Análisis y simulación del problema restringido de tres cuerpos … · 2018. 9. 7. · Análisis y...

Análisis y simulación del problema restringido de tres cuerposplano y circular

MAURIN LiseENS Rennes

Práctica de Estudios - Magistère Première année-Bajo la dirección de Antoni BENSENY ARDIACA

16 mayo - 16 julio 2015

Índice1. Introducción al problema 2

1.1. Agradecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Unidades e hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Formulación hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Puntos de vista diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Sistemas de coordenadas siderales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Sistemas de coordenadas sinódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3. Relaciones entre la magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Regiones de Hill y órbitas 182.1. Energías y momentos - Integral de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Puntos de equilibrio lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Regiones de Hill y Curvas de velocidad zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Descripción de las curvas de velocidad zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. El caso de m=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Regularización de Levi-Civita del problema plano circular restringido detres cuerpos (1920) 233.1. Necesidad de regularizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Regularización de Levi-Civita de colisiónes con el primario . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1. Coordenadas regularizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2. Órbitas de colisión con el primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3. Caso de m=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Regularización de Levi-Civita de colisiones con el secundario . . . . . . . . . . 263.3.1. Coordenadas regularizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2. Órbitas de colisión con el segundario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4. Descripción de las órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Anexos 324.1. Anexo 1: Puntos de equilibrio - Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. Anexo 2: Órbitas y regularization de Levi-Civita - Programa . . . . . . . . . . 394.3. Anexo 3: Programa entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4. Anexo 4: Algunas basas de mecánica - funciones generadoras . . . . . . . . . . 49

4.4.1. El punto de vista Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4.2. Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4.3. Sistemas integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. Bibliografía 54

1

1. Introducción al problema

1.1. Agradecimiento

Moltíssimes gràcies a Antoni Benseny Ardiaca per haver estat un excel·lent tutor. Gràciesper la seva ajuda i consells sobre el meu treball i els meus plans d’estudis. Ara sóc determina-da en treballar en matemàtiques aplicades, i vostè m’ha ajudat a veure més enllà dels cursosteòrics.

També m’agradaria agrair el personal de la UB per haver-me rebuda amb tanta cura.

Gracias también al Dojo Satori, por aceptarme para un tiempo tan corto, y dejarme en-trenar en tan buena compañía.

Gracias a Emma Vivas Vida, Silvia Hernandez, Albert Fiol, Nassima Eldy y Elena Rodri-guez por esa estancia maravillosa en vuestra compañía.

A Laurent Boudin, pour son aide si précieuse.

2

1.2. Formulación del problema

Se consideran dos cuerpos: el primario, de masa M1 y el secundario, de masa M2, conM1 ≥M2.

Antes de estudiar el problema de tres cuerpos, vamos a recordar algunos resultados sobreel problema de dos cuerpos:

(i) Sistema de referencia y posiciones

Se supone que el sistema {M1,M2} está aislado.Si r1 y r2 denotan las posiciones de los primarios, si ~r0 = M1 ~r1+M2 ~r2

(M1+M2) es la posición delbaricentro de las dos masas, y ~r = ~r2 − ~r1 la posición relativa, tenemos, por la segundaley de Newton:

M1 ~r1 = −GM1M2

~r2−~r1r3

M2 ~r2 = −GM1M2~r1−~r2r3

Resulta: M1 ~r1 +M2 ~r2 = ~0 Tenemos: ~r0 = 0, i.e ~r0(t) = ~r0

y ~r0 = ~r0t+ ~r0(t0), k0 ∈ R

El baricentro se mueve de manera lineal. Así vamos a fijarnos en el sistema de referenciabaricentrico, que está galileano.También tenemos:

~r1 = (M1 +M2)~r0 −M2 ~r2M1

; ~r1 = ~r2 − ~r

~r2 = (M1 +M2)~r0 −M1 ~r1M2

; ~r2 = ~r + ~r1

Así:

~r1 = ~r0 −M2

(M1 +M2)~r = ~r0 −µ

M1~r; ~r2 = ~r0 + M1

(M1 +M2)~r = ~r0 + µ

M2~r

donde µ = M1M2(M1+M2) .

(ii) TrayectoriasVolvemos a las fuerzas: si se supone que ~r0 = 0, tenemos, con las relaciones anteriores:

~r1 = − µ

M1~r = −GM2

~rr3

~r2 = µM2~r = +GM1

~rr3

3

i.e µ~r = GM1M2

~rr3

µ~r = +GM1M2~rr3

Si notamos el vector unitario ~ur = ~r||~r|| , llegamos a la ecuación del movimiento siguiente,

o Problema de Kepler:

µ~r = F (r) ~ur; F (r) = GM1M2r2

Así solamente tenemos que estudiar el movimiento de la partícula ficticía (~r, µ)

(iii) Momento cinético: ley de las áreasCon las relaciones anteriores:

~L = ~r ∧ (F (r) ~ur) = 0

i.e el momento angular ~L = ~r ∧ µ~r = ~r ∧ µ~v es constante.

Consecuencia: Ya que ~r y ~r son perpendiculares a ~L, el movimiento está contenidoen el plano normal al vector ~L, conteniendo el baricentro.

Fijamos un sistema de coordenadas cilíndricas (O, ~ur, ~uθ, ~uz) , con ~uz paralelo a ~L. Así:

~r = r ~ur; ~v = ~r ~ur + rθ ~uθ; ~L = µr2θ ~uz

Y: r2θ = Lµ

Se considera la área A descrito por el radio vector durante dt, obtenemos la ley de lasáreas de Kepler:

dA

dt= 1

2r2θ = 1

2L

µ= cste

El vector posición de cualquiera planeta respecto del Sol barre áreas iguales en tiemposiguales.

(iv) Energía y solución del problema

Hemos considerado que la fuerza F (r) es una fuerza conservativa: ~F (r) = −dEp

dt ~ur.En ese caso: E = Ec + Ep = const.

E = 12µr

2 + Veff (r)

donde Veff (r) = L2

2µr2 + Ep(r) es la energía potencial efectiva.Y donde la fuerza gravitacional es la siguiente: Ep(r) = −GM1M2

r = −GµMr , con M =

M1 +M2.

Veff (r) = L2

2µr2 −GµM

r

4

Dado que:r = dr

dθ

dθ

dt= dr

dθ

L

µr2

tenemos:E = 1

2µ(drdθ

)2 L2

µ2r4 + Veff (r)

Así :(drdθ

)2 = 2µr4

L2 (E − Veff (r)) (∗)

Vamos a hacer el cambio de variable u = 1r . De esa manera se obtiene:

dr

dθ= dr

du

du

dθ= − 1

u2du

dθ

Por otro lado (∗) se cambia en:

1u4 (du

dθ)2 = 2µ

u4L2 (E − L2u2

2µ +GuMµ)

(dudθ

)2 = 2µEL2 + 2Gµ2M

L2 u− u2

Para simplificar, utilizaremos A = 2µEL2 y B = Gµ2M

L2 .

Lo que resulta es:du

dθ= ±

√A+ 2Bu− u2

du√A+ 2Bu− u2

= ±dθ

los signos + y − correspondiendo a las mitades de la órbita.

Además, dado que:d

dxarc cos(x− a

b) = − 1√

b2 − (x− a)2

y que √A+ 2Bu− u2 =

√A+B2 − (B − u)2

∫du√

A+ 2Bu− u2=∫dθ

1√A+ 2Bu− u2

= d

du[− arc cos( u−B√

A+B2)],

resultadarc cos( u−B√

A+B2) = ±(θ − θ0)

u−B√A+B2

= cos(θ − θ0)

5

u = B +√A+B2 cos(θ − θ0)

Reemplazando las expresiones de A y B:

u = Gµ2M

L2 (1 +√

1 + 2EL2

G2µ3M2 cos(θ − θ0))

Utilizando el hecho de que r = 1u , tenemos finalmente:

(∗∗) r = p

1 + e cos(θ − θ0)donde

e =√

1 + 2EL2

G2µ3M2 es a exentricidad y p = L2

Gµ2M

(v) Interpretación(∗∗) es la ecuación de una cónica :

Valores de la energía E Exentricidad e TrayectoriaEc = − 1

2L2 e = 0 CircularEc < E < 0 0 < e < 1 ElípticaE = 0 e = 1 ParabólicaE > 0 e > 1 Hiperbólica

(vi) Tercera ley de Kepler, conclusionesDe esos resultados se puede encontrar la tercera ley de Kepler, o ley de los periodos.Si a representa el semieje mayor y b = a

√1− e2 el semieje menor, tenemos:

a = p

1− e2 , b = p

(1− e2)32

1− e2 = 2EL2

G2µ3M2 , |E| = µGM

2a

Como que el área de la elipse es A = πab, y ddtA = L

2 , llegamos al periodo:

T = 2Ar2θ

= 2AµL

= µ2πabL

Y:T 2 = 4π2a4(1− e2)µ2

L2 = 4π2a4(1− e2)µ2

GMaµ2(1− e2) = 4π2a3

GM

Podemos escribir la tercera ley de Kepler así:

n2a3 = GM

donde n = 2πT es el movimiento medio.

6

Conclusiones: En el caso del movimiento circular, el semieje mayor es a = R, y elmovimiento medio es la velocidad angular ω = dθ

dt , que es constante.

Ya que tenemos las bases del movimiento de los primarios, vamos a estudiar el problemacircular y plano de tres cuerpos restringido . Analiza el movimiento de un tercer cuerpo,de masa m3, bajo la atracción gravitacional de los primarios. Se supone además que eltercer cuerpo se mueve sin perturbar las órbitas circulares de los primarios, y se quedaen el mismo plano que ellos.

1.2.1. Unidades e hipótesis

Se puede notar que sería mas fácil utilizar variables sin dimensiones para obtener valoresunitarias en el problema. Con la tercera ley de Kepler n2a3 = GM , podemos observar quesi GM y a están dados en fin de que las unidades de masa y de longitud sean unitarias,encontraremos una unidad de tiempo (dada por n) que sera unitaria. Dadas dos unidades (demasa, de tiempo o de longitud), se puede encontrar una tercera unidad.

a = 1T = 2π, n = 1

G(M1 +M2) = m1 +m2 = 1

Donde a será en metros, T en segundos, (n = 2πT s−1), y la unidad de masa sería de n2a3

Gkg. En el caso del sistema Sol-Júpiter : la distancia - en metros- entre el Sol y Júpiter, que puede serconsiderada como constante, a = 778547200km será utilizada como distancia de referencia: la unidadastronómica. La unidad de tiempo será el periodo de Júpiter, T = 11,86 años en segundos, y la unidadde masa, la masa del Sol n

2a3

G = 4π2a3

T 2 = 1, 988 · 1030 kg

Cuando se utilizan esas unidades sin dimensiones, las masas de los primarios están consideradas comom1 = 1−m y m2 = m, con 0 ≤ m ≤ 1. Además, la distancia entre m1 y m2 será 1, como el momentoangular.

NB: El movimiento del tercer cuerpo será el de un cuerpo bajo un potencial gravita-cional:

V = −1−mR1(t) −

m

R2(t)donde R1(t) y R2(t) son las distancias desde el tercer cuerpo hasta, respectivamente, elprimario y secundario.

1.2.2. Formulación hamiltonianaVamos a encontrar las ecuaciones del movimiento del problema de tres cuerpos, en sistemas de

coordenadas diferentes. Para eso, se tiene que utilizar la formulación hamiltoniana. Tenemos que verlas ecuaciones diferenciales como flujos hamiltonianos, con funciones hamiltonianas diferentes. (Aquí,las componentes de las variables de posiciones y momentos, Px, Py, Qx, Qy...).

Definición 1 El flujo hamiltoniano asociado a la función hamiltoniana H(P,Q,t) que depende de lasposiciones Q, los momentos conjugados P , y eventualmente del tiempo t, es descrito por el sistema deprimer orden:

∂Q

∂t= ∂H

∂P,∂P

∂t= −∂H

∂Q

Las transformaciones entre los sistemas hamiltonianos diferentes son efectuadas vía el uso de fun-ciones generadoras.

7

Definición 2 Dado un hamiltoniano H(Q,P,t) función de las posiciones Q y de los momentos P, cadatransformación de las posiciones q = q(Q, t) deben estar vista como transformaciones canónicasentre las posiciones y los momentos originales y transformados, vía la función generadora:

W (Q, p, t) = q(Q, t) · p

donde · representa el producto escalar.

Además podemos encontrar la función hamiltoniana transformada h(q, p, t), añadiendo eventual-mente un término dependiente del tiempo.

h(q, p, t) = H(Q(q, t), P (q, p, t), t) + ∂W (Q, p, t)∂t

Así se encuentra el momento transformado cambiando la expresión lineal del momento P con respectoal momento transformado p:

P = ∂W (Q, p, t)∂Q

Por fin, tenemos el flujo hamiltoniano, o las ecuaciones hamiltonianas transformadas

q = ∂h

∂pp = −∂h

∂q

1.3. Puntos de vista diferentesVamos a estudiar el movimiento del tercer cuerpo con diferentes puntos de vista, es decir, con

diferentes sistemas de coordenadas.Consideramos que el primario tiene masa 1 −m, y el secundario masa m. También se considera queel primario y el secundario están separados por una distancia unitaria, y que se mueven según órbitascirculares con centro en el baricentro.

1.3.1. Sistemas de coordenadas siderales(i) En primer lugar, supongamos que el primario esta inicialmente (t = 0) posicionado en (m, 0) y

el secundario en (m− 1, 0). Así el baricentro estará fijado en 0, y las posiciones Z(1)1 (t), Z(0)

2 (t)estarán rotando con un ángulo t en el tiempo t:

Z(0)1 (t) = (m cos(t),m sin(t)) Z

(0)2 (t) = ((m− 1) cos(t), (m− 1) sin(t));

(ii) Después, vamos a fijar el origen en la posición del primario, con una translación dependiente deltiempo t. Así el secundario se moverá según una órbita circular, con centro en el primario, y deradio 1.

