7/25/2019 12a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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AULA.73.12.99EL MUNDOViernes cultural. Lmina coleccionable

por Lolita Brain

T E P U E D E T O C A R A T I . . . .

Sin saber cmo, cada da nos aventuramos a predecir elfuturo innumerables veces casi sin darnos cuenta

de lo arriesgado que es: te apuesto que..., es mas fcil estoque..., es muy probable que ..., aquello es imposible...

Son algunas de las expresiones que a diario utilizamos para

aventurar lo venidero, inconscientes de la durezaformal de tales afirmaciones. La teora del azar y su

control, no dominio, lo que llamamos procesosestocsticos o teora de las probabilidades, naci hace casi500 aos estudiando los juegos de dados.En el siglo XVII, el caballero de Mr se entretenaproponiendo problemas a Pascal con el fin de explicar

algunas de sus numerosas experienciascon los juegos de azar. Ahora queremos entretenerte a ti

Los acontecimientos gobernados por elazar nos rodean por todas partes ytratan de desvelar las reglas que rigenlos procesos cuyos resultados no sepueden conocer antes de que sucedan,

los que llamamos fenomenos aleatorios.Eso nos permite jugar a ser un pocoadivinos, estimando y conociendo elcomportamiento de estos fenmenos y, portanto, aventurando su resultado. Desde losjuegos de azar a la teora cuntica deltomo, la teora de la probabilidad juegaun papel fundamental.En los juegos es sencillo ver cmo se midela probabilidad de un resultado: se cuentanlas opciones con las que se gana y sedividen por todos los resultados posibles.El nmero obtenido mide la tendencia delfenmeno cuando ste se repite. Por eso, alhacer una quiniela, la probabilidad deacertar un pleno de 14 resultados es de unacontra 4.782.969. En los casos ms senci-llos, realizar un clculo probabilstico estan fcil como contar... slo que, a veces,contar es una tarea difcil.

Cuntas quinielas tendramos querellenar para asegurarnos un plenode 14? Son exactamente 4.782.969quinielas o apuestas o columnas.Como cada columna cuesta 50 pts.resulta un total de 239.148.450pesetas. El mximo premio otorgadopor las quinielas futbolsticas nuncase ha acercado a tales cifras, resulta

claro que es poco rentable asegurarseel pleno de 14. Por otro lado, losresultados deportivos no son causaexclusiva del azar, por lo que laspeas deportivas pronostican y gananen virtud de otros factores: cronolo-ga, fichajes, rendimiento, etc.

314

=4.782.969n de quinielas que necesitas jugar para hacer pleno a 14

315=14.348.907

Galileo Galilei (1564-1642) lleg a decir quecuando jugaba con tres dados a la suma de 10tena ms oportunidades de ganar que cuando

jugaba a la suma de 9.

En el fondo, la teorade probabilidades esslo sentido comn

expresado con nme-ros. Pierre Simon

Laplace (1749-1827)

C49,6=13.983.816n de bono-lotos que debes rellenar para asegurar el pleno de 6

La bono-loto otorga elmximo premio a lacoincidencia de los 6nmeros escogidos del 1al 49 con la combinacinganadora.Ahora bien,cunto dinero debera-

mos invertir en la bono-loto para asegurarnos un pleno al 6? Para respondernosa esta pregunta, basta con contar todas las posibles combinaciones que puedenresultar ganadoras. Eso supone contar todos los grupos de 6 nmeros que sepueden fabricar con los cuarenta y nueve primeros, ya que cualquiera de ellospuede resultar seleccionado. Ese nmero es exactamente de 13.983.816 deformas distintas. Como cada apuesta cuesta 50 pesetas, para asegurarnos el

premio deberamos invertir en un slo sorteo la cantidad de 699.190.800 depesetas. Dicho de otro modo, podramos estar durante 258.959 aos haciendocada semana una bono-loto distinta... y quizs no nos tocara nunca!

TUS PREGUNTAS POR LA RED:www.dailan.com/verenet/lolitabrainCORREO ELECTNICO: lolitabrain@hotmail.com

En el mus, un solomi-lloes una jugada queconsiste en tener tresreyes y un as y es sinduda la jugada porexcelencia. El clculo

de la probabilidad deesta jugada a primeramano, nos dice que esaproximadamente de 5ocurrencias sobre1.000 jugadas. Encambio otra jugadamuy famosa y difcil,dplex de reyes y ases(2 reyes y dos ases) esms probable quesuceda: ms de 8 vecessobre 1.000 jugadas.Por eso en el mus tienems puntos un solomi-llo que un dplex dereyes ases. El clculoes slo aproximadoporque no considera el

reparto consecutivo nilos descartes.

