Lolita Brain 1a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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  • 7/25/2019 Lolita Brain 1a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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    por Lolita Brain

    A pesar de parecer una disciplina infalible e incluso dogmtica, la matemti-ca, su significado, su aplicabilidad al mundo real, su esencia y su origenhan sido tema de debate intenso en todos los tiempos. Los grandes mate-mticos han reflexionado siempre sobre lo que la matemtica es y significa.Hemos seleccionado unas reflexiones de famossimos matemticos de to-dos los tiempos en las que trasmiten su preocupaciones y sus convencimientossobre estos temas. Vers que en el debate aparece la pregunta de siempre desi el mundo es como es, o si es as slo porque es como lo percibimos.

    [email protected]

    HAY UNA AR-MONA OCULTA,INHERENTE A LA

    NATURALEZA,QUE SE REFLEJA

    EN NUESTRAS

    MENTES BAJO LA

    IMAGEN DE SIM-PLES LEYES MA-T E M T I C A S.STA ES LA RA-ZN POR LA QUE

    LOS FENMENOS

    DE LA NATURA-LEZA SON PRE-DECIBLES ME-

    DIANTE UNA COMBINACIN DE OBSERVACIONES

    Y ANLISIS MATEMTICO. UNA Y OTRA VEZ ENLA HISTORIADE LA FSICA ESTACONVICCIN, O DE-BERA DECIR ESTE SUEO, DE ARMONA EN LA NA-TURALEZA HA CONSEGUIDO LOGROS MS ALL DE

    NUESTRAS EXPECTATIVAS. HERMANNWEYL(1885 - 1955).

    NO TEMA PROCLAMAR POR DOQUIERQUEDIOS ESTABLECI ESTAS LEYES ENLANATURALEZADE LAMISMAFORMA QUE

    UN SOBERANO DICTA LEYES EN SU REINO.Y AS COMO UN REY TIENE MS MAJES-TAD CUANTO MENOS CONOCIDO FAMI-LIARMENTE ES POR SUS SBDITOS, AS

    NOSOTROS TAMBIN JUZGAMOS LA GRAN-DEZA DEDIOS COMO INCOMPRENSIBLE YNO PENSAMOS QUE CARECEMOS DE REY.OS DIRN QUE, SI DIOS ESTABLECIESTAS VERDADES, PODRA CAMBIARLAS,LO MISMO QUE UN REY CAMBIA SUS

    LEYES; A LO QUE RESPONDERIS QUE,EFECTIVAMENTE, ES POSIBLE SI SUVOLUNTAD PUEDE CAMBIAR. PERO YOCONSIDERO ESAS VERDADES COMO ETER-NAS E INMUTABLES LEYES. REN DES-CARTES (1596 - 1650) CARTA ALPADREMARIN MERSENNE (1630)

    CUANDO ESCRIB MI TRATADO SOBRE NUESTRO SISTE-MA, TENAPUESTA LAESPERANZA ENQUE TALESPRINCI-PIOS AYUDARAN A LOS HOMBRES A CREER ENDIOS; YNADA ME REGOCIJA MS QUE ENCONTRARLOS TILES

    PARA ESTOS PROPSITOS. SIRISAAC NEWTON (1643 -1727) EN CARTA AL REVERENDO RICHARD BENTLEY.

    CARECE MOS EN NUES TRO

    CONOCIMIENTO DEL ESPACIO,DE LA COMPLETA CONVICCINDE LA NECESIDAD DE NUES-TRA GEOMETRA(Y TAMBINDE SU ABSOLUTA VERDAD),QUE ES COMN A LAS MATE-MTICAS PURAS; DEBEMOSAADIR HUMILDEMENTE, QUESI EL NMERO ES EXCLUSIVA-MENTE UN PRODUCTO DE

    NUESTRA MENTE, EL ESPACIOTIENE UNA REALIDAD FUERA

    DE ELLA Y NO PODEMOS PRES-CRIBIR COMPLETAMENTE SUS

    LEYES. C. FRIEDRICH GAUSS(1777- 1855) DEUNA CAR-TA AL FSICO BESSEL, 1830.

    NO DEBEMOS OLVIDAR JAMS QUE[...] TODAS LAS CONSTRUCCIONESMATEMTICAS, NO SON MSQUE NUESTRAS PROPIAS CREACIONES.C. FRIEDRICH GAUSS (CARTA ABESSEL, 1811).

    EN LA MEDIDA EN QUE LAS PROPOSICIONES DE LAS

    MATEMTICAS DAN CUENTA DE LA REALIDAD, NO SONCIERTAS; Y EN LA MEDIDA EN QUE SON CIERTAS, NODESCRIBEN LA REALIDAD... PERO ES CIERTO, POR OTRAPARTE, QUE LASMATEMTICAS EN GENERAL, YLAGEO-METRA EN PARTICULAR, DEBEN SU EXISTENCIA ANUESTRA NECESIDAD DE APRENDER COSAS ACERCA DE

    LAS PROPIEDADES DE LOS OBJETOS REALES.ALBERTEINSTEIN (1879 -1955) ENASPECTOS DE LARELATI-VIDAD(1921).

    PODEMOS CONSIDERAR EL ESTADOPRESENTE DEL UNIVERSO

    COMO EL EFECTO DE SUPASADO Y LA CAUSA

    DESU FUTURO. UNAINTELIGENCIAQUE

    ENUN MOMENTO

    DADOCONOCIE-RA TODAS LAS

    FUERZAS QUE

    ANIMA N LA

    NATURALEZA

    Y LAS POSI-CIONES MU-TUAS DE LOS

    SERES QUE LA

    COMPONEN. SIESTA INTELI-GENCIA FUERA

    LO SUFICIENTE-

    MENTE PODEROSACOMO PARA SOMETER

    TODOS LOS DATOS AL

    ANLISIS, PODRA CONDEN-

    SAR EN UNA NICA FRMULA EL MO-VIMIENTO DE LOS GRANDES

    CUERPOS DEL UNIVERSO YEL DE LOS MS LIGEROS

    TOM OS: PARA UNAINTELIGENCIA DE

    ESTE TIPO NADA

    PODRA SER IN-CIERTO, Y EL FU-TURO, EXACTA-MENTE LO MIS-MO QUE EL

    PASADO, ESTA-RA PRESENTE

    ANTE SUS

    OJOS. PIERRE-SIMON LAPLACE

    (1749 -1827),padre de la qu-

    mica, y agnsti-

    co, rechazaba cual-quier creencia enDios como matemtico

    y arquitecto del universo.

