3 Análisis de Cuerpos Rígidos.pdf

8/10/2019 3 Anlisis de Cuerpos Rgidos.pdf

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Ing. Mario Carranza Liza Anlisis de los Cuerpos Rgidos - 1

En el captulo anterior (Anlisis de la Partcula) suponamos que cada uno de los cuerpos considerados poda ser tratado como

si fuera una sola partcula.Al definir que un cuerpo rgido es aquel que no se deforma, se supone que la mayora de los cuerpos considerados en la me-cnica elemental son rgidos. Sin embargo, las estructuras y mquinas reales nunca son absolutamente rgidas y se deformanbajo la accin de las cargas que actan sobre ellas. A pesar de ello, por lo general estas deformaciones son pequeas y noafectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de las estructuras en consideracin.En este captulo estudiaremos el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rgido y se aprender como remplazar un sis-tema de fuerzas dadas por un sistema equivalente ms simple.Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rgido son el momento de una fuerzacon respecto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje.Otro concepto que presentaremos en este captulo es el de un par, esto es, la combinacin de dos fuerzas que tienen la mis-ma magnitud lneas de accin paralelas y sentidos opuestos.

1. INTRODUCCIN

1.1. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Las fuerzas que actan sobre los cuerpos rgidos se pue-den dividir en:

Fig. 1 Fuerzas internas y externas

A. FUERZAS EXTERNASRepresentan la accin que ejercen otros cuerpos sobre elcuerpo rgido en consideracin. Como ejemplo conside-remos las fuerzas que actan sobre un camin descom-puesto que es arrastrado hacia adelante por varios hom-bres mediante una cuerda unida a la defensa delantera.

Fig. 2 Fuerzas externas

B. FUERZAS INTERNAS

Son las que mantienen unidas las partculas que confor-man al cuerpo rgido. Este tipo de fuerzas las estudiare-mos en los captulos de anlisis de estructuras.

Fig. 3

Fuerzas internas

En el presente unidad slo consideraremos fuerzas ex-ternas.

1.2. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

Fig. 4 Principio de transmisibilidad

Las condiciones de transmisibilidad establece que lascondiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo

rgido permanecern inalteradas si una fuerza F que ac-ta en un punto dado de ese cuerpo se remplaza por una

fuerza F ' que tiene la misma magnitud y direccin, peroque acta en un punto distinto, siempre y cuando las dosfuerzan tengan la misma lnea de accin. Las dos figuras,

F y F ' , tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rgido yse consideran equivalentes. El estudio de transmisibilidad

puede ser derivado a partir del estudio de la dinmica delos cuerpos rgidos.

Fig. 5 Aplicacin del principio de transmisibilidad

El estudio de la esttica de los cuerpos rgidos estar ba-

sado en los tres principios que se han presentado hastaahora, que son: la ley del paralelogramo para la adicinde vectores, la primera ley de Newton y el principio detransmisibilidad.


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2.

MOMENTO DE UNA FUERZA: (formulacin mate-mtica)

Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, sta produciruna tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un pun-to que no est en la lnea de accin de la fuerza. Estatendencia a girar se conoce en ocasiones como par detorsin, torque, pero con mayor frecuencia se denominael momento de una fuerza o simplemente el momento.

Fig. 6 Llave de torsin que se usa para desenroscar el perno.

Por ejemplo, considere una llave de torsin que se usapara desenroscar el perno de la Fig. 6. Si se aplica unafuerza al mango de la llave sta tender a girar el perno

alrededor del punto O (o el eje z). La magnitud del mo-mento es directamente proporcional a la magnitud de F ya la distancia perpendicular o brazo de momento d.Cuanto ms grande sea la fuerza o ms grande sea elbrazo de momento, mayor ser el momento o el efectode giro.

Ahora podemos generalizar el anlisis anterior y conside-

rando la fuerza F y el punto O que se encuentra en el

plano. El momento Mo con respecto al punto O, o con

respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular alplano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magni-tud y direccin especficas.

Fig. 7 El momento es una cantidad vectorial puesto que tiene

magnitud y direccin especficas

2.1. MAGNITUD

La magnitud deOM es:

(1)OM F.d

Donde d es el brazo de momento o distancia perpendicu-

lar desde el eje en el punto O hasta la lnea de accin dela fuerza. Las unidades del momento son el producto dela fuerza multiplicada por la distancia. En el sistema deunidades de SI, donde la fuerza se expresa en newtons(N) y la distancia se expresa en metros(m), el momen-to de una fuerza estar expresado en newtons-metro(N.m). Mientras que en el sistema de unidades ingles se-r lb.ft (libras por pie).

2.2. DIRECCIN

La direccin deO

M est definida por su eje de momento,

el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza

F , y por su brazo de momento d. Para establecer el sen-tido de direccin de

OM se utiliza la regla de la mano de-

recha.

2.3. MOMENTO RESULTANTE

Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x-y,entonces el momento producido por cada fuerza con res-

pecto al punto O estar dirigido a lo largo del eje z. En

consecuencia, el momento resultante OM del sistema

puede ser determinado sumando simplemente los mo-mentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que to-

dos los vectores momento son colineales.