Z(1)1 (t) = 0 Z

(1)2 (t) = −(cos(t), sin(t))

(iii) Por fin, vamos a fijar el origen en la posición del secundario, de una manera análoga. Así elprimario se moverá según una órbita circular con centro en el secundario, de radio 1 :

Z(2)1 (t) = (cos(t), sin(t)) Z

(2)1 (t) = 0

Hablamos de esas coordenadas como de coordenadas siderales. Solamente el sistema de coordena-das baricéntrico sidéreo es un sistema inercial.

(i) Coordenadas siderales baricéntricas y cartesianas

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En este caso, tenemos la función hamiltoniana no autónoma siguiente:

H(X,Y, pX , pY ; t) = 12(p2

X + p2Y ) + V (X,Y, t)

donde el potencial gravitacional es:

V (X,Y, t) = −(1−m) 1R1(t) −m

1R2(t)

y donde R1, R2 son las distancias al primario y al secundario respectivamente.

R21 = (X −m cos(t))2 + (Y −m sin(t))2

R22 = (X − (m− 1) cos(t))2 + (Y − (m− 1) sin(t))2

Así las ecuaciones hamiltonianas del movimiento del tercer cuerpo son:

X = pX , ˙pX = −(1−m)X −m cos(t)R1(t)3 −mX − (m− 1) cos(t)

R32(t)

Y = pY , ˙pY = −(1−m)Y −m sin(t)R1(t)3 −mY − (1−m) sin(t)

R2(t)3

(ii) Coordenadas siderales baricéntricas y polares

Tenemos el cambio muy conocido en coordenadas polares:

R =√X2 + Y 2 Θ = arctan(Y

X)

Utilizamos la función generadora siguiente:

W (X,Y, pR, pΘ) =√X2 + Y 2pR + arctan(Y

X)pΘ

De la misma manera tenemos las relaciones entre los momentos cartesianos y polares:

pX = ∂W

∂X= X

RpR −

Y

RpΘ = pR cos Θ− pΘ

Rsin Θ

pY = ∂W

∂Y= Y

RpR + X

RpΘ = pR sin Θ + pΘ

Rcos Θ

Así tenemos la función hamiltoniana no autónoma:

H(R,Θ, pR, pΘ, t) = 12(p2

R + p2ΘR2 ) + V (R,Θ, t),


V (R,Θ, t) = −(1−m) 1R1(t) −m

1R2(t)

R21 = R2 − 2mR cos(Θ− t) +m2

R22 = R2 − 2(m− 1)R cos(Θ− t) + (m− 1)2

Entonces las ecuaciones hamiltonianas del movimiento del tercer cuerpo serán:

R = ∂H

∂pR= pR

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Θ = ∂H

∂pΘ= pΘ

R2

˙pR = −∂H∂R

= p2ΘR3 − (1−m)R−m cos(Θ− t)

R1(t)3 −mR− (m− 1) cos(Θ− t)R2(t)3

˙pΘ = −∂H∂Θ = −m(1−m)R sin(Θ− t)( 1

R1(t)3 + 1R2(t)3 )

(iii) Coordenadas siderales primaricentricas y cartesianas

Vamos a hacer una translación desde el centro de masas hasta el primario.

X1 = X −m cos(t), Y1 = Y −m sin(t)

Con el uso de la función generadora siguiente:

W (X,Y, pX1 , pY 1, t) = (X −m cos(t))pX1 + (Y −m sin(t))pY1

Así tenemos los mismos momentos cartesianos:

pX = ∂W (X,Y, pX1 , pY1 , t)∂X

= pX1 , pY = ∂W (X,Y, pX1 , pY1 , t)∂Y

= pY1

En ese caso tenemos un término de más en la función hamiltoniana:

∂W (X,Y, pX1 , pY1 , t)∂t

= −m(pY1 cos(t)− pX1 sin(t))

En consecuencia la expresión de la función hamiltoniana no autónoma es la siguiente:

H(X,Y, pX1 , pY1 , t) = 12(p2

X1+ p2

Y1)−m(pY1 cos(t)− pX1 sin(t)) + V (X1, Y1, t),

donde el potencial gravitacional es

V (X1, Y1, t) = −(1−m) 1R1−m 1

R2(t)

R21 = X2

1 + Y 21 , R2(t)2 = (X1 + cos(t))2 + (Y1 + sin(t))2.

Con eso llegamos a las nuevas ecuaciones hamiltonianas del movimiento del tercer cuerpo:

X1 = ∂H

∂pX1

= pX1 +m sin(t), Y1 = ∂H

∂pY1

= pY1 −m cos(t)

˙pX1 = − ∂H

∂X1= −(1−m)X1

R31−mX1 + cos(t)

R2(t)3 , ˙pY1 = − ∂H∂Y1

= −(1−m) Y1

R31−mY1 + sin(t)

R2(t)3

(iv) Coordenadas siderales primaricentricas y polares

El cambio a las coordenadas polares

R1 =√X2

1 + Y 21 , Θ1 = arctan( Y1

X1

se efectua vía el uso de la función generadora :

W (X1, Y1, pR1 , pΘ1) =√X2

1 + Y 21 pR1 + arctan( Y1

X1)pΘ1

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Así tenemos las relaciones entre los momentos cartesianos y polares:

pX1 = pR1 cos Θ1 −pΘ1

R1sin Θ1, pY1 = pR1 sin Θ1 + pΘ1

R1cos Θ1

Y la función hamiltoniana no autónoma:

H(R1,Θ1, pR1 , pΘ1 , t) = 12(p2

R1+ p2

Θ1)−m(pR1 sin(Θ1 − t) + pΘ1

R1cos(Θ1 − t)) + V (R1,Θ1, t),

donde el potencial esV (R1,Θ1, t) = −(1−m) 1

R1−m 1

R2(t) ,

yR2(t)2 = R2

1 + 2R1 cos(Θ1 − t) + 1

De la misma manera que en los otros sistemas de coordenadas, encontramos las ecuacioneshamiltonianas del movimiento del tercer cuerpo:

R1 = pR1 −m sin(Θ1 − t)

Θ1 = pΘ1

R21−m 1

R1cos(Θ1 − t)

˙pR1 = pΘ1

R31−mpΘ1

R21

cos(Θ1 − t)− (1−m) 1R2

1−mR1 + cos(Θ1 − t)

R2(t)3

˙pΘ1 = m(pR1 cos(Θ1 − t)−pΘ1

R1sin(Θ1 − t)) +m

R1 sin(Θ1 − t)R2(t)3

(v) Coordenadas siderales secundaricentricas y cartesianas

La translación desde el centro de masas hasta el secundario.

X2 = X − (m− 1) cos(t), Y2 = Y − (m− 1) sin(t)

Con el uso de la función generadora siguiente:

W (X,Y, pX2 , pY 2, t) = (X − (m− 1) cos(t))pX2 + (Y − (m− 1) sin(t))pY2

Tenemos los mismos momentos cartesianos:

pX = ∂W (X,Y, pX2 , pY2 , t)∂X

= pX2 , pY = ∂W (X,Y, pX2 , pY2 , t)∂Y

= pY2

En ese caso tenemos un término de mas en la función hamiltoniana:

∂W (X,Y, pX2 , pY2 , t)∂t

= −(m− 1)(pY2 cos(t)− pX2 sin(t))

En consecuencia la expresión de la función hamiltoniana no autónoma es la siguiente:

H(X,Y, pX2 , pY2 , t) = 12(p2

X2+ p2

Y2)− (m− 1)(pY2 cos(t)− pX2 sin(t)) + V (X2, Y2, t),

donde el potencial gravitacional es

V (X2, Y2, t) = −(1−m) 1R1(t) −m

1R2

R1(t)2 = (X2 − cos(t))2 + (Y2 − sin(t))2, R22 = X2

2 + Y 22 .

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Con eso llegamos a las nuevas ecuaciones hamiltonianas del movimiento del tercer cuerpo:

X2 = pX2 + (m− 1) sin(t), Y2 = pY2 − (m− 1) cos(t)

˙pX2 = −(1−m)X2 − cos(t)R1(t)3 +m

X2

R32, ˙pY2 = −(1−m)Y2 − sin(t)

R1(t)3 +mY2

R32

(vi) Coordenadas siderales secundaricentricas y polares

El cambio a las coordenadas polares

R2 =√X2

2 + Y 22 , Θ2 = arctan( Y2

X2)

es efectuado vía el uso de la función generadora :

W (X2, Y2, pR2 , pΘ2) =√X2

2 + Y 22 pR2 + arctan( Y2

X2)pΘ2


pX2 = pR2 cos Θ2 −pΘ2

R2sin Θ2, pY2 = pR2 sin Θ2 + pΘ2

R2cos Θ2


H(R2,Θ2, pR2 , pΘ2 , t) = 12(p2

R2+p2

Θ2)−(m−1)(pR2 sin(Θ2−t)+ pΘ2

R2cos(Θ2−t))+V (R2,Θ2, t),

donde el potencial esV (R2,Θ2, t) = −(1−m) 1

R1(t) −m1R2

,

yR1(t)2 = R2

2 − 2R2 cos(Θ2 − t) + 1

De la misma manera que en los otros sistemas de coordenadas, encontramos las ecuacioneshamiltonianas del movimiento del tercer cuerpo:

R2 = pR2 − (m− 1) sin(Θ2 − t)

Θ2 = pΘ2

R22− (m− 1) 1

R2cos(Θ2 − t)

˙pR2 =p2

Θ2

R32− (m− 1)pΘ2

R22

cos(Θ2 − t)−m1R2

2− (1−m)R2 − cos(Θ2 − t)

R1(t)3

˙pΘ2 = (m− 1)(pR2 cos(Θ2 − t)−pΘ2

R2sin(Θ2 − t))− (1−m)R2 sin(Θ2 − t)

R1(t)3

12

1.3.2. Sistemas de coordenadas sinódicasCuando se utilizan los sistemas de coordenadas siderales, el primario y/o el secundario se mueven

según órbitas circulares centradas en el origen. Con el fin de fijar las posiciones de los primarios, utili-zaremos sistemas de coordenadas fijados a la línea que pasa por los dos cuerpos. Ese tipo de sistemasse llama sistema sinódicos.De la misma manera que en la parte 1.3.1, vamos a fijar el origen en el centro de masas primero en elprimario y después en el secundario.

Utilizaremos la matriz de rotación

Rφ =(

cosφ − sinφsinφ cosφ

)para diferentes valores de φ en las secciones siguientes:

(i) Coordenadas sinódicas baricéntricas cartesianas

El cambio de coordenadas desde las coordenadas baricéntricas siderales a las sinódicas se hacecon una rotación R−t de ángulo −t fijando los primarios a sus posiciones iniciales (m, 0) y(m− 1, 0):

x = X cos(t) + Y sin(t), y = −X sin(t) + Y cos(t)

La función generadora correspondiente es:

W (X,Y, px, py) = (X cos(t) + Y sin(t))px + (−X sin(t) + Y cos(t))py,

Así tenemos las relaciones entre los momentos siderales y sinódicos:

pX = ∂W (X,Y, px, py)∂X

= px cos(t)−py sin(t), pY = ∂W (X,Y, px, py)∂Y

= px sin(t)+py cos(t).

El término adicional en la función hamiltoniana es∂W (X,Y, px, py)

∂t= (−X sin(t) + Y cos(t))px − (X cos(t) + Y sin(t))py = ypx − xpy.

Así tenemos una función hamiltoniana no autónoma:

H(x, y, px, py) = 12(p2

x + p2y)− (xpy − ypx) + V (x, y, ),


V (x, y) = −(1−m) 1r1−m 1

r2,

r21 = (x−m)2 + y2 r2

2 = (x−m+ 1)2 + y2

De la misma manera que en las secciones anteriores, tenemos las ecuaciones hamiltonianas delmovimiento del tercer cuerpo:

x = px + y y = py − x

px = py − (1−m)x−mr31−mx−m+ 1

r32

py = −px − (1−m) yr31−m y

r32

o

x = 2y + x− (1−m)x−mr31−mx−m+ 1

r32

,

y = −2x+ y − (1−m) yr31−m y

r32

donde los últimos miembros de las igualdades representan las componentes cartesianas de lafuerza gravitacional, y los términos (2y,−2x) y (−x,−y) las componentes cartesianas de lasfuerzas no inerciales de Coriolis y centrífuga.

13

(ii) Coordenadas sinódicas baricentricas y polares

El cambio desde coordenadas cartesianas a polares es:

r = r(x, y) =√x2 + y2, θ = θ(x, y) = arctan(y

x)


W (x, y, pr, pθ) = r(x, y)pr + θ(x, y)pθ =√x2 + y2pr + arctan(y

x)pθ,


px = x

rpr −

y

r2 pθ, py = y

r+ x

r2 pθ.


H(r, θ, pr, pθ) = 12(p2

r + p2θ)− pθ + V (r, θ),


V (r, θ) = −(1−m) 1r1−m 1

r2,

r21 = r2 − 2mr cos θ +m2 r2

2 = r2 − 2(m− 1)r cos θ + (m− 1)2

Tenemos las ecuaciones hamiltonianas del movimiento del tercer cuerpo:

r = pr θ = pθr2 − 1

pr = p2θ

r3 − (1−m)r −m cos θr31

−mr − (m− 1) cos θr32

pθ = m(1−m) sin θ( 1r31− 1r32

)

(iii) Coordenadas sinódicas primaricentricas y cartesianas

Las coordenadas de translación hasta el primario son:

x1 = x−m y1 = y

Como en 1.3.1.(iii), tenemos los mismos momentos:

px1 = px, py1 = py.