    Descartes, a pesar de ser un hom-bre muy piadoso, aqu niega la ideade que Dios pueda intervenir cons-tantemente en el funcionamientodel mundo, dotando de valor su-premo la invariabilidad de las le-

    yes naturales.

    y aada a continuacin, en una de sus msclebres frases sobre la ciencia:

    N E W T O N P O R WI L L I A M B L A K E

    Surge aqu un enigma que ha inquietado a los cien-tficos de todas las pocas. Cmo es posibleque las matemticas, un producto del pensa-miento humano que es independiente de laexperiencia, se acomode tan extraordinaria-mente a los objetos de la realidad fsica? Pue-de la razn humana, sin la experiencia, des-cubrir mediante el pensamiento puro pro-

    piedades de las cosas reales?

    AULADE EL M UN DO

    8

    ENCUALQUIERTEORAPARTICULARSLOHAYDECIENCIAREALLOQUEHAYADEMATEMTICAS.INMANUELKANT (1724-1804)

    LA S MATEMTICASY LA REALIDAD

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    La aritmtica con nmeros naturales no slo nos sirve para contar, tambin la di-versin parece estar entre los nmeros. A medio camino entre la magia y larealidad, no es difcil penetrar en la mente de un amigo y, con sencillas opera-ciones, conseguir desvelar el misterio de un nmero que el otro habr pensa-do y que, como no, pensar que slo en su mente est. Te proponemos cincojuegos de adivinacin que Harry Potter nos desvel.

    po r L olita Brain

    www.lolitabrain.com

    MAGIA MATEMTICA

    O LGICA NUMRICA?

    Harry, he obtenido 63, ycomo puedes ver, por supuesto

    que scalcular.

    Draco, piensados dgitos que desees.Voy a adivinarlos si t tedejas. Para ello multipli-ca por dos el primerode los dos nmerosque has pensado ysmale ocho alresultado.

    Mi querido Draco: los nmerosque t pensaste son el seis y el tres!

    A que s?

    Si erescapaz Draco,cosa que dudo,suma el segun-do nmero quepensaste y res-ta 40. Dime elresultado.

    Toma el nmero de tu calzadoy que multiplicarlo por dos tendrs.

    Suma tres al resultado.Para multiplicar el resultado

    por 500 quizuna calculadora tendrs que utilizar.

    Si tu edad conoces, smala al nmeroanterior.

    Extraa resta te obligo a realizar,pues 2.620 tendrs que quitar.

    Dime el resultado, que seguro que cincocifras tendr.

    Si 1.120 sumo a tu nmero, la magiade los nmeros

    la respuesta deseada me proporcionar.Pues a la izquierda tu calzado estar.Un cero en el centro resultado habr.Y a la derecha slo tu edad quedar.

    42 x 2 =8 484+3=8787x500=43500

    43517-2620=4089743500+ 17 =43517

    40897+1120= 42 017

    La edad de tu madre has demultiplicar por diez. Fcil es,pues slo un cero aadirdebers. (520)El nmero de tushermanos, donde has deincluirte t, slo pornueve multiplicarhabrs de.(27)Resta del primer cl-culo el segundo, queseguro que menor

    ser. (520-27=493)Al decirme este nmero

    la respuesta me dars:49+3=52 es la edad de tu

    madre y t, tres hermanos ten-drs. A que s?

    HARRY POTTER ADIVINA LA EDAD DE TU MADREY EL NMERO DE HERMANOS

    Slo de tres cifras un nmero debes pensar.Sin darle la vuelta a su lado pondrs.Mltiplo de siete siempre resultar.As que con la calculadora dividirlo por sieteexactamente siemprepodrs.De nuevo por oncedividirlo podrssin que resto alguno que-de al final.Por ltimo, ms difcil,entre trece dividirsnada quedar de restoy aun es ms, el cocienteque tengasel nmero original ser.

    32 5

    32532546475

    4 2 2 532 5

    00

    0

    7

    13

    325325

    11

    Un nmero no capica por pensar empezars.

    No me lo digas pues adivinar tus cuentas voy a.

    Cambia el orden de sus cifras para que vuelto del revs sea ahora.

    Uno ms grande que el otro ser.

    Resta del mayor el que sea ms pequeo de los dos.

    Una vuelta ms, al resultado anterior tendrs que dar.

    Derecha a izquierda, izquierda a derecha.

    El del centro en su sitio deber estar.

    Los dos invertidos anteriores sumarlos tendrs.

    Mi magia me dir qu resultado obtendrs:

    pues1.089siempre sacars.

    HARRY POTTER ADIVINA TODOS LOS CLCULOS QUE T REALIZAS

    Ahora por cin-co este nme-ro lo has demultiplicar(...seguroque le sale 100,pero l no losabe)

    Qu sencillo,me sali 100

    pero Harry seguroque no losabe

    Harry se cree muy listo!(es 20 mi

    resultado)

    APUESTO DRACO, QUE ADIVINO TU PENSAMIENTO

    11

    LA MAGIA DEL SIETE, EL ONCE Y EL TRECE LA RESPUESTA ME DA

    NI TU ZAPATO NI TU EDAD TIENEN SECRETOS PARA M

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    AULAD E E L M U ND O

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    EL BUSCADOR DE PLATA LA DESAPARICIN DEL CUADRADO

    SIN TIEMPO PARA ESTUDIAR

    BEN-IBRAH, EL INGENIOSO AMANTE

    Los divertimentos de lgica encierran algunas veces profundos conceptos o necesi-tan de mtodos especiales para resolverlos. Otros, en cambio, slo encierran unengao en sus palabras. Hemos seleccionado cinco problemas de lgica: dos con-tienen un truco y no son ciertos, uno es un modlico ejemplo de pensamiento lateralque da la vuelta al problema suscitado. El problema del minero de plata encierra laaritmtica binaria y por ltimo reseamos un ejemplo de la reorganizacin geomtri-ca. Que te gusten y los resuelvas!