Fig. 8 Momento resultante

Esta suma vectorial puede escribirse en forma simblicacomo:

(2) R O(M ) F.d

Si el resultado numrico de esta suma es un escalar posi-

tivo OM Rser un momento en sentido contrario al de las

manecillas del reloj (fuera de la pgina); y si el resultado

es negativo, OM Rser un momento en el sentido de las

manecillas del reloj (dentro de la pgina).


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Ejemplo 1.

Una fuerza vertical de 100 lbse aplicaen el extremo de una palanca que est unida a unaflecha en el punto O. Determine:

a) el momento de la fuerza de

100 lbcon respecto a O;

b)

la fuerza horizontal aplicada enA que origina el mismo mo-mento con respecto a O;

c)

la fuerza mnima aplicada en Aque origina el mismo momentocon respecto a O;

d) qu tan lejos de la flecha debeactuar una fuerza vertical de

240 lb para originar el mismomomento con respecto a O,

e)

si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b),c) y d) es equivalente a la fuerza original.

Resolucin

Ejemplo 2.

Para cada caso ilustrado en la figura,determine el momento de la fuerza con respecto alpunto O.

Resolucin:La lnea de accin de cada fuerza est extendida comouna lnea discontinua para establecer el brazo de mo-mento d. Tambin se ilustra la tendencia de rotacin delmiembro causada por la fuerza. Adems, la rbita de lafuerza se muestra con un flecha curva de color rojo. En-tonces,


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Ejemplo 3.

Cuatro fuerzas actan sobre la parte demquina que se muestra en la figura. Qu valor tienela suma de los momentos de las fuerzas respecto alorigen O?

Resolucin:Foto 1 Para poder sacar el clavo se necesita que el momento

de HF con respecto a O se ms grande que el momen-to de la fuerza

NF con respecto a O.

3. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial (producto cruz) de dos vectores A

y B da como resultado el vector C , el cual se escribe:

(3) C A x B

Fig. 9 Producto vectorial

3.1. MAGNITUD

Es el producto de las magnitudes de A y B y el seno delngulo que forman.

(4) C A.B.sen

3.2. DIRECCIN

El vector C tiene una direccin perpendicular al plano

que contiene A y B de tal manera que C se especifica

mediante la regla de la mano derecha (Fig. 9).

Conociendo la magnitud y la direccin de C , podemos

escribir:

(5) cC A x B (A.B.sen ) u

Donde el escalar A.B.sen define la magnitud de C y el

vector unitario cu define la direccin de C.


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Fig. 10 Regla de la mano derecha

3.3. LEYES DE OPERACIN

a) No es conmutativa, es decir:

(6) A x B B x A

b)

Si al producto vectorial se multiplica por un escalar a,se cumple la ley asociativa

(7) a A x B a.A x B A x a.B A x B a

c) Se aplica la propiedad distributiva

(8) A B x D A x B A x D

3.4. PRODUCTOS VECTORIALES EXPRESADOS ENTRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES

A continuacin se determina el producto vectorial decualquier par de vectores unitarios i,jy k. Consideremos

el productoi xjcomo ambos vectores tienen una magni-tud igual a 1 y dado que estos forman ngulos rectos en-tre s, su producto vectorial tambin deber ser un vectorunitario, dicho vector debe ser k, puesto que los vectoresi,jy kson mutuamente perpendiculares.

i x i = i x j= i x k =

x i = xj = x k =

k x i = k xj = k x k =

Fig. 11 Producto i x j

Ejemplo 4. Se tienen los vectores i kA 2 4 y

i j kB 2 5 .

Determine: a) A x B y b) B x A

Resolucin:


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4. MOMENTO DE UNA FUERZA: formulacin vectorial

(a) (b)

Fig. 12

Momento de una fuerza

El momento de una fuerza Fcon respecto al punto O, orealmente con respecto al eje de momento que pasa porO y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, fi-gura 3-10(a), puede expresarse usando el producto vec-torial, es decir:

(9) O M r x F

Aqu, r representa un vector posicin trazado desde Ohasta cualquier punto que se encuentre sobre la lnea deaccin de F. Mostraremos ahora que el momento MO, alser determinado por este producto vectorial, tiene lamagnitud y la direccin correctas.

A. MAGNITUD

La magnitud del producto vectorial se define con la ecua-cin

(10) OM r.F.sen

donde el ngulo se mide entre las colas de ry F. Paraestablecer este ngulo, rdebe ser tratado como un vec-tor deslizante de manera que se pueda ser construidoapropiadamente. Como el brazo de momento d=r.sen ,entonces

(11) OM r.F.sen F.(r.sen ) F.d

B. DIRECCIN

La direccin y el sentido de MOen la ecuacin 3.9 estndeterminados por la regla de la mano derecha, tal comose aplica sta al producto vectorial.

