7/25/2019 8a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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Tenem os la ide a d e q ue entre rea lidad y represe ntacin existe una c orresp onde nciabiunvoca : todo lo que d ibujamos c orrespo nde a un objeto en la rea lida d. Nada ms ale-jad o de la verda d. S i algo existe pod emos represe ntarlo, pero ha y mltiples ejemplos dereprese ntaciones q ue no tienen correlato en la realida d. Dibujos, grab ad os y ha sta foto-grafas nos p uede n prese ntar objetos q ue son s encillam ente impos ibles de c rear fsica-mente. M.C. Esc her fue un estudioso de e stas ano malas de la represe ntacin. Con elestudio de a lgunos d e sus mode los terminamos e sta serie de lminas d edicada s a s u obra.

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - ww w.lolitabrain.com

LA ESTRUCTURA ES LO QUE ENGAA

DOS MUNDOS REALES PARA CREAR UNA ILUSIN

ESCHER NOS EXPLICA EL ENGAO

Una mirada a la estructura del palacete

de Belvedere nos explica por qu la

figura es imposible. El edificio est

compuesto por dos prismas rectos, uno

para ca da una de las plantas. Estos polie-

dros se cruzan formand o un ngulo de 90

grados. Uno de los prismas est orienta-

do s egn la mirad a d el rico comerciante a

la derecha de la planta inferior, mientras

que el prisma superior se o rienta s egn la

mirada de la s eora que se a soma en la

planta de a rriba .

Una costumbre de Escher es

proporcionar al espectador

informacin del problemade

sus construcciones. En este

caso, al pie del Belvedere, un

joven s ostiene un objeto imposi-

ble en sus manos: una jau la

imposible. Por tanto, es real

este persona je y su juego? Cier-

tamente no, porque tal jaula no

puede construirse. Al pie del

joven, un pa pel con un d ibujo nos

indica cmo puede dibujarse tal

estructura a unque no exista.

A la derecha tienes una fotografa de lajaula imposiblerealizada porel Dr. Co chran. Te preguntars entonces: si existe la foto c mo es

que no existe el objeto? El cubo imposible no es tal cubo. El fotgrafo,

como Escher, capta al objeto desde una perspectiva determinada

para q ue parezca real, pero est co nstruido co n partes disjuntas.

Si quieres saber cmo es realmente el

Belvedere entra e n la pg ina s iguiente de

la web oficial de Escher,

http://www.mcescher.com/Downlo-ads/downloads.htm en la que una ani-macin te desvelar lo que no podemos

explica rte con una imagen es ttica : cmo

est c onstruido el palacete.

Como en el grabad o q ue discutimos la pas ada lmina, Cncavo y convexo, el Belvederetiene

dos partes c uya realida d e s indiscutible: las p lanta s s uperior e inferior del templete son c om-

pletamente normales. Si cortamo s el grab ad o y prolonga mos las columnas o trazamo s unos

arcos , comproba mos q ue est perfectamente construido. Es la unin de las dos p lanta s la que

hac e q ue el templo d eje de existir. Aunque poda mos dibujarlo no podramos c onstruirlo.

En la ob ra Cascada, Escher trabaja el mismo c oncepto

que en Belvedere. Utiliza en este caso otro objeto

imposible, el Tribar

de Penrose como

estructura de una cas-

cada con movimiento

imposible. Tal ca sca da

tampoco se puede

construir. Es slo que

el punto de vista nos

hac e creer que es rea l.