El sorteo de Navidad de la Lotera Nacionalpremia con 30.000.000 de pesetas el billetegalardonado con el primer nmero del

sorteo. Cada billete cuesta 3.000 pesetas y,como en total hay 100.000 nmeros distintos,

deberamos invertir 3.000 x 100.000 =300.000.000 (trescientos millones!) de pesetaspara asegurarnos el primer premio. Un negocio

poco rentable.

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La celebracin del sorteo d e la Lotera d e Navida d se ha c onvertido a lo largo d e sudilatad a historia e n un rito con el que da comienzo la Navidad. Incluso las personasno jugad oras suelen participar en este so rteo. P ero, es realmente esta lotera un jue-go rentab le? Para co mprender su rentab ilida d pod emo s realiza r distintos c lculosproba bilsticos q ue nos informen de la po sibilida d d e q ue un nmero resulte premiado.El so rteo s e realiza po r el sistema tradicional, un bombo para nme ros y otro parapremios e n el que s e cuida esp ecialmente la eq uiproba bilidad de c ad a nmero.

po r L olita Brain

L A S U E R T EE N N M E R O S

Infografa y t extos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

EL REINTEGRO

LA PROBABILIDAD DEL GORDO

TODAS LAS TERMINACIONES SONEQUIPROBABLES , LO MISMO QUE SUCEDECON TODOS LOS NMEROS DELSORTEO

Puesto q ue en el bombo s e encuentran las bolas d e los 85.000 nmerosque participan, y toda s tienen la misma proba bilida d d e ob tener el pri-mer premio, pa rticipand o co n un slo nmero se d ispone de una pro-

babilidad de1/85.000de o btener el mximo premio. Esta proba bilidad esdel orden de12 a 1.000.000, es dec ir, muy baja. Expresa do d e otro modo,si quisiramos aseg urarnos de q ue nos tocara el gordo, deberamos com-prar un dc imo de c ad a nm ero q ue pa rticipa , es d ecir, invertir 85.000 x 20= 1.700.000 E , obteniendo en este caso una recompensa de tan solo530.000E con los premios importantes. Un mal negocio a tod as luces.

El premio d el reinteg ro con siste en ladevolucin de la cantidad jugadaen el sorteo si hay coincidencia

entre el nmero final con el que sejuega y el que o btenga el primer pre-mio. Como el nmero con el primerpremio terminar en alguna de lascifras 0, 1, 2,...9 y entre los 85.000nmeros distintos q ue pa rticipan ha y8.500 nmeros acabados en cadauno de estos dgitos, la probabilidadde o btener el reintegro e s d e 1 a 10.Como hay 180 billetes q ue tendrn lamisma terminacin que el gordo, ycad a uno cuesta 200 E , en cada so r-

teo se d evuelven 36.000E

.

NO TE DEJES ENGAAR

Algunas administraciones delotera parece que estn toca-das por el hada de la suertey,

en sucesivos aos, en ellas sereparte alguno de los grandespremios. Esto hace pensar aljugador que comprando unnmero de los que venden estasafortunadas administracioneshay ms posibilidad de obtenerun premio. No es as. Los nme-ros que vende cada administra-cin de lotera son igualmenteprobables, es decir, el nmero

premiado con el gordono tiene

ninguna d ependenc ia c on el luga rque lo vende. Lo que ocurre esque estas ad ministraciones, p or lademanda originada por su fama,pueden comprar muchas seriesde muchos nmeros distintos,aumentando la probabilidad deque a lguno de ellos sa lga premia-do. P or ejemplo, la Navidad pa sa-da (haba 66.000 nmeros), unafamosa administracin comprnada menos que 5.000 nmerosdistintos, lo que le proporcionabauna a ltsima probabilida d d e ca si

el 8%de o btener el gordo.

Cad a d cimo se pone a la venta al precio de 20E , o lo que es igual, ca da billetecuesta 200E . Por tanto, el valor de emisin de tod o el sorteo de Navida d es d e:

de los q ue se de stina pa ra premios el 70%, es d ecir, 2.142 millones de eurosque s e reparten entre 24.001.200dc imos que o btienen algn tipo de premio.

