AULADE EL MUNDO

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S U M A J E S T A D E L T R I A N G U L O

por Lolita Brain

Partimos de un tringulocualquiera. Puedes dibujartres puntos y unirlos porsegmentos.

S o b r ecada lado,levanta unt r i n g u l oe q u i l t e r o(con los tres la-dos iguales). Cadalado medir lo mis-mo que el correspon-diente lado de partida.

LL AA FF RR MM UU LL AA DD EE HH EE RR NN

HERN DE ALEJANDRA (sobre 10 - sobre 75) , tambinconocido por Hero, fue un brillante gemetra quevivi en Alejandra, Egipto. Adems de obtener importantes resultados sobreGeometra e Hidrodinmica, es muy famoso por ha-ber proporcionado una frmula sencilla para cal-cular la superficie de un tringulo conociendo lalongitud de sus lados.

Todos conocemosla frmula paracalcular el rea deun tringulo queafirma que sta esigual a la mitad dela base por la altu-ra. Sin embargo,en la prctica, mu-chas veces los da-tos de los que sedispone son laslongitudes de loslados y no la altu-ra del tringulo,que se ha de cal-cular con el Teo-rema de Pitgo-ras, por ejemplo.

Hern encontr y demos-tr, su frmula que per-mite conocer al rea de

un trin-g u l o

con slo sus lados. Paraello calculamos el PERME-TRO del tringulo suman-do las longitudes de lostres lados. Su mitad es loque se llama el SEMIPER-METRO (S). Ahora, resta-mos al semipermetrocada uno de los lados (S-

a, S-b y S-c). Multipli-camos los cuatro

nmeros obteni-dos (S, S-a, S-b. S-c). El readel tringuloes la raz cua-drada de esteresultado. Nolo olvides!

PUEDE CONSTRUIRSESIEMPRE UN TRINGULO?

Napolen Bona-parte es pro-bablementemuy conoci-do para ti.Pero es casiseguro queno tienesni idea deque esaunqueeste extre-mo no estd e b i d a -mente con-f i r m a d o autor denada menosque de un teo-rema sobre...tringulos: el TEO-REMA DE NAPOLEN, que te con-tamos a continuacin.

P IERRE FERMAT (1601-1665),de quin te hemos habla-do en varias ocasiones,discurri el siguiente pro-blema. Comenzando conun tringulo, dibuja unpunto cualquiera P, ensu interior. Desde lpuedes trazar unsegmento que lo una a cada vrtice del tringulo

(a, b, c). Y podemos sumar las longitudes de esos tres seg-mentos (a+b+c). Fermat se preguntCul ser el punto que debemos escogerpara que la suma esos tres segmentos seala menor posible? Fermat demostr que esepunto, llamado PPUUNNTTOO DDEE FFEERRMMAATT, se obtienedel siguiente modo: levanta un tringulo equi-ltero sobre cada lado del tringulo inicial. Unecada vrtice externo de estos tringulos, con elvrtice opuesto del tringulo incial. El punto en el quese cortan esos tres segmentos, es el Punto de Fermat, yes quel en el que la suma a+b+c es mnima.

Una de las cuestiones ms sim-ples sobre el mundo de los trin-gulos, aunque suele pasar desa-percibida, es la siguiente: Contres segmentos cualesquiera,se puede construir siempre untringulo ?La geometra nos da la respues-ta precisa a esta cuestin, enun-ciando que:Tres segmentos pueden formarun tringulo si se cumplen lasdos condiciones siguientes:11..-- La suma de la longitud de doslados ha de ser mayor que lalongitud del tercero.22..-- La diferencia de la longitudde dos lados ha de ser menorque la longitud del tercero.Si tres segmentos cumplen es-tas dos propiedades, se podrconstruir un tringulo con ellos.Si no, no ser posible.

E n -cuen-tra elBARICEN-TRO de cadat r i n g u l ouniendo cadavrtice con lamitad del ladoopuesto.

Unel o stres BA-R I C E N -TROS en-contrados.N a p o l e nafirma que estetringulo esequiltero aun-que el de partidano lo sea.

E l TRINGULO DE SIERPINSKI, unmatemtico polaco, es un con-junto geomtrico que se basaen el tringulo y que es un frac-tal de los llamados determinis-tas. Se puede construir de la si-guiente forma.Comienza con un tringuloequiltero. Encuentra elpunto medio de cadalado. Borra el tringu-lo que queda en elcentro. Con cadauno de los trestringulos quehas obtenido,repite el pro-ceso para bo-rrar otrostres trin-gulos, yc r e a r

nueve. Se contina el procesotantas veces como se desee.

El conjunto de Sierpinskison los puntos que es-

tn en todos lostringulos as

formados.

