Unidad 6 Cinética Plana de Cuerpos Rígidos

Instituto Tecnolgico de Tlalnepantla Unidad 6 Cintica Plana de Cuerpos Rgidos

Unidad 6Cintica Plana de Cuerpos Rgidos.

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Diego Alberto Garca Eligio


ndice6.1. Tipos de desplazamientos.. 3 6.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido. 4 6.3. Movimiento angular de un cuerpo rgido en el plano.. 6 6.4. Movimiento Plano de un cuerpo rgido. 9 6.4.1. Principio de D Alembert.. 10 6.4.2. Traslacin, Rotacin, Centroidal y Movimiento en general.. 13 6.5. Sistemas de cuerpo rgido 16 6.6. Principio de trabajo y energa para un cuerpo rgido 17 6.7. Trabajo efectuado sobre un sistema mecnico 17

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6 . 1 .

T i pos

d e

d es p l az am i en t os

pl an os .

Para desplazamientos de un cuerpo rgido en un plano, las cuestiones son ms simples pues es bastante evidente que un cambio de posicin de un cuerpo rgido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslacin paralela seguida de una rotacin en torno a un eje jo, perpendicular al plano del movimiento, punto jo, o bien la rotacin primero seguida de la traslacin. Lo mismo es cierto en tres dimensiones, pero su demostracin es ms engorrosa. La gura siguiente muestra lo que acontece cuando en la traslacin paralela AA0 un punto, digamos A pasa a ocupar su posicin nal A0 mediante esa traslacin paralela. Los otros puntos no estn an en su posicin nal. Basta entonces rotar el cuerpo en un cierto ngulo en torno al punto A0 para que el cuerpo quede en su posicin nal. Es decir hay que girar A0 P 0 en un ngulo . Si el tiempo transcurrido es innitsimo dt entonces todos los desplazamientos sealados son innitsimos.

M ov im ien t o p l an o Fuerzas y aceleraciones

de

u n

C /R

Mientras mayor sea la fuerza neta que acta sobre un cuerpo de masaconstante, mayor ser la aceleracin que alcanzar el cuerpo. Dicho de otramanera, al duplicar la fuerza neta, se duplicar la aceleracin. El enunciado deeste comportamiento se expresa diciendo que la aceleracin de un objeto esdirectamente proporcional a la fuerza neta que acta sobre el mismo. R ot ac in n o c en t r o i da l El sistema equivalente para este caso se representa en la figura 2-2.Si se toma momentos con respecto a Ose tiene, ya que el momento de es cero. Pero y como entonces[2-1] donde I O es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento. A diferencia de la rotacin centroidal, la fuerza resultante en el caso de rotacin no centroidal es diferente de cero ya que el centro de masa posee aceleracin. El hecho de resaltar en la rotacin no centroidal es que la ecuacin 2-1. M ov im ien t o a c el er ad o c ir cu l ar u n i f or m em en t e

En este movimiento, la velocidad angular vara linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el mvil a una aceleracin angular constante. Las ecuaciones de movimiento son anlogas a las del rectilneo uniformemente acelerado, pero usando ngulos en vez de distancias:

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6 . 2 .

E cu ac ion es

de

mov im i en t o

Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rgido son las mismas que se indicaron en el captulo de sistemas de partculas, es decir

Adems para un punto arbitrario A se tiene la relacin general

que es de utilidad en ciertos problemas donde el movimiento de un punto A es conocido.E cu a ci on es p l an o p ar a el c as o de mo v i m ien t o

Cuando el movimiento es plano, las ecuaciones anteriores pueden escribirse

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El resultado

nos dice que la derivada del momentum angular, esto es el cambio del momentum angular, est en la direccin del torque. En la gura que sigue se ilustra el curioso efecto que el peso que acta hacia abajo sobre un disco que gira sobre su eje. El torque del peso est en un plano horizontal y luego el cambio de tambin o est. O sea el efecto del torque del peso har que el sistema tienda a girar respecto a la vertical en vez de a caer. La explicacin del movimiento de un trompo tiene que ver con este efecto.