C a d a serie secompone de 10fracciones, lla-madas tambindcimos. As quelos premios sereparten entre153.000.000 dedcimos.

Los premios ma yores del sorteo deeste ao son:1 primerpremio de 3.000.000E .1segundopremio de 1.000.000 E .1tercerpremio d e 500.000E .2cuartospremios de 200.000 E .8quintos premios de 50.000 E .Cad a uno de estos premios seotorga a toda s las series delnmero premiad o.

C a d a nmero se emite en180 series diferentes ynumeradas, que componelo que se llama un billete.Por tanto se emi-ten nada menosque 15.300.000billetes.

85.000 nmeros

Inversin1.700.000 EGanancia530.000E

NMEROS, BILLETES Y DCIMOS

En todo juego es importanteconocer la cantidad de ele-mentos que participan del

azar y la cantidad de premiosque se ofrecen.Veamos cmo sedesglosa el sorteode Navidad en laedicin de esteao 2006.

85.000 nmeros x180 series x200 E = 3.060.000.000E

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El que es considerado uno de los padres de la computabilidad, el que

des cifr los c digos de los na zis en la II Guerra Mundial des cod ifica ndo

la mquina Enigma, el que trabaj en el primer centro de clculo

automtico de Inglaterra con el ordenador Mark I,

el mismo q ue fue condecorado nada ms y na da

menos que con la Orden d el Imperio B ritnico en

1946, fue vctima de un arcaico sistema judicial

que le llev al suicidio en 1954, cuando contaba

42 ao s. Nos referimos a Alan M. Turing.Perteneciente a una familia colonial britnica,

Alan fue fruto del encorsetado sis tema socia l

britnico de la poca victoriana. Un mundo en el

que la doble moral estaba a la orden del da. De

este m odo , las relac iones ntimas eran reprimida s

en pblico y consentidasen privado .

De i gua l modo suced a en l a s i n s t i tuc i on es

pbl icas de enseanza , donde Alan se educ.

Primero en el Sherborne College y despus en el

Kings College de C amb ridg e, las relaciones entre

a l u m n o s s e p r a c t i c a b a n , d i s i m u l a b a n y

cons entan mientras no sa lieran d el campus.

A l a n d e s c u b r i s u c o n d i c i n h o m o s e x u a l

a l reded or de 1 92 8 a l con ocer a Ch r is toph er

Morcom, con quien mantuvo un amor platnico que le marcara para

siempre. La desgracia lleg cuando Chris falleci con 18 aos en 1930.

Su mue rte ma rcara a n ms la vida ya de po r s solitaria e introvertida de

Alan, quien, no obstante, mantuvo siempre su sexualidad activa. Hacia1945, cuando trabajaba en el ordenador Colossus, le ofreci ma trimonio a

J o a n C la r k, u n a d e s u s c o l e g a s e n B l e tc h le y P a r k, q u ie n a c e p t

gus tosa mente. Turing hubo d e retrac tarse de spus del ofrecimiento,

hablndole a su prometida acerca de su condicin sexual. Aunque lo

peor estab a po r llegar.

En la Navida d d e 1951, Turing e ntab l una relacin co n

un joven desempleado de Manchester. A principios de

1952, su ca sa fue as altada por un amigo d e su a mante, y

Turing a cud i a la polica, s in revelar su relac in. Cua ndo

se des cubri la historia completa, a rrestaron a Turing porindecencia, y le llevaron a juicio el 31 de marzo de 1952.

En la corte, Turing no neg s u homos exualida d, y expuso

una defensa de sus preferencias,

q u e m a n i f e s t h a b e r

mantenido durante toda su

carrera , incluso cuando

t r a b a j a b a p a r a e l

g o b i e r n o e n

Mnchester. Eso le vali

ser condenado a prisin,

pen a q ue con mut por

un ao de t ra tamiento

c o n e s t r g e n o s

( h o rm o n a s f e m e n in a s )

que le causaron impotencia, y le hicieron

b r o ta r s e n o s . P a r a l , q u e h a b a s i d o

c o r r e d o r d e f o n d o t o d a s u v i d a , l a

humillacin recibida le llev al suicidio conmanzanas envenada s co n cianuro.