H(x1, y1, px1 , py1) = 12(p2

x1+ p2

y1)− ((x1 +m)py1 − y1px1) + V (x1, y1),


V (x1, y1) = −(1−m) 1r1−m 1

r2,

r21 = x2

1 + y21 , r2

2 = (x1 + 1)2 + y21


x1 = px1 + y1 y1 = py1 − x1 −m

˙px1 = py1 − (1−m)x1

r31−mx1 + 1

r32

˙py1 = −px1 − (1−m)y1

r31−my1

r32

14

(iv) Coordenadas sinódicas primaricentricas y polares


r1 =√x2

1 + y21 , θ1 = arctan( y1

x1)


W (x1, y1, pr1 , pθ1) =√x2

1 + y21pr1 + arctan( y1

x1)pθ1 ,


px1 = x1

r1pr1 −

y1

r21pθ1 = cos θ1pr1 −

sin θ1

r1pθ1 , py1 = y1

r1pr1 + x1

r21pθ1 = sin θ1pr1 + cos θ1

r1pθ1 .


H(r1, θ1, pr1 , pθ1) = 12(p2

r1 + p2θ1)− pθ1 −m(sin θ1pr1 + cos θ1

r1pθ1) + V (r1, θ1),


V (r1, θ1) = −(1−m) 1r1−m 1

r2,

r22 = r2

1 + 2r1 cos θ1 + 1


r1 = pr1 −m sin θ1 θ1 = pθ1r21− 1−mcos θ1

r1

˙pr1 =p2θ1

r31−mcos θ1

r21

pθ1−(1−m) 1r21−mr1 + cos θ1

r32

˙pθ1 = m(cos θ1pr1−sin θ1

r1pθ1)+mr1 sin θ1

r32

(v) Coordenadas sinódicas secundaricentricas y cartesianas

Las coordenadas de translación hasta el secundario son:

x2 = x−m+ 1 y2 = y

Como en 1.3.1.(iii), tenemos los mismos momentos:

px2 = px, py2 = py.


H(x2, y2, px2 , py2) = 12(p2

x2+ p2

y2)− ((x2 +m− 1)py2 − y2px2) + V (x2, y2),


V (x2, y2) = −(1−m) 1r1−m 1

r2,

r21 = (x2 − 1)2 + y2

2 , r22 = x2

2 + y22


x2 = px2 + y2 y2 = py2 − x2 − (m− 1)

˙px2 = py2 − (1−m)x2

r31−mx2 − 1

r32

˙py2 = −px2 − (1−m)y2

r31−my2

r32

15

(vi) Coordenadas sinódicas secundaricentricas y polares


r2 =√x2

2 + y22 , θ2 = arctan( y2

x2)


W (x2, y2, pr2 , pθ2) =√x2

2 + y22pr2 + arctan( y2

x2)pθ2 ,


px2 = x2

r2pr2 −

y2

r22pθ2 = cos θ2pr2 −

pθ2r2

sin θ2, py2 = y2

r2pr2 + x2

r22pθ2 = sin θ2pr2 + pθ2

r2cos θ2.

Y la hamiltoniana no autónoma:

H(r2, θ2, pr2 , pθ2) = 12(p2

r2 +p2θ2

r22

)− pθ2 − (m− 1)(sin θ2pr2 + cos θ2

r2pθ2) + V (r2, θ2),


V (r2, θ2) = −(1−m) 1r1−m 1

r2,

r21 = r2

2 − 2r2 cos θ2 + 1


r2 = pr2 − (m− 1) sin θ2 θ2 = pθ2r22− 1− (m− 1)cos θ2

r2

˙pr2 =p2θ2

r32−(m−1)cos θ2

r22

pθ2−m1r22−(1−m)r2 − cos θ2

r31

˙pθ2 = (m−1)(cos θ2pr2−sin θ2

r2pθ2)−(1−m)r2 sin θ2

r31

1.3.3. Relaciones entre la magnitudes(i) Posiciones cartesianas siderales y sinódicas Todas las coordenadas de posición cartesia-

nas siderales y sinódicas están en relación vía una rotación de ángulo t. La translación entrelos centros diferentes es una función del tiempo en los sistemas siderales y es constante en lossistemas siderales:

(XY

)=(X1 +m cos(t)Y1 +m sin(t)

)=(X2 + (m1) cos(t)Y2 + (m− 1) sin(t)

)(xy

)=(x1 +my

)=(x2 + (m− 1)

y2

)(XY

)= Rt

(xy

),

(X1Y1

)= Rt

(x1y1

),

(X2Y2

)= Rt

(x2y2

)(ii) Posiciones polares siderales y sinódicas

Los radios son los mismos:R = r, R1 = r1, R2 = r2

16

Y los ángulos siderales y sinódicos están relacionados mediante la adición del tiempo t al ángulosinódico correspondiente:

Θ = θ + t, Θ1 = θ1 + t, Θ2 = θ2 + t :(XY

)=(R cos ΘR sin Θ

)= Rt

(xy

)= Rt

(r cos θr sin θ

)=(r cos(θ + t)r sin(θ + t)

)(X1 +m cos(t)Y1 +m sin(t)

)=(R1 cos Θ1 +m cos(t)R1 sin Θ1 +m sin(t)

)= Rt

(x1 +my1

)= Rt

(r1 cos θ1 +mr1 sin θ1

)=(r1 cos(θ1 + t) +m cos(t)r1 sin(θ1 + t) +m sin(t)

)(X2 + (m− 1) cos(t)Y2 + (m− 1) sin(t)

)=(R2 cos Θ2 + (m− 1) cos(t)R2 sin Θ2 + (m− 1) sin(t)

)= Rt

(x2 +m− 1

y2

)= Rt

(r2 cos θ2 + (m− 1)

r2 sin θ2

)=(r2 cos(θ2 + t) + (m− 1) cos(t)r2 sin(θ2 + t) + (m− 1) sin(t)

)(iii) Momentos y velocidades cartesianas siderales y sinódicas

Todos los momentos siderales cartesianos con centros diferentes son iguales y corresponden a lavelocidad cartesiana sideral del centro de masas. Las velocidades del primario y del secundarioson puestas en relación con la velocidad baricéntrica adicionando un término :(

pXpY

)=(pX1

pY1

)=(pX2

pY2

)=(XY

)=(X1 −msin(t)Y1 +m cos(t)

)=(X2 − (m− 1) sin(t)Y2 + (m− 1) cos(t)

)Todos los momentos sidéricos cartesianos con centros diferentes son iguales y corresponden a lavelocidad cartesiana sinódica del centro de masas. Las velocidades del primario y del secundarioestán en relación con la velocidad baricéntrica adicionando un término:(

pxpy

)=(px1

py1

)=(px2

py2

)=(xy

)=(x1 −my1

)=(x2 − (m− 1)

y2

)Los momentos cartesianos siderales están en relación con los momentos cartesianos sinódicos víauna rotación de ángulo t: (

pXpY

)= Rt

(pxpy

)(iv) Momentos y velocidades polares siderales y sinódicos

Las relaciones entre los momentos y velocidades están desarolladas para los diferentes sistemas:

a) Sistema baricéntrico: (pRpΘR

)=(RRΘ

)= R−Θ

(pXpY

)(prpθr

)=(

r

rθ + r

)= R−θ

(pxpy

)= R−(θ+t)

(pXpY

)b) Sistema primaricéntrico:(

pR1pΘ1R1

)=(

R1 +m sin(Θ1 − t)R1Θ1 +m cos(Θ1 − t)

)= R−Θ1

(pX1

pY1

)= R−Θ1

(pXpY

)(pr1pθ1r1

)=(

r1 +m sin θ1r1θ1 + r1 +m cos θ1

)= R−θ1

(px1

py1

)= R−(θ1+t)

(pXpY

)

17

c) Sistema secundaricéntrico:(pR2pΘ2R2

)=(

R2 + (m− 1) sin(Θ2 − t)R2Θ2 + (m− 1) cos(Θ2 − t)

)= R−Θ2

(pX2

pY2

)= R−Θ2

(pXpY

)(pr2pθ2r2

)=(

r2 + (m− 1) sin θ2r2θ2 + r2 + (m− 1) cos θ2

)= R−θ2

(px2

py2

)= R−(θ2+t)

(pXpY

)Utilizando las relaciones en las coordenadas de posiciones, uno puede observar que el radioy el momento angular son los mismos en ambos sistemas siderales y sinódicos, en cadasistema.

pR = pr, pΘ = pθ; pR1 = pr1 , pΘ1 = pθ1 , pR2 = pr2 , pΘ2 = pθ2

La velocidad radial baricéntrica en ambos sistemas siderales y sinódicos baricéntricos coin-cidan con el momento radial. El momento sideral baricéntrico es R2 por la velocidad angularsideral Θ.La relación entre ellos en los sistemas centrados diferentes es la siguiente:

rpr = r1pr1 +m(cos θ1pr1 + sin θ1

r1pθ1) = r2pr2 + (m− 1)(cos θ2pr2 + sin θ2

r2pθ2);

pθ = pθ1 +m(sin θ1pr1 + cos θ1

r1pθ1) = pθ2 + (m− 1)(sin θ2pr2 + cos θ2

r2pθ2)

2. Regiones de Hill y órbitas2.1. Energías y momentos - Integral de Jacobi

La energía sideral total E es la suma de la energía cinética sideral T y de la energía potencial V:

E = T + V

Se puede ver que la energía sideral cinética es:

T = 12(p2

X + p2Y ) = 1

2(p2X1

+ p2Y1

) = 12(p2

X2+ p2

Y2).

= 12(p2

R + pΘ

R

2) = 1

2(p2R1

+ pΘ1

R1

2) = 1

2(p2R2

+ pΘ2

R2

2).

= 12(p2

x + p2y) = 1

2(p2x1

+ p2y1

) = 12(p2

x2+ p2

y2)

= 12(p2

r + pθr

2) = 1

2(p2r1 + pθ1

r1

2) = 1

2(p2r2 + pθ2

r2

2).

El momento angular sideral K está expresado en coordenadas siderales cartesiana y polares y encoordenadas sinódicas canónicas con centros diferentes:

K = XpY − Y pX = pΘ

K = xpy − ypx = (x1 +m)py1 − y1px1 = (x2 +m− 1)py2 − y2px2 ,

K = pθ = pθ1 +m(sin θ1pr1 + cos θ1

r1pθ1) = pθ2 + (m− 1)(sin θ2pr2 + cos θ2

r2pθ2)

La función hamiltoniana H en coordenadas sinódicas es la diferencia entre la energía sideral y elmomento angular sideral baricéntrico. Como que H es independiente del tiempo, entonces esa función

18

hamiltoniana es una integral primera asociada al sistema de ecuaciones diferenciales hamiltoniano. Laintegral de Jacobi o la constante de Jacobi está definida por C = −2H, ie:

2(K − E) = 2(K − T − V ) = C

C se mantiene constante en las órbitas del flujo hamiltoniano sinódico.

La hipersuperficie IC en el espacio de fases, formada por los estados del sistema con el mismo valorde C son invariantes. El estudio del problema puede restringirse a cada de esas hipersuperficies.

Vamos a encontrar diferentes consecuencias de la existencia de una integral primera como la cons-tante de Jacobi.

En primer lugar, la existencia (y estabilidad lineal) de algunos puntos de equilibrio es desarrolladopara diferentes valores de la razón de masas y de la constante de Jacobi. Se describirá un métodosencillo para calcularlos.

Después, vamos a encontrar las zonas restringidas del movimiento, caracterizadas por las zonas develocidad zero (ZVC por Zero-velocity curves). Un método para dibujar esas curvas para cada valorde C será descrito.

Finalmente, describiremos de manera cualitativa las diferentes regiones de movimiento, para lo cualhay que tener en cuenta de los valores de la integral de Jacobi en los puntos de equilibrio.

2.2. Puntos de equilibrio lagrangianosEl campo hamiltoniano se anula en los puntos de equilibrio, llamado puntos lagrangianos:

x− (1−m)x−mr31−mx−m+ 1

r32

= 0

y − (1−m) yr31−m y

r32

= 0.

Esas ecuaciones de equilibrio corresponden a la condición de que la fuerza de atracción gravita-cional esté compensada por la fuerza centrífuga (x, y) creada por la rotation de ángulo 1 del sistemasinódico, con respecto al sistema inercial.

Podemos encontrar tres puntos lagrangiano de equilibrio en el eje x: L1, L2 y L3 con las ecuacionessiguientes:

x− (1−m)σ(x−m)(x−m)2 −m

σ(x−m+ 1)(x−m+ 1)2 = 0

x(x−m)2(x−m+ 1)2 − (1−m)σ(x−m)(x−m+ 1)2 −mσ(x−m+ 1)(x−m)2 = 0

donde σ es la función signo. Esos tres puntos están dispuesto de la manera siguiente sobre el x-ejes:

- L1 entre el secundario y el primario, donde el primer signo es negativo y el segundo positivo.

- L2 está más allía del secundario, donde ambos signos son negativos.

- L3 está más allía del primario, donde ambos signos son positivos.

