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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

EXTENSION SOLOLA

FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN

ALGEBRA LINEAL

INGENIERO WILMER ORLANDO XERON HERRERA

“VECTORES EN EL ESPACIO”

SOLOLÁ 12 DE SEPTIEMBRE DE 2014

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INDICE

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 3

VECTORES EN EL ESPACIO ....................................................................................................... 3

PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES .................................................................................. 6

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO EN R3 ........................................................................ 10

CONCLUSIÓN ................................................................................................................................ 15

RESUMEN ....................................................................................................................................... 16

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 18

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INTRODUCCIÓN

El objetivo principales de este trabajo es aprender cuales son las formas de expresar

un vector en el espacio, y aprender acerca de las características de los vectores en

el espacio. En el entorno en que vivimos podemos construir un sistema de

coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales, el punto

en el que estos ejes se cortan es llamado origen.

En algebra este tema trata sobre números, matrices, vectores, aplicaciones y de

operaciones entre los elementos de dichos conjuntos, en esta investigación se verá

la estructura de un espacio vectorial que es la propia de los vectores y que es

aplicable en las matrices a los polinomios y a las funciones que permite identificar

las matrices como vectores y resolver múltiples problemas geométricos

En física, los vectores sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas,

velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes

en el plano, de tres componentes en el espacio.

VECTORES EN EL ESPACIO Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z,

perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

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Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos

planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el

primer octante las tres coordenadas son positivas.

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un

punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o

componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las

coordenadas del origen.

Ejemplo:

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de

vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

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Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector

nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo:

Dados los vectores y , hallar los módulos de y ·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos

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La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos

dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma

dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por

su módulo.

PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES

A diferencia del producto punto, el producto cruz sólo se encuentra definido

en R3 de la siguiente forma:

Definición:

Producto Cruz o Vectorial.

Sean u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k. Entonces el producto cruz (producto

vectorial) de u y v, denotado por u x v, es un nuevo vector definido por

u x v= (b1c2 – c1b2)i + (c1a2 – a1c2)j + (a1b2 – b1a2)k

Observe que el resultado del producto cruz es un vector, mientras que el resultado

del producto escalar es un escalar.

Ejemplo:

Sean u = i – j + 2k y v = 2i + 3j – 4k. Calcule w = u x v.

Solución:

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Utilizando la definición anterior:

w = [(-1)(-4) – (2)(3)]i + [(2)(2) – (1)(-4)]j + [(1)(3) - (-1)(2)]k = -2i + 8j +5k

Teorema 4

Sean u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k. Entonces:

Demostración:

Ejemplo:

Calcule u x v y v x u, donde u = 3i – 2j + 4k y v = i + 2j -3k.

Solución:

¿Qué particularidad se observa en los dos vectores obtenidos?

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Teorema 5

Sean u, v y w tres vectores en R3 y sea α un escalar, entonces:

u x 0 = 0 x u = 0

u x v = -(v x u) Propiedad anticonmutativa para el producto vectorial.

(αu) x v = α(u x v)

u x (v + w) = (u x v) + (u x w) Propiedad distributiva para el producto vectorial.

(u x v) · w = u · (v x w) Esto se llama triple producto escalar de u, v y w.

u · (u x v) = v · (u x v) = 0 u x v es ortogonal a u y a v.

Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v son paralelos si y sólo si u x v= 0.

Fig. 7 El producto cruz de u y v (u x v) es ortogonal tanto a u como a v.

El punto 6 del teorema anterior establece que

El producto cruz u x v es ortogonal tanto a u como a v.

Teorema 6

Si es el ángulo entre u y v entonces

|u x v| = |u| |v| sen

Demostración:

Usando la definición de magnitud de un vector, se tiene:

|u x v|2 =(u2v3 – u3v2)2 + (u3v1 – u1v3)2 + (u1v2 – u2v1)2

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Al desarrollar los cuadrados, se puede escribir:

Existe una interpretación geométrica del teorema anterior. Los vectores u y v están

dibujados en la figura 8, y se puede pensar que son los lados adyacentes de un

paralelogramo. Entonces de la geometría elemental, se observa que

Fig. 8 El área del paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v es:

|u| |v| sen = | u x v |

Ejemplo 3.