    po r L olita Brain

    VERDAD Y TRUCOEN LOS ACERTIJOS

    Un empobrecido buscador de plata, slotena una barra de este metal de 31 cm.Ante la exigencia de su casera de no darle

    ms crdito y de tener que pagar cada da elprecio de la renta, el minero le propuso losiguiente. Como estaban en marzo, cortara labarra en 31 trocitos. Cada da le dara uno a lacasera y al llegar al 31, si tena el dinero de larenta, ella le devolvera la barra de plata enpedazos. Hacer los 31 trozos era muy laborio-so, por lo que el minero pens que podra solu-cionar su problema con menos cortes. Porejemplo, podra hacer 2 cortes de 1 cm y otrode 2. Los dos primeros das entregara una delas partes de 1 cm y el tercero dara a la caserala de 3 cm, que le devolvera los dos de 1 cm.Se pregunt entonces,cul ser el mnimonmero de cortesque deberrealizar a labarra?

    Alberto, un mal estudiante de E.S.O., fue inquirido por sus padres para que les expli-cara a qu eran debidos los malos resultados en sus evaluaciones. Alberto,que era ms listo de lo que sus padres imaginaban, les contest: Mirad, el

    problema es que no me queda tiempo para estudiar. Si hacemos cuen-tas sobre el tiempo que invierto en algunas actividades, lo compren-deris. Duermo ocho horas diarias, lo que suponen 122 das alao; no hay clases los sbados ni domingos, que hacen untotal de 104 jornadas; y en verano hay vacaciones a lo largo de60 das. Necesito tres horas diarias para comer, lo que suponenms de 45 das completos al ao, y si ponemos dos horas paraocio, me dan algo ms de 30 jornadas. Total, estas actividadessuman 361 das en un ao. Como veis, el problema es que no me que-da tiempo ni para ir a la escuela. Los padres de Alberto quedaronboquiabiertos, preguntndose cmo es posible que vaya a clase si elpobrecillo no tiene tiempo?

    Elmenornmeroposibledetrozosquehandeefectuarseenlabarradeplatasoncinco.Handemedirexactamente1,2,4,8y16centme-troscadauno.Elloslebastarnparapoderpagarasucaseralos31dasdemarzo.Porejemplo,elda17leentregarlostrozosde

    1+2+4+8ylacaseraledevolverlapartede16cmdeldaanterior.Esteprocedimientosebasaenelsistemadenumeracinbinarioque

    usanlosordenadores.

    Alcambiardelugarlaspiezas2y3,cadaunodeloscuadradospequeosquesehancortadosehacenunpocomsaltosqueanchos.As,elcuadradofinalnoesrealmenteperfecto.Sualturasehaincrementadoparaaumentarensuperficietantocomoelcua-draditoazulqueaparentementehadesaparecido.

    EltrucodelengaoconsisteenquealgunasdelasactividadesquemencionaAlbertosesolapaneneltiempoysecuentandosvecesenelcmputototal.Porejemplo,delos122dasalaoqueduerme,bue-napartedeelloscorrespon-

    denasuperiododevacaciones;duranteestosdastam-binduermeycome,etc.As,Albertocontabilizavariasveceslosdas,motivoporelquenolequedatiempoparairalcolegio.

    Paul Curry, ciudadano neoyorqui-no, invent un curioso problemade geometra. Tomando un cua-

    drado de cartulina como el de la pri-mera figura de la derecha, propusoque se recortaran las piezas segnse indica. Reorganizando las mis-mas partes, pero ahora segn lasegunda figura, se obtiene un nuevocuadrado al que le falta un pequeocuadradito azul. Dnde ha ido aparar dicho cuadrado? Hay trucoo es verdad esta desintegracinde parte del cuadrado?

    Cuenta una vieja leyenda que Yusuf, emir deDamasco, deseaba impedir la boda de su hijaShafila con Ben-Ibrah, un pobre comerciante

    del que ella estaba perdidamente enamora-da. Yusuf se negaba repetidamente a lapeticin de Shafila, pero ante su insis-tencia convino en darle una oportuni-dad. De este modo les propuso quel escribira en dos trozos de perga-mino las palabras boda y destie-rro. Ben-Ibrah escogera del tur-bante del emir uno de los dospergaminos. Su destino quedaramarcado por la palabra del trozo queescogiera al azar. Yusuf, que no iba a

    consentir que su hija se saliera con la suya, escribien ambos la palabra destierro. Pero el comerciante,

    que aunque pobre, no era ingenuo, imaginla treta del emir. Claro, no poda decirlo

    y dejarle en evidencia delante de sucorte, y por otro lado, slo desea-

    ba su boda con Shafila. La prue-ba se realiz y al cabo de unosdas, Ben-Ibrah y Shafila dis-frutaban felices de una maravi-llosa fiesta de boda. Qupudo hacer el comerciantepara escapar de la trampa de

    Yusuf?

    El exigente y lgico teniente deartillera britnico Smith siem-pre pona a prueba a sus subor-

    dinados. En una ocasin, habien-do cado enfermos algunos de lossoldados de un batalln, slo 17 sepresentaron a la habitual revistamatutina.A Smith slo se le ocurri increparal sargento McCormitt:- Forme a estos soldados en cua-tro filas de cinco personas cadauna!- Pero seor, si son slo 17. No es

    posible -le contest el sargento.-Usted estudi geometra en la Aca-demia. Cumpla mis rdenes o seatendr a las consecuencias -le res-pondi el teniente malhumorado.McCormitt se qued pensativo unrato y al final, respondi:- A sus rdenes mi teniente.Y en un instante form a los 17 sol-dados segn las rdenes recibidas.

    Cmo organiz McCormitt a subatalln para cumplir las rdenesde Smith?

    Ben-Ibrahpens:Seguroqueelemirhaescritoenambospergaminoslapalabradestierro.Perosilodigoenpblicoquedarcomountramposoymehardesterrarigualmenteporhaberleofendido.Asquenopodatomaruntrozoymostrarlo.Tomunodelospedazos,loleyparasyactoseguido,

    gritandodejbiloaShafila,lorompienmilpedazos.

