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INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

DINAMICA

INGENIERIA CIVIL

UNIDAD 5 CINETICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS

ING. CARLOS RODRIGUEZ JIMENEZ

EMMANUEL ALVAREZ PEREZ

EMMANUEL RAMON MARGALLI

ERNESTO ALONSO LOPEZ DE LA CRUZ

JOSE CARLOS FERNANDEZ CARRERA

CINETICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

•5.1 Introducción

•5.2 Ecuaciones del movimiento plano de un cuerpo rígido

•5.3 Momento angular de un cuerpo rígido en el plano

•5.4 Movimiento de un cuerpo rígido•5.4.1 Principio de D´Alembert

•5.4.2 Traslación, rotación centroidaly movimiento general•5.5 Trabajo y energía•5.5.1 Trabajo de una fuerza

•5.5.2 Energía Cinética

•5.5.3 Principio de la conservación de la energía

•5.5.4 Potencia•5.6 Principio de impulso y de la cantidad de movimiento

5.1 IntroducciónDado que un cuerpo rígido es un conjunto de puntos materiales, podremos utilizar las relaciones desarrolladas en el capítulo anterior para el movimiento de un sistema de puntos materiales.En este capítulo se aplicará muchas veces la ecuación:Ecuación que relaciona la resultante Rde las fuerzas aplicadas exteriormente con la aceleración aGdel centro de masa G del sistema.En el caso más generalen que la resultante del sistema de fuerzas exteriores consista en una fuerza resultante Rque pase por el cdmG más un par de momento C, el cuerpo experimentará Rotación y Traslación.Las leyes de Newton sólo son aplicables al movimiento de un punto material (traslación), no siendo adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo rígido que puede ser de traslación más rotación; así pues, se necesitarán ecuaciones adicionalespara relacionar los momentos de las fuerzas exteriores con el movimiento angular del cuerpo.

AcontinuaciónsevanaextenderlasleyesdeNewtonparapodercubrirelmovimientoplanodeuncuerporígido,proporcionandoasíecuacionesquerelacionenelmovimientoaceleradolinealyangulardelcuerpoconlasfuerzasymomentosquelooriginan.Dichasecuacionespuedenutilizarseparadeterminar:1.-Lasaceleracionesinstantáneasocasionadasporfuerzasymomentosconocidos,o2.-Lasfuerzasymomentosquesenecesitanparaoriginarunmovimientoprefijado.5.2 Ecuaciones del movimiento planoEcuaciones del movimiento plano

Enelcapítuloanteriorsedesarrollóel“principiodelmovimientodelcentrodemasa”deunsistemadepuntosmateriales.Comouncuerporígidosepuedeconsiderarcomounconjuntodepuntosmaterialesquemantieneninvariablessusdistanciasmutuas,elmovimientodelCDMGdeuncuerporígidovendrádadoporlaecuación:Escalarmente:Laecuaciónanteriorseobtuvosimplementesumandofuerzas,conloquenosetieneinformacióndelasituacióndesurectasoporte.

ElmovimientorealdelamayoríadeloscuerposrígidosconsisteenlasuperposicióndelatraslaciónoriginadaporlaresultanteRylarotacióndebidaalmomentodeesafuerzacuandosurectasoportenopasaporelcdmGdelcuerpo.ANALISISDELAROTACIÓN:Consideremosuncuerporígidodeformaarbitrariacomoeldelafigura.•ElsistemadecoordenadasXYZestáfijoenelespacio.

•ElsistemadecoordenadasxyzessolidarioalcuerpoenelpuntoA.

•EldesplazamientodeunelementodemasadmrespectoalpuntoAvienedadoporelvectorρyrespectoalorigenOdelsistemadecoordenadasXYZvienedadoporelvectorR.

•EldesplazamientodelpuntoArespectoalorigenOdelsistemaXYZlodaelvectorr.

