CINEMTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINMICA 2015-I

CINEMTICA PLANA DE CUERPOS RIGIDOS EXPERIENCIA CURRICULARDINMICADOCENTELIC. WALTER PEREZ TERRELESTUDIANTESYENI ROCSANA VASQUEZ HUARANGACARLA CUBA CUROZAVALA MOYA BEATRIZGULIANA GARCIA PISCOAULA112

TURNOMAANA

CICLO 2015 - I

Los hombres construimos demasiados muros y no suficientes puentesJos Garca Aranda ngel

DEDICATORIA A todos los juventud estudiantil,que con sus ideas y su actitud desean cambiar el mundo en que vivimos.

AGRADECIMIENTOExpresamos nuestro agradecimiento Al Lic. WALTER PEREZ TERREL y esposapor orientarnos en nuestro trabajo.

NDICEI. Epgrafe II. DedicatoriaIII. Agradecimiento IV. Introduccin

1.1 Movimiento plano de un cuerpo rgido 1.2 Traslacin1.3 Rotacin alrededor de un eje fijo 1.4 Anlisis del movimiento de un punto 1.5 Anlisis del movimiento relativo: velocidad1.6 Centro instantneo de velocidad cero1.7 Anlisis del movimiento relativo: aceleracin 1.8 Anlisis del movimiento relativo por medio de ejes rotatorios

V. Conclusiones

INTRODUCCIN

El presenta trabajo de investigacin del campo de la dinmica que estudia, aplicacin de la cinemtica, la cinemtica plana de un cuerpo rgido. Todo cuerpo rgido se ve representado por las acciones de fuerzas que se ejerce sobre esta, pero que no evidencia deformaciones ya que posee un sistema de partculas cuyas posiciones relativas no cambian.El estudio de la Cintica de los cuerpos rgidos en el plano, analiza los correspondientes movimientos de traslacin y rotacin en un determinado plano compuesto de fuerzas que se proyectan sobre esta cabe recordar que dicho plano posee un centro de masa.En el caso de movimiento plano de un cuerpo rgido se necesita una ecuacin ms para especificar el estado de rotacin del cuerpo. As pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rgido se necesitar dos ecuaciones de fuerza y una de momentos, o sus equivalentes .Es decir se estudiar las relaciones existentes entre las fuerzas que actan en un cuerpo rgido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento producido.Por motivo de ello se representar en este informe, aplicaciones de problemas de la actualidad de este modo no solo se pretender conocer las bases tericas sino tambin mtodos analticos, en las cuales se ve afectada una partcula.Adems el movimiento de todo cuerpo rgido que tenga dimensiones apreciables en direccin perpendicular al plano del movimiento pero que sea simtrico alrededor de dicho plano respecto del centro de masa puede tratarse como un problema de movimiento plano.Para los propsitos de este informe, se debe considerar la importancia de los anlisis que se deben realizar a un cuerpo ya sea en el plano bidimensional como tridimensional, para con ello obtener muestras y resultados en un sistema general de puntos de material. Por consiguiente se debe tener como base primordial las aplicaciones directas de los principios de la cinemtica (clculo de aceleraciones y velocidades).

1.2 Movimiento plano paralelo del cuerpo slido.

Por movimiento plano paralelo (o simplemente plano) se entiende el movimiento del cuerpo slido durante el cual todos sus puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo.

Figura 9: movimiento plano paralelo de un slido rgido, respecto al plano .

Biela-manivela

Muchas piezas de mecanismos y mquinas efectan un movimiento plano, por ejemplo, una rueda mvil sobre un segmento de va rectilnea, una biela de un mecanismo de Biela manivela; etc.El movimiento de rotacin de un cuerpo slido, es un caso particular del movimiento plano.Examinaremos la seccin S del cuerpo situada en un plano OXY paralelo al plano. (Figura 9)Si tenemos un movimiento plano, todos los puntos del cuerpo situados sobre la recta MM perpendiculares a la seccin S, es decir, al plano, se desplazan de un modo idntico. Por eso, para el estudio del movimiento de todo el cuerpo es suficiente estudiar el movimiento de una seccin S en el plano OXY. En la figura (10) haremos coincidir el plano OXY con el plano del dibujo y en ves del cuerpo entero representaremos solamente su seccin S.

XAYAAB

YX

Figura 10: seccin S de un slido rgido incluido en el plano OXY paralelo al plano.

Es evidente que la posicin de la seccin S en el plano OXY se determina por la posicin de un segmento cualquiera de la seccin (figura 10). A su vez, la posicin del segmento puede ser determinada si se conoce las coordenadas en XA y YA del punto A y en ngulo formado por el eje X con el segmento medido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.Al punto A, lo llamamos polo.

Durante el movimiento los valores de Xa, Ya y varan. Para saber la ley de movimiento del cuerpo, hay que conocer:

(13)

Llamadas ecuaciones del movimiento plano del cuerpo slido.Demostraremos que el movimiento plano se compone de movimientos de traslacin y rotacin. De traslacin, haciendo que la seccin S siempre siga paralela al plano (traslacin) y que el eje de rotacin sea perpendicular al plano o sea a la seccin S (rotacin).

ABB

Posicin finalXPosicin inicialYAABYXA

Figura 11: movimiento plano paralelo como composicin de movimiento de traslacin y rotacin.

Mediante una traslacin curvilnea, paralela al plano, o sea en el plano OXY, pasamos de la posicin inicial P1 a la posicin final de la traslacin curvilnea P1 y luego con una rotacin alrededor de un eje perpendicular a y que pasa por A2 , llegaremos a la posicin final P2.Sabemos que en el espacio siempre podemos pasar de una posicin inicial a la final mediante la traslacin conveniente y una rotacin conveniente. En el movimiento plano: la traslacin es paralela a un plano y la rotacin alrededor de un eje es perpendicular al plano.

Determinacin de la trayectoria de los puntos del cuerpo.

Estudiaremos ahora el movimiento de diferentes puntos del cuerpo slido, es decir, determinaremos sus trayectorias, velocidades y aceleraciones.XXAYAAB

YX

bY

Figura 12: posicin de un punto de seccin S en un movimiento plano en un instante determinado.

