AULADE EL MUNDO

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por Lolita Brain

Cuando pensamos en superficies curvadas imaginamos, en general, figurasbien distintas de las rectas. Imaginamos lminas que se torsionan en el espacioy que dificilmente pueden parecerse a lo recto. En muchas ocasiones no es po-sible trazar ninguna recta sobre una superficie: el caso de la esfera es el mssencillo. Sin embargo, hay muchsimas superficies que estn constituidas por in-finitas rectas. Es decir, por cada punto de la superficie pasa al menos una recta queest contenida en ella. Veamos algo sobre este tema.

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E l francs Monge matema-tiz el arte del dibujo geo-mtrico sis-tematizando losconocimientosque, de algnmodo, se utili-zaban funda-mentando la GEOMETRA DES-CRIPTIVA. La car-tografa y laconstruccin defortificacionesfueron dos cam-pos de aplica-cin. Ademses uno de los padres de la GEOMETRA DIFERENCIAL. Esta

forma de geometra, estudialas superficies acercndose a

ellas a travsdel plano tan-gente a lasmismas. Laspropiedadesde la superfi-cie en gene-ral las que sederivan de sucurvatura seestudian lo-calmente alre-dedor de unpunto a travsde la informa-

cin proporcionada por suplano tangente.

E l genial arquitecto espaol, Fisaces autor de la recientemente de-saparecida Pagoda. Un emble-mtico edificio de la arquitecturaespaola de los aos 60 que utilizen esta particularobra como ele-mento estructu-ral una superficiereglada que no esdesarrollable: elHELICOIDE.

LLaass ssuuppeerrffiicciieess rreeggllaaddaass ssoonn mmuuyy iimmppoorrttaanntteess eenn aarrqquuiitteeccttuurraa yyaa qquuee ppeerrmmiitteennccrreeaarr eessttrruuccttuurraass ccuurrvvaass ccoonn rreeccttaass.. AAss llaass vviiggaass ddee hhiieerrrroo qquuee ssee uuttiilliizzaann eenn llaaccoonnssttrruucccciinn sslloo ddeebbeenn ccoollooccaarrssee eenn lluuggaarr ddee llaass rreeccttaass qquuee ggeenneerraann llaa ssuuppeerr--ffiicciiee.. SSee ggaarraannttiizzaa eell eeqquuiilliibbrriioo yy ssee ssiimmpplliiffiiccaa llaa eessttrruuccttuurraa..

C U R V A S Y R E C T A S :U N R O M A N C E

MMIIGGUUEELL FFIISSAACC

Monge se ayudaba especialmente de la generacin delas superficies. As l hablade superficies cilndricas,cnicas, regladas, desarrollables o

de revolucin. El cilindro por ejem-plo, puede considerarse como el resultado

de hacer mover una recta por una circun-ferencia, o tambin como una circunfe-

rencia que se mueve a lo largo de unarecta. Observa que las GENERATRI-

CES del cilindro, las rectas , estncontenidas en el cilindro. Se dice

que es una superficie RREEGGLLAA--DDAA CCIILLNNDDRRIICCAA. Como adems

se puede obtener haciendo rotarla recta generatriz se dice que es de

RREEVVOOLLUUCCIINN. An hay ms: el planotangente a lo largo de una generatriz no

cambia y por eso se llama DDEESSAARRRROOLLLLAABBLLEE.

HHEELLIICCOOIIDDEESS

Looss hheelliiccooiiddeess ssee ggeenneerraannttaammbbiinn ccoommoo ssuuppeerrffiicciieessrreeggllaaddaass.. EEnn eell ddiiaaggrraammaassee aapprreecciiaa uunnaa hhlliiccee eenn vveerr--ddee jjuunnttoo aa ssuu eejjee rroojjoo.. SSii uunnii--mmooss ccaaddaa ppuunnttoo ddee llaa hhlliicceeccoonn oottrroo ddeell eejjee mmaanntteenniieennddoollaa rreeccttaa hhoorriizzoonnttaall ((rreeccttaass nnaa--rraannjjaass)) llaa ssuuppeerrffiicciiee ggeenneerraa--ddaa eess uunnaa eessccaalleerraa ddee ccaarraaccoollssiinn ppeellddaaooss,, ccllaarroo!! AAss ppoo--ddeemmooss aapprreecciiaarr qquuee eell hheellii--ccooiiddee eess uunnaa ssuuppeerrffiicciiee rree--ggllaaddaa,, ccuuyyaass ggeenneerraattrriicceess ssoonn

llaass rreeccttaass aass ttrraazzaaddaass.. SSiinneemmbbaarrggoo nnoo eess ddeessaarrrroollllaabbllee..SSii oobbsseerrvvaass llaa ffiigguurraa ddee llaa

ddeerreecchhaa.. eenn eellllaa ssee hhaa ttrraazzaa--ddoo uunnaa ggeenneerraattrriizz yy ssoobbrreeeellllaa ttrreess ppuunnttooss.. EEnn ccaaddaa uunnooddee eellllooss eell ppllaannoo ttaannggeenntteeggiirraa hhaacciinnddoossee mmss vveerrttii--ccaall ccuuaannttoo mmss cceerrccaa eesstt ddeelleejjee.. EEnnttiieennddeess aahhoorraa ppoorrqquu eenn uunnaa eessccaalleerraa ddee ccaa--rraaccooll eess mmss sseenncciilllloo ssuubbiirrppoorr llaa ppaarrttee eexxtteerrnnaa qquuee ppoorrllaa iinntteerriioorr??

