10a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

7/25/2019 10a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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por Lo lit a Brain

Vivimos e n una s ociedad en la q ue los temas econmicos tienen una importancia c a-pital. Necesitamos el dinero para c as i toda s nuestras a ctivida des. Desde que el mer-ca ntilismo hizo s u apa ricin en la Historia, s e crea ron dos tipos de relaciones entrelos q ue tenan g randes d epsitos monetarios y los q ue neces itaba n del vil metal. Porun lad o, q uien nece sita d inero puede ped irlo prestado a los b anc os, d ebiendo d evolver,ade ms del capital adelantado, los intereses o ga sto por el riesg o a sumido por q uienlo presta. De otro, los q ue disponen de ca pitales ahorrados lo invierten pa ra g enerar ms.

DE CAPITALESE INTERESES

LOS PORCENTAJES

Todo proces o de prstamo de dinero conlleva el uso de un tipode inters que supone la base de clculo para determinarcunto produce e l dinero que se ha invertido o cunta c anti-

dad ha de devolverse por el dinero que se recibe e n concepto deprstamo. Este tipo es un porcentaje. Indica la cuanta que porcad a cien unidad es monetarias se ha de de volver o se ha de per-cibir. Si la b ase de c lculo se proporciona s obre una unidad y nosobre cien, se llama tanto por uno en lugar de porcentaje.

EL INTERS SIMPLE

El modo m s se ncillo de ca lcular el monto de d inero que se percibe por invertir un cap i-tal es el llamado inters simple . Consiste en que el dinero invertido genera un inte-rs, fijado de antemano, en ca da periodo de tiempo que transc urre. El beneficio

depende del tanto por ciento es tipulado , que fija el dinero que se g enera ca da cien uni-dad es monetarias invertidas . P uede calcularse anualmente, sema nalmente, trimestral-mente, etctera, pero la c antidad de beneficio no de pende d e cund o se retire. En laimagen te mostramos cmo se calcula lo que produciran 500 euros al 10 por cientoanual. Por cad a a o se pe rciben 50 euros de be neficio.

INTERS SIMPLE CONTRA INTER

EL INTERS COMPUESTO

El modo m s ha bitual de ca lcular el bene ficio de un ca pital inverti-do es el inters compuesto . Se diferencia del simple en quecad a vez que se ca lcula el beneficio, ponga mos cad a ao, s te

pasa a formar parte del capital, de modo q ue en e l siguiente periodode c lculo, junto al ca pital inicial, se dispo ne de los bene ficios. Eneste ca so ha y mucha diferencia si los intereses se c alculan a nual-mente, mensualmente, trimestralmente etc. ya que cuantas ms

ocas iones se calcule el beneficio, ms veces se ag regar a l capitalinicial el inters produc ido. En la imag en pued es ver el proces o decmo s e ca lculan los intereses que g eneran 500 euros, a l 10 porciento a nual, es de cir, cad a a o se recalcula e l beneficio.

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Los beneficios del inters compuesto se aprecian en las

dos g rficas , que muestran en qu ca ntidad es se convier-ten 500 euros a l 10 por ciento a lo largo d e 45 aos . Si el

inters es s imple, la g rfica es una recta, lo que indica que e lbene ficio es resultado de multiplicar el inters por el nmerode a os. En ca mbio, la grfica inferior muestra la variacin siel inters e s co mpuesto. La lnea responde entonces a uncrecimiento exponenc ial y por tanto, e l idntico c apital inicialnos propo rciona mucho m s be neficio en el mismo intervalode tiempo.


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AULAD E E L M U ND O

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Como sabemos, una de las obligaciones de la ciencia es la de crear leyes matemticasque permitan cuantificar un fenmeno natural. En algunas situaciones eso es lo ms di-fcil de todo; a menudo el fsico escribe ecuaciones que no se saben resolver, lo que nu-tre a la matemtica de nuevos problemas. Pero en otras ocasiones, el propio fenmenonos dice cmo son las matemticas que debemos utilizar al estudiarlo. Es el caso delos movimientos peridicos simples que dibujan maravillosas curvas.

po r L oli ta Brain

CURVAS PARALA ARMONA

Los objetos ms sencillosson valiosas herramien-tas en manos de un buencientfico. O pueden sercausa de dolores de cabe-za. El fascinante y contro-vertido Hooke, creador deun microscopio y eterno ri-val de Newton, se interespor la mecnica, que en supoca ya comenzaba a sermoderna. l determin ex-perimentalmente que el es-tiramiento de un muelle esproporcional a la fuerza quese ejerce sobre l para de-formarlo. Y que el factor deproporcionalidad dependade la elasticidad del muelle.Es la famosa Ley de Hooke.

