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VECTORES

EN EL

ESPACIOESPACIO

2º Bachillerato

VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO.

VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO. VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO.

VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.

OPERACIONES CON VECTORES LIBRES. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.

→u

→2u

→–3u

OPERACIONES CON VECTORES LIBRES. DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.

DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS. DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.

DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.

Estudia si el vector se puede expresar como combinación lineal de



Se consideran los siguientes vectores:a) Probar que forman una base B’ de V3.b) Calcular las coordenadas del vector respecto de B’

u (1,1,0) , v (1,0,1) y w (0,1,1)= = =� � ��

p (2,3,1)=�

a) 1 1 0

1 0 1 2 0 Son linealmente independientes y forman una base.

0 1 1

= − ≠ →

0 1 1

b)a b 2

(2,3,1) a(1,1,0) b(1,0,1) c(0,1,1) (a b,a c,b c) a c 3

b c 1

+ =

= + + = + + + → + = + =

B'a 2,b 0 y c 1 p (2,0,1)= = = → =�

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.

1) u v 0 u v si u 0 y v 0⋅ = → ⊥ ≠ ≠� ��

�

�

(u , v) agudo u v 02) → ⋅ >

→ ⋅ <

� � � �

� � � �

Propiedades:

�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �

�2)

(u , v) obstuso u v 0

→ ⋅ <� � � �

3) u v v u⋅ = ⋅� � � �

4) (u v) ( u) v u ( v)λ ⋅ = λ ⋅ = ⋅ λ� � � � � �

5) u (v w) u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅� � � � � � �


La base canónica de V3 es la base ortonormal { }B i, j, k=� � �


Expresión analítica en una base ortonormal:

1 1 1 B

2 2 2 B

u(x , y , z )

v(x , y , z )

�

��i i i i cos(i , i ) 1⋅ = ⋅ ⋅ =

� � � � � � �i j i j cos( i , j) 0⋅ = ⋅ ⋅ =� � � � � �

{ }B i, j, k=� � �

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2u v x i y j z k x i y j z k x x i i x y i j x z i k⋅ = + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ +� � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � �

1 2 1 2 1 2u v x x y y z z⋅ = + +� �

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1

y x i i y y i j y z i k z x i i z y i j z z i k

x x 1 x y 0 x z 0 y x 0 y y 1 y z 0 z x 0 z y 0

z z 1 x x y y

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ = +

� � � � � � � � � � � �

2 1 2z z+


Respecto a una base ortonormal las coordenadas de tres vectores son:

a) Calcular b) Averiguar el valor de k para que

a)

u (2, 3,1)= −�

v (5, 4, 1)= −�

w (k,7,1)=�

u v⋅� �

u w⊥� �

( ) ( )u v 2, 3,1 5, 4, 1 2 5 3 4 1 1 3⋅ = − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −� �

a)

b)

( ) ( )u v 2, 3,1 5, 4, 1 2 5 3 4 1 1 3⋅ = − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −� �

( ) ( )u w 2, 3,1 k,7,1 2 k 3 7 1 1 2k 20⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = −� �

u w u w 0 2k 20 0 k 10⊥ → ⋅ = → − = → =� � � �


Módulo de un vector (en una base ortonormal):

� 2 2u u u u cos(u , u) u cos 0 u⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =� � � � � � � �

u (x, y, z)=�

2 2 2 2 2 2 2u u u x y z u x y z= ⋅ = + + → = + +� � � �

2 2 2u x y z= + +�


Ejemplo: Respecto a una base ortonormal las coordenadas de dos vectores son:

a) Calcular b) El módulo de cada vector.

u (2, 1,5)= −�

v (1,3, 2)=�

u v⋅� �

2 2 2u x y z= + +�

Módulo de un vector (en una base ortonormal):

b) El módulo de cada vector.c) Un vector unitario en la dirección de

a) ( ) ( )u v 2, 1,5 1,3,2 2 1 1 3 5 2 9⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ =� �

u�

b) ( )2 2 2u 2 1 5 30= + − + =� 2 2 2v 1 3 2 14= + + =

�

c)2 1 5

w , ,30 30 30

= −

�


Ángulo de dos vectores (en una base ortonormal):

2 2 21 1 1u x y z= + +

�

�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �

1 1 1 2 2 2u (x , y , z ) v (x , y , z )= =� �

2 2 22 2 2v x y z= + +

�1 2 1 2 1 2u v x x y y z z⋅ = + +

� �

�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �

� 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

x x y y z zcos(u , v)

x y z x y z

+ +=

+ + ⋅ + +

� �

� u vcos(u , v)

u v

⋅=

⋅

� ��

� �


Ejemplo: Respecto a una base ortonormal las coordenadas de dos vectores son:

a) Calcular b) El módulo de cada vector.c) El ángulo que forman los dos vectores.

a)

u (2, 3,0)= −�

v ( 1,0,0)= −�

u v⋅� �

( ) ( ) ( )u v 2, 3,0 1,0,0 2 1 3 0 0 0 2⋅ = − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ + ⋅ = −� �

a) ( ) ( ) ( )u v 2, 3,0 1,0,0 2 1 3 0 0 0 2⋅ = − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ + ⋅ = −

b) ( )2 2 2u 2 3 0 13= + − + =�

( )2 2 2v 1 0 0 1= − + + =

�

c) � �u v 2 2 2cos(u , v) (u , v) arccos 123º 41' 24,2 ''

u v 13 1 13 13

⋅ − − − = = = → = =

⋅ ⋅

� ��

� �

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.


Interpretación geométrica del producto vectorial.

��

� �BB'

sen(u , v) BB' v sen(u , v)v

= ⇒ = ⋅

��

�

�u v u v sen(u , v) u BB' base altura× = ⋅ ⋅ = ⋅ = ×��


Propiedades del producto vectorial.


Expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal.


Ejemplo:

( )

× = − − − −

� � 3 0 0 1 1 3, , 9, 3, 13

1 3 3 4 4 1u v =

PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.

Interpretación geométrica del producto mixto.

[ ] ( ) �u , v, w u v w u v w cos(u , v w)= ⋅ × = ⋅ × ⋅ ×� � � � � � � � � � � �

[ ] ( ) �u , v, w u v w u v w cos(u , v w)= ⋅ × = ⋅ × ⋅ ×� � � � � � � � � � � �

[ ] ( ) �( )u , v, w v w u cos(u , v w)

Área de la base altura Volumen

= × ⋅ ⋅ × =

= × =

� � � � � � � � �


Expresión analítica del producto mixto.


Propiedades del producto mixto.

[ ] [ ]1. u , w, v u , v, w= −� � � � � �

[ ]2. u , v, w 0 si, y solo si, u , v, w son linelamente dependientes.=� � � � � �

[ ] [ ]3. a u ,b v,c w abc u, v, w=� � � � � �

[ ] [ ] [ ]4. u u ', v, w u, v, w u ', v, w+ = +� � � � � � � � � �


Ejemplo:Respecto de una base ortonormal, tres vectores se expresan como:

a) Hallab) Halla el volumen del tetraedro formado por los tres vectores.

( ) ( ) ( )u 2,3,4 , v 0,2,1 y w 3,2,1= = =� � �

[ ]u, v, w .� � �

[ ]

2 3 4

a) u, v, w 0 2 1 4 9 24 4 15

3 2 1

= = + − − = −� � �

[ ] 3tetraedro

1 1 15b) V u, v, w 15 2 '5 u

6 6 6= = − = =

� � �

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