C. FORMULACIN VECTORIAL CARTESIANA

Si establecemos ejes coordenados x,y,z, el vector posi-cin r y la fuerza F pueden expresarse como vectorescartesianos:

(12) O x y z

x y z

i j k M r xF r r r

F F F

Donde:

xr , yr , zr representan las componentes x, y, z del

vector de posicin trazado desde el punto O hasta cual-quier punto sobre la lnea de accin de la fuerza.

xF , yF , zF representan las componentes x, y, z delvector fuerza.

Desarrollando el determinante, tenemos:

(13)

O y z z y M r F r F i j

k

El significado fsico de esas tres componentes de momen-to resulta evidente al estudiar la figura 3-11(a). Porejemplo, la componente i de MOest determinada a par-tir de los momentos de Fx, Fy Y Fz con respecto al eje x.En particular, observe que Fx no genera un momento otendencia a girar con respecto al eje x ya que esta fuerzaes paralela al eje x.

Ejemplo 5. Determine el momento producido por la

fuerza F que se muestra en la figura, respecto al pun-to O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

Resolucin:


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4.2. TEOREMA DE VARIGNON

El momento con respecto a un punto dado O de la resul-tante de varias fuerzas concurrentes es igual a la sumade los momentos de las distintas fuerzas con respecto almismo punto O. Esta propiedad la descubri Pierre Va-

rignon (1654-1722).

Fig. 13 Momento de una fuerza respecto a O


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1. La barra AP tiene una longitud de mm650 . El radio de

la polea mide mm120 . Se aplican fuerzas iguales

kNT 50 en los extremos del cable. Cul es el valor dela suma de los momentos de las fuerzas a) respecto a A;b) respecto a P?

BW

4.92. Calcular el momento de la fuerza de 600N respecto al

punto O de la base, siguiendo cinco procedimientos dife-rentes.

M pro tipo 2.5

3. Se aplican tres fuerzas a la barra representada en lafigura. Determinar:

a)

El momento de la fuerza AF respecto al punto E.

b) El momento de la fuerza EF respecto al punto A.

c)

El momento de la fuerza DF respecto al punto B.

R pro eje 4.1

4. Dos hombres ejercen fuerzas de lbF 80 y lbP 50sobre las cuerdas. Determine el momento de cada fuerza

respecto de A. De qu forma girar el poste, en el sen-tido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario?

H_12 4_4

5. Una fuerza de N300 se aplica en A como se muestra enla figura. Determine a) el momento de la fuerza de

N300 alrededor de D y b) la fuerza mnima aplicada en

B que produce el mismo momento alrededor de D.

B_9 3.3

6. Dos fuerzas iguales y opuestas actan sobre la viga.Determine la suma de los momentos de las dos fuerzas

a) respecto al punto P; b) respecto al punto Q, y c) res-pecto al punto coordenado mx 7 , my 5 .

BW 4_13


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7. Hallar el momento respecto al punto A debido a latraccin de 120 kNen el cable de izado de la gra trac-tora.

M 2.30

8. A una placa cuadrada se aplica cuatro fuerzas en laforma que se indica en la figura. Determinar los momen-tos de las distintas fuerzas respecto al origen O del sis-tema de coordenadas xy.

R pro eje 4.7

9. Para levantar el poste de alumbrado desde la posicin

mostrada, se aplica la fuerza F al cable. Si, determine el

momento producido por F con respecto al punto A.

H_12 4.24

10. Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Sise sabe que la tensin en el cable BC es de kN1.04 y

que la longitud d es de m1.90 , determine el momentorespecto de D de la fuerza ejercida por el cable C. Paraello descomponga en sus componentes horizontal y verti-cal la fuerza aplicada en a) el punto C y b) el punto E.

B_9 3.9

11. La masa combinada del carrito para equipaje y la maletaque se muestran en la figura es de 12 kg. Su peso actaen A. La suma de los momentos respecto al origen delsistema coordenado debidos al peso que acta en A y la

fuerza vertical F aplicada en el asa del cargador es igual

a cero. Determine la fuerza F (a) si 30 ; (b) si50 .

BW 4.39

12. Se aplica una fuerza de 200 N al extremo de una llavepara apretar el tornillo que fija la rueda al eje. Determi-nar el momento M de esa fuerza respecto al centro O dela rueda para la posicin representada de la llave.

M

2.3413. La carretilla y su contenido tienen una masa de kg50 y

un centro de masa en G. Si el momento resultante pro-

ducido por la fuerza F y el peso con respecto al punto Adebe ser igual a cero, determine la magnitud requerida

de la fuerza F .


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H_12 4.35

14. Los cables AB y AC se extienden del punto de unin Asobre el piso a los puntos de unin B y C en las paredes.La tensin en el cable AB es de kN10 y la del cable AC

es de kN25 . Qu valor tiene la suma de los momentos

respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre A por

los dos cables?

BW 4.57

15. Una fuerza de mdulo 840 N est aplicada a un punto deun cuerpo, segn se indica en la figura. Determinar:

a)

El momento de la fuerza respecto al punto B.b)

Los ngulos directores asociados al vector unitario edirigido a lo largo del eje de momentos.

c) La distancia ddel punto B a la recta soporte de lafuerza.

R pro eje 4.8

16. Determine el momento producido por la fuerzaB

F

respecto al punto O. Exprese el resultado como un vectorcartesiano.