Es, en esencia, la figura plana ms sencilla que existe. El tringulo pasa porser el origen de casi todo lo plano y, por extensin, de lo espacial. Poreso, si hay una figura que haya sido estudiada hasta la saciedad, sa esel tringulo. Teoremas referidos a ellos se cuentan a cientos, y es que esraro no toparse con uno de frente. Por ser famosos los tringulos, hastaun sector de los nmeros decidi formar el grupo de los autollamadosnmeros triangulares. Son tan diferentes unos de otros, y simultaneamentetan parecidos, que se afanan por encontrar su propia identidad. As los trin-gulos rectngulos se ufanan de ser los nicos tringulos pitagricos, y aun-que las excelencias de la belleza se hayan ido para los equilteros, losobtusngulos no dejan de reivindicar su personalidad.

WACLACK SIERPINSKI(1882-1969)

lolitabrain@hotmail.com

8 Cm 10 Cm

12 Cm

2S= 8+10+12=15

AREA = 1575 = 39,6 Cm

15 - 8 = 715 - 10 = 515 - 12 = 3

15 X 7 X 3 X 5 =1575

EE LL TT EE OO RR EE MM AA DD EE NN AA PP OO LL EE NN

En Geometra, la figura ms simple imaginable es el tringulo. Y como tal, es sin duda elrey de los polgonos. Casi todo es reducible a tringulos, de modo que es una de las herra-mientas ms poderosas de la Geometra y, por tanto, conocerlos ha sido y sigue siendomuy interesante. Gracias a los tringulos pudimos medir la Tierra, calculamos la distancia aMarte o sencillamente, articulamos una gra.

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LOS CENTROS DEL TRINGULO

LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO

Las mediatrices pasan por el punto medio (T )de cada lado (AB) y adems sonperpendiculares a l. Todos los puntos de unamediatriz estn a la misma distancia de losvrtices del lado correspondiente. Estas rectasse cortan en el circuncentro (O). Como O distalo mismo de A que de B (est en la mediatriz deAB) y est a la misma distancia de A que de C(est en la mediatriz de AC) es el centro de lacircunferencia circunscrita, que pasa por A, B yC, y contiene al tringulo.

Si trazamos una recta perpendicular a un ladode un tringulo (AB) que pase por el vrticeopuesto (C), tenemos una altura. Mide ladistancia que separa a un vrtice del ladoopuesto y ser fundamental para calcular elrea del tringulo.Trazadas las tres alturas de un tringulo,stas se cortan en un punto denominadoortocentro, que no siempre est en su interior.

Si trazamos rectas que unancada vrtice (A) con el PUNTOMEDIO de cada lado opuesto (X),obtenemos las medianas.Observa que si el tringulo esequiltero, sus tres medianasson sus ejes de simetra. Lastres medianas se cortan en unpunto muy importante llamadobaricentro o centroide (G).

El baricentro es el centro del tr ingulo.Tambin se denomina centro de masas y tieneimportancia en dinmica. Por ejemplo, untringulo soportado sobre su baricentropermanece estable. Es su centro de equilibrio.

La razn es que una medianadivide en dos partes iguales atodas las rectas paralelas al ladocorrespondiente. As, cadamediana es como una hoja deafeitar que diseccionara altringulo. De este modo,el baricentro debeser el punto deequilibrio.

Cuando se trazan las medianas, el tringulooriginal queda dividido en cuatro tringulosmenores y semejantes. El tringulo centralse llama auxiliar. Sus medianas son lasmismas que las del inicial.Este proceso se puede repetirinfinitamente para crear unacoleccin de tringulos semejantesencajados unos en otros.Todos tienen un nico puntoen comn: el baricentrodel primer tringulo.

EL BARICENTRO COMO CENTRO DE MASASLAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO

Si unimos los puntos RPQ, en los que las alturascortan a cada uno de los lados, obtenemos otrotringulo. El tringulo rtico. Este polgono tieneuna propiedad muy importante: es el menorcamino para ir desde uno de los lados a los otrosdos. Por ello, si el tringulo fuera especular, unrayo emitido desde R se reflejara continuamentepor el camino RPQ-RPQ-RPQ...

EL TRINGULO RTICOLAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO

Algunas veces lo ms sencillo permanece oculto durantesiglos. Si bien el tringulo y sus centros se estudian desdeque existe la matemtica, fue el genial Leonard Euler(1713 -1789) el primero en darse cuenta de que elortocentro, el baricentro y el circuncentro estn en lamisma recta: la recta de Euler.

LA RECTA DE EULER

En todo tringulo estdefinida una circunferenciamuy especial. Pasa nadamenos que por nuevepuntos particulares:

Los tres vrtices deltringulo auxiliar XYZ.Los tres vrtices deltringulo rtico PQR.Los puntos medios de lossegmentos que unen elortocentro y los vrtices(HA, HB y HC).

Su centro N es el circuncentro del tringulo rtico.

LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS

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lolitabrain@lolitabrain.com

por Lolita Brain

La Matemtica y la Fsica van de la mano muchas veces. Cuando estudiamos el compor-tamiento de los cuerpos bajo la accin de la gravedad, o nos interesa estudiar el modo enque se producen las rotaciones, o si queremos conocer el comportamiento en el equilibriomecnico de los objetos, estas dos disciplinas son ntimas: la geometra de los cuerposdetermina su comportamiento en estos fenmenos. Uno de estos conceptos geomtricosde las figuras es el baricentro, un punto que sustituye tericamente toda una masa distri-buida en un volumen y nos permite considerar el cuerpo como un solo punto.

EL EQUILIBRADOBARICENTROEL BARICENTRO

UN PUNTO PARA UN CUERPO

EQUILIBRIOS INVEROSMILES

E l tringulo es el pol-gono ms sencilloque existe. De susmuchos puntos nota-bles, el baricentro esfundamental. Se tratade un punto interior enel que puede suponer-se que se halla toda lamasa del tringulo. Seobtiene como punto enel que se cortan lasMEDIANAS del tringulo,que son los segmentosque unen cada vrticecon el punto medio dellado opuesto. Es sucentro de equilibrio.

T odos sabemos que cuandoun objeto cae bajo la accinde la gravedad describeuna parbola. Sin embargocuando el cuerpo no es de for-ma esfrica es difcil ver dichaparbola. Y es que el cuerpono la describe, quien lo hacees su centro de gravedad. Elcuerpo del saltador de tram-poln se tuerce sobre su eje,pero si resaltamos su centrode gravedad veremos que lasdistintas posiciones dibujanuna parbola. La maza delmalabarista o de la majorette,cuando es lanzada al aire y sedeja caer libremente, tambindebera describir una parbo-la. En cambio lo que vemos esuna sucesin de giros sobresu eje en su cada. Pero si mar-camos su centro de gravedad,su centro geomtrico en estecaso, y realizamos mltiplesexposiciones fotogrficas dela cada, comprobaremos que

E l equilibrio estable de un cuerpo depende de la posicin relativa que existaentre el C.G. y el punto, lnea o plano sobre el que se apoya u oscila el cuerpo.Si el centro de gravedad queda por debajo del punto de apoyo entonces elsistema est en equilibrio. La bicicleta de la imagen tiene un gran peso sujetadoinferiormente a ella. Con ello se consigue que el C.G. del sistema quede por debajo de la cuerda sobre la que la bicicleta se mantiene en equilibrio. El sistema detenedores de la imagen de la izquierda est en equilibrio porque su C.G. est por debajo del punto de contacto con el palillo en el que se sustenta.

sea o no tringulo.Para localizarlobasta con colgarde un hilo un trin-gulo de cartn,madera u otromaterial, de cadauno de sus vrti-ces. Trazamos las

rectas vertica-les cuandoest en equilibrio yobtenemoslas medianas.Su punto decorte es elbaricentro.

Cuanto ms cerca del apoyose encuentre el C.G. ms

estable es el equilibrio. Lasgimnastas lo consiguen

bajando las piernas.

La gravedad nospermite localizar elbaricentro ya quetambin es el llama-do CENTRO DE GRAVE-DAD (C.G.) o puntoque resume toda lafuerza gravitatoriasobre un objeto,

el C.G. describe una parbola como si toda la maza estuviera concen-trada en dicho punto. De este modo, para estudiar el movimiento deobjetos complejos, nos limitamos a estudiar el movimiento del C.G. delsistema.

E l teorema se aplica slo a unas figu-ras muy particulares del plano: lostringulos rectngulos, que sonaquellos que tienen un ngulo recto, esdecir, dos lados perpendiculares lla-mados catetos. El tercero de los ladosse denomina hipotenusa y es elmayor de los tres. Estos tres segmen-tos encierran una prodigiosa relacinque ya era conocida antes de Pitgoras por egipcios, babilonios y chinos, aunque encasos particulares. Fue el griego el primero que observ la generalidad entre todos lostringulos rectngulos.

Uno de los procesos ms importantes de las matemticas es probar la verdad de los teo-remas que enuncia. Demostrar se convierte as en la principal tarea de los matemticos. Dehecho, el reconocimiento de los grandes matemticos se debe, a menudo, a sus pruebasde los teoremas que se han resistido incluso siglos enteros. Pero con frecuencia es posi-ble confirmar la evidencia de grandes principios sin necesidad de un aparato formal im-portante. Se suele decir entonces que se ha comprobado una verdad, pero no que se hademostrado. Para muchos, estas comprobaciones son ms que suficientes.

por Lolita Brain

COMPROBAR SIN FORMULAR

PITGORAS DE SAMOS(S. VI A.C.)

