Javier JunqueraMovimiento de rotacin

BibliografaFsica, Volumen 1, 3 edicinRaymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.Ed. ThomsonISBN: 84-9732-168-5Captulo 10Fsica, Volumen 1R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. SandsEd. Pearson EduacinISBN: 968-444-350-1Captulo 8

Definicin de traslacin, rotacin y vibracinTraslacin: las posiciones de todas las partculas del cuerpo se desplazan una misma cantidad.

Partcula en un movimiento de rotacin. Posicin angular o posicin de rotacinSupongamos un objeto que gira sobre s mismocmo describiramos su posicin en ese movimiento de rotacin?. La manera ms fcil de describir su posicin en ese movimiento de rotacin es describiendo su orientacin con respecto a alguna direccin de referencia fija.Podemos utilizar un ngulo, medido a partir de una direccin de referencia, como una medida de la posicin de rotacin o posicin angular.

Partcula en un movimiento de rotacin. Posicin angular o posicin de rotacinSupongamos un objeto plano que gira alrededor de un eje fijo perpendicular al objeto y que pasa por un punto O. Hay una estrecha relacin entre el movimiento de rotacin del objeto y el movimiento de una partcula a lo largo de una trayectoria circular.Todas las partculas del objeto describen un movimiento circular alrededor de O.La partcula indicada por el punto negro se encuentra a una distancia fija r del origen y gira alrededor de O describiendo un crculo de radio r.Un objeto que rota est compuesto por muchas partculas, cada una de las cuales se mueve con un movimiento circular (puede ser no uniforme)

Partcula en un movimiento de rotacin. Coordenadas polaresResulta conveniente representar la posicin de una partcula mediante sus coordenadas polaresA medida que un partcula del objeto se mueve a lo largo del crculo de radio r desde el eje x positivo (q = 0) hasta el punto P, se est moviendo a lo largo de un arco de longitud s, que est relacionado con el ngulo q por la expresinEn este sistema de referencia, la nica coordenada de una determinada partcula que cambia con el tiempo es q, permaneciendo r constanteSe elige como centro del sistema de coordenadas polares un punto que coincida con el centro de las trayectorias circulares de las partculas

Partcula con movimiento circular: definicin de radinUn radin representa el ngulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su smbolo es rad. Equivalencia entre grados y radianes

Grados030456090180270360Radianes0/6/4/3/23/22

Partcula con movimiento circular: definicin de velocidades angulares

Partcula con movimiento circular: definicin de velocidades angulares

Partcula con movimiento circular: definicin de aceleraciones angulares

Partcula con movimiento circular: direccin de velocidad y aceleracin angular No se ha asociado ninguna direccin con la velocidad angular ni la aceleracin angularSiendo estrictos, la velocidad y la aceleracin angular instantnea definidas anteriormente son los mdulos de las correspondientes magnitudes vectoriales En el caso de rotacin alrededor de un eje fijo, la nica direccin que permite especificar de forma unvoca el movimiento de rotacin es la direccin a lo largo del eje

Partcula con movimiento circular: direccin de velocidad y aceleracin angular No se ha asociado ninguna direccin con la velocidad angular ni la aceleracin angularSiendo estrictos, la velocidad y la aceleracin angular instantnea definidas anteriormente son los mdulos de las correspondientes magnitudes vectoriales En el caso de rotacin alrededor de un eje fijo, la nica direccin que permite especificar de forma unvoca el movimiento de rotacin es la direccin a lo largo del eje

Vector velocidad angular Vector velocidad angularMdulo: celeridad angularDireccin: perpendicular al plano del movimientoSentido: tornillo a derechasDerivando el vector velocidad, obtenemos la aceleracin

Cinemtica de rotacin: cuerpo rgido con aceleracin angular constanteEn el caso de movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo, el movimiento acelerado ms simple es el movimiento bajo aceleracin angular constante

Cinemtica de rotacin: cuerpo rgido con aceleracin angular constanteIntegrando una vez ms obtenemos el ngulo en funcin del tiempo

Cinemtica de rotacin: cuerpo rgido con aceleracin angular constante

Cinemtica de rotacin: cuerpo rgido con aceleracin angular constanteLas expresiones cinemticas para el movimiento de rotacin bajo aceleracin angular constante tienen la misma forma matemtica que las del movimiento de traslacin bajo aceleracin de traslacin constante, sustituyendo