UN PALACIO DESCONCERTANTE

El grabad o Belvederees uno de

los es pac ios ms inquietantes

de los creados por Escher. Se

trata de un hermoso palacete de

dos plantas c on columnas, rode-

ado por un hermoso paisaje

ca mpestre. Una mirad a minucio-

sa al mismo nos har ca er en la

cuenta de lo extrao que es, ha s-

ta preguntarnos existe realmen-

te tal palace te? Si obse rvamo s la

esc alera por la que sube el duen-

de, nos damos cuenta de q ue su

parte superior est apo yad a en lafachada de la planta superior,

mientras q ue la es calera se s uje-

ta en el interior de la estan cia de

la primera planta. Es decir, la

escalera atraviesa de dentro a

fuera el edificio. S i ahora o bse r-

vamos las columnas, aprecia-

mos q ue slo las d e los extremos

izquierdo y derecho son norma-

les. Las resta ntes unen la b aran-

dilla exterior con los a rcos poste-

riores y viceversa, atravesando

por tanto el palacio.BELVEDERE,lito grafa 1 958

CASCADA, lito grafa 19 61TRIBAR DE PENROSE

DIBUJARPARA ENGAAR

LA ESCALERA SEAPOYA DENTRO DEL

PALACETE.

MS CREACIONES IMPOSIBLES

LA ESCALERA SEAPOYA EN LA

FACHADA.

ESTAS COLUMNASSON CORRECTAS.

ESTA COLUMNATIENE EL CAPITEL

EN LA PARTEALEJADA AL

ESPECTADOR...

...PERO EL PLINTOEST EN LA

BARANDILLA

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AULAD E E L M U N DO

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po r L olit a Brain

Para JEAN-FRANOIS CHAMPOLLION (1790-1832) descifrarlos enigmticos jeroglficos fue una promesa de juventud,un empeo vital. Qued fascinado desde los siete aos

por el antiguo Imperio Egipcio, cuando su hermano nopudo participar en la campaa de Egipto de Napolen.Ms tarde, a la edad de 11 aos tuvo el privilegio deconocer al eminente matemtico y cientfico francs Fou-rier y ste le ense su coleccin de antigedades egip-cias. Al ver por primera vez papiros y estelas labradasen piedra y escritas en jeroglfico, Jean-Franois pre-gunt a Fourier: Se sabe leer esto?A lo que Fourier respondi negativamente. Yo lo leer algn da! -grit muy seriamente Cham-pollion.Y sa fue la promesa a la que dedic toda suvida. Con xito.Pero no hay que olvidar que Champollion haba apren-dido a leer l solo, a la edad de cinco aos, y con 11era aficionado al griego y al latn, y comenzaba a es-

tudiar hebreo. Con 13 estudi rabe, sirio, caldeo y cop-to, con el nico propsito de acercarse al objetivo que

persigue. Ms an, continu con el chino antiguo bus-cando similitudes con los textos egipcios ms antiguos y se

introdujo en los dialectos ms recnditos en busca de pistas. Alos 17 aos era un experto en egiptologa y con dieciocho se encontr conlo que sera la perla de su vida: la Piedra Rosetta

JEROGLFICOSDESCIFRADOS

La genialidad deChampollion fueestablecer unacomparacin sencillaentre los jeroglficosy las letras griegas,separndose as dela tradicin.

Su GRAMMAIREEGYPTIENNE aparecien 1836 publicadapstumamente.

Champollion descifr losjeroglficos a partir de lafamosa Piedra Rosetta

aparecida fortuitamente en1799 en las obras de unafortificacin a siete kilme-tros de Rosetta, a orillasdel Nilo. Es una losa basl-tica muy pulida, del tamaode un tablero de mesapequeo, que contienetres series de inscripcio-nes en una de sus caras.

En ellas aparecen 14 lne-as en jeroglfico, 22 endemtico una lenguaegipcia de uso comn y54 lneas en griego! Elgriego se poda leer y tra-

ducir y por tanto era posi-ble un camino para desci-frar los jeroglficos. El textoes una dedicatoria de lossacerdotes de Menfis aPtolomeo V en 196 a.C. entono de alabanza. Pero losesfuerzos por descifrar eltexto jeroglfico fracasa-ron. Todos se empeabanen explicar cada smbolocomo una ideasiguiendo algriego HORAPOLO (s. IV

a.C.) y sus interpretacio-nes. Todo era en vano.Champollion imagin quelos dibujos representabansonidos traducibles a letrasy que por tanto se podanasignar. Y descifr los jero-glficos.