SOLUCIN DEL PUZLE DE PERIGAL

EL TEOREMA DE PITGORAS

P erigal dise otra demostra-cin del teorema que nos ocu-pa an ms sencilla que la deOzanam. Su idea consiste en tra-zar, por el centro del cuadradosobre el mayor de los catetos, unarecta perpendicular y otra paralelaa la hipotenusa. Eso divide el cua-drado en los cuatro trapezoidesnumerados 2, 3, 4 y 5. Con ellosms el cuadrado levantado sobreel menor de los catetos -el 1 en lafigura- se puede componer el cua-drado construido sobre la hipote-nusa. Es decir, la suma de los cua-drados levantados sobre loscatetos equivale al de la hipotenu-sa.

QU DICE EL TEOREMA?

E l teorema se explicasencillamente con laimagen adjunta. Siconstruimos tres cuadra-dos, uno sobre cada ladode cualquier tringulorectngulo, se verificaque el rea del cuadradogrande, construido sobrela hipotenusa, es idnticaa la suma de las reas delos otros dos cuadradospequeos levantadossobre los catetos. Estotan simple nos permite,entre otras cosas, calcu-lar la longitud de un seg-mento inclinado si pode-mos medir los dos ladosperpendiculares.

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

hipotenusa

cateto

cateto

O zanam, matemtico delsiglo XIX y gran divul-gador de esta cien-cia, obtuvo un senci-llo puzle con el quedemostrar el Teo-rema de Pitgoras.Se trata de cons-truir el esquema delteorema y trazar elsimtrico del cuadra-do sobre la hipotenu-sa respecto de esta mis-

ma, obteniendo las particio-nes numeradas del 1 al 5en los cuadrados meno-res. Comprobar laveracidad del teore-ma de Pitgoras esslo cuestin derecortar las cinco pie-zas numeradas yconseguir cubrir conellas todo el cuadrado

superior.

EL PUZLE DE OZANAMEL PUZLE DE PERIGAL

S in duda alguna, el Teore-ma de Pitgoras es proba-blemente el ms conocidopor todos. Lo aprendemos enla escuela y lo recordamos alo largo de toda la vida. Aun-que olvidemos muchasnociones de matemticaspertenece a nuestro acervocultural. Y es que es un teo-rema que por elemental nodeja de ser importante. Todolo contrario: su universalidady su gran valor utilitario loconvierte en un resultadoimprescindible. Recordemosen primer lugar lo que nosdice el teorema y luegojuguemos a ser matemticoscomprobando su veracidad.

EN ESTE EJEMPLO ES MUY SENCILLO DECOMPROBAR YA QUE LOS RESPECTIVOS

CUADRADOS TIENEN 9, 16 Y25 CUADRADITOS PEQUEOS

Y POR TANTO ES FCILVER QUE: 25 = 16 +9.

PERO Y EN OTRASSITUACIONES?

SOLUCIN AL PUZLE DE OZANAM

D e este teorema existen ms de un millar de demostraciones dis-tintas. Algunas sencillas y otras harto complicadas. Pero hayuna coleccin de ellas que utilizan lo que podemos llamar la tc-nica de las tijeras y el papel. Se trata de partir los cuadrados cons-truidos sobre los catetos y comprobar que con los trozos obtenidospodemos completar el cuadrado construido sobre la hipotenusa.Es por tanto un asunto de resolver un puzle.

CMO PROBARLO?ELCUADRADOMAYOR ESIGUAL QUE LASUMA DE LOSCUADRADOSMSPEQUEOS.

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2

3

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Frdric Ozanam (1813 - 1853)

Hoy en da estamos acostumbrados a disponer de precisos y complejos instrumentos demedida. Pero no siempre fue as. Si repasamos la capacidad instrumental de los ma-temticos de hace ms de dos mil aos, comprobaremos que sus herramientas demedida eran rudimentarias. Sin embargo, babilonios, egipcios y griegos llevaron acabo mediciones que an hoy nos asombran. Dos ejemplos muy significativos son los deEratstenes y Tales, quienes con tan slo un bastn y mucha geometra fueron capa-ces de calcular con gran precisin medidas que hoy nos siguen asombrando.

por Lolita Brain

CON UN BASTN,BASTA

ERATSTENES DE CIRENE(275 -194 A.C.)

A pesar de la exactitud de su clculo, ste contiene algunos pequeoserrores de medicin: Alejandra y Syena no estn en el mismo meridianoy estn algo ms cerca que la distancia utilizada por Eratstenes.Adems, Syena no est exactamente en el Trpico de Cncer, y portanto, el Sol no incidira perpendicularmente en el solsticio de verano. Porltimo, el ngulo de la sombra en Alejandra es algo menor que 7o 12.