Comencemos por definir las trayectorias. Examinaremos el punto M del cuerpo cuya posicin en la seccin S se termina por la distancia b = AM del polo A y por el ngulo BAM = (figura 12).Las ecuaciones de las coordenadas X e Y del punto M son:

(14)Donde YA, XA y son funciones del tiempo t conocidas por las ecuaciones (13).Las igualdades (14), que determinan la ley del movimiento del punto M, en el plano OXY, dan simultneamente la ecuacin de la trayectoria de este punto en forma paramtrica. Para obtener una ecuacin ordinaria rectangular, eliminaremos en (14) el tiempo t.(despejando t de una de ellas y reemplazando ese valor t en la otra)

Determinacin de las velocidades de los puntos del cuerpo.

Repetimos, el movimiento plano del cuerpo slido se compone de un movimiento de traslacin, cuando en cada instante todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad instantnea vA del polo y un movimiento de rotacin alrededor de ese polo.Demostraremos que la velocidad de cualquier punto M del cuerpo es la suma geomtrica de las velocidades correspondientes a cada uno de estos movimientos.

Figura 13: posicin y velocidad de un punto de la seccin S en un movimiento plano en un instante determinado.

l vector posicin del punto M en el instante t, respecto al sistema de referencia es:

Es decir, la magnitud es la velocidad del polo A; la magnitud es la velocidad del punto M con respecto a A.

Cuando es constante en magnitud pero no en direccin, porque el cuerpo gira respecto del polo.

Entonces:

En este caso, la del punto M en su movimiento de rotacin alrededor del polo A, ser:

(Recordar )

Siendo: y donde es la velocidad angular de rotacin del cuerpo.

De este modo, la velocidad de todo punto M del cuerpo es la suma geomtrica de la velocidad de otro punto cualquiera A, tomando como polo y de la velocidad de rotacin del punto M, alrededor de este polo y la aceleracin

Ejemplo:

Hallar la velocidad del punto M de la llanta de una rueda, que se desplaza (trasladndose y rotando, sin resbalar) sin rozamiento sobre un riel, si la velocidad de traslacin del centro C de la rueda es igual a y el ngulo OKM = creciendo desde

Figura 14: posicin y velocidad del punto M de la llanta de una rueda animada de movimiento plano.

Tomando como polo el punto C, cuya velocidad de traslacin es conocida, hallaremos que:

Donde y en mdulo

Siendo r, el radio de la rueda

El valor de la velocidad angular lo hallaremos teniendo en cuenta que el punto K de la rueda no resbala por el riel, y por lo tanto, en el instante en que la rueda toca el riel en el punto K, la velocidad de K es nula: .Por otra parte, lo mismo que para el punto M:

Donde

Ya que para el punto K, y estn dirigidas a lo largo de la misma recta, entonces, como ser de donde, tienen igual mdulo y sentido contrario.

Entonces:

Observando la figura 14, el tringulo KCM es issceles, pues tiene dos lados iguales, que son los radios de la circunferencia y el ngulo externo es igual a la suma de los ngulos interiores no adyacentes.

Adems, el ngulo formado por los vectores y es igual a pues sus lados son respectivamente perpendiculares y como

deducimos que los vectores y tienen los mismos mdulos. Segn la propiedad geomtrica del rombo, los ngulos entreyy entre y tambin son iguales a.

Como las diagonales del rombo son recprocamente perpendiculares, tenemos:

el extremo superior del dimetro vertical (en O) tenemos la velocidad absoluta ya que y cos 0 = 1 y entonces

Y observemos que y

Es decir en el punto K se cortan y y las velocidades absolutas (suma geomtrica de las velocidades puras de rotacin y traslacin) y son perpendiculares a sus direcciones.El punto K, que permanece fijo en ese instante, puede considerarse como un centro instantneo de rotacin (o eje perpendicular al plano de traslacin).

Podemos estudiar el caso de movimiento plano, desde otro punto de vista.Volvemos al comienzo. Siempre se puede descomponer el movimiento plano en una traslacin y una rotacin. Estudiaremos el caso de una circunferencia que est rotando sin resbalar sobre un riel rectilneo.Veremos que este movimiento puede considerarse como una serie de rotaciones puras instantneas, alrededor de centros instantneos (ejes instantneos) de rotacin.

=+CCCCCrrrrr

Figura 15: movimiento plano como descomposicin de una traslacin y una rotacin.

Estudiaremos primero la rotacin pura.

Si conocemos r y w, entonces: v = r

y si conocemos v y r, entonces:

En el punto M:

Figura 16: posicin y velocidad en una rotacin pura.

En el punto A:

Como segundo paso consideramos la traslacin pura. Tenemos:

Figura 17: posicin y velocidad en una traslacin pura.

Velocidad de traslacin del punto C = w . r , porque una rueda sin resbalar (sin deslizarse), cuando da una vuelta completa, el ngulo de rotacin ser: = 2 . Radianes y el punto C (como tambin el K de la figura) se habr trasladado un distancia 2 . . r y la velocidad de traslacin de C ser siendo T el perodo o sea el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Entonces, como:

Entonces: (15)

Como los dos mdulos son iguales y los sentidos de los dos vectores son contrarios, entonces el punto K, en ese instante, permanecen en equilibrio. Adems por las consideraciones anteriores:

Velocidades absolutas (totales)

O sea que podemos considerar, en ese instante, como si todos los puntos estn rotando alrededor del centro instantneo de rotacin K, que cambia de posicin constantemente.

Ejemplo:

Sea de nuevo una llanta que rueda con movimiento rectilneo. Determinar directamente la velocidad absoluta del punto M, con ayuda del centro instantneo de rotacin.

Figura 18: velocidades del punto M y del punto K en el movimiento de una llanta.

Solucin: el punto K de contacto, es el centro instantneo de rotacin, porque .

Por consiguiente . Ya que el ngulo KDM es recto, abarca el dimetro KD, y el vector pasa por el punto D (lo mismo para todos los puntos de la circunferencia).

Pero: por (15)

Observando la figura 18 se ve que la velocidad lineal del punto C es el producto de la velocidad angular instantnea por el radio de giro de C respecto a K.

Comparando con: , se obtiene que: Entonces en el centro instantneo de rotacin K, toda rotacin instantneamente tiene velocidad angular w.

Observando la figura 18:

Pero:

Queda:

Despejando w:

Dnde: es la velocidad del punto M.