Hay un gran nmero de fenmenosrelacionados con movimientos re-petitivos que tienen una importanciavital para la mecnica y la fsica engeneral. Un ejemplo cotidiano es elcomportamiento de un muelle que, unavez estirado por aplicacin de una fuer-za, recupera su longitud inicial cuan-do la fuerza deja de ser aplicada. Laelasticidad del muelle proporciona unafuerza recuperadora que le hace os-cilar a ambos lados de su punto deequilibrio. Podemos imaginar una si-tuacin especial en la que no hubierarozamientos. En este caso el muelleoscilara continuamente entre dos pun-tos de mxima longitud y de mnimacompresin.

Estamos habituados a ver siempre representados los fenmenosarmnicos con curvas con forma de onda . Qu relacin guarda elmovimiento del muelle o del pndulo con estas curvas? Es muy sen-cillo: en la figura de arriba se representan algunos momentos del mue-lle en oscilacin sobre un papel milimetrado. El eje horizontal se ha t ra-zado en la posicin de equilibrio del muelle, donde mediremos losinstantes de tiempo. En el eje vertical calcularemos el desplazamientodel muelle respecto de su equilibrio. Basta con dejar oscilar el muelle ylas sucesivas instantneas de su posicin nos dibujan las famosascurvas peridicas. Son conocidas como sinusoides.

HOOKE UN MAESTRO EL MOVI

ROBERTHOOKE(1635 -1703)

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La amplitud refleja el mximo desplazamiento que sufre el muelle o el mazo del pndulo de su posicinde equilibrio. Para el mismo muelle, refleja la intensidad de la fuerza que se ha ejercido sobre l.

Las oscilaciones de estos grficos tienen la misma frecuencia pero amplitudes distintas.

La frecuencia mide la velocidad de la oscilacin en hertzios. Para ello secuenta el nmero de veces, por ejemplo en un segundo, que el muelleadopta la misma longitud. El periodo mide la cantidad de tiempo que nece-sita el muelle para volver a adoptar su posicin inicial y multiplicado por la

LA FRECUENCIA

SU MAJESTAD EL PNDULO

El pndulo es otro grandiosoinstrumento que tiene uncomportamiento anlogo aldel muelle. Separado de su po-sicin de equilibrio, comienzaa oscilar alrededor de la vertical,repitiendo a intervalos iguales elmismo desplazamiento. En estecaso la fuerza recuperadora esla atraccin gravitatoria de laTierra. Si idealmente supone-mos que no hay rozamiento, eldesplazamiento del mazillo del

pndulo se realiza entre unaamplitud mxima.

Para describir adecua-damente un movimientoperidico necesitamosconocer algunos datosimportantes de su modode moverse. La amplitudy la frecuencia son fun-damentales.

FUNCIONES PARA LA PERIODICID

LA AMPLITUD


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AULA .716 . 05 . 02EL MUNDO Jue ves ci en t fi co

C A L C U L O

I N F I N I T E S I M A L ?

Aunque e studiemos las curvas, lo que real-men te sabemos u t i li za r en matemt icasson las rec tas . La TANGENCIALIDAD e s u n

concepto que de algn modo todos entende-

mos. Lo asociamos a aquello que mantiene uncontacto su perficial, se refiere a lo que se toca lo menos p os ib le . Y as es en ma temt icas .La tangente a una curva es la recta que ms se

p a r e ce a l a c u r v a p e g n d os e a e l la , de ta lmodo que para conocer la curva basta con es-tudiar sus tangen tes. Y de paso calculamos lasreas que encierran.

L A PA L A B R A I N F I N I T E S I M A L S E R E F I E R E A C A N T I D A D E S I N F I N I TA M E N T E P E - Q U E A S , PE R O T A L E S Q U E SU A G R E G A D O C O M PO N E U N A T O T A L I D A D .P OR EJE M PL O , L EIB N IZ IM A GI N A BA U N A C U RV A C OM O F OR M A D A POR I N - F I N I T O S T R O Z O S R E C T O S I N F I N I TA M E N T E P E Q U E O S E I N D I V I S I B L ES . S U A GR EG A D O F OR M A RA L A CU RVA .

En nuestra ltima lmina conocimos a Newton y Leibniz, los creadores delCALCULOINFINITESIMAL y descubrimos los detalles que rodearon la polmicade su invencin. Una polmica que lleg ms all de la mera ancdotay que influy determinantemente en el desarrollo posterior de las mate-mticas en Inglaterra -defensora a ultranza de los mtodos de Newton-y la Europa continental, muy especialmente en Alemania, Francia y Sui-za, seguidores del clculo de Leibniz. Por supuesto, ambos eran el mis-mo clculo, pero se interpretaban de modos diferentes.