T ales de Mileto, uno de los Siete Sabios de Grecia, saba que dos tringulos rectngulos con ngulos igualesson semejantes. Es decir, uno de ellos se obtiene del otro por ampliacin, como al fotocopiar imgenes. Eneste caso la relacin de tamao que existe entre los catetos, los lados perpendiculares, de cada uno de elloses la misma. Con esto, ingeni un sencillo mtodo para determinar la altura de la Gran Pirmide de Kops. Clavun bastn en el suelo y observ que el tringulo que forma la altura de la pirmide y su sombra era semejante alformado por el bastn y la suya. En la imagen los tringulos ABC y MNP.

De este modo se cumple que el nmerode veces que el palo es mayor o menorque su sombra

coincide con las veces que la altura de lapirmide es mayor o menor que susombra.

Midiendo entonces la longitud del bastn,la de su sombra y la sombra de la GranPirmide, la altura de sta se obtiene conel sencillo clculo:

que le proporcion un admirableresultado aproximado de 152 metros enlugar de los 146 m que mide en realidadhoy, aunque la altura de la pirmide havariado con el tiempo.

UNA LECCIN DE INGENIO

EL MTODO DE ERATSTENES

TALES, SU BASTN Y LA PIRMIDE

A unque Aristteles y Arqu-medes haban dado algu-nos valores poco afortu-nados del tamao de laTierra, Eratstenes de Cire-ne, hacia el ao 240 a.C.,realiz la primera medidaprecisa de la longitud de lacircunferencia terrestre. Como director de laBiblioteca de Alejandratuvo acceso a muchainformacin para poderresolver este problema.Pero sobre todo, su mtodoes un modelo de ingenioque an hoy nos asombra.Su experimento siguesiendo considerado hoycomo uno de los 10mejores de toda la Historia.Necesit poco ms que unaestaca para calcular lalongitud de la Tierra. Sumedida fue esencialmentela que es, unos 40.000 km.

E ratstenes, por supuesto, supona que la Tie-rra era redonda. Saba que todos los aos almedioda del solsticio de verano, cuandocomienza esta estacin, el Sol iluminaba el inte-rior de un pozo en Syena, en la actual Assuan,Egipto. Esto le hizo pensar que los rayos del Soleran perpendiculares al suelo en ese momento yen ese lugar. En cambio, en Alejandra, que se encontraba deSyena a 50 jornadas a camello (de 100 estadioscada uno, es decir, a unos 760 km de distancia),los obeliscos s arrojaban sombra al medioda delsolsticio. Supuso que los rayos del Sol son paralelos yclav una estaca en Alejandra dicho medioda.Midi el ngulo que formaba la sombra quearrojaba y lo estim en unas 50 veces menorque una vuelta completa de circunferencia(unos 7o 12). Concluy entonces que lalongitud de la circunferencia de la Tierra era 50veces la distancia que separaba Syena yAlejandra... o sea 39.000 km Sencillamentegenial!

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

LONGITUD DEL PALOLONGITUD DE SU SOMBRA

L. DEL PALO

ALTURA DE LA PIRMIDELONGITUD DE SU SOMBRA

A. DE LA PIRMIDE = X (L. SOMBRA PIRMIDE)L. DE SU SOMBRA

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La geometra elemental unida al ingenio constituye una herramienta extremadamentetil, especialmente para poder tomar medidas. En los orgenes de la filosofa griega, Tha-les de Mileto ingeni un procedimiento sencillsimo para determinar la distancia de unbarco a la costa sirvindose de una escuadra, Eratstenes de Cirene calcul el radiode la Tierra con poco ms que un bastn y Euclides de Alejandra averiguaba la alturade las torres con un espejo. Es una cuestin de economa de medios e inteligencia.

por Lolita Brain

TRINGULOS CONINGENIO

LA SOLUCIN DE EUPALINOS

HERN, famoso matemtico del siglo I, sugiri el siguiente proce-dimiento como el seguido por EUPALINOS. El problema de geo-metra consista en, una vez fijados los puntos de las bocas A yB, determinar la direccin de excavado que viene determinadapor la direccin de la recta que los une.

THALES DE MILETO (hacia 640 - 560 a. C.)es considera-do uno de los primeros filsofos y matemticos deOccidente. Su famoso Teorema de Thales fue siem-pre una herramienta prodigiosa. Con slo una escua-dra de madera y algunas medidas sencillas Thales eracapaz de determinar la distancia a la que se encontra-ba un barco en la lejana.

Hacia el ao 550 a C. el tirano POLYCRATES regidor de laciudad de Samos (al sur de la pennsula italiana),encarg al ingeniero EUPALINOS la construccin de untunel que atravesara el monte Kastron a cuyos pies se des-plegaba la ciudad. El tunel conectara con un manantial

asegurando as elsuministro de agua.Para acelerar suconstruccin POLY-CRATES oblig a rea-lizar la obra comen-zando por las dosbocas simultanera-mente, lo quesupona un serioreto. EUPALINOS

construy un tunel de 1.036 metros de longitud. Las dosramas que deban juntarse en el centro se desviaronmenos de 1%. Asombroso.