LasresultantesdelasfuerzasexterioreseinterioresqueseejercensobreelelementodemasadmsonFyf,respectivamente.Así,elmomentorespectoalpuntoAdelasfuerzasFyfes:segúnla2ªleydeNewton:

Así:Laaceleraciónadmdeuncuerporígidoenmovimientoplanopuedeescribirse:Sustituyendoeintegrando,tenemos:

Elmovimientoplanodeuncuerporígidoesunmovimientoenelcualtodosloselementosdelcuerposemuevenenplanosparalelos, llamandoplanodelmovimientoaunplanoparaleloquecontieneelcdmG.Segúnlafigura,

losvectoresvelocidadangularyaceleraciónangularseránparalelosentresíyperpendicularesalplanodemovimiento.Sitomamoselsistemadecoordenadasxyzdemaneraqueelmovimientoseaparaleloalplanoxy,tendremosque:Paraelmovimientoenelplanoxy, losdiferentestérminosdelaexpresióndeMA,cuandoelpuntoAestásituadoenelplanodemovimientosedesarrollanacontinuación:

MomentosprimerosProductos de InerciaMomento de InerciaLasintegralesqueapareceneneldesarrolloanteriorson:ComoyaquesetratadeunmovimientoplanoenelplanoxyquepasaporelcdmG(yporelpuntoA)tenemos:

Estesistemadeecuacionesrelacionalosmomentosdelasfuerzasexterioresqueseejercensobreelcuerporígidoconlasvelocidadesangularesylaspropiedadesinercialesdelcuerpo.LosmomentosdelasfuerzasylosmomentosyproductosdeinercialosonrespectoalosejesxyzquepasanporelpuntoAyestánfijosenelcuerpo.Sinoestuvieranfijosenelcuerpo,losmomentosyproductosdeinerciaseríanfuncionesdeltiempo.LasecuacionesmuestranquepuedensernecesarioslosmomentosMAxyMAyparamantenerelmovimientoplanoentornoalejez.EnlamayoríadelosproblemasdeDinámicareferentesalmovimientoplano,sepuedensimplificarlasecuacionesanteriores.

Principio de Principio deD‘ D‘ AlembertAlembert

ElprincipiodeD’AlembertenunciadoporJeanD’AlembertensuobramaestraTratadodedinámicade1743,establecequelasumadelasfuerzasexternasqueactúansobreuncuerpoylasdenominadasfuerzasdeinerciaformanunsistemadefuerzasenequilibrio.Aesteequilibrioseledenominaequilibriodinámico.

El principio de d'Alembertestablece que para todas las fuerzas externas a un sistema:Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:

momentumde la partícula i-ésima.fuerza externa sobre la partícula i-ésima.

cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.

El principio de d'Alembertes realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrangeusó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembertdurante el resto de su vida y de manera especial en su MécaniqueAnalytique.

•Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:

•Enprimerlugar,elprincipiodeacciónestacionariaestáligadoalaexistenciadeunafunciónpotencial,cuyaexistencianorequiereenelprincipioded'Alembert.

•Ensegundolugar,elprincipiodeacciónseprestaainterpretacionesfilosóficasyteleológicasquenolegustabanaLagrange.

Finalmentedebeseñalarsequeelprincipioded‘Alembertespeculiarmenteútilenlamecánicadesólidosdondepuedeusarseparaplantearlasecuacionesdemovimientoycálculodereaccionesusandouncampodedesplazamientosvirtualesqueseadiferenciable.EnesecasoelcálculomedianteelprincipiodeD‘Alembert,quetambiénsellamaenesecontextoprincipiodelostrabajosvirtualesesventajososobreelenfoquemássimpledelamecánicanewtoniana.

El principio de D'Alembertformalmente puede derivarse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La derivación resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que sobre la partícula i-ésimaactúa una fuerza externa más una fuerza de ligadura entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de

momentumviene dada por:

SielsistemaestáformadoporNpartículassetendránNecuacionesvectorialesdelaformasisemultiplicacadaun

adeestasecuacionesporundesplazamientoarbitrariocompatibleconl

asrestriccionesdemovimientoexistentes:Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema

de

desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo.Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.