Determine el área del paralelogramo con vértices en los puntos P = (2, 2, -1), Q =

(3, 0, 5) y

R = (-2, 0, 7).

Solución:

Los vectores que forman los lados del paralelogramo son y . Entonces el

área del paralelogramo es:

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Área = | x | = (i – 2j + 6k) x (-5i + 2k)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO EN R3

Considere dos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) que pasan sobre una recta

L. Un vector paralelo a L es aquel con representación . Entonces

v = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k

Resulta ser un vector paralelo a la recta L. Ahora sea el punto R = (x, y, z) otro punto

sobre la misma recta L. Entonces es paralelo a , que a su vez es paralelo a v.

Por lo tanto,

= tv

para algún número real t. Ahora, observando la figura se tiene que para cualquiera

de los tres casos posibles,

= +

Fig. 9 En los tres casos OR = OP + PR

Al combinar las dos últimas expresiones, se tiene que:

= + tv

Esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta L. Si R está sobre L,

entonces esta ecuación se satisface para algún número real t. De manera contraria,

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si dicha ecuación se cumple, entonces invirtiendo los pasos, se observa que es

paralelo a v, lo que significa que R está sobre L.

Si se desarrollan las componentes de la ecuación vectorial de la recta, se obtiene:

xi + yj + zk = x1i + y1j + z1k + t(x2 – x1)i+ t(y2 – y1)j+ t(z2 – z1)k

o también:

Este grupo de ecuaciones se conocen como ecuaciones paramétricas de una recta.

Si del anterior grupo de ecuaciones despejamos t y definimos a =x2– x1, b

= y2 – y1 y c = z2 –z1, se encuentra que si abc ≠ 0, entonces,

las cuales se denominan ecuaciones simétricas de una recta. Aquí a, b y c son

números directores del vector v y por supuesto estas ecuaciones son válidas si a,

b, y c son diferentes de cero.

Ejemplo 1.

Hallar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa

por los puntos P = (1, –1, 2) y Q = (–2, 1, 3).

Solución:

En primer término, se determina el vector v que pasa por los puntos P y Q

v = (–2 –1)i + [1 –(–1)]j + (3 – 2)k = –3i +2j + k

Ahora, si R = (x, y, z) se encuentra sobre la recta, se obtiene

= xi +yj + zk = + tv = i – j + 2k + t(–3i + 2j + k)

xi +yj + zk= (1 – 3t)i + (–1 + 2t)j + (2 + t)k

Ecuaciones paramétricas: x = 1 – 3t y = –1 + 2t z = 2 + t

Como a = –3, b = 2 y c = 1, las ecuaciones simétricas son:

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Ejemplo 2.

Determinar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos P = (2,

3, –1) y

Q = (–2, 3, 4).

Solución:

Aquí tenemos que:

v = (–2 –2)i + (3 – 3)j +(4 + 1)k

v = –4i + 5k

Por lo que:

xi +yj + zk= 2i +3j – k + t(-4i + 5k) = 2i + 3j – k – 4ti + 5tk

xi +yj + zk= (2– 4t)i + 4j + (–1 + 5t)k

x = 2 – 4t

y = 3

z = –1 + 5t

o de otra forma, ya que a = –4, b = 0 y c = 5

La ecuación y = 3 representa la ecuación de un plano paralelo al plano xz.

Planos en R3.

Sea P0(x0, y0, z0) el punto de un plano. Sea (a, b c) un vector perpendicular al

plano, llamado vector normal al plano. Véase la figura. Estas dos cantidades, un

punto en el plano y un vector normal al plano, definen al plano. Únicamente existe

un plano a través de un punto dado y con una normal dada. A continuación se

deduce la ecuación de dicho plano que pasa a través de un punto P0(x0, y0, z0) y

una normal (a, b, c).