Curva Base y Curva Ruleta

El centro instantneo de rotacin K de un cuerpo rgido, describe en el espacio una curva llamada BASE y con respecto a la superficie sobre la que se mueve, describe otra curva llamada RULETA. Ambas curvas son tangentes en K, en un instante determinado. Puede interpretarse:

Figura 19: Curva Base y Curva Ruleta de un slido rgido que rueda sobre una superficie tal como que la cuerva Ruleta rueda sobre la curva Base.

En el caso de una circunferencia que rueda sobre un riel, la curva BASE es el propio riel, fijando las sucesivas posiciones del centro k en el espacio y la curva RULETA, o sea, las sucesivas posiciones de k fijndolas con respecto a la rueda, es la propia circunferencia.Si consideramos la placa unida fijamente a la ruleta y hacemos rotar la ruleta sobre la base, obtenemos el movimiento total de la chapa en el espacio

1.2 Traslacin.

Un cuerpo slido rgido realiza un movimiento de traslacin cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, eeste se mantiene siempre paralelo a s mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rgido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describir, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los dems puntos materiales describirn trayectorias equidistantes entre s.Si la traslacin es rectilnea, las trayectorias son rectas y paralelas entre s (equidistantes), y si la traslacin es curvilnea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o alabeadas equidistantes entre s.

Ejemplos:

Traslacin rectilnea.

AABBXYZ

Figura 1: traslacin rectilnea

Traslacin curvilnea.YXABBAZ

Figura 2: traslacin curvilnea

Figura 3: vector posicin en una traslacin

En un movimiento de traslacin rectilnea o curvilnea segn se muestra en la figura 3, el vector posicin del punto B es:

(1)

A lo llamaremos vector de B con respecto a A y es constante.Derivando la (1) tenemos:

(2)

Es decir en un instante dado la velocidad de B es igual, a la velocidad de A y a la de cualquier otro punto material del slido rgido (ya sea un movimiento de traslacin rectilnea o curvilnea).

Si derivamos la (2) con respecto al tiempo:

(3)

Es decir que la aceleracin del punto B es la misma que la del punto A y a la de cualquier otro punto material del slido rgido.

Figura 4: vectores velocidad y aceleracin en una traslacin.

Conclusin: en un slido en movimiento de traslacin todos sus puntos tienen la misma velocidad instantnea y la misma aceleracin instantnea.

1.3 Movimiento de rotacin de un slido rgido alrededor de un eje fijo (que lo atraviesa).

Considerando un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje Z coincide con el eje e de rotacin del slido rgido.

Considerando la base ortogonal O()

Figura 5: slido rgido girando alrededor de un eje fijo.

Siendo: y

;

Entonces

Esta expresin es el mdulo del producto vectorial entre l vector velocidad angular de rotacin y el radio vector posicin del punto P.

Entonces de la relacin entre velocidades:

La velocidad angular es la misma para todos los puntos materiales del cuerpo rgido y l vector posicin depende de la posicin del punto material con respecto al punto O. Todos los puntos materiales del cuerpo giran describiendo circunferencias alrededor del eje de rotacin, en planos paralelos y en un mismo plano son circunferencias concntricas. Cada punto tiene su propia velocidad lineal.

Adems: (5)

Por lo tanto la velocidad angular es un vector que esta sobre el eje Z, que es el eje de rotacin.Derivando la ecuacin (5) con respecto al tiempo tenemos:

Pero:

Entonces:

(6)

Resolviendo: Recordando que en una circunferencia se cumple: Siendo h = r. sen

(7)

Haciendo h = r de cada circunferencia, se puede comparar las expresiones (6) y (7). Se observa que:

es la aceleracin tangencial y es la aceleracin normal o centrpeta de cada punto del slido rgido.Por otro lado:

Es decir que l vector aceleracin angular est tambin sobre el eje de rotacin.

1.3.1 Ecuaciones que definen el movimiento de rotacin de un slido rgido alrededor de un eje fijo, Pueden referirse directamente a la descripcin del punto del cuerpo.

Sabemos que para un movimiento circular:

(8)Siendo m la velocidad angular media y la instantnea:

(9)Siendo am la aceleracin angular media y a la aceleracin angular instantnea.

En el caso de movimiento de rotacin uniforme: = cte. m = .

De (8) obtenemos: = o + . ( t - to) y si to = 0

= o + . t espacio medido en funcin del ngulo recorrido en movimientos circular Si el movimiento de rotacin uniformemente acelerado: = cte. am = w. De (9) = o + . ( t - to) y si to = 0

w = wo + . t velocidad angular en funcin del tiempoen movimientos circularConocido el ngulo descrito; entonces se expresa:

Y si 0, entonces:

Espacio medido en funcin del ngulo de barrido y del tiempo.

Recordando que en MRUA

Podemos deducir la ecuacin

velocidad angular en funcin del ngulo descripto

1.3.2 Movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo de cada uno de los puntos de un slido rgido. Depende de la posicin del cuerpo.

Vemos en la figura 5 que el punto n es un punto que se encuentra a una distancia del eje de rotacin. Durante la rotacin del cuerpo, el punto P describe una circunferencia de radio n, que se encuentra en un plano perpendicular al eje de rotacin e, cuyo centro B se encuentra en el mismo eje. Entonces sabemos que la velocidad lineal de P tiene como mdulo

v = . h (10)

Ya que en un instante dado, tiene el mismo valor para todos los puntos del cuerpo, resulta, de la formula (10), que el mdulo de las velocidades lineales de los puntos del cuerpo en rotacin son proporcionales a sus distancias al eje de rotacin.

Figura 6: vector velocidad lineal para cada punto de un slido rgido en un instante determinado.

Para hallar la aceleracin total del punto P, sabemos que:

(11)

La desviacin del vector de la aceleracin total respecto al radio de la circunferencia que describe el punto es:

Figura 7: posicin del vector aceleracin total del punto P de un slido en rotacin.

Pero:

Entonces: (12)

Como en un instante dado y tienen el mismo valor para todos los puntos del cuerpo, de las formulas (11) y (12) se deduce que las aceleraciones de todos los puntos de un cuerpo slido en rotacin son proporcionales a sus distancias al eje de rotacin y forman en el instante dado el mismo ngulo con los radios hi de las circunferencias que describen los puntos.

En un instante dado

Figura 8: vector aceleracin total de un slido rgido en un instante determinado.

Las formulas (10), (11) y (12) permiten determinar la velocidad y la aceleracin lineal de cualquier punto del cuerpo si se conoce la ley de rotacin del cuerpo, es decir, la velocidad angular , la aceleracin angular y la distancia entre el punto dado y el eje de rotacin hi.

