01 vectores en el espacio

MATEMÁTICA III. CÁLCULO VECTORIAL PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: VECTORES EN EL

ESPACIO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 1. Vectores en el espacio.

Matemática III. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática III (Cálculo Vectorial) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática III en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



1.1.- DEFINICIÓN DE ESPACIO NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL.

Espacio numérico tridimensional.

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio

numérico tridimensional, y se denota por R3.

Punto.

Cada terna ordenada ),,( zyx se denomina punto del espacio numérico tridimensional.

Ejercicios propuestos.

1. Representar los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional.

a) )3,1,2( b) )4,2,3( c) )5,4,0( d) )5,0,4(

e) )1,2,1( f) )8,6,3( g) )6,2,1( h) )1,3,7(

i) )5,2,3( j) )5,2,5( k) )2,4,( 23

l) )2,2,5(

m) )2,2,5( n) )4,3,1( ñ) )7,1,4( o) )3,3,3(

2. a) ¿Qué restricciones se deben tener sobre x, y y z de modo que la terna ),,( zyx

represente un punto sobre el eje y? b) ¿Y sobre el eje z? c) ¿En el plano x z? d) ¿En el plano

y z?

Respuesta: a) 0x , 0z , Ry ; b) 0x , 0y , Rz ; c) 0y , Rzx , , d) 0x ,

Rzy , .

3. a) ¿Cuál es la coordenada z de cualquier punto del plano x y?; b) ¿Cuál es la coordenada

x de cualquier punto del plano y z? Respuesta: a) 0; b) 0.

4. Determinar la localización de los puntos que satisfacen las condiciones impuestas.

a) 0. yx ; 3z b) 0. yx ; 4z

c) 0.. zyx d) 0.. zyx

Respuesta: a) Plano paralelo al plano x y ubicado a 3 unidades de distancia en el 5º y 7º

octantes; b) Plano paralelo al plano x y ubicado a 4 unidades de distancia en el 2º y 4º

octantes; c) El 2º, 4º y 5º; d) El 1º, 3º, 6º, 7º, 8º octantes.



1.2.- RESUMEN DE FÓRMULAS. ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

Distancia entre dos puntos.

Si ),,( 111 zyxA y ),,( 222 zyxB son puntos de R3, entonces la distancia no dirigida

entre A y B: 2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxxd .


5. Hallar la distancia entre:

a) )3,2,5( y )3,4,0( Respuesta: 97 Unidades de longitud.

b) )1,4,3( y )4,5,2( Respuesta: 35 Unidades de longitud.

6. Dos cables BG y BH está unidos al marco

ACD como se muestra en la figura.

Determine la longitud del cable BG.

Respuesta: BG = 2.25 m.

7. Sabiendo que la distancia entre los puntos )3,2,1(A y ),1,1( mB es 7, calcular m.

Respuesta: 3m , 9m .

8. Los collarines A y B están unidos por

medio de un alambre de 25 in de largo y

pueden deslizarse libremente sin fricción

sobre las varillas. Determine la distancia “y”

cuando x = 9 in.

Respuesta: y = 12 in.



9. Los collarines A y B se conectan por

medio de un alambre de 525 mm de largo y

pueden deslizarse libremente sin fricción

sobre las varillas. Determine la distancia “x”

cuando a) z = 155 mm; b) z = 275 mm.

Respuesta: a) x = 460 in; b) x = 400 in.

10. Calcular el perímetro del triángulo de vértices )2,1,0(A , )1,0,1( B y )0,1,2( C .

Respuesta: )11232( Unidades de longitud.

Punto medio entre dos puntos.

Si ),,( 111 zyxA y ),,( 222 zyxB son puntos de R3, entonces las coordenadas del punto

medio entre A y B son

2,

2,

2

212121 zzyyxx.


11. Hallar el punto medio del segmento que une los puntos )3,0,1( A y )7,6,3(B .

Respuesta: )2,3,1( .

12. ¿Cuál es el punto medio del segmento que une los puntos del ejercicio 5?

Respuesta: )0,1,( 25

, ),,(25

29

21 .

Tópicos relacionados con la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Puntos sobre un segmento.

13. Hallar el punto que divide el segmento limitado por los puntos A y B en la razón dada:

a) )4,3,5(A y )6,8,0( B . Razón: 2/5. Respuesta: )0,5,3( .

b) )1,2,5( A y )4,7,0(B . Razón 3/8. Respuesta: ),,( 87

831

825 .

c) )2,4,3(A y )6,5,1( B . Razón 2/7 Respuesta: ),,(722

710

713 .



14. Hallar el punto que divide a la mitad al segmento limitado por los puntos )7,2,8(A

y )1,1,4( B . Respuesta: )4,,6(21 .

15. Sea )1,3,1( P y )2,5,4(Q . Determine las coordenadas de los siguientes puntos:

a) El punto medio del segmento de recta entre P y Q. Respuesta: ),4,(21

23 .

b) Los dos puntos sobre este segmento de recta que dividen en un tercio y dos tercios del

camino de P a Q. Respuesta: )0,,(3

1132 y )1,,(

313

37 .

16. Hallar las coordenadas del punto P, si P está sobre el segmento cuyos extremos son los

puntos dados y una de sus tres coordenadas es la indicada:

a) )1,2,7( y )7,5,10( , 4y . Respuesta: )5,4,9(

b) )3,2,1(1P y )2,10,5(2P , 6x Respuesta: ),12,6(47

c) )3,0,2(A y )4,1,6( B , 3z Respuesta: )3,6,22(

Puntos colineales.

Tres puntos A, B y C en R3 son colineales si la longitud del segmento de recta definido por

un par de ellos es la suma de la longitud de los segmentos formados por los otros dos pares.


17. Demostrar que los puntos dados están situados en línea recta (son colineales).

a) )5,2,0( , )4,4,3( y )1,2,2( b) )1,1,1(1P , )5,1,2(2 P y )13,5,4(3 P

Triángulos.

- Triángulo rectángulo: Tres puntos A, B y C en R3 forman un triángulo rectángulo si sus

lados cumplen el Teorema de Pitágoras, esto es, el cuadrado de la longitud del segmento

mayor es igual a la suma del cuadrado de la longitud de los dos segmentos menores.

- Triángulo isósceles: Tres puntos A, B y C en R3 forman un triángulo isósceles si dos de

sus tres lados son iguales, esto es, la longitud de uno de los segmentos definidos por dos de

los tres puntos es igual a la longitud de otro de los dos segmentos restantes.

- Triángulo equilátero: Tres puntos A, B y C en R3 forman un triángulo equilátero si sus

tres lados son iguales, esto es, la longitud de los tres segmentos de recta definidos por la

combinación de los tres puntos son iguales.




18. Calcular la longitud de los lados del triángulo cuyos vértices se especifican. Identifique

el tipo de triángulo. Si el triángulo es rectángulo, isósceles ó equilátero, calcule su área.

a) )0,0,0( , )1,2,2( , )4,4,2( b) )2,3,1( , )2,1,5( , )2,1,1(

c) )3,1,1( , )7,1,2( y )6,2,4( c) )0,0,5( , )0,2,0( , )3,0,0(

Respuesta: a) 3, 6, 45 . Rectángulo. 9A ; b) Respuesta: 24 , 40 , 48 . Escaleno;

c) Respuesta: 21 , 6 , 27 . Rectángulo. 1423A ; d) Respuesta: 13 , 29 ,

34 . Escaleno.

Paralelogramo.

Cuatro puntos A, B, C y D en R3 forman un paralelogramo si la longitud de sus lados

opuestos son iguales. Es necesario hacer la representación gráfica de los puntos para

determinar los pares a comparar.


19. Demostrar que los puntos )1,9,2( , )4,11,3( , )2,10,0( y )5,12,1( son los vértices de

un paralelogramo.

Paralelepípedo.

Ocho puntos A, B, C, D, E, F, G y H en R3 forman un paralelepípedo si la longitud de sus

lados opuestos (aristas) son iguales. Es necesario hacer la representación gráfica de los

puntos para determinar los cuatro lados a comparar.


20. Demostrar que los puntos )0,0,0( , )0,0,3( , )1,5,0( , )1,5,3( , )5,0,2( , )5,0,5( ,

)6,5,2( , )6,5,5( son los vértices de un paralelepípedo.

1.3.- DEFINICIÓN DE VECTOR.

Un vector A es el conjunto de todos los segmentos orientados del espacio que poseen una

longitud y dirección dadas.