    -MiqueridaShafila,tupadremostraratodoseltro-zoqueltiene.Alhaqueridoquenoscasemos!Paranoquedarcomountramposo,elemirnotuvomsremedioquemostrarelpergaminoquequeda-baensuturbante,quelbiensabaquetenaescrita

    lapalabradestierro.Portanto,Ben-Ibrahslo

    pudohaberelegidoelquetenaescritoboda.

    EL LGICO SARGENTO McCORMITT

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    por Lolita Brain

    Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

    Un granjero tie-ne 30 cerdos,20 caballos y

    50 vacas. Si lla-mamos vacas alos caballos,cuntas vacastendr estegranjero?

    En cierta ocasin, el famoso detective belga creado por Agatha Christie,HerculesPoirot, fue llamado para dilucidar un envenenamiento ocurrido en el transcursode una fiesta. Al parecer, el asesino coloc el veneno en la ltima copa de la que

    bebi Sir John de Lancaster. Con la confusin de su repentina muerte, nadie podaasegurar cul era esa trgica copa, en la que pudieran hallarse huellas del asesino.Hacer examinar todas y cada una de las copas era un proceso muy costosoadems de lento. Con la inteligencia que le caracteriza, Poirot cont las copasque haba en el saln y dijo escuetamente al anfitrin:- Sir Harris, tenga la amabilidad de escoger una copa cualquiera de las que estna su alrededor y llevmosla a analizar.- Pero as desperdiciaremos un anlisis -replic Sir Harris.- Le puedo asegurar que no haremos ni uno ms ni uno menos de los que hayque hacer: analizando exactamente ocho copas sabremos de la que bebi SirJohn.Unas horas y ocho anlisis despus, Poirot volvi con la copa envenenada en sumano.Si en el saln haba entre 100 y 200 copas, cmo pudo Poirot con slo ochopruebas encontrar la copa que mat a Sir John? y, cuntas copas haba, para

    que el primer anlisis se pudiera hacer con cualquiera de ellas?

    Las cuatro monedas de la imagen forman un cuadrado.Moviendo slo una de sitio, podras hacer dos hilerascon tres monedas cada una?

    Con tan slo seis cerillas,debes ser capaz de construirocho tringulos equilteros,

    es decir, con tres lados igualescada uno. Los ocho tringulosno tienen por qu tener las mis-mas dimensiones.

    Despus del agotamiento mental que tendrs tras los exmenes, nada mejor para rela-jarse que resolver unos curiosos problemas lgicos que pongan a prueba tu ingenio. Tepresentamos versiones de algunos problemas famosos. Por ejemplo, el dilema delgranjero es una versin de una respuesta contundente que proporcion Lincoln a unadversario poltico. Las copas de Poirot son un modelo que se utiliza en muchas situa-ciones reales. Adems te proponemos dos cuestiones clsicas con cerillas y monedas yuna tpica de relojes, similar a otras con jarras que seguro conoces. Que te diviertas.

    PON TU INGENIOA TRABAJAR

    LA PARADOJA DE LINCOLN

    UN CLSICO CON CERILLAS

    Y UN CLSICO CON MONEDAS

    LOS HUEVOS COCIDOS

    Sevuelvenlosdosrelojesalavezqueseponeelhuevoenelagua.Cuandoelrelojdesieteminutoshaacabado,seledalavueltadenuevohastaquetermineelde11minutos.Enestemomentohantranscurrido11minutos...peroelrelojdesieteminutostieneabajootroscuatro!Ledamoslavueltaycuandoacabe,loshuevosestarncocidospueshabrnpasadoexactamente11+4minutos.

    Bastaconcolocarunamonedacualquierasobrelaqueestensu

    diagonal.Deestemodotendremosunesquematriangularenelquehaydosfilasycadaunatienetresmonedas.

    SlotienesquecomponerunaestrelladeDavidformandodostringulosconlasseiscerillaseinvirtiendouno.Tendrsasseistringulospequeos,laspuntasdelaestrella,ydosgrandes.Todosellossonequilterosaunquedos,dedistintotamao.

    Elmodomsrpidodeencontrarlacopaenvenenadaesporelprocedimientodedivisinbinaria.Sehacendosgrupos,cadaunoconlamitaddetodaslascopas.Semezclademodoseparadopartedelcontenidodetodaslascopasdecadamitad,demodoqueelvenenoestarenunadelasdosmezclas.Seanalizaunadelasmezclasresultantes.Siseencuentraelvenenoenellaserepiteelprocesoenesamitaddelascopasvolviendoasepararlasendosmitades.Sinoseencuentra,elvenenoestarenlaotramitad.Sabiendoque

    27

    =128y28

    =256,cuandoPoirotcontlascopassupoalinstantequeslonecesitabaochopruebascomomximo.Porotraparte,sihaba129copas,Poirotpens:necesitarunexamendeunacopacualquierayluegosistanotieneelveneno,alquedarme128copas,realizarlosotrossieteanlisis.

    Elgranjerotendrexactamentelasmismas50vacas.Pormuchoquellamevacasaloscaballos,estosnovanadejardeserlo.LapreguntaesttomadadeunaancdotadeAbrahamLincoln,elpresidenteabolicionistadelosEstadosUnidos.Secuentaquealestardiscutiendoconunciudadanopartidariodelaesclavitud,steledijoquelaesclavitudnoeraesclavitudsinoproteccionismo.Lincolnlereplic:-Ysidecimosqueelrabodeunperroesunapataynounraboconvendraustedquelosperrostendrancincopatas?Imaginoqueno,puestoquecambiarelnombredelascosasnocambialascosas.

    Disponemos de dos relojes de are-na que miden11y7minutoscadauno. Con ellos debemos realizar

    una coccin perfecta de un huevo,que se cocina en 15 minutos exacta-mente. Cmo puede hacerse?