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Fig. 10 El vector n es ortogonal a todos los vectores en el plano

Sea P(x, y, z) un punto arbitrario en el plano. Se tiene

= (x, y, z) – (x0, y0, z0)

= (x – x0, y – y0, z –z0)

El vector se encuentra en el plano, por lo que los vectores (a, b c) y son

ortogonales y debido a esto su producto punto es cero. Esta observación conduce

a una ecuación del plano.

(a, b, c) · = 0

(a, b, c) · (x – x0, y – y0, z – z0) = 0

a((x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

A esta ecuación se le conoce como la forma punto-normal de la ecuación del plano.

Reescribiendo la ecuación se tiene:

ax – ax0 + by – by0 + cz – cz0 = 0

ax + by +cz – ax0 – by0 – cz0 = 0

Los tres últimos términos son constantes y agrupándolos en una sola constante

llamada d, se tiene:

ax+ by + cz + d = 0

Esta forma es conocida como ecuación cartesiana de un plano.

Ejemplo 1.

Encuentre la forma punto-normal y la forma general de la ecuación del plano que

pasa a través del punto (1, 2, 3) y que tiene como normal a (-1, 4, 6).

Solución:

Sea (x0, y0, z0) = (1, 2, 3) y (a, b, c) = (-1, 4, 6).

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La forma punto normal es:

-1(x – 1) + 4(y – 2) + 6(z – 3) = 0

Multiplicando y simplificando:

-x + 1 + 4y – 8 + 6z – 18 = 0

La forma general es:

-x + 4y + 6z -25 = 0

Ejemplo 2.

Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, -1, 1), P2(-1, 1, 3) y

P3(2, 0, 3).

Solución:

Los vectores y están en el plano. Por lo que el producto cruz

de x será normal al plano. De esta forma:

= (–1, 1, 3) – (2, –1, 1) = (–3, 2, 2)

= (2, 0, 3) – ( 2, –1, 1) = (0, 1, 2)

Por lo tanto:

Sea (x0, y0, z0) = (2, –1, 1) y (a, b, c) = (2, 6, –3).

La forma punto normal es

2(x – 2) + 6(y + 1) – 3(z – 1) = 0

2x – 4 + 6y + 6 – 3z + 3 =0

La ecuación del plano es

2x + 6y – 3z + 5 = 0

Observe que cada uno de los puntos dados (2,–1, 1), (–1, 1, 3) y (2, 0, –3) satisface

esta ecuación.

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CONCLUSIÓN

Un espacio vectorial es unas de las ideas básicas del algebra lineal y aparecen en

muchas aplicaciones de matemáticas, ciencias e ingenierías. Estas estructuras

algebraicas dan sentido a los conceptos de linealidad y superposición.

El concepto de espacio vectorial real podemos decir que es un conjunto de objetos

que se le denomina vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y

multiplicación por un escalar, para que sea un espacio vectorial debe cumplir ciertas

propiedades o axiomas. Por ende todo esto nos lleva a mencionar los subespacio

que más que nada un subespacio H de un espacio vectorial V es subconjunto de V

que es en sí un espacio vectorial.

Dado el hecho que he analizado la mayor parte de vectores espaciales, he podido

completar aún más mis conocimientos sobre vectores, dado que ahora no solo

podemos realizar ejercicios acerca de vector en un plano, sino que ya podemos

realizar otro tipo de ejercicios como lo son los vectores en el espacio.

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RESUMEN

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BIBLIOGRAFIA

ESCRITA

Computarizado Digital http://www.vitutor.com/analitica/vectores/vectores_espacio.html http://algebralineal.host22.com/Vectores/Vectores2.html http://www.aulafacil.com/matematicas-vectores/curso/Lecc-1.htm http://www.buenastareas.com/ensayos/Ensayo-De-Algebra-Lineal/6733885.html?_p=37