Una vez numerados los dibujos presentes en ambos cartouches, el primer smbolo de Ptolemaiosy el quinto de Kleopatracoinciden. Supongamos que es la P. Lo mismo sucede con el cuarto y el segundo que podemos sustituir por L.

Si es cierto que representan las letras de los nombres griegos, el tercer smbolo de Ptolemaioscoincide con el cuarto de Kleopatray debe ser una vocal similar a la O.

La pluma debe ser una vocal similar a la E y cuando apare-ce repetida en Ptolemaiosdebe leerse como una I. Y el sm-bolo anterior, el quinto, la M. Slo faltara una O precedien-do la S final de Ptolemaios. Champollion dedujo que losegipcios no tenian sonido para esa O final. Al final tradujopor Ptolomis.

Una arqueloga contempornea de Champollion haba obser-vado que el smbolo undcimo de Kleopatra apareca siempre al

final de los nombres de los dioses. As lo entendi Champo-llion que tradujo la inscripcin como Kleopatra divina, dandoal smbolo octavo la representacin de la R.

En un valo -cartouche- de la Piedra Rosetta aparece una inscripcinque Champollion atribuye al significado Ptolomeo. Era usual que losreyes aparecieran en cartouches. En el obelisco File hallado porBelzoni y que fue llevado a Inglaterra en 1815, contiene texto engriego tambin junto a jeroglficos. En l aparecen dos cartouches,uno refirindose a Ptolomeo y otro a Cleopatra.

Como entre la P y la O hay una T, que aparece tambin en el jeroglifico deKleopatra, podemos suponer que representa una T.Eso significa que en Kleopatraaparece una T al final que no tiene correspondencia. Sin embargo Champollion haba observa-do que la mano era un smbolo usado a veces para escribir Kleopatra. Podemos asumir que el smbolo anterior a la mano enKleopatraes una vocal similar a A y que el primer smbolo es K.

Notas deChampollion de sus

estudios delcartouchedeKleopatradelobelisco halladocerca de File.

Las principales fuentes de las matemticas egipcias de que disponemos son el PapiroRhind y el Papiro de Mosc, escritos entre los aos 2060 y 1580 a.C. en alfabeto hier-tico, una versin cursiva del ms antiguo sistema de escritura egipcio: el jeroglfico, uti-lizado sobre todo en monumentos y tumbas. En otra poca, los jeroglficos fueron unmisterio para lingistas y arquelogos. An hoy perdura ese significado en la palabra.Un joven polglota francs enamorado de Egipto los descifrara en 1822, aos antes de pi-sar tierra egipcia.

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Que las matemticas son un galimatas para muchsima gente no es ninguna novedad.Entre las muchas razones que podramos aducir en ese sentido, se encuentra el formulis-mo de sus expresiones: si no conocemos la simbologa en la que estn escritas lasmatemticas es muy difcil que podamos entenderlas. Pero lejos de ser una mana de losmatemticos o de responder a un inters por ocultar sus conocimientos, la simbologa onomenclatura con la que se expresan ha evolucionado a lo largo del tiempo, buscandosiempre claridad y universalidad. En algunas ocasiones, una determinada simbologa ha ayu-dado al avance de sus conocimientos.

po r L olita Brain

UN UNIVERSODE SMBOLOS

Infografa y textos: Lolita Brain - www .lolitabrain.com

LA DIVISIN

LA SUMASMBOLOS PARA ENTENDERNOS

LA MULTIPLICACINPRIMER TEXTO IMPRESO DE LOS SMBOLOS+ Y- ENLA OBRADEJOHANNESWIDMAN

BEHENNDE VND HPSCHERECHNUNG.EDICIN AUGSBURG DE 1526

Del mismo modo que el lenguajeest escrito con letras, las mate-mticas se escriben con smbo-

los. stos no las convierten en crp-ticas; muy al contrario, el uso deuna simbologa matemtica comnpara todos los cientficos ha apor-tado a la Ciencia la universalidadque sta necesita para crecer. Laadopcin de 10 dgitos para losnmeros fue una de las primerassimbologas acertadamente esco-

gidas. Disponer de smboloscomunes para representar las ope-raciones entre ellos fue fundamen-tal para que todos los matemticosse entendieran.

