Vectores. -...
113
1 Vectores. Dados los vectores a y b del espacio. ¿Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. ¿Por que ?. No siempre será posible. El vector a x c, cualquiera que sea c, será perpendicular tanto al a como al c. Por tanto solamente podrá ser igual al b en el caso de que el a y el b sean perpendiculares. En este caso, basta con tomar un vector c que forme un Angulo cualquiera con el a y de modo que c·b = 0 y además que Uno de los productos a x c o c x a deberá ser igual al b Dados en R 3 : u = (a,1,a) , v = (0,a,1) y w = (2,1,1) , a) ¿Para qué va- lores de a son linealmente dependientes los tres vectores?. b) obtén en cada caso una combinación lineal de los mismos cuyo resultado sea el vec- tor nulo y los coeficientes distintos de cero. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero. = Para a = 1 y para a = -2 , los tres vectores son linealmente dependientes. Sistema homogéneo compatible indeterminado. soluciones con i 0 una combinación lineal será: -2·u + v + w para 3 = 1 Sistema homogéneo compatible indeterminado soluciones con i 0 -2 1 + 2 + 3 = 0 1 = 3 una combinación lineal será: u + v + w para 3 = 2
Transcript of Vectores. -...
1
Vectores.
Dados los vectores a y b del espacio. ¿Siempre es posible encontrar
otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector
b?. ¿Por que ?.
No siempre será posible. El vector a x c, cualquiera que sea c, será perpendicular tanto
al a como al c. Por tanto solamente podrá ser igual al b en el caso de que el a y el b sean
perpendiculares.
En este caso, basta con tomar un vector c que forme un Angulo cualquiera con el a y
de modo que c·b = 0 y además que
Uno de los productos a x c o c x a deberá ser igual al b
Dados en R3 : u = (a,1,a) , v = (0,a,1) y w = (2,1,1) , a) ¿Para qué va-
lores de a son linealmente dependientes los tres vectores?. b) obtén en
cada caso una combinación lineal de los mismos cuyo resultado sea el vec-
tor nulo y los coeficientes distintos de cero.
a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres
vectores ha de valer cero.
=
Para a = 1 y para a = -2 , los tres vectores son linealmente dependientes.
Sistema homogéneo compatible indeterminado. soluciones con i 0
una combinación lineal será: -2·u + v + w para 3 = 1
Sistema homogéneo compatible indeterminado soluciones con i 0
-21 + 2 + 3 = 0
1 = 3 una combinación lineal será: u + v + w para 3 = 2
2
Dados los vectores de R3 : u = (1,2,-1) y v = (2,1,0) añade un vector w
para que los vectores u, v y w sean: a) linealmente independientes , b)
linealmente dependientes.
Dados los vectores u = (1, 2 ,0) y v= (2, 1, 1) , encuentra un vector w
de modulo y perpendicular a los dos anteriores.
9wy 2 + 25wy
2 + wy
2 = 35 ; 35wy
2 = 35 ; wy
2 = 1 ; wy = 1
wy = 1 ; wx = - 3 ; wz = 5 ; w = ( -3 , 1, 5 )
wy = -1 ; wx = 3 ; wz = -5 ; w = ( 3 , -1, -5 )
Dados los vectores u = (1, 4, x) y v = (0, 3, y), obtén x e y con la
condición de que u y v sean perpendiculares y de que = 5.
1· 0 + 4· 3 + x · y = 0
y = 4 12 + 4x = 0 ; 4x = - 12 ; x = - 3
y= - 4 12 – 4x = 0 ; 4x = 12 ; x = 3
3
Dados los vectores u (3,2,1) , v(-1,0,2) y w(1,1,0) obtén:
a) u · (v + w) ; b) u x (v - w) ; c) u x (v+w) ; d) u · (v -w) :
a) u · (v + w) = (3, 2 ,1) · (0, 1, 2) = 3·0 + 2·1 + 1·2 = 4
b) u x (v - w) =
212
123
kji
= 5i - 8j +k
c) u x (v + w) =
210
123
kji
= 3i – 6j + 3k
d) u · (v - w) = (3, 2 ,1) · (-2, -1, 2) = - 6 - 2 + 2 = - 6
Dados los vectores u = (9, 3, –3) y v = (1, 2, 3), calcula: a) modulo de u
y v respectivamente; b) producto vectorial de u y v; c) vector unitario de
u y de v; d) área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v.