Cuand o la hormiga se mueve a lo lar-go de la cuerda, pasa por todos suspuntos. Su movimiento describir

esa curva, y como en cada instante es-tar en un p unto de ella, decimos quesu posicin es funcin del t i empo . S i qu is i ramosaver iguar la ve loc idadque llevaba en un instan -te de te rminado , podr a -mos proceder calculandola velocidad med ia que hallevado entre dos puntosy hacer que esos pun toses tn muy cerca . Eso eslo que hicieron de m odosdiferentes Newton y Leib-niz. Encontraron una for-ma de c lculo casi auto-mt ico , de modo que , s i

se conoce la ecuacin de u na curva sepuede averiguar, con unas reglas quedefinieron, cul es su tan gente en cua l-quiera de sus p untos -cul es la velo-cidad de la h ormiga-. Pero esto fue slo

el principio. Si te fi- jas bie n , lo q ue co no -cemos de la realidad,de un fenmeno, sonsus cam bios y a partirde e l los t ra tamos deconocer el propio fe-nm eno. Por ello, loque se conoce de unac u r v a e s c m o c a m -bia. El clculo infini-tes imal nos permi teaver iguar todo de lacurva, o sea del fen-meno

por L olit a Bra in

Como todos los descubrimientos impor-tantes del pensamiento humano no apa-recen por arte de m agia, ni surgen por-

que s, Newton y su manzana es tan slo unaleyenda. Y el clculo infinitesima l descu-b ie r to por Newton y Le ibn iz es he rederode mu chos matem ticos y pensadores. Lascurvas han sido hijas predilectas de la Ge-ometra de sde los tiempos de la Grecia Cl-sica. Asociadas al m ovimiento y a los fen -men os fsicos, conocer su s propiedad es y dis-poner de mtodos que permitieran calcular,

por e j emplo , su long i tud , fue ron p r ob le -mas que perdur aron duran te siglos. Eudoxoy Arqume des son los pioneros en tratar con

pa rt es m uy p eq ue as .Por otro lado, desde mediados del sigloXVII, comenzaron a surgir ideas queenfocaran los problemas relat ivos a lascurvas de otro modo: la manera an al t icaa diferencia de la geomtrica seguidahasta entonces.Ren Descartes asoci a cada curva unaexpresin algebraica, una ecuacin o fr-mula que la representa formalizando dealgn modo las curvas. Pierre Fermat,otro de los grandes de la poca, encuentraun mtodo para averiguar en qu puntosuna curva se hace m xima o mnim a. Y elingls John Wallis consigue probar quelos dos grandes problemas relacionados

con las curvas -determinar sus tangentes ycalcular el rea que en cierran- estn rela-cionados. Wall is, bri l lantemente, pr uebaque para calcular un rea basta conocerlas tangentes de otra curva.Por qu tanto esfuerzo sobre los mismosconceptos? En esta poca, las curvas seinterpretan no slo como entidades geo-mtricas sino como la traza de un m vil,como la expresin del movimiento de unobjeto. Y ello choca con conceptos muyprofundos, porque el movimiento es con-t inuo, sin sal tos, y el t iempo tambin escontinuo. Y tratar con cantidades tanpequeas como se quieran -no hay un ins-tante posterior a uno dado, ni hay unpunto siguiente a otro- obliga a calcularcon infinitas cosas.

U N P O C O D E H I S T O R I AXVI - XVII

El nuevo C lculo pe rmiti resol-ver problemas afrontados des-d e h a c a m u c h o t i e m p o . P a r a

q u e t e h a g a s u n a i d e a d e l o q u epreocupaba por entonces a los ma-temt icos , bas ta un e jemplo : e n - c o n t r a r l a c u r va q u e a d o p t a u n a cadena a l se r co lgada por sus ex- t r e m o s . Nadie sab a cu l e ra . Sehaba aventurado que era un arcode crculo. Leibniz demostr -en laimagen su dem ostracin- que erauna CATENARIA , curva de la que yat e h e m o s h a b l a d o y q u e s e r e l a -ciona con los logaritmos.

L A S T A N G E N T E S SE O B T I EN EN EN CA L CU L O , T RA Z A N D O SE CA N T ES Y APR OX IM AN D O EL PU N TO A L D E TAN - G E N C I A .