Si un vector A se representa por medio del segmento orientado que va del punto

),,( 111 zyx al ),,( 222 zyx , entonces la expresión en componentes de A es

kajaiaA zyx , siendo 12 xxax , 12 yyay y 12 zzaz .

kzzjyyixxA )()()( 121212


21. Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas tridimensional. A es el

origen y B el extremo de cada vector. Determine las componentes de cada vector.

a) )3,1,2(A y )1,2,1(B b) )5,2,3( A y )2,4,( 23 B

c) )2,2,5( A y )2,2,5( B d) )5,4,0( A y )5,0,4(B

Respuesta: a) 2,1,3 ; b) 7,6,21 ; c) 4,0,0 ; d) 10,4,4 .

22. Determinar las componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de

vértices )0,4,3(A , )3,6,3(B y )1,2,1(C .

Respuesta: 3,2,6 , 3,2,6 , 1,2,2 , 1,2,2 , 2,4,4 ,

2,4,4 .

23. En los siguientes ejercicios se da un vector y su punto inicial, determine el punto final.

a) 6,5,3V . Punto inicial: )6,2,0( b) 31

21 ,,0V . Punto inicial: ),0,3( 3

2

Respuesta: a) )12,3,3( ; b) )1,,3(21 .

Módulo, longitud o norma de un vector.

El módulo (o longitud) de un vector kajaiaA zyx se denota por A , y se define

como 222

zyx aaaA .

Vector nulo.

El vector nulo, o vector cero, es definido como el vector cuyas componentes son: 0, 0, 0.

( kji 0000 ).

Vectores idénticos (Vectores iguales).



Dos vectores kajaiaA zyx y kbjbibB zyx son iguales si y sólo si las

componentes correspondientes son iguales. En consecuencia, la ecuación vectorial BA

es equivalente a las tres ecuaciones: xx ba , yy ba y zz ba .

Vector opuesto (Negativo de un vector).

Si kajaiaA zyx es un vector no nulo, entonces el vector opuesto de A, denotado por

–A es kajaiaA zyx .


24. Expresar V en componentes, representarlo y determinar su módulo. V es el vector de

)3,2,1( a )4,3,3( . Respuesta: a) 1,1,4 , 23 .

25. Si un vector tiene módulo 4 y sus componentes sobre los ejes y y z son respectivamente

1 y –1, calcular la componente del vector sobre el eje x y diga en cuál octante se encuentra.

Respuesta: a) 14x (Quinto octante), 14x (Sexto octante).

26. Determinar los valores de c que satisfacen la ecuación, siendo kjiU 32 y

kjiV 22 . a) 5Vc b) 3Uc

Respuesta: a) 35c ,

35c ; b)

14

3c , 14

3c .

Vectores unitarios.

Si kajaiaA zyx es un vector no nulo, entonces el vector

kA

aj

A

ai

A

a

A

AU zyx

A es un vector unitario que tiene la misma dirección que

A.


27. Dado el vector 3,1,2A , obtenga un vector unitario

a) en la misma dirección de A . b) en la dirección opuesta de A .

Respuesta: a) 14

3

14

1

14

2 ,,AU ; b) 14

3

14

1

14

2 ,,AU .

28. Hallar un vector unitario en la dirección de U.

a) 2,1,2U b) 0,0,8U c) 5,3,2U



Respuesta: a) 32

31

32 ,,UU ; b) 0,0,1UU ; c)

38

5

38

3

38

2 ,,U .

29. Dados los puntos )3,1,2( R y )6,4,3(S , obtenga el vector unitario que tiene la

misma dirección que V ( SR ). Respuesta: 35

3

35

5

35

1 ,,VU .

30. Dados los puntos )3,1,0(A , )4,0,2(B , )4,2,0( C , 3,0,1D , )2,2,2(M .

Hallar:

a) Las coordenadas del extremo del vector de posición del vector libre CA.

b) Las coordenadas del extremo del vector de posición del vector libre BC.

c) Las coordenadas del punto N para que 0,2,2BN

d) Las coordenadas del punto P tal que DP es paralelo al vector CB de igual sentido, y

longitud igual a su mitad.

e) El valor de , si existe, tal que MAMB .

Respuesta: a) 1,3,0CA ; b) 0,2,2BC ; c) )4,2,0( N ; d) )3,1,0(P ; e)

2 .

Cosenos directores y ángulos directores.

Si kajaiaA zyx , los cosenos directores de A son: A

axcos , A

a ycos ,

A

azcos

Los ángulos , y son los ángulos directores.

Los ángulos directores de un vector diferente de cero son los tres ángulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa, , y , medidos a partir de los ejes x, y y z

respectivamente.

Vector unitario en función de los cosenos directores.

kjiosU A )(cos)(cos)c(

Si cos , cos y cos son los cosenos directores de un vector, entonces

1coscoscos 222 .




31. Hallar los cosenos directores de cada vector y verificar que la suma de sus cuadrados es

1. Hallar todos los vectores de V3 de longitud 1 paralelos al vector dado.

a) kjiU 22 b) 4,6,0U

c) 2,3,6A d) V ( 21PP ). )4,1,3(1 P , )4,2,7(2P

Respuesta: a) 31cos ,

32cos ,

32cos ; b) 0cos ,

13

3cos , 13

2cos ; c)

76cos ,

73cos ,

72cos , 7

273

76 ,, y 7

273

76 ,, ; d)

89

4cos ,

89

3cos , 89

8cos .

Vector en función de su módulo y cosenos directores.

Si se conoce el módulo del vector, A , y un vector unitario que representa su dirección,

AU , el vector puede escribirse en función de sus componentes como:

AUAA

])(cos)(cos)[(cos kjiAA


32. Hallar el vector V de longitud y dirección dadas.

Longitud Dirección

10 3,3,0U Respuesta: 25,25,0V .

23 1,2,2U Respuesta:

21,1,1V .

33. Exprese el vector kjiA 623 en términos de su módulo y de sus cosenos

directores. Respuesta: )(776

72

73 kjiA .

34. Calcular las componentes del vector F de módulo 10 unidades, cuyos ángulos directores

son: 120 , 60 . Respuesta: kjiF 2555 .

35. Calcular el vector del primer octante, módulo 15, que forme ángulos iguales con los tres

ejes de coordenadas. Respuesta: 35,35,35



36. Exprese la fuerza F mostrada como un

vector cartesiano.

Respuesta: kjiF 2100100100 .

37. La pieza montada sobre el torno está

sometida a una fuerza de 60 N. Determine

el ángulo coordenado y exprese la fuerza

como un vector cartesiano.

Respuesta: º90 . kiF 33030 .

38. La placa abisagrada está soportada por

la cuerda AB. Si la fuerza en la cuerda es

340F lb, exprese esta fuerza dirigida de

A hacia B como un vector cartesiano. ¿Cuál

es la longitud de la cuerda?

Respuesta: kjiF 240180160 ,

17ABr pies.



39. El alambre de una torre está anclado en

A por medio de un perno. La tensión en el

alambre es de 1300 N. Determine a) las

componentes xF , yF y zF de la fuerza que

actúa sobre el perno en A y b) los ángulos

, y que definen la dirección de la

fuerza.


)(cos1351 , )(cos

65361 ,

)(cos65481 .

40. El sujeto que aparece en la figura jala la

cuerda con una fuerza de 70 lb. Represente

esta fuerza actuando sobre el soporte A,

como un vector cartesiano y determine su

dirección.


)(cos1461 , )(cos

72 ,

)(cos761 .

41. Si se sabe que la tensión en el cable AB

es de 1425 N, determine las componentes

de la fuerza ejercida sobre la placa en B.




42. La fuerza F tiene una magnitud de 70 lb

y actúa en el punto medio C de la barra

delgada. Exprese la fuerza como un vector

cartesiano.


43. Una barra de acero se dobla para formar

un anillo semicircular con 36 in de radio

que está sostenido parcialmente por los

cables BD y BE, las cuales se unen al anillo

en el punto B. Si la tensión en el cable BE

es de 600 lb, determine las componentes de

la fuerza ejercida por el cable sobre el

soporte colocado en E.


44. Una torre de transmisión se sostiene

mediante tres alambres, los cuales están

anclados por medio de pernos en B, C y D.

a) Si la tensión en el alambre AB es de 525

lb, determine las componentes de la fuerza

ejercida por el alambre sobre el perno en B;

b) si la tensión en el alambre AD es de 315

lb, determine las componentes de la fuerza

ejercida por el alambre sobre el perno en D.