Relaciones entre las magnitudes de rotacin y traslacinCuando un cuerpo rgido gira alrededor de un eje fijo, cada partcula del cuerpo se mueve alrededor de un crculo cuyo centro es el eje de giroUna partcula de un cuerpo rgido en rotacin se mueve en un crculo de radio r alrededor del eje zDado que la partcula se mueve en una trayectoria circular, su vector velocidad es siempre perpendicular a la trayectoria (a menudo se denomina velocidad tangencial)El mdulo de la velocidad tangencial viene dado por Donde s es la distancia recorrida por la partcula a lo largo de la trayectoria circularEl mdulo de la velocidad tangencial de la partcula es igual a la distancia de la partcula al eje de giro multiplicada por la velocidad angular de la partcula

Relaciones entre las magnitudes de rotacin y traslacinCuando un cuerpo rgido gira alrededor de un eje fijo, cada partcula del cuerpo se mueve alrededor de un crculo cuyo centro es el eje de giroUna partcula de un cuerpo rgido en rotacin se mueve en un crculo de radio r alrededor del eje zEl mdulo de la velocidad tangencial de la partcula es igual a la distancia de la partcula al eje de giro multiplicada por la velocidad angular de la partculaAunque cada punto del slido rgido tenga la misma velocidad angular, no todos los puntos tienen la misma velocidad tangencial, puesto que r cambia de punto a punto.La velocidad tangencial de un punto en un objeto que rota aumenta segn nos separamos del eje de giro

Relaciones entre las magnitudes de rotacin y traslacinPodemos establecer una relacin entre la aceleracin angular de la partcula y su aceleracin tangencial , cuya componente es tangente a la trayectoria del movimientoLa componente tangencial de la aceleracin de traslacin de una partcula que experimenta un movimiento circular es igual a la distancia de la partcula al eje de giro multiplicada por la aceleracin angular

Energa cintica rotacional

Momento de inerciaEl momento de inercia se define comoTiene por dimensiones ML2, siendo sus unidades en el SI (kg m2)

Energa cintica rotacionalLa energa cintica rotacional toma el valorLa energa cintica rotacional no es una nueva forma de energa. Simplemente se trata de energa cintica ordinaria (se ha calculado como la suma de la energa cintica de las partculas contenidas en el slido rgido).Sin embargo, la nueva expresin matemtica es ms conveniente cuando tratamos con rotaciones (siempre que sepamos como calcular el momento de inercia)Ahora, en el lado correspondiente al almacenamiento, dentro de la ecuacin de conservacin de la energa, deberemos ahora considerar que el trmino de la energa cintica es la suma de los cambios tanto en la energa cintica de traslacin como de rotacin.

Energa cintica rotacionalLa energa cintica total de un cuerpo que rota es la suma de la energa cintica de rotacin y la energa cintica traslacional del centro de masasSi las fuerzas que actan sobre un sistema son conservativas, la energa mecnica del sistema se conserva (es una constante)

Analoga entre la energa cintica asociada con las rotaciones y la energa cintica asociada con movimiento linealLa energa cintica rotacionalLa energa cintica de traslacinEsto va a ocurrir cada vez que comparemos una ecuacin del movimiento lineal con su correspondiente anlogo en el movimiento rotacionalEl momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento rotacional

Analogas y diferencias entre masa y momento de inerciaMomento de inerciaMasa

Clculo del momento de inercia en un sistema discretoSistema discretoLas dos esferas de masa m que estn situadas en el eje y no contribuyen a IyLas dos esferas de masa m no se mueven alrededor del eje y y, por tanto, no tienen energa cintica

Clculo del momento de inercia en un sistema discretoSistema discretoEjemplo: cuatro pequeas esferas estn unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa despreciable que est situado sobre el plano xy.Si la rotacin se produce alrededor del eje z con celeridad angular w, calcular:- el momento de inercia Iz con respecto al eje z - la energa cintica de rotacin con respecto a dicho eje.Dado que ri representa la distancia perpendicular al eje de giroEl momento de inercia y la energa cintica de rotacin asociada a una celeridad angular determinada cambia con respecto al eje de giro

Clculo del momento de inercia en un sistema continuoEn el caso de un objeto continuo:Si el sistema es homogneo r es contante y la integral se puede evaluar para una geometra dada.

