6-ECUACIONES-lineales (1)

7/23/2019 6-ECUACIONES-lineales (1)

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ECUACIONESActualizado agosto 2010 por Guiomar Mora de Reyes



GENERAI!A!ES

Una Ecuaci"# Alge$raica es una relación de igualdadentre dos expresiones algebraicas, en la que intervienenvariables y constantes.

% x &' ( 22

Una Igualdad es un enunciado en el que se establece quelas expresiones matemáticas son iguales:

) & * ( 10

+aria$le



GENERAI!A!ES

Resol+er u#a ecuaci"# es encontrar los valores delconjunto de referencia que puede tomar la variable paraque se cumpla la igualdad.

Toda ecuación de la forma a x + b !, a " !, tiene UNAy SOO UNA soluci"#,

#os valores que cumplen la relación de igualdad se llamansoluciones o ra$ces de la ecuación y el conjunto formadopor estas soluciones o ra$ces se llama co#-u#to soluci"#,

%ientras no se diga lo contrario el conjunto dereferencia serán los &eales



GENERAI!A!ES

Una relación de igualdad de la forma a x & $ ( 0 es unaecuación de primer grado en una variable ó tambi'nconocida como ecuaci"# li#eal,

#a forma a x & $ ( 0, es conocida como forma estándar.

(e primer grado, porque el mayor exponente de lavariable es )



GENERAI!A!ES

.ara te#er prese#te/

( )* + , - .x x x + − − −

/s una expresiónalgebraica

( )* + , - . !x x x + − − − =

/s una relación deigualdad

/cuación de primer

grado

0olinomio de primergrado.



GENERAI!A!ES

(os o más ecuaciones que tienen el mismo conjuntosolución, se denominan ecuacio#es eui+ale#tes,

1uando el conjunto solución es igual al conjunto dereferencia, se dice que la relación de igualdad es unaIde#tidad es decir, que independientemente del valorque tome2n3 la2s3 variable2s3, la igualdad se satisface.



.RO.IE!A!ES !E A IGUA!A!

0ara resolver una ecuación se deben tener en cuenta lassiguientes propiedades:

.ropiedad de la suma: 4i a, b, c, 5 &, y a b, entonces

a + c b + c

.ropiedad de la multiplicaci"#: 4i a, b, c, 5 &, y a bentonces a x c b x c



E-emplo 1&esolver la ecuación 6 -x x − = +

6 - x x − + = + +

6 )x x = +

6 , , ), ,x x x x

− = + −

* )x =

* )

* *

x =

+x =

6 -x x − = + /cuación dada

0ropiedad de la 4uma en 7gualdades

0ropiedad de la multiplicación enigualdades 2dividir por * equivalente a

multiplicar por 83

0ropiedad de la 4uma en 7gualdades

9grupar t'rminos semejantes

9grupar t'rminos semejantes



erificación de la solución para 6 -x x − = ++x =

0ara verificar si la solución encontrada es correcta,sustituimos la variable x de la ecuación inicial por elvalor encontrado: .

( ) ( )6 -− = +

); 6 -− = +

)) ))=

E-emplo 1 co#ti#uaci"#



E-emplo 2&esolver la ecuación

/cuación dada

#ey distributiva

&estar )*x

( ) ( ) ( ) ( ); * * 6 )x x x x − + = + −

( ) ( ) ( ) ( ); * * 6 )x x x x − + = + −

, ,* 6 ; * * ); x x x x x x + − − = − + −

,6 ; )* +x x − = −

) ; x − = −

) -x =

-

),x =

4umar ;

(ividir por )

9grupar t'rminos semejantes ,

restar y simplificar

,,*x



E-emplo 2 co#ti#uaci"#

erificación de la solución para-

)x =

( ) ( ) ( ) ( ); , + * * + 6 )x x x x − + = + −

- - - -; , + * * + 6 )

), ), ), ),

)! - - -, * + )+ * + ,

)! 6 - )6 - < - ,

+ * + ,

* ,) )* +

+ * + ,

,)

+

− + = + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

− + = + − ÷ ÷ ÷ ÷

− + + − = ÷ ÷ ÷ ÷

= ÷ ÷ ÷ ÷

)*

,

. .

=÷ ÷ =



E-emplo )&esolver la ecuación

/cuación dada#ey distributiva = 4implificación t'rminossemejantes

&estar *

( ), , * ) ,x x x + = + −

* )x x + = +

x x = −

! = −

( ), , * ) ,x x x + = + −

1uando se presenta este tipo de situaciones, se dice que>? @ay soluciónA por tanto el conjunto solución es ∅

&estar x

ES ASO



E-emplo %

&esolver la ecuación

/cuación dada

0ropiedad distributiva =

4implificación t'rminos semejantes

4umar <y

?btuvimos como resultado una 7(/>T7(9(. 4iendo elconjunto de referencia los &eales, cualquier nBmero realsatisface la ecuación.

( )< + 6 )- + ),y y y − + = − + − +

< ,. < ,.y y − + = − +

,. ,.=

( )< + 6 )- + ),y y y − + = − + − +



E-emplo '

/ncontrar la solución de3 5 4

5 7

=

x x

/sta ecuación es de tipo polinomial de grado ) y es equivalente a

3 5 4

5 5 7 7 =

x x

5 34

5 7 7 5 =

x x

35 5 20 21

35 35

=

x x

40 1

35 35

x

40 1 x

1

40

x



E-emplo 3

/ncontrar la solución de ( ) ( ) − = − − − 4 2 3 6 8 6 x x x

( )− = − − + 4 2 3 6 8 6 x x x 0rioridad de operaciones

( )− = − − 4 2 3 12 8 x x 9grupación t'rminos semejantes

− = − +8 12 12 8 x x 0ropiedad distributiva

− + = −

=

12 12 8 8

0 0

x x

9grupación t'rminos semejantes

1omo llegamos a una expresión verdadera,concluimos que todo #4mero real es solución de la ecuación.

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