Respuesta: a) kjiF 500100125 : b)

kjiF 25050185 .

45. Un marco ABC está sostenido en parte

por el cable DBE, el cual pasa a través de

un anillo sin fricción en B. Si se sabe que la

tensión en el cable es de 385 N, a)

determine las componentes de la fuerza

ejercida por el cable sobre el soporte en D;

b) determine las componentes de la fuerza

ejercida por el cable sobre el soporte en E.

Respuesta: a) kjiF 255240160 :

b) kjiF 200135300 .

1.4.- OPERACIONES CON VECTORES.

Si kajaiaA zyx , kbjbibB zyx y es un escalar, entonces:

Multiplicación por un escalar. kajaiaA zyx

Suma de Vectores. kbajbaibaBA zzyyxx )()()(

Resta de Vectores. kbajbaibaBA zzyyxx )()()(

Propiedades de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar.

Sean A, B y C vectores arbitrarios y y escalares. Se verifican entonces las siguientes

propiedades:

ABBA Propiedad conmutativa.

CBACBA )()( Propiedad asociativa.

)()( AA Propiedad asociativa.

BABA )( Propiedad distributiva.

AAA )( Propiedad distributiva.

AA 0 Elemento neutro para la adición.



0)( AA Elemento opuesto.

AA Módulo de un escalar por un vector.

AA 1 Elemento neutro para la multiplicación.

00 U (Vector nulo)

Si 0A y 0 , entonces A tiene la dirección de A.

Si 0A y 0 , entonces A tiene dirección opuesta a A.

Si 0A ó 0 (o ambos), entonces 0A .


46. Para el (los) vectores dado(s), realizar las operaciones indicadas.

a) kjiA 625 y kjiB 458 , calcule los vectores: i) BA , ii) BA , iii) A3 y

iv) B5 .

b) 1,1,1A , 3,3,4B y 0,4,1C , calcular los vectores: i) BA 5 , ii)

AB3 , iii) BA12 y iv) BA 7 .

c) 6,3,1A , 1,5,3B y 5,1,2C , determinar los vectores: i) BA , ii)

BA , iii) CBA , iv) CBA 327 , v) CBA 32

d) 3,1,2U , 0,1,1V y 3,2,1W , hallar el vector WVUX 32 .

e) 3,2,1U , 1,2,2V y 4,0,4W , calcular el vector Z siendo i) VUZ ,

ii) WVUZ 2 , iii) WVUZ 2 , iv) WVUZ2135 .

f) 5,4,2U y 2,1,3V , hallar el módulo del vector VU .

g) 0,2,6V determinar U de modo que VU 3 .

Respuesta: a) i) kji 2713 ; ii) kji 1033 ; iii) kji 18615 ; iv)

kji 202540 ; b) i) 16,14,21 , ii) 8,10,11 , iii) 9,15,8 , iv)

20,22,27 ; c) i) 7,2,4 ; ii) 1,8,2 ; iii) 2,3,2 ; iv) 25,28,5 ; v)

2,2,1 ; d) kji 336 ; e) i) ki 2 ; ii) ki 67 ; iii) ki 109 ; iv)

kji 1443 ; f) 19 ; g) 0,,232



47. Sean 3,2,1A y 2,1,3B dos vectores de V3. En cada caso, hallar un vector

C de longitud 1 paralelo a:

a) BA b) BA c) BA 2

d) BA 2 e) BA2

Respuesta: a) 5,1,442

1 ; b) 1,3,214

1 ; c) 1,0,12

1 ; d) 1,4,542

1 ;

e) 4,5,142

1 .

48. Si kjiU 243 y V es el vector de origen )2,5,1( y extremo )4,0,3( , hallar:

a) VU 2 Respuesta: kji 832 .

b) V Respuesta: 77 .

c) Un vector unitario en la dirección de U. Respuesta: kji29

2

29

4

29

3 .

49. Si 2,0,1A , 6,3,2B , 1,2,2C , hallar lo que sigue:

a) BA3 b) CB 32

c) Un vector unitario en la dirección de C. d) AB

e) B

BA, y describir el vector. f) Un vector que bisecta el ángulo entre B y C.

g) Los cosenos directores de CBA 2 .

Respuesta: a) 12,3,1 ; b) 229 ; c) 31

32

32 ,, ; d) 14,0,7 ; e) 6,3,2

7

5; f)

5,1,4215 ; g)

94

3cos , 94

7cos , 94

6cos .

50. Dados los vectores 1,1,1A , 3,3,4B y 0,4,1C . Calcular:

a) Cosenos directores de A.

b) Un vector unitario en la dirección de A.

c) Un vector de módulo 8 en la dirección de C.

Respuesta: a) 3

1cos , 3

1cos , 3

1cos ; b) 3

1

3

1

3

1 ,, ; c) 0,4,117

1 .

51. Demostrar que para todo U y V en el espacio y c un escalar: VcUcVUc )( .



52. Determine la magnitud y los ángulos

coordenados de dirección de la fuerza

resultante que actúa sobre el anillo en la

figura.

Respuesta: kji 1804050 , º83.74 ,

º08.102 , º58.19 .

53. Dos fuerzas actúan sobre el gancho

mostrado en la figura. Especifique los

ángulos coordenados de dirección de F2 de

modo que la fuerza resultante actúe a lo

largo del eje y positivo y tenga una

magnitud de 800 N.

Respuesta: )(cos700

21501 ,

)(cos14131 , )(cos

1431 .

54. El aguilón OA está sostenido por dos

cables, según muestra la figura. Si en el

cable AB la tensión es de 150 N y en el

cable AC es de 170 N, determine la

magnitud y dirección de la resultante de las

fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

Respuesta: kji 13624048 ,

)(cos3561 , )(cos

761 ,

)(cos35171 .



55. Si se sabe que las tensiones en los

cables AB y AC son de 510 lb y de 425 lb

respectivamente, determine la magnitud y la

dirección de la resultante de las fuerzas

ejercidas en A por los dos cables.

Respuesta: kji 423580564 .

56. Una sección de una pared de concreto

precolado se sostiene temporalmente por los

cables mostrados. Se sabe que la tensión es

de 840 lb en el cable AB y 1200 lb en el

cable AC, determine la magnitud y la

dirección de la resultante de las fuerzas

ejercidas por los cables AB y AC sobre la

estaca A.

Respuesta: kji 7201440360 .

Vectores paralelos.

Dos vectores A y B son paralelos si y sólo si uno de los vectores es múltiplo escalar del

otro, esto es, BA .


57. Demuestre que los vectores kjiU 843 y kjiV 24

3 son paralelos.

58. Averiguar cuál de los siguientes vectores es paralelo a 5,2,3Z .

a) 10,4,6 b) 310

34 ,,2 c) 10,4,6

Respuesta: a)

59. Dados jiA 23 y jciB 2 , donde c es un escalar, determine c tal que A y B

sean paralelos. Respuesta: 34c .



60. En Vn demostrar que dos vectores paralelos a un mismo vector son paralelos entre sí.

61. Si los puntos )3,2,1( A , )6,2,4(B y )1,0,1( C son los vértices de un

paralelogramo ABCDA, calcular el cuarto vértice D. Respuesta: )4,4,2( D .

62. Si los puntos )3,2,1( A , )6,2,4(B y )1,0,1( C son los vértices de un

paralelogramo, hallar todos los puntos D que pueden ser el cuarto vértice del

paralelogramo. Respuesta: )4,4,2( D , )10,0,4(D , )2,4,4(D

Puntos colineales.

Tres puntos A, B y C en R3 son colineales si, involucrando los tres puntos, se define un par

de vectores entre ellos, y los vectores definidos resultan paralelos.


63. Determinar si los puntos )1,1,1(1P , )5,1,2(2 P , )5,1,4(3 P son colineales.

Respuesta: No están alineados porque 21PP no tiene la misma dirección que 32 PP .

64. ¿Están sobre una recta los tres puntos )4,1,2( A , )2,1,2(B , )6,2,4( C ?

Respuesta: No están alineados porque AB no tiene la misma dirección que BC.

Bisectriz de dos vectores.

Sean kajaiaA zyx y kbjbibB zyx . La bisectriz de los dos vectores dados es el

vector C, cuya dirección es la misma que el vector suma BA UU , donde AU y BU son los

vectores unitarios en la dirección de A y B respectivamente.


65. Calcular un vector bisectriz de los vectores kjiU y kjiV .

Respuesta: Un ejemplo: ji .

