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3.- CUERPOS RGIDOS Las fuerzas se aplican de dos formas, por contacto directo o por accin a distancia, para este ltimo caso tenemos de ejemplo las fuerzas elctricas y gravitatorias. Las dems fuerzas se aplican por contacto fsico directo. 3.1.- Fuerzas Externas e Internas Las fuerzas aplicadas a un cuerpo se consideran fuerzas externas, estas generan fuerzas al interior del cuerpo o pieza las que deben soportar sin que se provoque el rompimiento de la pieza, estas fuerzas son las llamadas fuerzas internas y son muy estudiadas en los cursos de Resistencia de Materiales donde se estudian propiedades como la elasticidad y la plasticidad. 3.2.- Fuerzas equivalentes Se entiende por fuerzas equivalentes a una o un conjunto de fuerzas que sustituyen a una o un conjunto de fuerzas aplicadas que al cuerpo en estudio le provocan los mismos efectos. Generalmente se usan como fuerzas equivalentes a fuerzas puntuales que reemplazan a fuerzas distribuidas. Ejemplo:

En este ejemplo P es una fuerza equivalente que reemplaza a la distribucin de cargas Q.

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Otro ejemplo clsico ocurre con la fuerza peso, que se encuentra distribuida en toda la extensin del cuerpo, sin embargo, generalmente se representa por una sola fuerza puntual ubicada en el centro geomtrico o de masa del cuerpo. En el ejemplo anterior, la fuerza peso estara ubicada en el medio de la viga debajo de la fuerza equivalente P. 3.3.- Momento de una fuerza respecto de un punto o un eje Adems de mover un cuerpo en la direccin de su aplicacin, una fuerza tambin puede hacer girar a un cuerpo en torno a un eje, siempre que este no se corte (o cruce) con la direccin sobre la que acta la fuerza. Esta accin de hacer girar los cuerpos se llama Momento de una fuerza respecto al punto (o eje) en cuestin, tambin reciben otros nombres como torque. Ejemplos clsicos de uso en la vida cotidiana de esto se dan al abrir o cerrar una puerta, en la cual se aplica una fuerza en algn punto y esta gira respecto de un eje que se encuentra ubicado en las bisagras, lo mismo sucede al hojear un libro o un cuaderno y al apretar o aflojar una tuerca con una llave, y en muchos otros casos. Si observamos cualquiera de estos ejemplos veremos que el punto de aplicacin de la fuerza necesita estar alejado del eje de giro, esta distancia de separacin recibe el nombre de brazo, y si realizamos la experiencia de la puerta, podremos claramente apreciar la importancia de esta distancia, empujemos la puerta con la misma fuerza a distancias diferentes, comenzando desde el otro extremo, el opuesto a las bisagras (eje de giro), y vamos acortando esta distancia, a medida que nos acercamos al eje de giro, es decir, cuando el brazo tiende a cero, el efecto producido va disminuyendo y se necesita cada vez ms fuerza para conseguir el objetivo, y esto llega a tal punto, que al estar muy cerca de las bisagras es casi imposible abrir o cerrar la puerta, y si la empujamos directamente de las bisagras la puerta no se mover por mucha fuerza que hagamos. Por el contrario, mientras ms nos alejemos del eje de giro, es decir, mientras ms grande el brazo, menor ser la fuerza necesaria para producir el giro. Lo mismo sucede con la herramienta para girar una tuerca, etc. etc.

En esta figura, O representa el punto o proyeccin del eje de giro de la tuerca, A y B son los puntos de aplicacin de las fuerzas FA y FB respectivamente, no hay que

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hacer mucho clculo para apreciar que si FA y FB son iguales, FB ser ms efectiva que la otra, esto sucede solo porque FB posee un brazo ms largo que FA. Salvando las diferencias pero, este ejemplo sirve para el caso de la puerta si suponemos que la herramienta de la figura corresponde a una vista de la puerta desde arriba (vista de plano o de planta). De la observacin de los ejemplos anteriores podemos inferir que dependiendo de la orientacin de la fuerza aplicada depender el sentido del giro producido al eje.

