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TORQUE

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo

tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad

de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que

llamamos torque o momento de la fuerza.

El torque Τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en

una posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje

sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial

entre la posición r y la fuerza aplicada F.

T = r x F 

El torque es una magnitud vectorial, si θ es el ángulo entre r  y F, su valor 

numérico por definición del producto vectorial, es:

Por convención se considera el torque positivo o negativo si la rotación queproduce la fuerza es en sentido antihorario u horario respectivamente, se

expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia, en el Sistema

Internacional de Unidades resulta Newton·metro

El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué

medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar 

la rotación del cuerpo con respecto a éste, el momento tiende a provocar un

giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud

característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de

maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas).

Momento de inercia

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Es una magnitud que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un

sistema de partículas, respecto de un eje, en un movimiento de rotación.

El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen, sino de

la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.

donde

m es la masa del punto, y

r es la distancia mínima entre ella y el eje de rotación.

Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma

de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y

el cuadrado de la distancia r  de cada partícula al eje escogido.

Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza

como:

El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen

del cuerpo.

Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al

de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. (La masa es

la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el

Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado

en rotación). Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: maF = tiene como

equivalente para la rotación:

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donde:

• es el momento aplicado al cuerpo (torque).

• es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

• es la aceleración angular .

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a

cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de gravedad, es igual al

momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad

más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: I eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro

de masa

 I (CM )eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa

por el centro de gravedad

 M es la Masa Total

h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

Eje de rotación es la línea en un cuerpo (o en una extensión del cuerpo) sobre

el cual el cuerpo tiene o parece tener rotación en un desplazamiento no

traslacional.

Un eje de simetría es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera,

lo hace en dos partes, cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es

decir, quedan simétricos.

Energía Cinética

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La  energía cinética  de un cuerpo en movimiento con velocidad v  es ,

mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con velocidad

angular ω es

.

Donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación

Para un sólido rígido que está rotando puede descomponerse la energía

cinética total como dos sumas: la energía cinética de traslación (que es la

asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a través del

espacio) y la energía cinética de rotación (que es la asociada al movimiento de

rotación con cierta velocidad angular). La expresión matemática para la energía

cinética es:

22

2

1

2

1ω  I mv E  E  E  r t c +=+=

donde: E c  es la energía cinética total

E t  es la energía cinética de traslación

E r  es la energía de rotación o energía cinética angular en este sistema.

El valor de la energía cinética siempre es positivo, y depende del sistema de

referencia que se considere al determinar el valor (módulo) de la velocidad y

ALGUNOS PROBLEMAS TÍPICOS DE ROTACIÓN

Se detallan a continuación algunas situaciones fácilmente resolubles y

características en las cuales se aplican las fórmulas anteriores de dinámica de

rotación.

Cuerpos rodantes

Cuando un cuerpo rueda sin deslizarse se establece una ligadura, hablando en

lenguaje físico, entre el ángulo que rota el cuerpo y la distancia que avanza.

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Para un cuerpo redondo, que es el caso común, θ R  X = , siendo R el radio de

la figura. Esto es muy lógico porque si el camino que va recorriendo el móvil

fuera mayor que la longitud de cuerpo que toca el suelo necesariamente

debería haber algún tipo de deslizamiento.

Teniendo esta igualdad es muy fácil establecer que

α  

ω  

R a

R V 

=

=

Poleas

En problemas en los que aparezcan poleas, como éstas giran alrededor de su

centro de masas y su momento de inercia será el de un círculo (o un cilindro, si

es tridimensional), tendremos ya toda la situación conocida.

1. El momento de las fuerzas o torque será simplemente el producto de la

fuerza, o la tensión de la cuerda, por el radio de la polea al que se

aplica.

2. El momento de inercia de un círculo es2

2

1MR I = .

3. Tendremos así que, si la cuerda pasa por la parte exterior de la polea,

como es habitual (hay que tener más cuidado si la polea tiene más

gargantas o éstas no están sobre la superficie externa del disco) para

cada tensión aplicada en la polea:

α    

  = 2

2

1MR TR 

4. Como la cuerda gira sin deslizar existe la condición R a  α = que se

aplica a la ecuación anterior.