66. Calcular un vector de módulo 15 que lleva la dirección de la bisectriz del ángulo agudo

formado por las direcciones de los vectores 2,1,2A y 0,3,4B .

Respuesta: 5,2,12

15 .

67. Calcular un vector de módulo 3 que lleva la dirección de la bisectriz del ángulo obtuso

formado por las direcciones de los vectores 2,2,1A y 3,6,2B .



Respuesta: 5,4,1143 .

1.5.- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES.

Combinación lineal de vectores.

Sean A, B, ..., W vectores n dimensionales y , , ..., escalares. La expresión

WBA es llamada combinación lineal de los vectores dados.

Dependencia e independencia lineal de vectores.

Un conjunto de m vectores A, B, ..., W es llamado un conjunto linealmente dependiente si al

menos uno de los vectores puede ser representado como una combinación lineal de los

otros (con escalares que pueden ser iguales a cero o no). El conjunto es llamado linealmente

independiente si ninguno de los vectores puede ser representado en esa forma.

Criterio de dependencia lineal.

Un conjunto de vectores n dimensionales A, B, ..., W es linealmente dependiente si y sólo si

la ecuación vectorial 0 WBA tiene como solución un conjunto de

escalares , , ..., , no todos cero (por lo menos uno diferente de cero).

- Dos vectores en R3 que forman un conjunto linealmente dependiente son colineales; esto

es, si hacemos coincidir sus puntos iniciales, ellos se encuentran en la misma línea.

- Tres vectores en R3 que forman un conjunto linealmente dependiente son coplanares; esto

es, si hacemos coincidir sus puntos iniciales, ellos se encuentran en el mismo plano.


68. Determine si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o

linealmente dependientes:

a) }cos,sen4,2{ 22 xx b) }3,2,)1({ 22 xxx

c) })(,)(,)({ zxzyyx d) })(,)(,{ zvuvuu

e) }1,1,0,1,0,1,0,1,1{ f) }1,2,7,3,6,5,4,1,0,3,3,1{

Respuesta: a) Linealmente dependientes; b) Linealmente dependientes; c) Linealmente

independientes; d) Linealmente independientes; e) Linealmente independientes; f)

Linealmente dependientes.



69. Estudiar si son linealmente dependientes o linealmente independientes los vectores

1,3,2U , 1,0,1V y 1,3,0W .

Respuesta: Linealmente dependientes. VUW 2 .

70. Exprese el polinomio 342 ttV como combinación lineal de los polinomios dados:

a) 255 2

1 ttP , 434 2

2 ttP y 533 tP .

b) 522

1 ttP , ttP 32 2

2 , 33 tP

Respuesta: a) 321 71613 PPPV ; b) v no se puede expresar como una combinación

lineal de 1P y 2P .

71. ¿Forman 1,2,21e , 2,1,22e , 2,2,13e un conjunto de vectores

ortogonales? De este conjunto obténgase un conjunto de vectores unitarios 1f , 2f , 3f y

escríbase kjiA 23 en la forma 332211 fufufu .

Respuesta: El conjunto es ortogonal: 1,2,231

1f , 2,1,231

2f ,

2,2,131

3f , 321 32 fffA

72. Dada la base 6,3,271

1e , 2,6,371

2e , 3,2,671

3e , expresar cada uno

de los vectores siguientes respecto a esta base:

a) )0,0,1( b) )1,1,1( c) ),,( zyx

Respuesta: a) 376

273

172 eee ; b) 37

527

117

11 eee .

73. Si jiA 2 , jiB 42 y jiC 32 . Encontrar números reales y tales que

BAC . Respuesta: 41 ,

87 .

74. Si 1,1,2A , 1,2,1B y 7,11,2C son tres vectores de V3, hallar unos

escalares y tales que BAC . Respuesta: 3 , 4 .

75. Demostrar que el ejercicio anterior no tiene solución si C se reemplaza por el vector

7,11,2 .

76. Dados los vectores 1,2,1U y 2,4,6V , determine si 7,2,9W y

8,1,4Z son una combinación lineal de U y V .



Respuesta: W es combinación lineal de U y V: VUW 23 . Z no es combinación lineal

de U y V.

77. Determine los valores de y de modo que la combinación lineal de 2,2,1 y

6,2,3 sea una combinación nula. Respuesta: 0 , 0 .

78. Sean 1,1,1A , 1,1,0B , 0,1,1C tres vectores de V3 y CcBbAaD

donde a, b y c son escalares.

a) Determinar los componentes de D. Respuesta: bacbacaD ,, .

b) Si D = 0, demostrar que a = b = c = 0.

c) Hallar a, b y c tales que 3,2,1D . Respuesta: 2a , 1b , 1c .

79. Sean 1,1,1A , 1,1,0B , 1,1,2C tres vectores de V3 y CcBbAaD

donde a, b y c son escalares.

a) Determinar los componentes de D. Respuesta: cbacbacaD ,,2

b) Hallar a, b y c, no todos nulos, tales que D = 0. Respuesta: 2a , 1b , 1c .

c) Demostrar que ninguna elección de a, b y c hace 3,2,1D .

80. Considerar los tres vectores iA , jiB y kjiC 3 de V3.

a) Demostrar que el conjunto },,{ CBA es linealmente independiente.

b) Expresar cada uno de los vectores j y k como combinación lineal de A, B y C.

c) Expresar kji 532 como combinación lineal de A, B y C.

d) Demostrar que },,{ CBA es una base para V3.

Respuesta: b) ABj , )(31 BCk ; c) )51415(3

1 CBA .

81. Seleccione tres vectores A , B , C de V3 y determine:

a) Si son linealmente dependientes ó linealmente independientes.

b) Si son linealmente independientes, expresar el vector 3,1,2D como combinación

lineal de ellos.

c) Si son linealmente dependientes, tome uno de los vectores y expréselo como

combinación lineal de los otros.

82. Sean A y B dos vectores no nulos de Vn.



a) Si A y B son paralelos, demostrar que son linealmente dependientes.

b) Si A y B no son paralelos, demostrar que son linealmente independientes.

83. Dados tres vectores linealmente independientes A, B y C de Vn. Demostrar si son o no

ciertas las proposiciones siguientes:

a) BA , CB , CA son linealmente independientes.

b) BA , CB , CA son linealmente independientes.

84. Muestre que el conjunto de vectores }1,1,0,1,1,2,1,1,1{ es un conjunto

ortogonal en R3.

85. Determine si los siguientes conjuntos de vectores son o no una base del respectivo

espacio:

a) }5,5,7,3{ en R2. Respuesta: Es una base.

b) }3,1,2,1,0,1,2,1,1{ en R3. Respuesta: No es una base.

c) }4,3,3,0,9,2,1,2,1{ en R3. Respuesta: Es una base.

1.6.- DEFINICIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO Ó

PRODUCTO INTERNO).

Producto escalar: Producto de dos vectores que da un escalar.

Sean kajaiaA zyx y kbjbibB zyx . El producto escalar de los vectores A y B,

denotado por BA. se define como: zzyyxx bababaBA . .

Resumen de propiedades del producto escalar en el espacio.

Sean A, B y C vectores no nulos en el espacio y un escalar. Se verifica:

1.- i.- ABBA .. Propiedad conmutativa (Simetría).

ii.- CABACBA ... )( Propiedad distributiva.

iii.- BABA .. )()(

iv.- 00. A

v.- 2. AAA

2.- cos. BABA , siendo en ángulo entre A y B.

3.- 0. BA si y sólo si A y B son ortogonales.




86. En los siguientes ejercicios, calcular: i) VU. , ii) UU. , iii) 2

U , siendo:

a) jiU 43 y kjiV 32 b) 4,3,2U y 5,6,0V

c) kjiU 2 y kiV

Respuesta: a) i) –10, ii) 25, iii) 25; b) i) 2, ii) 29, iii) 29; c) 1, ii) 6, iii) 6.

87. Dados tres vectores 7,4,2A , 3,6,2B y 5,4,3C . En cada una de

las expresiones siguientes se pueden introducir paréntesis de una sola manera para obtener

una expresión que tenga sentido. Introducir dichos paréntesis y efectuar las operaciones.

a) CBA. b) CBA . c) CBA .

d) CBA . e) CBA ./

Respuesta: a) 35,28,21)( . CBA ; b) 64?)(. CBA ; c) 72)( . CBA ; d)

105,60,30)( .CBA ; 157

154

152 ,,)/( .CBA .