P I E RR E F ER M AT ( 1 6 0 1 - 1 6 6 5 )

R E N D E S C A RT E S ( 1 5 9 6 - 1 6 5 0 )

J OH N W A L L I S ( 1 6 1 6 - 1 7 0 3 )

I S A A C B A R R O W ( 1 6 3 0 - 1 6 7 7 )

V OLTAI RE E N R E FE R EN C IA A L N U E VO C AL C UL O I N FI N IT E SI M AL

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AULAD E E L M U ND O

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UN PRINCIPIO PARA TODO LA DISCORDIA DE

EL CLCULO DE VARIACIONES

Nacido como un principiometafsico, el francs PierreLouis Morea u de Maupertuis(1698-1759) enun ci en 1744 elprincipio que lleva su nombre:en todo cambio que se produz-ca en la Naturaleza, la canti-dad de accin necesaria paratal cambio ha de ser la mnimaposible . Maupertuis cuantificsu ley utilizan do idea s d e Leibnizen la frmula:acc in= energ a x tiempo .Pa ra Maupertuis, es ta ley funda-mental era manifestacin de lasabidura y de la existencia deDios. Este principio moral calprofundamente en la fsica y enla matemtica de la poca. Dealgn modo, intervino en elespectacular desarrollo de lastcnicas para resolver proble-mas en los que se busca respon-der a preguntas sobre q u es loms alto, lo ms rpido o lo mscorto: el c lculo de va riac iones.

DIDO, LA PIEL DE VACA Y EL PR

Para que puedas apreciar el valor delPrincipio de Economa te mostramoslos dibujos de los esqueletos de la

especie Callimitra , unos protozoos radio-larios con esqueleto

calcreo, cuyas for-mas geomtricas

nos as ombran por fas-cinantes. El bilogo alemn

Haeckel hizo cientos deestos dibujos de s us obse r-vaciones. Cuando introdu-cimos una estructura dealambre con forma de tetra-edro en jabn lquido, alsacarla comprobamos quese forman unas pelculas dejabn que envuelven unaburbuja central. Resulta que

estas formas c oinciden conlas de los radiolarios. En

ambos ca sos, estas formas son las q ue consiguen elmeno r rea pos ible, lo que las co nvierte en superfi-cies minimales. Esta m enor superficie proporcio-na mayor estabilidad y equilibrio o economa derecursos para s u construccin. So n las llama das superfi-cies d e P lateau (1801 -1883).

El matemtico y fsico LeonardEuler haba d emostrado en 1744que el princ ipio de m nima accin permita deducir elmovimiento d e los planetas.Estaba convencido de quelos fenmenos de la natu-raleza obedecan a unprincipio segn el cual,tras los fenmenos deluniverso se halla unamagnitud que se hacemxima o mnima y q ue esoexplica el fenmeno. Loescribi en un apndice delprimer libro de clculo de varia-ciones: Un mtodo para ha llar lne-as c urvas que g ocen de una propie-dad mxima o mnima. Y loescribi dos aos antes que Mau-

pertuis pub lica ra su libro. En s te, elfrancs mencion que

Euler hab a aplic ad o sumtodo, y no recono-

ci la primaca deEuler en enunciarcon mucho msrigor el Principiode Economa.Ante el asombrode todos, Euleradmiti pblica-

mente la primacade Maupe rtuis.

Por aquel entonces,Euler perteneca a la

Acad emia de Berln, de la queMaupertuis era su presidente. Perosu actitud le proporcion tal recha-zo q ue ab andon Berln en 1753.

Maupertuis particip en la exped icin al rti- co d e princip ios del XVIII para medir el meri- diano terrestre. Fue nombrado p residente de la Real Academ ia de Berln p or Federico II, en 1746.

Dido fundando Cartago. J . Turner. 1815.National Ga llery. Londres .

A la hora de investigar la Naturaleza, el hombre ha deseado siempre encontrar leyes muyge nerales y de a mplios c amp os d e ap lica cin, que le permitieran explica r su co mportamiento.En ese pa pel, las matemticas, pero no s lo ellas , han tenido y tienen mucho q ue dec ir. Lapresenc ia de formas o de o rganizaciones repetida s una y otra vez entre a nimales o minerales,entre es tructuras as tronmicas o microscpicas, parecen q uerer decirnos que es posible q ueesa s leyes existan . En el siglo XVIII se ha ll un principio me c nico al q ue las matem ticas ven-dran a da r soporte y cons istencia: el Principio de Maup ertuis.

por Lo lit a Brain

loli tabrain @ loli tabrain.com

Ala luz de l clculo infinitesimalinventado por Newton y Leib-niz, naci el clculo de varia-ciones que busca resolver pro-blemas de optimizacin, comopor ejemplo qu curva es la msrpida por la q ue ca e librementeun objeto o qu c amino es el mscorto para conectar puntos deuna esfera. Son problemas muyimportantes ya que en nuestras

vidas constantemente mejoramos a cos ta de encontrar la forma ms a erodin-mica para un coche o las dimensiones delbrick ms e conmico para embotellarun litro de leche. Los Bernoulli, Euler y Lagrange son los padres de esta teoramatem tica q ue resuelve sistemticame nte estos problemas.