GGAASSPPAARRDD MMOONNGGEE(1746- 1818)

SSii mmiirraammooss ccoonn aatteenncciinn llaa PPaa--ggooddaa,, vveerreemmooss qquuee ssuu eessttrruucc--ttuurraa eesstt ffoorrmmaaddaa ppoorruunn pprriissmmaa,, ppoorr ccaaddaappllaannttaa ccoonn llaa ppeeccuulliiaa--rriiddaadd ddee qquuee aa ccaaddaappllaannttaa ssee llee pprrooppoorr--

cciioonnaa uunnaa ttoorrssiinn ddee 4455.. DDee eessttaammaanneerraa ssuurrggee eell ppeerrffiill eenn eess--

ttrreellllaa ccaarraacctteerrssttiiccoo ddeell eeddii--ffiicciioo.. PPaarraa eennllaazzaarr ccaaddaaddooss ppllaannttaass ssee uuttiilliizzaannllaass rreeccttaass ggeenneerraattrriicceessddee uunn hheelliiccooiiddee..

EEll hhiippeerrbboollooiiddee ddee uunnaahhoojjaa,, ccuuyyaa ffoorrmmaa ppuueeddeess rree--ccoonnoocceerr eenn llaass ppaappeelleerraass ddeeaallaammbbrree oo eenn llaass cchhiimmeenneeaassddee llaass cceennttrraalleess aattmmiiccaass,,eess uunnaa ssuuppeerrffiicciiee RREEGGLLAADDAA((ccoonnttiieennee iinnffiinniittaass rreeccttaass)),,ddee RREEVVOOLLUUCCIINN ((ssee oobbttiieenneehhaacciieennddoo ggiirraarr uunnaa rreeccttaaqquuee ssee ccrruuzzaa ccoonn eell eejjee))..PPeerroo NNOO EESS DDEESSAARRRROOLLLLAABBLLEE::eell ppllaannoo ttaannggeennttee aa lloo llaarr--ggoo ddee uunnaa ggeenneerraattrriizz ((llaassrreeccttaass)) ccaammbbiiaa..

por Lolita Brain

Las curvas han sido siempre objeto de deseo de los matemticos... y no slo de ellos.Todo el mundo se ha sentido atrado por esas lneas caprichosas que recuerdanobjetos cotidianos y se hallan inmersas en el imaginario colectivo. Ms asombrosoes reconocer que son entidades geomtricas y analticas que los matemticos estu-dian, les asignan ecuaciones y de las que saben poco menos que todo. Estudiadasdesde la antigedad, no es sino hasta el desarrollo del Anlisis Infinitesimal cuandopudimos aprehender todos sus secretos. La cicloide es la solucin a algunos de losretos ms difciles de una de las pocas ms brillantes de la matemtica.

LA CURVA CICLISTA...Y MUCHO MS

DE EL MUNDO

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EL CONCURSO DE LA BRAQUISTCRONA

EL MOVIMIENTO DEUNA RUEDA

Si sobre la llanta de larueda de una bici-cleta haces unamarca con una tiza ycomienzas a pedalear, lamarca dibujar una cur-va al unsono de tu des-plazamiento. Si pudiera-mos visualizarla con unaserie de fotogramas, apa-recera la cicloide, curvaestudiada por Bouvellesen 1501, por Mersenne yGalileo en 1599, porRoberval en 1634, y porTorricelli en 1644, entreotros muchos. Por incre-ble que parezca no eraconocida por los griegos,maestros de las curvas yla geometra.

El dibujo te muestra como se genera: suponiendo que la rueda realiza un giro completo en cua-tro segundos, girar un cuarto de vuelta en cada segundo. En ese intervalo, el punto A pasa a laposicin A1 y el B, a la B1. Suponiendo que la rueda no desliza, la distancia de A a B1 ser la mis-ma que el arco de circunferencia AB.

Y AS SURGE LA CICLOIDESi continuamos movindo-nos en la bicicleta, podre-mos ver la forma completade la cicloide, como te mos-tramos en la imagen. Tras unperiodo de cuatro segun-dos, el punto A habr pasa-do a convertirse en el A4,habiendo dado la rueda unavuelta completa. De igualmodo, el punto B pasar aestar en la posicin B4 y assucesivamente. Roberval yTorricelli demostraron que lalongitud de un arco de cicloi-de, la distancia entre A y A4,es cuatro veces la longituddel dimetro de la rueda.

LA TAUTCRONA DE HUYGENS

El magistral fsico y mate-mtico Huygens demos-tr en 1659 que la cicloideera tambin una curva taut-crona. Esto quiere decir que sidejamos deslizar una canicapor una rampa con forma decicloide, el tiempo que tardaren llegar a su punto ms bajo(o) es el mismo independiente-mente del punto del que se dejecaer (m n o p) Asombroso! Enesto contradijo a Galileo y supndulo y lo utiliz para crearsu famoso y preciso reloj depndulo.

CHRISTIAAN HUYGENS(1629-1695)

Antes de terminar debo alzar mi voz una vez ms como smbolo de admiracinpor la identidad entre la tautcrona de Huygens y mi braquistcrona.[...]La naturaleza tiene tendencia a actuar del modo ms simple y as, la misma cur-va sirve para dos funciones distintas. Johannes Bernoulli. Acta Eroditorum 1697.

BRAQUISTCRONA: es la trayectoria ms rpida para caer bajo la gravedadde un punto A a otro B situado a menor altura. Es la cicloide.

En junio de 1696, Johann Bernoulliret a la comunidad cientfica a resol-ver el problema de la bra-quistcrona antes de lallegada del nuevo ao.Por entonces l ya cono-ca una solucin. Enfecha, slo GottfriedLeibniz entreg una solu-cin correcta. La compe-titividad reinante entre elAnlisis del continentefrente al britnico llev aJohann, bajo inspiracinde Gottfried, a anunciar a

los ms grandes agudos matem-ticos del mundo entero la amplia-

cin de la convocatoria.Cinco soluciones llega-ron. Una era la deJohann. Las restantes lerodean. El Acta Erodito-rum de mayo de 1697public todas las solucio-nes. Una era annima, enlatn y decididamentebreve. Johann reconocien ella a Newton dicien-do: por las garras seconoce al len.