    LAS COPAS ENVENENADAS DE POIROT

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    AULAD E E L M U ND O

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    Te proponemos esta sema na unos se ncillos problemas que necesitarn d e tu inge-

    nio pa ra que los resuelvas. Dos d e ellos , el del zumo y el de los tring ulos s on de

    sentido comn. El problema d el cubo ha ce uso d e una sencilla propiedad de los

    cuad rados pa ra su solucin. La respuesta a l enigma del marido q ue se a delanta en

    su vuelta a ca sa es a lgo ms difcil pero solo necesita que pienses detenida mente

    en el recorrido propuesto, y por ltimo, e l prob lema del autob s s lo nece sita de tu

    obs ervacin. Que te diviertas.

    DEL TRABAJO A CASA

    Roberto sale de la oficina todos los das a las 17:30. Tras ac ercarse a la estacin de

    tren a pie, coge el tren de las 18:00 y llega a la estacin de Alcal donde vive, a las

    18:30. Su espo sa Ana sale todas las tardes d e su ca sa e n coche y llega a la esta-

    cin exactamente a las 18:30, hora a la q ue recoge a Rob erto del tren para llevarle a

    cas a.Un da Roberto sa le a ntes de la o ficina y decide toma r el tren de las 17:30 que

    lleg a a la esta cin de Alca l a las 18:00. Al llega r Ana no e st e n la esta cin y dec ide

    echarse a anda r al encuentro de su mujer. Ana co mo es no rmal, sale de c asa a la mis-

    ma hora q ue todos los das. En un punto del camino encuentra a Roberto caminan-

    do, le recog e, da media vuelta y se d irigen a cas a a la que llega n 10 minutos antes

    que cualquier da. Si los trenes son complementamente puntuales Cunto tiempoestuvo andando Roberto hasta que le encontr su esposa?

    LA MITAD DEL CUBO

    Dos hombres es tn frente a un cubo d e meta crilato relleno con cierta

    cantidad de ag ua. S e preguntan cmo averiguar s in utilizar instru-

    mentos de medidas, si el cubo est lleno

    exactamente a la mitad de s u capaci-

    dad o si bien est a menos de lamitad o a ms. Puedes

    ayudarles aresolver su pro-blema?

    DIVIDIENDO TRINGULOS

    En la siguiente figura hay

    exactamente dieciseis

    trin gu los idnticos . Te

    pedimos que averigues encuntas partes iguales hayque dividir el rectngulopara que en cada una de

    ellas haya exactamente el

    mismo nmero de tring ulos. LOS NUEVOS AUTOBUSES

    En la parada del autobs, Laura o bserva a contraluz los nuevos autobuses de turis-

    mo pa ra jovenes q ue ha e strenad o el Ayuntamiento de Madrid. Al obs ervar deteni-

    damente lo que ve, se siente incapaz de averiguar hacia qu lugar se mueve.

    Puedes decirle si se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha? Por qu?

    LlamemosAalpuntodeencuentro.Elahorrodelos10minutosprocedenexclusiva-

    mentedeltrayectoquevadesdeelpuntoAhastalaestacinydelaestacinaA,

    pueselrestodelcamino-decasaalpuntoA-lorealizacomotodoslosdas.Supo-

    niendoqueseinviertelomismodeAalaestacinquedelaestacinaA,desdeel

    puntodeencuentroalaestacinseinvierten5minutos.ComoAnallegatodoslos

    daspuntualmente

    alas6:30alaesta-

    cin,hatenidoque

    recogerasumarido

    alas6:25.Portanto

    Robertohaestado

    andando25minu-

    tos.

    Loqueesseguroesquealautobstienealgunapuerta,peroLauranoaprecianingu-

    nacomoseveenlafoto.Portantolapuertahadeestardelotroladodelautobs,la

    quenoseve.PuestoqueenMadridseconduceporladerecha,elautobssedirige

    hacialaizquierda.

    Bastacondividirelrectnguloendospartescomolosdelafigura.

    Nadiedijoquelostringulostuvieranquesertodosiguales!.

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    PENSAR TAMBINES ENTRETENIDO

    po r L olita Brain

    Luis se ace rca a la cafetera d e su insti-

    tuto y pide un zumo de tomate. El

    camarero le pregunta Normal o

    espec ial?. Cul es la diferencia entre

    ellas?, le responde Luis. El normal cues-

    ta 90 cntimos y el especial 1 euro le res-

    ponde de nuevo el camarero. Entonces

    tomar uno es pecial le co ntesta Luis d ejan-

    do una moneda de 1 euro sobre el mostra-

    dor.De pronto entra e n el bar B eatriz y d ice:

    Un zumo de tomate, por favor, mientras

    deja un euro sob re la barra. El camarero sin

    dudarlo le pone un refresco especial sin pre-

    guntarle nada . Cmo pudo saber el cama-

    rero que Beatriz quera un refresco espe-cial?

    Almenoshaydosformasderesolverelenigma.Unoestrazarconcuidadolasdiagonalesdeunadelas

    carasdelcubo.Unavezhalladoelcentrodelcuadradodeuncara,sisteseencuentraalineadoconla

    superficielibredellquidosteestarllenoexactamentehastalamitad.Sielcentroquedapordebajodel

    aguaestarllenomsdelamitadysiquedaporencimadellquidoestarallenomenosdelamitad.Sepue-

    deconseguirelmismoefectosinmsquegirar45elcuboenlugardedibujandolasdiagonales.

    LOS REFRESCOS Y EL CAMARERO ADIVINO

    Esmuyfcil:Beatrizsacdesubolsillotres

    monedasde25cntimos,dosde10cnti-

    mosyunade5cntimos,queentotalsuma-

    banlacantidadde1euro.Sihubieraqueri-

    dounrefresconormalde90cntimos

    habradejadosobreelmostradorlacanti-

    dadexactayaquedisponadecambiosufi-

    ciente.

  • 7/25/2019 Lolita Brain 1a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

    6/9

    AULAD E EL M U N DO

    8

    por Lol ita Bra in

    Como cada ao, al llegar estas fechas navideas en las que estars cansado de estu-diar y de preparar los examnes, te regalamos unos cuantos problemas de ingeniopara que los resuelvas con tus compaeros. Esta vez hemos escogido una seleccinde enigmascaracterizada por el modo en el que se resuelven: casi todos tienen varioscasos posibles y es suficiente coger lpiz y ppel y estudiarlos. Tambien te ayudarhacer suposiciones: que pasara si... De modo que ponte a ello para que no se duer-man tus neuronas.