Cada de esas ecuaciones polinomiales se puede resolver con métodos numéricos con aproximacionesiniciales adecuadas. Utilizando a = x−m, llegamos a nuevas ecuaciones equivalentes:

(a+m)a2(a+ 1)2 − (1−m)σ(a)(a+ 1)2 −mσ(a+ 1)a2 = 0

Y, para los diferentes casos:

19

- L1 = (a1 +m, 0) (−1 < a1 < 0) (a1 +m)a21(a1 + 1)2 + (1−m)(a1 + 1)2 −ma2

1 = 0

- L2 = (a2 +m, 0) (a2 < −1) (a2 +m)a22(a2 + 1)2 + (1−m)(a2 + 1)2 +ma2

2 = 0

- L3 = (a3 +m, 0) (0 < a3) (a3 +m)a23(a3 + 1)2 − (1−m)(a3 + 1)2 −ma2

3 = 0

También hay dos puntos lagrangianos mas L4, L5 formando triángulos equiláteros con el primarioy el secundario:

L4 = (m− 12 ,√

32 ), L5 = (m− 1

2 ,−√

32 )

2.3. Regiones de Hill y Curvas de velocidad zeroYa podemos escribir la integral de Jacobi en términos de posiciones y de velocidades, utilizando

las expresiones de los momentos:px = x− y, py = y + x

en la función hamiltoniana, y tenemos:

12(x2 + y2)− 1

2(x2 + y2) + V (x, y) = −C2i.e

x2 + y2 + (1−m) 2r1

+m2r2− x2 − y2 = C,

o(1−m)(r2

1 + 2r1

) +m(r22 + 2

r2−m(1−m)− x2 − y2 = C.

El movimiento esta restringido a la región de Hill definida por la ecuación siguiente:

r2 + (1−m) 2r1

+m2r2

= (1−m)(r21 + 2

r1) +m(r2

2 + 2r2

)−m(1−m) ≥ C

cuya frontera está delimitada por las curves de velocidad zero de ecuación:

r2 + (1−m) 2r1

+m2r2

= (1−m)(r21 + 2

r1) +m(r2

2 + 2r2

)−m(1−m) = 0

Las curvas de velocidad zero se pueden encontrar con un punto inicial con integración numéricadel sistema diferencial correspondiente según el arco parámetro s (método de Davidenko).Para ello, se tiene que derivar la expresión siguiente con respecto a s:

F (x(s), y(s)) = (1−m)(r1(s)2 + 2r1(s) ) +m(r2(s)2 + 2

r2(s) )−m(1−m)− C = 0

Derivando la función F tenemos:

Fx(x(s), y(s)) = ∂F

∂x= 2(1−m)(x−m)(1− 2

r31

) + 2m(x−m+ 1)(1− 1r32

)

Fy(x(s), y(s)) = ∂F

∂y= 2(1−m)y(1− 2

r31

) + 2my(1− 1r32

)

Y, ya que :

F (x, y) = 0 ~v =(dx/dsdy/ds

)~∇F =

(FxFy

)~∇F.~v = 0,

Y que la velocidad v es unitaria ||~v|| = 1: Fx(x(s), y(s))dxds + Fy(x(s), y(s))dyds = 0

((dxds )2 + (dyds )2) = 1

20

Entonces encontramos el sistema diferencial a integrar, dado que si dxds = −Fy, dy

ds = Fx odxds = Fy,

dyds = −Fx tenemos unas soluciones del sistema (Fx(−Fy) +Fy(Fx) = 0), podemos tomar

esas soluciones normalizados:dx

ds= Fy(x, y)√

(F 2x + F 2

y )(x, y)

dy

ds= − Fx(x, y)√

(F 2x + F 2

y )(x, y)

2.4. Descripción de las curvas de velocidad zeroPodemos considerar cada valor de C, pero las curvas de velocidad zero aparecen solamente para

valores de C mayores que la constante de Jacobi C45 = 3−m(1−m), entre dos puntos en L4 y L5 .

Con el programa descrito en el Anexo 1, podemos dibujar las curvas de velocidad zero para dife-rentes valores de C y de la masa m del tercer cuerpo. Las masas estarán descritas por puntos de colornegra, y los puntos de equilibrio por puntos de color amarilla.

Figura 1: Curvas de velocidad zero con masa m = 0,01 (izquierda ) y m = 0, 2 (derecha)

21

Figura 2: Curvas de velocidad zero con masa m = 0,33 (izquierda) , m = 0,48 (derecha)

- Para valores crecientes de C entre C45 y C3 las dos curvas de velocidad zero crecen separada-mente circundande L4 y L5, cerrando dos regiones prohibidas, con una simetría respecto al ejex, hasta que se tocan en el punto L3, en el eje x.

- Para valores crecientes de C entre C3 y C2, las curvas de velocidad zero siguen creciendo circun-dande una región prohibida que se pliega hasta que se tocan en el punto L2, en el eje x.

- Para valores crecientes de C entre C2 y C1, tenemos dos curvas de velocidad zero: una externa,que sigue creciendo y permite movimientos externos, y una dentro, que sigue reduciéndose ypermite el movimiento en una región que contiene ambos primario y secundario. Esta curvainterna se toca a sí misma en el punto L1 entre el primario y el secundario. Después forma unocho que sigue reduciéndose.

- Desde ese valor de C1, la curva de velocidad zero sigue creciendo y permite movimientos externos,y la curva interna dividida en dos partes solamente permite movimientos cerca cada primario.

NOTA: Se puede observar que, para valores minimales de m, tenemos movimientos cerca de unode los primarios solamente, y a que los dos cuerpos son de masa respectivamente m y 1−m. Por otrolado, para valores grandes (es decir, cerca de 0,5), tenemos una simetría con respecto al eje x.

2.5. El caso de m=0.Para m = 0, el problema se reduce a un problema de Kepler rotacional, donde la energía sideral

E = T + V y el momento angular sideral K son integrales primeras, y C = 2(K − E).Las ecuaciones del movimiento del tercer cuerpo con respecto al tiempo t son:

22

r = pr, θ = K

r2 − 1

pr = K2

r3 −1r, pθ = 0.

I.e, las ecuaciones de Kepler del movimiento con una velocidad adicional unitaria, negativa, en elángulo θ.Los conjuntos IE,K en el espacio de fases, formado por los estados del mismo valor de E de la energíatotal y del mismo valor K del momento angular sideral son invariantes.El estudio puede restringirse a cada de esos conjuntos.

3. Regularización de Levi-Civita del problema plano circularrestringido de tres cuerpos (1920)

3.1. Necesidad de regularizarCuando el tercer cuerpo está demasiado cerca de uno de los primarios, nuestro programa no puede

hacer la diferencia entre una colisión real y un movimiento muy cerca del primario o secundario. Así,tenemos que mejorar el programa, y utilizar un método mas preciso que lo de Runge-Kutta 4. Parahacerlo, vamos a utilizar la regularización de Levi-Civita . Esa regularización transforma ambostiempo y coordenadas del espacio de fases.

Esa regularización permite evitar las singularidades producidas por las colisiones en el sistema deecuaciones diferenciales hamiltoniano. Sin embargo, solo se puede tratar las singularidades separada-mente.

La transformación de las coordenadas consiste en utilizar una transformación de las coordenadascartesianas primaricéntricas o segundaricéntricas:

∀k ∈ 1, 2, (xk + yk) = (ξk + iηk)2

o utilizando coordenadas polares:

∀k ∈ 1, 2, rkeiθk = ρ2

ke2iνk

.La coordenada de tiempo t se cambia por un tiempo regularizado τ tal que:

∀k ∈ 1, 2, dt

dτ= 4rk = 4(ξ2

k + η2k)

Vamos a estudiar las dos colisiones posibles. En cada uno de esos casos, en coordenadas cartesianasy polares, encontraremos los momentos así como la función extendida hamiltoniana. Así tendremos lafunción hamiltoniana regularizada, y el sistema hamiltoniano de ecuaciones diferenciales regularizadodel movimiento del tercer cuerpo.La función hamiltoniana extendida se obtiene para cada nivel sinódico hamiltoniano H = −C2 , ypermite una transformación del tiempo regularizado:

H = dt

dτ(H − H)

H es el momento conjugado del tiempo t, y así tenemos los resultados de la transformación canónica.

3.2. Regularización de Levi-Civita de colisiónes con el primario3.2.1. Coordenadas regularizadas

(i) Coordenadas regularizadas cartesianas, sinódicas y primaricéntricas

23

El cambio de las coordenadas cartesianas primaricéntricas a las coordenadas regularizadas pri-maricéntricas es:

x1 + iy1 = (ξ21 + iη1)2 = (ξ2

1 − η21) + i(2ξ1η1)

Para eso utilizamos la función generadora:

W (x1, y1, pξ1 , pη1) = ξ1(x1, y1)pξ1 + η1(x1, y1)pη1

Así tenemos las reacciones entre los momentos cartesianos y los regularizados:

px1 = 12(ξ2

1 + η21) (ξ1pξ1 − η1pη1), py1 = 1

2(ξ21 + η2

1) (η1pξ1 + ξ1pη1)

pξ1 = 2(ξ1px1 + η1py1 , pη1 = 2(−η1px1 + η1py1)

Y la función hamiltoniana es:

H(ξ1, η1, pξ1 , pη1) = 18(ξ2

1 + η21) (p2

ξ1 + p2η1

)− 12(ξ1pη1 − η1pξ1)−m 1

2(ξ21 + η2

1) (η1pξ1 + ξ1pη1)

−(1−m) 1(ξ2

1 + η21) −m

1√(ξ2

1 + η21)2 + 2(ξ2

1 − η21) + 1

El uso del tiempo regularizado τ :dt

dτ= 4(ξ2

1 + η21)

nos permite completar la regularización en la función hamiltoniana extendida en el nivel H:

H1(ξ1, η1, t, pξ1 , pη1 , H) = dt

dτ(H − H) = 1

2(p2ξ1 + p2

η1)− 4(ξ2

1 + η21)(H + 1

2(ξ1pη1 − η1pξ1)

−2m(η1pξ1 + ξ1pη1)− 4(1−m) + V2(ρ1, ν1) = 0

donde el potencial generado por el primario ha sido cambiado por −4(1 − m), y el potencialgravitacional regularizado generado por el segundario es:

V2(ρ1, ν1) = −m 4(ξ21 + η2

1)√(ξ2

1 + η21)2 + 2(ξ2

1 − η21) + 1

Las ecuaciones Hamiltonianas regularizadas con respecto al tiempo regularizado τ son:

ξ′1 = pξ1 + 2(ξ21 + η2

1 −m)η1, p′ξ1 = 8ξ1(H + 12(ξ1pη1 − η1pξ1)) + 2(ξ2

1 + η21 +m)pη1 −

∂V2

∂ξ1

η′1 = pη1 − 2(ξ21 + η2

1 +m)ξ1, p′η1= 8η1(H + 1

2(ξ1pη1 − η1pξ1))− 2(ξ21 + η2

1 −m)pξ1 −∂V2

∂η1

donde ′ se refiere a la derivada con respecto a τ y:

∂V2

∂ξ1= −m 8ξ1(1 + ξ2

1 − 3η21)

((ξ21 + η2

1)2 + 2(ξ21 + η2

1) + 1) 32

∂V2

∂η1= −m 8η1(1 + 3(ξ2

1 − η21))

((ξ21 + η2

1)2 + 2(ξ21 + η2

1) + 1) 32.

En el caso m = 0, el momento angular 12 (ξ1pη1 − η1pξ1) = K es una integral primera, así que la

energía E = K + H. Las ecuaciones del movimiento regularizado del tercer cuerpo se reducen a:

ξ′1 = pξ1 + 2η1(ξ21 + η2

1 −m), p′ξ1 = 8ξ1E + 2(ξ21 + η2

1)pη1

η′1 = pη1 − 2ξ1(ξ21 + η2

1 +m), p′η1= 8η1E − 2(ξ2

1 + η21)pξ1

24

(ii) Coordenadas regularizadas polares, sinódicas y primaricéntricasEl cambio de las coordenadas polares primaricéntricas a las coordenadas regularizadas polaresprimaricéentricas es:

ρ1 = ρ1(r1) =√r1, ν1 = ν1(θ1) = θ1

2Para eso utilizamos la función generadora:

W (r1, θ1, pρ1 , pν1) = ρ1(r1)pρ1 + ν1(θ1)pν1 =√r1pρ1 + θ1

2 pν1

Así tenemos las reacciones entre los momentos polares y los regularizados:

pr1 = 12ρ1

pρ1 , pθ1 = 12pν1


H(ρ1, ν1; pρ1 , pν1) = 18ρ2

1(p2ρ1

+p2ν1

ρ21

)− 12pν1 −m

12ρ2

1(ρ1 sin(2ν1)pρ1 + cos(2ν1)pν1)

−(1−m) 1ρ2

1−m 1√

ρ41 + 2ρ2

1cos(2ν1) + 1

La función hamiltoniana extendida regularizada al nivel H es:

H1(ρ1, ν1, t; pρ1 , pν1 , H) = 12(p2

ρ1+p2ν1

ρ21

)− 4ρ21H − 2ρ2

1pν1 − 2m(ρ1 sin(2ν1)pρ1 + cos(2ν1)pν1)

−4(1−m) + V2(ρ1, ν1) = 0

donde el potencial generado por el primario ha sido cambiado por −4(1 − m), y el potencialgravitacional regularizado generado por el segundario es:

V2(ρ1, ν1) = −m 4ρ21√

ρ41 + 2ρ2

1 cos(2ν1) + 1


ρ′1 = pρ1 − 2mρ1 sin(2ν1), p′ρ1=p2ν1

ρ31

+ 8ρ1H + 4ρ1pν1 + 2m sin(2ν1)pρ1 −∂V2(ρ1, ν1)

∂ρ1

ν′1 = pν1

ρ21− 2ρ2

1 − 2m cos(2ν1), p′ν1= 4m(ρ1 cos(2ν1)pρ1 − sin(2ν1)pν1)− ∂V2(ρ1, ν1)

∂ν1


∂V2(ρ1, ν1)∂ρ1

= −8m ρ1

(ρ41 + 2ρ2

1 cos(2ν1) + 1) 12− 8m ρ2

1(ρ31 + ρ1 cos(2ν1)

(ρ41 + 2ρ2

1 cos(2ν1) + 1) 32

= −8m ρ1(1 + ρ21 cos(2ν1))

(ρ41 + 2ρ2

1 cos(2ν1) + 1) 32

∂V2

∂ν1= −8m ρ4

1 sin(2ν1)(ρ4

1 + 2ρ21 cos(2ν1) + 1) 3

2.

