas en los problemas, puesto que el software GRAPH solo maneja las
89
variables f(x) y x. Luego explica la manera en que funciona y se harán unos
ejemplos, para facilitar su manejo, luego el estudiante mediante la guía del
profesor se observará las actividades problémicas de funciones logarítmicas
con el objetivo de desarrollar las preguntas propuestas.
Ejecución didáctica.
90
MOMENTOS ACTIVIDADES RECURSOS
Presentación de la
actividad
El profesor socializa el
material de trabajo a
sus estudiantes
Papel impreso con la
actividad.
Análisis de la situación
presentada.
Los estudiantes en
forma grupal analizan el
problema.
Actividad presentada.
Preguntas orientadoras.
Discusión de los tópicos
subyacentes
involucrados que
inciden en el desarrollo
de la actividad.
Guiados por las
preguntas orientadoras,
los estudiantes discuten
las distintas alternativas
de solución.
Ideas presentadas por
los estudiantes.
Presentación de las
alternativas de solución
Los estudiantes
presentan las
soluciones encontradas
Conceptos previos
usados en el desarrollo
de la actividad.
Conceptualización
Con la orientación del
profesor, los
estudiantes socializan
los conceptos
involucrados en la
actividad.
Conceptos utilizados en
el desarrollo de la
actividad.
Profundización
Organización de los
conceptos vistos
durante la clase.
Conceptos
desarrollados durante la
clase.91
Evaluación.
¿QUÉ MIRAR? ¿CÓMO MIRARLO? ¿CÓMO
REGISTRARLO?Dominio de los
conceptos necesarios
para el desarrollo de la
actividad.
A través de expresiones
comunicativas, cómo
realizan las
representaciones y
cómo hacen las
deducciones,
generalizaciones y
conjeturaciones.
Formato de evaluación
preparado.
Expresión de
comportamientos
Entusiasmo demostrado
por la actividad.
Cooperación y trabajo
en grupo.
Participación durante el
desarrollo de la clase.
Observación directa del
trabajo de los
estudiantes
92
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
ACTIVIDAD Nº 3
GUIA DEL ALUMNO
Logros: resolver problemas no rutinarios, mediante la selección de conceptos y
técnicas matemáticas apropiadas.
1. Dado el siguiente texto, relacionado con una situación problema:
Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido
desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su
interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material
radiactivo encontraremos. C(x) = k. 3 – x es la fórmula que se utiliza, donde C (x)
representa la concentración del material radiactivo, x el tiempo transcurrido
medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento
de formarse la roca. Si k = 4500.
Responde las siguientes situaciones
a. Realiza la tabla de la función expresada.
b. Grafica los puntos obtenidos en el enciso a.
Interpretando la grafica
c. ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una
concentración de 1500?
d. ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos?
e. ¿En qué tiempo se acabaría este material?
93
f. Representa la función dada como una función logarítmica e
interpreta la grafica.
VALORACION DE LOS APRENDIZAJES
ACTIVIDAD 3
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
Escala valorativa:
Insuficiente: 0 – 59 Aceptable: 60 – 79
Sobresaliente: 80 – 89 Excelente: 90 – 100
94
ANALISIS DE LOS RESULTADOS DE LA ACTIVIDAD N° 3
ASPECTOS
CONCEPTUALES ANALISIS.
A
En este aspecto conceptual solo se cumplieron los logros
mínimos. por lo que se obtuvo una calificación de aceptable
con un promedio de 72, 3 %. Determinando que los
estudiantes no manejan los aspectos conceptuales por lo que
los profesores tuvieron que hacer una explicación del tema
para aclarar las dudas.
B, C, D, E, F
Según los resultados obtenidos en esta actividad se
determino que los dicentes obtuvieron un mejor desempeño y
manejo de los aspectos conceptuales, logrando una
calificación de sobresaliente con un porcentaje promedio de
87.6 %. Los logros concernientes a estos aspectos fueron
alcanzados en su mayoría.Los estudiantes dominaron el aspecto conceptual.
95
G
Alcanzando en la escala valorativa la mayor calificación,
excelente logrando un porcentaje de 90.7 %. En este
aspecto fue donde mejor desempeño tuvieron y los docentes
no tuvieron que participar.
GENERAL
En esta actividad los estudiantes lograron resolver problemas
no rutinarios, mediante la selección de conceptos y técnicas
matemáticas apropiadas, alcanzando los logros mínimos, con
un rendimiento del 85.55 %, lo que es equivalente en la
escala valorativa sobresaliente, lo que indica que en general
se obtuvieron los resultados esperados.
OJO
96
ACTIVIDAD 3 PROMEDIO POR ASPECTOS
CONCEPTUALES
A
BC D E F G
0,0010,00
20,0030,00
40,0050,0060,00
70,0080,00
90,00100,00
ASPECTOS CONCEPTUALES
A
B
C
D
E
F
G
5. CONCLUSIONES GENERALES
Es importante la implementación de las nuevas tecnologías en el aula de clases,
debido a que estas proporcionan una ambiente de fácil manejo que permite al
estudiante manipular y relacionar objetos, lo cual hace que el conocimiento sea
más asequible y el aprendizaje se forme de una manera profunda.
El proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas se hace dinámico
cuando se emplean recursos tecnológicos, puesto que permiten a los alumnos
introducirse en el campo de las matemáticas a través de la observación,
exploración, manipulación, formulación y resolución de situaciones problemas, lo
cual conlleva a que construyan su propio conocimiento, llevando ese conocimiento
a un nivel mas allá de la memorización.
El diseño de unidades didácticas para el aprendizaje de las matemáticas
representa un factor de gran relevancia, ya que se transforma la manera
tradicional de presentar el conocimiento, ofreciendo de este modo un método, que
permita al estudiante descubrir paso a paso el objeto de aprendizaje.