Estática y equilibrios

En aquellos problemas en los cuales, no existiendo movimiento de ningún tipo,

se nos pida calcular la geometría de alguna estructura o bien las fuerzas de

acción o de reacción que hay que tener para mantener la estructura en

equilibrio basta con aplicar dos fórmulas.

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1. Al no haber movimiento del centro de masas tendremos que la

resultante de todas las fuerzas deberá ser nula. Así que ∑ =0F 

Esta ecuación se descompondrá en tantas como dimensiones tenga el

problema.

2. Cuando hay una situación estática o un equilibrio el cuerpo tampoco gira

respecto a ningún punto. Por ello podremos aplicar también que los

momentos resultantes o torque deben ser nulos: ∑ =0τ   

Cálculo de la aceleración angular de un cuerpo

Para ello hay que aplicar la ecuación general de la dinámica de rotación.

1. Se consigue el momento de inercia de la figura respecto al eje en que se

produce la rotación.

2. Se calculan los momentos de fuerzas (torque) tomando como punto uno

del eje de rotación. Si el problema es bidimensional este eje será

perpendicular al plano, generalmente, y podremos reducir el momento

de fuerzas tridimensional a su módulo, es decir  θ τ  senR F  ⋅⋅= , siendo

el ángulo que forman F con R.

3. Se relacionan estas magnitudes con la aceleración angular α  mediante

α τ  I TOTAL =

Cálculo de momentos de inercia

Para la resolución de los problemas de cálculo de momentos de inercia es

habitual el planteamiento según algunos distintos tipos.

1. Si no conocemos el momento de la figura en absoluto respecto a ningún

otro eje, y ésta no está compuesta de otras figuras tendremos que

aplicar 2

i i R mI  ∑= para un cuerpo discreto o bien

∫ ∫  == V R dmR I  ρδ  22

para uno continuo.

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2. Si conocemos el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el

centro de masas y nos piden hallar el de otro eje paralelo a este

usaremos el Teorema de Steiner 

3. Si nuestra figura está compuesta por otras figuras de las cuales

conocemos su I , o bien parece una figura sencilla a la que se ha extraído

alguna otra figura simple, usando la linealidad del momento de inercia

podremos poner nuestro momento incógnita como sumas o restas de

otros momentos más sencillos, teniendo siempre cuidado de que todos

los momentos estén referidos al mismo eje de rotación.

Conservación de la energía para cuerpos rodantes

Si tenemos un caso de un cuerpo simétrico que rueda respecto a un eje que

pasa por su centro de masas y todas las fuerzas externas son conservativas,

podremos aplicar el teorema de conservación de la energía y tendremos que:

22

2

1

2

1ω I mv E E E 

ROTACION traslacion c c c  +=+=

Además, si el cuerpo rueda sin deslizar se podrá relacionar V y ω  mediante

ω R V =

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F

M

m

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Una varilla de 500 g y 75 cm de longitud lleva soldada en un extremouna esfera de 10 cm de radio y 250 g de masa. Calcular el momento de inerciacuando gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por elextremo libre.

El momento de inercia será la suma del momento de inercia de una varilla másel de la esfera. Como el eje de simetría de la esfera no coincide con el eje derotación aplicamos el Teorema de los ejes paralelos, de manera que:

( )2 

ev eev v ev 

KgmI 

R LmR mLmI I I 

27.0

5

2

12

1 222

=

+++=+=

2.- Un cilindro de 50 Kg y 20 cm de radio gira respecto de un eje verticalque coincide con su eje de simetría debido a una fuerza constante, la cual seaplica sobre su periferia y que después de 40 seg de iniciado el movimientoalcanza 200 rpm. Calcular:

a. El valor de la fuerzab. El momento de la fuerza aplicada (Torque)

t 

  f  

mR I 

 I 

o  f  

  f  

ω ω 

α 

π  ω 

α τ  

−=

=

=

⋅=

60

2

2

1 2

Nm52 .0 =τ  

θ 

τ θ τ senR 

F senR F ⋅

=⇒⋅⋅=

N 62 .2 F =

3.- Una polea homogénea de 0.3 m de radio, 20 Kg y momento de inerciaigual a 18 Kgm2 gira alrededor de su eje de simetría debido a la acción de dosmasas: M (15 Kg) y m (10 Kg), determine:

a. Las tensiones de las cuerdas

b. La aceleración angular de la polea

Eje de simetríaEje de rotación

200 rpm es el valor de la frecuencia (f) y se transforma a

rad/s para obtener el valor de la velocidad final (ω f )

