10a Elasticidad
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Aplicaciones de la teora matemtica de la elasticidadmatemtica de la elasticidada problemas de geotecnia
(84.07) Mecnica de Suelos y Geologa
FIUBA
-
ndice
Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
a
E
l
a
s
t
i
c
i
d
a
d
Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a
Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
A
p
l
i
c
a
Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p
2
-
Elasticidad lineal isotrpicaa
E
l
a
s
t
i
c
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d
a
d Concepto: un slido tiene comportamiento elstico si luego de un ciclo de carga y descarga recupera su forma y no disipa energa en forma de trabajo de
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a su forma y no disipa energa en forma de trabajo de deformacinLa elasticidad lineal isotrpica se escribe como
A
p
l
i
c
a La elasticidad lineal isotrpica se escribe como
= E (unidimensional)
Ti d t t i l E i j = K kk i j + 2G i jd (general, en componentes)
Tiene dos parmetros materiales: E, 3
-
Elasticidad lineal isotrpica, estados 2D
a
E
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s
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c
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d
a
d
xx& 1- 0 xxe&
Deformacin plana
a
c
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n
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s
d
e
l
a
yy&zz&
= E
1 - 2 ( ) 1 + ( ) 1- 0 1- 00 0 0 1 2
yye&zze&
A
p
l
i
c
a
xy& 0 0 0 1 2 xye&
Tensin plana
& xx& yy
= E
1 21 0 1 0
& xx& yy
4
& xy
1 2
0 0 1
& xy
-
Restricciones a los parmetros elsticos
a
E
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s
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d
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d El trabajo de deformacin debe ser una funcindefinida positiva
a
c
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A
p
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c
a
( )1 EE EG K E 5
( ) ( )( )
( ) ( )2 3 2 2oedG K E 1 + 1 1 + 1 = = =
-
Elasticidad aplicada a problemas geotcnicos
Condiciones necesarias Las tensiones inducidas en
l t ha
E
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s
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d
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hiperbola deKondner
iE
d
dfu
el terreno son mucho menores a su resistencia(no hay plasticidad pora c
i
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n
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a
resultadoexperimental
df
(no hay plasticidad por corte)
Los suelos estn sobre-
A
p
l
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c
a
1Los suelos estn sobreconsolidados (no hay plasticidad por
1
11
df
i df
RE
=+
( y p pcompresin)
61f
-
ndice
Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
a
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d
Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas
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Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
A
p
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c
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Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p
7
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Teora de Boussinesq para carga puntual
Hiptesis El terreno es un slido
l ti t idi i la
E
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a
d
elstico tridimensional semi-infinito con parmetros elsticos constantesa c
i
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s
d
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a
elsticos constantes Se aplica una carga
concentrada normal
A
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c
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concentrada normal a la superficie del terreno
8
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Teora de Boussinesq para carga puntual
a
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Teora de Boussinesq para carga puntual
5 2
a
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d z = 3Q2 z21
1+ r z( )2
a
c
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d
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a
r = Q23r 2z
r 2 + z2( )5 2 1 2
r 2 + z2 + z r 2 + z2( )1 2
A
p
l
i
c
a
r + z( ) r + z + z r + z( ) = Q 1 2( ) z( )3 2
1
( )1 2
2 ( ) r 2 + z2( )3 2 r 2 + z2 + z r 2 + z2( )1 2
3Q rz2
10
rz = 3Q2rz
r 2 + z2( )5 2
-
Isobaras de tensiones totales en planos horizontales
a
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11Carga lineal Carga puntual
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Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
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Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas
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Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
A
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Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p
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Carta de Plasticidad
Dibuje la base en escala
de Newmark
a
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d (AB / Profundidad)
z = N q
a
c
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z 200
q
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Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
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Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas
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Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
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Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p
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Distribucin de tensiones bajo zapatas rgidas y flexibles
Zapata rgida: igual asentamiento, mayor presina
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mayor presin en los bordes
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a
Zapata flexible: igual presin
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igual presin, mayor asentamiento en el centro
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Tensiones verticales bajo zapatas en distintos tipos de suelo
a
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Teora de elasticidadrigidez independiente
del confinamiento
Arenasrigidez nula sin confinamiento
Arcillasplastificacin parcial del borde de zapata
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a
del confinamiento confinamiento del borde de zapata
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Tensiones bajo una zapata circular, cuadrada y lineal
Cuadrada Lineal
a
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17 Circular
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Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
a
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Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas rgidas
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a
Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
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Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p
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Mtodo de Schmertmann
a
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a
d
1 ( )( )
a
c
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o
n
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s