(PAU).
4
Dados los vectores: u = (a, 1+a, 2a) , v = ( a,1,a) , w = (1,a,1) se pide:
a) Determina los valores de a para los que los vectores u, v y w sean li-
nealmente independientes. b) Estudia si x = (3,3,0) depende linealmente
de los vectores u, v y w para el caso a = 2. Justifica la respuesta.
a 0, 1 , -1 los tres vectores son l.i. y siempre se podrá poner x como combinación
lineal de u, v y w.
Si x = (3,3,0) (3,3,0) = 1 · (2,3,4) + 2 · (2,1,2) + 3 · (1,2,1)
3 = 2 · (-3/2) + 2 · (3/2) + 3 3 = 3
Las nuevas coordenadas del x serán x = (-3/2, 3/2, 3)
Determina el modulo del vector v + w sabiendo que , u · w = 4 y el ángulo que forman u con (v + w) es 60º
20 = 20v + w v + w= 1
5
Dos vectores unitarios u y v forman un ángulo de 60º. Hallar:
a) su producto escalar. b) el vector proyección ortogonal de v sobre u.
c) el vector proyección ortogonal de u sobre v.
Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0).
El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide: a) las coordenadas de
los otros dos vértices; b) el área del paralelogramo. (PAU)
AB = OB –OA= (0, 2, 0) – (1, 1, 1) = (–1, 1, 1)
C (x, y, z) AC = (x–1, y–1, z–1)
AO = (0, 0 1) – (1, 1, 1) = (–1, –1, 0)
CD = (x ´ +1, y ´ +1, z ´ –1) y AB = – CD
D (0, –2, 2)
C D
A
O
B
6
En R3, el vector x = (5,-1,2), ¿es combinación lineal de los vectores
u = (3,-1,2) y v = (1,0,4) ?.
Para que x sea combinación lineal de los vectores u y v es necesario que el rango de la
matriz formada por los tres vectores sea 2 , o lo que es lo mismo que no exista menor
principal de orden 3 en la matriz.
- 20 – 2 + 2 + 12 = - 8 ≠ 0
Como si existe menor principal de orden 3 rango A = 3 los tres vectores son
linealmente independientes por lo que el vector x no es combinación lineal de u y v.
En R3 , el vector x = (1,6,-5), ¿depende linealmente de los vectores
u1 = (0,1,1) , u2 = (2,1,0) , u3 = (-1,1,-2) ?. ¿Es x combinación lineal de los
tres?.
El que un vector x dependa linealmente de otros tres vectores u1, u2, y u3 es lo mismo
que decir que x se puede poner como combinación lineal de los tres.
x = λ1· u1 + λ2· u2 + λ3· u3 (1,6,-5) = λ1· (0,1,1) + λ2· (2,1,0) + λ3· (-1,1,-2)
11 – 2 = 3 λ3 λ3 = 3 y 6 = λ1 + 2 + 3 λ1 = 1
Al ser los tres λ reales y únicos puedo asegurar que el vector x es combinación lineal de
los otros tres.
Estudia la dependencia e independencia lineal en R3 de los vectores:
u = (-1,3,4) , v = (2,1,1) y w(-4,5,7) .
- 7 – 12 + 40 + 16 – 42 + 5 = 0
Al ser el determinante de orden 3 igual a cero No existe menor principal de orden 3 al
calcular el rango de la matriz formada por los tres vectores los tres vectores son
linealmente dependientes
7
Mostrar que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa,
mediante un ejemplo en el que se multipliquen de distintas formas los
vectores de componentes (1;1;1), (1;0;0) y (1;2;3).
Sean a = (1;1;1) b = (1;0;0) c = (1;2;3) Comprovemos que (a x b) x c ╪ a x (b x c)
Se comprueba que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa.
Obtén el producto mixto {u,v,w}sabiendo que u = (1,2,1) , v = (-1,0,1) y
w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2.
Obtén un vector perpendicular a w = (-2, 3, 4) que tenga modulo 5
¿Hay más de una solución?