JOHANN BERNOULLI(1667-1748)

JACOB BERNOULLI(1654-1705)

GUILLAUME DE L'HPITAL(1661-1704)

GOTTFRIED W. LEIBNIZ(1646-1716)

SIR ISAAC NEWTON(1643-1727)

EL ERROR DE GALILEO

GALILEO GALILEI(1564-1642)

El primero en interesarse porel problema de la braquist-crona fue Galileo. Solucionprimero el caso de una tra-yectoria lineal, despus en uncamino quebrado y por lti-mo aventur que un trayectocurvilneo braquistcrono erael arco de circunferencia. Fueun error. Aun as, el tiempo lereconocera su labor.

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AULA

La pasada semana conocimos a la cicloide. Vimos que era una curva muyespecial que se dibuja mecnicamente al moverse una rueda. Hoy tetraemos otra importantsima curva que tambin se genera de un modomecnico. Naci de la imaginacin de Huygens en 1692, quien le pusode nombre tractriz o tractrix. Despus, Leibniz y los Bernoulli siguieron es-tudiando sus propiedades en profundidad. A finales del siglo XIX, Bel-trami encontr una aplicacin insospechada de ella en la seudoesfera.

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LA SEUDOESFERA DE BELTRAMIDesde que Lobachevski demostrara que la Geome-tra Eucldea, en la que la suma de los ngulos deun tringulo es de 180o, no era la nica posible,sino que perfectamente poda existir la Geometra

Hiperblica en la que lostres ngulos de un tringu-lo suman menos de 180o,los matemticos se pusie-ron a buscar modelos rea-les en los que la nuevageometra funcionara. Nofue un camino fcil. El ita-liano Beltrami encontr, en1868, que la seudoesferaera un espacio para la geo-metra hiperblica. Mstarde, Klein encontr otromodelo.

Esta es la imagen de la tractriz. Como ves tiene dos ramas, segn elmovimiento se realice hacia la izquierda o hacia la derecha. Larecta en rojo se denomina asntota de la tractriz, ya que la curva seaproxima a ella pero nunca llega a contactarla. En el caso del tren dejuguete, la asntota sera la acera por la que se desplaza la personaque tira de l. Esta curva se hizo famosa por el problema propuestopor Leibniz: Cul ser la curva que dibuje un reloj de bolsillo sobreuna mesa, cuando, manteniendo tensa su cadena, se desplaza elotro de sus extremos por una recta?

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EUGENIO BELTRAMI(1835-1900)

AS SE GENERA LA TRACTRIZUn modo mecnico y sen-cillo de generar la tractrizes como sigue: si alguientira de un tren de juguete alque lleva sujeto por unacadena tensa y comienza acaminar por el borde deuna acera rectilnea, el tre-necito de juguete se des-plazar tal y como ves en eldiagrama. El juguete dibu-jar una tractriz.

T TAMBIN PUEDES HACERLOS i quieres dibujar mecnicamente una tractriz, slo necesitas cinta adhesi-va, una chincheta con cabeza grande, un bolgrafo, una tira de cartn condos agujeros, uno en cada uno de sus extremos, y una hoja de papel (ima-gen 1). Coloca la hoja de papel en la que se dibujar la tractriz sobre unamesa, cuidando de ajustar sus bordes con la hoja. Sujtala a la mesa concinta adhesiva. Coloca la tira de cartn perpendicularmente sobre el papel.

Pincha la chincheta en uno de sus agujeros e introduce el bolgrafo en el otro(imagen 2). Desliza suavemente la chincheta hacia la derecha sin permitirque se separe del borde de la mesa. Al hacerlo, no presiones con el bolgra-fo, djalo deslizar suavemente segn mueves la chincheta (imagen 3). Con-forme deslizas la chincheta, sta arrastrar la tira de papel y el bolgrafo dibu-jar en la hoja una tractriz (imagen 4).

S i hacemos girar una tractrizalrededor de su asntota,obtenemos una superficiede revolucin que tiene cur-vatura negativa (se curvahacia adentro) en todossus puntos. Es laseudoesfera.

S i colgamos una cadena por susextremos, la forma que adoptaes de una catenaria. Cortando lacadena por el punto inferior, supunto medio, el extremo de cada

brazo de la misma dibujar pre-cisamente una tractriz. Ello seproduce porque la tractriz esla evoluta de la catenaria. Laasntota de la tractriz es portanto la mxima altura que lacadena no alcanza cuandose corta.

AL CORTAR UNA CADENA

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TIRANDO DEL TREN SURGE UNA GEOMETRA

La catenaria y la tractrizestn ntimamente ligadas.Se dice que la tractriz es laevoluta de la catenaria: si encada punto de la tractriz tra-zas su tangente y una rectaperpendicular a ella, la llama-da normal, la curva queenvuelve esas normales es

una catenaria. Al revs, si por cada punto P de la catenaria trazas su tangente y sobre ella llevas la distancia que separa a P delvrtice de la catenaria -el extremo inferior-, se traza una tractriz, que es la involuta de la catenaria.

LA TRACTRIZ Y LA CATENARIA

por Lolita Brain

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Los matemticos acostumbran a estudiar conceptos que aparentemente son intiles. Susestudios se quedan dormidos en bibliotecas durante siglos esperando una oportunidadpara despertar. Uno de los casos ms famosos y brillantes es el estudio de las curvas pla-nas que aparecen cuando se corta un cono con un plano. Tres siglos antes de nuestra era, APO-LONIO DE PRGAMO escribi Las Cnicas: una reflexin completa y exacta de todas estas curvas.Objetos poco tiles para su tiempo y los siglos venideros, permanecieron dormidos hasta elsiglo XVII, cuando Galileo y Kepler los despertaron.

por Lolita Brain

NO ES PERFECTAPERO ES TIL

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LA ELIPSE

Uno de los procedi-mientos ms fci-les para dibujar unaelipse es el llamado del jar-dinero. Clava dos chin-chetas sobre un papel. Ataa cada chincheta cadapunta de un hilo de cuer-da fina. Con un lpiz tensael hilo. Mueve el lpiz sidejar de mantener el hiloen tensin. Se dibujar so-bre el papel una elipse.Los jardineros las dibujanas con estacas en lugarde chinchetas, para darforma elptica a los parte-rres y jardines.

