MOVIMIENTO DE ROTACIONRotacin en fsicaConcepto de rotacin y revolucin

Ejemplo de rotacin.

Ejemplo de revolucin.

El movimiento de la estructura de una nora corresponde a un movimiento de rotacin. Por el contrario, las barquillas de la noria realizan un movimiento de traslacin o revolucin con trayectoria circular.En astronoma es habitual distinguir entre el movimiento de rotacin y el de revolucin con los siguientes sentidos: Larotacinde un cuerpo alrededor de uneje(exterior o interior al cuerpo) corresponde a un movimiento en el que los distintos puntos del cuerpo presentan velocidades que son proporcionales a su distancia al eje. Los puntos del cuerpo situados sobre el eje (en el caso de que ste sea interior al cuerpo) permanecen en reposo. Laorientacin del cuerpo en el espacio cambia continuamente durante la traslacin. Un ejemplo de rotacin es el de la Tierra alrededor de su propioeje de rotacin, con unperodo de rotacinde unda sidreo. Larevolucinde una partcula o de un cuerpo extenso corresponde a unmovimiento de traslacin del cuerpoalrededor de otro. Un ejemplo de revolucin es el de la Tierra alrededor del Sol, con unperiodo de revolucinde unao.La distincin entre rotacin y revolucin est asociada con la existente entrerotacinytraslacinde un cuerpo extenso. Si la velocidad de traslacin es constante (v=cte), cada uno de los puntos del slido recorrer unatrayectoria rectilneacon celeridad constante y todas esas trayectorias sern paralelas entre s (movimiento de traslacin uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslacin no tiene por que ser constante y la trayectoria puede sercurvilnea.Las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situacin se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la figura: la armadura de la noria gira en torno al eje (rotacin), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeas oscilaciones pendulares, experimentan una traslacin con trayectorias circulares.Movimiento rotatorio[editar]Rotacin infinitesimal[editar]En una rotacin en un ngulo infinitesimal, se puede tomar cos 1 y sen, de modo que la expresin de la rotacin plana pasa a ser:

Si se componen dos rotaciones infinitesimales y, por ello, se descartan los trminos de orden superior al primero, se comprueba que poseen la propiedad conmutativa, que no tienen las rotaciones tridimensionales finitas.Matemticamente el conjunto de las rotaciones infinitesimales en el espacio euclideo forman ellgebra de Lie, asociada algrupo de LieSO(3)Velocidad angular[editar]Artculo principal:Cinemtica del slido rgidoDado un slido rgido que rota alrededor de un eje, la velocidad linealvde una partcula se puede expresar a partir de lavelocidad angular:

Mientras que la aceleracinaes:

Si el slido rgido adems de rotar alrededor de un eje tiene un movimiento adicional de traslacin con velocidad instantneaVentonces las frmulas anteriores deben substituirse por:

Dinmica de rotacinLa velocidad angular de rotacin est relacionada con elmomento angular. Para producir una variacin en elmomento angulares necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relacin entre el momento de las fuerzas que actan sobre el slido y la aceleracin angular se conoce comomomento de inercia(I) y representa la inercia o resistencia del slido a alterar su movimiento de rotacin.La energa cintica de rotacin se escribe:

Siendoeltensin de inercia. La expresin delteorema del trabajoen movimientos de rotacin se puede expresar as:

de modo que, la variacin de la energa cintica del slido rgido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ngulo girado ().Eje de rotacinSi bien se define la rotacin como un movimiento de rotacin alrededor de un eje, debe tenerse presente que dicho eje de rotacin puede ir cambiando su inclinacin a lo largo del tiempo. As sucede con eje de rotacin terrestre y en general el eje de rotacin de cualquier slido en rotacin que no presentesimetra esfrica. Para un planeta, o en general cualquier slido en rotacin, sobre el que no acta unpar de fuerzael momento angular se mantiene constante, aunque eso no implica que su eje de rotacin sea fijo. Para unapeonza simtrica, es decir, un slido tal que dos de susmomentos de inerciaprincipales sean iguales y el tercero diferente, el eje de rotacin gira alrededor de la direccin del momento angular. Los planetas con muy buena aproximacin son esferoides achatados en los polos, lo cual los convierte en una peonza simtrica, por esa razn su eje de giro experimenta una rotacin conocida comoprecesin. La velocidad angular de precesin viene dada por el cociente entre el momento angular de rotacin y el menor de los momentos de inercia del planeta:

El caso de existencia de asimetra axial el planeta es una peonza asimtrica y adems el eje de giro puede realizar un movimiento denutacin.Rotacin en matemticasIntroduccin matemticaEl tratamiento detallado de las rotaciones ha sido objeto de numerosos trabajos matemticos, que abordan el problema desde diversos puntos devistay grados de sofisticacin:cuaterniones,matrices,operadoresvectoriales,teora de grupos... Todos estos enfoques son matemticamente equivalentes y se pueden derivar unos de otros, salvo en algunos aspectos concretos y posibles resultados redundantes, y la eleccin de uno u otro depende del problema concreto. Con la llegada de la robtica y los grficos informticos, la matemtica de las rotaciones ha cobrado un nuevo impulso y ha pasado a ser una materia de estudio muy activo, con particular nfasis en el enfoque basado encuaterniones.Enmatemticaslasrotacionessontransformaciones linealesque conservan lasnormas (es decir, sonisomtricas) en espacios vectoriales en los que se ha definido una operacin deproducto interiory cuyamatriztiene la propiedad de ser ortogonaly dedeterminanteigual a 1. Si eldeterminantees +1 se llamarotacin propiay si es 1, adems de una rotacin propia hay una inversin o reflexin y se habla derotacin impropia.1La conservacin de la norma es equivalente a la conservacin delproducto interior, que se puede expresar como:

Consecuencia de ella es que las distancias y las formas tambin se conservan.Como parmetro que determina la rotacin se puede usar un vector (que tiene carcter deslizante) del eje de rotacin y de longitud proporcional al ngulo de rotacin. Sin embargo, lo normal es separar este vector en el ngulo y un vector unitario, lo que en el espacio da cuatro parmetros.2Como consecuencia hay dos formas de representar una nica rotacin, pues

Rotaciones en el plano

Cambio de base o rotacin de un vector.Sea un vectorAen elplano cartesianodefinido por sus componentesxey, descrito vectorialmente a travs de sus componentes:

La operacin de rotacin del punto sealado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la accin de un operador lineal (representado por unamatriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector:

Expresin matricialEn dos dimensiones la matriz de rotacin para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:

Al hacer la aplicacin del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vectorA'que ha sido rotado en un nguloen sentido antihorario:

Siendo

las componentes del nuevo vector despus de la rotacin.Expresin mediante nmeros complejosLas rotaciones en el plano pueden tratarse igualmente mediantenmeros complejos, ya que eies una rotacin de nguloa:

El grupo de rotaciones en dos dimensiones es isomorfo algrupo de Lie,ortogonal especialSO (2) que a su vez es isomorfo algrupo unitarioU(1).Teorema de rotacin de EulerEn matemticas, elteorema de rotacin de Eulerdice que cualquier rotacin o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotacin alrededor de una nica direccin o eje de rotacin principal. De este modo, toda rotacin (o conjunto de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a travs del eje de rotacin equivalente definido vectorialmente por tres parmetros y un cuarto parmetro representativo del ngulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parmetrosgrados de libertad de rotacin.Rotaciones en el espacio

Las tres rotaciones planas de los ngulos de Euler. En la primera el eje esz, que apunta hacia arriba y gira los ejesxey; en la segunda el eje esx, que apunta hacia el frente y que inclina el ejez, y en la ltima de nuevo el eje esz.Las rotaciones tridimensionales revisten especial inters prctico por corresponderse con la geometra del espacio fsico en que vivimos (naturalmente siempre que se consideren regiones de escala mediana, ya que para distancias grandes la geometra no es estrictamente eucldea). En tres dimensiones conviene distinguir entre las rotacionesplanasorectangulares, que son aquellas en las que el vector rotado y el que determina el eje de giro forman un ngulo recto, y lascnicas, en las que el ngulo entre estos vectores no es recto. Las rotaciones planas son de tratamiento matemtico ms simple, pues se pueden reducir al caso bidimensional descrito ms arriba, mientras que las cnicas son mucho ms complejas y por lo general se tratan como una combinacin de rotaciones planas (especialmente losngulos de Eulery los parmetros de Euler-Rodrigues).

Expresin vectorialLa expresin vectorial de las rotaciones cnicas es:

Dnde:Representan los vectores posicin de un punto antes y despus de la operacin de rotacin.Es un vector unitario que coincide con la direccin de eje de giro.Es el valor del ngulo girado., denotan respectivamente elproducto escalary elproducto vectorial.Expresiones matricialesMatricialmente este producto se puede escribir de varias maneras, bien como matrizortogonal:Dnde:

Puede comprobarse con un poco de lgebra rutinaria que la matriz anterior tiene comoautovalores:

Ladireccin principal(recta generada por unvector propio) asociaciada al auto valor 1 es precisamente el vectorque da la direccin de eje de giro.Expresiones vectorialesSe puede describir el movimiento de rotacin cnica conoperadoresvectoriales que, al contrario que las expresiones matriciales, son independientes de las coordenadas. As,3

Donde la expresin entre parntesis funciona como operador y, de modo que.4Hay ciertos casos especiales de este operador: es una rotacin plana de (1/2)rad. La aplicacin sucesiva de este operador da,,,, etc., con un comportamiento parecido a la unidad imaginaria (i).5Es un operadorhemisimtrico y en coordenadas cartesianas su matriz es:

es una rotacin plana de ngulo. Una notacin alternativa es(por similitud con los nmeros complejos). La forma matricial de este operador en los ejes cartesianos principales es particularmente sencilla; por ejemplo, paraies:

es una rotacin cnica binaria (derad). Una rotacin cnica arbitraria de ngulose puede representar con dos rotaciones binarias, perpendiculares ay que forman un ngulo (1/2);6la manipulacin de este par de rotaciones binarias (o, de modo equivalente, de dos reflexiones) se puede tomar como la base para la descripcin mediante losparmetros de Euler- Rodrguez. As, el segundo de estos ejes se obtiene mediante una rotacin plana del primero con, que da los cuatro parmetros:

ngulos de EulerArtculo principal:ngulos de EulerMediante losngulos de Eulerse puede representar una rotacin cualquiera con una sucesin de tres rotaciones planas alrededor de tres ejes ortogonales. No hay acuerdo sobre los tres ejes concretos y en la literatura cientfica aparecen diversos convenios; hay, en concreto, 12 posibilidades, pero lo ms habitual es que se tomenzyzyzxz. A estos 12 convenios hay que aadir posibles variaciones en el signo, orientacin relativa de ejes (horario o antihorario) y punto de vista (operacin en vectores o transformacin de coordenadas).7Los ngulos de Euler fueron el sistema ms popular en los siglos XIX y XX para representar las rotaciones, pues permiten modelizar fcilmente varios sistemas mecnicos, como los trompos, losgiroscopios, los barcos y los aviones. En el caso del trompo, los ejes se corresponden con la precesin, lanutacin y la rotacin. En los aviones se toman como ejesxyz, de modo que se correspondan con el alabeo (o balanceo en barcos), el cabeceo y la guiada; este convenio especfico de ejes se llama tambinngulos de navegacinode Tait-Bryan.Los ngulos de Euler presentan una singularidad cuando el ngulo del segundo giro es 0 o, pues en tal caso el primer ngulo y el segundo pasan a quedar indefinidos, y solo est definida su suma, si el ngulo es 0. Con ello se pierde un grado de libertad, lo que en los dispositivos mecnicos que combinan varios ejes, como losgiroscopios, puede conducir a un bloqueo del sistema, conocido comobloqueo de cardn(en ingls,gimbal lock). Matemticamente, es posible evitar estas singularidades con sistemas de cuatro parmetros, como los parmetros de Euler-Rodrigues (o cuaterniones).Parmetros de Euler-Rodrguez y cuaternionesLos cuaterniones proporcionan un mtodo para representar rotaciones que no presentan singularidades a costa de ser redundantes. Pueden introducirse axiomticamente o derivarse a partir de rotaciones vectoriales, en especial mediante la construccin de Euler-Rodrigues.8Histricamente, los cuatro parmetros que forman los cuaterniones fueron introducidos de modo independiente y con diferentes tratamientos matemticos y geomtricos por Gauss, Rodrigues y Hamilton, entre otros, aunque aparentemente Euler, a pesar del nombre, los desconoca. Rodrigues lleg a ellos mediante trigonometra esfrica como una combinacin de reflexiones; Hamilton, poco despus, lo formul de modo axiomtico como una extensin de los nmeros complejos. En mecnica cuntica tambin se lleg a ellos con lasmatrices de Pauli.En tres dimensiones existe una construccin similar a la de losnmeros complejosde mdulo unidad para representar las rotaciones en el plano. La construccin clave reside en identificar los vectores tridimensionales connmeros cuaterninicoscon parte real nula, y usar las tres componentes como coeficientes de la parte no real. La rotacin se puede representar como un producto conjugado por un cuaternin unitario obtenido porexponenciacinde un cuaternin igual al producto del ngulo girado por el cuaternin que representa al eje de giro.Dado un vector tridimensionalrerepsentable como un nmero cuaterninico con parte real nula, y una rotacin tridimensional dada por un giroen torno al ejese puede representar el vector girado resultante como:

Este enfoque est relacionado con ellgebra geomtricay los vectoresi,jyksiguen las reglas algebraicas de los cuaterniones (i2= 1, etc.). El producto de dos rotaciones viene dado, en trminos de vectores ordinarios, por:9

Donde [a,b] representa un cuaternin con parte realay parte no realb.Teora de grupos

Una rotacin de un sexto de vuelta completa (2/6) alrededor de un eje que atraviesa la pantalla deja igual la molcula de benceno, por lo que hay unasimetra rotacional (entre otras).En teora de grupos, la rotacin es una de las posibles transformaciones que se pueden aplicar a un sistema o una figura geomtrica, que permiten determinar lasimetrade redes cristalogrficas, orbitales atmicos ymolculas, y por tanto parte de sus propiedades fsico-qumicas. Otras tranformaciones son la traslacin, la reflexin y la inversin.Rotaciones frente a traslacionesEnmecnicase demuestra que el movimiento delslido rgidose puede descomponer en una rotacin y unatraslacin. Ambas trasformaciones son isomtricas, como corresponde al hecho de que el slido es rgido, pero en la rotacin, al contrario que en la traslacin, hay al menos un punto fijo. El conjunto de estas transformaciones forma un grupo llamadogrupo euclidianoque es elgrupo de isometradel espacio euclidiano tridimensional. Cada elementogde este grupo euclidiano se puede representar de manera nica como:10

DondeRes una matriz de 3x3 que representa una rotacin ydlas componentes del vector de tres componentes que representa el desplazamiento. Por tanto esta manera de representar el grupo es unarepresentacin linealsobre un espacio vectorial de dimensin cuatro.Rotaciones frente a reflexiones e inversionesEstas tres transformaciones se llaman transformaciones puntales pues dejan un punto fijo, y estn estrechamente relacionadas. As, dos reflexiones segn dos planos equivalen a una rotacin.La composicin de dos rotaciones tridimensionales es otra rotacin, por lo que estas forman un grupo, llamado O(3) y que incluye las reflexiones. Las rotaciones propias son un subgrupo, llamado SO(3), pero no las rotaciones impropias, pues dos de ellas equivalen a una rotacin propia.

BIBLIOGRAFIAhttp://www.cca.org.mx/cca/cursos/AIDA/Astronomia/cursoAidaITESM/rotacion.htmhttp://definicion.de/movimiento-de-rotacion/http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n