Recprocamente, si se conoce el movimiento de un punto del cuerpo, sobre la base de las mismas formulas es posible determinar el movimiento de todos los otros puntos del cuerpo, as como todas las caractersticas del movimiento del cuerpo completo. Se pueden determinar y .

Ejemplo:Un rbol que gira a n = 90 r.p.m. (revoluciones por minuto), despus de desconectar el motor adquiere un movimiento uniforme retardado y se detiene al cabo de t1 = 40seg. Determinar el nmero de revoluciones efectuadas por el rbol durante ese tiempo.Solucin: como el rbol est en rotacin uniformemente retardada, entonces:

(a)

Y(b)

Sabemos que la velocidad angular que tena antes de desconectar el motor, a sea la velocidad angular inicial es:

En el instante en que el rbol, t = t1 la velocidad angular w1 = 0. Poniendo estos valores en (b), tenemos:

Si representamos el nmero de revoluciones hechas por el rbol hasta que se detiene por N (n son las revoluciones por minuto), el ngulo de rotacin en el mismo perodo de tiempo ser a 1 = 2 . . N. Usando la (a):

Entonces:

1.3.3 Rotacin Alrededor de un EjeCuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto P localizado en l se desplaza a lo largo de una proyeccin circular. Para estudiar este movimiento es necesario analizar primero el movimiento angular del cuerpo alrededor del eje.Fig.1.a

Movimiento angular- Como un punto no tiene dimensiones, no puede tener movimiento angular. Solamente las lneas o cuerpos experimentan movimiento angular .Por ejemplo considere el cuerpo en la figura y el movimiento angular de una lnea radial r, localizada en el plano sombreado.Posicin angular-En el instante en que se muestra, la posicin angular de est definida por el ngulo , medida desde una lnea de referencia fija hasta .Desplazamiento angular-El cambio de la posicin angular, el cual puede medirse como una diferencial , se llama desplazamiento angular. La magnitud de este vector es .Medida en grados, radianes o revoluciones donde 1rev=. Como el movimiento es un torno a un eje fijo, la direccin de dsiempre es a lo largo de este eje .Especficamente la direccin se determinara con la regla de la mano derecha: es decir, los dedos de mano derecha se curvan en el sentido de la rotacin, de modo que en este caso el pulgar, o d, apunta hacia arriba Fig.1.a. En dos dimensiones, como se muestra en la vista desde arriba del plano sombreado, fig 1.b tanto como d, estn en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y por tanto el pulgar apunta hacia afuera de la pgina.

Velocidad angular-El cambio con respecto al tiempo de la posicin angular se conoce como velocidad angular (omega) como ocurre durante un instante de tiempo , entonces:(+

(1.a)

La magnitud de este vector se suele medir en rad/s .Aqu esta expresada de forma escalar, puesto que su direccin tambin va a lo largo del eje de rotacin, fig1.a. Cuando se indica el movimiento angular en el plano sombreado, fig1.b, podemos referirnos al sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj .En este caso elegimos arbitrariamente las rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivas y esto se indica por medio del bucle que aparece entre parntesis al lado de la ecuacin (1.a) .Cuando se indica el movimiento angular en el plano sombreado,fig.1.b, podemos referirnos al sentido de la rotacin como en sentido de las manecillas del reloj .En este caso elegimos arbitrariamente las rotaciones en sentido contrario de las manecillas del reloj como positivas y esto se indica por medio del bucle que aparece entre parntesis al lado de la ecuacin (1.a).Se debe tener en cuenta que el sentido direccional de es hacia afuera.Aceleracin angular - es la variacin de lavelocidad angularpor unidad de tiempo y se representa con la letray se la calcula:(1.2)

Con la ecuacin (1.2) tambin se es posible expresar como:(1.3)

La lnea de accin de es la misma que la de (fig1.a), sin embargo su sentido de direccin depende de si se incrementa o decrece. Si decerece, entonces se llama desaceleracin angular y por consiguiente su direccin se opone a .Al eliminar dt de las ecuaciones (1.1)y(1.2), obtenemos una relacin diferencial entre la aceleracin angular , la velocidad angular y el desplazamiento angular, es decir.(1.4)

La similitud entre las relaciones diferenciales del movimiento angular y las desarrolladas para movimiento rectilneo de una partcula ( ) debe ser aparente.

Aceleracin angular constanteSi la aceleracin angular del cuerpo es constante , , entonces cuando se integran las ecuaciones 1.1,1.2 y1.3, se obtiene un conjunto de frmulas que relacionan la velocidad angular de un cuerpo y el tiempo. Estas ecuaciones son semejantes a las ecuaciones que se utilizan para movimiento rectilneo. Los resultados son :

Aceleracin Angular Constante

En este caso, y son los valores iniciales de la posicin angular y la velocidad angular del cuerpo, respectivamente.1.4 Movimiento de un PuntoFig-1.c

Cuando el cuerpo rgido de la figura (1.c) gira, el punto P se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en el punto O. Esta trayectoria est contenida en el plano sombreado de la vista superior, fig (1.d).Posicin y DesplazamientoLa posicin de P est definida por el vector de posicin , el cual se extiende desde O hasta P. Si el cuerpo gira entonces P se desplazara .Velocidad La magnitud de la velocidad de P se calcula al dividir entre de modo que Fig 1.d

Como se muestra en las figuras (1.c)y (1.d) , la direccin de es tangente a la trayectoria circular. Tanto la magnitud como la direccin de tambin pueden tenerse en cuenta si se utiliza el producto vectorial de tambin pueden tenerse en cuenta si se utiliza el producto vectorial de y . En este caso la direccin es de cualquier punto sobre el eje de rotacin al punto P , figura(1.c). Tenemos

El orden de los vectores en esta formulacin es importante, puesto que el producto vectorial no es conmutativo, es decir, .Observe en la figura (1.c) como se establece la direccin correcta de , la cual es tangente a la trayectoria en la direccin del movimiento. De acuerdo con la ecuacin (1.8), la magnitud de en la ecuacin (1.9) es , y puesto que , fig(1.c), entonces , la cual concuerda con la ecuacin (1.8) . Como un caso especial, el vector de posicin puede elegirse para . Aqu, queda en el plano del movimiento y de nueva cuenta de velocidad del punto P es

AceleracinLa aceleracin de P puede expresarse en funcin de sus componentes normal y tangencial. Como y donde , y , tenemos;