88. Dados los vectores 12,,1 aaU , 1,1,aaV y 1,1,aW , determinar

“a” de modo que WVUVU .. )( . Respuesta: 2a .

89. Demostrar si son o no ciertas las proposiciones siguientes referentes a los vectores en

Vn:

a) Si CABA .. y 0A , entonces CB .

b) Si 0. BA para todo B, entonces 0A .

c) Si A es ortogonal a B, ABxA para todo número real x.

90. Dados 4. BA , 6A y 20 BA , calcular B y BA .

Respuesta: 932B , 264 BA

91. Determinar el vector V, sabiendo que 5V , V es ortogonal al eje 0Z, 6. WV y

kjW 32 . Respuesta: jiV 34 ó jiV 34 .

92. Determinar WVWUVU ... , sabiendo que 0 WVU , 2U , 3V y

5W . Respuesta: 19... WVWUVU .



Ángulo entre dos vectores.

Si es el ángulo entre dos vectores no nulos A y B, entonces BA

BA.cos .


93. Hallar el ángulo entre los vectores U y V.

a) 1,1U y 2,2V Respuesta: 2 .

b) 1,3U y 1,2V Respuesta: 4 .

c) jiU 3 y ijV 42 Respuesta: 4 .

d) jiU 43 y kjiV 32 Respuesta: )(cos14

21

e) jiU )(sen)(cos 66 ; jiV )(sen)(cos 4

34

3 Respuesta: 12

7.

94. Dados los vectores kjiA 236 y kjiB 32 , determine cos si es el

ángulo entre A y B. Respuesta: 147

3cos .

95. Demostrar que el ángulo que forman 1,2,1A y 1,1,2A es el doble del que

forman 1,4,1C y 5,5,2D .

96. Determinar vectorialmente los cosenos de los ángulos del triángulo en el espacio de 3

dimensiones cuyos vértices son los puntos )1,1,2( , )5,3,1( y )4,4,3( .

Respuesta: 0, 4135 , 41

6 .

97. Hallar los ángulos del triángulo con vértices )2,2,2(A , )1,2,3( B y )2,3,2( C .

Respuesta: )(cos69

21 , )(cos823

161 y )(cos1233

251 .

98. Sea )2,1,3( P , )2,1,7(Q y )2,3,3( R tres de los vértices de un cubo cuya

arista mide 4 unidades.

a) Determinar los vértices restantes.

b) Desde P trazar la diagonal del cubo y la diagonal del lado inferior. Hallar el ángulo entre

las dos diagonales.



Respuesta: a) )2,1,3( , )2,1,7( , )2,3,7( , )2,3,3( , )2,3,7( ; b)

)(cos321 .

99. Calcular VU. sabiendo que 8U , 5V y el ángulo entre U y V es 3 .

Respuesta: 20. VU .

100. Si es el ángulo que forman los vectores no nulos A y B de Vn, demostrar que:

a) cos2222

BABABA b) cos2222

BABABA

[Sugerencia: )).((2

BABABA y )).((2

BABABA ].

101. Los vectores A y B forman un ángulo de 3

radianes: Si 2A y 4B , hallar el

valor de BA . Respuesta: 84 BA .

102. Tres vectores A, B y C de V3 satisfacen las propiedades siguientes:

5 CA , 1B , CBACBA .

Si el ángulo que forman A y B es 8/ , hallar el ángulo entre B y C.

Respuesta: 87 .

103. Si A y B son vectores cualesquiera, 0A y 0B . Si BAABC . Demuestre

que el ángulo entre A y C tiene la misma medida que el ángulo entre B y C.

104. ¿Qué puede decir acerca del ángulo entre dos vectores no nulos U y V si:

a) 0. VU b) 0. VU c) 0. VU

105. Determine el ángulo

formado por los alambres AC y

AD de la red de voleibol que se

muestra en la figura.

Respuesta: )(cos971 .



106. Se utilizan tres cables para

sostener un contenedor como se

muestra en la figura. Determine

el ángulo formado por los

cables AB y AD.

Respuesta: )4449.0(cos 1 .

Vectores ortogonales (perpendiculares).

Dos vectores A y B son ortogonales (o perpendiculares) si y sólo si 0. BA .


107. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son perpendiculares?

(a) 1,1,1 y 5,1,2 (b) 1,1,1 y 1,3,2

(c) 7,2,5 y 2,1,3 (d) 1,2, y 0,,2

Respuesta: a) No son ; b) Son ; c) No son ; d) Son .

108. Verificar si U y V son ortogonales, paralelos o ninguna de ambas cosas.

a) 0,4U , 1,1V Respuesta: Ninguna.

b) 1,3,2U , 1,1,1V Respuesta: Ninguna.

c) kjiU 32 , kjiV 2 Respuesta: Perpendiculares.

109. Dados los vectores de V3 , 3,1,4A , 2,2,1B , 2,2,1C , 2,1,2D

y 1,2,2E . Determinar todos los pares ortogonales.

Respuesta: A y B, C y D, C y E, D y E.

110. Determine el valor de c (escalar) tal que los vectores dados sean ortogonales:

a) jiA 23 , jciB 2 Respuesta: 3c .

b) cA ,0,1 , 5,2,3B Respuesta: 53c .

d) 2,1,7A , 1,4,cB Respuesta: 72c .



c) 2,2,1cA , 1,3,2B Respuesta: 3c .

e) kjicA 45 , kjicB 42)1( Respuesta: 2c , 3c .

f) kjciA 3)1( y kjcicB 2 . Respuesta: 23c , 1c .

111. Muestre que si U y V son vectores ortogonales tales que 1 VU , entonces

2VU .

112. En R2 demostrar vectorialmente el Teorema de Pitágoras.

113. Suponga que AB es el diámetro de un círculo con centro en O . C es un punto sobre

uno de los dos arcos que unen A y B . Demuestre que CA y CB son ortogonales.

[Sugerencia: OACOCA , OBCOCB , el ángulo entre A y C es y entre C y B es

180 ].

114. Dados tres vectores no nulos A, B y C de Vn. Supóngase que el ángulo que forman A y

C es igual al que forman B y C. Demostrar que C es ortogonal al vector BAAB .

[Sugerencia: 0).( CBAAB ].

115. Si A y B son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vector BcA es

ortogonal a B si 2

B

BAc

. [Sugerencia: 0).( BBcA ].

116. Demuestre, empleando vectores, que los puntos dados son vértices de un triángulo

rectángulo.

a) )1,9,4(A , )3,6,2(B y )2,3,6( C b) )1,4,1( A , )5,8,5(B y )7,4,11( C

c) )2,1,3( A , )1,2,1(B y )1,4,1( C .



117. Si 3,2,1A y 2,1,3B , hallar los escalares a y b tales que BbAaC es

un vector no nulo y que 0. BC . Respuesta: Un ejemplo: 2a , 1b .

118. Si kjiA 32 y kjiB 23 , encontrar un vector C, no nulo, que sea

combinación lineal de A y B, perpendicular a A. Sin realizar cálculo adicional, ¿Son A, B y

C linealmente dependientes o linealmente independientes?

Respuesta: Un ejemplo: kjiC 45 siendo BAC 2 . A, B y C son linealmente

dependientes.

119. Si 1,1,2A y 2,1,1B , hallar un vector no nulo C de V3, tal que

0.. CBCA . Respuesta: Un ejemplo: 3,5,1 .

120. Si jkiA 23 y kjiB 322 , Hallar un vector 0C , que sea combinación

lineal de A y B, ortogonal a A. Sin realizar cálculo adicional, ¿Son A, B y C linealmente

dependientes o linealmente independientes?

Respuesta: Un ejemplo: kjiC 373813 siendo BAC 145 . A, B y C son

linealmente dependientes.

121. Dados los vectores 1,1,2A , 1,2,1B , 2,1,1C de V3. Hallar los

vectores D de la forma CcBb ortogonales a A y de longitud 1.

Respuesta: 1,1,02

1 , 1,1,02

1 .

122. Si 2,1,2A y 2,2,1B , hallar dos vectores C y D de V3 que satisfagan

todas las condiciones siguientes: DCA , 0. DB , C paralelo a B.

Respuesta: 8,8,4C , 6,7,6D .

123. Dados los vectores kjiA 22 y kjiB 22 , encontrar dos vectores C y D,

tales que C es paralelo a B, D es perpendicular a B y DCA .

Respuesta: kjiC 884 , kjiD 676 .