Momentos de inercia de diferentes slidos rgidos con respecto a determinados ejes

Clculos de momentos de inercia:Momento de inercia de un anillo con respecto a un eje perpendicular que pasa por su centroEl eje de rotacin es el eje de simetra del anillo, perpendicular al plano del mismo y que atraviesa su centro

Clculos de momentos de inercia:Momento de inercia de un varilla uniforme con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por su centro de masas

Clculos de momentos de inercia:Momento de inercia de un cilindro uniforme con respecto a su eje central

Teorema de SteinerSin embargo, los clculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para slidos con alta simetra.Los momentos de inercia de slidos rgidos con una geometra simple (alta simetra) son relativamente fciles de calcular si el eje de rotacin coincide con un eje de simetra. El Teorema de Steiner (o teorema del eje-paralelo) a menudo simplifican los clculos.Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

Teorema de Steiner: demostracin

Teorema de Steiner: demostracin

Apliacin del teorema de SteinerConsideremos de nuevo la varilla uniforme de masa y longitud .Calcularemos el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por uno de sus extremos.Es cuatro veces ms difcil cambiar el estado de rotacin de una varilla que gira con respecto a uno de sus extremos que cambiar el estado de rotacin de una varilla que gira con respecto a su centro

Momento (o par o torque) de una fuerzaCuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rgido que puede girar alrededor de un cierto eje gracias a un pivote, y la lnea de accin de la fuerza no pasa a travs de ese pivote, el cuerpo tiende a girar alrededor de ese ejeLa tendencia de una fuerza a hacer que un cuerpo gire alrededor de un eje se mide mediante una magnitud vectorial denominada par (o momento axial) de la fuerzaEl par es la causa de los cambios producidos en el movimiento de rotacin y juega un papel en la dinmica de rotacin anlogo a las fuerzas en la dinmica de traslacinLa lnea de accin de una fuerza es una lnea imaginaria colineal con el vector fuerza y que se extiende hasta al infinito en ambas direcciones

Momento (o par o torque) de una fuerzaHasta ahora hemos definido el mdulo, pero el momento de una fuerza es un vector

Interpretacin de la frmula del mdulo del momento (I)Solo la componente perpendicular provoca un giro alrededor del pivote

Interpretacin de la frmula del mdulo del momento (II)

Momento de un sistema de fuerzasSi dos o ms fuerzas estn actuando sobre un cuerpo rgido, cada una de ellas tiene una cierta tendencia a producir un movimiento de rotacin alrededor del punto de pivoteSi el cuerpo est inicialmente en reposo:Por convenio: signo positivoPor convenio: signo negativo

No se debe confundir momento con fuerzaLas fuerzas pueden producir cambios en los movimientos lineales(segunda ley de Newton)Las fuerzas tambin pueden producir cambios en los movimientos de rotacin, per su efectividad no solo depende del mdulo de la fuerza sino del punto de aplicacin con respecto al eje de giro

Naturaleza vectorial del momento de una fuerza

Aplicacin de un momento neto a un cuerpo rgidoSupongamos que podemos considerar un cuerpo rgido en rotacin como un conjunto de partculas.El cuerpo rgido est sometido a la accin de un nmero de fuerzas que se aplican en distintas posiciones del cuerpo rgido, en las cuales estarn situadas determinadas partculas.Por tanto, podemos imaginar las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo rgido como si fueran ejercidas sobre partculas individuales del mismo.Calcularemos el momento neto sobre el objeto debido a los momentos resultantes de la accin de estas fuerzas alrededor del eje de rotacin del cuerpo.Cualquier fuerza que acte sobre el cuerpo rgido puede ser descompuesta en sus componentes radial y tangencial. La componente radial de la fuerza aplicada no contribuye al momento, dado que su lnea de accin pasa a travs del eje de rotacin. Solo la componente tangencial contribuye al par.

Aplicacin de un momento neto a un cuerpo rgido

Segunda ley de Newton en las rotacionesLa segunda ley de Newton en las rotacionesEl par neto que acta sobre un cuerpo rgido es proporcional a su aceleracin angular y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia

Trabajo y energa en el movimiento de rotacinLa componente radial de la fuerza no realiza ningn trabajo porque es perpendicular al desplazamiento

Trabajo y energa en el movimiento de rotacin

Trabajo y energa en el movimiento de rotacinA partir de la segunda ley de Newton para las rotacionesExactamente la misma frmula matemtica que el teorema de las fuerzas vivas para el movimiento de traslacin

Potencia en el movimiento de rotacinLa potencia es el ritmo al cual una fuerza realiza un trabajoCon lo que la potencia instantnea queda definida como

Definicin de momento angular o cintico

Definicin de momento angular o cinticoConsideremos una partcula de masa m, con un vector de posicin y que se mueve con una cantidad de movimiento Unidades SI: kg m2/sTanto el mdulo, la direccin como el sentido del momento angular dependen del origen que se elija

Momento angular o cintico: Casos particularesMduloDireccin y sentido

Conservacin del momento angularEcuacin anloga para las rotaciones de las segunda ley de Newton para las traslacionesEsta ecuacin es vlida:- slo si los momentos de todas las fuerzas involucradas y el momento angular se miden con respecto al mismo origen.-vlida para cualquier origen fijo en un sistema de referencia inercial.