25

3.2.2. Órbitas de colisión con el primarioCuando se utiliza la regularización de Levi-Civita, las colisiones con el primario para cada nivel

sinódico del Hamiltoniano H = −C2 están caracterizadas por:

ξ1 = η1 = 0, p2ξ1 + p2

η1= 8(1−m)

ya que la posición del tercer cuerpo coincide con la del primero, y que H1 = 0.

Las órbitas entrando de un disco o saliendo de un disco centrado en el primario al tiempo t = 0con un ángulo Ψ1 en el sistema no regularizado (Ψ1/2 en el sistema regularizado) están caracterizadaspor las condiciones cartesianas iniciales/finales:

ξ1 = η1 = 0, pξ1 = ±√

8(1−m) cos(Ψ1

2 ), pη1 = ±√

8(1−m) sin(Ψ1

2 )

y las condiciones iniciales polares:

ρ1 = 0, pρ1 = ±√

8(1−m), pν1 = 0

3.2.3. Caso de m=0En el caso m = 0, el momento sideral 1

2pν1 = K es una integral primera, y la energía E = H +Ktambién. Las ecuaciones del movimiento del tercer cuerpo están reducidas a:

ρ′1 = pρ1 , p′ρ1= 4K2

ρ31

+ 8Eρ1;

ν′1 = 2Kρ1− 2ρ2

1, p′ν1= 0.

El problema vuelve a ser un oscilador harmónico rotacional para valores negativos E1 y una repul-sión lineal rotacional para valores positivos E2.

3.3. Regularización de Levi-Civita de colisiones con el secundario3.3.1. Coordenadas regularizadas

(i) Coordenadas regularizadas cartesianas, sinodicas y secundaricéntricasEl cambio de las coordenadas cartesianas secundaricéntricas a las coordenadas regularizadassecundaricéntricas es:

x2 + iy2 = (ξ22 + iη2)2 = (ξ2

2 − η22) + i(2ξ2η2)

Para eso utilizamos la función generadora:

W (x2, y2, pξ2 , pη2) = ξ2(x2, y2)pξ2 + η2(x2, y2)pη2

Así tenemos las relaciones entre los momentos cartesianos y los regularizados:

px2 = 12(ξ2

2 + η22) (ξ2pξ2 − η2pη2), py2 = 1

2(ξ22 + η2

2) (η2pξ2 + ξ2pη2)

pξ2 = 2(ξ2px2 + η2py2 , pη2 = 2(−η2px2 + η2py2)


H(ξ2, η2, pξ2 , pη2) = 18(ξ2

2 + η22) (p2

ξ2 + p2η2

)− 12(ξ2pη2 − η2pξ2)− (m− 1) 1

2(ξ22 + η2

2) (η2pξ2 + ξ2pη2)

26

−m 1(ξ2

2 + η22) − (1−m) 1√

(ξ22 − η2

2)2 − 2(ξ22 + η2

2) + 1


H2(ξ2, η2, t, pξ2 , pη2 , H) = 12(p2

ξ2 + p2η2

)− 4(ξ22 + η2

2)(H + 12(ξ2pη2 − η2pξ2)

−2(m− 1)(η2pξ2 + ξ2pη2)− 4m+ V1(ρ2, ν2) = 0

donde el potencial generado por el primario ha sido cambiado por −4m, y el potencial gravita-cional regularizado generado por el segundario es:

V1(ρ2, ν2) = −(1−m) 4(ξ221 + η2

2)√(ξ2

2 − η22)2 − 2(ξ2

2 + η22) + 1


ξ′2 = pξ2 +2(ξ22 +η2

2−m+1)η2, p′ξ2 = 8ξ2(H+ 12(ξ2pη2−η2pξ2))+2(ξ2

2 +η22 +m−1)pη2−

∂V1

∂ξ2

η′2 = pη2−2(ξ22 +η2

2 +m−1)ξ2, p′η2= 8η2(H+ 1

2(ξ2pη2−η2pξ2))−2(ξ22 +η2

2−m+1)pξ2−∂V1

∂η2


∂V1

∂ξ2= −(1−m) 8ξ2(1− ξ2

2 + 3η22)

((ξ22 + η2

2)2 − 2(ξ22 + η2

2) + 1) 32

∂V1

∂η2= −(1−m) 8η2(1− 3(ξ2

2 + η22))

((ξ22 + η2

2)2 − 2(ξ22 + η2

2) + 1) 32.

(ii) Coordenadas regularizadas polares, sinodicas y secundaricéntricasEl cambio de las coordenadas polares secundaricéntricas a las coordenadas regularizadas polaressecundaricéntricas es:

ρ2 = ρ2(r2) =√r2, ν2 = ν2(θ2) = θ2

2Para eso utilizamos la función generadora:

W (r2, θ2, pρ2 , pν2) = ρ2(r2)pρ2 + ν2(θ2)pν2 =√r2pρ2 + θ2

2 pν2

Así tenemos las relaciones entre los momentos polares y los regularizados:

pr2 = 12ρ2

pρ2 , pθ2 = 12pν2


H2(ρ2, ν2, t; pρ2 , pν2 , H) = 12(p2

ρ2+p2ν2

ρ22

)−4ρ22H−2ρ2

2pν2−2(m−1)(ρ2 sin(2ν2)pρ2 +cos(2ν2)pν2)

−4m+ V1(ρ2, ν2) = 0

donde el potencial generado por el primario ha sido cambiado por −4m, y el potencial gravita-cional regularizado generado por el segundario es:

V1(ρ2, ν2) = −(1−m) 4ρ22√

ρ42 − 2ρ2

2 cos(2ν2) + 1

27


ρ′2 = pρ2−2(m−1)ρ2 sin(2ν2), p′ρ2=p2ν2

ρ32

+8ρ2H+4ρ2pν2 +2(m−1) sin(2ν2)pρ2−∂V1(ρ2, ν2)

∂ρ2

ν′2 = pν2

ρ22−2ρ2

2−2(m−1) cos(2ν2), p′ν2= 4(m−1)(ρ2 cos(2ν2)pρ2−sin(2ν2)pν2)− ∂V1(ρ2, ν2)

∂ν2


∂V1(ρ2, ν2)∂ρ2

= −8(1−m) ρ2

(ρ42 − 2ρ2

2 cos(2ν2) + 1) 12− 8(1−m) ρ2

2(ρ32 − ρ2 cos(2ν2)

(ρ42 − 2ρ2

2 cos(2ν2) + 1) 32

= −8(1−m) ρ2(1− ρ22 cos(2ν2))

(ρ42 − 2ρ2

2 cos(2ν2) + 1) 32

∂V1

∂ν2= −8(1−m) ρ4

2 sin(2ν2)(ρ4

2 − 2ρ22 cos(2ν2) + 1) 3

2.

3.3.2. Órbitas de colisión con el segundarioCuando se utiliza la regularización de Levi-Civita, las colisiones con el segundario para cada nivel

sinodico del Hamiltoniano H = −C2 están caracterizadas por:

ξ2 = η2 = 0, p2ξ2 + p2

η2= 8m

Las orbitas entrando de un disco o saliendo de un disco centrado en el segundario al tiempo t = 0con un ángulo Ψ2 en el sistema no regularizado (Ψ2/2 en el sistema regularizado) están caracterizadaspor las condiciones cartesianas iniciales/finales:

ξ2 = η2 = 0, pξ2 = ±√

8m cos(Ψ2

2 ), pη2 = ±√

8m sin(Ψ2

2 )

y las condiciones iniciales polares:

ρ2 = 0, pρ2 = ±√

8m, pν2 = 0

3.4. Descripción de las órbitasCon el programa completo descrito en el anexo 3, podemos ya dibujar las órbitas descritas por el

tercer cuerpo, usando el sistema siódico. Como el la parte 2.3, los primarios están representados ennegro, los puntos de equilibrio en amarillo.Dado un valor fijo de C, un punto inicial para empezar la órbita, y una masa m, el programa dibujala curva de velocidad zero correspondiente así como el movimiento del tercer cuerpo.La elección del punto inicial (x0, y0) es muy importante: si elegimos un punto inicial fuera de la regionde Hill limitada por las curvas de velocidad zero, no habrá movimiento.

28

Figura 3: Movimiento imposible: C = C4 + 0,7, m = 0,33 y (x0, y0) = (−0,5, 0,9)

Tenemos algunas posibilidades.

1. Para cualquier valor de C, se puede tener colisiones con los primarios. Distinguimos doscasos:

a) cuando las orbitas están partiendo suficientemente cerca de los primarios.b) cuando las orbitas están partiendo lejos de los primarios y la region de Hill que está conexa

(caso C < C2).

2. La circulación entre los primarios, cuando las orbitas están partiendo suficientemente cercade los primarios, y que la región de Hill está conexa (caso C < C1).

3. El escape del cuerpo del campo gravitacional generado por los primarios, cuando las orbitasestán partiendo fuera de la región de Hill.

4. La imposibilidad de escape. Tenemos tres posibilidades:

a) La región de Hill está conexa, y hay dos regiones interiores conexas y desconectadas, alre-dedor de los primarios. Hay movimiento (y colisiones) en una de esas dos regiones, segúnla elección del punto inicial.

b) La región de Hill est’onexa, y hay una región interior conexa (.en ocho"), donde el movi-miento ocurre.

Nota Bene: La órbita del tercer cuerpo se va al infinito si y solo si la energía esta positiva. Encualquier caso, tendremos que aumentar el tamaño de la figura en fin de observar el movimiento demanera más global.

29

Figura 4: Movimiento sin escape

Izquierda: C = C4 + 0,9, m = 0,498, (x0, y0) = (−0,8, 0).Derecha:C = C4 + 0,9, m = 0,33, (x0, y0) = (−0,8, 0).Abajo:C = C4 + 0,7, m = 0,01, (x0, y0) = (−0,5, 0).

30

Figura 5: Movimiento con escape

Izquierda:C = C4 + 0,9, m = 0,33, (x0, y0) = (−2,2, 0).Derecha:C = C4 + 0,7, m = 0,33, (x0, y0) = (−0,5, 0).Abajo:C = C4 + 0,03, m = 0,25, (x0, y0) = (−0,5, 0).

31

4. Anexos4.1. Anexo 1: Puntos de equilibrio - Programa

Para dibujar las curvas de velocidad zero, vamos a utilizar ese programa:L1, L2 y L3 representan los puntos de equilibrio de Lagrange.

Para cada valor de k ∈ 1, 2, 3:

- Programamos la ecuación del punto Lk de la parte 2.2, escrita en la función Lkf

- Programamos la derivada de Lfk, en la función DLkf .

- Encontramos el punto de equilibrio Lk por el método de Newton, programado en la función Lk.

Después, creamos los vectores Lx,Ly y CL, con 6 componentes, ya que en el language C++ novamos a utilizar la primera componente de los vectores. Así vamos a poner las coordenadas según eleje x y el eje y de los puntos de equilibrio así como las constantes de Jacobi correspondiente a cadapunto.

En la función Equilibria, que depende de la masa m, vamos a calcular los puntos de equilibrio.Podemos ayudarnos con la parte 2.2 para encontrar las valores de Lk, k ∈ {1, 2, 3}.Después tenemos que calcular cada constante de Jacobi.

Ahora vamos a dibujar las curvas de velocidad zero. Para eso, dado un punto inicial cerca de lacurva, tenemos que encontrar un punto sobre la curva. Ese punto se va a ser nuestro punto inicialpara empezar el trazo de la curva.

- La función FC describe la ecuación F (x(s), y(s))− C = 0 de la parte 2.3.

- Las funciones FCx, FCy describen las derivadas Fx(x, y), Fy(x, y) de la función FC, con respectoa x y y.

- Encontramos el punto inicial con ZV C_Init, por el método de Newton.

Podemos ya empezar a trazar la curva. La función ZV C_field programa el campo vectorial dxds ,dyds

de la parte 2.3.Vamos a utilizar el método de Runge-Kutta 4. Para eso, necesitamos las funciones rk4_allocate, rk4_freey rk4.

La función ZV C va a calcular bastantes puntos de la curva de velocidad zero, dado un puntoinicial, y escribir sus coordenadas en ficheros adecuados.Fijado m, la función Curves escribe las curvas de velocidad zero para une valor de C dado, en unfichero .out. Esta función se utiliza para una secuencia adecuadas de valores de C, con el fin de dibujarlas curvas de velocidad zero correspondientes, mediante el programa gnuplot con un fichero ZVC.pltque contiene informaciones de todos los ficheros a tratar.

Por fin, tenemos que utilizar estas funciones de manera correcta, teniendo en cuenta que no nece-sitamos la misma cantidad de curvas.