d
e
l
a z = 1Es v + 2 + 3( )( )
q I (del grfico)
A
p
l
i
c
a z = EsI z (del grfico)
= z dz z0
19
-
Mtodo de Schmertmann
a
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s
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a
d
a
c
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n
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l
a
= q z I z
A
p
l
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c
a
c = q z Es jj=1...n
zmax = 2 1+ log LB
B
20
max g B
-
Mtodo de Schmertmann
a
E
l
a
s
t
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c
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a
d ( )1 2 3 ( )0 5 0 1
zD s
zD
c c c q I H E
qI
= = +
a
c
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o
n
e
s
d
e
l
a
( )10.5 0.1
1 0.5
pzp
zD zD
I
c q
= +
=
A
p
l
i
c
a
( )[ ]2
3
1 0.2 0.11.03 0.03 / 0.73
c log tc L B
= +=
21
-
Mtodo de Schmertmann para zapata enterrada
a
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d
a
c
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n
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s
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e
l
a
A
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l
i
c
a
c = q 'v0( ) z I 'zEs
jj=1...n
I 'z I z = f D B( )
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Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
a
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Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas rgidas
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a
Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
A
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Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p
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-
Empujes laterales sobre paramentos verticales
a
E
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a
s
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c
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d
a
d
z = 2Qz3
x2 + z2( )2 x =2Qx2z
x2 + z2( )2
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a
( ) ( ) zx = 2Qxz
2
x2 + z2( )2
A
p
l
i
c
a
x + z( )
24
-
Empujes laterales sobre paramentos verticales
a
E
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a
s
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c
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d
a
d
z = 2Qz3
x2 + z2( )2 x =2Qx2z
x2 + z2( )2
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a
( ) ( ) zx = 2Qxz
2
x2 + z2( )2
A
p
l
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c
a
x + z( )
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Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
a
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Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas rgidas
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a
Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
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Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p
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-
Coeficiente de reaccin de la subrasante - definicin
a
E
l
a
s
t
i
c
i
d
a
d El coeficiente de reaccin de la subrasante es el cociente entre la presin p aplicada sobre una placa rgida y el asentamiento medido (PLT)
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a rgida y el asentamiento medido (PLT)
A
p
l
i
c
a
pk =sk
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-
Coeficiente de reaccin de la subrasante teora elstica
a
E
l
a
s
t
i
c
i
d
a
d La teora de la elasticidad predice que
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a
ks = p 1.35EB
A
p
l
i
c
a B
28
-
Coeficiente de reaccin de la subrasante teora elstica
a
E
l
a
s
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c
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d
a
d La teora de la elasticidad predice que
a
c
i
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n
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s
d
e
l
a
ks = p 1.35EB
A
p
l
i
c
a
El coeficiente de reaccin d d d l t
Bdepende del tamao y forma del rea cargada
29
-
Coeficiente de reaccin de la subrasante teora elstica
k 1 35 E B
a
E
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d
a
d Placa dimetro B0
B 2 1 B ks0 1.35E B0
a
c
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n
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d
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l
a
E constante, base B x L
ks ks0B0B
23+ 1
3BL
A
p
l
i
c
a
E creciente con prof,b B L
ks ks0B+ B0
2B
223+ 1
3BL
base B x L s s0 2B 3 3 L
30
-
Principios de funcionamiento de una viga / platea sobre medio elstico
a
E
l
a
s
t
i
c
i
d
a
d Una platea sobre medioelstico se resuelve comoun problema de Winkler
4 0pwD
+ =
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a un problema de Winkler [ ]4 0sp k w wwD
+ =
A
p
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c
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31
-
Principios de funcionamiento de una viga / platea sobre medio elstico
a
E
l
a
s
t
i
c
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d
a
d Una platea sobre medioelstico se resuelve comoun problema de Winkler
4 0pwD
+ =
a
c
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n
e
s
d
e
l
a un problema de Winkler
Li it i
[ ]4 0sp k w wwD
+ =
A
p
l
i
c
a Limitaciones Existen fuertes acopla-
mientos entre resortesmientos entre resortes A largo plazo se pro-
ducen asentamientos
32
ducen asentamientosadicionales
-
Principios de funcionamiento de una platea sobre medio elstico
a
E
l
a
s
t
i
c
i
d
a
d El acoplamiento se considera usualmente mediante una reduccin del
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a mediante una reduccin del mdulo de reaccin de la subrasante en el centro del
A
p
l
i
c
a subrasante en el centro del rea cargadaEl mtodo es razonable para pel diseo estructuralSus predicciones de
33
pasentamiento son pobres
-
Coeficiente de reaccin para pilotes con carga horizontal
a
E
l
a
s
t
i
c
i
d
a
d El coeficiente de reaccin se emplea para el diseo estructural de pilotes con carga horizontalD d d l i id d l t f did d
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a Depende de la rigidez del terreno en profundidad
k = 0 65 Es D4
12Es
A
p
l
i
c
a
E : Mdulo de Young suelo (puede variar con la profundidad)
kh = 0.65 Ep I p12
1 2Es: Mdulo de Young suelo (puede variar con la profundidad)Ep: Mdulo de Young pilote: Mdulo de Poisson del sueloD Di t / h d l il t
34
D: Dimetro/ancho del piloteIp: Momento de inercia pilote
-
ndice
Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq
a
E
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d
a
d
Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas rgidas
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a
Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad
A
p
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c
a
Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico (Mathematica) j p ( )
35
-
Bibliografa
Bsica USACE. Settlement analysis.
Ji S l t l G t i Ci i t R da
E
l
a
s
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i
c
i
d
a
d
Jimenez Salas et al. Geotecnia y Cimientos. Rueda Powrie. Soil Mechanics, Concepts and Applications.
Spon Press
a
c
i
o
n
e
s
d
e
l
a
Spon Press Bowles. Foundation analysis and design. McGraw-Hill.
Complementaria
A
p
l
i
c
a
p Poulos & Davis. Elastic solutions for soil and rock
mechanics. CGR Sidney FHWA. Soils and foundations (I & II)
36