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∑∑

⋅=

⋅=

giran)que(objetos 

)trasladanseque(objetos 

α τ  I 

am F 

Supongamos que el sistema acelera hacia el lado de la masa mayor M

R 

aI tR TR I tR TR I I 

mamg t 

MaT Mg 

t T total  =−⇒=−⇒=−⇒=

=−=−

α α τ  τ  α τ  

Por lo tanto se tiene un sistema de tres ecuaciones:

R 

aI tR TR 

mamg t 

MaT Mg 

=−

=−=−

Resolviendo:2 

sm22 .0 a =

2 srad 73.0 =α 

N 100.2 t 

N 2 .143T 

=

=

4.- Un cilindro macizo homogéneo de 20 Kg y 40 cm de radio baja rodando,sin deslizar, por un plano inclinado 30º sobre la horizontal, partiendo del reposodesciende una altura vertical de 2 m, calcular:

a. Energía cinética de rotación y traslación adquiridas en el tiempo duranteel que desciende verticalmente esos dos m.

 b. El momento de inercia del cilindro suponiendo que gira respecto de unageneratriz

2 c 

2 c 

mV 2 

1E 

I 

2 

1E 

traslación

rotación

=

= ω 

Como no se pueden resolver estas expresiones se realiza un balance deenergía desde la parte superior del plano hasta la inferior para obtener lavelocidad del cilindro, teniendo en cuenta que como baja sin deslizar  R V  ω =

3gh4V 

R 

V mR 

2 

1

2 

1mV 

2 

1mghI 

2 

1mV 

2 

1mgh

E E 

2 

2 

2 2 2 2 

B A

=

   

     

  +=⇒+=

=

ω 

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F

m

J 67 .266 E 

J 33.133E 

traslación

rotación

c 

c 

=

=

Para determinar el momento de inercia respecto a una generatriz se aplica elteorema de los ejes paralelos:

2 2 

2 

cm

mR mR 2 

1I 

md I I 

+=+=

2 Kgm8 .4I =

5.- La figura representa un cilindro macizo y homogéneo de 20 cm de radioy 20 Kg de masa, a su periferia va arrollado un hilo ideal de cuyo extremo libre

cuelga una masa de 8 Kg; por una hendidura muy fina se le enrolla otro hiloideal a una distancia horizontal de 10 cm a cuyo extremo libre se le aplica unafuerza constante F= 200N. Calcule:

a. Aceleración con que sube la masa m b. Aceleración angular del cilindroc. Tensión del hilo que sostiene la masad. Momento de inercia del cilindro respecto

a un eje que coincida con una generatriz

∑∑

⋅=

⋅=

giran)que(objetos 

)trasladanseque(objetos 

α τ  I 

am F 

   

     

  =−⇒=−⇒=−⇒=

=−

 R

aMRTR Fr  I TR Fr  I  I 

mamg T 

 R F TOTAL

2

2

1α α τ τ α τ 

Por lo tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:

  

 

 

 

  

 

 

 =−

=−

 R

aMRTR Fr 

mamg T 

2

2

1

Resolviendo:

2

m1.2a

N88

s

T 

=

=

Como R a α = entonces 26 srad =α 

Para determinar el momento de inercia respecto a una generatriz se aplica elteorema de los ejes paralelos:

22

2

2

1MR MR I 

md I I  cm

+=

+=

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2

2

3MR I =

6.-

Alrededor de un ejehorizontalfijo de unvolante va

enrolladoun hilo demasa

despreciable. Del extremo libre cuelga una pesa de 8 Kg. Si partiendo delreposo la pesa desciende 4 m en 4 seg, calcular:

a. Aceleración con que desciende la pesa b. Tensión que actúa sobre el hiloc. Energía cinética de rotación del volante cuando la pesa ha descendido 4

m

Como la pesa desciende con movimiento uniformemente acelerado:

2

22

2 t 

Y a

at t V Y Y  f 

oy of  =⇒+±=2

sm 5.0=a

⇒=− maT mg  N4.74=T Realizando un balance de energía entre el punto de inicio y los 4 metros:

m

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ROTACION c 

B A

E mV mghI mV mgh

E E 

+=⇒+=

=

222

2

1

2

1

2

1ω 

Como la velocidad de la pesa cuando ha descendido 4 m en 4 seg es:

sV at V V  f of  m2=⇒+= , entonces:

⇒−=2

2mV mghE 

ROTACION c J6.297=

ROTACION c E 

7.- Una polea doble, de momento de inercia 0.6 kg.m2

está formada por dos poleas de radios 4 cm y 8 cmsolidarias. En cada una de ellas hay una cuerda sin masa

enrollada de la que cuelgan masas de 40 y 60 kg. Calcular la aceleración angular del sistema y las tensiones de lascuerdas.

El momento que produce la masa de 40 kg es mayor que elproducido por la masa de 60 kg, por lo que el sistema, degirar, girará a la izquierda:

Nm2 .3R g m 111 =⋅=τ     Nm4.2 R g m 2 2 2  =⋅=τ  

Las tensiones en las cuerdas son:

11111111 R mT g mamT g m α =−⇒=−

2 2 2 2 2 2 2 2  R mg mT amg mT  α =−⇒=−

α I R T R T  2 2 11 =−

Resolviendo:

N 76 .607 T 

N 65 .365 T 

srad 235 .8 

2 

1

2 

===α 

8.- Un disco homogéneo A gira alrededor del eje Y bajo la acción de lamasa C unida a una cuerda que pasa por una polea sin peso ni rozamientoenrollada alrededor de un tambor cilíndrico macizo B, solidaria del disco A. Aéste esta unida una masa puntual D, como indica la figura. Las masas A, B, C yD son respectivamente 65, 15, 8 y 4 Kg, se supone que la cuerda permanecesiempre horizontal. Calcular:

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a. Aceleraciónangular del disco

 b. Aceleracióntangencial de D

α α τ   I TR I 

amT g m

BTOTAL

c c 

=⇒=

=−

Como A, B y D son la parte del sistema que giran, entonces

( )    

   +++ 

  

  + 

  

  =++= 22222

12

1

2

1

2

1DDDBB A ADB ATOTAL R mbamR mR mI I I I 

Dado que D es una masa puntual sus dimensiones tienden a cero, por lo que

( ) 0121 22 = 

  

   +bamD , de manera:

( ) 2222Kgm56.51

2

1

2

1 =+   

  + 

  

  =++= DDBB A ADB ATOTAL R mR mR mI I I I 

Por lo tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:

α 

α 

I TR 

R mT g m

B

Bc c 

==−  

Resolviendo2

 66.0 srad =α 

Y como DD R a  α = entonces 2 6.0 sma =

9.- Un cilindro enrollado a unacuerda fuertemente sujeta caelibremente tal como indica la figura.Halle la aceleración con que cae.

maT 

R 

amR TR I TR 

maT mg 

2

1

2

1 2 =⇒  

  

 =⇒=

=−

α 

Entonces

⇒=− mamamg 2

1

3

2g a =

10.- Un cilindro macizo de 20 cm deradio y 5 Kg de masa gira alrededor de

su eje, en posición horizontal, por la

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acción de una pesa de 0.2 Kg que cuelga del extremo de una cuerda enrolladaal cilindro. Calcular:

a. Aceleración angular del cilindro b. Aceleración lineal de la pesac. Torque durante el movimiento

d. Si en lugar de accionar el cilindropor la pesa se ejerce una tracciónde la cuerda hacia debajo de 0.2Nw ¿Cuál será el valor de laaceleración angular?

Planteando la segunda ley de Newtonpara la masa: maT mg  =−

Y para el cilindro:

α α τ     

  =⇒= 2

2

1MR TR I TOTAL

Por tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:

α 

α 

   

  =

=−

2

2

1

 

MR TR 

R mT mg 

Resolviendo 2srad 63.3=α 

⇒= Rα a 2sm 726.0=a

mN 363.0 ⋅=τ 

⇒=⇒=I 

FR I FR  α α 

2rad 4.0 s=α  

11.- Una bala de 100 g y velocidad horizontal de 100 m/s chocainelasticamente con el borde de un volante anular de 1 Kg y 25 cm de radio.Calcular la velocidad angular del sistema