124. Sean 4,3,1A y 1,4,3B dos vectores de R3. Hallar los vectores P y Q de

R3 tales que QPA , siendo P paralelo a B y Q ortogonal a B.

Respuesta: 21

21 ,1,P ,

29

21 ,2,Q .



125. Un vector A de Vn tiene longitud 6. Un vector B de Vn tiene la propiedad de que para

todo par de escalares x e y los vectores ByAx y BxAy 94 son ortogonales. Calcular

las longitudes de B y de BA 32 . [Sugerencia: 0)9).(( BxAByAx ].

Respuesta: 4, 212 .

126. Demostrar que si A es perpendicular a B y C, entonces A es perpendicular a CnBm

para todos los escalares m y n. Interpretar geométricamente el resultado.

Respuesta: A B → A.B = 0, y A C → A.C = 0. Por tanto, 0)(. CnBmA , m y n no

nulos. Esto es, A a todos los vectores no nulos del plano de B y C, así que A es al

plano de B y C.

127. Demostrar que para dos vectores cualesquiera A y B de Vn se tienen las identidades:

a) BABABA .422 b)

222222 BABABA

128. Demuestre vectorialmente que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Proyección de un vector sobre otro vector.

El vector proyección del vector B sobre el vector A es A

A

A

BABA

.Proy

La proyección escalar del vector B sobre el vector A es A

BABA

.Proy

Si es el ángulo entre A y B, entonces: A

ABBA cosProy y cosProy ABA .

BAProy es la componente del vector B en la dirección de A o la proyección escalar del

vector B en la dirección de A.

La proyección de un vector sobre otro vector no cumple la propiedad conmutativa.


129. Sean los vectores jiA 5 y jiB 24 . Determine: a) la proyección escalar de

B sobre A. b) El vector proyección de B sobre A.

Respuesta: a) 26

18Proy BA ; b) )5(Proy139 jiBA .

130. Hallar la componente de A en la dirección de B si:



a) kjiA 632 , kjiB 22 Respuesta: 35Proy AB .

b) kiA 2 , kjiB 22 Respuesta: 1Proy AB .

131. Si kjiA 353 , kjiB 32 y kjiC 42 , obtenga la componente de B

en la dirección de CA 2 . Respuesta: 171

462Proy BCA .

132. Determinar la proyección de A sobre B si 3,2,1A y 2,2,1B .

Respuesta: BAB 911Proy

133. Si 2,0,1A , 6,3,2B y 1,2,2C , hallar lo que sigue>

a) La proyección de A sobre B. Respuesta: 6,3,2Proy4910AB .

b) La proyección de C sobre BA2 . Respuesta: 2,3,4Proy294

2 CBA .

c) CBA 23 en términos de i, j, k. Respuesta: kji 1075 .

d) La proyección de CBA 2 sobre el eje y. Respuesta: 0,8,0 .

e) La proyección de CBA 2 sobre la recta que pasa por los puntos )0,0,0( y )1,1,1( .

Respuesta: 1,1,1)2(Proy320CBAy .

134. Si la norma de un vector es 5 y dos de los ángulos directores son º45 y

º60 . Determine dicho vector y calcule su proyección sobre el eje y .

Respuesta: Vectores: )2(2

5kji y )2(

2

5kji . Proyecciones: j

2

5 y j2

5

135. Dado el sistema: AZYX 3,2,12 , 2,1,2ZYX . Sabiendo que Z

es perpendicular a A, calcular:

a) El vector X. Respuesta: 35,1,1X .

b) Vector proyección de X sobre A. Respuesta: 3,2,1Proy74XA .

c) Vector proyección de Y sobre A. Respuesta: 3,2,1Proy71YA .



136. Los elementos AB, BC y CD del

marco de acero mostrado en la figura están

unidos en B y C, asegurados mediante los

cables EF y EG. Si E es el punto medio de

BC y la tensión en el cable EF es de 110

lb, determine a) el ángulo entre EF y el

elemento BC, b) la proyección sobre BC

de la fuerza ejercida por el cable EF en el

punto E. Respuesta: º87.45 .

137. El collarín P se puede mover a lo

largo de la barra OA. Una cuerda elástica

PC está unida al collarín y al elemento

vertical BC. Si se sabe que la distancia del

punto O al punto P es de 6 in. y que la

tensión en la cuerda es de 3 lb, determine

a) el ángulo entre la cuerda elástica y la

barra OA y b) la proyección sobre OA de

la fuerza ejercida por la cuerda PC en el

punto P. Respuesta: a) º1.71 .

1.7.- DEFINICIÓN DEL PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ).

Producto vectorial: Multiplicación de dos vectores cuyo resultado es un vector.

Sean kajaiaA zyx y kbjbibB zyx . El producto vectorial de los vectores A y B,

denotado por BA se define como:

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

BA

kbb

aaj

bb

aai

bb

aaBA

yx

yx

zx

zx

zy

zy



kabbajabbaiabbaBA yxyxzxzxzyzy )()()(

(Nótese el signo menos ante la componente j).

La dirección del vector producto es perpendicular a A y B y su sentido es el de avance de un

sacacorchos que gire de A hacia B.

Propiedades algebraicas del producto vectorial.

Sean A, B y C vectores no nulos en el espacio y y escalares. Se verifica:

i.- )( ABBA ii.- 0 AA

iii.- )( BABA iv.- 000 AA

v.- CABACBA )( Propiedad distributiva.

vi.- CBACBA .. )()(


138. Encuentre BA para los siguientes vectores.

a) 1,1,1A y 1,3,2B Respuesta: 1,3,4BA .

b) 2,1,1A y 1,0,1B Respuesta: 1,1,1BA .

c) 3,1,1A y 3,2,1B Respuesta: 1,6,9BA .

139. Dados kjiU 2 y kjiV 23 , calcular: a) VU ; b) UV ; c) UU .

Respuesta: a) 5,1,3VU ; b) 5,1,3UV ; c) 0,0,0UU .

140. Si kjiA 352 , kjiB 472 y kjiC 633 , expresar el producto

vectorial )()( ABCA en función de i, j, k. Respuesta: kji 28 .

141. Sean kiA 2 , kjiB 2 y kjiC 22 . Calcular cada uno de los

siguientes vectores en función de i, j, k.

a) BA b) CB c) AC

d) )( ACA e) CBA )( f) )( CBA

g) BCA )( h) )()( CABA i) )()( CABA

Respuesta: a) kji 32 ; b) kji 354 ; c) kji 244 ; d) kji 4108 ; e)

kji 738 ; f) kji 51110 ; g) kji 1282 ; h) ji 22 ; i) ki 42 .



142. Dados los vectores 1,1,2U , 0,1,1V y 2,2,1W . Calcular:

a) VW b) )( UWV c) WVU .)(

d) )3()2( VU e) )()( . VUVU )(f) . WVU

g) )()( . WUVU h) WVU )( y )( WVU

Respuesta: a) kji 22 ; b) ji ; c) –1; d) kji 666 ; e) 3; f) –1; g) 1; h)

kji 314 y kji 64 .

143. Hallar un vector unitario perpendicular al plano de los vectores A y B si

kjiA 23 y kjiB 2 . Respuesta: 7,3,583

1

144. Sean kjiA 22 y kjiC 43 .

a) Hallar un vector B tal que CBA . ¿Hay más de una solución?

b) Hallar un vector B tal que CBA y 1. BA .

Respuesta: a) kjB 221 . Hay sólo una solución. b) No existe un vector que cumpla

ambas condiciones.

145. Demostrar que 2222)( .BABABA . Dados 5A , 3B y 7. BA .

Calcular BA .

146. Demostrar que BABABA 2)()( .

147. Usando componentes, demostrar que CBABCACBA .... )()()( .

148. Demuestre que ).().().().()()(2. CBDADBCADCBA .



149. Una placa rectangular está apoyada por

ménsulas en A y B y por un alambre CD. Se

sabe que la tensión en el alambre es de 200

N, determine a) el momento con respecto a

A de la fuerza ejercida por el alambre en el

punto C, b) la distancia perpendicular desde

el punto A hasta el cable CD.

Respuesta: a)

N.m )8.288.2868.7( kji ; b) 0.2072

m.

150. El aguilón AB de 6 m que se muestra

en la figura tiene un extremo fijo A. Un

cable de acero se estira desde el extremo

libre B del aguilón hasta el punto C ubicado

en la pared vertical. Si la tensión en el cable

es de 2.5 kN, determine el momento

alrededor de A de la fuerza ejercida por el

cable en B.