En el caso de que la fuerza y la distancia al punto de aplicacin sean perpendiculares (a 90) el valor numrico del momento (M) viene dado por el producto del mdulo de la fuerza (F) y el de la distancia (d) entre el eje de giro y el punto de aplicacin de la fuerza, vale decir

M = F d

Cuando F y d no son perpendiculares, es decir, forman un ngulo distinyo a 90, se debe considerar la componente perpendicular de la fuerza respecto del brazo

En este caso la componente horizontal que empuja paralelo (a 0) respecto del brazo no induce al giro y solamente la componente vertical lo hace, por lo tanto la expresin del momento es

M = d F sen O lo que es lo mismo despus de reordenar el producto

M = F d sen

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Como F y sus componentes son vectores y la distancia considerada tambin lo es, se puede concluir a partir de la ltima expresin que corresponde al mdulo de un producto vectorial que:

dFM

Por lo tanto M es un vector que acta sobre el eje de giro y es perpendicular al plano que forman los vectores F y d, y el sentido de giro se determina al girar F hacia d, siguiendo la regla de la mano derecha

En tres dimensiones el vector M se calcula

zyx

zyx

FFF

rrr

kji

rFM

Cuyo desarrollo es

)()()( xyyxxzzxyzzy FrFrkFrFrjFrFriM

Y los distintos trminos de esta expresin corresponden a las componentes rectangulares del momento. MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO

1) Una fuerza de 40 lb est aplicada al mango de la llave. Determinar el momento de sta fuerza respecto al punto o si el ngulo es de 25

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2) Determinar el momento resultante respecto a A de la fuerza que acta sobre la viga.

3) Determinar la magnitud, sentido y direccin del momento resultante de las fuerzas en A y B respecto al punto 0

3.4.- Momento de un par de fuerzas Cuando el giro de un cuerpo depende de un par de fuerzas, como en el caso de un volante, vase el ejemplo a continuacin

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En el ejemplo F representa las fuerzas, d es el dimetro o la distancia que separa las fuerzas, O es el punto centro, entre las fuerzas o punto de giro, o eje, y r es la distancia de separacin entre las fuerzas y el eje (O). Si hicisemos el clculo por separado del momento de cada fuerza y los sumramos resultara que el momento total M sera: M = M1 + M2 = r F + r F = 2 r F y como 2 r = d, resulta que el momento de un par es:

M = d F Donde en el caso de un par, d tambin se llama brazo Ejemplos

3.5.- Suma de momentos o Momento Total Hasta ac hemos visto los momentos producidos por una o dos fuerzas, cuando interviene una cantidad mayor de fuerzas, por distintas razones fsicas, surge naturalmente la pregunta por el momento total aplicado al cuerpo en cuestin. Establecido el punto o eje de giro del cuerpo, basta sumar vectorialmente, los distintos momentos aplicados y as se obtiene el momento total, as este se haya producido por una sola fuerza, por dos fuerzas iguales (par), o por un nmero cualquiera de fuerzas y con distintos brazos. Observacin importante: cuando sobre un cuerpo actan ms de una fuerza induciendo al giro, el sentido de la rotacin depende simplemente del balance de momentos o del sentido del balance de fuerzas aplicadas. Por lo tanto, es estrictamente necesario definir un sistema de referencia a priori, por lo tanto, arbitrario, que diga cules momentos o cules fuerzas son positivas, lo mismo con los brazos. Esto de consigue generalmente colocando un sistema cartesiano sobre el cuerpo haciendo coincidir el origen con el punto (o eje) de rotacin, y los ejes X e Y en alguna posicin conveniente. Si los resultados obtenidos, es decir, el momento total, coincide con nuestra suposicin en cuanto al signo (positivo), significa que nuestra eleccin fue la correcta, en cambio, si el resultado obtenido no coincide en el signo con el supuesto (y es negativo), solo significa que supusimos mal y que el sentido correcto de giro es el contrario al que anticipamos arbitrariamente al comienzo. Veamos un ejemplo:

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En el ejemplo, O es el punto de giro de la barra A-B (dibujada en gris), se coloca en O el origen de un sistema de referencia del tipo XY, las distancias se refieren de acuerdo al sistema, de ah que algunas distancias sean positivas y otras negativas. Las fuerzas (dibujadas en azul) indican su direccin positiva o negativa segn el sistema, y se indican sus mdulos. A falta de indicaciones elegimos unas unidades arbitrarias de distancia, por ejemplo el metro. Acto seguido elegimos un sentido arbitrario de giro, en este caso hay solo dos alternativas, sentido horario o anti horario, elijamos anti horario; es decir, las fuerzas que por s solas induzcan rotacin anti horaria sern positivas, observando la figura, estas sern las fuerzas que a la derecha de O apuntan hacia arriba y al lado izquierdo apuntan hacia abajo, para mayor claridad del estudiante, hay que observar cada fuerza por separado, haciendo cuenta de que las otras no existen, as podemos ver con claridad hacia donde hacen girar la pieza; una vez resuelto este tema se recomienda para evitar confusiones marcar en el papel un signo ms o un signo menos al lado de cada fuerza. Por ltimo, antes de empezar a calcular, todas las distancias deben referirse al eje o punto de giro como positivas, recordemos que son distancias, no valen las distancias entre fuerzas como estn indicadas en esta figura. Haciendo las transformaciones correspondientes, el dibujo nos queda:

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Entonces, el momento total Mo (momento respecto a O) se calcula sumando los momentos parciales de cada fuerza, haciendo la suma de izquierda a derecha, solo para seguir un orden, resulta:

Mo = 10 N 6 m + (-12) N 7 m + (-5) N 20 m + 15 N 20 m + 7 N 25 m Mo = 60 N-m + (-84) N-m + (-100) N-m + 300 N-m + 175 N-m Mo = 351 N-m Otro mtodo, referido al sistema XY con origen tambin en O, y para simplificar tomando el mismo sentido de giro, significa tomar todas las fuerzas que apuntan hacia arriba como positivas y todas las fuerzas que apuntan hacia abajo como negativas, de la misma manera, las posiciones de las fuerzas se consideran de acuerdo al sistema cartesiano, es decir, las que van hacia la derecha del origen como positivas y las que van a la izquierda como negativas. Para nuestro ejemplo solo nos varan las medidas a la izquierda de la siguiente manera, lo dems queda igual:

Y nuestro clculo con estas variantes ahora es: Mo = (-10) N (-6) m + (-12) N 7 m + (-5) N 20 m + 15 N 20 m + 7 N 25 m Mo = 60 N-m + (-84) N-m + (-100) N-m + 300 N-m + 175 N-m Mo = 351 N-m Como se puede ver, el resultado no se ve afectado, el estudiante puede elegir el mtodo que le sea ms conveniente. 3.6.- Reduccin de un sistema de fuerzas a un momento o un par Sistemas Equivalentes de Fuerzas Cuando existe un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo y llegamos a conocer el momento total y todas sus variables podemos reducir todo el sistema a una sola fuerza y un brazo o a un par de fuerzas y un brazo, veamos el primer caso.

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Reduccin a un solo momento Aprovechando el ejemplo anterior usaremos los datos conocidos, en primer lugar las fuerzas, del ltimo diagrama podemos ver que las fuerzas que aportan al sentido de giro elegido son las de 10, 15 y 7 N, hagamos un parntesis con la fuerza de 10 N, en el primer diagrama la consideramos positiva porque aporta al sentido de giro positivamente, por lo tanto, es positiva, en el segundo diagrama la consideramos negativa porque apunta hacia abajo, pero recordemos que le asignamos un signo negativo, por lo tanto es una fuerza de -10 N que apunta hacia el sentido negativo del eje Y, entonces, si se opone al sentido negativo puede considerarse positiva, en resumen, de cualquier manera que hagamos el anlisis, sigue siendo una fuerza positiva. Como fuerzas negativas nos quedan nicamente las de 12 y 5 N. haciendo un balance de fuerzas la fuerza resultante es: FR = 10 + 15 + 7 -12 5 = 32 17 = 15 N Sabiendo ahora que Mo = 351 N-m y que FR = 15 N, podemos con estos datos calcular el brazo a partir de la ecuacin de momento M = r F, de donde r = M / F r = 351 N-m / 15 N r = 23,40 m con lo que nuestro diagrama original nos queda

Reduccin a un par Si nos apegamos a nuestro ejemplo y de acuerdo a las ecuaciones ya estudiadas, debiramos agregar una segunda fuerza de 15 N a la izquierda de O, y a una distancia de la mitad del actual brazo, es decir, a 11,70 m. Como en el diagrama original el punto A est ubicado 6 metros, es imposible fsicamente reducir este ejemplo a un par. Sin embargo, con el uso de nuestra imaginacin, vamos a