EL CLCULO DEVARIACIONES

La princesa fenicia Didosegn se cuenta en laEnei- da de Virgilio hubo de huirde s u hermano el rey Pigma lin.Arrib en frica, d onde se fun-dara despus C artago, y pidia J arbas d e Numidia que le ven-diera tierra para po der tener unapatria. Jarbas le sugiri queslo le proporcionara la tierraque pudiera ser encerrada enuna piel de vaca . Inteligente-mente, Dido hizo c ortar en tirasmuy finas la p iel y fab ric un lar-

go cordel con ellas. Extendien-do la c uerda has ta formar un cr-culo, consigui encerrar lamayor cantidad posible deterreno. Dido an afin ms yextendi el corde l en lnea rectaparalela a una playa, formandoun semicrculo que le dio anms terreno. Y esto es as por-que la circunferencia es, detodas las curvas que midan lomismo, la que encierra mayorrea; es la s olucin a un proble-ma isoperimtrico.

J AKOB B ERNOULLI ( 1654 - 1705)

J OSEPH -L. L AGRANGE ( 1736 - 1813)

LAS POMPAS DE JABN Y LOS RADIOLARIOS

LOS ESQUIMALES,SABIOS MATEMTICOS

Los esq uimales resolvieronun clsico problema declculo de variacionescientos de aos antes quenacieran los Bernoulli. Paraellos ms que para otroshumanos, la forma de sucasa ha de es tar bien pensa-da c on el fin de propo rcionarla menor superficie (paraman tener el calor), y a la vezdeb e se r lo ma yor posible. Los igls q ue con struyen tienen la forma p ti-ma pa ra esas condiciones.En matemticas el problema s e enunciara a s: averiguar cu l es el reaen el espa cio que pa ra un volumen da do ha ce mnima s u superficie.


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AULADE EL MUNDO

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Pocas veces en la Historia encontramos familias con una voca-cin tan decidida hacia cualquier rama del saber que las haga va-ledoras de los mayores mritos. Y mucho menos en Matemti-cas. Hubo, sin embargo, una familia de origen holands que, araz de las persecuciones dirigidas contra los protestantes por elDuque de Alba en 1576, huy a Basilea (Suiza) en 1583. Eran los

Bernoulli, una familia de comerciantes de especias y banqueros.El padre, Niklaus (Nicols), hizo todo lo posible para que sushijos no se dedicaran a las Matemticas. Sin embargo, en sufamilia hubo 11 miembros dedicados a las Matemticas y a laFsica. Tres de ellos ocupan puestos de honor: Jakob, su hermanoJohann y el hijo de ste, Daniel.

por Lolita Brain

L O S B E R N O U L L I

JOH A NN BER NOULLIocup la Ctedra de Ma-temticas en Groningen (Holanda) hastala muerte de su hermano Jakob en 1705,fecha en la que tom posesin de su cargo enBasilea. Entusiasta de las Matemticas y aman-te de las controversias, mantuvo una rivalidadtenaz con Jakob, quien le adiestr en esta ma-teria, y con su hijo Daniel, a pesar que fue lmismo quien le haba inculcado el amor por estaciencia. Con Jakob mantuvo continuas dispu-

tas pblicas en diversas publicaciones, siempre motivadaspor el recelo profesional y la atribucin de los descubrimientos.

Se sinti muy herido porque Jakob, molesto por la habilidadde su hermano menor con el clculo diferencial, comentabasiempre con despecho de l es mi alumno . Tambin se cuen-ta que, en una disputa cientfica, falsific la firma de una de-mostracin realizada por Jakob para atribuirse la victoria.

Pero, sin duda, fue el problema de laBRAQUIS-TOCRONA el que ms fama le dio. Publicado en1696 en la revista de Leibnitz, Acta Eroditorun , Johann propuso encontrar la curva que debe- ra seguir un objeto que cayera desde un punto a otro, bajo efecto de la gravedad, para emplear

el menor tiempo posible . l co-noca la solucin, y dio de plazoseis meses a los matemticospara resolverlo, pero el plazohubo de ampliarse, ya que no serecibieron soluciones. Al cabode un ao slo cuatro respues-tas se presentaron. Una era de Jakob. Otra, annima. Johann,al leerla, exclam: "Reconoz- co al len por las garras ". El au-

tor era nada menos que Newton. Segn el ama de llaves de ste,

Newton recibi el problema a las cuatro de la tarde, y lo re-solvi a las cuatro de la maana. ElCLCULO DE VARIACIONEShaba nacido. Pero sa es otra historia.