NICOLS DEORESME (1323-1382)fue probablemente el primero enusar la cruz (+) para la suma en sulibro Algorismus proportionum, es-crito supuestamente entre 1356 y1361. Anteriormente +se escribaet, en latn y. Despus tambin seus p (plus).

La X para representar el produc-to de dos cantidades fue usadapor primera vez por WILLIAMOUGHTRED (1574-1660) en suobra Clavis Mathematicae.

El asterisco para representarla multiplicacin proviene deJOHANNRAHN (1622-1676),quien en 1659 lo us en sulibro Teutsche Algebra.

El punto () para simbolizar elproducto fue introducido porGOTTFRIEDW. LEIBNIZ (1646-1716). El 29 de julio de 1698 es-cribi una carta a su amigo Jo-hann Bernoulli en la que le ex-plicaba:

No me gusta la xpara simboli-zar el producto porque se con-funde con la variable x; [...] a me-nudo simplifico el producto dedos magnitudes mediante unpunto entre ellas como enZCLM. Sin embargo, para de-signar la razn entre ellas utilizolos dos puntos (:) que tambinuso para la divisin.

La divisin ha sufrido mltiples cambios en su sim-bologa a lo largo de la historia debido, entre otrasrazones, a sus distintos significados: divisin

entera(con resto), divisin decimal, raznde mag-nitudes, etctera.

El parntesis de cierre (y al revs) fue utilizado porMICHAEL STIFEL (1487-1567 ) en su Arithmetica inte-gra, completada en 1540 y publicada en 1544 enNuremberg. Observa que escribe la divisin 12:6 alrevs.

El smbolo se utiliz por primera vez comorepresentacin para la divisin por JOHANNRAHN,tambin conocido por Rhonius, en su obra de1659 Teutsche Algebra.

Nuestros comunes dos puntosse usaron en 1633en el texto titulado Aritmtica de Johnson en dos

volmenes. Aunque para escribir fraccionesJohnson tambin usaba el parntesis. As paraescribir 2/3 notaba 2:3).Leibniz emple los dos puntos tanto parafracciones como para divisiones, en el ao 1684,en su Acta Eruditorum.

PGINA DEL TEXTO DE RAHN EN EL QUE APARECENIMPRESOS MLTIPLES SMBOLOS ALGEBRAICOS Y

POR PRIMERA VEZ

razcuadrada

razcuadrada parntesis

Anterior a la Summa de Arithmetica, de LUCA PACCIOLI, en la quese fundamentan muchas expresiones complejas entre opera-ciones, en 1484 NICOLASCHUQUET (1445?-1500?), en su libro

Le Triparty en la Science des Nombres, escribe entre otras expre-siones la que aparece sobre el texto. Observa la diferencia entrenuestro modo actual y el suyo, y cmo nosotros no necesitamosdel parntesis.

+(plus)

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AULA.706.06.02EL MUNDOJueves cientfico

E L P A R A I S O D E

L O S S I M B O L O S

lolitabrain@hotmail.com

Que las Matemticas son un galimatas para mu-chsima gente no es ninguna novedad. Entre lasmuchas razones que podramos aducir en ese sen-tido, se encuentra el formulismode su expresin: sino conocemos la simbologa en la que estn es-critas las Matemticas es muy dificil que poda-mos entenderlas. Pero lejos de ser una mana de los matemticos, lasimbologa o la nomenclatura, o como queramos denominarlo, de estaciencia ha evolucionado a lo largo del tiempo buscando siempre claridady universalidad.

por L olita Brain

Desde n i os , i gua l que pa ra l ee res preciso conocer las letras y lasmaneras en que se combinan, a l

acercarnos por primera vez a las Ma-temt icas debemos aprender como

se rep resen t an l os concep to s m sesenciales de ella: los nm eros. Peroapren demos en seguida, que la util i-dad de l o s nm eros rad i ca en su scombinaciones algebraicas : pode-mos su mar los, restarlos , mul t ip li -carlos y dividirlos . Por ello los sm-bolos que expresan estas operacio-nes son los primeros que conocemos.Sin embargo smbolos tan sencilloscomo la cruz pa ra la adicin o el aspapa ra l a m u l t i p li cac in no s i em pre

s e u s a -ron as.