Ecuaciones de Euler-LagrangeEl principio de d'Alemberten el caso de existir ligaduras no triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes que implícitamente incorporen dichas ligaduras.Consideremos un sistema de N partículas en el que existan m ligaduras:Por el teorema de la Función Implícita existirán n = 3N-m coordenadas generalizadas y N funciones vectoriales tales que:El principio de d'Alemberten las nuevas coordenadas se expresará simplemente como:

(4)

La última implacaciónse sigue de que ahora todas las son independientes. Además la fuerza generalizada Qjy el término Wjvienen dados por:

Expresando Wjen términos de la energía cinética T tenemos:Y por tanto finalmente usando (4) llegamos a las ecuaciones de Euler-Lagrange:(5)Si las

fuerzas son además conservativas entonces podemos existe una función potencial U(Wj) y podemos definir el lagrangianoL = T -U, simplificando aún más la expresión anterior.

Sistemas en movimiento aceleradoOtraconsecuenciadelprincipiodeD'Alembertesqueconocidaslasaceleracionesdeuncuerporígidolasfuerzasqueactúansobreelmismosepuedenobtenermediantelasecuacionesdelaestática.Dichodeotramanera,siseconocentodaslasaceleracionesunproblemadinámicopuedereducirseaunproblemaestáticodedeterminacióndefuerzas.Paraverestonecesitamosdefinirlasfuerzasdeinerciadadaspor:Donde:es la aceleración conocida de un punto del sólido.es la velocidad angular conocida del sólido.

son respectivamente la masa y el momento de inercia del sólido con respecto a un sistema de ejes que pase por el punto c.

Enestascondicioneslasecuacionesdelmovimientopuedenescribirsecomounproblemadeestáticadondeexisteunafuerzaadicionalyunmomentoadicional:

Traslación, Rotación y movimiento plano Traslación, Rotación y movimiento plano cualquiera de un cuerpo rígidocualquiera de un cuerpo rígido

Losproblemasdemovimientoplanosepuedenclasificar,segúnsunaturaleza,en:1.-Traslación.2.-Rotaciónentornoaunejefijo.3.-Movimientoplanocualquiera.LosdosprimerossoncasosparticularesdelMovimientoplanocualquiera.Parauncuerpodeformaarbitraria,lasecuacionesdeMovimientoplanocualquieradesarrolladasanteriormentevienendadasporlasecuacionesenlaforma:

16.4.1 TraslaciónUncuerporígidollevamovimientodeTraslacióncuandotodosegmentorectilíneodelcuerposemantengaparaleloasuposicióninicialalolargodelmovimiento.DurantelaTraslación,nohaymovimientoangular(ω=α=0);portanto,todaslaspartesdelcuerpotienenlamismaaceleraciónlineala.LaTraslaciónsólopuedetenerlugarcuandolarectasoportedelaresultantedelasfuerzasexterioresqueseejercensobreelcuerpopaseporsucdmG.EnelcasodeTraslación,conelorigendelsistemadecoordenadasxyzenelcdmGdelcuerpo,lasecuacionesparaunmovimientoplanocualquierasereducena:

Cuandouncuerpoestáanimadodeunatraslacióncomolailustradaenla1ªfigura,podemostomarelejexparaleloalaaceleraciónaG,encuyocasolacomponenteaGydelaaceleraciónseránula.

Cuandoelcdmdeuncuerposigaunacurvaplana,comoseobservaenla2ªfigura,sueleserconvenientetomarlosejesxeyenlasdireccionesdelascomponentesinstantáneasnormalytangencialdelaaceleración

.SisesumanlosmomentosdelasfuerzasexterioresrespectoaunpuntoquenoseaelcdmdeberámodificarselaecuacióndemomentosafindetenerencuentalosefectosdeaGxydeaGy.Así,

16.4.2 Rotación en torno a un eje fijoEstetipodemovimientoplanoseproducecuandotodosloselementosdeuncuerpodescribentrayectoriascircularesalrededordeunejefijo.

LafigurarepresentauncuerporígidosimétricorespectoalplanodemovimientoyquegiraentornoaunejefijoquepasaporelcdmGdelcuerpoEnestecasoaG=0;portanto,lasecuacionesparaunmovimientoplanocualquierasereducena

Amenudoaparecenrotacionesentornoaejesfijosquenopasanporelcdmdelcuerpo.LafigurarepresentauncuerporígidosimétricorespectoalplanodemovimientoyquegiraentornoaunejefijoqueNOpasaporelcdmGdelcuerpoEnestecasoaA=0;portanto,lasecuacionesparaunmovimientoplanocualquierasereducena

16.4.3 Movimiento plano cualquiera

Enlafigura,dondeunémboloestáconectadoaunvolantemedianteunabielaAB,seilustrantresformasdemovimientoplano:1.-Rotacióndelvolanteentornoaunejefijo.2.-Traslaciónrectilíneadelémbolo3.-MovimientoplanocualquieradelabielaABCuandoelvolantegiraunángul

oθ,elpasadorArecorreunadistanciasA=Rθalolargodeuncaminocircular.ElmovimientodelpasadorBsepuedeconsiderarqueesunasuperposicióndelosdesplazamientosresultantesdeunatraslacióncurvilíneadelabielaydeunarotacióndelabielaentornoalpasadorA.Comoresultadodeestosdosdesplazamientos,elpasadorBrecorreunadistanciasBalolargodeuncaminohorizontal.Asípues,elmovimientoplanodelabielaABeslasuperposicióndeunatraslaciónyunarotaciónentornoaunejefijo.

A.-

SisetomaelorigendecoordenadasenelpasadorAylosejesxeyestánorientadossegúnelejedelabielayperpendicularmenteaella,respectivamente,lasecuacionesgeneralesdemovimientoplanoquedanasí:

B.-SisesitúaelorigendelsistemadecoordenadasenelcdmGdelabiela,lasecuacionessereducena:

Análisis Cinético de la Biela:Tenemos dos posibilidades:

Cuandoelcuerponoseasimétricorespectoalplanodelmovimiento,habráqueirconcuidadoalaplicarlasecuacionesyreducirlasadecuadamentemediantelaseleccióndelsistemadecoordenadasxyzsolidarioalcuerpo.Ejemplo1:Discomacizomontadosobreunárbolqueformaconelejedeldiscounánguloθ.EnunsistemadecoordenadasxyzdeorigencoincidenteconelcdmGdeldisco.comotenemos:

El plano xz es plano de simetría

Ejemplo2:Placatriangulardegrosoruniformesolidariaaunárbolcircularquegira.ParaunsistemadecoordenadasxyzconorigenAenelejedelárbol.comotenemos:

Siguiendoconelanálisisdecuerposnosimétricosrespectoalplanodelmovimientotenemosotroejemplo:El plano xzes plano de simetría

Trabajoyenergía

¿ ¿ Físicamente en qué se Físicamente en qué se diferencian o asemejan diferencian o asemejan ambas

realizacionesambas realizaciones??VV00= 0= 0

V = 0V = 0

VV00= 0= 0V = 0V = 0

t = h / Vt = h / Vt = s / Vt = s / V

EnergíaEnergíaMedida cuantitativa del Medida cuantitativa del movimiento en todas sus movimiento en todas sus formas.formas.

TrabajoTrabajoMedida cuantitativa de la Medida cuantitativa de la transferencia de movimiento transferencia de movimiento ordenado de un cuerpo a ordenado de un cuerpo a otro mediante la acción de otro mediante la acción de una fuerzauna fuerza

Escalar [J]Escalar [J]En los tramos donde cita En los tramos donde cita < 9< 900ooel trabajo es motorel trabajo es motorEn los tramos donde cita En los tramos donde cita >>9900ooel

trabajo es resistivoel trabajo es resistivoEn los tramos en que cita = 90 el trabajo es nuloEn los tramos

en que cita = 90 el trabajo es nuloEl trabajo es un escalarEl trabajo es un escalar

Trabajo realizadopor unafuerza constante

F

X1X2XX = X2-X1

¿CUÁL SERA EL TRABAJO EFECTUADO POR LA FUERZA F?