Si la bola se coloca en unfoco y se dispara, rebotary pasar por el otro foco.Estar eternamente rebo-tando de un foco al otro. Alos pocos rebotes, sin em-bargo, la trayectoria se con-funde con el eje longitudinal.

Si la bola no se coloca en unfoco, y se dispara de modoque no pase entre los fo-cos, la bola rebotar eter-namente dibujando unpolgono tangente a otraelipse ms pequea perocon los mismos focos.

Si la bola no se coloca en un foco,y se dispara de modo quepase entre los focos, la bolarebotar eternamenteacercndose a ellos perosin rebasar una hiprbolacon los mismos focos

La sombra que arrojauna esfera iluminada esuna elipse, obtenida apartir del cono de luz que laenvuelve y que tiene su vr-tice en el punto de luz. La es-fera contacta con la sombraen uno de los focos. El otrofoco sera el punto de con-tacto con una esfera colo-cada bajo el plano y envuel-ta por los rayos luminosos.

LAS SOMBRAS Y LA ELIPSE

LA CONSTRUCCIN DEL JARDINERO

Veamos la propiedad fun-damental de una elipse.Para ello marca dos pun-tos en un plano separadospor ejemplo 4 centmetros.Les llamaremos los FO-COS de la elipse. Escojeahora un nmero mayorque 4, pongamos 10. La fi-gura que resulta de colec-cionar todos los puntoscuyas distancias a los fo-cos es 10 es una elipse.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

LA ELIPSE, LA ASTRONOMA Y LA FSICA

Vamos a jugar al billar en una mesa muy especial con formade elipse, lo que nos proporcionar sorpresas inimaginables.Nuestra mesa adems es tan especial que no tienerozamiento, con lo que la bola no dejar de moverse. Laspropiedades especiales de esta mesa de billar, proceden delas propiedades de los focos de la elipse.

EL BILLAR ELPTICO

PLANO QUECORTA ALCONO

CONO DEDOSHOJAS

ELIPSE

ELIPSE

RAYOS DE LUZ

HASTA EL SIGLO XVII, las cnicas eran cono-cidas y apreciadas a travs de la obra deAPOLONIO DE PRGAMO. Pero no fue hastael siglo XVII cuando GALILEO GALILEI (1564-1642)prob que los proyectiles se mueven segn tra-yectorias parablicas. JOHANNES KEPLER (1571-1630) por su parte explic con elipses el movi-miento de los planetas alrededor del Sol, zanjando un debate de siglos. Su PRIMERA LEY pu-blicada en su ASTRONOMIA NOVA, afirma que los pla-netas se mueven alrededor del Sol segn tra-yectorias elipticas, en las que el Sol est en unfoco. Pero nunca pudo explicar por qu. so seralabor de Isaac Newton.

P

P

Un mtodo muy curioso paradibujar una elipse utiliza slodobleces en un papel. Paraello, recorta un disco de papeldel tamao que quieras. Marcaen l cualquier punto que nosea su centro. Ahora slo tienesque doblar el disco de papel deforma que su borde toque elpunto que has sealado. Mar-ca bien cada doblez, y repiteesta operacin muchas veces.Los dobleces dibujan una elip-se en el disco.

SLO CON PAPEL Y DOBLECES

Las curvas que llamamosCNICAS surgen al cortarun cono con un plano.Segn la inclinacin y posi-cin del plano, la curva queresulta es diferente. Son tanimportantes que tienen nom-bres propios: las ms famo-sas son la CIRCUNFERENCIA, laPARBOLA, la HIPRBOLA y la ELIP-SE. El diagrama muestracmo se construye una elip-se: se debe cortar el cono conun plano inclinado respectode la base del cono. El bor-de que aperece recortado enel cono es nuestra curva.

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por Lolita Brain

La esfera es, sin duda alguna, un paradigma del simbolismo de la perfeccin. Poseepropiedades nicas y asombrosas. Una de ellas es la de ser una SUPERFICIE MINIMAL.Quiere esto decir que la superficie que la limita es la menor posible de cuantas for-mas imaginemos para contener un volumen fijado. Piensa en los edificios: su envol-tura es muy costosa. Est formada por las paredes exteriores, los acristalamientos, lasbvedas etc. Por otra parte, lo ms valioso de un edificio es su tamao, su volumen. Eneste sentido, la esfera sera la forma ideal para un edificio: su revestimiento sera elde menor superficie para un edificio de tamao y volumen equivalente.

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E S F E R A ST R I A N G U L A R E S

BBuucckkmmiissnntteerr FFuulllleerr((11774466-- 11881188))

LLaa eessttrruuccttuurraa ddee uunnaa eessffeerraa ggeeooddssiiccaa ssee oobbttiieennee aa ppaarrttiirr ddeell IICCOOSSAAEEDDRROO.. CCoommoo ssaa--bbeess eess uunn ppoolliieeddrroo ddee vveeiinnttee ccaarraass ttrriiaanngguullaarreess.. EEss eell ppoolliieeddrroo rreegguullaarr mmss ppaarreeccii--ddoo aa uunnaa eessffeerraa.. EEnn ccaaddaa vvrrttiiccee ddeell iiccoossaaeeddrroo ccooiinncciiddeenn cciinnccoo ttrriinngguullooss.. SSii rreeaallii--zzaammooss uunn ccoorrttee aaddeeccuuaaddoo eenn ccaaddaa vvrrttiiccee,, ppooddeemmooss oobbtteenneerr uunn ppeennttggoonnoo rreegguu--llaarr.. AAddeemmss,, ppoorr ccaaddaa ccaarraa ttrriiaanngguullaarr ddeell iiccoossaaeeddrroo aappaarreeccee uunn nnuueevvoo hheexxggoonnoo..EEll nnuueevvoo ppoolliieeddrroo rreessuullttaannttee ttiieennee ddooccee ppeennttggoonnooss yy vveeiinnttee hheexxggoonnooss.. SSee llllaammaaIICCOOSSAAEEDDRROO TTRRUUNNCCAADDOO yy eess uunn ppoolliieeddrroo sseemmiirrrreegguullaarr oo aarrqquuiimmeeddiiaannoo.. RReeccoonnoocceerrss eenneessttee ppoolliieeddrroo aa uunn bbaallnn ddee ffttbbooll.. YYaa tteenneemmooss llaa eesseenncciiaa ddee llaa eessffeerraa ggeeooddssiiccaa..