El componente tangencial de la aceleracin de las figuras (1.c) y(1.f), representa el cambio con respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad . Si la rapidez de P se incrementa, entonces actua con la misma direccin que , y finalmente, si permanece constante, a es cero. La componente normal de la aceleracin representa el cambio con respecto al tiempo de la direccin. La direccin opuesta de siempre es hacia O, el centro de la trayectoria circular (fig1.c)y (fig1.f). Al igual que la velocidad la aceleracin del punto P puede expresarse en funcin del producto vectorial (producto cruz). Si consideramos la derivada con respecto del tiempo de la ecuacin (1.9), tenemos. Fig-1.e

Si se recuerda que

Por la definicin del producto vectorial, la magnitud del primer trmino de la derecha es ,= , y por la regla de la mano derecha, est en la direccin de ,fig (1.e) . Asimismo la magnitud del segundo trmino es , y al aplicar la regla de la mano derecha dos veces, primero para determinar el resultado entonces , se ve que este resultado est en la misma direccin que , como se muestra en la figura (1.e). Si observamos que esta tambin es la misma direccin que , la cual queda en el plano del movimiento, podemos expresar en una forma mucho ms simple que r .Por consiguiente, la ecuacin (1.13) puede identificarse por sus dos componentes como

Puesto que y , son perpendiculares entre si , se requiere , la magnitud de la aceleracin puede determinarse con el teorema de Pitgoras , es decir , , fig (1.f).

1.5 Anlisis Del Movimiento RelativoEl movimiento plano general de un cuerpo rgido se describe como una combinacin de traslacin y rotacin, Para ver estos movimientos componentes por separado utilizaremos un anlisis de movimiento relativo que implica dos conjuntos de ejes de coordenadas coincida con el punto base Ha seleccionado, el cual por lo general tiene un movimiento conocido. Los ejes de este sistema de coordenadas se trasladan con respecto al marco fijo pero no giran con la barra.Fig1-f.a

PosicinEl vector de posicin , en la (fig-2.a), especifica la ubicacin del punto base A y el vector de posicin relativa localizado el punto B con respecto al punto A .Mediante adicin vectorial, la posicin de B es por tanto

DesplazamientoDurante un instante de tiempo , los puntos A y B experimentan los desplazamientos y como se muestra en la figura (2.b).Si consideramos el movimiento plano vertical por sus partes componentes entonces toda la barra primero se traslada una cantidad de modo que A, el punto base, se mueve a su posicin final y el punto B. Experimenta un desplazamiento relativoy se mueve a su posicin final B .Debido a la rotacin sobre A, y el desplazamiento de B es

Dnde:

VelocidadPara determinar la relacin entre las velocidades de los puntos Ay B es necesario considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuacin del a posicin o simplemente dividir la ecuacin de desplazamiento entre . De esto resulta

Los trminos = Y , se miden con respecto a los ejes fijos x e y y representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, respectivamente. Como el desplazamiento relativo provoca una rotacin, la magnitud del tercer trmino es = , donde es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado .denotaremos este trmino como la velocidad relativa , puesto que representa la velocidad de B con respecto a A medida por un observador fijo en los ejes trasladantes .Dicho de otra manera , la barra parece moverse como si girara con una velocidad angular con respecto al eje que pasa por A . Por consiguiente la magnitud de es y su direccin es perpendicular . Por consiguiente tenemos

Donde

Fig2

Lo que esta ecuacin establece es que la velocidad de B ,(fig2.d), se determina al considerar que toda la barra se traslada con una velocidad de ,(fig3.e) y que gira alrededor de A con una velocidad angular ,(fig2.f). La adiccin vectorial de estos dos efectos aplicada a B, resulta como se muestra en la (fig2.g).Como la velocidad relativa representa el efecto del movimiento circular, alrededor A, este trmino puede expresarse por medio del producto vectorial =(ec-1.9).Po consiguiente para su aplicacin mediante un anlisis vectorial cartesiano, tambin podemos escribir la ecuacin (1.15) como

Donde:

La ecuacin de la velocidad (1,15)y (1,16) puede usarse de una manera prctica para estudiar el movimiento plano en general de un cuerpo rgido el cual esta o conectado por pasador, o en contacto con otros cuerpos en movimiento. Cuando se aplica esta ecuacin, los puntos Ay B en general deben seleccionarse , como puntos en el cuerpo , o como puntos en contacto con cuerpos adyacentes que tienen un movimiento conocido .Por ejemplo, el punto A en el eslabn AB en la figura (2.2-a)debe moverse a lo largo de una trayectoria circular. Por consiguiente pueden establecerse las direcciones de y puesto que siempre son tangentes a sus trayectorias de movimiento (fig2,2-b).En el caso de la rueda mostrada (2.39.la cual sin deslizarse, el punto A en ella puede seleccionarse en el suelo. Aqui, la velocidad de A es cero (momentneamente) puesto que en el suelo no se mueve .Adems el centro de la rueda, B, se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal de modo quees horizontal.Procedimiento Para el AnlisisLa ecuacin de la velocidad relativa puede aplicarse mediante anlisis vectorial cartesiano o bien si se escriben directamente las ecuaciones de componentes escalares x Yy, Para su aplicacin se sugiere el siguiente procedimiento.

Anlisis VectorialDiagrama Cinemtico1. Establezca las direcciones de las coordenadas fijas y trace un diagrama cinemtico del cuerpo .Indique en el las velocidades de los puntos A y B, la velocidad angular , y el vector posicin relativa.

2. Si las magnitudes de o son incgnitas pueden suponerse el sentido de estos vectores. Ecuacin de Velocidad1. Para aplicar , exprese los vectores en forma cartesiana y sustityalos en la ecuacin. Evalu el producto vectorial y luego evalelos componentes respectivamente para obtener dos ecuaciones escalares.