    E N I G M A SO L G I C A ?

    E L S AN D W IC H D E N AI P E S

    El Sandwich es un juego de naipespara tres personas. Se separan lascartas del 1 al 9 de u n palo de la

    baraja , y luego se repar ten ent rel o s t re s j ugado res . En sec re t o ,cada uno suma sus tres naipes,y gana el que tenga la suma queest justo en el me dio . El ta-hr recibe sus tres cartas y sinver las de sus rivales sabe inme-diatamen te que ya gan la partida. Qucartas recibi? Sirecibes4,5y6,quesuman15,conlas

    cartas1,2,3,7,8,9slopuedenformarseconjuntosquepierden.

    Entotalsuman30,luegosilosdividesendosconjuntosigualessumaran15cadauno.Sinoloconsigues,unosumarms

    de15yotromenosde15conloqueeljugadorqueobtuvoel4,5y6sabequehaganado.Puedenobtenerse15puntoscontrescartasdelconjunto1,2,3,7,8,9?Evidentementeno:Sitomasdoscartasdelgrupodelasmasaltas,quesumanalmenos15,altomarotramstehaspasado.Sitomasdoscartasdelgrupodelasmasbajas,altomarotradelotrogruponollegasalos15.

    Porlotanto,recibilascartas4,5y6.

    SOI S

    T ODOS UNOS

    MENTIROSOS!

    [email protected]

    Evidentementenotodospuedensermentirosos,yaquetodosparadjica-menteestarandiciendolaverdadal

    referirsealosdemscomomentiro-sos.Porlotantounoporlomenosesveraz.Yefectivamentealserunoveraz,todoslosdemssonmentirososporquealacusarloaldementirosomienten,sololdicelaverdadalacusaralosdemsdementirosos.

    R E T R I C O S Y S O F I S T A S

    Como todo el mun do sabe, entr e los ejecutivos de Wall Stre-et hay dos clases de person as: los RETRICOS que slo ha-cen p regun t a s cuya re spues t a ya saben y l o s SOFISTAS

    que slo hacen preguntas cuya respuesta no saben.

    Tres brokersse encuentran en la calle. No se conocen de an -tes, pero saben qu e trabajan en Wall Street. Se escucha lasiguiente conversacin entre ellos:Entre nos otros tres ha y algn retrico? pregun ta elprimero.

    Usted es retrico? dice el segun do, dirigindose altercero.Entre n osotros tres h ay algn sofista? pregun ta eltercero.

    Puede saberse de qu clase es cada uno?

    Elprimeropuedeserindistintamenteretricoosofista.Siesretrico,sabadeantemanoquehabaunretrico,lmis-

    mo.Ysiessofista,comonoconocaalosdemsnosabadeantemanolarespuesta.Elsegundoessofista,porquenopuedesaberdeantemanoqueseltercero.Elterceroesretrico,porqueyasabequeelsegundoessofistaporladeduccinanterior.Porlotantoslosepuedededucirlaespeciedelosdosltimos,peronodelprimero.

    Laprimeravezquesecruzan,entrelosdosrecorrenunavueltacompleta.Noimportacuntorecorricadauno;loqueimportaesquesumanunavueltaexactaentreambos.Lasegundavezquesecruzan,entreambosrecorrendosvueltasexactas.Laterceravezquesecruzan,entreambosrecorrentresvueltasexactas.Yas.sucesivas.Entonces,lacantidaddevecesquesecruzanesequivalentealacantidaddevueltascom-pletasquedanentrelosdos.Comounodio11vueltasyelotro7,entrelosdosdan18vueltas.Porlotanto,secru-zan18veces.(O17,sinoconsideramoscomocrucealltimoen-cuentro.)

    Ha r ry y P o t t e rson dos pat ina-dores sobre hie-

    lo. Entrena n en unci rcui to c i rcular.Un da, empiezan apa t i na r en e l m i s -m o m o m e n t o ydesde e l m i sm opunto , Harry en elsentido de las agu-ja s de l r el oj y P ot -t e r en e l sen t i doopues t o . Ju s t o a lmedioda vuelven acoincidir en e l pun-to de inicio: Har ryha dad o 11 vueltascom pl e t a s m i en -tras que Potter sloha com pl e t ado 7vuel tas. Cun t a sveces se cruzaron?

    L O S P A T I N A D O R E S C R U Z A D O S

    En un cong reso de econom i s t a s sehan reun ido 100 personas. De pron-to el que tiene la palabra les increpa

    a todos: Sois todos unos mentirosos!.Del asombrado au di torio se a lza o t ravoz que dice S, todos m ents. Unatercera voz se oye emit iendo el mis-mo men saje...As hasta que todos losasistentes ha repet ido la m isma fraseacusatoria a todos los dems.S i sabemos que todos los econom is-t a s e s t n hechos de t a l p a s ta que , obien siempre dicen la verdad o siempr emienten Cuntos economistas ve ra -ces hay en el congreso, si es que hay al-guno?

    Losresultadosdelospartidosfueron:A1B0A1C0A1D0B1C0B2D1C3D2

    Deestemodo,Aganatrespartidos,Bganados,CganaunoyDnogananinguno,ycadaunohizotresgoles.

    C U A D R A N G U L A R D E F T B O L

    Cuatro equipos participan de un torn eo cuadran-gular de ftbol, jugando una vez contra cada ri-val. Al final del torneo, cada equipo m eti exac-

    tamen te tres goles y cada equipo gan una can tidaddiferente de partidos. Cules fueron los resultadosde los partidos?

  • 7/25/2019 Lolita Brain 1a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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    AULA.710.12.99EL MUNDOViernes cultural. Lmina coleccionable

    por Lolita Brain

    L O S N U M E R O S . . . V A Y A H I S T O R I A !

    Seguro que si te preguntaran cul es el concepto matemti-co ms simple, t responderas que el nmero. Sin embar-

    go, no es tan sencillo como parece. De hecho, el hombretard bastante en asimilarlo y los sistemas para simbolizar

    cantidades no fueron siempre los mismos que ahora.