LLos balones de ftbolhan de ser estructurasesfricas y resistentes alas patadas. Como ya sa-brs, la estructura generalde ellos se forma a partirde un icosaedro truncado,formado por hexgonosy pentgonos. A partir deeste polie-

dro, se realiza una divisin de cada he-xgono en seis tringulos iguales, yde cada pentgono en cinco trin-gulos. A esto se le llama TRIAN-GULAR una superficie. Con cadauno de los tringulos obteni-dos se realiza la misma opera-cin, subdiviendo cada uno enotros cuatro tringulos. As,cada hexgono se divide en 24tringulos y cada pentgono en20. Esta estructura resultante es laesfera geodsica porexcelencia, ya quehay otros tipos.

LLooss ttoommooss ddee ccaarrbboonnoo ppuueeddeennaaggrruuppaarrssee pprreesseennttaannddoo ddiivveerr--ssaass eessttrruuccttuurraass eessppaacciiaalleess..SSii ffoorrmmaa eell ddiiaammaannttee ccrreeaaeessttrruuccttuurraass tteettrraaddrriiccaass,,ssii eess eenn ggrraaffiittoo lloo hhaacceehheexxaaggoonnaallmmeennttee eennllmmiinnaass.. EEnn 11998855,, lloosscciieennttffiiccooss CCuurrll,, KKrroo--ttoo yy SSmmaalllleeyy eennccoonn--ttrraarroonn uunn aaggrreeggaaddooddeell ccaarrbboonnoo ffoorrmmaaddooppoorr 6600 ttoommooss,, eell CC6600,,qquuee tteejjaa uunnaa eessttrruuccttuu--rraa ccaassii eessffrriiccaa ddee 7700nnmmddee ddiimmeettrroo ((11nnmm==1100--99mm)).. AAnnaalliizzaaddoo eenn ddeettaallllee rreessuulltt

qquuee llooss ttoommooss ddeell ccaarrbboonnoo ooccuu--

ppaabbaann llooss vvrrttiicceess ddee uunn iiccoossaaeeddrroottrruunnccaaddoo!! AAll eennccoonnttrraarr ttaammbbiinn

aaggrreeggaaddooss ddee 7700 ttoommooss ddeeccaarrbboonnoo ccoonn ffoorrmmaa eelliipp--

ssooiiddaall,, ssee hhiicciieerroonn eessttuu--ddiiooss ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr ssiieessttrruuccttuurraass ccoonn mmssddee 6600 vvrrttiicceess pprrooppoorr--cciioonnaabbaann ssoolluucciioonneessmmeejjoorreess ddee aapprrooxxii--mmaacciinn aa lloo eessffrriiccoo..NNoo ffuuee aass.. EEll sseesseennttaaeess eessppeecciiaallmmeennttee rreenn--

ttaabbllee.. AAll CC6600 llee ppuussiiee--rroonn ddee nnoommbbrree BBUUCCKK--

MMIINNSSTTEERRFFUULLLLEERREENNOO,, eenn hhoo--nnoorr aa BBuucckkmmiissnntteerr FFuulllleerr..

CCoonn eell ttiieemmppoo,, llaa mmoollccuullaa sseeddeennoommiinnaa FFUULLLLEERREENNOOSS..

E l carcter mstico de la esfe-ra siempre ha sido un aci-cate para los arquitectos: lascpulas son la solucin habitualen la Historia de la Arquitec-tura. Rematar una crucera ouna torre conuna cpula se-miesfrica hasido desde laRoma Imperialuna constanteformal. Y unserio proble-ma para los ar-quitectos e in-genieros. Porello, ha sido un reto encontraruna estructura arquitectnicafactible que permitiera crearedificios con forma esfrica.Esa estructura son las llamadasesferas, o domos, geodsicas.Es una estructura polidrica -noesfrica- que tiene propiedades

muy especiales: su estructurapermite que todos los nodos-los vrtices- soporten la mismacarga, y por tanto el peso de laestructura se distribuye iguali-tariamente por toda ella, au-

mentando suresistencia ysu equilibrio.Adems pre-senta propie-dades de eco-noma de re-cursos para surevestimiento.Y por si fuerapoco es facti-

ble realizar modelos desmon-tables, lo que las convierte esestructuras ideales para edifi-cios temporales como los de lasExpos. Adems, como vivien-das minimizan las prdidas decalor y son muy resistentes a lasinclemencias atmosfricas.

Aunque el primer domo geodsico se cons-truy en 1922 para el edificio Zeiss de Ale-mania, el siempre sorprendente arquitecto yfilsofo estadounidense BUCKMISNTER FULLERasombr al mundo en la Exposicin Interna-cional de 1967, celebrada en Montreal, la Expo67, con su diseo para el pabelln de los EstadosUnidos. Era una esfera geodsica de dimensio-nes colosales: 76 metros de dimetro. Pero Fu-ller ya haba trabajado en los aos cuarentacomo parte de lo que l llamaba geometra ener-gtica-sinergtica. Una combinacin particularde elementos estructurales que anan de unmodo especial sus esfuerzos para obtener unconjunto mejor que su suma.