La aplicación del software graph empalmado con la unidad didáctica para el
aprendizaje de la función logarítmica, permite que el estudiante construya un
conocimiento firme y perdurable, puesto que adquiere conceptos implícitos en las
88
situaciones problémicas planteadas en las actividades propuestas y puede
observar representaciones gráficas, que necesitan gran cantidad de tiempo para
ser realizadas manualmente en la hoja de papel.
El impacto causado por la ejecución de la unidad didáctica y la utilización del
software graph fue muy positivo, lo cual se evidenció en el alto nivel de motivación
que presentaron los estudiantes durante el desarrollo de las actividades.
Para concluir podemos decir que el objetivo general se cumplió a cabalidad. Se
puede afirmar que la utilización de las situaciones problémicas y el uso de las
nuevas tecnologías, facilitan la comprensión y el aprendizaje de la función
logarítmica en los estudiantes del grado noveno del colegio Francisco Molina
Sánchez, mejorando el proceso de enseñanza-aprendizaje y facilita a los
estudiantes la adquisición de los conceptos concernientes a la función logarítmica.
89
6. RECOMENDACIONES
Hoy en día se hace necesario que los docentes de matemáticas se capaciten en la
utilización de las nuevas tecnologías aplicadas dentro de su campo de acción,
para ofrecer a sus estudiantes nuevas y mejores formas de adquirir el
conocimiento.
Es importante que los estudiantes logren el aprendizaje de la función logarítmica,
debido a que estas explican una serie de fenómenos que se presentan en la
naturaleza.
Ejecutar este tipo de trabajo investigativo en las instituciones educativas, para
cambiar la visión que tienen los estudiantes acerca de las matemáticas. Estos
piensan que constituyen un cuerpo de conceptos y fórmulas que solo se pueden
trabajar con papel, lápiz y tablero.
Llevar a los estudiantes a construir su propio conocimiento, mediante el uso del
modelo constructivista, el cual logra un arraigamiento de los conocimientos, dentro
de las estructuras mentales de los dicentes, transformando ese conocimiento en
un aprendizaje significativo.
90
7. BIBLIOGRAFIA
Aja, J. M. y otros (2000). Enciclopedia general de la educación. Tomo 2 España:
Océano.
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¿Un cuento de mendigo? Boletín Vol. II, Nº 2, Año 1995.
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cognoscitivo. Editorial TRILLAS 2º ED. México. 1983.
BALDOR, A. (2000), Algebra de Baldor, México: Publicaciones Cultural
BARON, Robert. Psicología. Editorial Prentice – Hall Hispanoamericana.
México. 1996.
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Matemáticas, Santa fe de Bogota: Punto EXE Editores.
COLL-PALACIOS-MARCHESI. Desarrollo Psicológico y Educación II. Editorial
Alianza. Madrid. 1992.
ENCICLOPEDIA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS. Editorial Océano.
Barcelona España. 1998.
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Editorial Norma. Colombia
GALDOS L. Consultor matemático (algebra). Editorial cultural s.a. Madrid
España. 2003.
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GUZMÁN, M. (2005). Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. Organización
de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura.
HERRERA, Fernando. Introducción a la psicología. Editorial Pearson
Educación. 1º ED. México. 1995.
HOFMANN, Joseph Ehrenfried. Historia de la matemática. Editorial limusa s.a.
México 2002.
LONDOÑO Y BEDOYA, N. H. (2003), Enciclopedia Matemáticas Progresivas
tomo II, Bogota: norma
MÉNDEZ R. (2001) Qué es el aprendizaje significativo y en qué se diferencia
del aprendizaje memorístico.
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MOREIRA, M. A Teoría da Aprendizagem Significativa de David Ausubel.
Fascículos de CIEF Universidad de Río Grande do Sul Sao Paulo. 1993.
NOVAK, J - GOWIN, B. Aprendiendo a Aprender. Editorial Martínez Roca.
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PEREZ O, Edgar; PALACIO S., Emiliano y VILLAMIZAR, Armando Matemática
Mega. Editorial Terranova. Bogota. 2000.
Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo .2° ED. TRILLAS México
PUENTE, Anibal. "Memoria Semántica. Teorías y Modelos". En: Psicología
Cognoscitiva. Editorial Mc. Graw Hill. Caracas. 1995.
92
RUMELHART, David. "Hacia una comprensión de la comprensión". En la
Lectura. Emma Rodríguez y Elizabeth Lager. Editorial Universidad del Valle.
Cali. (1997).
URIBE, B. (1992), Matemáticas y Geometría, Santa fe de Bogota: Mcgraw Hill.
WOOLFOLK, Anita. Psicología Educativa. Editorial Prentice Hall. México. 1996.
93
ANEXOS
94
Anexo A
95
Anexo B
96
97
98
99
100
Anexo C
101
Anexo D
Foto 1
Inicio de la actividad 1: estudiantes resolviendo la primera pregunta de la actividad 1
Foto 2
Explicación de los docentes grupo por grupo.
102
Anexo E
103
Anexo F
104
105
106
107
108
Anexo G
109
Anexo H
Foto 3
Inicio de la actividad 2, explicación en general.
Foto 4 foto 5
Explicación de los docentes grupo por grupo de la actividad 2.
110
Anexo I
111
Anexo J
112
113
114
Anexo K
115
Anexo L
Foto 6
Explicación del primer punto de la actividad 1
Foto 7 Foto 8
Explicación de la actividad problemita 2, y discusión de las soluciones
116
Foto 9
Alumnos que participaron en el proyecto, en compañía del profesor Ricardo.
Foto 10
Alumnos que participaron en el proyecto, en compañía del profesor Wilcar
117