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suponer que la barra se extiende lo suficiente como para que podamos sustituir el sistema por un par, por lo tanto nuestro diagrama nos debiera quedar as:

Algunas consideraciones respecto del problema anterior. Algo que no se dijo, en ninguna parte se habl de la masa de la barra AB, se trat como si dicha masa no existiera, sin embargo, todo cuerpo material tiene masa. Tampoco se habl de los efectos gravitatorios en el cual est inserta la barra, con lo cual, sin gravedad y sin masa no hay peso, y el peso es una fuerza Por qu esto se preguntarn?, las respuestas a esta legtima duda comienza por razones pedaggicas para simplificar la comprensin de los contenidos del curso, y se complementan con las razones de la ingeniera, donde muchas veces el peso de la barra o la herramienta o del material en cuestin es tan pequeo comparado con las fuerzas actuantes que su efecto no es considerable y por lo tanto la simplificacin de esta fuerza no altera los resultados obtenidos. 3.7.- Teorema de Varignon Enunciado: Dadas varias fuerzas concurrentes el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas aplicada en el punto de concurrencia. Este teorema, con el ejemplo anterior resulta obvia su demostracin 3.8.- Algunas aplicaciones Las mquinas simples Todos los aparatos que se utilizan comen mente para obtener una fuerza grande aplicando una fuerza pequea, se conocen como maquinas simples, las maquinas simples estn clasificadas en:

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a) palanca b) poleas c) torno d) plano inclinado

Se define a la palanca como una barra rgida apoyada en un punto sobre la cual se aplica una fuerza pequea para obtener una gran fuerza en el otro extremo; la fuerza pequea se denomina potencia (p) y la gran fuerza, resistencia (R), al eje de rotacion sobre el cual gira la palanca se llama punto de apoyo o fulcro (A). Al utilizar palancas se aplica el principio de los momentos donde una de las fuerzas hace girar la palanca en un sentido y la otra en sentido contrario. De acuerdo con la posicion de la potencia y de la resistencia con respecto al punto de apoyo, se consideran tres clases de palancas, que son:

1. Intermviles o de primera clase (o tipo) 2. Interresistentes o de segunda clase (o tipo) 3. Interpotentes o de tercera clase (o tipo)

Las palancas intermviles tienen el punto de apoyo cerca de la resistencia, quedando con un brazo de palanca muy corto como en las tijeras o pinzas de mecnico o similares.

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Las palancas interresistentes tienen el punto de apoyo en un extremo de la palanca, la potencia en otro extremo y la resistencia en algn punto intermedio, como en las carretillas o en los diablos.

Las palancas interpotentes aplican la potencia en cualquier punto entre la resistencia y el punto de apoyo como sucede con las pinzas para tomar el pan o las ensaladas, o en las de depilar.

Despus de observar estos datos y basados en el principio de los momentos, podemos llegar a la expresin matemtica: Fa = Rb La expresin anterior indica el equilibrio de momentos, este se obtiene cuando la multiplicacin de la fuerza (F) por su brazo de palanca (a) es igual al producto de la resistencia (R) por su brazo de palanca (b).

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Problemas: Un minero necesita levantar una roca que pesa 400 kg (fuerza) con una palanca cuyo brazo de palanca (a) mide 3 m, y el de resistencia (b) 70 cm, alquel fuerza se necesita aplicar para mover la roca?

Qu longitud tiene el brazo de palanca (a) de una carretilla, si al aplicarle una fuerza de 4 Kgf levanta una carga de 20 Kgf de arena (R) y su brazo de palanca mide 0.20 m?

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La fuerza (F) que se aplica a unas cizallas es de 20 N, siendo su brazo de palanca

(a) de 60 cm. Cul ser la resistencia de una lmina si se encuentra a 20 cm (b) del punto de apoyo?