UUNN TTRRIINNGGUULLOO

EEQQUUIILLTTEERROO

QQUUEE HHAAGGAA BBIISSAAGGRRAA

CCOONN OOTTRROOSS DDOOSS

PPUUEEDDEE PPLLEEGGAARRSSEE EENN UUNNAA TTIIEENNDDAA DDEE

CCAAMMPPAAAA DDEE TTRREESS LLAADDOOSS CCUUYYAA BBAASSEE

EESS UUNN CCUUAARRTTOO TTRRIINNGGUULLOO

DDEE LLAA IINNTTRROODDUUCCCCIINN AA LLAA GGEEOOMMEE--TTRRAA EENNEERRGGTTIICCOO--SSIINNRRGGIICCAA..BBUUCCKKMMIISSNNTTEERR FFUULLLLEERR

LLAA AAPPAARRIICCIINN IINNAADDVVEERRTTIIDDAA DDEE

EESSTTEE CCUUAARRTTOO TTRRIINNGGUULLOO EESS UUNNAA

DDEEMMOOSSTTRRAACCIINN DDEE SSIINNEERRGGIIAA,, EESSDDEECCIIRR,, EELL CCOOMMPPOORRTTAAMMIIEENNTTOOGGLLOOBBAALL DDEE UUNN SSIISSTTEEMMAA NNOO PPRREE--DDEECCIIBBLLEE PPOORR SSUUSS PPAARRTTEESS

EESS DDEECCIIRR 11++22 ==44

LL OO SS FF UU LL LL EE RR EE NN OO SS

TTrriiaanngguullaacciinnddee llooss hheexxggoonnoossddee uunn bbaallnn

AULA 726.11.99EL MUNDOViernes cultural. Lmina coleccionable

por Lolita Brain

E L E S Q U E L E T O D E L A S C O S A S

LLOOSS FFAARROOSS de los vehculos, tienenforma de parablide, de modo

que los rayos de luz emitidospor la bombilla se reflejan y

se emiten concentrados,aumentando su

intensidad luminosa.La bombilla se

coloca en el foco.

Supn que tienes un espejo con la forma de la su-perficie de la ilustracin: todos los rayos que entranen la direccin del eje representado al reflejarse seconcentran en un mismo punto que llamamos foco.Esto hace que los ingenieros hayan diseado mlti-ples objetos con esta forma. Se llama paraboloide de revo-lucin (un miembro de la familia de los paraboloides elpticos)porque se construye girando una parbola, la curva que des-cribe el baln de ftbol cuando saca el portero. Los mate-mticos lo representan con la ecuacin: z = x

2+ y

2(en

su forma fcil). Gracias a ello, un ordenador puede di-bujarla o se puede calcular cunto pesar un radaro dnde se debe colocar la bombilla del faro deun coche.

LLOOSS RRAADDAARREESS yy llaass aanntteennaass ppaarraabblliiccaass estn diseados con

la misma forma porque su fin esesencialmente el mismo: re-coger las seales electro-magnticas. De ah su for-ma de parablide de revo-lucin. Las ondas quereciben se reflejan en lasuperficie de la antena y seconcentran en un mismopunto, que es el foco del pa-

rablide. En ese precisopunto se coloca un sensor

con el que se puede recoger laradiacin recibida con mayor

intensidad al haberse concentra-do toda en un solo punto.

El nombre de antena parablica provienede la curva de la que se obtiene su forma:

la parbola.

Una antena parablica, el faro de un coche o la chimenea de una central nuclear. Todos estos objetos

tienen formas muy caractersticas. Y no son fruto del capri-cho de los ingenieros. Muy al contrario, estn

perfectamente estudiados para que su funcionamiento sea

el ms eficiente. Estas superficies se denominan cudricas y los cientficos las conocen a la perfeccin. Poseen unaspropiedades especiales que las convierten en candidatasperfectas para dar forma a objetos comunes. Comprobars que ests rodeado de parablides...

LLOOSSTTEELLEESSCCOOPPIIOOSS

rreefflleeccttaanntteess,como el inven-

tado por Newton,tienen un espejo

cncavo cuya super-ficie es un paraboloidede revolucin. Todos losrayos que partan de uncuerpo celeste y lle-guen paralelos a sueje se concentran enun solo punto permitiendo ser observa-dos con mayor precisin.

LLOOSS PPRROOGGRRAAMMAASS DDEE OORRDDEENNAADDOORR de animacin en 3Dmodelan objetos utilizando las ecuaciones de estas

superficies para generar imgenes de sntesis.Los programas de dibujo vectorial tambin. En lafoto ves un paraboloide hiperblico o silla de

montar. Su ecuacin es zz == xx22 -- yy 22..

EENN LLAA RREEDDhttp://www.dailan.com/verenet/lolitabrainlolita brain@hotmail.comhttp://www.vitalsoft.org.mx/Prometeo/ejemplos/mja3D.htmlhttp://www.frontiernet.net/~~imagingquads.html/

AULADE EL MUNDO

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LOS INVENTORESDE LA CINTA AS SE CONSTRUYE UNA CINTA DE MBIUS

Las construcciones ms simples contienen a veces las singularidades ms sorpren-dentes. Una de las superficies ms sencillas que se puede fabricar es la llamada Cin-ta de Mbius. Pero en su simplicidad se halla su magia. Contra lo que nuestra intucindira, es una superficie que slo tiene una cara y en la que no es posible la orientacin:la derecha se convierte en izquierda y viceversa. Es una de las estructuras ms deli-rantes de la Topologa, la Geometra sin medidas, en la que un cuadrado es idntico aun crculo y una rosquilla no se distingue de una taza.

por Lolita Brain

LA MGICA CINTA DE MBIUS

AUGUST FERDINAND MBIUS1790-1868

JOHANN BENEDICT LISTING1808 -1882

La conocida como Cinta deMbius debe su nombre a suinventor, el matemtico yastrnomo August Mbius, quefue alumno de Gauss, y que en1858 la construy y estudi. Sinembargo, este objeto matemti-co fue analizado aos antes porel tambin matemtico alemnJohann Listing. De hecho, stepublic sus resultados antesque lo hiciera Mbius. Parado-jas de la historia.

