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Ingeniería: Petrolera Fecha de entrega: 29/08/15Asignatura: Dinámica Calificación:Alumno: Ricardo Hernández RicardezTítulo: Movimiento de rotación.

Cinética de partículas.Cinética de conjuntos de partículas y cuerpos rígidos.

Docente: Gilberto Olan CamposPaginas: 01-48Cuatrimestre: 3ro

DINAMICA.

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Contenido.

1. Movimiento de rotación.

Desplazamiento angular.Velocidad angular.Aceleración angular. Componente tangencial y normal de la aceleración.

2. Cinética de partículas.

Trabajo y energía.Energía cinética.Principio de trabajo y la energía.Potencia y eficacia.Energía potencial.Fuerzas conservativas.

3. Cinética de conjuntos de partículas y cuerpos rígidos.

Impulso y cantidad de movimiento.Principios de impulso y la cantidad de movimiento.Impacto.Cantidad de movimiento lineal y angular.Ecuaciones del movimiento de cuerpo rígido.Momento angular.Vibraciones mecánicas.

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1. MOVIMIENTO DE ROTACION.

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

La rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular , que es un vector de carácter deslizante y situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».

La rotación también puede ser oscilatoria, como en el péndulo (izquierda). Los giros son completos sólo cuando la energía es lo suficientemente alta (derecha). El gráfico superior muestra la trayectoria en el espacio físico.

En ingeniería mecánica, se llama revolución a una rotación completa de una pieza sobre su eje (como en la unidad de revoluciones por minuto), mientras que en astronomía se usa esta misma palabra para referirse al movimiento orbital de traslación de un cuerpo alrededor de otro (como los planetas alrededor del Sol).

Animación de dos objetos orbitando alrededor de un centro de masas común, ejemplo de revolución.

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La rotación de un cuerpo alrededor de un eje (exterior o interior al cuerpo) corresponde a un movimiento en el que los distintos puntos del cuerpo presentan velocidades que son proporcionales a su distancia al eje. Los puntos del cuerpo situados sobre el eje (en el caso de que éste sea interior al cuerpo) permanecen en reposo.

La orientación del cuerpo en el espacio cambia continuamente durante la traslación.

Un ejemplo de rotación es el de la Tierra alrededor de su propio eje de rotación, con un período de rotación de un día sidéreo.

La revolución de una partícula o de un cuerpo extenso corresponde a un movimiento de traslación del cuerpo alrededor de otro.

Un ejemplo de revolución es el de la Tierra alrededor del Sol, con un periodo de revolución de un año.

La distinción entre rotación y revolución está asociada con la existente entre rotación y traslación de un cuerpo extenso. Si la velocidad de traslación es constante (v=cte.), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea.

DESPLAZAMIENTO ANGULAR.

El desplazamiento angular es la distancia recorrida por un cuerpo que sigue una trayectoria circular y se expresa frecuentemente en radiales (rad) grados (º) y revoluciones (rev); de estas unidades el radian es el más utilizado. Puesto que la circunferencia entre de un circulo u precisamente 2(3.1416) el radio en un círculo completo hay dos 3.1416

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A cuantos radianes sobre segundo corresponde 360º revoluciones por minuto (rpm)

360 rev/min (6.28rad/1rev) (1min) (60s)Rev/min=rad/seg=2.260.8rad/60s ===========37.68rad/s

Cuantos grados por Segundo se desplaza un punto que gira a 1400 revoluciones por minuto400*360/60====================8400º/s

Un punto que ha girado 3.500º en 1 minuto. ¿A cuántas revoluciones por minuto corresponde?360º raíz 3500 3500º/min(1rev/360)===========9.72rpm.

A cuantos grados por minuto corresponde 240rev/seg?

240*360*60/1

240rev/s(360/1rev)(60s/1min)============5.184*10ala6

Un disco con diámetro de 20 cm. tiene en su borde una moneda después de 12 revoluciones:¿Cuántos centímetros se habrá desplazado?== 753.98cm.¿Cuántos radianes se habrá desplazado?====75.36rad

Un punto en el borde de un disco de 80m de radio se desplaza en un ángulo de 37º.Calcular.Cuantos radianes se desplaza =====.64radCuantos revoluciones se ha desplazado === 0.1028revCual es la longitud del arco de cierto punto ====51.67

.6457rad(1rev/6.28rad)==.1028rev

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.1028rev/1*2(3.1416)(80)/1rev

6.28 (80) (.1027) ===51.62

VELOCIDAD ANGULAR.

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc.).

Velocidad angular.

Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.

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Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo.

De modo que su valor instantáneo queda definido por la derivada:

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos:

Donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo).

De modo que

Vector velocidad angular

El vector velocidad angular obedece a la regla de la mano derecha.