PRIMER TEXTO IMPRESO DE LOSSMBOLOS + Y - E N LA O BR A D EJOHANNES W IDMAN BEHENNDE

VND HPSCHERECHNUNG.Edicin Augsburg de 1526

PGINA DEL TEXTO DE RAH N E N E L Q U EAPARECEN IMPRESOS MLTIPLES SMBO-LOS ALGEBRAICOS Y POR PRIMERA VEZ

RAIZ RAIZ

PARNTESIS

La Summa de Arithmetica, Geome-tria Proportioni et Proportiona litade Luca P aciol i de 1523 es, junto

al Liber Abaci de FIBONACCI, uno de lospilares algebr aicos de nue stra civili-zacin. En l entre otras muchas ide-as, aparecen las ecuaciones y las ope-raciones elementales en una escrituramuy avanzada para la poca aunquelejana a nue stro simbolismo. Este librofue capi ta l para e l progreso y desa-rrollo en Occidente de las matem ti-cas ar biga y oriental. Sobre todo uti-liza la notacin sincopada...pero saes otra h istoria.

Anterior a laS u m m a d e Ari thmetica,

en 1484 N ICOLASCHUQUET (1445?-1500?) en su LeTripar ty en laSc ience des Nombres escri-be entre otras, laexpresin supe-rior. Sabes loque sign ifica?

La X p a r a r e p r e s e n t a r e l p r o -d u c t o d e d o s c a n t i d a d e s f u eusado por primera vez por W I-LLIAM OUGHTRED (1574-1660) enel Clavis Mathematicae.

El p u n t o ( ) p a r a s i m b o -l i za r e l p r o d u c t o f u e i n -t roducido por GOTTFRIEDW. LEIBNIZ (1646-1716).El 29 de julio de 1698 es-cribi una carta a su a mi-

go Johan n Bernoull i en laque expl icaba:

N o me gu st a l a x p a r a s imbo l i za r e l p r oduc t oporque se confunde con lavar iable x; [ . .. ] a m enudos imp l i f i co e l p roduc to dedos ma gnitud es median teun punt o entre ellas comoen Z CL M . Sin embargopara designar la r azn en-tre ellas utilizo los dos pun-t o s ( : ) que tamb ien usopara la divisin.

La divisin ha sufrido mltiples cambios en s u simbologa a lo largo de la His-toria debido, entre otras ra zones, a sus d istintos significados: divisin en tera(con

resto), divisin decimal, raznde magn itudes, etc.

El parntesis de c ierre (y a l revs) fu u t i l izado porMICHAEL STIFEL (1487-1567 ) en su Arithmetica integra,completada en 1540 y publicada en 1544 en Nuer nberg.

se ut i liz por primera vez como smbolo dedivisin por JOHANN RAHN (o Rhonius) (1622-

1676) en 1659 en su obra Teutsche Algebra

El asterisco para representarla mul t ip l icacin proviene deJ OHANN RAH N (1622-1676)

quien en 1659 lo us en sul ibro Teutsche Algebra.

Nuest ros comunes dos puntos se usaron en 1633 en eltexto ti tulado Aritmtica de Johnson en dos volmenes(1633). Aunque para escribir fracciones John sonusaba el parn tesis. As para escribir 2/3 notaba 2:3)Leibniz us los dos puntos tanto para fracciones comopara divisiones en 1684 en el Acta Eruditorum

+ ( PLUS)

A finales del siglo XIX J AMES B.THOMSON en su Complete GradedArithmeticen utiliza la expresin infe-r i o r pa ra nues t ra d i v i s i n en t e ramost rada arriba.