H_12 4.40

17. Los cables AB y BC se sujetan al tronco de un rbol muygrande para evitar que se caiga. Si se sabe que las ten-siones en los cables AB y BC son de 555 N y 660 N, res-pectivamente, determine el momento respecto de O de lafuerza resultante ejercida por los cables sobre el rbol en

B.

B_9 3.22


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PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto escalar (producto punto) de dos vectores P

y Q se define como el producto de las magnitudes de P

y Q y el coseno del ngulo que. Se denota:

(14) P . Q P.Qcos

Fig. 14 Producto escalar

4.3. LEYES DE OPERACIN

a)

Es conmutativa, es decir:

(15) P . Q Q . P

b) El producto escalar es distributivo

(16) P. Q R P . Q P . R

4.4. FORMULACIN VECTORIAL CARTESIANA

Con la Ec. 14 hallamos el producto punto de cada uno delos vectores unitarios cartesianos. Por ejemplo:

i . i 1.1cos 0 1 ; i . j 1.1cos90 0 ;

El producto escalar de dos vectores P y Q puede expre-

sarse en trminos de las componentes rectangulares de

dichos vectores. Descomponiendo a P y a Q en sus com-

ponentes se escribe primero:

x y z x y z

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

P . Q P i P j P k Q i Q j Q k

P Q (i. i) P Q (i.j) P Q (i.k )

P Q (j .i ) P Q ( j . j ) P Q ( j .k)

PQ (k .i ) PQ (k . j ) PQ (k .k)

El resultado final es:

(17) x x y y z zP . Q P Q P Q P Q

4.5. APLICACIONES

A.Angulo formado entre dos vectores o lneas que seintersecan

El ngulo entre las colas de los vectores P y Q que se

muestran en la Fig. 14 pueden determinarse mediante laecuacin 14,

(18)1 P . Qcos

P.Q

0 180

Foto 2 El ngulo entre la cuerda y la viga de conexin puedehallar determinando los vectores unitarios a lo largo dela viga y el cable para despus usar el producto punto

(A ru .u 1.1.cos )

B. Proyeccin de un vector sobre un eje dado

Considrese un vector P que forma un ngulo con un

eje, o lnea dirigida, OL (Fig. 15). La proyeccin de P

sobre el eje OL se define como el escalarOL

P P cos .

Fig. 15 Proyeccin de P sobre el eje OL

Considere ahora un vector Q dirigido a lo largo de OL

con el mismo sentido que OL (Fig. 16). El producto esca-

lar de P y Q puede expresarse como

(19) OLP . Q P.Qcos P Q

Por lo que se concluye que

(20)x x y y z z

OL

P Q P Q P QP . QP

Q Q

Fig. 16Vector Q dirigido a lo largo de OL


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En el caso particular, cuando el vector seleccionado a lolargo de OL es el vector unitario (Fig. 17), se escribe

(21) OLP P .

Tambin puede expresarse

(22) OL x x y y z zP P cos P cos P cos

Donde , yx y z

son los ngulos que el eje OL forma

con los ejes coordenados.

Fig. 17Vector unitario a lo largo del eje OL

5. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Se define al producto triple escalar o producto triple mix-

to de tres vectores S , P y Q como la expresin escalar

(23) S . P x Q

Al producto triple escalar de S , P y Q se le puede dar

una interpretacin geomtrica simple (Fig. 18)

Fig. 18 Producto triple escalar

El producto triple escalar es igual en valor absoluto al vo-lumen del paraleleppedo que tiene por lados a los vecto-

res S , P y Q (Fig. 19). Se debe sealar que el signo

del producto triple escalar ser positivo si S , P y Q

forman una trada a mano derecha, y ser negativo si s-

tos forman una trada a mano izquierda.

Fig. 19

Como el paraleleppedo definido en el prrafo anterior esindependiente del orden en que se tomen los tres vecto-res, todos los seis productos triples escalares que se

pueden formar con S , P y Q tendrn el mismo valor

absoluto, pero no el mismo signo. Se puede demostrarfcilmente que

(24)S .(P x Q ) P .(Q x S ) Q .(S x P )

S .(Q x P ) P .(S x Q ) Q .(P x S )

Se puede expresar en forma compacta empleando la ex-pansin de un determinante.

(25)

x y z

x y z

x y z

S S S

S .(P x Q ) P P PQ Q Q


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6. MOMENTO EJE

El dispositivo de la Fig. 20, llamado cabrestante, se usen los barcos de vela. Lo hacan girar empujando las ma-

nijas como se muestra en la Fig. 20(a) para generarenerga en tareas como elevar las anclas e izar las velas.

Una fuerza vertical F aplicada a una de las manijas comoen la Fig. 20(b), no hace girar al cabrestante, aun cuan-do la magnitud del momento respecto al punto P sea

PM F.d en ambos casos.