EUPALINOS uni los puntos A y B con una lnea poligo-nal exterior APQRB trazada de modo que los ngulosen P, Q y R fueran rectos. Imagin asimismo las para-lelas por A y B a los lados PQ y RQ para obtener elpunto T.

Euclides de Alejandra ingeni un sencil loprocedimiento para medir la altura de un objeto,como una torre, cuyo pie es accesible.

El clculo f inal de Thales para hallar ladistancia de la costa al barco es:

SE COLOCA UN ESPEJO ENTRELA TORRE Y EL OBSERVADOR

EUCLIDES SE MOVA HASTAVER LA CSPIDE DE LA

TORRE EN EL ESPEJO.

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LA DISTANCIA DE UN BARCO A LA ORILLA

THALES SE COLOCABA EN UNATORRE Y APUNTABA CON LA

ESCUADRA A LA PROA DEL BARCO.

LA LNEA VISUAL DETERMINA ELTRINGULO DE VRTICES ABCSOBRE LA ESCUADRA.

LNEA DE TIERRAALTU

RA

ALA

LIN

EA

DE

TIE

RR

A

AA

QQ PP

CCLos tringulos ABC y AQP sonsemejantes lo que permite calcu-lar la longitud del lado QP que esla distancia buscada.

COMO EL RAYO REFLEJADO Y ELINCIDENTE FORMAN EL MISMO

NGULO, LOS TRINGULOS OOCCDD YOOAABB SON SEMEJANTES.

BB

Por ltimo prolongando el segmento AB hastaque corte a las rectas PQ y RQ obtuvo los pun-tos A1 y B1. Utilizando la semejanza de tringu-los y midiendo los lados del permetro externodibujado, es muy fcil calcular las distanciasxx e yy. Y conocindolas situar sobre elterreno los puntos A1 y B1 es tareasencilla. Problema resuelto.

CC

EUPALINOS, UN INGENIERO INTELIGENTE

LA ALTURA DE LA TORRE SE CALCULAMULTIPLICANDO LA ALTURA DE LOS OJOS

(AABB) POR LA DISTANCIA DEL PIE DE LATORRE AL REFLEJO DE LA CRUZ EN EL

ESPEJO (OOCC). DESPUS SE DIVIDE ENTRELA DISTANCIA DEL REFLEJO AL PIE DE

EUCLIDES (OOBB).

EUCLIDES, LOS ESPEJOS Y LAS ALTURAS

BANDERASDEL MUNDO

Mediante estas representaciones, normalmente rectangulares, se identifican los colores, losescudos y los smbolos de cada pas. Las banderas existen desde hace mucho tiempo, puesse conocen evidencias del antiguo Egipto y de la poca de las doce tribus de Israel. En unprincipio, tenan un sentido militar que representaba a las dinastas de las casas reales, perocon la creacin de las naciones se fueron configurando en su forma actual, que heredaba cier-tos elementos de las anteriores. En el caso de Espaa, Carlos III adopt para sus naves unaensea de tres franjas horizontales con los colores y las dimensiones de la actual.

AFGANISTN ALBANIA ALEMANIA ANDORRA ANGOLA ANTIGUA Y BARBUDA ARABIA SAUD ARGELIA ARGENTINA ARMENIA

AUSTRALIA AUSTRIA AZERBAIJN BAHAMAS BAHRAYN BANGLA DESH BARBADOS BLGICA BELICE BENN

BHUTN BIELORRUSIA BIRMANIA BOLIVIA BOSNIA-HERZEGOVINA BOTSWANA BRASIL BRUNEI BULGARIA BURKINA FASO

BURUNDI CABO VERDE CAMBOYA CAMERN CANAD CENTROAFRICANA (REP.) CHAD CHECA (REP.) CHILE CHINA

CHIPRE COLOMBIA COMORES CONGO (REP. DEL) CONGO (REP. DEM. DEL) COREA (REP. DE) COREA (REP. DE . POP.DE) COSTA DE MARFIL COSTA RICA CROACIA