Recorta unatira de papela l a r g a d a .Marcaremossus vrticescomo A, B, A,y B.

Si doblamos la tira demodo que coincidan losvrtices A con A y Bcon B, y los pegamos,obtendremos una cintacilndrica normal.

La Cinta de Mbius tiene una sola cara.Aunque aparentemente tenga dos, es fcilcomprobar que no es as: toma un lpiz,comienza a trazar una lnea siguiendo la cintay comprobars que encuentra el punto de par-tida sin necesidad de cruzar su borde. El gra-bado de Escher que reproducimos manifiestaesta propiedad: una hormiga que comenzaraa andar por la cinta la recorrera completa-mente volviendo al punto de partida.

Cuando se corta una cinta de Mbius por su centro a todo su largo, se obtienenresultados fantsticos y muy distintos de lo que sucede cuando se corta una tiracilndrica normal. Si cortas longitudinalmente un anillo con tijera, obtendrs dosanillos de menor ancho. No es as con la cinta.

Pero si antes de unirlos vrtices hacemosuna torsin a la tira demodo que A se unacon B y A con B,obtendremos unaCinta de Mbius.

Al cortar la cinta porsu centro (la lnea depuntos rojos) seobtiene una nicatira con dos torsio-nes y no dos anilloscomo cabra esperar.

TORSIN 1

S i pintas una banda central en una cinta de Mbius(en rojo en la figura) y la cortas por su borde,obtendrs una nueva cinta de Mbius roja anu-dada a otra blanca que tiene dos torsiones.

Mbius Strip II, 1963. Xilografa de M.C. ESCHER

Mbius Strip I, 1961. Xilografa de M.C. ESCHER

LA CINTA DE MBIUS TIENE UNA NICA CARA

QU PASA CUANDO SE CORTA UNA CINTA DE MBIUS?

MS MAGIA CON LAS TIJERAS

Una de las propiedades ms interesantes de la cinta de Mbius esque no es orientable. Esto significa que no se pueden definir con-ceptos como derecha o izquierda, arriba o abajo. Y no se puedehacer porque al mover un objeto sobre su superficie, lo que era diestrose convierte en zurdo.

LA CINTA DE MBIUS NO ES ORIENTABLE

Puedes comprobar lo que decimos si construyes una cinta de Mbiuscon plstico transparente o papel cebolla. Dibuja una manopla, porejemplo diestra, y repite su figura trasladndola a lo largo de la cinta.Cuando retorne al punto de partida, la manopla habr cambiado y serzurda. Pero esto no es problema! Un habitante que viviera en la cinta(claro est, sera un ser plano) tambin cambiara su estructura, y sumano diestra se convertira en zurda junto con la manopla.

TORSIN 2

NUEVA CINTA DEMBIUS

CORTA POR EL BORDE DE LABANDA ROJA

CINTA CON DOS TORSIONES

Maurits Cornelis Escher es sin duda alguna el dibujante que ms ha hecho por la crea-cin de mundos artsticos fundamentados en ideas de la austera Matemtica. Sin cono-cimientos especficos de Matemtica, este holands nacido en 1898 puso en combinacinla razn geomtrica con la libertad artstica para crear mundos imposibles. Dibujante ex-traordinario, su obra es mayoritariamente grfica, especialmente el grabado sobre ma-dera, la xilografa y litografa. Si vas a La Haya, en su Central de Correos vers una desus mejores y mayores creaciones: Metamorfosis.

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

METAMORFOSIS

UN HUMILDE CREADOR

EL USO DE LOS MODELOS MATEMTICOS

LA PARTICIN DEL PLANO

EN MATEMTICAS NO OBTUVE NUNCA NI SIQUIERA UN SUFICIENTE. LO CURIOSO ES QUE, POR LO QUE PARECE, ME VENGO OCUPANDO DE MATEMTICAS SINDARME BIEN CUENTA DE ELLO. NO, EN LA ESCUELA FUI UN CHICO SIMPTICO Y TONTO. QUIN SE IBA A IMAGINAR QUE LOS MATEMTICOS IBAN A ILUSTRARSUS LIBROS CON MIS DIBUJOS, QUE ME CODEARA CON HOMBRES TAN ERUDITOS COMO SI FUERAN MIS COLEGAS Y HERMANOS! Y ELLOS NO PUEDEN CREER

QUE YO NO ENTIENDA NI UNA PALABRA DE LO QUE DICEN! MM..CC.. EESSCCHHEERR

Persona de gran modestia,Escher deca de s mismoque no era un buen dibujan-te refirindose al hecho deque siempre necesitaba mode-los para dibujar, manifestandosu escasa disposicin imagi-nativa. Su obra se compone depaisajes y algunas acuarelasanteriores a 1937. Posterior-mente trabaj sobre todo elgrabado, dejando ms de 70piezas inspiradas en temas

matemticos. Estuvo preocupado por tres temas funda-mentales: la estructura del espacio, la del plano y larepresentacin plana de los objetos tridimensiona-les. Falleci en 1972 en el norte de Holanda.

METAMORFOSIS II,1939-40 REPTILES, 1943

EL SOL Y LA LUNA, 1948 ESTUDIO SISTEMTICO, 1936

En Manos dibujando, Escher se adentra en el terreno de la lgica. Su dibujo esla imagen de las sentencias aauuttoorrrreeffeerreenntteess como la que dice Todo lo que yo digoes falso. Cul de las dos manos se empez a dibujar primero? En Galera de gra-bados representa una galera en la que un cuadro retrata a la misma galera enla que est colgado y as infinitamente; es una imagen autorreferenciada.