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector situado sobre el eje de rotación, cuyo módulo es el valor de la velocidad angular anteriormente definida, o sea

(1)

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Y cuya dirección coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al vector que indica la dirección del eje, y cuya dirección sea el definido por la regla anterior, tenemos

(2)

Donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya dirección está definida por la regla del tornillo. Llamando et y en a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma

(3)

De modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma

(4)

Donde es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación.

Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación.

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ACELERACION ANGULAR.

Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa . Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.

Definición matemática

Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección constante en el espacio, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.

Definimos el vector aceleración angular, y lo representamos por , de modo que

Siendo el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Si denominamos por el vector unitario asociado a dicho eje, de modo que sea

, podemos escribir

Resultando que, en general, el vector no está localizado sobre el eje de rotación.

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En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será y el vector aceleración angular estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,

de modo que el módulo de la aceleración angular, , es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la de cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, o si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será , aunque , ya que el vector unitario del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que es un vector, su derivada será un vector perpendicular a , esto es, al eje instantáneo de rotación.

Así pues, en el caso más general, la aceleración angular se expresará en la forma

Siendo la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por ) en el espacio.

En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es .

Así pues, en general,

el vector no tendrá la misma dirección que el vector . el vector aceleración angular no tendrá la dirección del eje de rotación.

La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.

COMPONENTE TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION. Carretera Comalcalco a Chichicapa; Ejido Santo domingoPágina 10

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Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosθ  y  an=a sinθ

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

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1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración

vx =3t-2 m/s,   ax=3 m/s2

vy=6t2-5 m/s,  ay=12t m/s2

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

vx =4 m/s,   ax=3 m/s2

vy=19 m/s,  ay=24 m/s2

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

4. Calculamos el módulo de la aceleración a y el ángulo θ  que forman el vector velocidad y el vector aceleración.

θ=arctana y a x  −arctanv y v x  =4.76ºa=a 2 x +a 2 y  − − − − − −  √ =24.2  

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

at=a·cosθ =24.1 m/s2

an=a·sinθ=2.0 m/s2

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

v⋅a=vacosθ=va t a t =v⋅av =v x a x +v y a y v 2 x +v 2 y   √    

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at

a 2 n =a 2 −a 2 t =a 2 x +a 2 y −(v x a x +v y a y ) 2 v 2 x +v 2 y  a n =a x v y −a y v x v 2 x +v 2 y   √    

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2. CINETICA DE PARTICULAS.

TRABAJO Y ENERGIA.

Concepto de trabajo

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y  el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.

Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.

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La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral

El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.

W=Ft·s

Ejemplo:

Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo

Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo

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Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

 

Concepto de energía cinética

Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.

En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

Se define energía cinética como la expresión

El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.

Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.

El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

La velocidad final v es

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ENERGIA CINETICA.

 

Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando están en el fondo de su trayectoria. Cuando comienzan a elevarse, la energía cinética comienza a ser convertida a energía potencial gravitacional, pero, si se asume una fricción insignificante y otros factores de retardo, la cantidad total de energía en el sistema sigue siendo constante.

En física, la energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada.

Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energía cinética. Suele abreviarse con letra Ec o Ek (a veces también T o K).

El adjetivo «cinético» en el nombre energía viene de la antigua palabra griega κίνησις, kinesis, que significa «movimiento». Los términos energía cinética y trabajo y su significado científico provienen del siglo XIX.

El principio de la mecánica clásica que E α mv ² fue desarrollado por primera vez por Gottfried Leibniz y Daniel Bernoulli , que describe la energía cinética como la fuerza viva o vis viva. Willem 's Graves ande de los Países Bajos proporcionó evidencia experimental de esta relación. Al caer los pesos de diferentes alturas en un bloque de arcilla, Graves ande determinó que la profundidad de penetración es proporcional al cuadrado de la velocidad de impacto. Émilie du Châtelet reconoció las implicaciones del experimento y publicó una explicación.

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Los primeros conocimientos de esas ideas pueden ser atribuidos a Gaspard Coriolis quien en 1829 publicó un artículo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines esbozando las matemáticas de la energía cinética. El término energía cinética se debe a William Thomson más conocido como Lord Kelvin en 1849.

Existen varias formas de energía como la energía química, el calor, la radiación electromagnética, la energía nuclear, las energías gravitacional, eléctrica, elástica, etc., todas ellas pueden ser agrupadas en dos tipos: la energía potencial y la energía cinética.

La energía cinética puede ser entendida mejor con ejemplos que demuestren cómo ésta se transforma de otros tipos de energía y a otros tipos de energía. Por ejemplo un ciclista quiere usar la energía química que le proporcionó su comida para acelerar su bicicleta a una velocidad elegida. Su velocidad puede mantenerse sin mucho trabajo, excepto por la resistencia del aire y la fricción. La energía química es convertida en una energía de movimiento, conocida como energía cinética, pero el proceso no es completamente eficiente y el ciclista también produce calor.