(a) (b)

Fig. 20 Cabrestante

El momentoO

M de una fuerza F respecto a un punto O

se defini mediante el producto vectorialO

M r xF , an

cuando, matemticamente, es posible definir el momentode una fuerza respecto a un punto, tal magnitud no tienesignificado fsico en Mecnica por que los cuerpos giranen torno a ejes (Fig. ) y no alrededor de puntos. La

definicin vectorial del momento respecto a un punto(Ec. ) slo es un paso intermedio de un proceso quenos permite hallar el momento respecto a un eje que pa-sa por el punto.

Fig. 21

El momentoOB

M de una fuerza respecto a un eje (la rec-

ta OB de la Fig. 21 se puede determinar calculando pri-

mero el momentoO

M respecto a un punto O del eje (o

respecto a cualquier otro punto de dicho eje). Entonces,

el vector momentoO

M se puede descomponer en una

componente M paralela al eje OB y otra M perpendi-

cular a ste, segn se indica en la Fig. 22, ser:

(26)

OB O n n

n n OB n

M M M .

(r xF). M

Estas dos operaciones, el producto vectorial r xF del

vector de posicin r por la fuerza F para obtener el

momentoO

M respecto al punto O, seguida del producto

escalarO n

M . del momentoO

M respecto al punto O por

el vector unitarion

segn el eje del momento, para ob-

tener el momentoOB

M se pueden efectuar una a conti-

nuacin de otra o combinarlas en una operacin. La can-tidad entre corchetes se denomina producto mixto y sepuede escribir en forma de determinante.

(27) OB OB n n x y z n

x y z

i j k

M M . (r xF). r r r .

F F F

o tambin

(28)

nx ny nz

OB OB n n x y z

x y z

M M . (r xF). r r rF F F

Donde , ynx ny nz

son las componentes cartesianas

(cosenos directores) del vector unitarion

. Este vector

unitario se suele tomar en la direccin (y sentido) que va

de O a B. Un coeficiente positivo den

en la expresin

deOB

M significa que el vector momento tiene el mismo

sentido quen

mientras que un signo negativo indica

queOBM

yn

tienen sentidos opuestos.

Fig. 22


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6. Determine el momento MAB producido por la fuerza F que se muestra en la figura, la cual tiende a girar la ba-rra con respecto al eje AB.

H_12 Eje 4.8

7. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostienemediante los cables atirantados EF y EG. Si la fuerzaejercida por el cable EF en E es de 46 lb, determine elmomento de esta fuerza alrededor de la lnea que unelos puntos A y D.

B_9 3.61

8. Se aplica a la pieza compuesta ABDE las cuatro fuerzasmostradas en la figura. Donde la fuerza de 1F 50 N, es

vertical, la fuerza de 2F 250 N paralela al eje x, las

fuerzas de 3F 300 N y 4F 120 N son paralelas al ejey. Determinar la fuerza resultante y el momento resultan-te de todas las fuerzas respecto a los ejes coordenados.

V. 1.24

9. El mdulo de la fuerza F de la figura es de 450 N.Determinar el momento de la fuerza respecto al eje BC.Expresar el resultado en forma vectorial cartesiana.

R 4.53

10. La magnitud de la fuerza F es de 0.2 Ny sus cosenos

directores sonx

cos 0.727 ,y

cos 0.364 y

zcos 0.582 . Determine la magnitud del momento de

F respecto al eje AB de la bobina.

BW 4.99


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7. MOMENTO EJE

7.1. PARES

Dos fuerzas de igual mdulo, paralelas, no colineales yde sentidos opuestos forman un par. Como las dos son

de igual mdulo, paralelas y de sentidos opuestos, susuma ser nula en cualquier direccin. Por tanto, un partender solamente a hacer girar el cuerpo al que estaplicado.

Fig. 23

El momento de una par se define diciendo que es la su-ma de los momentos de las dos fuerzas que constituyen

el par. Para las dos fuerzas 1F y 2F representadas en la

Fig. 23, los momentos del par respeto a los puntos A y Bdel plano del par son

A 2M F .d y B 1M F .d

Pero:1 2

F F F

Luego,

(29) A BM M F.d

lo que nos indica que el mdulo del momento de un parrespecto a un punto de su plano es igual al mdulo deuna de las fuerzas multiplicado por la distancia que lassepara.Se pueden determinar otras caractersticas del par consi-derando dos fuerzas paralelas en el espacio como las re-

presentadas en la Fig. 22. La suma de los momentos delas dos fuerzas respecto a un punto cualquiera o es

O 1 1 2 2M r xF r xF

Pero como 2 1F F

O 1 1 2 1

1 2 1

BA 1

M r xF r x F

r r xF

r xF

dondeBA

r es el vector de posicin que va desde un pun-

to B cualquiera a otro punto cualquiera A. Por tanto, porla definicin de producto vectorial de dos vectores,

(30) O BA 1M r xF

(31) O BA 1 1M r .F .sen F d

donde d es la distancia que separa las fuerzas del par y es un vector unitario perpendicular al plano del par,cuyo sentido es el que da para los momentos la regla dela mano derecha. De la ecuacin 31 resulta evidente queel momento de un par no depende de la situacin delcentro O del momento. As pues, el momento de un pares un vector libre.La ecuacin 31 indica que se pueden efectuar diversastransformaciones del par sin que vare ninguno de susefectos exteriores sobre un cuerpo. Por ejemplo,1. Un par puede trasladarse a una posicin paralela en

su plano Fig. 24 (a) y 24 (b) o cualquier plano para-

lelo.2. Un par pude hacerse girar en su plano Fig. 24 (a) y24 (c).