Las poleas Las poleas han sido clasificadas como maquinas simples, son discos con una parte acanalada o garganta por la que se hace pasar un cable o cadena; giran alrededor de un eje central fijo y estn sostenidas por un soporte llamado armadura. Existen poleas fijas y poleas mviles. En las poleas fijas el eje se encuentra fijo, por lo tanto, la polea no se desplaza, con su uso no se obtiene ventaja mecnica, ya que en uno de los extremos est sujeta la carga y en el otro se aplica la fuerza para moverla, esta ser de la misma magnitud. La polea fija solamente se utiliza para cambiar la direccin o sentido de la fuerza. Por lo mismo, su frmula es F = C, siendo (c) la carga. Las poleas se usan mucho en las obras de construccin para subir materiales, para sacar agua de los pozos, etc.

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En las poleas mviles el punto de apoyo este en la cuerda y no en el eje, por lo tanto puede presentar movimientos de traslacin y rotacin. Como el caso de dos personas que cargan una bolsa, cada una de ellas hace las veces de una polea y sus brazos las veces de cuerdas, el peso se reparte entre los dos y se produce una ventaja mecnica, que se expresa como F = c/2, siendo F = fuerza, C = carga; el esfuerzo se reduce a la mitad. Si se tienen ms de dos cuerdas y por lo tanto varias poleas, se tendr un aparato llamado polipasto o aparejo, aumentando el nmero de poleas y por lo tanto de cables, el esfuerzo se reduce. Para contar el nmero de cables no se debe tomar en cuenta el primero de ellos, expresndose matemticamente como: F = c/n, donde: c = carga y n = nmero de poleas o cables.

Problemas:

Si se requiere levantar una carga de 80 Kgf con una polea fija, qu fuerza deber aplicarse? c = 8 Kgf F =? F = c F = 80 Kgf F = 80 Kgf

Qu fuerza se requiere para levantar una carga de 74 Kgf, si se utiliza una polea mvil?

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Qu? fuerza necesitara aplicar un individuo para cargar un muelle de 350 Kgf, si utiliza un polipasto de 3 poleas?

El plano inclinado La superficie plana que tiene un extremo elevado a cierta altura, forma lo que se conoce como plano inclinado o rampa, que permite subir o bajar objetos con mayor facilidad y menor esfuerzo deslizndolos por este, que realizando el trabajo en forma vertical. Los elementos del plano inclinado son: longitud del plano (I) altura (h) peso del cuerpo o carga (p) fuerza necesaria para subir la carga (F)

Del trabajo realizado en un plano inclinado se obtiene la siguiente expresin:

p h = F l de la cual se puede tener como incgnita cualquiera de los elementos, haciendo el despeje adecuado.

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Qu fuerza necesita aplicar un individuo para subir un barril a un camin que pesa 150 N por un plano inclinado de 3 m de longitud, colocado a una altura de 1.50 m?

El torno y el tornillo El torno es una mquina simple, constituida por un cilindro de radio (r), que gira sobre un eje, a travs de una manivela con radio (R), a la cual se le aplica una fuerza (F), que hace enrollar la cuerda en el cilindro subiendo la carga (C) sostenida en el otro extremo. Este tipo de mquinas simples se emplea generalmente para sacar agua de los pozos. La aplicacin se encuentra en: tornos manuales, cabestrantes, etc. la expresin matemtica de un torno es:

F R = C r en donde haciendo los despejes adecuados se puede tener cualquier elemento como incgnita.

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Ejemplo:

Qu fuerza se necesita aplicar a un torno, si el radio del cilindro es de 7 cm y el que describe la manivela es de 25 cm, la carga es de 250 Kgf?

El tornillo es una aplicacin del plano inclinado, que en este caso esta enrollado, al introducirse en algn material el rozamiento es demasiado, evitando de esta manera que sea expulsado por la fuerza de resistencia.

QU SON MAQUINAS SIMPLES? Se denominan mquinas a ciertos aparatos o dispositivos que se utilizan para transformar o compensar una fuerza resistente o levantar un peso en condiciones ms favorables.

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Es decir, realizar un mismo trabajo con una fuerza aplicada menor, obtenindose una ventaja mecnica. Esta ventaja mecnica comporta tener que aplicar la fuerza a lo largo de un recorrido (lineal o angular) mayor. Adems, hay que aumentar la velocidad para mantener la misma potencia. Las primeras mquinas eran sencillos sistemas que facilitaron a hombres y mujeres sus labores, hoy son conocidas como mquinas simples. La rueda, la palanca, la polea simple, el tornillo, el plano inclinado, el polipasto, el torno y la cua son algunas mquinas simples. La palanca y el plano inclinado son las ms simples de todas ellas. En general, las maquinas simples son usadas para multiplicar la fuerza o cambiar su direccin, para que el trabajo resulte ms sencillo, conveniente y seguro. Ejemplos de mquinas simples Palanca Una palanca es, en general, una barra rgida que puede girar alrededor de un punto fijo llamado punto de apoyo o fulcro.

La fuerza que se aplica se suele denominar fuerza motriz o potencia y la fuerza que se vence se denomina fuerza resistente, carga o simplemente resistencia. Polea La polea sirve para elevar pesos a una cierta altura. Consiste en una rueda por la que pasa una cuerda a la que en uno de sus extremos se fija una carga, que se eleva aplicando una fuerza al otro extremo. Su funcin es doble, puede disminuir una fuerza, aplicando una menor, o simplemente cambiar la direccin de la fuerza. Si consta de ms de una rueda, la polea amplifica la fuerza. Se usa, por ejemplo, para subir objetos a los edificios o sacar agua de los pozos.

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Las poleas pueden presentarse de varias maneras: Polea fija: solo cambia la direccin de la fuerza. La polea est fija a una superficie. Polea mvil: se mueve junto con el peso, disminuye el esfuerzo al 50%. Polea pasto, polipasto o aparejo: Formado por tres o ms poleas en lnea o en paralelo, se logra una disminucin del esfuerzo igual al nmero de poleas que se usan. Polipasto Se llama polipasto a un mecanismo que se utiliza para levantar o mover una carga aplicando un esfuerzo mucho menor que el peso que hay que levantar. Estos mecanismos se utilizan mucho en los talleres o industrias que manipulan piezas muy voluminosas y pesadas porque facilitan la manipulacin, elevacin y colocacin de estas piezas pesadas, as como cargarlas y descargarlas de los camiones que las transportan.

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Suelen estar sujetos a un brazo giratorio que hay acoplado a una mquina, o pueden ser mviles guiados por rales colocados en los techos de las naves industriales. Los polipastos tienen varios tamaos o potencia de elevacin, los pequeos se manipulan a mano y los ms grandes llevan incorporados un motor elctrico. Rueda Mquina simple ms importante que se conoce, no se sabe quin y cundo la descubri o invent; sin embargo, desde que el hombre utiliz la rueda la tecnologa avanz rpidamente, podemos decir que a nuestro alrededor siempre est presente algn objeto a situacin relacionado con la rueda, la rueda es circular. Plano inclinado El plano inclinado permite levantar una carga mediante una rampa o pendiente. Esta mquina simple descompone la fuerza del peso en dos componentes: la normal (que soporta el plano inclinado) y la paralela al plano (que compensa la fuerza aplicada). De esta manera, el esfuerzo necesario para levantar la carga es menor y, dependiendo de la inclinacin de la rampa, la ventaja mecnica es muy considerable. Al igual que las dems mquinas simples cambian fuerza por distancias. El plano inclinado se descubre por accidente ya que se encuentra en forma natural, el plano inclinado es bsicamente un tringulo donde su utiliza la hipotenusa, la funcin principal del plano inclinado es levantar objetos por encima de la Horizontal.

El plano inclinado puede presentarse o expresar tambin como cua o tornillo. Cua Se forma por dos planos inclinados opuestos, las conocemos comnmente como punta, su funcin principal es introducirse en una superficie. Ejemplo: Flecha, hacha, navaja, desarmado, pica hielo, cuchillo. Tornillo Plano inclinado enrollado, su funcin es la misma del plano inclinado pero utilizando un menor espacio.

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Ejemplos: escalera de caracol, carretera, saca corcho, resorte, tornillo, tuerca, rosca. Nivel o torno Mquina simple constituida por un cilindro en donde enredar una cuerda o cadena, se hace girar por medio de una barra rgida doblada en dos ngulos rectos opuestos. Como todas las mquinas simples el torno cambia fuerza por distancia, se har un menor esfuerzo entre ms grande sea el dimetro. Ejemplos: gra, fongrafo, pedal de bicicleta, perilla, arranque de un auto antiguo, gra, ancla, taladro manual.