por Lolita Bra in

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

Evariste Galois es el protag onistad e u n o d e l o s s u c e s o s m s

apa sionados de la Historia d e las

matemticas. Hijo de la Revolucin

F r a n c e s a y d e f e n s o r d e l o s

derechos civiles, es recordado por

haber zanjado por completo uno

de los problemas ms persistentes

a l o l a rgo de l a Hi s tor i a : l a

resolucin de las ec uaciones. Su

revolucionaria teora, denominada

Teora de Galois, opera sobre ellgebra abstracta y fue descubierta

por l cuando contaba apenas 20

aos.Ala edad de 21, estando preso y para evitar una epidemia de clera, fue conducido a un

centro hos pitalario, d onde conoc i a Stephanie, hija del doc tor Poterin, que le trataba. En

seguida se enamoraron, el primer amor de ambos sin duda, tal y como refleja Galois en

algunas de sus cartas. Su situacin personal era temible: preso, enfermo, luchando por

ser aceptado por la Academia, ayudado slo por el amor de Stephanie. Pero, meses

despus, ella le dej para casarse con un profesor de Lengua. Galois, desconsolado,

escribe a su a migo Chevalier:

No sabemos si la c ausa de su final fue la ruptura deses perada d e

Stepha nie, pero el ca so e s q ue el 29 de a bril de 1832 Ga lois s ali

de la crcel y el 30 de mayo escribi tres cartas: a todos los

republicanos, a algunos buenos amigos y a A. Chevalier. En

ellas anuncia su muerte al da siguiente en un duelo al que

era imposible negarme y aade, vctim a de una infam e

coqueta. As fue: la maana del 30 de mayo Galois mora

en un duelo, por las heridas de pistola empuada por

alguien que, an hoy, se desconoce. Como dej escrito

. . . faltan cosas por c ompletar en esta dem ostracin. No

tengo tiempo. Tena 21 aos , pero co nquist la g loria.

Por fros q ue pa rezcan, e l coraz n de los ma temticos tambin siente el amor. Estando en

fechas de Sa n Valentn no hemo s q uerido dejar pasa r la oca sin de relatarte algunas

historias de a mor vivida s por ma temticos. S i bien es verdad q ue a lo largo de la Histo-

ria los matem ticos no han sido personajes espec ialmente esca ndalosos , sino ms

bien persona s tmida s y a islada s, tras rebusca r en las biografas de mucho s de e llos he-

mos localizado algunos ca sos de s oltera empedernida junto a otros espos os prolfic os.

Tamb in hay historias d e enga os y ama ntes, de homofobia y de apa sionado s romances .

Disfruta de esta breve crnica rosa de las ma temticas .

SAN VALENTNMATEMTICO

ORDENADORES, MANZANAS Y SUICIDIO

EVARISTE GALOIS (1811-1832)

ALAN TURING (1912-1954)

ARTHUR MARCH(1891-1957)

LA GENIALIDAD DEL JOVEN APAGADA POR AMOR

STEPHANIE

EVARISTE

Schrdinger, p a d r e d e l aTeora C untica, se c as a

los 37 aos con Anny Bertel.

Hacia 1933, y a pesar de ser

c a t l ic o , d e c i d i a b a n d o n a r

Alemania avergonzado de vivir

la persecucin de los judos

p o r l o s n a z i s . S c h r d i n g e r

rec i b i un a so l i c i tud pa ra

trabajar en Oxford y pidi de

modo inexplicable la asistencia

de un colega , Arthur March.Hoy sabemos q ue Schrdinger

senta tanta atraccin por las

mujeres como por los tomosy a l a s a z n la e s p o s a d e

Arthur era s u ama nte, de la q ue

se habra tenido que separar si

no hubiera ofrecido un puesto

a su marido en Inglaterra. Aun

as, la relacin matrimonial de

Schrdinger con Anny no era

m u y d u l c e : e l l a e s t a b a

acos tumb rada a l a s aman tes

d e l , d e la s q u e e s t a b a a l

corriente... Claro, que ella fue

amante durante aos de uno

d e l o s c o l a b o r a d o r e s m s

estrechos d e su marido: Weyl.As , e l t r i n gul o amoroso

quedaba en el laboratorio!