3.

El mdulo de las dos fuerzas del par y la distanciaque las separa se pueden variar mientras se man-tenga constante el producto F.d

Fig. 24

En los problemas bidimensionales, el par se representafrecuentemente por una flecha curva sobre el esquemadel cuerpo, segn se indica en la Fig. 24 (e). Se da elmdulo del momento del par M F.d y el sentido de laflecha curva indica el sentido del par. El par tambinpuede representarse formalmente como vector, como seindica en la Fig. 24 (f).


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1. La suma de los momentos respecto al punto A debidos alas fuerzas y pares que actan sobre la barra es igual a

cero.a) Cul es la magnitud del par C?b)

Determine la suma de los momentos respecto alpunto B debidos a las fuerzas y pares que actansobre la barra.

BW 4.118

2. Determine las componentes del par simple que es equi-valente a los dos pares mostrados.

B_9 eje 3.6

3. Los trabajadores del sector petrolero pueden ejercerentre 200Ny 550Ncon cada mano sobre el volante

de una vlvula (una mano en cada lado). Si para cerrar lavlvula se requiere un par de momento de 140N.m, de-

termine el intervalo del dimetro d que debe tener elvolante.

V 1.27

4.

El miembro estructural rgido esta sometido al parformado por las dos fuerzas de 100 N. Sustituir ese parpor otro equivalente compuesto por las dos fuerzas P y -P de mdulo 400 Ncada una. Determinar el ngulo co-rrecto . (cotas en milmetros)

M pro tipo 2.6

5. Determine el momento de par resultante de los tres

pares que actan sobre la placa de la figura.

H_12 eje 4.10

6. Se carga una viga con el sistema de fuerzas representado

en la figura. Expresar en forma vectorial cartesiana la re-sultante del sistema de fuerzas.

R. Pro eje 4.11


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7. Se aplican tres fuerzas de igual magnitud paralelas a loslados de un tringulo equiltero.

a)

Demuestre que la suma de los momentos de lasfuerzas es el mismo respecto a cualquier punto.

b) Determine la magnitud de la suma de los momentos.

BW

4.112

8. La llave se encuentra sometida a las fuerzas de 200 Ny

P , tal como se representa. Sabiendo que un sistema

equivalente a las dos fuerzas es una fuerza Raplicada

en O y un par M 20k N.m, determinar P y R.

M 2.60

9. Una placa en forma de paralelogramo se somete a laaccin de dos pares. Determine:

a) el momento del par formado por las dos fuerzas de21 lb,

b) la distancia perpendicular entre las fuerzas de 12 lbsi el par resultante de los dos pares es cero y

c) el valor de si d es igual a 42 in. y el par resultante

es de 72 lb.inen el sentido de las manecillas del re-loj.

B_9 3.71

10. La placa delgada en forma de paralelogramo mostrado

en la figura (considere(d) (m)

D m10

, se somete a la

accin de dos pares de fuerzas (cuplas), determinar:

a)

El momento formado por las dos fuerzas de 210 N,indicando su sentido.

b) La distancia perpendicular entre las fuerzas de 120N, si el par resultante de los dos pares es nulo.

V 4.28

11. Si F=80 N, determine la magnitud y los ngulos directo-res coordenados del momento del par. El ensamblaje detubos se encuentra en el plano x-y.

H_12 4.93

12. Los mdulos de los cuatro pares aplicados al bloquerepresentado en la figura son

1C 75N.m ,

2C 50N.m ,

3C 60N.m y

4C 90N.m . Determinar el mdulo del

par del par resultante C y los ngulos directores asocia-

dos al vector unitarioC

que describe la normal al plano

del par resultante C .

R. Pro eje 4.12


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13. Determine la suma de los momentos ejercidos respecto aApor el par y las dos fuerzas.

BW 4.116

14.Al virar a la izquierda, un conductor ejerce sobre elvolante las dos fuerzas de 6 N indicadas. Hallar el mo-mento asociado a esas fuerzas. Analizar los efectos devariar el dimetro d del volante.

M 2.52

15. Cuatro clavijas de 1 in. de dimetro estn montadassobre una tabla de madera como se muestra en la figura.Dos cuerdas se pasan alrededor de las clavijas y se jalancon las fuerzas indicadas.

a)

Determine el par resultante que acta sobre la tabla.b)

Si slo se usara una cuerda, alrededor de culesclavijas debera pasar y en qu direccin debera ja-larse para generar el mismo par con la mnima ten-sin en la cuerda?

c)

Cul es el valor de esa tensin mnima?

B_9 3.73

16. Si el sistema mostrado es equivalente a un par

M 16 Tn.m determinar el valor tal que F sea mni-mo y luego estimar el valor de F mnimo.