Sea ),,( zyx vvvv
Al ser 2 ecuaciones con 3 incógnitas habrá más de
una solución 3,4,0 v
8
¿Para qué valores de a el conjunto de vectores (1,1,1) , (1,a,1) y
(1,1,a) es una base de R3 ?.
Para que los tres vectores formen una base, es suficiente con que sean linealmente
independientes y para ello
Si a2 – 2a + 1 = 0
Para todos los valores de a ≠ -1 , los 3 vectores son l.i y forman una base.
¿Para qué valores de m los vectores u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y
u3 = (m,0,0) no forman una base de R3 ?.
u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y u3 = (m,0,0).
Para que los tres vectores no formen una base, es suficiente con que sean linealmente
dependientes y para ello
Para los valores de m = 0 y m = 4 , los 3 vectores son l.d y no forman una base.
Prueba que en R3 son linealmente independientes los vectores:
u1 = (1,0,0) , u2 = (1,a,0) y u3 = (1,b,c) siendo a,b,y c numeros reales
cualesquiera, distintos de cero.
Para que sean linealmente independientes el determinante formado por los tres vectores
ha de ser distinto de cero
siempre que los vectores a,b y c sean ≠ 0 que es la con-
dición del problema
9
¿Qué vectores son los que dan el producto escalar nulo al multipli-
carlos por un vector a, no nulo?. ¿Cuáles son los que dan un producto
vectorial nulo (vector cero), al multiplicarlos vectorialmente por ese
vector a?.
a) Dado un vector a ╪ 0, partiendo de que a.b = │a│.│b│.cos
Podemos observar que para que este producto escalar, se haga cero, será necesario que
b = 0 o que cos = 0, es decir que b sea ortogonal al a.
b) Cualquiera que sea la forma en que se defina el producto vectorial de dos vectores a y
b, se sabe que el modulo del producto vectorial vale:
│a x b│ = │a│.│b│. sen
Para que este vector a x b sea nulo hara falta que, o bien el b = 0, o bien que el sen = 0.
Esto último quiere decir que los vectores a y b deberán formar un ángulo de 0 o de 180,
o lo que es lo mismo, que el vector b debe ser paralelo al vector a ya que
b = .a , R
Razonar, que si los vectores a, b, c, son perpendiculares dos a dos, el
producto escalar (a + b).(c + b) no puede ser negativo.
Por ser los vectores perpendiculares dos a dos se verifica que
a.b = 0; a.c = 0; b.c = 0
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar
(a + b).(b + c) = a.b + a.c + b.b + b.c = b.b = │b│2
Evidentemente, el modulo al cuadrado de un vector no nulo, nunca podrá ser negativo.
10
Razonar porque si u , v , w son tres vectores del espacio que no están
en el plano, el vector (v x u) x (w x u) tiene la misma dirección que el
vector u.
Si los vectores u, v y w son ortogonales, es decir perpendiculares dos a dos, vamos a ver
cual es la dirección de los productos vectoriales v x u y w x u y posteriormente la
dirección de los nuevos vectores resultantes.
Sabiendo que en general, el producto vectorial de dos vectores es otro vector
perpendicular a ellos.
v x u es un vector en la dirección del vector w
w x u es otro vector en la dirección del vector v
(v x u) x (w x u) será por tanto un vector perpendicular al w y al v, es decir en la dirección
del vector u.
Sea el vector v = e1 – 2e2 + 3e3 , expresado en una base cartesiana.
Hallar: a) sus proyecciones ortogonales sobre cada uno de los vectores de
la base, b) los ángulos que forma el vector v con cada uno de los vectores
de la base.
11
Si B={u1 , u2, u3 } es una base de v3 en donde u1 · u1 = 3 ; u2 · u2 = 2 ;
u3 · u3 = 1, u1· u2 = 3 , u1· u3 = 3 , u2· u3 = 6; ¿cuánto ha de valer a para
que el vector u = 2 u1 + u2 - u3 sea ortogonal al v = u1 - au2 + 2 u3 ?
u v ; u · v = 0 2 u1· u1 + u2 · ( -a·u2) + (- u3 ) ·2 u3
u· v = 2 u1· u1 + 2 u1 · ( -a u2) + 2 u1· u3 + u2· u1 + u2· ( -a u2) + u2 · 2 u3 +
(-u3 ) ·u1 + (-u3 )· ( -au2) + (-u3 ) 2 u3 = 2 · 3 – 2a· 3 + 4 ·3 + 3 – 2 a + 2· 6 – 3 + 6a2
=
= 28 – 2 a 28 - 2a = 0 a = 14
Siendo a y b dos vectores cualesquiera del espacio, probar que el
producto escalar de a + b por el a x b , es siempre cero.