ERWIN SCHRDINGER(1887-1961)

HERMANNWEYL(1885-1955)

AMOROS, ENGAOS Y MATEMTICAS

Cmo puedo co nsolarme cuando, en un mes, he agotado la ms rica fuente de felicidad que

puede tener el hombre, cuando la he agotado sin felicidad, sin esperanza, cuando estoy cierto de

haberla secado de por vida?

7/25/2019 12a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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AULA.730.05.02EL MUNDOJueves cient fico

Incluso el corazn de los matemticos se siente tocado por el influ-jo primaveral, y antes de que se escape mayo no hemos queridodejar pasar la ocasin de relatarte algunas historias relacionadas conlos matemticos y el amor. Si bien es verdad que a lo largo de lahistoria los matemticos no han sido personajes especialmente es-candalosos, sino ms bien personas tmidas y aisladas, tras rebuscaren las biografas de muchos de ellos hemos localizado algunos casosde soltera empedernida junto a otros esposos prolficos. Tambin hayhistorias de engaos y amantes, de homofobia y de apasionadosromances. Disfruta de esta crnica rosa de las matemticas.

L A P R I M A V E R A L A S

M A T E M A T I C A S A L T E R A

por Lol ita Bra in

El que es considerado pad re de la computa bili-dad ter ica, el que descifr los cdigos de los

nazis en la II Guerra Mund ial descodificando

la mquina Enigma, el que trabaj en el primer

centro de clculo autom tico de Inglaterra con

el Mark I , e l mismo que fue conde -

co r ado nada m s y nada m e-

nos que con la Orden del Im-

perio Britnico en 1946,

fue vctima de un arcaico

sistema judicial que le

llev al suicidio en

1954, cuando con taba

42 aos. Nos referimos

a Alan M. Turing.

Perteneciente a una fa-

milia colonial britnica,

Alan fue fruto del en cor-

setado sistema social

britnico de la poca vic-

toriana. Un mundo en el

que la doble moral estaba

al orden del d a . De este

modo, las relaciones ntimas

eran repr imidas en p bl ico y

consentidasen privado.

De igual modo suce da en las insti-

tuciones pblicas de ens eanza, dond e Alan se

educ. Primero en el Sherborn e College y despus

en el Kings College de Ca mbridge, las relacio-

nes entre a lumnos se practicaban, disimulaban

y consentan mientras no salieran del campus.

Alan d escubri su condicin alrededor de 1928 al

conocer a Christopher Morcom, con quien man-

tuvo un amor platnico que le sealara para siem-

pre. La desgracia lleg cuando Chris falleci con

18 aos en 1930. Su muer te marcar a an m s

la vida ya de por s solitaria e introvertida de Alan,

quien, no obstante, man tuvo siempre su sexuali-

dad a ctiva. Hacia 1945, cuando traba jaba en el or-

denador Colossus, le ofreci matrimonio a una desus colegas en Bletchley Park, llamada Joan Clark,

la cual acept gustosamente. Turing hubo de re-

tractarse despu s del ofrecimiento, hablndole a

su prom etida acerca de su realidad. Aunque lo

peor estaba por llegar.

En la Na vidad de 1951, Turing

entabl una relacin con un

jo ve n dese m ple ado de

Manchester . A pr inci -

pios de 1952, su casa

fue asal tada por un

amigo de su amante, y

Turing acudi a la po-

lica, sin revelar su re-

lacin. Cuando se de s-

cubri la historia com-

pleta , ar restaron a

Tur ing por indecencia,

y le llevaron a juicio el 31

de ma rzo de 1952. En la

cor te , Tur ing no neg su

condicin, y expuso una d e-

fensa de sus preferencias, que

manifest haber mantenido du-

rante toda su carrera, incluso cuando

trabajaba para el gobierno en Mnchester.

Eso le vali ser conden ado a pr isin, pena q ue con-

mut por un ao de tratamiento con

estrgenos (hormonas femeni-

nas) que le causaron impo-

tencia, y le hicieron br otar se-

nos. Para l, que h aba sido

atleta toda su vida, corredor

de fondo -como buen solita-

rio, y casi participante en unos

JJOO-, la hum illacin recibida

le llev al suicidio con man zana s

envenadas con

cianuro.

Erwin R. J.A. Schr-

dinger (1887-1961),

padre de la Qumica

del s ig lo XX, se cas

con 37 aos con Anny

Bertel.