V 2.29

17. Un dispositivo llamado rolamita se usa de varias maneraspara remplazar el movimiento deslizante por movimientorodante. Si la banda, que est enrollada entre los rodi-llos, se encuentra sometida a una tensin de 15 N, de-termine las fuerzas reactivas N de las placas superior einferior sobre los rodillos, de modo que el par resultanteque acta sobre los rodillos sea igual a cero.

H_12 4.83

18. Se carga un soporte con un sistema de fuerzas, segn seindica en la figura. Expresar la resultante del sistema de

fuerzas en forma vectorial cartesiana.

R. 4.73


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19. Determine la suma de los momentos ejercidos por losdos pares sobre la placa que se muestra en la figura.

BW 4.115

20. Como parte de una prueba, los dos motores del avin seaceleran y los pasos de las hlices se ajustan de modoque den los empujes a proa y popa indicados. Qu fuer-za F debe ejercer la pista sobre cada una de las ruedasprincipales frenadas A y B para contrarrestar el efecto ro-

tatorio de los dos empujes de las hlices? La rueda demorro C no est frenada y se halla girada 90 y su efectopuede despreciarse.

M 2.55

21. Si P=0, remplace los dos pares restantes por un solo parequivalente, especifique su magnitud y la direccin de sueje.

B_9 3.77

22. Ser correcto afirmar que los dos sistemas mostradosson equivalentes?

V 1.26

23. Determine la magnitud de F de modo que el momentode par resultante que acta sobre la viga sea de 1.5kN.men el sentido de las manecillas del reloj.

H_12 4.21

24. Se aplican tres pares a una barra doblada, segn seindica en la figura. Determinar el mdulo del par resul-

tante C y los ngulos directores del vectorC

normal al

plano del par resultante C .

R. 4.75

SISTEMA I

SISTEMA II


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8. REDUCCIN

Considere un sistema de fuerzas 1F , 2F , 3F que actan

sobre un cuerpo rgido en los puntos1

A ,2

A ,3

A , defi-

nidos por los vectores de posicin 1r , 2r , 3r , etc.

Fig. 28 Sistema de fuerzas

La fuerza 1F puede ser trasladada de 1A a un punto da-

do O, si se agrega al sistema original de fuerzas un par

de momento 1M , igual al momento 1 1r xF de 1F con res-

pecto a O. Si se repite este procedimiento con 2F , 3F

se obtiene el sistema mostrado en la Fig. 15 que constade las fuerzas originales ahora actuando en O y los vec-tores de par que han sido agregados.

Fig. 29 Sistema de fuerzas actuando en O

Como ahora las fuerzas son concurrentes, pueden ser

sumadas vectorialmente y remplazadas por su resultanteR. De manera similar, los vectores de par pueden ser

remplazados por un solo vector de par 1M , 2M , 3M ,

pueden sumarse vectorialmente y ser remplazados por

un solo vector de parR

OM . Por tanto, cualquier sistema

de fuerzas, sin importar qu tan complejo sea, puede serreducido a un sistema equivalente fuerza-par que actaen un punto dado O. Observe que mientras cada uno de

los vectores de par 1M , 2M , 3M , , en la Fig. 15 es per-

pendicular a la fuerza que le corresponde, en general la

fuerza resultante Ry el vector de par resultanteR

OM en la

Fig. 16 no sern perpendiculares entre s.

Fig. 30 Sistema equivalente fuerza-par

El sistema equivalente fuera-par est definido por lasecuaciones.

(33) R F yR

O OM M (r x F)

Las cuales expresan que la fuerza Rse obtiene sumando

todas las fuerzas del sistema, mientras que el momentodel vector de par resultante

R

OM , denominado momento

resultante del sistema, se obtiene sumando los momen-tos de todas las fuerzas del sistema con respecto al O.Una vez que un sistema de fuerzas dado se ha reducidoa una fuerza y un par que actan en el punto O, dichosistema puede reducirse a una fuerza y un par actuandoen cualquier otro punto O. Mientras que la fuerza resul-

tante Rpermanecer inalterada, el nuevo momento re-

sultanteR

OM , ser igual a la suma deR

OM y el momento

con respecto a O de la fuerza Runida a O.

Fig. 31 Sistema fuerza-par en el punto O

(34)R

O' OM M s x R

9. REDUCCIN

Dos sistemas de fuerza son equivalentes si pueden serreducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dadoO. Recuerde que el sistema fuerza par en O se define pormedio de las relaciones (17), se establece que dos siste-

mas de fuerzas 1F , 2F , 3F y'

1F , '

2F , '

3F , que actan

sobre el mismo cuerpo rgido son equivalentes si, y slos, respectivamente, las sumas de las fuerzas y las sumasde los momentos con respecto a un punto dado O de lasfuerzas de los dos sistemas son iguales.

(35) F F ' y'

O OM M


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1. Se aplica una fuerza de 1500 N al punto A de un soporte,en la forma indicada en la figura. Sustituir la fuerza FApor una fuerza FOy un par C en el punto O.