2. Si la solucin resulta en una respuesta negativa para una magnitud desconocida, indica que el sentido del vector es opuesto al que se muestra en el diagrama cinemtico

1.6 Centro instantneo de velocidad cero

La velocidad de cualquier punto B localizado en un cuerpo rigido puede obtenerse de una manera muy directa al seleccionar el punto base A como un punto de velocidad cero en el instante considerado. En este caso, VA=0 y por consiguiente la ecuacin de velocidad, , se vuelve . En el caso de un cuerpo que tenga movimiento plano general, el punto A asi seleccionado se llama centro instantneo de velocidad cero (CI) y se ubica en el eje instantneo de velocidad cero.Este eje siempre es perpendicular al plano de movimiento y la interseccin del eje con el plano define la ubicacin del CI. Como el punto A coincide con el CI, entonces , y por tanto el punto B se mueve momentneamente alrededor del CI en una trayectoria circular, expresado de otra manera, el cuerpo parece girar alrededor del eje instantneo, La magnitud de VB es simplemente , donde es la velocidad angular del cuerpo. Debido al movimiento circular, la direccion de VB siempre debe ser perpendicular a .

Por ejemplo, el CI de la rueda de la bicicleta est en el punto de contacto con el suelo. All los rayos son un tanto visibles, mientras que en la parte superior de rueda se ve en borrosos, Si nos imaginamos que la rueda esta momentneamente fija por medio de un pasador en este punto, se pueden determinar las velocidades de varios puntos con . Aqu las distancias radiales mostradas se deben determinar mediante la geometra de la rueda. Localizacin del CI. Para localizar el CI podemos partir del hecho de que la velocidad de un punto en el cuerpo siempre es perpendicular al vector de posicin relativa dirigido desde el CI hacia el punto. Se presenta varias posibilidades:

La velocidad VA de un punto A en el cuerpo y la velocidad angular del cuerpo se conocen, figura 16-18 a. En este caso, el CI se encuentra a lo largo de la lnea trazada perpendicular a VA en A, de modo que la distancia de A al CI es observe que el CI queda arriba a la derecha de A puesto que VA debe provocar una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del CI.

Las lneas de accin de dos velocidades no paralelas VA y VB se conocen. Figura 16-18b, Trace en los puntos A y B segmentos de lnea perpendicular a VA y VB. . Al extender estas perpendiculares hasta su punto de interseccin como se muestra, se localiza el CI en el instante considerado.

La magnitud y direccin de dos velocidades paralelas VA y VB se conocen. En este caso, la ubicacin del CI se determina por medio de tringulos proporcionales. En las figuras 16-18c y d se muestran algunos ejemplos. En ambos casos y . Si d es una distancia conocida entre los puntos A y B. entonces en la figura 16-18c. y en la figura 16-18d.

Cuando la tabla se desliza hacia abajo a la izquierda experimenta un movimiento plano general. Como las direcciones de las velocidades de sus ectremos A y B son conocidas el CI se localiza como se muestra. En este instante la tabla girar momentneamente alrededor de este punto. Dibuje la tabla en otras varias posiciones y establezca el CI en cada caso.Dese cuenta que el punto seleccionado como el centro instantneo de velocidad cero del cuerpo slo puede ser utilizado en el instante considerado puesto que el cuerpo cambia de posicin de un instante al siguiente. El lugar geomtrico de los puntos que definen la ubicacin del CI durante el movimiento del cuerpo se llama centroidal , figura 16-18, y por tanto cada punto en la centroidal acta como el CI del cuerpo slo por un instante.Aun cuando el CI puede ser utilizado con mucho provecho para determinar la velocidad de cualquier punto de un cuerpo, por lo general no tiene aceleracin cero y en consecuencia no se le debe utilizar para determinar las aceleraciones de los puntos de un cuerpo.

Procedimiento para el anlisis La velocidad de un punto de un cuerpo sometido a movimiento plano general puede determinarse con referencia a su centro instantneo de velocidad cero siempre que primero se establezca la ubicacin del CI mediante uno de los tres mtodos antes descritos. Como se muestra en el diagrama cinemtico de la figura 16-19, nos imaginamos el cuerpo como extendido y fijo por medio de un pasador en el CI de modo que, en el instante considerado, gira alrededor de este pasador con su velocidad angular. La magnitud de la velocidad de cada uno de los puntos arbitrarios A, B y C en el cuerpo puede determinarse por medio de la ecuacin , donde r es la distancia radial del CI a cada punto. La lnea de accin de cada vector de velocidad v es perpendicular a su lnea radial asociada r, y la velocidad tiene un sentido de direccin que tiende a mover el punto de una manera consistente con la rotacin angular , de la lnea radial, figura 16-19. Movimiento plano de un cuerpo rgido: El anlisis de este tema es importante ya que se aplicara en el diseo de engranajes, levas y mecanismos utilizados en muchas operaciones mecnicas. Es de gran importancia entender bien sobre cinemtica, para poder aplicar las ecuaciones de movimiento, para identificar la relacin de las fuerzas que actuantes con la velocidad del cuerpo en movimiento. El movimiento de un cuerpo rgido se da cuando todas sus molculas se desplazan en un plano que contiene al centro de la masa, al que llamamos plano de movimiento. Existen tres tipos de movimiento plano de un cuerpo rgido, en orden de complejidad creciente, los cuales son: movimiento de traslacin, movimiento de rotacin y movimiento plano general.

1.1.Movimiento de traslacin: Este tipo de movimiento ocurre cuando toda lnea recta dentro del cuerpo mantiene la misma direccin durante el movimiento. En la traslacin de todas las molculas que forman parte del cuerpo se mueven en trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son lneas rectas el movimiento se llama traslacin rectilnea; si las trayectorias son lneas curvas, el movimiento es una traslacin curvilnea. En el caso de traslacin rectilnea, todas las partculas del cuerpo se mueven a lo largo de lneas rectas paralelas, por tanto todos los puntos del cuerpo tendrn la misma velocidad y la misma aceleracin durante el movimiento completo.1.2.Movimiento de rotacin: En este movimiento las molculas que forman el cuerpo rgido realizan trayectorias circunferenciales cuyos centros estn ubicados a lo largo del eje de rotacin. Las nicas partculas que permanecen en el eje de giro no describen trayectorias circunferenciales. Por ejemplo se muestra un disco que experimenta movimiento rotacional respecto del eje indicado, de tal manera que el objeto sobre ella describe circunferencias respecto del eje, el cual pertenece fijo. Entonces decimos que el objeto experimenta un movimiento circunferencial.

1.3.Movimiento traslacional (movimiento plano general): Se da cuando un cuerpo rgido experimenta una combinacin de traslacin y rotacin. El movimiento de traslacin acurre dentro de un plano de referencia y el movimiento de rotacin sobre un eje perpendicular al plano de referencia, por ejemplo: una rueda que gira sobre una pista recta, a lo largo de cierto intervalo, dos puntos dador P y O se habrn movido.