CUBA DINAMARCA DJIBOUTI DOMINICA DOMINICANA (REP.) ECUADOR EGIPTO EL SALVADOR EMIRATOS RABES (UNIN) ERITREA

ESLOVAQUIA ESLOVENIA ESPAA ESTADOS UNIDOS ESTONIA ETIOPA FIDJI F IL IP INAS FINLANDIA FRANCIA

GABN GAMBIA GEORGIA GHANA GRANADA GRECIA GUATEMALA GUINEA GUINEA-BISSAU GUINEA ECUATORIAL

GUYANA HAIT HONDURAS HUNGRA INDIA INDONESIA IRN IRAQ IRLANDA ISLANDIA

ISRAEL ITALIA JAMAICA JAPN JORDANIA KAZAJISTN KENYA KIRGUIZ ISTN KIRIBATI KUWAYT

LAOS LESOTHO LETONIA LBANO LIBERIA LIBIA LIECHTENSTEIN LITUANIA LUXEMBURGO MACEDONIA

MADAGASCAR MALAWI MALAYSIA MALDIVAS MAL MALTA MARRUECOS MARSHALL MAURICIO MAURITANIA

MXICO MICRONESIA (EST. FED. DE) MOLDAVIA MNACO MONGOLIA MOZAMBIQUE NAMIBIA NAURU NEPAL NICARAGUA

NGER NIGERIA NORUEGA NUEVA ZELANDA OMN PASES BAJOS PAKISTN PALAOS PANAM PAPA Y NUEVA GUINEA

PARAGUAY PER POLONIA PORTUGAL QATAR REINO UNIDO RUANDA RUMANA RUSIA SAINT KITTS-NEVIS

SALOMN SAMOA SAN MARINO S. VICENTE Y LAS GRANADINAS SANTA LUCA SANTO TOM Y PRNCIPE SENEGAL SERBIA Y MONTENEGRO SEYCHELLES SIERRA LEONA

SINGAPUR SIRIA SOMALIA SRI LANKA SUDFRICA (REP. DE) SUDN SUECIA SUIZA SURINAM SWAZILANDIA

TADZHIKISTN TAILANDIA TAIWN TANZANIA TIMOR ORIENTAL TOGO TONGA TRINIDAD Y TOBAGO TNEZ TURKMENISTN

TURQUA TUVALU UCRANIA UGANDA URUGUAY UZBEKISTN VANUATU VATICANO (CIUDAD DEL) VENEZUELA VIETNAM

YEMEN ZAMBIA ZIMBABWE UNIN EUROPEA ONU UNESCO MEDIA LUNA ROJA CRUZ ROJA

AULADE EL MUNDO

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Texto: Manuel Irusta/ EL MUNDO

STOP

60

4, 25 km

STOP 150 m

150 m 10 m

Diseo Grfico: Francisco A. AngusTextos: Manuel Irusta / EL MUNDO

ADVERTENCIADE PELIGRO

REGLAMENTACION

OBRASDeben hallarsesealizadas, de da yde noche

Indica la proximidad y lanaturaleza de un peligrodifcil de ser percibido atiempo, para comportar-se como procede

Establecen las obligaciones,limitaciones o prohibicionesespeciales que deben observarlos usuarios de la va

Clases: de prioridad de prohibicin de entrada de restriccin de paso otras de prohibicin o restriccin de obligacin de fin de prohibicin o restriccin

INDICACIONFacilitan al usuario de la vaciertas informaciones que puedanserle de utilidad

Clases: de indicaciones generales de carriles de servicio de orientacin paneles complementarios otras seales

Las sealizaciones se dividen en varios tipos. Entre ellos,las seales verticales, que figuran en esta lmina, regla-mentan o advierten peligros, o informan acerca de direc-ciones y destinos. Son esenciales en lugares donde existenregulaciones especiales y los peligros no son evidentes.

FIN DE LAPROHIBICIONSeal normalmente de fondoblanco y cruzada por lneasdiagonales

PANELESCOMPLEMENTARIOSSe colocan debajo o en la parteinferior de la propia seal y precisansu significado

Seales de usoespecfico en poblado

1- Distancia al comienzo del peligro o prescripcin2- Extensin de la prohibicin a un lado3- Longitud del tramo peligroso o sujeto a prescripcin4- Aplicacin de prohibicin o prescripcin5- Itinerario con prioridad6- Presealizacin de detencin obligatoria

PROHIBIDOPRECAUCION OBLIGACIONSeales circulares defondo azul, con orla,texto y smbolosblancos