La energía cinética en movimiento de la bicicleta y el ciclista pueden convertirse en otras formas. Por ejemplo, el ciclista puede encontrar una cuesta lo suficientemente alta para subir, así que debe cargar la bicicleta hasta la cima. La energía cinética hasta ahora usada se habrá convertido en energía potencial gravitatoria que puede liberarse lanzándose cuesta abajo por el otro lado de la colina. Alternativamente el ciclista puede conectar una dínamo a una de sus ruedas y así generar energía eléctrica en el descenso. La bicicleta podría estar viajando más despacio en el final de la colina porque mucha de esa energía ha sido desviada en hacer energía eléctrica. Otra posibilidad podría ser que el ciclista aplique sus frenos y en ese caso la energía cinética se estaría disipando a través de la fricción en energía calórica.

PRINCIPIO DE TRABAJO Y LA ENERGIA.

Este principio establece que el trabajo mecánico realizado sobre un cuerpo es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo.

Esto significa, que el trabajo mecánico es igual a la energía cinética final menos la energía cinética inicial del cuerpo.

La fórmula que relaciona el trabajo mecánico con el cambio de energía cinética:

 

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O sea:

Dónde:

 W = trabajo mecánico medido en J.

 Ecf = energía cinética final medida en J.

 Eci = energía cinética inicial medida en J.

 m = masa medida en kg.

vf2 = velocidad final al cuadrado medida en m2 / s2

vi2 = velocidad inicial al cuadrado medida en m2 / s2

Por ejemplo:

Calcula cuanto trabajo mecánico realiza una persona al empujar una silla de ruedas, que posee una masa de 50 kg,  para variar su  velocidad de 0 m/seg a 2 m/s. 

Lees el problema y extraes datos e incógnita:

 W =?

 m = 50 kg.

vi = 0 m/s.

vf = 2 m/s.

Eliges la fórmula que te permite calcular la incógnita a partir de tus datos:

Reemplazas los datos en la fórmula: 

W = 1/2 . 50 kg . (2 m/s)2  - 1/2 . 50 kg . (0 m/s)2

W = 1/2 . 50 kg . 4 m2/s2

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Calculas el resultado numérico y colocas la unidad en que se mide el trabajo mecánico:

W = 100 J.

El trabajo mecánico que realiza  la persona es de 100 J.

Principio de Conservación de la energía

En 1847, el físico, James Prescott Joule enuncia el Principio de Conservación de la energía.

El Principio de Conservación de la energía expresa que "la energía no se crea ni  se destruye, se transforma".

Esto quiere decir, que la energía puede transformarse de una forma a otra, pero la cantidad total de energía siempre permanece constante.

Por ejemplo:

Estando en la máxima altura en reposo una pelota solo posee energía potencial gravitatoria. Su energía cinética es igual a 0 J.

Una vez que comienza a rodar su velocidad aumenta por lo que su energía cinética aumenta pero, pierde altura por lo que su  energía potencial gravitatoria disminuye. 

Finalmente al llegar a la base de la pendiente su velocidad es máxima por lo que su energía cinética es máxima pero, se encuentra a una altura  igual a 0 m por lo que su energía potencial gravitatoria es igual a 0 J. 

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FIGURA 3-4  La energía potencial gravitatoria que posee la pelota, debido a la altura a la que se encuentra, empieza a transformarse en energía cinética al comenzar a moverse la pelota. 

POTENCIA Y EFICACIA.

En física, potencia (símbolo P)[nota 1] es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo.

Si W es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de tiempo de duración Δt, la potencia media durante ese intervalo está dada por la relación:

La potencia instantánea es el valor límite de la potencia media cuando el intervalo de tiempo Δt se aproxima a cero. En el caso de un cuerpo de pequeñas dimensiones:

Donde

P es la potencia,

W es el trabajo,

t es el tiempo.

r es el vector de posición.

F es la fuerza.

v es la velocidad.

La potencia mecánica aplicada sobre un sólido rígido viene dado por el producto de la fuerza resultante aplicada por la velocidad:

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Si además existe rotación del sólido y las fuerzas aplicadas están cambiando su velocidad angular:

Dónde:

, son la fuerza resultante y el momento resultante.

, son la velocidad del punto donde se ha calculado la resultante efectiva y la velocidad angular del sólido.

Para un sólido deformable o un medio continuo general la expresión es más compleja y se expresa como producto del tensor tensión y el campo de velocidades. La variación de energía cinética viene dada por:

Dónde:

, son las componentes del tensor de tensiones de Cauchy.