151. Los cables AB y BC se sujetan al

tronco de un árbol muy grande para evitar

que se caiga. Si se sabe que las tensiones de

los cables AB y BC son de 555 N y 660 N,

respectivamente, determine a) el momento

respecto de O de la fuerza resultante

ejercida por los cables sobre el árbol en B.

Propiedades geométricas del producto vectorial.

Propiedades geométricas del producto vectorial.



Sean A y B vectores no nulos en el espacio y el ángulo entre A y B. Se verifica:

i.- BA es ortogonal tanto a A como a B.

ii.- sen BABA

iii.- 0 BA si y sólo si A y B son paralelos.

iv.- tan.

BA

BA


152. Calcular VU y probar que es ortogonal tanto a U como a V.

a) 1,3,2U , 1,2,1V Respuesta: 7,1,5VU .

b) kjiU 32 y kjiV 2 . Respuesta: 1,1,1VU .

c) 0,3,12U , kjiV 2 Respuesta: 18,12,3VU .

153. Encuentre un vector perpendicular a 3,2,1 y 3,1,2 , y otro vector

perpendicular a 2,3,1 y 1,1,2 . Respuesta: 5,9,3 y 7,5,1 .

154. Calcular un vector unitario perpendicular a 2,1,1A y 0,3,2B .

Respuesta: 5,4,677

1

155. En cada caso hallar un vector de longitud 1 en V3 ortogonal a la vez a A y a B.

a) 2,2,3A , 1,3,2B Respuesta: 13,7,4263

1 .

b) kjiA , kjiB 32 Respuesta: 1,3,426

1 .

c) kjiA 432 , kjiB 75 Respuesta: 7,18,412054

1 .

d) kjiA 32 , kjiB 23 Respuesta: 1,2,16

1 .

156. Si 2,1,1A y 1,1,2B , hallar un vector no nulo C de V3, ortogonal a A y a

B. [Sugerencia: Comparar el resultado con el obtenido para el ejercicio 117].

Respuesta: Un ejemplo: 3,5,1C .

157. Calcular los valores de x e y para que el vector 1,, yx sea ortogonal a los vectores

0,2,3 y 1,1,2 . Respuesta: 2x , 3y .



158. Hallar el módulo de P, sabiendo que el ángulo entre A y B es de 30° y

BA

BABAP

)()( . [Sugerencia: Usar el resultado del ejercicio 146].

Respuesta: 1P .

159. Dado el vector P , definido por la siguiente ecuación: ABA

ABAP

)(

)(15.

Determinar:

a) Módulo de P. b) Dirección de P. c) Sentido de P.

Respuesta: a) 15P ; b) P es paralelo a B; c) El sentido de B es el mismo sentido de B.

160. Demostrar que BABA si y sólo si A y B son ortogonales.

161. Dados los vectores no paralelos A y B de V3 siendo 2. BA , 1A , 4B . Sea

BBAC 3)(2 . Calcular:

a) )(. CBA . Respuesta: 4)(. CBA .

b) C y Respuesta: 14C .

c) El coseno del ángulo θ que forman B y C. Respuesta: )(cos761 .

162. Dados dos vectores linealmente independientes A y B de V3. Sea BABC .

a) Demostrar que A es ortogonal a CB .

b) Demostrar que el ángulo θ que forman B y C satisfacen 2 .

c) Si 1B y 2 AB , calcular la longitud de C. Respuesta: 5C .

Vectores paralelos.

Dos vectores A y B son paralelos si 0 BA .


163. Demuestre que los vectores kjiU 843 y kjiV 24

3 son paralelos.

164. Dados cuatro vectores no nulos A, B, C y D de Vn tales que BAC y A es paralelo

a D. Demostrar que C es paralelo a D si y solo si B es paralelo a D.



Puntos colineales.

Tres puntos A, B y C en R3 son colineales si el producto vectorial de cualquier combinación

de dos vectores definidos entre ellos es el vector nulo.


165. Determinar si los siguientes puntos son colineales.

a) )5,2,0( , )4,4,3( , )1,2,2( Respuesta: Son colineales.

a) )5,2,0( , )4,4,3( , )1,2,2( Respuesta: Son colineales.

b) )0,0,0( , )2,3,1( , )4,6,2( Respuesta: Son colineales.

Área del paralelogramo.

Sean A y B vectores no nulos en R3 y lados adyacentes de un paralelogramo. El área del

paralelogramo viene dada por: BAArea .


166. Calcular el área del paralelogramo cuyos lados están representados por los vectores

dados:

a) 5,3,1A y 1,2,1B . Respuesta: 206 U.A.

b) jiA 32 y kjB 54 . Respuesta: 389 Unidades de área.

c) 1,2,3U , 3,2,1V Respuesta: 56 U.A.

d) kjiU , kjV Respuesta: 2 U.A.

167. Hallar el área del paralelogramo cuyos vértices son:

a) )1,1,3( , )2,1,1( , )5,4,0( , )8,4,4( Respuesta: 215 U.A.

b) )2,3,1( , )3,1,4( , )2,1,2( , )7,3,5( Respuesta: 89 U.A.

168. Demuestre que el cuadrilátero que tiene vértices en )3,2,1( , )1,3,4( , )1,2,2( y

)3,7,5( es un paralelogramo, y determine su área. Respuesta: 89 U.A.

169. Demostrar que el cuadrilátero de vértices )0,2,5(A , )1,6,2(B , )7,4,2(C y

)6,0,5(D es un paralelogramo. Calcular su área. Respuesta: 2592 U.A.

170. Comprobar que los puntos son vértices de un paralelogramo y calcular su área:



a) )1,1,1( , )4,3,2( , )2,5,6( , )5,7,7( Respuesta: 832 U.A.

b) )1,1,2( , )4,1,5( , )1,1,0( , )4,3,3( Respuesta: 432 U.A.

Área del triángulo.

Sean A y B vectores no nulos en R3 y lados adyacentes de un triángulo. El área del triángulo

viene dada por: BA21Area .


171. En cada caso utilizar el producto vectorial para calcular el área del triángulo de

vértices A, B y C:

a) )2,3,1(A , )1,1,6( B , )1,2,6(C b) )2,2,0(A , )2,8,8( B y )6,12,9(C

c) )0,0,0(A , )3,2,1(B , )0,0,3(C d) )5,3,1(A , )0,3,3(B , )5,0,2(C

e) )0,2,1(A , )0,1,2(B , )0,0,0(C f) )1,3,2( A , )3,2,1( B , )4,1,2(C

g) )2,2,0(A , )1,0,2( B , )0,4,3(C h) )1,3,2(A , )4,3,1( B , )1,2,1(C

i) )0,0,0(A , )1,1,0(B , )1,0,1(C

Respuesta: a) 32621 ; b) 299 ; c) 117

21 ; d) 6

29 ; e)

25 ; f) 734

21 ; g)

215 ; h) 35

23 ;

i) 321 Unidades de área.

172. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos )1,0,1(A , )1,1,1(B y

)2,1,2( C .

a) Hallar todos los puntos D que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo.

b) Calcular el área del triángulo ABC.

Respuesta: a) )2,2,4( D , )0,2,2(D , )2,0,0(D ; b) 621 Unidades de área.

1.8.- PRODUCTO TRIPLE ESCALAR (PRODUCTO MIXTO).

Sean kajaiaA zyx , kbjbibB zyx y kcjcicC zyx . El producto triple

escalar de los vectores A, B y C, denotado por )(. CBA se define como:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

CBA )(.




173. Calcular el producto mixto )(. CBA en cada caso:

f) kjiA , jiB 2 , kC Respuesta: –1.

g) kjiA 43 , kjB 3 y kC Respuesta: 3.

e) 1,0,2A , 0,3,0B y 1,0,0C Respuesta: 6.

b) 0,0,3A , 0,4,0B y 8,0,0C Respuesta: 96.

d) 3,1,2A , 6,0,3B y 1,5,4C Respuesta: –84 .

c) 1,3,2A , 5,7,3B y 2,5,1C Respuesta: 27.

a) 3,1,2A , 5,2,0B y 2,1,1C Respuesta: –19.

174. a) Hallar todos los vectores kcjbia que satisfagan la relación

3)436()( . kjikkcjbia .

b) Hallar el vector kcjbia de menor longitud que satisfaga la relación a).

Respuesta: a) kcjia a )(2

1 ; b) kcji 103

52 .