# include <stdio.h># include <stdlib .h># include <math.h>

// Busceda de los puntos de equilibrio //double

// Ecuacion en x: 1 //L1f( double m, double a )

{double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;

32

return (a+m)*a2*b2+(1-m)*b2 -m*a2;}

double// Derivada //

DL1f( double m, double a ){

double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return a2*b2 +2*(a+m)*a*b2 +2*(a+m)*a2*b+2*(1 -m)*b -2*m*a;

}

double

// Metodo de Newton //

L1( double m, double a0 ){

double a = a0 , da;double tol = 1e -14;

int it =0;do {

da = -L1f(m,a)/DL1f(m,a);a += da;

} while( ++it <20 && fabs( da ) > tol );return a+m;

}

// Ecuacion en x : 2//doubleL2f( double m, double a )

{double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return (a+m)*a2*b2+(1-m)*b2+m*a2;

}

// Derivada //double


double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return a2*b2 +2*(a+m)*a*b2 +2*(a+m)*a2*b+2*(1 -m)*b+2*m*a;

}// Metodo de Newton //double



int it =0;do {



}

// Ecuacion en x : 3//

33

doubleL3f( double m, double a )

{double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return (a+m)*a2*b2 -(1-m)*b2 -m*a2;

}



double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return a2*b2 +2*(a+m)*a*b2 +2*(a+m)*a2*b -2*(1 -m)*b -2*m*a;

}

// Metodo de Newton //double



int it =0;do {



}

// Vectores con las coordenadas segun x, y respectivamente y constanta deJacobi //

double Lx[6], Ly[6], CL [6];

void

// Calculo de las coordenadas //Equilibria ( double m )

{// Podemos calcular facilmente L4 ,L5 y C4 ,C5 .//

Lx [4] = Lx [5] = m -0.5;Ly [4] = sqrt (3.) /2; Ly [5] = -sqrt (3.) /2;CL [4] = CL [5] = 3-m*(1-m);

// Para L1 , podemos ver con calculos rapidos que -1<a <0//Lx [1] = L1( m, -0.5 ); Ly [1] = 0;

// Para L2 , podemos ver con calculos rapidos que a < -1//Lx [2] = L2( m , -1.5); Ly [2]=0;

// Para L3 , podemos ver con calculos rapidos que 0<a//Lx [3] = L3(m , 0.5); Ly [3]=0;

int i;for( i=1; i <4; i++ ) {

CL[i] = (1-m)*(( Lx[i]-m)*(Lx[i]-m)+2/ fabs(Lx[i]-m))+m*(( Lx[i]-m+1) *(Lx[i]-m+1) +2/ fabs(Lx[i]-m+1))-m*(1-m);

34

}}

double m;

// Busqueda de un punto de una ZVC //

// Funcion FC//double

FC( double x, double y, double C ){

double r1 = sqrt ((x-m)*(x-m)+y*y);double r2 = sqrt ((x-m+1) *(x-m+1)+y*y);double r12 = r1*r1;double r22 = r2*r2;return (1-m)*( r12 +2/ r1)+m*( r22 +2/ r2)-m*(1-m)-C;

}// Derivada respecto a x//

doubleFCx( double x, double y)

{double r1 = sqrt ((x-m)*(x-m)+y*y);double r2 = sqrt ((x-m+1) *(x-m+1)+y*y);double r13 = r1*r1*r1;double r23 = r2*r2*r2;return 2*(1 -m)*(x-m)*(1 -1/ r13)+2*m*(x-m+1) *(1 -1/ r23);

}// Derivada respecto a y//

doubleFCy( double x, double y )

{double r1 = sqrt ((x-m)*(x-m)+y*y);double r2 = sqrt ((x-m+1) *(x-m+1)+y*y);double r13 = r1*r1*r1;double r23 = r2*r2*r2;return 2*(1 -m)*y*(1 -1/ r13)+2*m*y*(1 -1/ r23);

}// Punto inicial de ZVC

doubleZVC_Init ( double x, double y, double C)

{double dx;double tol = 1e -14;

int it =0;do {

dx = -FC(x,y, C)/FCx(x,y);x += dx;

} while ( ++it <20 && fabs( dx ) > tol );return x;

}

// EDO para ZVC //void

ZVC_field ( double t, double *x, int n, double *f ){

double r1 = sqrt ((x[0]-m)*(x[0]-m)+x[1]*x[1]);double r2 = sqrt ((x[0]-m+1) *(x[0]-m+1)+x[1]*x[1]);double r13 = r1*r1*r1;double r23 = r2*r2*r2;double Fx = FCx( x[0], x[1] );

35

double Fy = FCy( x[0], x[1] );double norm = sqrt(Fx*Fx +Fy*Fy);f[0] = -Fy/norm;f[1] = Fx/norm;

}

// Metodo de Runge -Kutta 4//// Auxiliar vectors

double *k1 , *k2 , *k3 , *k4 , *xaux;//// RUNGE -KUTTA OF ORDER 4 (RK4)//// Allocate /free auxiliar vectors

voidrk4_allocate ( int n )

{k1 =( double *) malloc (n* sizeof ( double ));k2 =( double *) malloc (n* sizeof ( double ));k3 =( double *) malloc (n* sizeof ( double ));k4 =( double *) malloc (n* sizeof ( double ));xaux = ( double *) malloc (n* sizeof ( double ));if( k1== NULL || k2== NULL || k3== NULL || k4== NULL || xaux == NULL )

{printf ("No hi ha prou memoria \n");exit (0);

}}

voidrk4_free ( )

{free( k1 ); free( k2 ); free( k3 ); free( k4 ); free( xaux );

}// Numerical integration step of field from time t using RKF78 method

voidrk4( double t, double *x, int n, double h, void (* field )( double t,

double *x, int n, double *f ) ){

int i;// k1

field( t, x, n, k1);// k2

for( i=0 ; i<n ; i++ )xaux[i] = x[i] + h*k1[i]/2;

field( t+h/2, xaux , n, k2 );// k3

for( i=0 ; i<n ; i++ )xaux[i] = x[i] + h*k2[i]/2 ;

field( t+h/2, xaux , n, k3);// k4

for( i=0 ; i<n ; i++ )xaux[i]=x[i] + h*k3[i];

field( t+h, xaux , n, k4);// New point

for( i=0 ; i<n ; i++ )x[i] += h*(k1[i]+2* k2[i]+2* k3[i]+k4[i]) /6;

}

voidZVC( double X0 , double Y0 , double C, FILE* fout1 , FILE *fout2 )

{double X = ZVC_Init ( X0 , Y0 , C );printf ("Punto incial de ZVC de constante %.3lf , con masa de %.3lf

36

en altura %.15lf: ( %20.15 lf , %20.15 lf)\n",C,m,Y0 ,X,Y0);

rk4_allocate ( 2 );double t=0;double x[2];x[0] = X; x[1] = Y0;int it = 0;double h =0.001;double dif =1, dif0 , difv;fprintf ( fout1 , " %20.15 lf %20.15 lf %20.15 lf\n", x[0], x[1], FC(x

[0],x[1],C) );if( C<CL [3] )

fprintf ( fout2 , " %20.15 lf %20.15 lf %20.15 lf\n", x[0], -x[1], FC(x[0],x[1],C) );

do {rk4( t, x, 2, h, ZVC_field );

t += h;fprintf ( fout1 , " %20.15 lf %20.15 lf %20.15 lf\n", x[0], x

[1], FC(x[0],x[1],C) );if( C<=CL [3] )

fprintf ( fout2 , " %20.15 lf %20.15 lf %20.15 lf\n", x[0], -x[1], FC(x[0],x[1],C) );

if( it ==0 )dif0 = x[1]-Y0;

difv = dif;dif = x[1]-Y0;if( it >10 && dif*difv <0 && dif*dif0 >0 )

break;} while( ++it <20000 );

rk4_free ( );}

FILE *fout1 , *fout2 , *fout3 , *fout4;FILE *fplt;char fout1n [20] , fout2n [20] , fout3n [20] , fout4n [20];

voidCurves ( double C, int k, unsigned char r, unsigned char g, unsigned

char b ){

double Y0 = sqrt (3.) /2 ;double X0 ;if( C>CL [4] ) {

X0 =0.8+m ;sprintf ( fout1n , "ZVC %02d1.out", k );sprintf ( fout2n , "ZVC %02d2.out", k );fout1 = fopen( fout1n , "w" );fout2 = fopen( fout2n , "w" );ZVC( X0 , Y0 , C, fout1 , fout2 );if( k==1 ) fprintf ( fplt , "plot \" %s\" u 1:2 w l lc rgb

\"\# %02x %02x %02x\" lt 1 notitle ", fout1n , r, g, b );else fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x

%02x %02x\" lt 1 notitle ", fout1n , r, g, b );fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x %02x

%02x\" lt 1 notitle ", fout2n , r, g, b );fclose ( fout1 );fclose ( fout2 );

}if( C>=CL [2] ) {

X0 = 0.2+m;sprintf ( fout3n , "ZVC %02d3.out", k );fout3 = fopen( fout3n , "w" );ZVC( X0 , 0, C, fout3 , fout3 );

37

fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x %02x%02x\" lt 1 notitle ", fout3n , r, g, b );

fclose ( fout3 );}if( C>=CL [1] ) {

X0 = -0.8+m;sprintf ( fout4n , "ZVC %02d4.out", k );fout4 = fopen( fout4n , "w" );ZVC( X0 , 0, C, fout4 , fout4 );fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x %02x

%02x\" lt 1 notitle ", fout4n , r, g, b );fclose ( fout4 );

}// fputs( "\n", fplt );

}

intmain ()

{fplt = fopen( "ZVC.plt", "w" );fputs( "set term epslatex size 15cm , 15cm\n", fplt );fputs( "set linetype 1 pt 1\n", fplt );fputs( "set output \" ZVC.tex \"\n", fplt );fputs( "set xrange [ -2.0:2.0]\ n", fplt );fputs( "set yrange [ -2.0:2.0]\ n", fplt );

m = 0.33;

Equilibria ( m );

int N43 = 9;double h43 = (CL[3]-CL [4])/N43;

for( int k=1; k <= N43; k++ ){Curves ( CL [4]+k*h43 , k, 64+5*k, 0, 0);}

int N32 = 6;double h32 = (CL[2]-CL [3])/N32;

for( int k=N43 +1; k<= N43+N32; k++ )Curves ( CL [3]+(k-N43)*h32 , k, 0, 64+5*k ,0);

int N21 = 3;double h21 = (CL[1]-CL [2])/N21;for( int k=N43+N32 +1; k<= N43+N32+N21; k++ )

Curves ( CL [2]+(k-N43 -N32)*h21 , k,0,0, 64+5*k);

fputs( "\nset output \n", fplt );fputs( "set terminal \n", fplt );

fclose ( fplt );// system ( " wgnuplot ZVC.plt" );// system ( " gsview64 .exe ZVC.eps" );

system ( "pause ");}

38

4.2. Anexo 2: Órbitas y regularization de Levi-Civita - ProgramaPara dibujar las orbitas, vamos a utilizar los ficheros siguientes:

(i) RTBP.h Un fichero header, donde pongamos todas las funciones que se van a estar utilizadasen diferentes ficheros.

(ii) Equilibria.cpp Donde vamos a calcular los puntos de equilibrio de Lagrange asi que sus cons-tante de Jacobi correspondiente.

(iii) ZVC.cpp Donde vamos a calcular el campo vectorial de las curvas de velocidad zero, y progra-mar el método de runge-kutta.

(iv) RTBP.cpp Donde trazamos las curvas de velocidad zero.(v) LC.cpp Donde utilizamos la regularizacion de Levi-Civita.(vi) Orbitas2cambiadas.cpp Donde trazamos las orbitas del tercer cuerpo.

Para el programa completo, nos referamos al anexo 3, sin detalles.Solamente se necesita comentar los programas LC.cpp y Orbitas2cambiadas.

Primeramente, vamos a discutir el programa para la regularizacion de Levi-Civita, es decir,LC.cpp:

En ese programa, vamos a utilizar la regularization d eLevi-Civita utilizando coordenadas polares.Para cada valor de k ∈ {1, 2}, vamos a programar el cambio a coordenadas regularizadas CLCk y latransformation inversa para llegar a coordenadas cartesianas ICLCk. Referarse a la parte 3 para losdetalles de los calculos.

Las funciones CLCk_Hamiltonian, k ∈ {1, 2} programan el Hamiltoniano extendido reguarizado,y las funciones CLCk_field el campo vectorial de las orbitas cerca de los primarios.