, son las componentes del tensor de velocidad de deformación.

Eficacia: "Capacidad de lograr el efecto que se desea o se espera, sin que priven para ello los recursos o los medios empleados". Esta es una acepción que obedece a la usanza y debe ser reevaluada por la real academia; por otra parte, debe referirse más bien a equipos.

Potencia se refiere al rango de dosis dentro del cual una substancia produce respuestas crecientes. La curva del tóxico (o droga) más potente aparece más cercana al origen.

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Figura 2.5.1.C.- Potencia y Eficacia de 3 Compuestos.

La potencia de una droga está influenciada por factores tales como la absorción, el metabolismo, etc. La eficacia está relacionada a una acción más fundamental de la droga, es una medida de la capacidad intrínseca de la droga para producir un efecto. Este valor se estima midiendo la altura máxima de la curva dosis-respuesta (cuando la curva se vuelve asintótica a las absisas) y, como ya vimos anteriormente, se le denomina Emax.

Dos drogas que son cualitativamente iguales en producir un efecto particular pueden diferir en su eficacia, en su potencia, o en ambas (Figura 2.5.1.C). El compuesto 1 es más potente que el compuesto 2, y el compuesto 2 es más potente que el compuesto 3; los compuestos 1 y 2 tienen igual eficacia, pero el compuesto 3 es menos eficaz que 1 y 2.

ENERGIA POTENCIAL.

Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía potencial gravitacional en la parte más alta del recorrido. Al descender, ésta es convertida en energía cinética, la que llega a ser máxima en el fondo de la trayectoria (y la energía potencial mínima). Luego, al volver a elevarse debido a la inercia del movimiento, el traspaso de energías se invierte. Si se asume una fricción insignificante, la energía total del sistema permanece constante.

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En un sistema físico, la energía potencial es la energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración. Puede pensarse como la energía almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra o .

La energía potencial puede presentarse como energía potencial gravitatoria, energía potencial electrostática, y energía potencial elástica.

Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.

La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa. Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son no conservativas, entonces no se puede definir la energía potencial, como se verá a continuación. Una fuerza es conservativa cuando se cumple alguna de las siguientes propiedades:

El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido.

El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo. Cuando el rotacional de la fuerza es cero.

Se puede demostrar que todas las propiedades son equivalentes (es decir, que cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial se define como:

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Si las fuerzas no son conservativas no existirá en general una manera unívoca de definir la anterior integral. De la propiedad anterior se sigue que si la energía potencial es conocida, se puede obtener la fuerza a partir del gradiente de U:

También puede recorrerse el camino inverso: suponer la existencia una función energía potencial y definir la fuerza correspondiente mediante la fórmula anterior. Se puede demostrar que toda fuerza así definida es conservativa.

La forma funcional de la energía potencial depende de la fuerza de que se trate; así, para el campo gravitatorio (o eléctrico), el resultado del producto de las masas (o cargas) por una constante dividido por la distancia entre las masas (cargas), por lo que va disminuyendo a medida que se incrementa dicha distancia.

Energía potencial gravitatoria

La fuerza gravitatoria mantiene a los planetas en órbita en torno al sol.

La energía potencial gravitatoria es la energía asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la fuerza de la gravedad.

Por ejemplo, si un libro en una mesa es elevado, una fuerza externa estará actuando en contra de la fuerza gravitacional. Si el libro cae, el mismo trabajo que es empleado para levantarlo, será efectuado por la fuerza gravitacional.

Por esto, un libro a un metro del piso tiene menos energía potencial que otro a dos metros, o un libro de mayor masa a la misma altura.

Si bien la fuerza gravitacional varía con la distancia (altura), en las proximidades de la superficie de la Tierra la diferencia es muy pequeña como para ser considerada, por lo que se considera a la aceleración de la gravedad como una

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constante (9,8 m/s2) en cualquier parte. En cambio en la Luna, cuya gravedad es muy inferior, se generaliza el valor de 1,66 m/s2

Para estos casos en los que la variación de la gravedad es insignificante, se aplica la fórmula:

Donde es la energía potencial, la masa, la aceleración de la gravedad, y la altura.

Sin embargo, si la distancia (la variación de altitud) es importante, y por tanto la variación de la aceleración de la gravedad es considerable, se aplica la fórmula general:

Donde es la energía potencial, es la distancia entre la partícula material y el centro de la Tierra, la constante universal de la gravitación y la masa de la Tierra. Esta última es la fórmula que necesitamos emplear, por ejemplo, para estudiar el movimiento de satélites y misiles balísticos:

FUERZAS CONSERVATIVAS.

En un campo conservativo, el trabajo realizado para ir del punto A al punto B depende sólo de A y de B: es independiente de la trayectoria que se utilice para desplazarse entre ambos.