movmovxxFFFuerza constante y desplazamiento

rectilíneoFuerza

constante y desplazamiento rectilíneo

F es una fuerza constanteW = F X COS

F esunaFUERZA CONSTANTETrayectoriaRECTILÍNEAy

El trabajo realizado por unaFuerza constanteEs igual al producto de la componente de la fuerza a lo largo de la direcciondel desplazamiento por el desplazamientoEl trabajo realizado por unaFuerza constanteEs igual al producto escalar del vector fuerza por el desplazamiento

X(m)X1

X2

W

En toda graficaFuerzaVsDesplazamientoEl área bajo la curva nos da el trabajo realizado por la fuerza paralela al desplazamiento

0 <</2ComoEntonces el trabajo es positivocos> 0FX

= /2ComoEntonces las fuerzas

perpendiculares al desplazamiento no realizan trabajocos = 0F

X

/2 <<ComoEntonces el trabajo es negativocos <0FX

TTdsdsmovmovxxNN

WWTT= 0= 0WWNN= 0= 0FgFg

WWFgFg= 0= 0

WWFr <Fr <00FrFrmovmovxxFgFg

WWFg Fg > 0> 0NN

WWNN=

0= 0

Fuerza variable,Desplazamiento rectilíneo

FFx

W = Fx Xi

ii

Expresión general para el trabajoF

rC

F : FuerzaC : trayectoria

El trabajo efectuado por Fcuando el cuerpo se mueve a través de la curva Cesta dada por la expresión :W =F.dr= (Fxdx+Fydy+ Fzdz)donde:Fx, Fy, Fz: componentes de Fy además la curva C está definida a través de: y =f(x), z =f(x)Esta es la llamada integral de línea

El trabajo es una magnitud aditivaEl trabajo es una magnitud aditiva

12

C©©©FiFR

Potencia: Potencia: trabajo realizado por una trabajo realizado por una fuerza, por unidad de tiempofuerza, por unidad de tiempo[W][W]

Se define como el trabajo efectuadopor unidad de tiempoP = W/t : PotenciaP = limW/t = dW/dtt 0

Teorema del W y la Energía cinéticaTeorema del W y la Energía cinética

©©©

©

v1v2

v1v2

Se define la energía cinética como :K= mV2/2Como la energía asociada al Movimiento mecánico de un cuerpo, luego:El trabajo efectuado por la fuerza resultanteo el trabajo totales igual al cambio en la energía cinética de la particula

Ejemplo 1:Un automóvil que viaja a 48Km/h , se puede detener en una distancia mínima de 40 m al aplicar los frenos . Si el mismo auto se encuentra viajando a 96Km/h, Cual es la distancia mínima para detenerse?

Vid

Vf=0

5.5.3 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN

DE LA 5.5.3

PRINCIPIO DE

LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍAENERGÍA

La ley de la conservación de la energía afirma que la energía no

puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en uncalefactor.

5.5.4 POTENCIA5.5.4 POTENCIAEnfísica,potencia(símboloP)1es la cantidad detrabajoefectuado por unidad detiempo.

POTENCIA MEDIASi ΔWes la cantidaddetrabajorealizado durante un intervalo detiempode duración Δt, lapotencia mediadurante ese intervalo está dada por la relación:

POTENCIA INSTANTÁNEALapotencia instantáneaes el valor límite de la potencia media cuando el intervalo de tiempo Δtse aproxima a cero.DondePes la potencia,Wes eltrabajo,tes eltiempo.

5.6 5.6 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTOCANTIDAD DE MOVIMIENTO•Es unamagnitud vectorial, que enmecánica clásicase define como el producto de lamasadel cuerpo y su velocidaden un instante determinado.

•La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todosistema cerradono puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

Mecánica newtonianaHistóricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de lamecánica newtoniana

Cantidad de movimiento de un medio continuoSi estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según uncampo de velocidadeses necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cadadiferencial de masao elemento infinitesimal:

ConservaciónMecánica newtonianaEn un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual lasfuerzasexternas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de ladinámica newtonianadelsistema de partículaspuede probarse que existe unaintegral del movimientodada por: