UNIDAD 3 ESTÁTICA DE CUERPOS...

Unidad III.- ESTÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS (Condiciones de Equilibrio) Mecánica Racional

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 37

UNIDAD 3

ESTÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS.

CONDICIONES DE EQUILIBRIO

GENERALIDADES.-

Se dice que una fuerza es el efecto que puede ocasionar un cuerpo físico sobre otro,

el cual este está compuesto de materia y que posee además un volumen. Estas fuerzas

pueden ser tanto rígidas como deformables elásticamente.

Fuerzas Externas e Internas

Siempre que se evidencie la palabra “fuerza” debe constituirse en los términos de

desarrollo de hábitos comunes: “empuje, halar, elevar”, entre otros más, el cual pueden

identificarse también en la ingeniería con intervalos de magnitudes.

De manera tal que, cuando se dice que un cuerpo está sometido a la acción de una

“fuerzas externa”, cuando esta está siendo aplicada por otro cuerpo. Entonces cuando una

parte cualquiera de un cuerpo está sometida por una fuerza por otra parte del mismo cuerpo,

se dice que está sometida a una “fuerza interna”.

Sistema de Unidades: 1𝑁 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 1 𝐾𝑔 .𝑚

𝑠2 , generalmente se manejan unidades

como el N (Newton), Kilo (Kg), Toneladas fuerza (Tn).



Resultante de una Fuerza.-

La fuerza resultante en un cuerpo rígido es aquella fuerza unitaria única que

reemplaza a todo un sistema en una componente coplanar/no coplanar.

F1 F3

R = F1+ F2+ F3+ F4

F2 R F4

Equilibrante de un Sistema de Fuerzas.-

Es otra fuerza E con sentido diferente a la resultante y de igual magnitud, actúa

sobre la misma recta de acción de la resultante (Reacción).

E

F1 F3

R = F1+ F2+ F3+ F4

F2 F4

Métodos de Resolución:

Método Geométrico:

Método Analítico:

- Ley del Paralelogramo (principio de transmisibilidad)

- Ley de Triángulos (Sistemas equivalentes.

Ley de Seno y Coseno)

- Ecuaciones de Equilibrio

(Descomposición de fuerzas)



Descomposición de Fuerzas.-

Como en una estructura plana la línea de acción de una fuerza se encuentra en un

plano, cada una de estas fuerzas se puede descomponer en dos direcciones rectangulares Fx

y Fy correspondientemente en su eje cartesiano, e incluso pueden tomar cualquier dirección.

y y Fy

Fy F F

Fx Fx x

θ

(a) x (b)

Donde Fx y Fy se denominan como componentes rectangulares o cartesianas,

horizontal y vertical de forma tal que forme un ángulo recto con respecto al origen.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Un cuerpo que inicialmente está en reposo, y permanece en reposo, aun cuando

actúan sobre él un sistema de fuerzas; entonces, se dice que el sistema se encuentra en

Equilibrio Estático.

Sin embargo para que exista la condición de equilibrio, el efecto resultante

combinado de fuerzas, no sea una fuerza ni un par, sino igual a cero. por lo que se debe

cumplir que:

𝑭𝒙 = 𝟎 ; 𝑭𝒚 = 𝟎 ; 𝑴𝒛 = 𝟎

Es decir, las condiciones de equilibrio aplican para aquellos cuerpos cuyas fuerzas

resultantes, producto de la acción de las mismas sumadas algebraicamente con el número

de reacciones emitidas por el sistema permanezca en reposo, o en todo caso, en velocidad

constante.

En ocasiones los elementos de un cuerpo están conectados entre sí, de manera tal

que los nodos pueden suponerse articulados. En el caso de los marcos y las armaduras son

ejemplos típicos que se construyen de esta manera. Siempre que una estructura coplanar

conectada por pasadores esté apropiadamente restringida, y no contenga más soportes o

elementos, las fuerzas que actúen en sus nodos pueden determinarse con las condiciones de

equilibrio.



DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Se define diagrama de cuerpo libre a la representación vectorial de la acción y

reacción de fuerzas que se encuentran aplicadas sobre un cuerpo, de forma que represente

el desarme de la estructura para cada elemento según las condiciones de indeterminación de

fuerzas.

Las fuerzas de las reacciones actúan con iguales magnitudes, proporcionales a la

magnitud de la acción de cargas, pero con sentidos diferentes opuestas sobre los diagramas

respectivos del cuerpo libre de los elementos. Aquellas reacciones desconocidas que actúan

sobre nodos deben representarse por componentes rectangulares Fx y Fy respectivamente.

W (Kg/m) P (Kg)

Rx

Estructura Real Ry Diagrama de Cuerpo Libre Ry

TIPOS DE APOYOS

Los apoyos son sustentaciones o vínculos de vital importancia, ya que ellos son los

que contrarrestan el efecto de la acción de las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, por

consiguiente si un apoyo evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces se

desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección. De la misma forma si evita la

rotación en una dirección, entonces se produce un momento sobre el cuerpo en esa

dirección.

Los vínculos se clasifican según el número de traslaciones o rotaciones restrinjan o

permitan en el plano. Estos pueden ser de primera generación (especie), segunda y tercera:



Ry Ry Ry R

Rx

Ry Ry

Articulación Simple Empotramiento Móvil (Patín)

Rx

Ry Rx M

Empotramiento

Vínculo de 1era

Especie

Rodillo Mecedora Cable o Biela

Vínculo de 2da

Especie

M Ry

Rx

Nodo o Articulación interna

Vínculo de 3ra

Especie

M Ry

Junta Interna

Restringe una reacción (fuerza) de traslación. Permite un desplazamiento traslación y

una rotación.

Son aquellos que restringen dos desplazamientos y tiene un grado de libertad

Son aquellos que no permiten desplazamientos en ninguna dirección del plano.

Restringen cualquier fuerza.



ARMADURAS O CERCHAS

La cercha es una composición de barras rectas unidas entre sí en sus extremos para

constituir una armazón rígida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano,

particularmente aplicadas sobre las uniones denominadas nodos, en consecuencia, todos los

elementos se encuentran trabajando a tracción o compresión sin la presencia de flexión y

corte.

MÉTODO DE LOS NODOS

El método de los nodos considera el equilibrio para determinar las fuerzas en los

elementos. Como toda la cercha está en equilibrio, cada nodo también lo está. En cada

nodo, las cargas y reacciones junto con las fuerzas de los elementos, forman un sistema de

fuerzas concurrentes que debido a las ecuaciones de equilibrio, permiten estableces las

fuerzas en los elementos. Debido a que la cercha se analiza en un plano, las ecuaciones de

equilibrio solo deben satisfacer los dos ejes por ser un sistema de fuerzas concurrentes.

∑ Fx = 0 ; ∑ FY = 0

MÉTODO DE LAS SECCIONES

La porción de la armadura que se escoge se obtiene trazando una sección a través de

tres barras de armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, trazando

una línea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no

intercepte más de tres barras.



FUERZAS (TENSIONES EN CABLE Y CUERDAS)

Ejemplo # 1.

Determinar la magnitud de la fuerza

resultante FR = F1 + F3 y su dirección.

Solución:

Diagrama de Cuerpo Libre



Ejemplo # 2.

Dos fuerzas se encuentran aplicadas en un

torniquete atada a una viga. determine

gráficamente la magnitud y sentido de su

resultante, usando:

a) El método del paralelogramo.

b) El método triangular

Solución:

Ley Triangular

Método del Paralelogramo



Ejemplo # 3.

Para colocar una caja que está siendo bajada, dos

cables son atados a la caja en A. Usando la

trigonometría y sabiendo que α = 25º, determine

a) La magnitud requerida de la fuerza P si la

resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es

vertical.

b) La magnitud correspondiente de R.

Solución:


Usando el teorema de los Senos, tenemos:

Luego:



Ejemplo # 4.

La fuerza de 500 lb actúa sobre un marco para ser resuelto en

dos componentes actuando sobre el eje del elemento A B y A

C. Si la componente de la fuerza AC se requiere que sea de

300 lb, dirigida desde A hasta C, determine la magnitud de la

fuerza actuante entre A B y el ángulo de la fuerza de 500 lb.

Solución:


Teorema del Seno



Ejemplo # 5.

Sabiendo que α = 35º, determine la resultante de

las tres fuerzas mostradas

Solución:



Ejemplo # 6.

Mientras es descargada una carretilla, un jardinero ejerce

una fuerza P en cada mango AB de la carretilla, dirigida a

lo largo de la línea CD. Sabiendo que P debe tener una

componente horizontal de 135 N, determine la magnitud

de la fuerza P, y la componente vertical. Considerando

además que el ángulo de inclinación del codo es 40º

A

Solución: Diagrama de Cuerpo Libre

+ 𝑭𝑯 = 𝟎

+ 𝑭𝑽 = 𝟎



Ejercicios Propuestos.-

1.- Determine el ángulo designado θ para la

barra AB para que la fuerza horizontal de 400 lb

tenga una componente de 500 lb en dirección de

A hacia C. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza

actuante en el miembro AB? Tome Ø = 40º

2.- Dos fuerzas están aplicadas en el extremo de una

hembrilla, con el fin de remover el poste. Determine

el ángulo θ y la magnitud de la fuerza F para que la

resultante actuante sobre el poste esté dirigida

verticalmente y tenga una magnitud de 750N

3.- Dos cables están atados junto a C y

sometidos a una carga de 300 Kg, tal como se

muestra en la figura. Sabiendo que α = 30º,

determine la tensión (a) en el cable AC, (b) en el

cable BC.

5.- Sabiendo que α = 25º, determine la tensión

(a) en el cable AC,

(b) en la cuerda BC.

6.- Determine (a) el valor requerido de α si la

resultante de las tres fuerzas mostradas son

verticales,

(b) la magnitud correspondiente de la resultante.

4.- Dos miembros estructurales A y B están pernados

a una brekera. Sabiendo que ambos miembros están

a compresión y que la fuerza es de 20KN en el

miembro A y 30KN en el miembro B, determine, la

magnitud y dirección de la resultante



ECUACIONES DE EQUILIBRIO (VIGAS Y PÓRTICOS)

Ejemplo # 7.

Un engranaje está rígidamente atado a un brazo AB.

Si las fuerzas mostradas pueden ser reducidas a una

fuerza resultante equivalente de A, determine la

magnitud de la misma y el momento M




Ejemplo # 7.

Si una carretilla y su contenido tiene una masa de

60Kg y el centro de masa está en G, determine la

magnitud de la fuerza resultante el cual el hombre

debe ejercer en cada uno de las dos manos para

mantener la carretilla en equilibrio.




Ejemplo # 8.

Determine las reacciones de la viga

mostrada que está sometida a la acción

de cargas puntuales.

Solución:


A

RAX B 1500 N.m

RAY

RBY

+ 𝑴𝑨 = 𝟎 -1500N.m – 700N.cos30º (9m) – 300 N (6m) – 450N.sen60º (2m) + 6 RB

Y = 0

RBY

= 1589.23 N

+ 𝑭𝑽 = 𝟎 -700N.cos30º– 300 N– 450N.sen60º + 1589.23 + RA

Y= 0

RAY

= -293.30 N

+ 𝑭𝑯 = 𝟎 -700N.sen30º + 450N.cos60º + RA

x = 0

RAx= 125 N



Ejemplo # 9.

Calcule el grado de indeterminación de

la viga mostrada y determine las

reacciones que ejercen los vínculos

aplicando las condiciones de equilibrio.

20K/m

40K 10K

30º 60º

B C D E F

A 80K.m

3m 4m 3m 4m 5m

Solución:


100K

20K/m

40K 10K

RAx 30º 60º

80K.m

RA

RAy

REy

+ 𝑴𝑨 = 𝟎 -20K/m (5m).(16.5m) – 10K.sen60º (10m) + 80K.m – 40K (3m) + 14 RE

Y = 0

RBY

= 126.90 K +

+ 𝑭𝑽 = 𝟎 -100K + 126.90 K – 10 K.sen60º - 40 K + RA

Y= 0

RAY

= 21.76 K +

+ 𝑭𝑯 = 𝟎 -10 K.cos60º + RA

x = 0

RAx= 5 K +

𝑅𝐴 = (5)2 + (21.76)2 𝑹𝑨 = 22.33 K +



Ejemplo # 10.

Determine las reacciones del Pórtico

mostrado en la figura sometido a un sistema

de cargas variables.

4 T

C D

6T/m

3T/m 5m

5T.m

A B

5m 5m

Solución:


4T

2

3𝑏 MD

C D RDx

1

3𝑏 7.5T RD

y

6T/m 15T

3T/m

5T.m

A B

RAy

+ 𝑴𝑨 = 𝟎 TRAMO ABC

15T (2.5m) + 7.5 T.( 2/3 (5m) ) – 5 T.m - 5 RA

Y = 0 RA

Y = 11.50 T +

+ 𝑭𝑽 = 𝟎

-15T - 7.5 T – 4 T + 11.5 + RD

Y = 0 RD

Y = 15 T +

+ 𝑭𝑯 = 𝟎 RDx = 0

+ 𝑴𝑨 = 𝟎 TRAMO CD

15T (5m) - 4 T.(2.5m) + MD = 0 MD

= 65 T.m -



Ejemplo # 11.

Determine las reacciones del Pórtico



3m 4T/m

7T

B 2T/m 2m

4m

C 3T/m

6m

A 4m

5T/m D

5m 4m 4m

Solución: D.C.L

θ

20T

25.61T θ=36.87º

α 8T 4T

B

C 3T

α=38.66º

A

RAy

10T MD

RDx

RDy D

+ 𝑴𝑩 = 𝟎 TRAMO AB

25.61T (3.2m) - 5 RA

Y = 0 RA

Y = 16.40 T +

+ 𝑭𝑽 = 𝟎

16.40 T -25.61T .cos α - 20 T. cos θ – 8T - 4T + RD

Y = 0

RDY

= 31.60 T +

+ 𝑭𝑯 = 𝟎 25.61T .sen α +20 T. sen θ – 3T + 10T + RD

x = 0

RDx = 35 T-

+ 𝑴𝑩 = 𝟎 TRAMO BCD

-8T (2m) - 4 T.(8m) - 3 T.(2.67m) + 10 T.(6.67m) - 35 T.(8m) +…

+ 31.6 T.(4m) + MD = 0 MD

= 142.90 T.m +



Ejemplo # 12.

Determine las reacciones de la Estructura



4T/m 4T/m

B C

3T/m 2m

4m

D E

3T/m

A 4m 6m 1m 6m

Solución:

D.C.L 44T

12T

16.98T Ø B C

REx

Ø = 45º D E

A RAx

1.5T REy

RAy

APLICANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA RESOLVER SISTEMA DE 02 VARIABLES

+ 𝑴𝑨 = 𝟎 TODA LA ESTRUCTURA

-16.98T (2.83m) – 44T (5.5m) + 1.5T (10.33m) - 12T (15m) + 2 RE

X + 17

RE

X = 0

2 RE

X + 17

RE

X = 454.56 T I ECUACIÓN

+ 𝑴𝑪 = 𝟎 TRAMO CDE

1.5T (0.33m) - 12 T.(5m) - 2 RE

X + 7

RE

X = 0

- 2 RE

X + 7

RE

X = 59.51 T. II ECUACIÓN



2 RE

X + 17

RE

X = 454.56 T

- 2 RE

X + 7

RE

X = 59.51 T

24 RE

X = 514.07 T

REX

= 21.42 T + RE

Y = 45.21 T +

+ 𝑭𝑽 = 𝟎

45.21 T -12T + 1.5T - 44T - 16.98 T. cos 45º + RA

Y = 0

RAY

= 21.30 T +

+ 𝑭𝑯 = 𝟎

21.42T + 16.98 T. sen 45º + RA

x = 0

RAx = 33.43 T-




4T 3T/m 10T

B C 2T/m

55º

A

2m

5m

B 5T/m

2m

C D

2T/m 8T.m B

A D

2m 6m 3m 2m 5m

300N 250N 20K/m 3m

C B D 68º

400N.m 1.5m B C

80N/m 3m A 18K/m

22º 150N/m 60K

500N 2.5m 1.5m D

3m

A

2m 2m 5m

35K/m

3m E

6m

1.- Determinar los grados de libertad de la

estructura mostrada y hallar las reacciones

indeterminadas de los vínculos sometidos a un

sistema de cargas.

2.- Hallar el grado de indeterminación de la

Viga compuesta y calcular las reacciones que

ejercen los apoyos del sistema.

3.- Determinar los grados de libertad de la

estructura mostrada y hallar las reacciones

indeterminadas de los vínculos sometidos a un

sistema de cargas.

4.- Calcular las reacciones de la estructura

isostática mostrada, el cual está sometida a un

sistema de cargas variables.



ECUACIONES DE EQUILIBRIO (ARMADURAS O CERCHAS)

Ejemplo # 12.

Determine la fuerza de cada miembro de la

cercha y el estado si el miembro esta a tensión

o compresión.

500lb 1500lb

Solución:

APLICANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA RESOLVER LAS VARIABLES EN LOS APOYOS

+ 𝑴𝑨 = 𝟎

-500lb (10ft) – 1500lb (20ft) + 30 RD

Y = 0

RDY

= 1166.67 lb

+ 𝑭𝑽 = 𝟎

-500 lb -1500lb + 1166.67lb + RA

Y = 0

RAY

= 833.33 lb +

+ 𝑭𝑯 = 𝟎

RAx = 0

RAx = 0



y

Nodo A.

y

FAG

A 45º x

FAB

833.33 lb

Nodo B.

FBG

B x

833.33 lb FBC

500 lb

Nodo D.

y

FDE

45º D

FDC x

1166.67 lb

833lb



y

Nodo E.

FEG E

45º

1649.96 lb

FEC

Nodo C.

FCG 1166.67 lb

45º

C

x

833.33 lb 1166.67 lb

1500 lb



Ejemplo # 13.


armadura y el estado si el miembro esta a

tensión o compresión.

Solución:

Nodo B.

8kN

3kN B

FBC

FBA

Nodo A.

8kN FAC

3kN A 36.87º

FAF

8.875kN



Nodo C.

4kN

3kN C FCD

1.458kN FCF

Nodo E.

FBA

FEF E

13.125kN

Nodo D.

10kN

4.167kN D

FDF 13.125kN



Ejemplo # 14.


armadura y el estado si el miembro esta a

tensión o compresión. Sabiendo que P = 8 kN.

Solución:

Nótese que en este caso las reacciones en los apoyos no son necesarias

determinarlas primero para el cálculo de las fuerzas en cada elemento.

Nodo D.

FDC

FDE 60º D

8kN

Nodo C.

FCB C

60º

60º

FCE 9.238kN

Nodo B.

B 9.238kN

60º 60º

FBA FBE



Nodo E.

9.238kN

9.238kN 60º

E 60º

FEA 4.619kN

REy

Fíjese que la reacción vertical del apoyo “E” puede determinarse por análisis de

fuerzas, aplicando las ecuaciones de equilibrio.

Ejemplo # 14.

Determine la fuerza de cada miembro de

la armadura y el estado si el miembro esta

a tensión o compresión.

Solución:

Nodo D.

FDC D RDx = 0

FDE RDy = 14kN



Nodo E.

FEC

FEA 16.33kN

E 0

REy = 23kN

Nodo C.

FCB

C 8 4kN

45º

FCF 6.2kN

Nodo B

4kN

B 2.2kN

45º

FBA

FBF

Nodo F

6.2kN

8.768kN

FFA F 45º



Ejemplo # 15.




Solucíón:

Por Simetría:

Nodo A

Nodo B

Resolviendo:

Por simetría



Nodo D

Por simetría

De arriba

tenemos:



Ejemplo # 16.




Solución:

Nodo FBD

Por resolución del Nodo B

Para determinar la deflexión de

CD: DE



ARMADURAS (MÉTODO DE SECCIONES)

Ejemplo # 17.

Una armadura en un puente como se

muestra. Determine la fuerza de los

miembros CE, DE, y DF.

Solución:

ARMADURA FBD

Sección ABCD:



Ejemplo # 18.

Una armadura en un puente como se

muestra. Determine la fuerza de los

miembros FI, HI, y HJ.

Solución:

Sección FBD:



Ejemplo # 19.

La armadura del techo de un Estadio está

sometida a cargas tal como se muestra.

Determine la fuerza de los miembros AB,

AG, y FG.

Solución:

Sección FBD:



Ejemplo # 20.

Una parte de la cercha mostrada representa la parte

superior de una torre de transmisión de energía. Para

las cargas dadas, determine la fuerza en cada

miembro localizado arriba de HJ. el estado sabiendo

si está a compresión o tensión

Solución:




5 2T B

3m 2m 2T 6

3 4

2m 5

3m 2T 3

2m 4

8T

1 2 2

3m 3m 6T

1

A B A 4T

3m 2m 3m 2m 2m 2m

6.- Determine las fuerzas para cada miembro de

la armadura mostrada y el estado si es a

compresión o tensión.

5.- Determine las fuerzas para los miembros

3-4, 1-4 y 1-B de la armadura mostrada y el

estado si es a compresión o tensión.







1.- Determine las fuerzas para los miembros de

la armadura mostrada en CE, DE y DF el



la armadura mostrada a la izquierda de GH y el


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