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En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita de un planeta) es nulo. El nombre conservativo se debe a que para una fuerza de ese tipo existe una forma especialmente simple (en términos de energía potencial) de la ley de conservación de la energía.

Las fuerzas que dependen sólo de la posición son típicamente conservativas. Un ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza gravitatoria de la mecánica newtoniana. Las fuerzas dependientes del tiempo o de la velocidad (por ejemplo, la fricción o rozamiento) son típicamente no conservativas. La mayoría de sistemas físicos fuera del equilibrio termodinámico son no-conservativos; en ellos la energía se disipa por procesos análogos al rozamiento.

Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá las otras ya que matemáticamente son equivalentes):

Hay un campo escalar con:

(1)

Donde es el gradiente del campo escalar V(r).

El trabajo

(2a)

A lo largo de un camino cualquiera S a través del campo de fuerza depende sólo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también

(2b)

El campo es simplemente continuo y cumple la condición de integrabilidad:

(3) . Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará

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3. CINETICA DE CONJUNTOS DE PARTICULAS Y CUERPOS RIGIDOS.

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

Según el principio de masa, si a ésta se le aplica una fuerza F adquiere una aceleración a:

F = m.a

Siendo:

F: fuerza [F] = N (Newton)

a: aceleración [a] = m/s²

m: masa [m] = kg

Multiplicando ambos miembros por el tiempo T en que se aplica la fuerza F:

F.t = m.a.t

Como:

a.t = v

Siendo:

v: velocidad [v] = m/s

t: tiempo [t] = s

Tenemos:

F.t = m.v

Al término F.t se lo denomina impulso de la fuerza y al término m.v se lo denomina cantidad de movimiento, entonces, para el primero:

I = F.t

Siendo:

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I: impulso [I] = kg.m/s

Para el segundo:

p = m.v

Siendo:

p: cantidad de movimiento [p] = kg.m/s

Para deducir las unidades, tenemos:

F.t = m.v

N.s = kg.m/s N = kg.m/s²

kg.m/s².s = kg.m/s

Luego:

[I] = [p] = kg.m/s = N.s

El impulso de la fuerza aplicada es igual a la cantidad de movimiento que provoca, o dicho de otro modo, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él.

Es igual al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él.

Unidades en los distintos sistemas

c.g.s. S.I. TécnicoCantidad de movimiento

Impulso

g.m/s

din.s

kg.m/s

N.s

kgf.s

kgf.s

El impulso y la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales.

Conservación de la cantidad de movimiento

Si con un cuerpo de masa m1 y velocidad v1 se aplica una fuerza a otro cuerpo de masa m2 y velocidad v2, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el principio de acción y reacción y tenemos que:

m1.v1 = m2.v2

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Es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del choque, debe ser igual a la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere.

Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice:

En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones.Σm.v = 0mi.vi = mf.vf

ΔP = Δp1 + Δp2

Choque

Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro y produciéndose contacto físico.

Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico.

En ambos casos ocurre una variación de la energía cinética que se transformará en calor que disiparán los cuerpos.

1) Choque plástico o inelástico

a) Velocidades de igual dirección y sentido

Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v1 que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m2 y velocidad v2, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos.

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La velocidad final será:

m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f

Como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:

v1f = v2f = vf

m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf

vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2)

b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.

En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será:

m1.v1i - m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f

Igualmente:

v1f = v2f = vf

m1.v1i - m2.v2i = (m1 + m2).vf

vf = (m1.v1i - m2.v2i)/(m1 + m2)

La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.

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2) Choque elástico

a) Velocidades de igual sentido

Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada uno será:

v1f = (v2f + v2i).m2/m1 + v1i

ó:v1f = v2f + v2i - v1i

b) Velocidades de distinto sentido

En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será:

v1f = (v2f - v2i).m2/m1 + v1i

El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad de movimiento.

Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño.

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Que es el impulso y la cantidad de movimiento. Cuando una fuerza actúa durante un intervalo de tiempo sobre un cuerpo, le suministra un impulso que se define de la siguiente forma: </li></ul><ul><li>I = F T </li></ul><ul><li>El impulso es una magnitud vectorial igual en magnitud al producto de la fuerza por el intervalo de tiempo en que actúa. Su dirección es la misma que de la fuerza y en el Sistema Internacional se mide en [ N. s ] . </li></ul>

EJEMPLOS

En donde I = al impulso medida de N.s (newton . Segundo) </li></ul><ul><li>F = la fuerza aplicada(N) </li></ul><ul><li>T = al tiempo medido en segundos </li></ul>