Estas complejidades del movimiento en tres dimensiones no estn presentes en los problemas de dinmica en un plano. En efecto, cuando el movimiento es plano, tanto la velocidad angular como el torque estn en direccin perpendicular al plano de movimiento, digamos el eje z, de manera que

y luego resultar

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o si llamamos = a la aceleracin angular

de modo que el nico efecto del torque ser causar una aceleracin angular = .

6 . 3 .

Mov i m ien t o An gu la r d e u n R gi d o en pl an o

cu er po

Anlisis cintico de un cuerpo rgido modelado en el plano, con un movimiento de rotacin alrededor de un eje perpendicular al plano de movimiento.

El movimiento de rotacin de un cuerpo rgido, se conceptualiza (define) como un cuerpo que rota (gira) alrededor de un eje fijo; la rotacin es un cambio de posicin angular con respecto a un punto de referencia fijo (eje de giro) y una lnea de referencia fija horizontal (vertical, ...) que pasa por ese punto, el conjunto deposiciones angulares de cualquiera de los puntos del cuerpo (excepto un punto del eje de giro) traza una trayectoria circular. El anlisis cintico de un cuerpo rgido en movimiento de rotacin, generalmente, requiere que primero se conozcan todas las variables cinemticas; entonces, la cinemtica de un plano en rotacin, tal como una circunferencia, un rectngulo, ..., se analiza en un sistema de referencia angular, como el de coordenadas polares, para este, se elige el punto fijo de referencia radial conocido como polo, y despus se traza la lnea de referencia angular, que puede ser horizontal, vertical, ... partiendo del punto fijo (polo). Se puede considerar que por el punto fijo de referencia (polo), pase el eje de giro, ya que ste debe ser perpendicular al plano donde se est trazando la trayectoria curvilnea. Si la aceleracin angular es constante, se, tiene las siguientes ecuaciones: i) La ecuacin de posicin angular para cualquier punto del plano es:

ii) iii)

La ecuacin de la velocidad angular del plano, La ecuacin de la velocidad del plano como una funcin de la aceleracin angular y la posicin angular,

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Para elaborar el anlisis cintico de un cuerpo rgido que est girando, si ste puede ser representado en el plano, se dibujan en el plano la representacin del cuerpo dos veces de preferencia en el sentido horizontal, estando el segundo dibujo a un lado del primero. En el primer dibujo se representan las fuerzas externas incluyendo el vector peso en el centro de gravedad; este primer dibujo con las fuerzas externas, es el diagrama de cuerpo libre del cuerpo; mientras que en el segundo dibujo, se representa alrededor del eje de giro, el vector momento inercial I, en el sentido de; esto es, sentido (-) o contra sentido (+) de las manecillas del reloj; adems deber representarse el vector ma, en sus componentes cartesianas o, en componentes normal tangencial (n t); este segundo dibujo, es el diagrama cintico. Entre los dibujos se traza el signo identidad , lo cual significa que, el efecto que producen las fuerzas externas alrededor del eje de giro, es equivalente al efecto que est produciendo el movimiento a travs del vector momento inercial I, donde I es el momento de masa polar de inercia (recuerde que para un disco: I yy=mr/2kg m o, slug ft, para). Para finalizar, se aplica la segunda ley de Newton, y tambin se obtiene una suma de momentos con respecto al centro de gravedad para cuantificar al vector momento de masa inercial Icg, producido por el movimiento

F = ma, (13) Mcg= Icg, ( 1 4 )En el movimiento de rotacin de un cuerpo rgido que se puede representar en un plano, se tienen dos casos:1.- Cuando el eje de giro pasa por el centro de gravedad, lo cual implica que: a = 0.2.- El eje de giro no pasa por el centro de gravedad del cuerpo. OBA Eje centroidal y Eje centroidal X.