175. Hacer uso de las propiedades algebraicas, de los productos escalar y vectorial, para

demostrar las siguientes propiedades del producto mixto.

a) 0)()( . CBABA

b) CABCBA .. . Esto demuestra que al invertir la posición de los dos primeros

vectores cambia el signo [Indicación: Utilizar la parte a) y las leyes distributivas].

c) BCACBA .. . Esto demuestra que la permutación de los vectores segundo y

tercero cambia el signo [Indicación: Utilizar la simetría alternada].

d) ABCCBA .. . Esto demuestra que la permutación de los vectores primero y

tercero cambia el signo [Indicación: Utilizar b) y c)].

Igualando los segundos miembros de b), c) y d), encontramos que

BACACBCBA ... lo que demuestra que una permutación cíclica de A, B, C

deja invariable el producto mixto.

176. Sabiendo que 2)(. WVU , indique el valor correspondiente a



a) )(. UWV b) )(. WUV c) )(. VUW

d) )(. UVW d) )(. VWU

Respuesta: a) 2; b) –2; c) 2; d) –2; e) –2.

177. El marco ACD está articulado en A y

en D y se sostiene por medio de un cable, el

cual pasa a través de un anillo en B y está

unido a los ganchos en G y H. Si se sabe

que la tensión en el cable es de 450 N,

determine el momento respecto de la

diagonal AD de la fuerza ejercida sobre el

marco por el tramo BH del cable.

Respuesta: –90 N.m.

Vectores coplanares.

Tres vectores A, B y C en R3 son coplanares si su producto triple escalar es nulo

0)(. CBA .


178. Determinar si los vectores son coplanares:

a) kjiA , kjiB 2 y kjiC 423 . Respuesta: No son coplanares.

b) 3,1,2A , 5,2,0B y 7,3,2C Respuesta: Son coplanares.

b) 5,2,1A , 7,3,4B y 1,1,1C . Respuesta: No son coplanares.

179. Si jiA y kjiB 2 , hallar un vector de magnitud 2 , coplanar con A y B y

que forme un ángulo de 60º con el vector A. Respuesta: kj y ki .

180. Dados los vectores 1,4,1A y 1,11,2B , hallar un vector de módulo 63 ,

coplanar con A y B, que forme un ángulo de 30° con el vector A.

Respuesta: kji 552 y kji 27 .



181. Si A , B y C son tres vectores coplanares, explicar razonablemente en cada caso por

qué:

a) 0])(8)(2)([ . BACCBBA b) 0)()(6 ACBA

c) 0)()(])([ .. ACCBBAC

182. Sean A, B y C los vectores de posición del origen y los puntos A, B y C,

respectivamente. Demostrar que el vector 0 ACCBBA es perpendicular al

plano de A, B y C. [Sugerencia: BA y CA son dos vectores del plano].

Puntos coplanares.

183. Determinar si los cuatro puntos dados son coplanares.

a) )6,1,1( , )5,3,2( , )6,4,8( , )3,1,2(

b) )5,3,1( , )14,9,4( , )8,7,6( , )11,8,5( Respuesta: Los puntos son coplanares.

c) )2,6,4( , )8,2,3( , )2,1,1( , )3,6,4(

d) )2,1,1( , )3,4,7( , )5,3,7( , )3,8,5( Respuesta: Los puntos son coplanares.

184. Determinar si los puntos dados están en un plano que pasa por el origen.

a) )1,1,1( , )5,3,2( , )7,9,6( b) )2,6,1( , )8,4,5( , )3,5,3(

c) )1,9,3( , )8,2,6( , )4,1,1(

Respuesta: a) Los puntos no están en un plano que pase por el origen. c) Los puntos no son

coplanares.

Volumen del paralelepípedo.

Sean A, B y C vectores no nulos en R3 y lados adyacentes de un paralelepípedo. El volumen

del paralelepípedo viene dado por: )(Volumen . CBA .


185. Calcular el volumen del paralelepípedo cuyos lados están representados por los

vectores:

a) 0,4,1A , 7,1,2B y 1,2,4C Respuesta: 119 U.V.

b) 1,3,1U , 5,5,0V y 4,0,4W Respuesta: 60 U.V.

c) jiU , kjV y kiW Respuesta: 2 U.V.



d) kjiU 53 , kjV 22 y kjiW 3 Respuesta: 2 U.V.

e) jiA , kjB y ijC Respuesta: 0 U.V.

186. Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene vértices en )5,4,5(P , )6,10,4(Q ,

)7,8,1(R y )9,6,2(S y aristas PQ , PR y PS . Respuesta: 52 U.V.

187. Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene un vértice en el origen y los tres

vértices adyacentes en )0,0,1( , )9,2,3( , )3,2,5( . Respuesta: 24 U.V.

188. Calcular el volumen del paralelepípedo con los vértices en los siguientes puntos.

)0,0,0( , )0,0,3( , )1,5,0( , )1,5,3( , )5,0,2( , )5,0,5( , )6,5,2( , )6,5,5( .

Respuesta: 75 Unidades de volumen.

189. Calcule los valores de x de modo que los vectores 5,2,1A , 0,,3 xB y

1,1,1C representen las aristas de un paralelepípedo de 15 unidades cúbicas.

Respuesta: 49x .

Volumen del tetraedro.

Sean A, B y C vectores no nulos en R3 y lados adyacentes de un tetraedro. El volumen del

tetraedro viene dado por: )(Volumen .6

1 CBA .


190. Calcular el volumen del tetraedro de aristas kjiU 53 , kjV 22 y

kjiW 3 . Respuesta: 6 Unidades de volumen.

191. Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos:

a) )1,2,3(A , )4,2,1(B , )3,0,4(C y )7,1,1(D .

b) )1,1,1(A , )2,0,0(B , )0,3,0(C y )0,0,4(D .

c) )2,3,1(A , )1,1,0( B , )1,0,2(C y )0,2,1( D . Determinar además la altura del

punto A.

Respuesta: a) 65 ; b)

31 ; c) 4 Unidades de volumen y

52

38 Unidades de longitud.



Volumen del prisma triangular.

Sean A, B y C vectores no nulos en R3. A, B y C son los lados adyacentes de un prisma

triangular si uno de los vectores es perpendicular a los otros dos. El volumen del prisma

triangular viene dado por: )(Volumen .2

1 CBA .


192. Calcular el volumen del prisma triangular de aristas iU 4 , jV 2 y kW 5 .

Respuesta: 20 Unidades de área.

Dependencia e independencia lineal de vectores.

- Dos vectores forman un conjunto linealmente dependiente si y sólo si su producto

vectorial es el vector nulo.

- Tres vectores forman un conjunto linealmente dependiente si y sólo si su producto triple

escalar es cero.


193. Seleccione tres vectores A, B, C de V3 y determine:

a) Si son linealmente dependientes ó linealmente independientes.

b) Si son linealmente independientes, expresar el vector 3,1,2D como combinación

lineal de ellos.

c) Si son linealmente dependientes, tome uno de los vectores y expréselo como

combinación lineal de los otros.

194. ¿Para qué valores de los vectores dados forman un conjunto linealmente

dependiente en R3?. Escribir U como combinación lineal de V y W , siendo el valor

calculado.

a) 21

21 ,,U , 2

121 ,,V y ,, 2

121W

b) 6,,3 U , 3,1,2 V y 4,2,1 W

b) 1,1,2U , 4,3,2 V y 2,1,1 W

Respuesta: a) 21 ,

1 ; b) 2 , 6 ; c) 1 , 1 y 3 .



195. a) Demostrar que los tres vectores siguientes de V3 son linealmente independientes

0,1,3 , 1,3,1 , 3,1,0 .

b) Demostrar que los tres siguientes son dependientes 0,1,2 , 1,2,1 ,

2,1,0 .

c) Hallar todos los números reales t para los cuales los tres vectores siguientes de V3 son

dependientes: 0,1,t , 1,,1 t , t,1,0 . Respuesta: c) 0t , 2 y 2 .

196. ¿Para qué valores de “a” los vectores 1,1,1U , 1,,1 aV y aW ,1,1 .

Forman una base? Respuesta: 1x .

197. Determinar dos bases para R3 que contengan los vectores 1,1,0 y 1,1,1 .

198. Dados dos vectores linealmente independientes A y B de V3. Determinar si cada una de

las siguientes proposiciones es cierta o falsa.

a) BA , BA , BA son linealmente independientes.

b) BA , )( BAA , )( BAB son linealmente independientes.

c) A, B, )()( BABA son linealmente independientes.



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01 vectores en el espacio

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