N ICOLS DE ORESME (1323-1382)es probablemente el primero enu s a r + p a r a l a s u m a e n s u l i -bro Algorismus proportionum,e s c r i t o s u p u e s t a m e n t e e n -tre1356 y 1361. Anter iorme nte+ se e sc r i b a e t de l l a t ny. Despus tamb in se us p(plus).

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AULADE E L MU NDO

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Si por alguna razn la matemtica es conocida, si existe algn concepto matemtico quegoce de general conocimiento y respeto, se es el de ecuacin. El trmino en s recojetantas y tan distintas acepciones que han cambiado a lo largo de la Historia que resultaimposible poder englobar todo lo que se dice y se ha dicho sobre las ecuaciones enuna sla definicin. En el origen de su tratamiento sistemtico se haya una palabramgica: el lgebra. Smbolo de generalidad y abstraccin y por ello, de utilidad.

por Lolita Brain

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E l LGEBRA es el corazn dela matemtica. Salpca to-dos sus rincones. En suorigen, nace como respues-ta a la necesidad de resolverecuaciones sistematicamen-te. Es decir, cmo la bs-qeuda de mecanismos quepermitan solucionar proble-mas que aparecen una y otravez bajo la misma forma, ya los que se debe propor-cionar idnticas procedi-mientos de resolucin. Al-Khwarizmi fue un brillanteastrnomo y bibliotecario dela Casa de la Sabiduria y delObservatorio Astronmicode Bagdad. Su brillantez re-side en reconocer la similitudformal de mltiples fenme-nos y dar solucin comn aellos.

La principal obra de Al-Kwarizmi se titula AL-MUJ-TASAR FI HISAB AL-JABR WAL-MUQABALA. Ambos tr-minos son de dificil traduccin y corresponden alos dos mecanismos que utiliza el autor para resol-ver las ecuaciones, y que se corresponden con lastcnicas que hoy utilizamos nosotros. En sus pgi-nas se estudian las soluciones de los seis tiposdistintos de ecuaciones de segundo grado que lconsider.

A l-Kwarizmi utiliza hbiles mtodos geometrcos para encontrar la so-lucin. Cada forma de ecuacin requiere una tcnica distinta parasu solucin. No se consideran las cantidades negativas. Recuerda quelos negativos no llegarn hasta muy avanzado el siglo XVI

A l-Kwarizmi clasifica las ecuaciones de segundo grado en seistipos distintos. Estudia cada caso de modo separado. Aun-que nosotros no las catalogamos de igual forma, se hizo ashasta el siglo XVI.

EL PADRE DEL LGEBRA QU ES UNA ECUACIN?

LA SOLUCIN

OTRO CASO

ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSAAL-KHWARIZMI

(HACIA 780 - 850)

x2 9 10x

La definicin de ecuacin puede ser tan simple como una igualdad en la que algunostrminos son desconocidos. Resolver la ecuacin significa por tanto, encontrar los va-lores de esos trminos desconocidos. Sin embargo hay tantos tipos de ecuacionesque esta definicin no basta, aunque es perfectamente vlida para la poca de Al-Khwa-rizmi. Desde tiempos de los babilonios, el hombre se plante problemas cotidianos enlos que deba encontrarse algn valor nmerico . El lgebra aparece cuando esos pro-blemas particulares se estudian con una visin generalista. Hasta bien entrado el siglo XVI,las ecuaciones tenan un significado geomtrico heredado de los griegos.

PGINA DEL TEXTO DE AL-KHWARIZMI, AL-MUJTASARFI HISAB AL-JABR WAL-MUQABALA. FUE TRADUCIDO ALL AT N POR ROBERT O D E CHESTER EN TOLEDO EN1145

MUQABALA significa comparacin y se relaciona con nuestra tcni-ca de agrupar trminos semejantes.

AL-JABR proviene dejabrque significa restaurar, insertar. Los m-dicos que reparaban los huesos se llamaban algebristas. En las ecua-ciones se corresponde con lo que nostros denominamos pasar al otromiembro. Nuestra palabraLGEBRA proviene de ste trmino.