Hacia 1933, y a pesa r

de se r catlico, decidi

abandona r A l em an i a

avergon zado de vivir la per-

secucin de los judos.

Schrdinger recibi una so-

l ic i tud para t rabajar

en Oxford y pidi ,

de modo inexplica-

ble , la asisten-

cia de un colega,

Ar t hu r Mar ch . Y

es que Schrdin-

ger sent a tanta

atraccin por las

mujeres como por

los tomos y a la sazn

la esposa de Ar thur era su

amante , de la que se habr a se-

parado si no hu biera ofrecido un

puesto a su marido.

P e r o l a r e l ac i n m a t r i m on i a l de

Schrdinger con Anny no era muy

dulce: ella estaba acostum brada

a las amantes de l , de las que

estaba a l cor r iente . . . pero es

que e l la f ue am an t e du r a n t e

aos de uno de los colabora-

dores ms cercanos de su ma-

r ido: Herm ann Weyl (1885-

1955). As, todo queda ba en el la-

boratorio!

E

variste Galois (1811- 1832) es el protagonista de

una de las historias ms apasionadas de la His-toria de las matemticas. Hijo de la Revolucin

F r ancesa y de f enso r de l o s de r echos c i v il e s , e s

recordado por haber zanjado por completo uno

de los problemas ms persistentes a lo largo de la

historia: la res olucin d e las

ecuaciones. Su revolucio-

na r i a t eo r a , denom i nada

Teora de Galois, opera so-

b r e e l l geb r a abs t r ac t a y

fue descubierta por l cuan-

do contaba apenas 20 aos.

A l a e d a d d e 2 1 , e s t a n d o

preso y para evitar una epi-

dem i a de c l e r a , fue con -

ducido a un centro h ospitalario, donde con oci y se

qued prend ad de Steph anie, hija del doctor Po-terin, quien le trataba. En seguida se e namora ron

(el pr imer am or de am bos sin duda ) , ta l y como

refleja Galois en algunas de s us cartas. Su situacin

persona l era temible: preso, enfermo, luchand o por

ser aceptado por la Academia,

ayudado s l o po r e l am or de

S t ephan i e . P e r o , m eses des -

pus, ella le dej para ca sarse

con un profesor de Lengua. Ga-

lois, descon solado, escribe a su

amigo Chevalier

Cmo pu edo con sol ar me

cuando, en un m es, he

agota do la m s rica fuent e de

fel icidad que puede tener el hom bre, cuando la h e

agotado sin fel icidad, sin esperanza, cuandoestoy cierto de haberla secado de por vida?

No sabemos si la causa fue la ruptura desespera-

da de Steph anie, pero el caso es que el 29 de abril

de 1832 Galois sali de la crce l . El 30 de Mayo es -

cribi tres cartas: a todos los republicanos, a sus

buen os am igos N.L. y V.D y a A. Chevalier. En ellas

anun cia su muerte al da siguiente en un du elo al

que ha sido impos ible negarme y aa de, vctima

de una infame coqueta.

As fue: la ma ana del 30 de ma yo Galois mor a

en un duelo , por las her idas por p isto la empua-

da por alguien que, an hoy, se desconoce. Como

dej escrito ...faltan cosas por comp letar en e sta

demostracin. No tengo tiempo. Tena 21 aos.

lolitabrain@hotmail.com

SRINIVASA RAMANUJAN

ERWIN SCHRDINGER

HERMANN W EYL

Casos bien distintos son los d e Nikolai I. Lobache vsky (1782-1856), ca-sado en 1832 con Lady Varvara Alexivna Moisieva, cuando ella era un a ado-lescente y l tena 40 aos . De es te matr imon io nacieron nada m enosque siete h ijos. Pierre Sim on Lapla ce (1749-1827) se cas en 1788 conMarie-Charlotte de Courty de Romanges, que era 20 aos m s joven quel. Laplace ten a 39 aos.Por el contrario, Srinivasa Ramanu jan (1887-1920) se cas con S. Jan a-ki Ammal cuan do l contaba 12 aos y ella tan slo nueve. La boda, porsupues to, fue un arreglo de su madre segn la cos tumbre india. Rama-nujan n o vivi con su esposa hasta que sta tuvo 12 aos.

N IKOLAI I. LOBACHEVSKY PIERRE S IMON LAPLACE