ALGUNO EJEMPLOS DEL IMPULSO

Algo que sucede cuando se le aplica un impulso a una cuerpo es que en la mayoría de casos cambia también su cantidad de movimiento, el cual se expresa de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>P = m.v </li></ul>

En donde: <ul><li>P = a la cantidad de movimiento el cual se expresa en Kg. m/s (slugs. Ft/s) </li></ul><ul><li>m = a la masa </li></ul><ul><li>V = velocidad (m/s) o (ft/s) </li></ul>

1. resulta ser: </li></ul><ul><li> F dt = m dv </li></ul><ul><li>De manera que resulta </li></ul><ul><li>F. t = m. v y como: </li></ul><ul><li>P = m.v e I = F.T entonces como podemos ver </li></ul>

2. 16. De otra manera se puede decir lo siguiente. <ul><li>El principio de impulso y cantidad de movimiento, afirma que las fuerzas que actúan directamente y durante un intervalo de tiempo t, sobre un cuerpo a través de su trayectoria, alteran la cantidad de movimiento </li></ul>

3. 17. Fuerzas impulsivas <ul><li>Cuando un cuerpo rígido se utiliza para impulsar a otro, mediante el contacto entre ellos, que tiene un tiempo de duración t, pequeño del orden de los 0.001 o, 0.01 segundos (en algunos casos tal vez del orden de 0.5 s), se afirma que una fuerza muy grande fue la que produjo el impulso, a dicha fuerza se le asigna el nombre de fuerza impulsiva. </li></ul>

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PRINCIPIOS DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial.  El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

Cantidad de MovimientoLa cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad.

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.

m =  Masav  =  Velocidad (en forma vectorial)p  =  Vector cantidad de movimiento

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Relación entre Impulso y Cantidad de MovimientoEl impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como:

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:

Cantidad de movimiento

Ejemplo de colisión elástica (m1 = 4 kg, u1 = 5 m/s, m2 = 4 kg, u2 = 0 m/s) de dos cuerpos de la misma masa: todo el momento lineal es transferido del primero al segundo.

Ejemplo de colisión elástica (m1 = 1000 kg, u1 = 5 m/s, m2 = 0,1 kg, u2 = 0 m/s) de un objeto muy pesado contra otro muy ligero, existe una pequeña transferencia de momento al más ligero que sale disparado a mayor velocidad, mientras que el primer cuerpo apenas sufre una ligera deceleración v1 = 4,999 m/s, v2 = 9,999 m/s

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante

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determinado. Históricamente, el concepto se remonta a Galileo Galilei. En su obra Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton en Principia Matemática usa el término latino motus[1] (movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras directamente tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: en mecánica newtoniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana se admiten formas más complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aun cuando se usan sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de operadores auto adjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.

En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con las leyes de Newton. No obstante, tras el desarrollo de la física moderna, esta manera de operar no resultó ser la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta definición newtoniana esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo.

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IMPACTO.

El choque se define como la colisión entre dos o más cuerpos.

Un choque físico o mecánico es percibido por una repentina aceleración o desaceleración causada normalmente por un impacto, por ejemplo, de una gota de agua, aunque también una explosión causa choque; cualquier tipo de contacto directo entre dos cuerpos provoca un choque. Lo que mayormente lo caracteriza es la duración del contacto que, generalmente, es muy corta y es entonces cuando se transmite la mayor cantidad de energía entre los cuerpos.

Un choque suele medirse con un acelerómetro. Esto describe un choque de pulso, como una parcela de aceleración en función del tiempo. La aceleración se puede tomar en unidades de metro por segundo al cuadrado. A menudo, por conveniencia, la magnitud de un choque se mide como un múltiplo de la aceleración de la (gravedad), g, que tiene un valor de 9,80665 m/s2 a nivel del mar. Así, un choque de "20g" es equivalente a aproximadamente 196 m/s2. Un choque puede ser caracterizado por la aceleración máxima, la duración y la forma del pulso de choque (la mitad seno, triangular, etc.)

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR.

Ejemplo de colisión elástica (m1 = 4 kg, u1 = 5 m/s, m2 = 4 kg, u2 = 0 m/s) de dos cuerpos de la misma masa: todo el momento lineal es transferido del primero al segundo.

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Ejemplo de colisión elástica (m1 = 1000 kg, u1 = 5 m/s, m2 = 0,1 kg, u2 = 0 m/s) de un objeto muy pesado contra otro muy ligero, existe una pequeña transferencia de momento al más ligero que sale disparado a mayor velocidad, mientras que el primer cuerpo apenas sufre una ligera deceleración v1 = 4,999 m/s, v2 = 9,999 m/s

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente, el concepto se remonta a Galileo Galilei.