Al ser un choque inelástico consideraremos la conservación de la cantidad de

movimiento

( )

( )

⇒=⇒=

=+

+

=

+=+

R 

V R V 

smmm

u mu m

V 

V mmu mu m

ω ω 

09.921

2211

12

12212211

srad 36.36=ω 

12.- Un cilindro homogéneo de 40 cm de radio y 10 Kg tienelibertad para girar en torno a su eje de simetría sobre cojinetescarentes de fricción. Supongamos que súbitamente se aplica

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una fuerza de 10 Nw que se mantiene constante y tangencial a la superficielateral. Calcular:

a. Energía cinética a los 2 seg de haber aplicado la fuerzab. Trabajo realizado por dicha fuerza en ese tiempo

22

22

2

Kgm 8.02

1

srad 10

srad 52

1

21

=⇒  

  

 =

=⇒+=

=⇒  

  

 =⇒=

=

I MR I 

t 

MR FR I 

I E 

f of 

c ROTACION 

ω α ω ω 

α α α τ  

ω 

J 40=ROTACION c E 

⇒•= R F ω  J 40=ω 

13.- Un disco de 2 Kg y 20 cm de radio gira alrededor de su eje horizontal a600 rpm. Apoyado sobre la periferia del disco descansa una lámina metálica demasa m que actúa por su peso frenando el movimiento con un coeficiente defricción de 0.2. El disco se detiene a los 2 min de actuar el freno. Hallar:

a. Valor de la masa m b. Energía cinética del disco al minuto de actuar el freno

La fuerza que detiene al disco es la fuerza de roce yequivale a mg N Fr  µ  µ  ==La cual ejerce un torque de mgR R Fr  µ τ  =⋅= , lo que

conduce ag 

R M mR M mgR  disco

disco µ 

α α  µ 

22

1 2 =⇒   

  =

( )t 

f 

t f of  π ω ω ω 

α 2−

=−

=

Kg 05340 m .=Para calcular la Energía cinética de rotación, se procede:

  ( ) ⇒+⋅   

  == 2 

o2 

disco2 

c  t R M 2 1

2 1I 

2 1E 

ROTACION α ω ω 

J  7419E ROTACION c  .=

14.- Sobre un plano inclinado 30º y que ofrece una resistencia aldeslizamiento de coeficiente µ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido auna cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por dos discosacoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. De la

cuerda enrollada al disco pequeño pende un bloque de 10 kg de peso.Calcular:

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c. Las tensiones de las cuerdasd. La aceleración de cada cuerpo

∑∑

⋅=

⋅=

giran)que(objetos 

)trasladanseque(objetos 

α τ  I 

am F 

α ⋅=⋅−⋅⋅=−

⋅=−−

 I  RT  RT 

amT  P 

am x P  Fr T 

101033

10101010

3333

α 475.03

108.9

38.19

103

1010

33

=−=−=−

T T 

aT 

aT 

Sabiendo que:r a ⋅= α   

ernodiscoexternodisco I  I  I  int +=

Se resuelve el sistema de ecuaciones

N 6 .0 T 

N 11.28 T 

s / m92 .0 a

s / m77 .2 a

s / rad 25 .9

10 

3

10 

3

2 

=

=

=

=

=α 

15.- Una masa de 20 Kg se halla sobre un plano inclinado 30° respecto a lahorizontal, con el que tiene un rozamiento cuyo coeficiente de fricción vale 0.3,unida a una cuerda sin masa e inextensible que pasa por una polea de 160 Kgcuyo radio geométrico es de 20 cm y radio de giro 15 cm. De otra cuerda pendeuna masa de 40 Kg que es abandonada libremente. Calcular:

a. Aceleración con que se mueve elsistema

b. Tensiones de las cuerdas

m2

m1

8/6/2019 GUIA ROTACION 2

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Partiendo de la suposición que la masa colgante acelera hacia abajo, seplantearan las tres ecuaciones correspondientes al movimiento de las tresmasas:

( )    

  =−⇒=−

=−−

=−

R 

ar M R T R T I R T R T 

amcosg mgsenmT 

amT g m

2 

giro p12 12 

1111

2 2 2 

α 

θ  µ θ 

Resolviendo

N  327 T 

N  181T 

sm 62 .1a

2 

1

2 

===