Anlisis de movimiento relativo: velocidadEl movimiento plano general de un cuerpo rgido se describe como una combinacin de traslacin y rotacin. Para ver estos componentes por separado utilizaremos un anlisis de movimiento relativo que implica dos conjunto de ejes de coordenadas. Es un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos. Una partcula se encuentra en movimiento en un referencial si su posicin con respecto a l cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partcula est en reposo en dicho referencial. De estas definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos.

Posicin: Si es el vector posicin referencia mvil medido desde el observador fijo, y es el vector posicin del evento B, medido tambin desde el observador fijo, entonces tambin es posible localizar el evento desde el observador mvil, y el vector que localiza el evento es , se lee "vector posicin relativa de B medido por A".Consideremos dos partculas, A y B, que se mueven en el espacio y seansus vectores de posicin con respecto al origen O de un referencial dado. Los vectores de posicin (relativa) de la partcula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B estn definidos por:

Velocidad: La velocidad relativa entre dos cuerpos es el valor de la velocidad de un cuerpo tal como la medira un observador situado en el otro. Denotaremos al valor la velocidad relativa del cuerpo B respecto al cuerpo A como , la velocidad de dicha partcula se puede calcular con la derivada de su posicin con respecto del tiempo. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial sern:

El miembro representa una suma vectorial. La velocidad corresponde a la traslacin del punto con A, mientras que la velocidad relativa se asocia con rotacin de la placa en torno a Ayse mide con respecto a ejes centrados en A de orientacin fija.Al denotar mediante el vector de posicin de B relativo a A, y por la velocidad angular del punto con respecto a los ejes de orientacin fija.

APLICACIONES

1. Un ferrocarril se mueve con velocidad constante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente est sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con un velocidad, relativa al ferrocarril, de 8 km/h. Cul es la velocidad absoluta del pasajero?

vt = 25Resolucin vp : Velocidad absoluta del pasajero 8

vt : Velocidad absoluta del tren

vp/t : Velocidad relativa del pasajero respecto al tren. vp = vp/t + vt Dibujaremos un diagrama de vectores que represente la ecuacin anterior.La magnitud de la velocidad del pasajero es:

v : Y su direccin

vp: 26.2 km/ h

2. Un avin A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avin, B, viaja en lnea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razn de 30 ft/s . Determine la velocidad y aceleracin relativas del avin A respecto al B.

Resolucin La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B ms la velocidad absoluta de B.

vA = vA/B + Vb

Con el diagrama de vectores que representa la ecuacin anterior se muestra que:

vA/B1300 ft / s

La aceleracin de A es normal a la velocidad y su magnitud es

, , ;

tan

3. Un motociclista persigue a un automvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30. Cul es la velocidad relativa del automvil respecto al motociclista?

30 m/s

60 100m

Resolucin Velocidad absoluta del automvil Velocidad absoluta del motociclista Velocidad relativa del automvil respecto al motociclista Por la ley de cosenos

Por la ley de senos

4. La banda de la figura es flexible, inex-tensible y no se desliza sobre ninguna de la poleas. La polea A, de 3 in de radio, gira a 120 rpm. Calcule la rapidez de una partcula cualquiera de la banda y la velocidad angular de la polea B, de 5 in de radio.

Resolucin = Donde :

w = = v = 37.7 in/

Como la expresin

=

puede emplearse con cualquiera de las poleas:

= = = = 72 rpm

5. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posicin mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.

Resolucin

Como el disco se mueve con rotacin pura:=

= 12= 480

40 cm

La barra AB tiene movimiento plano general y su 40 c geometra se muestra en la figura.

= =+ 12 rad/s

=

= 60w+- 480

AQue es una igualdad de dos vectores. Igualando las Componentes verticales se tiene: 60 cm0= 103.9- 480 30= 4.62

= 60 =277 cm/s B 103.9 cm

6. El collarn A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cules son, en ese mismo instante, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.

Resolucin

Para encontrar la posicin del centro instantneo de rotacin, hacemos tanto en A como en B rectasperpendiculares a las velocidades de esos puntos; su interseccin es el centro buscado.

La velocidad angular de la barra es: = 30/12

Y la velocidad de B

7. La rueda de la figura pertenece a una locomotora que viaja hacia la derecha a 72 km/h. Sabiendo que la rueda no patina sobre los rieles, determine su velocidad angular y las velocidades lineales de los puntos O, A, B y C.

Resolucin

Convertimos la velocidad a m/s

Como el punto o se mueve junto con la locomotora B 0

A

Y la velocidad angular de la rueda es

Utilizamos la ecuacin de la velocidad relativa para determinar las velocidades de A, B y C

= 40

= 28.3

8. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posicin mostrada en la figura, la aceleracin angular de la barra AB y la aceleracin lineal del collarn B.

Resolucin

Como la rapidez del disco es constante, la partcula Atiene una aceleracin igual a su componente normal.

w =12 Utilizamos la ecuacin del movimiento relativo 0.4m

40cm

la velocidad angular de la barra, es 4.62

A

Igualando las componentes en direccin del eje de las y. 60cm 103.9cm

E igualando las componentes en direccin x

9. El collarn A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cules son, en ese mismo instante, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.

Resolucin

Igualando las componentes verticales

0=12

10. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posicin mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.

Resolucin

La velocidad de A es vertical y se dirige hacia abajo,la de B, horizontal y hacia la derecha. El centroinstantneo de rotacin se encuentra en la interseccinde las perpendiculares levantadas en A y B.

Calculamos la magnitud de la velocidad de A.

11. Un avin A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avin, B, viaja en lnea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razn de 30 ft/s2. Determine la velocidad y aceleracin relativas del avin A respecto al B.

Resolucin La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B ms la velocidad absoluta de B.

Con el diagrama de vectores que representa la ecuacin anterior se muestra que:

La aceleracin de A es normal a la velocidad y su magnitud es:

Y la de B es:

Entonces:

De la figura que representa la ecuacin:

12. Un motociclista persigue a un automvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30. Cul es la velocidad relativadel automvil respecto al motociclista?Resolucin:

Velocidad relativa del automvil respecto al motociclista

Como se trata de solo tres vectores, dibujamos un diagrama que represente la ecuacin anterior:Por la ley de cosenos

Por ley de senos

13. Un motociclista persigue a un automvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30; el motociclista aumenta su rapidez a razn de 8 ft/s2 , mientras que el automvil la reduce 5 m/s cada s. Calcule la aceleracin relativa del automvil respecto al motociclista.