EN SU V IA JE a Pars de 1692, Johann conoci al in-fluyente CONDE DELHPITAL . Trasadiestrarle en el cl-culo diferencial deLeibniz, Johannacord con l que leenviara sus descu-brimentos a cambiode un estipendio. Aslo hicieron, pero cul fue

el asombro de Johann cuandocomprob que LHpital

haba publicado sus re-sultados en su Analy- se des infiniment en1696. En dicho textoaparece la R EGLA DE LH PITAL , que to-dos los estudiantes

de Bachillerato cono-cen. Pues es de Ber-

noulli!

J A K O B ( I )

N I K L A U S ( I )

J O H A N N ( I )

J AKOB, el quinto de una familia de10 hermanos, fue catedrtico enBasilea desde 1687 hasta su muer-te, en 1705. Fue de los primeros enusar el clculo diferencial, reciente-mente descubierto por Newton y Leib-niz, respecto del cual adopt la nota-cin de este ltimo. Foment su usopara la resolucin de problemas geo-mtricos. Fue el primero en recomen-dar a Leibniz el trmino INTEGRAL

J O H A N N ( I I )

N I K L A U S ( I I )

N I K L A U S ( I I I )

1654 1705

1662 1716

1667 1748

1687 1759

1782

1790

1807

1700

1744 A STRNOMO REAL Y DIRECTOR DE ESTUDIOS MATEMTI-COSEN LA A CADEMIA DEBERLIN CON19 AOS

PROFESOR ENB ASILEA , V ERONA Y S AN PETERSBURGO

C TEDRA DE MATEMTICAS ENB ASILEA 1695 1726

Hizo inscribir en su tumba una spira mi- rabilis (espiral logartmica) con el textoEaden mutata resurgo (aun siendo mo-

dificada, surjo de nuevo la misma)

J A K O B ( I I )

C TEDRA DE MATEMTICAS ENB ASILEA J O H A N N ( I I I )

1710

UNO DE L OS GR A NDES descubrimientos deDaniel es la conocida como L EYDEBER -NOULLI, que es el principio por el que losaviones pueden volar. El principio vienea decir que cuanto mayor sea la velocidadde un fludo (un gas o un lquido), menores la presin que ejerce sobre un objeto in-merso en l. Las alas, en su movimiento ypor su forma, hacen que el aire superior semueva ms rpido y que, por tanto, ejer-za menor presin que el aire inferior. Elaire empuja entonces al ala y favorece el vuelo. Tambin estudi la forma que de-bera tener el perfil de las alas

D ANIEL fue uno de los treshijos de Jo-hann de-dicados alas Mate-mt icas .Con mu-cho, elms bri-llante. Igualque hizo supadre con l, Jo-hann trat de convertir a Da-niel en un comerciante e im-pedir que se hiciera matem-tico. A los 13 aos, Danielhaba pasado mucho tiempocon su padre y haba apren-dido de l Matemticas, peroste le impuso estudiar Medi-cina. As hizo, aunque noabandon nunca las Mate-mticas. Fue amigo ntimodel gran Euler, alumno de supadre. Ambos tienen el r-cord de haber recibido cinco

premios especiales de la Aca-dmie des Sciences de Pars

M ANTUV O CON SU PA -DREuna fuerte riva-lidad. En 1734, am-bos recibieronun premio de la

Acadmie des Sciences de Pa-rs por un tra-bajo sobre lasaplicaciones delas probabilida-des a las rbi-tas planetarias. Johann, heridoporque su hijo fuera un igual, le ech de casa.

Cuando en 1738 publi-c la Hydroynamica, lofirm como Daniel Ber-

noulli, hijo de Johann en unintento de re-conci l iacincon su padre.Sin embargo, Johann publicun ao des-pus, su Hy- draulica, muyparecido al tex-

to de su hijo. Plagio ocolaboracin?

Junto a Euler, Daniel estudi la presin san- guinea. Descubri un sangriento mecanismo para medirl a que seus durante el XVIII.