    Aunque no lo sepas, 2.000 aos a.C. los babilonios inventa-ron un sistema de representacin para los nmeros similaral nuestro y... al de los ordenadores! El cero por ejemplo,no se conoci hasta el siglo VI en La India. En esta pgina tecontamos el porqu de cmo contamos

    TUS PREGUNTAS POR LA RED:

    www.dailan.com/verenet/lolitabrainCORREO ELECTRONICO: [email protected]

    EN LA TECNOLOGIA DIGITAL,los nmeros se representan

    tambin en un sistema posicional, pero como en el ordenador (en laRAM o en el disco) slo se distinguen dos estados (apagado y encendi-do o, lo que es lo mismo, ony off). El problema que surgi fue cmopoder representar los 10 primeros nmeros cada uno de los cualestiene un smbolo diferente, disponiendo de slo dos estados. Lasolucin fue simple: se utiliz un sistema binario en el que las distintasposiciones, lejos de valer 10, 100, 1.000, valen 2, 4, 8, 16, etc. Porsupuesto, slo existen dos dgitos: el 1 y el 0. Claro que as, los nmerosson ms largos de escribir.

    EL SISTEMA DE NUMERACION ROMANO otorga smbolos distintos a algunascantidades especiales (1=I, 5=V, 10=X, 50=L, 100 =C, 500=D, 1.000=M) yrepresenta los restantes nmeros por adicin (11=10 +1, XI=X+I) o sustraccin(9=10-1; IX= X-I). Los clculos con este sistema de numeracin son especialmen-

    te complicados y dificultan el desarrollo de la aritmtica.

    126126

    BABILONICO. Cuneiforme.Posicional de base 60. Sin 0.Cada cifrapesa las potencias de60.600=1601=10602=3.600...

    2x60+6

    EGIPCIO.Jeroglfico.Decimal iterativo noposicional.No conocian el 0.

    100+20+6

    ARABIGO. Occidental.Posicional de base 10.(decimal). Con 0.Base 10: cada cifrapesa laspotencias de 10.100=1101=10102=100103=1.000104=10.000...

    1x100+2x10+6x1

    ROMANO.

    Aditivo capitular.No usaban el cero.

    100+20+6

    CXXVI

    1111110

    126BINARIO.Posicional debase 2(binario): cadacifrapesa laspotencias de 2.20=121=222=423=824=16...

    1x64+1x32+1x16+1x8+1x4+1x2+0x1

    COMO REPRESENTAMOS LOS NUMEROS? El sistema arbigo denumeracin, que realmente era hind y es el que utilizamos, es posicionalcomo el de los babilonios pero decimal. Esto quiere decir tres cosas:1.- Hay un smbolo especial para los 10 primeros nmeros (0, 1, 2, 3,...9);2.- Cada nmero tiene un valor determinado por el lugar que ocupa (cada 2

    de 222 tiene un valor distinto: 2 20 200);3.- El sistema numera en base al 10,es decir, cada posicin representauna potencia de 10 (decenas =10,centenas = 100, millares =1000, etc.)

    100

    1 1 1

    10

    =1x4+1x2+1x1=7

    =1x100+1x10+1x1=111

    1

    4

    1 1 1

    2 1

    La primera referencia a un sistema decimalposicional apareci en elAryabhatiya(hacia 499), obra de Aryabhata, uno de los

    grandes matemticoshindes del siglo VI. Sinembargo, la primera cifra

    escrita en este sistema quenos ha llegado es una inscripcin

    fechada en el ao 595, en la que apareceescrito el ao 346 en dicho sistema. Slo

    200 aos despus es cuando tenemosreferencia del cero por primera vez. Fueron

    pues los hindes los que, por un lado, asigna-ron un smbolo distinto a cada nmero del 1 al

    9, y observaron que el valor de estos smbo-los poda cambiar slo por la posicin

    relativa que ocuparan. Adems

    fueron conscientes de la necesidadde asignar un smbolo al vaco(cunga), que as es como denomi-naron al cero. Haba nacido elque, an hoy, es nuestro sistemade numeracin.

    EL IMPERIO BABILONICO, en elOriente Medio, desarroll unsistema de escritura en tablillasde barro sobre las que hacanmuescas con un palo: laescritura cuneiforme. Muchasde ellas registran desdeoperaciones numricasordinarias a clculos astron-micos.Los babilonios son los creado-

    res de un sistema de represen-tacin de los nmeros similaral nuestro: el posicional. Ellosse dieron cuenta de que el mismosmbolo que representaba unnmero (1, 2, 3, etc.) poda tenerdistinto valor segn el lugar queocupara. Los nmeros del 1 al 59 serepresentaban de modo similar alque lo hacan los egipcios: tenan unsmbolo para el 1 (una muescavertical) y otro para el 10 ( unamuesca como un parntesis), y losrepetan hasta obtener el nmerodeseado. Los restantes dgitos

    (desde el 60) los descomponan enmltiplos de 60, de 3.600 y assucesivamente. Los nmeros tenanun valor u otro segn la posicin enque estuvieran colocados. Noconocan el cero y, por lo tanto, dosdoses juntos podan representar 22 202 ambiguamente. Esta fue suprincipal limitacin.

    El sistema de numeracinegipcio data de hace unos5.000 aos, es decir, alrede-dor del 3.000 a.C., y nos hallegado a travs de papiros

    como el de Ahmes -o de Rhind-(Museo Britnico de Londres) oel de Mosc. Este sistema estababasado en el nmero 10 y en lse disponan de smbolosespeciales para el 1, 10, 100,1000... Estos smbolos se repet-an tantas veces como indicaranlas centenas, decenas, etc. Porsupuesto, no conocan el cero,pues la nada no necesitabasmbolo. Los nmeros se escrib-an de derecha a izquierda o alrevs. Estaban acostumbrados ausar nmerosgrandespara su poca, como atestigua una mazareal conservada en Oxford de ms de 5.000 aos de antigedad.En ella se recogen las cifras de 120.000 prisioneros y 1.422.000cabras capturadas como parte del botn de una campaa militar.