MANOS DIBUJANDO, 1948 GALERA DE GRABADOS, 1956MANO CON ESFERAREFLEJANTE, 1935

RETRATO DEL INFINITO

Impresionado por undibujo que reproducael modelo de geo-metra hiperblicade Poincar,encontr la inspi-racin para desa-rrollar imgenescon el infinitocomo tema. EnLmite Circular III(1959), las lneasmaestras no son sinolas rectas del modelogeomtrico que invent Poin-car. Escher llen de vida ese modelo inanimado.

Las metamorfosis jueganun importante papel en suobra creada entre 1937 y1945. En ellas transforma demodo continuo figuras pla-nas en objetos tridimensio-nales, objetos matemticosen animales y pjaros, etc-tera; y todo ello de modocclico: se acaba donde secomienza. Sus famososlagartos los utiliz en el cicloReptiles, en el que el mundoplano cobra vida al transfor-marse en el tridimensionalde un modo continuo.

EL ARTISTA DELA MATEMTICA

En sus visitas a La Alhambra (1926 y 1936), quedimpresionado por la riqueza de los mosaicosnazares, es decir, por la diversidad de las particionesperidicas del plano. Realiz bocetos de todos losmosaicos que encontr all y que son todos los posi-bles, transformndolos en animales y seres extraoscon los que formar el plano. Gener con este mtodocomposiciones en las que el fondo y el primer plano seintercambian sin solucin de continuidad. Estos temaslos utiliz en metamorfosis, ciclos, series infinitas ydecoraciones para mltiples cajas que dise.

1

231.- GRAVITACIN, 1952

2.- CINTA DE MBIUS, 19613.- NUDOS, 1965

CREADOR DE CONTROVERSIAS

Su pasin por los objetos matemticos lellev a utilizar profusamente los poliedros,por los que senta una debilidad manifiesta.Pero tambin se interes por nuevos mode-los matemticos, entre los que destaca suadmiracin por la famosa Cinta de Mbius ypor los nudos, ambos muy de moda en el uni-verso matemtico de comienzos del siglo XX.

La concavidad y la convexidad son dos trminos que habitualmente utilizamos. Pero sonconceptos relativos. Escher, del que hablamos la pasada semana, lo saba y lo utiliz opor-tunamente en la litografa que vamos a examinar. Estos trminos estn bien definidos enmatemticas, aunque en algunas ocasiones tambin generan ambigedad. Pero nohace falta acudir al formalismo matemtico para apreciar el problema que plantean a nues-tra percepcin. Con slo cambiar la posicin de un objeto, o sus sombras o remarcar unaslneas en lugar de otras, lo que nos parece cncavo pasa a ser convexo y viceversa.

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

QU ESCONDE EL GRABADO?

CNCAVO Y CONVEXO DEPENDE DE CMO LO MIRES

E stas dos imgenes son exactamente la misma.Corresponden a la superficie lunar, y la nica dife-rencia que hay entre ellas es que estn giradas180o una respecto de la otra. Sin duda, en la de laizquierda vers dos montculos concavos que salende la superficie, mientras que en la de la derechaobservas con nitidez dos crteres que se metenhacia el interior.

E l sector izquierdo presentaun punto de vista superior.La bveda del templete seobserva desde el tejado, laseora baja por un puentesobre un lago y un seor dormi-ta apoyado sobre una pared.Las columnas no van hacia fue-ra sino que estn horadadas enla fachada. El dibujo no presen-ta problemas.

D el mismo modo, el ladoderecho es normal, aunqueest visto desde abajo.Vemos el suelo al que sube elseor de la escalera desdeabajo, se aprecia la columna yla bveda desde su parte infe-rior y la bandera aparece col-gada razonablemente bajo laarcada. Observa que lascolumnas salen hacia fuera.L a zona central es la que ms perturba nuestra percepcin.Conviven simultneamente una parte convexa (imagen de laizquierda) con una cncava (a la derecha) que se mezclan

en el centro del grabado.

Para entender el grabado de Escher tenemos que recorrer su escenario deizquierda a derecha. As comprobamos que la seora que lleva la cestapuede bajar las escaleras hasta llegar al rellano, pero si contina subien-do por los siguientes peldaos se caer al vaco! porque la escalera es una

bveda. Del mismo modo el trompetista de la izquierda podra saltar por laventana y estara sobre una bveda, pero el que toca la trompeta a la dere-cha, si saltase por la ventana, caera tambin al vaco. Para estudiarlo mejorhemos partido en tres zonas el grabado.

E ste grabado de M.C.Escher es una desus creaciones enlas que el autor buscacrear en el espectadorun autntico shock. Elgrabado representa unescenario aparente-mente sencillo, casisimtrico respecto dela vertical central. Sinembargo un mnimoexamen nos envolveren la confusin. Si loobservamos detenida-mente veremos queabajo se transforma enarriba y fuera pasa aser dentro. Es un espa-cio imposible.

CONVEXO Y CNCAVO, litografa 1955

LA MAGIA DE LA MIRADA

EL HOMBRE SESIENTA SOBRE LA

SUPERFICIE

EL TROMPETISTASALTARA SOBRE

LA BVEDAEL TROMPETISTA

SALTARA AL VACO

LA CONCHASE PUEDE

VER COMO

UNA FUENTE

CONVEXA

VACA

LA BVEDA SEVE DESDE SU

EXTERIOR

LA VENTANASE APRECIA

DESDE ARRIBA

LA VENTANA SEAPRECIA DESDE

ABAJO

LA BVEDA SEVE DESDE SU

INTERIOR

LA CONCHATAMBIN SE

PUEDE VER

COMO UN

PLAFN

CNCAVO QUE

CUELGA DEL

TECHO

PERO LACERMICA CUELGA

DEL MISMO PLANO