En su obra Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el término italiano ímpeto, mientras que Isaac Newton en Principia Matemática usa el término latino motus[1] (movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras directamente tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: en mecánica newtoniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en la mecánica la grangiana o hamiltoniana se admiten formas más complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aun cuando se usan sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de operadores auto adjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.

En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con las leyes de Newton. No obstante, tras el desarrollo de la física moderna, esta manera de operar no resultó ser la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta definición newtoniana esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

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La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo.

Cantidad de movimiento angular

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mercantica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas de una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación.

Esta magnitud desempeña respecto a la rotación un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en modulo y dirección), también se conserva.

Objetos de ejecución de movimiento alrededor de un punto poseen una cantidad llamada momento angular. Este es una magnitud física importante, ya que toda la evidencia experimental indica que el momento angular es rigurosamente conservado en nuestro universo: puede ser transferido, pero no puede ser creado o destruido.

La cantidad de movimiento angular es una medida de propiedad racional del movimiento. Así como una masa que se mueve en línea recta tiene cantidad de movimiento que en ocasiones se especifica como cantidad de movimiento traslación al o movimiento lineal.

Ejemplos. · Los planetas que orbitan al sol. · Una roca que gira atada al extremo de una cuerda. · Los diminutos electrones que revolucionan alrededor de sus núcleos centrales en los átomos, todos tienen cantidad de movimiento angular.

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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO.

Un cuerpo rígido, es un concepto, que representa cualquier cuerpo que no se deforma y es representado por un conjunto de puntos en el espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante sobre él:

|ra -rb | = c

Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido son las mismas que se utilizan para resolver problemas relacionados con cinemática, es decir:

De manera general:

Momentos de inercia

El cálculo de momentos de Inercia requiere realizar integraciones. Además el cálculo debe ser en algún origen específico del cuerpo y para ejes determinados. Normalmente se encuentran los momentos de Inercia para orígenes coincidiendo con el centro de masa y para ejes que coinciden con ejes de simetría, cuando los hay. Se darán algunos ejemplos de cálculo, pero ahora daremos los resultados para los cuerpos de formas más simples.

Por ejemplo:

Cilindro

I = ½ MR²

Esfera

I = 2 /5MR²

Barra delgada en su centro

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I = 1 /12ML²

Barra delgada en su extremo

I = 1 /3ML²

Teorema de Steiner

Conocido el momento de inercia para un eje que pasa por el centro de masa G, se puede calcular el momento de inercia para otro eje paralelo al anterior en un punto A mediante la relación conocida como teorema de Steiner

IA = IG + Md2

Donde d es la distancia entre esos dos ejes. Para demostrarlo considere ejes GX"Y"Z" con origen en G, y ejes paralelos AXY Z con origen en A. Consideremos solamente momentos de inercia respecto al eje Z, porque la demostración para los otros es análoga. Entonces tenemos

Pero las coordenadas están relacionadas. De

Se obtienen

Y luego

De manera que

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Pero

Por qué son coordenadas relativas al centro de masa y

Distancia entre los ejes Z. Ha resultado entonces

IA = IG + Md2

Movimiento de rotación

El caso más simple ocurre cuando el cuerpo puede solamente girar en torno a un eje fijo. Si llamamos O al punto del cuerpo por donde pasa el eje de rotación, nuestra relación fundamental entre torque y momentum angular es

La energía cinética del cuerpo es

Que pueden escribirse

Ejemplo:

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El sistema está formado por una barra delgada y homogénea OA, de 2 m de longitud y 10 N de peso, articulada en O y rígidamente unida a un disco homogéneo B de 1 m de radio y 20 N de peso se suelta desde el reposo en la posición indicada en la figura.

MOMENTO ANGULAR.

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular.

El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s.

Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.

El nombre tradicional en español es momento cinético,[1] pero por influencia del inglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

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Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto es el producto vectorial de su momento lineal por el vector .

En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo . Siendo el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será

El vector es perpendicular al plano que contiene y , en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecha y su módulo o intensidad es:

Esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.

Momento angular y momento dinámico

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:

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Donde es la aceleración de la partícula, de modo que , es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, y deberán estar referidos al mismo punto O.

VIBRACIONES MECANICAS.

Vibración mecánica: es el movimiento de vaivén de las moléculas de su cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.

En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, etc.

Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.

Los grados de libertad: son el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. En caso de ser un sistema holónomo, coinciden los grados de libertad con las coordenadas independientes.

Grado de libertad.- es el mínimo número de coordenadas requeridas e independientes para determinar completamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante.

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En mecánica clásica y la grangiana, la dimensión d del espacio de configuración es igual a dos veces el número de grados de libertad GL, d = 2·GL.

El número de grados de libertad: en ingeniería se refiere al número mínimo de números reales que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.