Seales circulares confondo blanco o azul,marco rojo y figuras devarios colores

Seales triangularescon orla roja, fondoblanco y smbolos ennegro

Circulacin prohibida

Circulacin prohibida

Otros peligros

STOP

Interseccin conprioridad

Interseccin conprioridad sobre va a

la derecha

Interseccin con prioridadsobre incorporacin por la

izquierda

Interseccin conprioridad de la

derecha

Semforos

Cruce de tranva Curva peligrosahacia la izquierda

Curvas peligrosashacia la derecha

Resalto Badn

Bajada peligrosa Estrechamiento decalzada por la derecha

Obras Proyeccin de gravilla Paso para peatones

Ceda el paso Detencin obligatoria Prioridad respectoal sentido contrario

Prioridad en sentidocontrario

Entrada prohibida

Entrada prohibida apeatones

Prohibicin de pasarsin detenerse

Limitacin de peso Adelantamientoprohibido

Velocidadmxima

Estacionamiento prohibido

Autopista Fin de prioridad Paso de uno a doscarriles de circulacin

Bifurcacin a la izquierda Fin de carril

Peligro de incendioFin de va rpida Estacionamientoreservado para taxis

Velocidad mximaaconsejada

Puesto de socorro

Autopistas

Lugares de la red viaria

Estacionamientoprohibido los das pares

Paso obligatorio Velocidad mnima Calzada sin salida

Cercana de un pasoa nivel o puente mvil

Paso a nivel sin barreras dems de una va frrea

Fin de lalimitacin de la velocidad

Fin de la prohibi-cin de adverten-cias acsticas

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2

Seales de fin de prohibiciones

AULADE EL MUNDO

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SEALESDE TRAFICO

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

L a primera nocin que tenemos de conca-vidad y convexidad se refiere a las figu-ras planas, y dentro de ellas a los polgo-nos por ser stos los objetos planos mssencillos. En principio, lo convexo se identi-fica con aquellas figuras que se expandenhacia afuera. En matemticas, un polgonoes convexo si las rectas que trazamossobre sus lados dejan a todo el polgono enuno de los dos semiplanos. Pero podemosdefinir la convexidad sin hacer alusin alplano que contiene. Observa la figura de la derecha: si unimos cualquier pareja de puntos delpolgono convexo con segmentos, los segmentos AB o BC se encuentran dentro del polgono.

C ncavo y convexo son conceptos comple-mentarios y por ello el uno sin el otro care-cen de sentido.Cuando tenemos unafigura cncava, auto-mticamente dispo-nemos de su comple-mentaria que serconvexa, y viceversa.Todo depende delpunto de vista adopta-do. El polgono blanco es convexo pero elexterior, de color rojo, es una regin cncava.

C uando las regiones que deseamos caracterizar como cncavas o convexas no son polidricas,tenemos que acudir a la caracterizacin de las regiones en funcin de los caminos rectos que unensus puntos, como en el caso de los polgonos. Tomemos un cilindro como ejemplo. En la imagen dela izquierda, dos hormigas se hallan en el espacio exterior del cilindro. Si quieren ir una al encuentro dela otra por cualquier camino recto como el pintado en rojo, observamos que el segmento AB se halla enel interior del cilindro, es decir, se sale de la regin en la que estn las hormigas: el exterior es por tantocncavo. En cambio, en la figura de la derecha, las dos hormigas estn en el interior del cilindro. Ahora,cualquier camino recto que tomen las hormigas (AB) se encontrar siempre dentro. Por tanto, el inte-rior del cilindro es convexo.

Hace semanas hablamos en estas pginas de la concavidad y la convexidad en relacincon una obra de Escher. Hoy vamos a definir con el rigor de las matemticas estos dosconceptos que forman parte del lenguaje comn: las cucharas, los tubos, los ojos, lascuevas... son objetos a los que referimos la propiedad de ser cncavos o convexos. Losdos conceptos estn ntimamente ligados y son relativos al punto de vista que se tome.Segn la geometra, comemos con la regin convexa de la cuchara y las rbitas de losojos son convexas como lo es la cueva en la que nos adentramos. Comnmente, sinembargo, solemos referirnos a dichas partes como cncavas.

CONCAVIDAD Y CONVEXIDADPOLGONOS CONVEXOS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD PARA SUPERFICIES CURVAS

UNIDOS PARA SIEMPRE

POLIEDROS CNCAVOS

L os polgonos son cncavos si tienen entran-tes. Esto se ejemplifica en matemticas delsiguiente modo. Observa que si trazas rectaspor los lados del polgono, algunas le dejandentro de un semiplano (el verde en la imagen).Pero si escogemos otro lado, ahora una partedel polgono est en el semiplano verde y otraparte, en el rojo. Observa que al unir dos puntosinteriores A y B, el segmento que los enlaza estcontenido en el polgono, pero si la eleccin esB y C, una parte del segmento sale de la figura.

POLIEDROS CNCAVOS Y CONVEXOS

S e pueden extender estas nociones a regio-nes tridimensionales del espacio. Los polie-dros tambin pueden ser cncavos o con-vexos. En este caso lo que hacemos es trazarplanos que contengan a cada cara. Si el polie-dro queda en el mismo semiespacio, es conve-xo, como sucede en el prisma verde. En casocontrario, el poliedro es cncavo, como le pasa

al de colornaranja. Obser-va tambin queen el poliedroconvexo, laregin interna sepuede comuni-car por segmen-tos que siempreestn en el inte-rior. En cambio,en el poliedrocncavo, algu-nos puntos nopueden unirsepor segmentossin que stossalgan del inte-rior del poliedro.