Figura 1. Disco girando en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad. Figura 2. Barra delgada rectangular girando alrededor de un eje que pasa por el extremos A, se traza la trayectoria del punto E. En el primer caso la sumatoria de fuerzas externas es igual al vector nulo, mientras que en el segundo caso, para estudiar la cintica se debe utilizar el sistema de referencia normal tangencial (n

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t), ya que el centro de gravedad en su movimiento va trazando una trayectoria circular, y la sumatoria de fuerzas ser con respecto a los ejes tangencial y normal.

Momento angular de un slido rgidoTenemos que en un sistema inercial la ecuacin de movimiento es:

Donde: es la velocidad angular del slido. es el tensor de inercia del cuerpo.

Ahora bien, normalmente para un slido rgido el tensor de inercia , depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un anlogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

Donde es la aceleracin angular del cuerpo. Por eso resulta ms til plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del slido, as se logra que , aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

Que resulta ser una ecuacin no lineal en la velocidad angular

6 . 4 .

Mov i m ien t o

p l an o

d e

u n

cu er po

r g id o

Cuerpo Rgido

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Sistema dinmico que no presenta deformaciones entre sus partes ante la accin de fuerzas. Matemticamente, se define como cuerpo rgido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan algn grado de deformacin. Sin embargo, la suposicin de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos de cuerpo rgido y no afectan la respuesta del cuerpo ante las acciones extremas. Cuerpo Rgido en Movimiento Plano Caso en que cada partcula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo. Note que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente, tales como laminas, discos, etc. Movindose en su propio plano, como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita. ConfiguracinSupngase un cuerpo rgido en movimiento plano. Dos rectos AB y CD fijas alcuerpo, formando ngulos respectivamente con una referencia fija. P erodonde es constante. Esto quiere decir que si se conoce la posicin angular d ecualquier recta fija al cuerpo, se conoce la posicin angular del cuerpo. Adems,por lo tanto, la velocidad angular y la aceleracin angular son lasmisma s para cualquier recta fija al cuerpo. Para especificar la configuracin de un cuerpo rgido en movimiento plano es conveniente utilizar un sistema de referencia S fijo al cuerpo con origen en O. La configuracin del cuerpo rgido queda completamente determinada mediante lascoordenadas y el ngulo que forma.

TIPOS DE MOVIMIENTOS DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO En el plano, un cuerpo puede moverse de tres formas diferentes: traslacin, rotacional rededor de un eje fijo y movimiento plano general 6 . 4 .1 . P r in c i p io de D A l em ber t

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El principio de D'Alembert, enunciado por Jean D'Alembert en su obra maestra Tratado de dinmica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinmico. Enunciado e Historia El principio de D'Alembert establece que para todas las fuerzas de un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partculas del sistema, siendo:

El principio de D'Alembert es realmente una generalizacin de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange us este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de accin y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mcanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:

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En primer lugar, el principio de accin estacionaria est ligado a la existencia de una funcin potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert. En segundo lugar, el principio de accin se presta a interpretaciones filosficas y teleolgicas que no le gustaban a Lagrange. Finalmente debe sealarse que el principio de d'Alembert es peculiarmente til en la mecnica de slidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y clculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el clculo mediante el principio de D'Alembert, que tambin se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque ms simple de la mecnica newtoniana.

Consecuencias El principio de d'Alembert en el caso de existir ligaduras no triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes que implcitamente incorporen dichas ligaduras. Consideremos un sistema de N partculas en el que existan ligaduras:

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6 . 4 .2 . T r asl a c in . R ot a c in m ov im i en t o g en er a l. T r as la c in

cen t r o i d al

y

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientacin, es decir, mantienen la forma y el tamao de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan segn el vector. Dado el carcter de isometra para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias: d(P,Q) = d(T(P),T(Q))=d(P,Q) Ms an se cumple: PQ= PQ

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R ot ac in c en t r oi d a l Se llama rotacin centroidal a la rotacin de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento. En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un por tanto la fuerza resultante es 0.