LC.cpp

# include <math.h>extern double C0;extern double m;

////// Cartesian Levi - Civita primarycentric coordinates////// Transformation from Cartesian synodical baricentric coordinates//

voidCLC1( double *x, double *CLC1x )

{double rho = sqrt( sqrt( (x[0]-m)*(x[0]-m) + x[1]*x[1] ));double nu = atan2( x[1], x[0]-m )/2, c = cos(nu), s = sin(nu);

CLC1x [0] = rho*c;CLC1x [1] = rho*s;

CLC1x [2] = ( CLC1x [0]*x[2]+ CLC1x [1]*x[3]) *2;CLC1x [3] = (-CLC1x [1]*x[2]+ CLC1x [0]*x[3]) *2;

}//// Transformation to Cartesian synodical baricentric coordinates//

voidICLC1( double * CLC1x , double * x )

{double xi = CLC1x [0], eta = CLC1x [1], pxi = CLC1x [2], peta = CLC1x

[3], r = xi*xi+eta*eta;

39

x[0] = xi*xi -eta*eta + m ;x[1] = 2* xi*eta;x[2] = (xi*pxi -eta*peta)/2/r;x[3] = (eta*pxi+xi*peta)/2/r;

}//

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

//// Canonical Levi - Civita secondarycentric coordinates// r2^2 = (x-m+1) ^2+y^2 = rho_2 ^4, theta_2 = atan2(y,x-m) = 2nu_1////

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

//// Transformation from Cartesian synodical baricentric coordinatesvoid

CLC2( double *x, double *CLC2x ){

double rho = sqrt( sqrt( (x[0]-m+1) *(x[0]-m+1) + x[1]*x[1] ));double nu = atan2( x[1], x[0]-m+1 )/2, c = cos(nu), s = sin(nu);

CLC2x [0] = rho*c;CLC2x [1] = rho*s;

CLC2x [2] = ( CLC2x [0]*x[2]+ CLC2x [1]*x[3]) *2;CLC2x [3] = (-CLC2x [1]*x[2]+ CLC2x [0]*x[3]) *2;

}//// Transformation to Cartesian synodical baricentric coordinates//

voidICLC2( double * CLC2x , double * x )


[3], r = xi*xi+eta*eta;x[0] = xi*xi -eta*eta + m-1 ;x[1] = 2* xi*eta;x[2] = (xi*pxi -eta*peta)/2/r;x[3] = (eta*pxi+xi*peta)/2/r;

}

//// Canonical Levi - Civita primarycentric coordinates// r1^2 = (x-m)^2+y^2 = rho_1 ^4, theta_1 = atan2(y,x-m) = 2nu_1//// Cartesian Levi - Civita primarycentric coordinates//// Extended Hamiltonian regularizing primary collisions//double

CLC1_Hamiltonian ( double *CLC1x ){

double xi = CLC1x [0], eta = CLC1x [1], pxi = CLC1x [2], peta = CLC1x[3];

double xi2 = xi*xi , eta2 = eta*eta , r = xi2+eta2 , x1 = xi2 -eta2;double r2p = pow( r*r+2* x1+1, -0.5 );return (pxi*pxi + peta*peta)/2 - 2*r*(xi*peta -eta*pxi -C0) -2*m*( eta*pxi+

xi*peta) -4*(1-m) -4*m*r*r2p;}//// Hamiltonian field regularizing primary collisions

40

//void

CLC1_field ( double t, double *CLC1x , int n, double *f ){

double xi = CLC1x [0], eta = CLC1x [1], pxi = CLC1x [2], peta = CLC1x[3];

double xi2 = xi*xi , eta2 = eta*eta , r = xi2+eta2 , x1 = xi2 -eta2;double E = (xi*peta -eta*pxi -C0)/2;double r2q = pow( r*r+2* x1+1, -1.5 );

f[0] = pxi + 2* eta *(r-m);f[1] = peta - 2*xi*(r+m);f[2] = 8*xi*E + 2*(r+m)*peta + 8*m*xi *(1+ xi2 -3* eta2)*r2q;f[3] = 8* eta*E - 2*(r-m)*pxi + 8*m*eta *(1+3* xi2 -eta2)*r2q;

}//// Canonical Levi - Civita secondarycentric coordinates// r2^2 = (x-m+1) ^2+y^2 = rho_2 ^4, theta_2 = atan2(y,x-m) = 2nu_1////// Extended Hamiltonian regularizing primary collisions//double

CLC2_Hamiltonian ( double *CLC2x ){

double xi = CLC2x [0], eta = CLC2x [1], pxi = CLC2x [2], peta = CLC2x[3], r = xi*xi+eta*eta;

double r1p = pow(r*r -2*( xi*xi -eta*eta)+1, -0.5);return (pxi*pxi + peta*peta)/2 - 2*r*(xi*peta -eta*pxi -C0) -2*(m -1) *( eta*

pxi+xi*peta) -4*(1-m)*r*r1p -4*m;}//// Hamiltonian field regularizing primary collisions//

voidCLC2_field ( double t, double *CLC2x , int n, double *f )


[3];double xi2 = xi*xi , eta2 = eta*eta , r = xi2+eta2 , x2 = xi2 -eta2;double E = (xi*peta -eta*pxi -C0)/2;double r2q = pow(r*r -2* x2+1, -1.5);

f[0] = pxi + 2* eta *(r-m+1);f[1] = peta - 2*xi*(r+m -1);f[2] = 8*xi*E + 2*(r+m -1)*peta + 8*(1 -m)*xi *(1- xi2 +3* eta2)*r2q;f[3] = 8* eta*E - 2*(r-m+1)*pxi + 8*(1 -m)*eta *(1 -3* xi2+eta2)*r2q;return ;

}

Despues de eso, vamos a comentar el programa Orbitas2cambiadas.cpp:

Vamos a utilizar una función que calcula los momentos inciales del movimiento, con MomentosIni, dado un punto inicial(x0, y0), una constante de Jacobi C y un angulo inicial phi.En el vector x con 4 componentes se va a poner las coordenadas de posición iniciales así que los mo-mentos iniciales.

La funcion JC calcula la constante de Jacobi para cada punto de la órbita.

La funcion F define el campo vectoria en cada punto de la orbita.Finalmente, la función Orbita se va a trazar la órbita dado las condiciones iniciales, paso a paso,creando un fichero ’Orbites.plt’, que podémos ejecutar en fin de vizualizar el movimiento del tercer

41

cuerpo.

Orbitas2cambiadas.cpp# include <stdio.h># include <stdlib .h># include <math.h># include "RTBP.h"

extern double m;extern FILE *fout;double C0;

// Calculo de los momentos iniciales //

intMomentosIni ( double x0 , double y0 , double C, double phi , double *x)

{ double r1 = sqrt ((x0 -m)*(x0 -m)+y0*y0);double r2 = sqrt ((x0 -m+1) *(x0 -m+1)+y0*y0);

double r12 = r1*r1;double r22 = r2*r2;

double v2 = (1-m)*( r12 +(2./ r1))+m*( r22 +(2./ r2))-m*(1-m)-C;if (v2 < 0)return 0;double v= sqrt(v2);

double X= v*cos(phi);double Y =v*sin(phi);

x[0]= x0;x[1]= y0;x[2]=X-y0;x[3]=Y+x0;

return 1;

}

// Calculo de la Constante de Jacobi //doubleJC( double *x)

{ double r1 = sqrt ((x[0]-m)*(x[0]-m)+x[1]*x[1]);double r2 = sqrt ((x[0]-m+1) *(x[0]-m+1)+x[1]*x[1]);double V = -(1-m)*(1./ r1)-m*(1./ r2);

double H = 0.5*(x[2]*x[2]+x[3]*x[3]) -(x[0]*x[3]-x[1]*x[2])+V;

return -2*H;

}

// EDO del problema //// EDOs para x y p //

void

42

F( double t, double *x, int n, double *fx){double r1 = sqrt ((x[0]-m)*(x[0]-m)+x[1]*x[1]);double r2 = sqrt( (x[0]-m+1) *(x[0]-m+1)+x[1]*x[1]);

double r12 = r1*r1;double r22 = r2*r2;

double r13= r1*r1*r1;double r23= r2*r2*r2;

double a =x[0]-m;double b= x[1];

fx [0]=x[2]+x[1];fx [1]=x[3]-x[0];fx [2] = x[3] -(1 -m)*(a/r13)-m*((a+1)/r23);fx [3] = -x[2] -(1 -m)*(x[1]/ r13)-m*(x[1]/ r23);

}

voidOrbita ( double X0 , double Y0 , double C, double PHI )

{double x[4], CLC1x [4], CLC2x [4];if ( MomentosIni (X0 ,Y0 , C, PHI , x)==0)return ;

double Ci = JC( x );rk4_allocate ( 4 );double t=0;int it = 0;double h =0.001;

C0 = C;double epsi = 0.2;double D1 = sqrt ((X0 -m)*(X0 -m)+Y0*Y0);double D2= sqrt ((X0 -m+1) *(X0 -m+1)+Y0*Y0);

fprintf ( fout , " %20.15 lf %20.15 lf %20.15 lf\n", x[0], x[1], JC(x) );

do {

double D1 = sqrt ((x[0]-m)*(x[0]-m)+x[1]*x[1]);double D2= sqrt ((x[0]-m+1) *(x[0]-m+1)+x[1]*x[1]);

if( D1 <epsi){CLC1( x, CLC1x );

rk4( t, CLC1x , 4, h, CLC1_field );ICLC1( CLC1x , x );}

else if (D2 <epsi){CLC2(x, CLC2x);rk4( t, CLC2x , 4, h, CLC2_field );

ICLC2(CLC2x , x);}

else{rk4( t, x, 4, h, F );}

43

t += h;fprintf ( fout , " %20.15 lf %20.15 lf %20.15 lf\n", x[0], x[1],

JC(x) );} while( ++it <100000 );

rk4_free ( );}

4.3. Anexo 3: Programa enteroRTBP.h

void rk4_allocate ( int n );void rk4_free ( );void rk4( double t, double *x,int n, double h, void (* field )( double t,

double *x, int n, double *fx ) );

void Equilibria ( double m );void ZVC( double X0 , double Y0 , double C, FILE* fout1 , FILE *fout2 , double

h );void Curves ( double C, int k, double h, unsigned char r, unsigned char g,

unsigned char b );void Orbita ( double X0 , double Y0 , double C, double PHI );

void CLC1( double *x, double *CLC1x );void ICLC1( double * CLC1x , double * x );void CLC2( double *x, double *CLC2x );void ICLC2( double * CLC2x , double * x );double CLC1_Hamiltonian ( double *CLC1x );void CLC1_field ( double t, double *CLC1x , int n, double *f );double CLC2_Hamiltonian ( double *CLC2x );void CLC2_field ( double t, double *CLC2x , int n, double *f );

Equilibria.cpp

# include <stdio.h># include <math.h># include <stdlib .h># include "RTBP.h"

extern double m;extern double Lx[6], Ly[6], CL [6];// Busceda de L1//

double// Ecuacion en x: 1 //

L1f( double m, double a ){

double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return (a+m)*a2*b2 +(1-m)*b2 -m*a2;

}double// Derivada //


double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return a2*b2 +2*(a+m)*a*b2 +2*(a+m)*a2*b+2*(1 -m)*b -2*m*a;

44

}

double

// Metodo de Newton //



int it =0;do {



}

// Ecuacion en x : 2//doubleL2f( double m, double a )

{double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return (a+m)*a2*b2+(1-m)*b2+m*a2;

}



double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return a2*b2 +2*(a+m)*a*b2 +2*(a+m)*a2*b+2*(1 -m)*b+2*m*a;

}// Metodo de Newton //double



int it =0;do {



}

// Ecuacion en x : 3//double

L3f( double m, double a ){

double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return (a+m)*a2*b2 -(1-m)*b2 -m*a2;

}

45



double b = a+1, a2 = a*a, b2 = b*b;return a2*b2 +2*(a+m)*a*b2 +2*(a+m)*a2*b -2*(1 -m)*b -2*m*a;

}

// Metodo de Newton //double



int it =0;do {



}

void

// Calculo de las coordenadas //Equilibria ( double m )

{// Podemos calcular facilmente L4 ,L5 y C4 ,C5 .//

Lx [4] = Lx [5] = m -0.5;Ly [4] = sqrt (3.) /2; Ly [5] = -sqrt (3.) /2;CL [4] = CL [5] = 3-m*(1-m);

// Para L1 , podemos ver con calculos rapidos que -1<a <0//Lx [1] = L1( m, -0.5 ); Ly [1] = 0;

// Para L2 , podemos ver con calculos rapidos que a < -1//Lx [2] = L2( m , -1.5); Ly [2]=0;

// Para L3 , podemos ver con calculos rapidos que 0<a//Lx [3] = L3(m , 1); Ly [3]=0;

for( int i=1; i <4; i++ ) {CL[i] = (1-m)*(( Lx[i]-m)*(Lx[i]-m)+2/ fabs(Lx[i]-m))+m*(( Lx[

i]-m+1) *(Lx[i]-m+1) +2/ fabs(Lx[i]-m+1))-m*(1-m);

}FILE *fLag = fopen( "L.out", "w" );for( int i=1; i <6; i++ )

fprintf ( fLag , " %12.6 lf %12.6lf\n", Lx[i], Ly[i] );fclose ( fLag );FILE *fMas = fopen( "M.out", "w" );fprintf ( fMas , " %12.6 lf 0\n", m );fprintf ( fMas , " %12.6 lf 0\n", m-1 );fclose ( fMas );

}

ZVC.cpp

#include <stdio.h># include <stdlib .h>

46

# include <math.h># include "RTBP.h"double m;double Lx[6], Ly[6], CL [6];

FILE *fplt;FILE *fout1 , *fout2 , *fout3 , *fout4;FILE *fout;

char fout1n [20] , fout2n [20] , fout3n [20] , fout4n [20];void

Curves ( double C, int k, double h, unsigned char r, unsigned char g, unsigned char b )

{double Y0 = sqrt (3.) /2 ;

double X0 ;if( C>CL [4] ) {

X0 = -0.9+m ;sprintf ( fout1n , "ZVC %02d1.out", k );sprintf ( fout2n , "ZVC %02d2.out", k );fout1 = fopen( fout1n , "w" );fout2 = fopen( fout2n , "w" );ZVC( X0 , Y0 , C, fout1 , fout2 , h );fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x %02x

%02x\" lt 1 notitle ", fout1n , r, g, b );fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x %02x

%02x\" lt 1 notitle ", fout2n , r, g, b );fclose ( fout1 );fclose ( fout2 );

}if( C>=CL [2] ) {

X0 = 0.2+m;sprintf ( fout3n , "ZVC %02d3.out", k );fout3 = fopen( fout3n , "w" );ZVC( X0 , 0, C, fout3 , fout3 , h );fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x %02x


}if( C>=CL [1] ) {double p= -0.5;double a;if( p*(C -1/p+m*(1-m) -(1-m)*(1 -1/p)) < 0 )

a = -1+ exp( log( -p*(C -1/p+m*(1-m) -(1-m)*(1 -1/p))/m )/p/2 );

elsea=-1;

X0 = a+m;sprintf ( fout4n , "ZVC %02d4.out", k );fout4 = fopen( fout4n , "w" );ZVC( X0 , 0, C, fout4 , fout4 , h );fprintf ( fplt , " ,\\\n \" %s\" u 1:2 w l lc rgb \"\# %02x %02x