Supongamos que a y b son distintos de cero.
Al ser el vector a x b perpendicular al plano formado por los dos vectores a y b, lo será
tam-bien al vector a + b
(a + b).(a x b) =
Si alguno de los vectores a o b vale 0, el producto vectorial a x b es 0 y nos queda que
(a + b). 0 = 0
Un vector de modulo 10 se descompone en suma de otros dos de
módulos iguales y que forman un ángulo de 45°. Halla el modulo de cada
uno de los vectores sumados. PAU.
u = v + w u = w u = 10 α( u, v ) = 45°
w u
v
12
13
Recta y plano. Posiciones relativas
Calcula el valor de m para que sean paralelos la recta r y el plano de
ecuaciones:
(PAU).
Busquemos la recta r en paramétricas y su ur
2x = - 1 + 3y x = - ½ + 3/2 y
r :
- ½ + 3/2 y + y – z = 2 z = - ½ - 2 + 3/2 y + y z = - 5/2 + 5/2 y
ur = (3/2, 1, 5/2) = (3, 2, 5) y nπ = (m, -1, 1)
Para que r ǀǀ π ur ┴ nπ ur · nπ = 0 ; 3m – 2 + 5 = 0 3m + 3 = 0
m = -1
Además podemos asegurar el paralelismo, viendo que el A(- ½ , 0, - 5/2) r pero
- (- ½ ) – 0 – 5/2 – 5 ≠ 0 luego A no pertenece al plano r ǀǀ π
Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el
punto (1, 1, 1) y el vector ( 0, -5, 3) y que pasa por el punto P (1, 0, -5).
A (1,1,1) ur ( 0, -5, 3)
α (x, y, z)
uπ = K . ur = ( 0, -5, 3)
vπ = AP = (0, -1 , -6) uπ, vπ y AQ son l.d.
AQ = (x - 1, y – 1, z - 1)
33 ( x - 1) = 0 ; x - 1 = 0 ; π x = 1
14
Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto p( 1, 0, -1), es
paralelo a la recta
, y es perpendicular al plano
2x - y + z + 1 = 0
El punto P( 1, 0, -1) al plano pedido .
Como r es paralelo al plano ur es paralelo al u , es decir, u= k · ur
Como
ur = ( 2, 1, 0)
Como el plano dado es perpendicular al pedido el n vector característico de y el
v deberán de ser paralelos. v = k · n ;
Como 2x - y + z + 1 = 0 n = ( 2, -1, 1) v = ( 2, -1, 1)
Si Q( x, y, z) es un punto genérico de , PQ, u , v son linealmente dependientes.
x - 1 - 2y – 4·(z + 1) = 0
x - 2y - 4z - 5 = 0
Considera la recta de ecuaciones paramétricas
y los
puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2). Determina la posición relativa de r y la recta
que pasa por P y Q.
a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q.
us = PQ = (0, -2, 0)
Para calcular la posición relativa entre r y s, se calcula el
Como A(-1, -1, 1) AP = (2, 2, 1) ; ur = (2, 1, 0) y us = (0, -2, 0)
r y s se cruzan en el espacio
15
Considera la recta
Determinar a para que el
plano π, de ecuación 2x + y + az =b sea paralelo a r. Determinar para que
valor de b, la recta está contenida en el plano.
nπ ur
nπ ┴ ur si r ║ π → nπ ∙ ur = 0
π ≡ 2x + y + az – b = 0 → nπ = (2, 1, a)
- x - 2 ·(- 1 + 2z) = - z => - x + 2 – 4z = - z => x = 2 – 3z
ur = ( -3, 2 , 1) ; nπ ∙ ur = 0 ; 2· (-3) + 1 · 2 + 9 ∙ 1 = 0 ;
- 4 + a = 0 ; a = 4 => r ║ a
Si quiero que r π obliguemos que A r π ; A r cuyo ur = ( 2, -1, 0)
2 . 2 + (-1) + 4 . 0 = b ; b = 3
16
Considera las rectas
Determinar m para que las rectas se corten. Hallar el punto de corte.