M ov im ien t o

p l an o

gen er a l

El movimiento plano general es la combinacin de una traslacin y una rotacin alrededor de un punto (interseccin del eje con el plano de movimiento) arbitrariamente seleccionado. Entonces de acuerdo a la figura 1-1, para determinar la velocidad del punto A se debe conocer la velocidad de cualquier otro punto, por ejemplo B, y la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado.

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MOVIMIENTO PLANO GENERAL. Es un movimiento plano que no es ni una traslacin ni una rotacin. Sin embargo un movimiento plano general siempre puede considerarse como la suma de una traslacin y una rotacin.

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6 . 5 . S is t em as r gi do

de

( F u er z a )

d e

u n

cu er po

Como vimos, el equilibrio de un cuerpo rgido est determinado solamente por la resultante de las fuerzas y la suma de los momentos respecto de un punto cualquiera. Vamos a ocuparnos ahora del problema de calcular la resultante F y el momento total M de un sistema de fuerzas que acta sobre un cuerpo rgido, que haba quedado pendiente.

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Cuando dos sistemas de fuerzas tienen igual resultante e igual momento total son equivalentes en lo que hace a sus efectos sobre el equilibrio. Entonces cuando se tiene un cuerpo rgido sometido a un sistema complicado de fuerzas, conviene reemplazarlo por un sistema equivalente ms simple. Hay varias reglas prcticas para este fin y las presentamos a continuacin.

Fuerzas concurrentes Se llaman as aquellas cuyas rectas de accin se cruzan. Por lo dicho se les puede trasladar hasta el punto de cruce y reemplazar por su resultante, cuya recta de accin pasa por el punto de cruce.

6 . 6 . Pr in c ip i o d e u n cu er po r g i do

t r ab a jo

y

en er g a

par a

Este principio se utilizara ahora para analizar el movimiento plano de cuerpos rgidos. Aqu utilizaremos los parmetros de velocidad y desplazamiento, no es necesario el clculo de la aceleracin. Tambin debemos observar que estas cantidades, trabajo 16 Diego Alberto Garca Eligio


y energa cintica, son cantidades escalares. Recordar, que tambin debemos suponer que el cuerpo rgido est formado por n partculas de masa mi T1+U1-2=T2 Donde,T1y T2, valor inicial y final de la Energa Cintica Total de las partculas que forma el cuerpo rgido. U1-2trabajo de todas las fuerzas que actan sobre las diversas partculas del cuerpo rgido

U1-2, representa el trabajo que realizan todas las fuerzas que actan en unc/rgido, tanto interno como externo .Por definicin de cuerpo rgido, Ui-2, Interno es cero; pues la distancia es la misma y las fuerzas internas son iguales, la misma direccin, sentido opuesto. U1-2, se reduce al trabajo de las fuerzas externas y estas actan sobre el cuerpo durante el desplazamiento considerado. 6 . 7 . T r ab ajo m ec n ic o ef ect u a do s o br e u n s is t e ma

El trabajo de una fuerza F, durante un desplazamiento de su punto de aplicacin desde A1 hasta A2, es F= magnitud de la Fuerza =ngulo que forma con la direccin del movimiento de su punto de aplicacin A y S= es la variable de interaccin que mide la distancia recorrida por A, a lo largo de su trayectoria

Trabajo realizado por un par de Fuerzas

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Solo la fuerza F trabaja en la segunda parte del movimiento

Cuando un cuerpo rgido rueda sin deslizarse sobre una superficie fija, la fuerza de friccin F en el punto de contacto C no realiza trabajo. La velocidad Vc del punto de contacto C es cero. La fuerza de friccin durante un desplazamiento pequeo, el trabajo es:

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