17081623N I K L A U S

D A N I E L ( I )

En el Arte dela Conjetura,recopila sus co-nocimientos sobre las pro- babilidades. En l aparecen los famosos N -MEROSDE B ER -NOULLI , su-mas de infinitos trminos (se-ries) y plantea el inters conti-nuo...y la Ley de los GrandesNmeros

Jakob fue un apasio-nado de las curvas.Plante y resolvi elproblema de la curvaISCRONA e invent lacurva LEMNISC ATA DEBERNOULLI. Pero su

gran pasin fue la ES-PIR AL LOGARTMIC A :descubri que las curvas asociadas a ella(su evoluta, su pedal,etc.) vuelven a ser es-pirales logartmicas

Lemniscata de Bernoulli Espiral logartmica

1759 1789

AIRE ALA

presin ejercida por el aire con movimiento lento

p r e s i n

e je r cid a p o

r e l m o v i m i e n t o r p i d o


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Generaliz la frmula del binomio que lleva su nombre, demos-

trando que era aplicable a cualquier exponente

BINOMIO DE NEWTON

En 1665, Newton explic por primera vezla fuerza de gravedad. Parece ser que lacada de una manzana, no se sabe si ensu cabeza, le hizo descubrirla. Mediantela ley que enunci, se demostrmatemticamente el curso de los planetasalrededor del Sol, que se explica por laatraccin mutua entre los astros. Adems,esta relacin tambin se generaliza a todaclase de cuerpos. La fuerza con la que seatraen es directamente proporcional alproducto de sus masas, e inversamente alcuadrado de sus distancias; y la direccines la de la lnea que los une. La gravitacindetermina los diversos movimientos ytrayectorias de los astros y el hecho deque la Tierra mantenga sobre s misma alos seres vivos y a los inorgnicos. Es unade las cuatro fuerzas que conocemos enla Naturaleza. El carcter de universal aludea que esta fuerza rige en todo el cosmos

GRAVITACION UNIVER

Textos: Manuel IrustaInfografa: Juan Emilio Serrano / EL MUNDO

Este matemtico, fsico y astrnomo ingls naci en 1642 y muri en el ao 1727. En 1661ingres en la Universidad de Cambridge, donde ms tarde ocup una ctedra. Tambin presidila Royal Society , sociedad de carcter cientfico, y la reina Ana le otorg el ttulo de caballero(1705). Con sus estudios estableci la ley de la gravitacin universal y los principios fundamentalesde la mecnica clsica. Determin la masa del Sol, la de los planetas y la causa de las mareas.La unidad de fuerza del Sistema Internacional de Unidades se denomina newton (N) en suhonor; equivale a la fuerza que ejerce la aceleracin de un metro por segundo cada segundo,sobre una masa de un kilogramo.

ISAACNEWTON

LAS LEYES DE NEWTONFormul los tres postulados principales de la dinmica. El primero, conocido como principiode inercia, supone que todo cuerpo contina en su estado, de reposo o de movimiento uniformey rectilneo, si sobre l no acta ninguna fuerza. El segundo, la ecuacin fundamental de ladinmica, establece que si se aplica una fuerza ( F ) sobre un cuerpo, se produce una aceleracin(a ) proporcional a la fuerza y en la misma direccin de sta (su expresin es F = m .a , donde m es la masa del cuerpo). El tercero, llamado principio de accin y reaccin, afirma que cuandouna partcula ejerce una fuerza sobre otra, sta responde con igual intensidad y direccin sobreaqulla, pero en sentido opuesto.

Newton advirti que el instrumentotradicional de refraccin, que usaba lentesde vidrio, produca un halo de colores falsosalrededor de los astros. Las ondas de losrayos de luz, al ser de diferentes longitudes,se desvan en diversos ngulos al pasarpor un vidrio. Por eso, un haz azul se refractaen un ngulo ms agudo que uno rojo. Paraevitarlo, dise un telescopio reflector, deslo 2,5 centmetros, que concentraba yenfocaba la luz por medio de espejos

Sus investigaciones establecieron quela luz blanca se compone de todos los

colores del espectro luminoso. Descubrilos anillos de Newton, una serie de

franjas que surgen cuando un haz incidesobre una superficie convexa de vidriosituada encima de otra plana. Tambin

desarroll la teora corpuscular de la luz

En 1672, Newton envi una breveexposicin de su teora de los colores ala Sociedad Real de Londres. Su obraPrincipios Matemticos de la Filosofa Natural (1687) desarroll sus estudiosy supone el fundamento de los mtodosde la ciencia moderna. En 1704, publicel mtodo de fluxiones y Optica , donderecopil y extendi sus investigacionessobre la luz y el color

Descubri una manera nueva de calcular reas limitadas porcurvas. El lo llam clculo de fluxiones, y nosotros loconocemos como clculo diferencial

MATEMATICAS

CICLOIDETRIDENTE DE NEWTONxy= cx 3 + dx 2 + ex + f x= r(

-sen )y= r(1-cos )