PASO 1

PASO 2Podemos completar la figura anterior con cua-tro cuadrados de lado 5/2. As podemos poner:CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 CUADRADOSPE-QUEOSCUADRADO PEQUEO = (5/2) X (5/2) = 25 /4 U2.CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 X 25/4 U2= 64 U2entonces ya hemos completado el cuadrado yLADO CUADRADO GRANDE = 8 (8 X8 =64)LADO CUADRADO GRANDE = X + 5/2 + 5/2 = X +5.

SOLUCIN:X = 3

25/4 25/4

25/425/4

Dividimos el rectngulo 10xendos partes iguales.

Obtenemos de una mitad el cua-drado amarillox2. Formamos uncuadrado agregando el rectnguloazul y el cuadrado naranja a la otramitad.

-

La ecuacin anterior se interpreta geometricamete del siguiente modo: un cuadra-do de lado desconocido,x, tiene una superficie que mide x2. Un rectngulo que tu-viera un lado como el del cuadrado,x, y el otro de 10 unidades tendra de rea de10x. As pues las reas de esas dos figuras debe resultar igual a 39. El problema esdeterminar el lado del cuadrado original.

AL-JABR Y AL-MUQABALA

10

x

EL PADRE DELLGEBRA

Dividimos el rectngulo en cuatro partes iguales manteniendo el lado de medida x.Se coloca alrededor del cuadrado cuyo lado desconocemos. La figura de la de-recha debe tener por tanto un rea de 39 unidades cuadradas (u2).

Si observamos la igualdad entre las reas de las diferentes figuras en las quedescompusimos el diagrama inicial, ya casi tenemos la solucin.

Basta observar que el cuadrado naranja tiene de lado 5 -X ( 5 menos el valorbuscado). Es sencillo ver que x ha de valer 1.

Partimo de la versin geomtrica de la ecuacin, distinta de la anterior.

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Vista desde el presente, la historia pasada se aparece a menudo caprichosa. Tambin enla de la Matemtica. La historia de la solucin de la ecuacin de tercer grado, la cbica,es una de las ms apasionantes. A comienzos del siglo XVI, los matemticos se hallabaninmersos en un problema desde haca ya siglos: si bien las ecuaciones de grado uno ydos estaban completamente resueltas desde Al-Khwarizmi, nadie era capaz de resolverla de grado tres. Hoy, la hazaa de aquellos matemticos permanece en el olvido aun-que sus frmulas, que no se estudian en la escuela, son tan eficaces como entonces.

po r L olita Brain

POESA, LGEBRAY ESPIONAJE

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EL POETA ALGEBRISTA

Tentado por la frmula mgica, Del Fiore retaa Tartaglia, reputado matemtico veneciano, auna disputa pblica en la que cada uno debe

solucionar los problemas que le propone el otro.Del Fiore, conocedor del valor de su frmula, pro-pone a Tartaglia problemas que slo se puedenresolver con una ecuacin de tercer grado. Tar-taglia la encuentra el 12 de febrero de 1535, y de-rrota pblicamente a Del Fiore.

Scipione del Ferro, profesor de la Universidad deBolonia, descubri, hacia 1505, la frmula quean hoy se emplea para solucionar una ecua-

cin de tercer grado, pero no comunic a nadiesu descubrimiento, sin duda para usarlo en lasdisputas pblicas y as ganar fama. Slo en su le-cho de muerte informa de su frmula a su yer-no Annibale della Nave y a su alumno AntonioMara del Fiore.

