Del cuerpo rgido

Del cuerpo rgido

IntroduccinHasta ahora hemos estudiado el movimiento de traslacin de partculas, sistemas de partculas o de slidos considerados como un nico punto representado por su centro de masa o de rotacin de una partcula respecto a un punto.Justamente a travs de la dinmica rotacional estudiaremos el movimiento de rotacin de un cuerpo rgido.Cuerpo rgidoConsideraremos a un cuerpo como rgido, cuando su forma no vara an cuando se mueve sometido a la accin de fuerzas. En consecuencia, la distancia entre las diferentes partculas que lo forman, permanece incambiada a lo largo del tiempo.

Si bien el cuerpo rgido ideal no existe, es una muy buena aproximacin para encarar el estudio de muchos cuerpos.

Modos de movimiento de un cuerpo rgido

TraslacinEn este caso el cuerpo rgido se traslada, de modo que en cada instante las partculas que lo forman, tienen la misma velocidad y aceleracin.

RotacinEl cuerpo rgido est en rotacin, cuando cada partcula que lo integra, se mueve respecto a un eje con la misma velocidad angular y aceleracin angular en cada instante.

GeneralEn este caso tendremos una combinacin de los dos anteriores, es decir una rotacin y traslacin que puede ser estudiado como una traslacin y rotacin del centro de masa que lo representa ms una rotacin respecto al centro de masa.

Momento angular o cintico de un cuerpo rgido

Hemos visto como se calcula el momento cintico o angular de una partcula, luego de un sistema de partculas y cmo se poda considerar el momento cintico de un sistema de partculas respecto a un punto considerando el momento cintico respecto al centro de masa.

Ahora vamos a establecer cual es la forma de calcular el momento angular o cintico de un cuerpo rgido y por lo tanto indeformable.

Supongamos por simplicidad un cuerpo rgido en forma de cubo girando alrededor de un eje horizontal, como se ve en la figura. Todas las partculas que lo forman girarn con una misma velocidad angular en cierto instante y por lo tanto el mdulo de su velocidad lineal ser

Y el momento angular o cintico respecto al punto "A" ser

El vector correspondiente al momento cintico as calculado resulta ser de acuerdo a la regla de la mano derecha y a su definicin, perpendicular al plano definido por los vectores y y en consecuencia es perpendicular al vector y como forma un ngulo con el eje de giro. Para hallar la proyeccin del vector respecto al eje () debemos multiplicar el valor de por el coseno de .

Observando que los vectores , y el EJE de rotacin estn en el mismo plano y que el vector es perpendicular al vector tendremos que:

por lo que

Por lo tanto el valor de la proyeccin del momento cintico sobre el eje ser:

como

INCLUDEPICTURE "http://www.fisica-facil.com/Temario/Dinamicarotacional/Teorico/Inercia/moment11.gif" \* MERGEFORMATINET

y observamos que en la figura que se cumple:

los queda que el mdulo del vector sustituyendo valores nos queda:

En esta expresin, no aparece el seno del ngulo comprendido entre los vectores y , dado que es perpendicular al plano determinado por y y pertenece a dicho plano. Por lo que desarrollando esta expresin y sustituyendo el valor del seno de beta obtenemos:

como sabemos que

y realizando las operaciones de potenciacin y simplificacinobtenemos:

Para obtener la expresin de el momento cintico total del cuerpo rgido, deberemos hacer la sumatoria de los momentos cinticos de los diferentes puntos que lo integran en dicho instante.

.Debido a que la velocidad angular es constante, la sacamos como factor comn, obteniendo:

A la expresin que se encuentra entre parntesis, se le llama momento de inercia del slido respecto al eje considerado, que representamos por el literal I.

donde

Es interesante observar que de acuerdo al principio de conservacin del momento cintico si no existe momento externo actuando sobre el cuerpo rgido el momento cintico se conserva, con lo cual el producto debe permanecer constante, por lo que si disminuye el momento de inercia, deber aumentar la velocidad angular y viceversa.

Esto explica claramente porqu un nadador al saltar del trampoln de una piscina, aumenta su velocidad de rotacin sobre s mismo cuando encoge todo su cuerpo de modo de acercar lo ms posible las manos y las piernas a su estmago y cuando se encuentra por penetrar en el agua se estira completamente y su velocidad de rotacin disminuye notoriamente.

Lo que sucede

es que el momento de inercia respecto al eje de giro del nadador diminuye cuando todo su cuerpo se encuentra formando un ovillo y aumenta cuando se estira, esto se explica porque el momento de inercia depende de masa de cada una de las partculas que forma la persona por la distancia al cuadrado del eje de rotacin.

Momento de Inercia de algunos cuerpos sencillos

CILINDRO MACIZORespecto a su ejeRespecto a eje por su centro

(deduccin)

(deduccin)

CAPA CILNDRICARespecto a su ejeRespecto a eje por su centro

(deduccin)

(deduccin)

CILINDRO HUECO RESPECTO A SU EJE

(deduccin)

VARILLA DELGADARespecto a eje perpendicular por centroRespecto a eje perpendicular por extremo

(deduccin)

(deduccin)

ESFERAMaciza respecto a un dimetroCorteza respecto a dimetro

(deduccin)

(deduccin)

DISCORespecto a un dimetroRespecto a eje perpendicular en su centro

(deduccin)

(deduccin)

PARALELEPPEDO RECTANGULAR MACIZOEje por su centro y perpendicular a una cara

(deduccin)

PLACA PLANA RECTANGULAREje por centro de masa paralelo a un ladoEje por un lado

(deduccin) (deduccin)

Radio de giro ()

Aplicando un criterio similar al aplicado para el centro de masa, pero para un cuerpo rgido, se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podramos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.

y en el sistema internacional (SI) de unidades el radio de giro por ser una longitud se mide en m, esto resulta de la expresin de radio de giro

Aditividad del Momento de Inercia

Si observamos que llamamos momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje a la expresin resulta claro que si un slido est formado por un conjunto de partculas podemos expresar el momento de inercia de un slido como:

por lo que la inercia de un cuerpo respecto a un eje, es igual a la suma de los momentos de inercia de las distintas partes en que se puede dividir el mismo respecto al eje considerado.

Del cuerpo rgido (Continuacin)

Teorema de las figuras planas

Este teorema busca relacionar los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre s colocados en una figura plana respecto a un tercer eje perpendicular a la misma.

Supongamos una placa en la cual hemos ubicado los eje X,Y y en su origen el eje perpendicular Z.

Ubiquemos un elemento de masa mi cuyas coordenadas respecto a los ejes X,Y son respectivamente xi y yi. El momento de inercia respecto a cada eje de la figura plana ser

y pero vemos adems que la masa mi dista del eje Z una distancia di que de acuerdo con Pitgoras tenemos que

y si lo multiplicamos por el elemento de masa mi

y si hacemos lo mismo para cada uno de los elementos mi y los sumamos resulta

como es la distancia al eje Z el sumando es y los otros trminos corresponden a lo expresado en

por lo que resulta

El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la misma, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares ubicados en dicha figura, en el pie del eje considerado.

Ejemplo

Supongamos que tenemos una placa circular y tenemos el momento de inercia respecto al dimetro y queremos calcularlo respecto a un eje Z que pasa por el centro de la misma.

Sabemos que el momento de inercia respecto un dimetro es

por lo que para el otro dimetro correspondiente a un eje perpendicular ser

el valor del momento de inercia del eje Z se obtiene como

expresin que verifica el valor expresado en la tabla correspondiente al momento de inercia respecto a un eje perpendicular en su centro.

Teorema de Steiner

Este teorema permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el Centro de Masa de un cuerpo con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior.

Ubiquemos un elemento de masa mi cuyas coordenadas respecto a los ejes X,Y son respectivamente xi y yi y las distancias el eje Z son di y d'i respectivamente.

Adems tenemos que la relacin entre esta magnitudes es

y desarrollando esta ltima expresin

por lo cual la inercia respecto a los ejes ser

realizando operaciones y sustituciones adecuadas tendremos

el ltimo trmino es el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa

sacando fuera de las sumatorias los valores constantes como factor comn

pero la es la masa total M por lo que

pero resulta adems que el eje Z se encuentra ubicado en el centro de masa cuya coordenada X se calcula por la expresin siguiente y debe ser 0 pues los ejes pasan por el centro de masa por lo que y entonces el trmino correspondiente en la expresin de se anular por lo que queda

y queda establecido el teorema de la siguiente manera

El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje paralelo a otro que pasa por su centro de masa es igual a ste ms un trmino que corresponde a producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes considerados.Ejemplo

Supongamos el caso de una placa plana y queremos conocido el momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro de masa y paralelo a uno de los lados, conocer el momento de inercia respecto a un eje que pasa por uno de los lados.

El momento de inercia respecto al eje que pasa por el CM es

y aplicando el teorema de Steiner sabiendo que la masa es M

siendo d la distancia entre ambos ejes

valor que puede verificar en la tabla de momentos de inercia

Del cuerpo rgido

Momento de una fuerza

Cmo hacemos para hacer girar un objeto?

Observamos que al aplicar una fuerza sobre un cuerpo inicialmente en reposo, este se traslada sin girar sobre si mismo, si la direccin de la fuerza que aplicamos pasa por el centro de masa del mismo. Este experimento, puede realizarse apoyando diversos cuerpos sobre una mesa de aire (para minimizar la fuerza de rozamiento) y aplicando fuerzas en diferentes lugares y analizando la direccin que debe tener la fuerza, para que el objeto no gire.

Si aplicamos a diferentes cuerpos que estn apoyados sobre una superficie horizontal sin rozamiento, e inicialmente en reposo respecto a un sistema referencial inercial, una fuerza horizontal cuya direccin pase por el centro de masa, como se muestra en la figura, los cuerpos se trasladarn sin girar de manera que cada punto del mismo describir un movimiento rectilneo acelerado.

En cambio, si la fuerza que aplicamos, su direccin no pasa por el centro de masas, y sta es la fuerza neta (nica fuerza que acta), el cuerpo rotar y se trasladar, efectuando lo que llamamos una rototraslacin, hasta que la direccin de la fuerza neta pase por el centro de masa del sistema

En la figura hemos representado diferentes cuerpos, sobre los que acta una fuerza constante cuya direccin inicialmente no pasa por el centro de masa, por lo que los cuerpos rotan en el sentido de las flechas curvas mientras el centro de masa se traslada en lnea recta. Recordando que el centro de masa, es un punto del espacio en el que se puede considerar concentrada toda la masa del sistema, este punto se mover, de acuerdo a la definicin de fuerza neta, con un movimiento acelerado donde la aceleracin es:

La aceleracin del centro de masa tiene igual direccin y sentido que la fuerza neta aplicada.

Si deseamos que el cuerpo, que inicialmente consideramos en reposo, rote sin que su centro de masa se acelere, la fuerza neta debe ser nula. Esto lo logramos aadiendo una segunda fuerza que por ejemplo acte directamente sobre el centro de masa y sea opuesta a la fuerza F previamente aplicada como mostramos en la siguiente figura.

El cuerpo rotar cambiando su velocidad angular sin cambiar su velocidad del centro de masa debido a que la fuerza neta es cero.

Veamos con ms detalles sobre cada situacin:

A) Una sola fuerza sobre un objeto dinmicamente aislado.

Si el objeto se encuentra dinmicamente aislado, de acuerdo con la definicin de fuerza neta, obtendremos una aceleracin del centro de masa del sistema, con el mismo sentido y direccin que la fuerza neta, cuyo mdulo vale

El movimiento mientras se mantenga constante la fuerza, ser de traslacin o rototraslacin (dependiendo si la direccin de la fuerza pasa o no por el centro de masa), y el centro de masa se mover en la direccin de la fuerza con una aceleracin constante a.

B) Dos fuerzas paralelas separadas una cierta distancia

Si sobre el objeto se encuentra dinmicamente aislado y se le aplican dos fuerzas paralelas opuestas separadas una cierta distancia, de acuerdo con la definicin de fuerza neta, como la fuerza neta es cero, tambin ser nula la aceleracin de su centro de masa y por lo tanto no variar su movimiento de traslacin.

Sin embargo podemos observar que el cuerpo gira cambiando su velocidad angular. Precisamente, ambas fuerzas constituyen lo que se llama un par de fuerzas.

En la vida real este par de fuerzas no es siempre fcil de visualizar pues en general una de las fuerzas que forman el par la constituye la reaccin de algn vnculo o apoyo del objeto en otro.

Por qu una puerta gira?

Cuando tratamos de cerrar unapuerta ver figura 3, lo que hacemos es aplicar una fuerzaFsobre la misma empujndola en la direccin ysentido necesario para cerrarla.

La puerta se encuentra sujetapor medio de bisagras al marco, y precisamente en el eje determinado por lasbisagras es que se produceF'que conforma conFel par que provoca la rotacin. La fuerzaF'es la suma de las fuerzas que actan en cada unade las bisagras y que evitan que la puerta se traslade, dando lugar as a larotacin (F+F'=0).

Par defuerzas

El par de fuerzas en consecuencia tiene la particularidad de provocar la rotacin de los cuerpos sin que estos se trasladen y esta caracterstica es representada por medio de una magnitud vectorial llamada momento del par (o torque) que representamos con la letra, M cuyo valor depende exclusivamente del mdulo de la fuerza del par y la distancia de separacin entre las rectas de accin de dichas fuerzas

.

Se define el momento de una fuerza respecto a un punto, como el producto vectorial o externo de los vectores r (posicin del punto de aplicacin de la fuerza) y F (la fuerza aplicada).

El momento de un par, es la suma de los momentos que ejerce cada fuerza respecto a un punto elegido arbitrariamente. En la figura 4, hemos representado a un par de fuerzas aplicadas sobre un rgido. Calcularemos el momento del par respecto al punto A. Observamos que el vector posicin del punto de aplicacin de la fuerza F es r, mientras el vector posicin de la fuerza F' es un vector nulo.

Por lo tanto aplicando la operacin correspondiente al producto vectorial o externo de vectores tendremos que el mdulo de M respecto al punto A se calcula como:

siendo la expresin:

por lo que escribimos:

siendo d, la distancia (medida en forma perpendicular) entre las fuerzas que no depende del punto elegido para el clculo de los momentos.

Observando el plano definido por los vectores fuerza, y aplicando la regla de la mano derecha o del tornillo, podremos definir el vector correspondiente al producto vectorial M en la figura 5.

El vector momento del par, se ubicar en un eje perpendicular al plano definido por los vectores F y r.

Cuanto mayor es el momento del par de fuerza, mayor es la aceleracin angular.

En el sistema S.I. el momento se mide en N.m.

En el ejemplo de la figura 3, se observa como se ejerce una nica fuerza de nuestra parte, para provocar el movimiento de la puerta, dado que la otra es la reaccin del apoyo, de all que se hable muchas veces del momento de la fuerza realizado respecto al punto de rotacin o eje de rotacin segn sea el caso..

Es decir que el momento de un par de fuerzas se calcula como el producto vectorial del vector distancia del punto o eje de giro al origen del vector fuerza y el vector fuerza aplicado.

La fuerza F'se encuentra aplicada sobre el eje de rotacin por lo que no produce momento por ser para ese vector el valor de r=0 pues pasa por el punto o eje de giro.

Momento nulo

Existen algunas direcciones especiales de la fuerza respecto al punto de rotacin que no provocan momento, tal el caso de las fuerzas cuya direccin coincide con la direccin de r o cuando las direcciones de la fuerza y del eje de giro coinciden.

Clculo del momento de fuerza respecto a un eje de giro

En general los cuerpos rgidos giran respecto a un eje y debemos entonces determinar sobre cual punto de dicho eje calculamos el momento de la fuerza que provoca dicha rotacin, dado que para cada punto tendremos un momento de fuerza diferente. Sin embargo demostraremos que cualquiera sea el punto del eje elegido para realizar el clculo, la componente del momento de fuerza en la direccin del eje, el mismo. (Ver detalle).

Por comodidad conviene entonces elegir un punto que est ubicado de tal manera que el vector posicin sea perpendicular al eje y pase por el punto de aplicacin de la fuerza sobre el rgido, este punto es el ms prximo a la fuerza desde el eje.

Por lo tanto en la figura de la izquierda observamos el diagrama donde se muestra la fuerza aplicada sobre el rgido, el vector posicin formando un ngulo de 90 con el eje de rotacin, y el momento de rotacin.

el ngulo formado entre el vector posicin y el vector fuerza