TELESCOPIO

OPTICA

PUBLICACIONES

PLU TONNEPTUNO

URANO

TIERRA

MARTE

JUPITER

SOLVENUS

SATURNOMERCURIO

(a+b) n= a n-hhn

bn

h=0

h


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AULAD E E L MU ND O

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Lo que aparentemente es slo un juego puede convertirse en un valioso modelodonde estudiar dificIles temas matemticos. Un caso estrella es el del juego de lasTorres de Hanoi inventado en 1883 por el matemtico francs Edouard Lucas. Alabrigo de una preciosa leyenda inventada por Lucas, se hizo muy famoso a finalesdel siglo XIX. Con el tiempo la computabilidad hizo uso del juego para estudiar nadamenos que la eficiencia de algoritmos.

por Lolita Brain

CUNTO DURAR

EL MUNDO?

www.lolitabrain.com

En Benars, en la India,cuenta la leyenda queel Dios creador Brah-ma entreg a los monjestres vstagos diamanti-nos sobre una base debronce. Ensart enton-ces 64 discos de oro,todos de dimensionesdistintas, en uno de lasvarillas, dispuestas demodo que el mayor estu-viera en la base y los dis-cos fueran decreciendo en tamao. Y orden entonces a losmonjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vs-tagos de modo que en cada traslado slo un disco dorado fuesemovido, y de modo tal que nunca un disco tuviera bajo s otro demenor tamao. Al final sentenci: Cuando hallais acabado latarea el mundo se vendr abajo como montaa de polvo .

Pn ara que comprendamos por qu este juego puederesolverse recursivamente, vamos a fijarnos en unaTorre de Hanoi con cuatro discos y vamos a solucionarloutilizando el procedimiento que conocemos para el de 3discos. De este modo, para resolver una torre de 4, senecesita solucionar la de 3 discos. A su vez la solucin de latorre de 3 discos, se reduce a la de 2. Esta es la recursin.

Segn la leyenda, el mundo durara el tiempo inverti-do por los monjes en resolver una Torre de Hanoide 64 discos. Si bien, solucionar el juego no es muy

difcil, el nmero de movimientos necesarios parahacerlo crece exponencialmente conforme aumentael nmero de discos. Contemos utilizando la recursi-vidad de la solucin.

Un procedimiento se llamaALGORTMICOsi puede mecanizarse atravs de un conjunto finito de instrucciones elementales y fijados deantemano. Por ejemplo, la forma que invent Euclides para calcularel mximo comn divisor o cmo preparar un plato culinario.

El proceso algortmico se denominaRECURSIVOcuando su ejecucinrequiere de la repeticin similar de pasos, en cada uno de los cualesel procedimiento sellama a s mismo para ejecutarse pero sobre valo-res menores de algn parmetro. Es similar a los fenmenos autorre-ferentes.

Este es el estado inicialdel juego con 4 discos.

Tras siete movimientosconseguimos movertres discos a otro vsta-go. La pieza mayor nose ha movido todava.

En un movimiento lle-vamos el disco mayoral vstago vaco.

Con siete movimientosms llevamos la pila detres discos sobre eldisco mayor. El juegoha terminado.

TENA RAZN BRAHMA?

K URTGDEL(1906 -1978)

POR QU ES RECURSIVO ESTE JUEGO?

An continuacin pue-des ver una solucinde las Torres deHanoi, para el caso detres discos. Son

necesarios sietem o v i m i e n t o scomo mnimopara resolvereste sencillo

caso.

AS SE JUEGA

N DE DISCOS N MNIMO DE MOVIMIENTOS

1=20

Estado inicial. Llevar la torre a unvstago vaco.

El primer movimiento es obvio.

El segundo tambin esta decidido.

Hacemos sitio para mover el mayor

Movemos el disco mayor. Por fin!

Ahora volvemos al paso uno.

Repetimos el paso dos y ya est!

2 TORRES DE2 + 1 MOVIMIENTODEL DISCO MAYOR



3+1+3=7=2 3-1

7+1+7=15=2 4-1

15+1+15=31=2 5-1

7 mvtos.

7 mvtos.

1 mvto.

LA RECURSIVIDAD Y LA LGICACuando desde el primer ter-cio del siglo XX, losmatemticos se adentraronen la computabilidad y en laautomatizacin del razona-miento, encontraron un tipoespecial de funciones, lasllamadas FUNCIONES RECUR-SIVASPRIMITIVASa partir de lascuales es posible construirtodo el acervo matemticocomputable. Por supuestoestas funciones son recursi-vas no slo por su nombre.

LA LEYENDA

1+1+1=3=2 2-1

2 TORRES DE1 + 1 MOVIMIENTO DELDISCO MAYOR

Si los discos son 64, como en la leyenda, se necesitan264-1=18.446.744.073.709.551.615movimientos.Invirtiendo 1 segundo por movimiento y dedicando 24horas al da se necesitaran casi 6.000 millones desiglos.

10a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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