Nuestra historia aconteci en la Italia renacentista del siglo XVI. Desde hacacasi tres siglos, las matemticas se ensean en las Escuelas de baco,donde sobre todo se imparta lgebra, y en especial las tcnicas para resol-

ver ecuaciones. Aunque las ecuaciones de primer grado (como 3x=14 ) ya lasresolvan los egipcios y los babilonios. Desde f inales del siglo VIII ya se solu-cionaba la ecuacin de segundo grado (como x2+2x=8). Sin embargo, la ecua-cin cbica (como x3+3x=14) se haba resistido durante cientos de aos a to-dos los matemticos que la estudiaron. No ser hasta 1505 cuando Del Ferro en-cuentre la solucin. Niccol Fontana,Tartaglia el tartamudo, tambin la encontrindependientemente en 1535. Cardano y su alumno Ludovico Ferrari (1522-1565)profundizaron en las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

GEROLAMO CARDANO(1501-1576)

Una vez ms, la memoria de las ecua-ciones se remonta al Oriente, a la m-tica ciudad de Samarcanda, a la que

Omar Khayyan llega en 1070 proceden-te de Nishapur, al norte del actual Irn.Poeta, astrnomo y matemtico, su obraTratado sobre las demostraciones en l-gebra estudia geomtricamente lasecuaciones cbicas proponiendo mto-dos para su resolucin. Pero sus siste-mas necesitaban, para llegar a ser efec-tivos, de herramientas matemticas delas que desafortunadamente no se dis-pona entonces. En cualquier caso, sussoluciones, adems de correctas, son he-rederas de la ms fascinante tradicin ge-omtrica de los griegos y anan lgebray geometra.

La famosa frmula descubierta por Del Ferro yTartaglia que resuelve la ecuacin de tercer gradox3+px= q es la siguiente. Observa que las solucionesaparecen como resultado de operaciones entre los

Como poeta, Khayyamfue descubierto enOccidente en el sigloXIX, cuando EdwardFitzgerald tradujo sutexto Robaiyyat. Mstarde, G. K. Chestertondara un gran impulso asu labor literaria.

LOS DOS PROTAGONISTAS

LA FRMULADE LA DISCORDIA

NICCOLO FONTANA TARTAGLIA(1499-1557)

Tartaglia, muy ofendido, escribe en 1546 Questi et inmventionidiverse, en la que relata su versin de los hechos y reprodu-ce su correspondencia con Cardano, dando comienzo un tenaz

intercambio de cartas y carteles pblicos entre Tartaglia y Fe-rrari!, que sali en defensa de su maestro Cardano, quien se man-tuvo al margen de esta polmica. La historia termina el 10 de agos-to de 1548 como comenz: en una disputa pblica en Miln entreun tartamudo y cansado Tartaglia y Ferrari, un joven elocuentey brillante matemtico que ademsjugaba en casa. La disputa noacab. Tartaglia abandon humillado, perdiendo bastante desu fama. Cardano no asisti.

POR QU LAINCGNITA ES LA X?

Los rabes llamaban a laincgnita shay (cosa). Enmuchas traducciones seescriba latinizada comoxay y de ah, al abreviar,qued x. En Italia, shay setradujo como cosa y a losque resolvan ecuacionesse les llam cosistas,quienes escriban la x comoco.

Cardano y Ferrari estudiaron la frmula pero la mantuvieron ensecreto. En 1542, casi en actitud detectivesca, deciden vi-sitar a Annibale della Nave y, revisando los papeles de Del

Ferro, encuentran la frmula que Tartaglia haba descubier-to! Cardano podra publicar en su Ars Magna la importantsi-ma frmula sin faltar al juramento hecho a Tartaglia. As lo hizo,escribiendo

[...] mi amigo Niccolo Tartaglia resolvi el mismo caso [...]y movido por mis ruegos, me la confi a m.

Cardano, famossimo matemtico y doctor del nor-te de Italia, al saber que Tartaglia ha descu-bierto la frmula, le pide que se la cuente en

un encuentro, el 25 de marzo de 1539. Cardano,en un solemne juramento, se compromete a no ha-cer pblicos sus descubrimientos, con lo que Tar-taglia accede, comunicndole su mtodo operati-vo en un poema. Estaba presente tambin el jovende 17 aos, Ludovico Ferrari, ayudante de Car-dano, nuestro sexto protagonista.

GHIYATH AL-DIN ABU'L-FATH UMARIBNIBRAHIM AL-NISABURI AL-KHAYYAM(hacia 1048-1131)

AULAD E E L M U ND O

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