Conservacin del momento angular(ley de Gravitacin Universal)

Analogas entre rotaciones y traslacionesUna fuerza neta sobre una partcula produce un cambio en el momento lineal de la mismaTraslacionesRotacionesUn torque neto sobre una partcula produce un cambio en el momento angular de la mismaUna fuerza neta actuando sobre una partcula es igual a la razn de cambio temporal del momento lineal de la partculaUna torque neto actuando sobre una partcula es igual a la razn de cambio temporal del momento angular de la partcula

Momento angular de una partcula en un movimiento circularComo el momento lineal de la partcula est en constante cambio (en direccin, no en magnitud), podramos pensar que el momento angular de la partcula tambin cambia de manera contnua con el tiempoSin embargo este no es el casoUna partcula en un movimiento circular uniforme tiene un momento angular constante con respecto a un eje que pase por el centro de la trayectoria

Momento angular total de un sistema de partculasEl momento angular total de un sistema de partculas con respecto a un determinado punto se define como la suma vectorial de los momento angulares de las partculas individuales con respecto a ese punto.En un sistema continuo habra que reemplazar la suma por una integral

Momento angular total de un sistema de partculasA priori, para cada partcula i tendramos que calcular el torque asociado con:- fuerzas internas entre las partculas que componen el sistema- fuerzas externasSin embargo, debido al principio de accin y reaccin, el torque neto debido a las fuerzas internas se anula.Se puede concluir que el momento angular total de un sistema de partculas puede variar con el tiempo si y slo si existe un torque neto debido a las fuerzas externas que actan sobre el sistema

Momento angular total de un sistema de partculasEL torque neto (con respecto a un eje que pase por un origen en un sistema de referencia inercial) debido a las fuerzas externas que actan sobre un sistema es igual al ritmo de variacin del momento angular total del sistema con respecto a dicho origen

Consideremos una placa que rota alrededor de un eje perpendicular y que coincide con el eje z de un sistema de coordenadasY el momento angular del sistema angular (que en este caso particular slo tiene componente a lo largo de z)Momento angular de un slido rgido en rotacin

Y el momento angular del sistema angular (que en este caso particular slo tiene componente a lo largo de z)Donde se ha definido el momento de inercia del objeto con respecto al eje z comoEn este caso particular, el momento angular tiene la misma direccin que la velocidad angularMomento angular de un slido rgido en rotacin

Momento angular de un slido rgido en rotacin

Ecuacin del movimiento para la rotacin de un slido rgidoSupongamos que el eje de rotacin del slido coincide con uno de sus ejes principales, de modo que el momento angular tiene la misma direccin que la velocidad angularDerivando esta expresin con respecto al tiempoSi asumimos que el momento de inercia no cambia con el tiempo (esto ocurre para un cuerpo rgido)

Ecuacin del movimiento para la rotacin de un slido rgidoSupongamos que el eje de rotacin del slido no coincide con uno de sus ejes principales, de modo que el momento angular tiene la misma direccin que la velocidad angularPero como el momento angular ya no es paralelo a la velocidad angular, sta no tiene por qu ser constante

Conservacin del momento angularEl momento angular total de un sistema es contante, tanto en direccin como en mdulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anulaTercera ley de conservacin: en un sistema aislado se conserva:- energa total- el momento lineal- el momento angular

El principio de conservacin del momento angular es un resultado general que se puede aplicar a cualquier sistema aislado. El momento angular de un sistema aislado se conserva tanto si el sistema es un cuerpo rgido como si no lo es.

Conservacin del momento angularEl momento angular total de un sistema es contante, tanto en direccin como en mdulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anulaPara un sistema aislado consistente en un conjunto de partculas, la ley de conservacin se escribe como

Conservacin del momento angularSi la masa de un sistema aislado que rota sufre un redistribucin, el momento de inercia cambia Como la magnitud del momento angular del sistema es La ley de conservacin del momento angular requiere que el producto de I por w permanezca constanteEs decir, para un sistema aislado, un cambio en I requiere un cambio en wEsta expresin es vlida para:- una rotacin en torno a un eje fijo.- una rotacin alrededor de un eje que pase por el centro de masas de un sistema que rota.Lo nico que se requiere es que el torque neto de la fuerza externa se anule

Comparacin de los movimientos lineales y movimientos rotacionales

Transparencias de soporte

Clculos de momentos de inerciaSistema discretoSistema continuoPlaca plana

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