}// fputs( "\n", fplt );

}

intmain(void)

{fout = fopen( " Orbita .out", "w" );

47

fplt = fopen ( " Orbites .plt", "w" );fputs( "set term epslatex size 15cm , 15cm\n", fplt );fputs( "set linetype 1 pt 1\n", fplt );fputs( "set output \" ZVC.tex \"\n", fplt );fputs( "set xrange [ -2.0:2.0]\ n", fplt );fputs( "set yrange [ -2.0:2.0]\ n", fplt );

fputs( "plot \"L.out \" w p ps 2 pt 7 lc rgb \"\# ffff00 \" notitle , \"M.out \" w p ps 1 pt 7 lc rgb \"\#000000\" notitle ",

fplt );

m = 0.01;Equilibria ( m );

double C = CL [4]+0.7;Curves ( C, 1, 0.001 , 0, 0, 0 );

if( C==CL [2] )Curves ( C, 2, -0.001 , 0, 0, 0 );

Orbita ( -0.5, 0, C, 0 );

fputs( " ,\\\n \" Orbita .out \" u 1:2 w l lc rgb \"\# ff0000 \" lt 1notitle \n", fplt );

fputs( "\nset output \n", fplt );fputs( "set terminal \n", fplt );

fclose ( fplt );// system ( " wgnuplot Orbites .plt" );// system ( " gsview32 .exe ZVC.eps" );

system ( "pause ");return 1;

}

intmain0(void)

{fplt = fopen ( "ZVC.plt", "w" );fputs( "set term epslatex size 15cm , 15cm\n", fplt );fputs( "set linetype 1 pt 1\n", fplt );fputs( "set output \" ZVC.tex \"\n", fplt );fputs( "set xrange [ -2.0:2.0]\ n", fplt );fputs( "set yrange [ -2.0:2.0]\ n", fplt );fputs( "plot \"L.out \" w p ps 2 pt 7 lc rgb \"\# ffff00 \" notitle ,

\"M.out \" w p ps 1 pt 7 lc rgb \"\#000000\" notitle ", fplt );m = 0.33;

Equilibria ( m );

int N43 = 8;double h43 = (CL[3]-CL [4])/N43;for( int k=1; k<= N43; k++ )

Curves ( CL [4]+k*h43 , k, 0.01 , 64+4*k, 0, 0);

int N32 = 6;double h32 = (CL[2]-CL [3])/N32;for( int k=N43 +1; k<= N43+N32; k++ ) {

Curves ( CL [3]+(k-N43)*h32 , k, 0.01 , 0, 64+4*k, 0);

}// ZVC simetrica

Curves ( CL[2], N43+N32 +1, -0.01, 64+4*( N43+N32), 0, 0);

48

N43 ++;int N21 = 3;double h21 = (CL[1]-CL [2])/N21;for( int k=N43+N32 +1; k<= N43+N32+N21; k++ )

Curves ( CL [2]+(k-N43 -N32)*h21 , k, 0.01 , 64+4*k, 0, 0);double h10 = 0.2;int N10 = 20;double H = 0;for( int k=N43+N32+N21 +1; k<= N43+N32+N21+N10; k++ ) {

H += h10;Curves ( CL [1]+H, k, 0.01 ,0 , 0, 64+4*k);

h10 *= 1;}

fputs( "\nset output \n", fplt );fputs( "set term\n", fplt );

fclose ( fplt );// system ( " wgnuplot ZVC.plt" );// system ( " gsview32 .exe ZVC.eps" );

system ( "pause ");return 1;

}

LC.cpp c.f Anexo 2.

Orbitas2cambiadas.cpp c.f Anexo 2.

4.4. Anexo 4: Algunas basas de mecánica - funciones generadoras4.4.1. El punto de vista Hamiltoniano(1) Principios variacionales

Vamos a resumir algunos principios de cálculo variacional.El cálculo variacional consiste en la búsqueda de los extremos de una función, cuyo dominio dedefinición es un espacio de dimension infinita: el espacio de las curvas. Tal tipo de función se lla-ma funcional.(Por ejemplo, la longitud de una curva del plano euclidiano. γ = {t, x | x(t) =x; t0 ≤ t ≤ t1}, Φ(γ) =

∫ t1t0

√1 + x2dt)

De manera general, un funcional es una aplicación del espacio de curvas en el ejereal. Se dice de una funcional Φ que es diferenciable si Φ(γ + h) − Φ(γ) = F + R, donde Fdepende linealmente de h y R(h, γ) = O(h2)

Vamos a fijar una curva γ sobre el plano euclidiano. Sea L = L(x, x, t) una funcion diferen-ciable en estas tres variables. Sea el funcional Φ(γ) =

∫ t1t0L(x(t), x(t), t)dt.

Así llegamos al teorema siguiente:

Teorema 1 El funcional Φ(γ) =∫ t1t0L(x(t), x(t), t)dt es diferenciable y su diferencial viene

dado por:

F (h, γ) =∫ t1

t0

[∂L∂x− d

dt

∂L

∂x]hdt+ (∂L

∂xh)|t1t0

También se puede definir el extremal de un funcional. Dado un funcional Φ(γ), una curva γ esun extremal de Φ si es tal que F (h, γ) = 0 para cada h.

(2) Notaciones y introduciónConsideremos un sistema mecánico con n grados de libertad (i.e el nombre mínimo de coorde-nadas independientes necesarias para describir el sistema.) Sea T = T (q, q) la energía cinética yV = V (q) la energía potencial, donde q ∈ Rn, q ∈ Rn.

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Podemos definir la función lagrangiana, o Lagrangiano del sistema:

L(q, q) = T (q, q)− V (q).

Se define los momentos conjugados de las coordenadas:

p =∂L(q, q)∂q

Tenemos las ecuaciones de Lagrange siguientes:

d

dt

∂L(q, q)∂q

=∂L(q, q)∂q

que también se llaman las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional Φ =∫ t1t0L(q, q, t)dt.

Se obtiene también el resultado siguiente:

Teorema 2 [Principio de mínima acción de Hamilton]

Los movimientos del sistema dinámico de n puntos coinciden con los extremales del funcio-nal Φ(γ) =

∫ t1t0Ldt, donde L = T − U es la diferencia entre la energía cinética y la energía

potencial.

Definición 3 [Acción] En el caso donde L = T − U el funcional se llama acción, y es des-notada, para un camino ω:

F (ω) =∫ω

Ldt =∫ t2

t1

L(ω(t), ω(t), t)dt

Se puede notar que si U = U(q) y que T =∑ni=1mi

qi2

2 , tendremos:

∂L∂qi

= ∂T

∂qi= miqi;

∂L∂qi

= −∂U∂qi

Y encontramos las ecuaciones de Newton.

Con esas se obtiene la relación siguiente:

p =∂L(q, q)∂q

Entonces:

dL = ∂L∂qdq + ∂L

∂qdq = pdq + pdq = d(p q)− qdp+ pdq

Es decir:d(p q − L) = −pdq + qdp.

Para facilitar los cálculos, vamos a introducir el Hamiltoniano, o función hamiltoniana delsistema:

H(p, q) = p q − L(p, q).

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Con la relaciones anteriores, se puede expresar las variables q según p y q. Tenemos:

dH(p, q) = −pdq + qdp = ∂H∂p

dp+ ∂H∂q

dq

Así tenemos las ecuaciones de Hamilton:

q =∂H(p, q)∂p

, p = −∂H(p, q)∂q

En términos de las componentes de las variables q y p, se escriben de la manera siguiente:

∀i ∈ J1, nK, qi =∂H(p, q)∂pi

, pi = −∂H(p, q)∂qi

En el caso lagrangiano, se deben resolver una ecuación diferencial de segundo orden, mientrasque en el caso hamiltoniano solamente tenemos que tratar dos ecuaciones diferenciales de primerorden.

4.4.2. Transformaciones canónicasDado el hamiltoniano H = H(p, q) con n grados de libertad, consideramos las coordenadas trans-

formadas:P = P (p, q), Q = Q(p, q),

con P ∈ Rn, Q ∈ Rn.

Definición 4 El cambio de coordenadas es canónico si las ecuaciones del movimiento según las va-riables (P ,Q) conservan la estructura hamiltoniana. Es decir, si las variables transformadas satisfacenlas ecuaciones de Hamilton con respecto al nuevo Hamiltoniano, por ejemplo H1 = H1(P ,Q).

(1) Escritura del problema

Sean las notaciones:x =

(pq

), z =

(PQ

)Consideremos z = z(x) la transformación de coordenadas, y la matriz siguiente:

J =(

0 In−In 0

)Así se pueden escribir las ecuaciones de Hamilton:

x = J∂H(x)∂x

Sea M = ∂z∂x . Las ecuaciones transformadas se cambian en:

z = ∂z

∂xx = Mx = MJ

∂H(x)∂x

= MJ∂H(x)∂z

∂z

∂x= MJMT ∂H(x)

∂z

De hecho, la condición de canonicidad es equivalente a a relación siguiente:

MJMT = J

que implica que M es simpléctica. En ese caso las ecuaciones de Hamilton se satisfacen conrespecto a z, cuando el nuevo Hamiltoniano se define mediante por H1(z) = H(x(z)).

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(2) Corchetes de Poisson

Se puede obtener un criterio de canonicidad con el uso de los corchetes de Poisson. Seauna función f = f(p, q), g = g(p, q).

Definición 5 El corchete de Poisson entre f y g es la cantidad:

{f, g} =n∑k=1

∂f

∂qk

∂g

∂pk− ∂f

∂pk

∂g

∂qk

Se obtiene que la transformación de coordenadas es canónica si las relaciones siguientes satisfa-cen:

∀i, j ∈ J1, nK, {Qi, Qj} = {Pi, Pj} = 0, {Qi, Pj} = δi,j

En el caso unidimensional (n = 1), ya que {Q,Q} y {P, P} son iguales a cero, solamente tenemosque verificar si:

{Q,P} = 1

(3) Funciones generatrices

Vamos a definir una función generatriz para la transformación canónica. Consideremos el casogeneral de una transformación canonica que depende del tiempo.

Q = Q(q, p, t), P = P (q, p, t).

La función generatriz de esa transformación, que tiene en cuenta la dependencia en el tiempo,es una función de la forma siguiente:

F = F (q,Q, t),

Tal que:p = ∂F

∂q, P = −∂F

∂Q

Si H(P ,Q, t) es el Hamiltoniano en las nuevas coordenadas, tenemos:

H1(P ,Q, t) = H(p, q, t) + ∂F

∂t

Se pueden obtener diferentes formas equivalentes de esas funciones generatrices:

(i) F = F (q, P , t), y las relaciones:

p = ∂F

∂qQ = ∂F

∂P

(ii) F = F (p,Q, t), y las relaciones:

q = −∂F∂p

P = −∂F∂Q

(iii) F = F (p, P , t), y las relaciones:

q = −∂F∂p

Q = ∂F

∂P

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4.4.3. Sistemas integrablesUn sistema hamiltoniano con n grados de libertad es integrable si existe n integrales primeras

(que siguen siendo constantes a lo largo de todas las órbitas del sistema) U1, ..., Un tal que:

1. Las integrales están en involución: ∀j, k ∈ J1, nK, {Uj , Uk} = 0

2. Las integrales son independientes; es decir, la matriz siguiente es de rango n.∂U1∂p1

... ∂U1∂pn

∂U1∂q1

... ∂U1∂qn

.

.

.∂Un∂p1

... ∂Un∂pn

∂Un∂q1

... ∂Un∂qn

3. En vez de la segunda condición, se puede tener una condición de no singularidad, más fuerte

que la condición 2:

det

∂U1∂p1

... ∂U1∂pn

.

.

.∂Un∂p1

... ∂Un∂pn

6= 0

Si se fija un punto (p0, q0), sea α0 = U(p0, q0), donde U = (U1, ..., Un).

Para α ∈ Rn, se puede definir la variedad invariante Mα así:

Mα = {(p, q) ∈ R2n} : U1(p, q) = α1, ..., Un(p, q) = αn}

La integrabilidad de un sistema hamiltoniano se puede obtener con el teorema siguiente:

Teorema 3 [Teorema de Liouville-Arnold]

Se supone que el hamiltoniano H(p, q) = p, q ∈ Rn, admite n integrales U1, ..., Un, que satisfacenlas condiciones anteriores de involución y de no singularidad.Se asume también que la variedad Mα es compacta en un entorno adecuado de α0.Así, existe una transformacion de coordenadas de (p, q) en (I, φ) con I ∈ Rn y φ ∈ Tn tales que elHamiltoniano H1 se escribe:

H1(I, φ) = h(I)

con una función adecuada h = h(I).

Los variables I y φ se llaman coordenadas de ación-angulo. Se puede encontrar que:

I = 0

φ = ∂h(I)∂I

= ω(I)

Así tenemos que las coordenadas de acción son integrales primeras.

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5. Bibliografía- V.SZEBEHELY - "Theory of Orbits - The Restricted Problem of Three Bodies" - Academic Press,New York, London - 1967

- V.ANORLD - "Méthodes mathématiques de la mécanique classique" - Editions MIR,Moscou -1974, traduction 1976-

- Alessandra Celletti - "Stability and Chaos in Celestial Mechanics" - Springer y PRAXIS, ReinoUnido, 2010.

- V.I.Arnold - "Dynamical Systems III" - Springer Verlag (NY), 1985 o 1980?

- http://www.sam.math.ethz.ch/ joergw/Papers/scotpaper.pdf

- L.LANDAU, E.LIFCHITZ - "Mécanique, Volume 1" - Editions de Moscou, Moscou, 1969, tra-ducido en frances por C.LIGNY en 1981.

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