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    9/9AULA51

    LOS CHAKRASSON CENTROSDE ENERGA SITUADOS EN ELCUERPO HUMANO.PROVIENEN DE UNA PALABRASNSCRITA QUE SIGNIFICARUEDA O VRTICE Y HACENREFERENCIA A LOS SIETECENTROS DE ENERGA QUECOMPONEN NUESTRO SISTE-MA NERVIOSO.LOS PODEMOSENCONTRARSITUADOS ENLA BASE DELA COLUM-NA VERTE-BRAL, ENLOS GENITA-LES, EN ELESTMAGO,EN E LPECHO,EN LA

    GARGAN-TA, EN LAFRENTE Y EN LA CABEZA.

    P S I C O A N A L I S I S AL O S N U M E R O S ( I I )Tal y como te prometimos, continuamos contndote la psicologa de la fa-milia cardinal. Hoy es el turno del divino siete, del indispensable 10, del

    divisible 60 y del asctico nueve. Como vers, estn todos cargados de sim-bologas religiosas y algunos como el 40, tienen un protagonismo inusualen la Biblia, en la que los nmeros pares son los indiscutibles protagonis-tas. En cambio, en algunas religiones orientales, como el hinduismo, sonlos impares los que organizan la pureza del espritu y los que marcan losestados del alma hasta alcanzar la pureza plena. Como te dijimos, el ex-trao cero, ms que nmero antinmero, tiene una historia tan extensa yparticular, que le dedicaremos una prxima entrega.

    por Lolita Brain

    [email protected]

    Siete es un nmero mgico: al ob-tenerse de la adicin del 3 (la DI-

    VINIDAD) con el 4 (loTERRENAL) re-presenta la TOTALIDAD.

    Los pecados capitales del catoli-cismo son siete. Siete son los brazosdel Menorah, y siete los das de lasemana. Para la filosofa hind, loschakras son siete estadios de la es-piritualidad humana localizados a lo

    largo del

    cuer-po.

    LOS TEMPLOSHINDUISTAS TIENENFORMA DE PAGODA, CONTECHOSES-CALONADOS EN TANTOS TEJADOS

    COMO SEAEL NIVEL ESPIRITUAL DEL

    TEMPLO. EN LA FOTOPUEDES VERUNAPAGODADE 9 NIVELES, QUERE-PRESENTA EL CIELO, JUNTO A OTRADE 11, LA PLENITUD O EL NIRVANA.

    El nueve, siendo tresveces tres, represen-ta la mxima perfec-cin. En especial para

    las religiones escan-dinavas: ODN perma-neci colgado enel rbol Ygg-drasilnuevedas paraalcanzarla sabidu-ra. En Oc-cidente, la

    tradicin afirma queson nueve las esferascelestiales e inferna-les (como se puede

    leer en La Divina Co-media) Para los tao-stas, en su ma-

    yora chinos,simbolizala pleni-tud, es eln m e r odel YING-

    YANG.

    El 12, obtenido como cuatro veces(nmero femenino) tres (mascu-lino), representa el orden espi-

    ritual y terrenal. Adems, como esdivisor de 60, medidor univer-sal del tiempo, es uno de los n-meros ms temporales queexisten: 12 son los meses delao, las horas del da, 12 las dela noche. 12 son las constela-ciones del zodiaco. Y est re-pleto de simbologa judeocris-

    tiana: 12 fueron los discpulos, 12las tribus de Israel, 12 son los das

    de la Navidad. Ah! Y los Caballerosde la Tabla Redonda tambin eran 12.

    E

    l nmero 60es de los que

    ms cabal-mente han sidoadoptados his-tricamente. Sugran virtud esque posee unaenorme canti-dad de diviso-res: 1, 2, 3, 4, 5,6, 10, 12, 15, 20,30 y 60 lo que leconvierte en elcampen de losdivisores, y por

    tanto un candidato a medir lo que haba que dividir muchas veces:el tiempo. As lo entendieron los babilonios hace nada menos queunos 5.000 aos. Hasta la fecha.

    El 10 se obtiene de lasuma 1+2+3+4 , y poreso repre-

    senta la TOTALI-DADy la visinEX H A US T I V A .Por ejemplo, laobe- diencia

    del pueblo deIsrael a la vo-luntad de YAH-

    VEH se expres en los DIEZMANDAMIENTOS. Para los pi-tagricos significaba laplenitud. Tradicionalmen-te se ha representado porun tringulo con 10 puntos.

    La cspide est reservadapara el UNO, el principio

    activo. En se-gundo lugar es-tn los dos prin-cipios de losque dependerel resto, queproceden direc-tamente delUno. Los tres

    rdenes terrenal, celestiale nfernal ocupan el si-guiente nivel. Por ltimo, laTierra se refleja en el cuar-to: cuatro elementos, cuatroestaciones.

    El ocho es el primer n-mero cbico (2x2x2 =8) y por eso siempre le

    ha rodeado un halo deperfeccin. Especialmen-te para los chinos, cuya

    vida se gobierna con estenmero: los dientes salena los 8 meses y se caen alos 8 aos, a los dos ve-ces ocho (16) aos elnio se convierte en hom-bre y a los 64 (8x8) sepierde la fertilidad. Paralos budistas simboliza loscaminos para alcanzar lailuminacin

    EL MENO-RAH, BAJO ES-

    TASLNEAS, ESEL CANDELABRO

    QUE UTILIZAN LOSJUDOS EN SUS SER-

    VICIOS SAGRADOS.L AS F OR MA S E NU REPRESEN-TANLA SABIDU-RA, LAFUERZAYLA BELLE-

    LO S S IE-TE PECADOS

    CAPITALESSONLA CONTRAPAR-TIDA DE LAS TRES

    VIRTUDES TEOLGI-CAS Y LAS CUATROCAR-

    Es un nmero que, aso-ciado a la unidad, hasido muy recurrente en

    la Biblia. Moiss pas 40das y 40 noches en elMonte Sina. Jesucristopas 40 das de penitencia

    en el desierto. El DiluvioUniversal dur 40 das.Los grandes reyes judosSalomn y David reinaron40 aos, los mismos que elpueblo judo estuvo erran-te en el desierto.