R pro eje 4.13

2. Se usan cuatro remolcadores para llevar a un trasatlnti-co a su muelle. Cada remolcador ejerce una fuerza de5000 lb en la direccin mostrada en la figura. Determi-nar:

a) El sistema equivalente fuerza-par en el mstil mayorO.

b)

El punto sobre el casco donde un solo remolcadorms potente debera empujar al barco para producir

el mismo efecto que los cuatro remolcadores origina-les.

B_9 prob. res 3.9

3. Determinar la resultante de las cuatro fuerzas y el parque actan sobre la placa representada.

M_3 pro tip 2.8

4. Remplace el sistema de fuerza y par que se muestra enla figura por una fuerza resultante equivalente y un mo-mento de par que acten en el punto O.

H_12 eje 4.14

5. El sistema I consiste en las siguientes fuerzas y pares:

kNAF 10i 10 j 15k , kNBF 30i 5j 10k y

kN.mCM 90i 150 j 60k . Suponga que se desearepresentar el sistema I mediante un sistema equivalen-

te, el cual consiste en una fuerza F que acta en el pun-

to P con coordenadas (4;3;-2) m y un par M (sistema

II). Determine F y M .

BW eje act 4.12

6. La fuerza F representada en la figura tiene por mdulo

763 N. Sustituir la fuerza F por una fuerza OF en el pun-

to O y un par C .

a)

Expresar la fuerza OF y el par C en forma vectorialcartesiana.

b)

Determinar los ngulos directoresx

,y

y z del

vector unitario que describe el aspecto del plano

del par.

R pro eje 4.14

SISTEMA I SISTEMA II


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7. Una losa de cimentacin cuadrada soporta las cuatrocolumnas mostradas en la figura. Determine la magnitudy el punto de aplicacin de la resultante de las cuatrocargas.

B_9 prob res 3.11

8. Un automvil de traccin trasera esta atrapado en lanieve entre otros vehculos estacionados. Con la inten-cin de liberar su vehculo, tres estudiantes ejercen fuer-zas sobre l en los puntos A, B y C mientras que la ac-cin del conductor da por resultado un empuje hacia de-lante de 40 lb paralelo al plano de rotacin de las ruedastraseras. Considere este problema como bidimensional,determinar el sistema fuerza-par equivalente en el centrode masa G del automvil y localizar la posicin x del pun-to del eje geomtrico del vehculo por el que pasa la re-sultante. Se despreciarn todas las fuerzas no represen-tadas.

M_3 2.87

9. Remplace el sistema de fuerzas que se muestra en lafigura por una fuerza resultante equivalente y especifiquesu punto de aplicacin sobre el pedestal.

H_12eje 4.20

10. La fuerza distribuida que ejerce el suelo sobre una partede la cimentacin de un edificio est representada porcinco fuerzas. Si stas se representan por medio de una

fuerza F . qu valor tiene F y en qu punto interseca sulnea de accin al eje x?

BW 4.143

11. Se aplican cuatro fuerzas a una placa rectangular, segn

se indica en la figura. Determinar la resultante de lascuatro fuerzas.

R pro eje 4.15

12. Dos poleas de 150 mm de dimetro se montan sobre eleje en lnea AD. Las bandas de las poleas B y C estncontenidas en planos verticales paralelos al plano yz;.Remplace las fuerzas de las bandas mostradas por unsistema fuerza-par equivalente en A.

B_9 3.120


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13. En la posicin de equilibrio representada, la resultante delas tres fuerzas actuantes sobre la palanca angular pasapor el cojinete O. Determinar la fuerza vertical P. De-pende de el resultado?

M_3 2.80

14. Se muestran los pesos de los diferentes componentes delcamin. Remplace este sistema de fuerzas por una fuerzaresultante equivalente y especifique su ubicacin medidadesde el punto B.

H_12 4.118

15. Cinco sistemas fuerza-par diferentes actan en lasesquinas de la placa de metal, que se ha moldeado en laforma que se muestra en la figura. Determine cul de es-

tos sistemas es equivalente a una fuerza lbF (10 ) i y

a un par de momento lb.pie lb.pie M (15 ) j (15 ) k ubi-cado en el origen.

B_9 3.104

16. Un jugador de baloncesto realiza una clavada y luegose cuelga momentneamente del aro, ejerciendo las dosfuerzas de 100 lb que se muestra en la figura. Las di-mensiones son h=14.5 pulg y r=9.5 pulg, el ngulo

120 .

a)

Si las fuerzas que el jugador ejerce se representanmediante una fuerza F que acta en O y un par M .

qu valores tiene F y M ?

b)

El tablero de vidrio se romper si lb.pulgM 4000

Se rompe?

BW 4.153

17. Determinar la resultante del sistema de fuerzas paralelasrepresentado en la figura y localizar la interseccin elplano xyde la recta soporte de la resultante.

R pro eje 4.17

10. BIBLIOGRAFA

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cnica para Ingeniera - Esttica (5 edicin). Mxico:Pearson Educacin.

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RILEY, William y STURGES, Leroy (Reimpresin2004). Ingeniera MecnicaEsttica. Espaa: Edito-rial Reverte S.A.

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