Frecuencias Naturales de vibraciones: De cualquier estructura física se puede hacer un modelo en forma de un número de resortes, masas y amortiguadores. Los amortiguadores absorben la energía pero los resortes y las masas no lo hacen. Como lo vimos en la sección anterior, un resorte y una masa interactúan uno con otro, de manera que forman un sistema que hace resonancia a su frecuencia natural característica.

Si se le aplica energía a un sistema resorte-masa, el sistema vibrará a su frecuencia natural, y el nivel de las vibraciones dependerá de la fuerza de la fuente de energía y de la absorción inherente al sistema. . La frecuencia natural de un sistema resorte-masa no amortiguado se da en la siguiente ecuación:

Donde Fn = la frecuencia natural

k = la constante del resorte, o rigidez

m = la masa

De eso se puede ver que si la rigidez aumenta, la frecuencia natural también aumentará, y si la masa aumenta, la frecuencia natural disminuye. Si el sistema tiene absorción, lo que tienen todos los sistemas físicos, su frecuencia natural es un poco más baja y depende de la cantidad de absorción.

Un gran número de sistemas resorte-masa-amortiguación que forman un sistema mecánico se llaman "grados de libertad", y la energía de vibración que se pone en la máquina, se distribuirá entre los grados de libertad en cantidades que dependerán de sus frecuencias naturales y de la amortiguación, así como de la frecuencia de la fuente de energía.

Por esta razón, la vibración no se va a distribuir de manera uniforme en la máquina. Por ejemplo, en una máquina activada por un motor eléctrico una fuente mayor de energía de vibración es el desbalanceo residual del rotor del motor. Esto resultará en una vibración medible en los rodamientos del motor. Pero si la máquina tiene un grado de libertad con una frecuencia natural cerca de las RPM del rotor, su nivel de vibraciones puede ser muy alto, aunque puede estar ubicado a una gran distancia del motor.

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Es importante tener este hecho en mente, cuando se hace la evaluación de la vibración de una máquina. --la ubicación del nivel de vibración máximo no puede estar cerca de la fuente de energía de vibración. La energía de vibración frecuentemente se mueve por largas distancias por tuberías, y puede ser destructiva, cuando encuentra una estructura remota con una frecuencia natural cerca de la de su fuente.

CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS.

Toda máquina en funcionamiento, aunque este muy bien diseñada, ajustada y equilibrada, se ve sometida a vibraciones en todos sus elementos.

El fenómeno de vibración no es posible eliminarlo nunca y así lo demuestra la experiencia. Las razones son varias, fundamentalmente podemos decir que hay solicitaciones tanto externas como internas a la máquina, que hacen vibrar a todos sus componentes.

El viento es en el aeromotor el agente externo excitador fundamental. Internamente, el alternador (campos magnéticos variables) y todas las pequeñísimas desalineaciones, holguras, excentricidades, etc. que tienen todos los componentes mecánicos, son fuentes internas de excitación para la máquina en conjunto.se produce vibración cuando a un sistema mecánico se le desplaza de su posición de equilibrio y se le deja libre, o bien se le somete a una percusión, o bien se le aplica una fuerza variable con el tiempo.

En general, podemos definir la vibración como: todo desplazamiento oscilante con el tiempo de un elemento o sistema, alrededor de su posición de equilibrio estático.

En el problema de vibraciones intervienen las fuerzas elásticas y las de inercia. El estudio de vibraciones en un aeromotor se hace necesario porque un nivel excesivo o anómalo en las mismas puede conducir a:

Alterar las condiciones normales de operación de la máquina con el perjuicio que ello lleva, de desajustes y holguras entre elementos con pérdida de rendimiento y aumento de ruido sonoro. - si la vibración es muy intensa, pueden producir aflojes de uniones y el fallo estructural o colapso de la máquina.

- con vibraciones no muy intensas, puede producirse el fallo con el tiempo de funcionamiento de la máquina, por fatiga de algunos de sus elementos. Las vibraciones se pueden clasificar de varias maneras, según el concepto a estudiar. Una primera clasificación puede ser en:

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Para un sistema vibrando linealmente rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas son relativamente sencillas y están bien desarrolladas. Por el contrario las técnicas para sistemas no lineales son más complicadas y difíciles de aplicar. Los sistemas tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de su oscilación.

También se puede establecer una segunda clasificación de la siguiente manera:

La vibración puede ser periódica o aleatoria. La vibración periódica está caracterizada por su período de tiempo muy bien definido, (su inversa es la frecuencia), figura 10. En cambio hay vibraciones que no tienen una forma de onda o período repetible característico definido. Estas son las llamadas vibraciones aleatorias o random. Ver figura 1.

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El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

Vibración: es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación.

Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con la vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al # de ciclos por segundo de vibración.

Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características potenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.

Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio de posición la parte potencial.

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