Resolucin: Para determinar la aceleracin relativa del automvil respecto al motociclista, elegiremos un sistema de referencia como el de la figura; entonces:

Aceleracin relativa:

14. Una rueda gira con una aceleracin angular constante de . Si La velocidad angular de la rueda es de . En . a) Que ngulo barre la rueda durante 2 seg.

b) cual es la velocidad angular en t= 3 seg

15. La carga B se conecta a una polea doble mediante uno de los dos cables inextensibles que se muestra. El movimiento de la polea se controla mediante el cable C, el cual tienes una aceleracin constante de y una velocidad inicial de , ambas dirigidas hacia la derecha. Determine a) El nmero de revoluciones ejecutadas por la polea en 3 seg, B) la velocidad y el cambio de posicin de la carga B despus de 2 seg, yc) la aceleracin del punto D sobre el borde de la polea interna cuando t=0.

a) El nmero de revoluciones ejecutadas por la polea en 3 seg

B) la velocidad y el cambio de posicin de la carga B despus de 3 seg,

hacia arriba

c) la aceleracin del punto D sobre el borde de la polea interna cuando t=0 .

= 6.66

Problema 16 Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M= -2tNm. Determinar la aceleracin angular en funcin del tiempo la velocidad angular en funcin del tiempo el ngulo girado en funcin del tiempo. El momento angular inicial y en el instantet=18 s. Representar el momentoMen funcin del tiempo. Comprobar que el impulso angular0tMdt(rea) es igual a la variacin de momento angular. La velocidad, aceleracin tangencial y normal de un punto de la periferia del disco en dicho instante. Representar estas magnitudes. ResolucinI - Momento de inerciaI=121000.62=18kgm2Ecuacin de la dinmica de rotacinI=M,=-t/9 rad/s2la aceleracin angular no es constante II- Calculamos la velocidad angulary el desplazamiento angular.Momento angular,L=It=0,=175,L=3150 kgm2/st=18,=157,L=2826 kgm2/sImpulso angularLL0=t0tMdtL3150=0t(2t)dtL=3150t2kgm2/sEn el instantet=18 s,L=2826 kgm2/sLa representacin del momentoMen funcin del tiempotes una recta. El area del tringulo de la figura es18362=324Que es el impulso angular, igual a la diferencia entre el momento angular final e inicialParat=18 sAceleracin Tangencial:

Aceleracin normal

En la figura, se representa la velocidad, tangente a la trayectoria circular, la aceleracin tangencial de signo contrario a la velocidad, y la aceleracin normal dirigida hacia el centro. Problema 17

Un bloque de 2000 kg est suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.

Cunto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno? Cunto vale la velocidad angular del tambor del torno? Qu potencia tiene que desarrollar el motor? .Calcular el trabajo Resolucin:Velocidad constante del bloquev=0.08 Tensin de la cuerda, es el peso del bloque:F=20009.8=19600 kgMomento,M= =196000.3 =5880 NmVelocidad angular,= =0.08/0.3 =Potencia,P= 5880 1568 WTrabajo, W=

=156810 =15680 J

Problema 18El sistema de la figura est inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg est a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de dimetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo. La velocidad angular de la polea en ese instante. Las tensiones de la cuerda. El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.(Resolver el problema por dinmica y aplicando el balance energtico) Resolucin: Escribimos las ecuaciones del movimiento Del movimiento cada uno de los bloques Del movimiento de rotacin del disco309.8T1=30a ( T2209.8=20a ( T10.1T20.1=(1250.12) ()La relacin entre la aceleracin de los bloquesay la aceleracin angulardel disco es: a=0.1Resolviendo el sistema de ecuaciones,a=1.87 m/s2Si el bloque de 30 kg cae 2 m partiendo del reposo.

v=2.73m/sBalance energtico

En la figura se compara la situacin inicial y la final y aplicamos el principio de conservacin de la energa

309.82=209.82+1220v2+1230v2+12(1250.12)2Relacionamos la velocidadvde los bloques y la velocidad angulardel disco,v=0.1El resultado esv=2.73 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinmica

Problema 19

Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace girar mediante una cuerda que pasa a travs de una polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De la cuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como se muestra en la figura. El disco gira alrededor de un eje vertical en cuyo extremo hay una varilla de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitud perpendicular al eje y en cuyos extremos se han fijado dos esferas iguales de 2 kg de masa y 5 cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivo comienza a girar. Calcular: El momento de inercia del dispositivo. La aceleracin del bloque. La velocidad del bloque cuando ha descendido 2 m partiendo del reposo (resolver este apartado por energas).ResolucinMomento de inercia del dispositivoI=120.20.12+1120.750.22+2(2520.052+20.12)=0.0475kgm2Ecuacin de movimiento de cada uno de los cuerpos

Relacin entre la aceleracinadel bloque y las aceleraciones angulares del disco y de la poleaa=10.07=20.1El sistema de ecuaciones se reduce a=4.75=0.25a29.4 =3a=3.675m/s2Si el cuerpo de 3 kg desciende 2 m partiendo del reposo2=12at2v=at v=3.83m/sBalance energtico

Principio de conservacin de la energa

39.82=123v2+12I22+12(120.50.072) 2Relacin entre la velocidadvdel bloque y las velocidades angulares del disco y de la poleav=10.07=20.1El resultado esv=3.83 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinmicaProblema 20BCPara el problema 01Au

Un sistema mecnico est compuesto de una pieza que efectu un movimiento de translacin con una velocidad u y una barra AB de largo L y masa M, unida con esta pieza por medio de un eje que pasa por A. La barra gira alrededor del eje A en el sentido indicado con una velocidad angular Determinar la velocidad del centro geomtrico C de la barra para una posicin definida por el ngulo .

RESOLUCIN

La barra efecta un movimiento compuesto (planoparalelo). La velocidad del punto C se compone de la velocidad u y la velocidad relativa cuyo mdulo es

La velocidad relativa del punto C respecto del punto A es perpendicular a la barra AB.

Los vectores forman entre si un ngulo .

Aplicando el mtodo del paralelogramo para adicionar dos vectores que forma entre su un ngulo

Observacin: La velocidad del punto C depende de la medida del ngulo que forma la barra AB con la lnea vertical, en cada instante de tiempo.

BCResolucin 01vrelAuvC