ur = (2, -1, 2) A (2, -1, l -m)
AB = (-1, 0, 5+m)
us = (-3, 4, -1) B (1, -1, 5)
- 1 + 8· (5 + m) – 3· (5 + m) + 8 = 0
5· (5 + m) + 7 = 0 ; 5 + m = - 7/5 ; m = -7/5 - 5 ; m = - 32/5
Además no son paralelos pues ur us para m = - 32/5 y m ya que
Para hallar el punto de corte ponemos r y s en paramétricas,
- 5 = -1 ; = 1/5
P(1 - 3/5 , - 1 + 4/5 , 5 - 1/5) = (2/5, -1/5, 24/5).
¿Cuáles son las condiciones para que un plano dado por su ecuación
en forma implícita, sea paralelo a la dirección de un vector dado por sus
coordenadas?.¿Por que?.
Sea ax + by + cz + d = 0 el plano y sea v = (v1,v2,v3) el vector.
Para que el plano y el vector sean paralelos, es necesario y suficiente que el vector
normal al plano w = (a,b,c) y el vector v sean ortogonales.
w · v = 0 ====> a·v1 + b·v2 + c·v3 = 0
17
Dada la recta de ecuaciones
explicar el significado
geométrico de (3y - z - 2) + ·(x + 2y + z - 1) para todo perteneciente a R
Al venir la recta dada por sus ecuaciones reducidas, esto nos indica que la recta viene
dada por la intersección de dos planos.
Si en cada uno de los planos, pasamos el término independiente al primer término y
realiza-mos una combinación lineal de ambos, nos queda:
(3y - z - 2) + ·(x + 2y + z - 1) que nos representa la ecuación del haz de planos que
tiene por base a la recta dada.
Dada la recta en paramétricas
halla: a) una
ecuación en forma continua, b) una de sus expresiones implícitas,
c) dos puntos diferentes de dicha recta.
a) En forma continua:
b) En implícitas:
c) Para = 0 A(3, -1, 2)
Para = 1 B(4, 3, 1)
que es perpendicular a la recta r y contiene al
punto P.
Pasamos la recta a paramétricas y sacamos su vector director:
ur ( - 2, 1, - 1/2 ) = ( 4, - 2, 1) y el A(7, 0, 2)
ur = nπ Con esta igualdad para que el plano sea perpendicular a la recta e imponiendo la
condición de que pase por el punto dado P (1, 2, 3) hallamos el plano:
4 (1) – 2 (2) + 3(1) + d= 0 d= - 3 Plano => 4x - 2y + z - 3 = 0
18
Dadas las rectas
Calcular el valor de a para que las dos rectas estén en el mismo plano.
Para que las rectas estén en el mismo plano lo único que no pueden hacer es cruzarse,
es decir
En caso contrario ó son coincidentes ó son paralelos ó se cortan en un punto.
De r :
De s:
B ( 0, - 13/3, - a + 3/2) us = ( 1, 2/3, 1/2) ≈ ( 6, 4, 3)
AB = ( -1, -13/3 – 3, -a + 3/2 + 2) = ( - 1, - 22/3, -a + 7/2)
9 – 44 + 4 · ( -a + 7) + 9 · ( -a + 7) + 4 + 44 ≠ 0
9 – 4a + 28 – 9a + 63 + 4 ≠ 0 a - 104 / 13
Para a = - 104 / 13 r y s se cortan para este valor de a, ya que no pueden ser paralelas ni
coincidentes pues ur ≠ K . us
19
determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
us’ || us us’ = k · us = (-2, -2, 3) para k =1
Si P(x, y, z) es un punto genérico del plano y A π
4 (x + 2)+ 7(y - 1) – 2 (z + 1) =0 => π ≡ 4x + 7y - 2z - 1 = 0
20
Dadas las rectas
Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Si consideramos el plano del papel como el pedido y en él dibujamos la recta r y paralela
a él la recta s.
Dibujamos una recta s´ paralela a s y contenida en el plano cuyo vector us´ es
proporcional a us .
us Si buscamos en r un punto base A r
s r y su ur , elegimos un punto genérico
del plano P(x,y,z) y calculamos el
Us´ A x ur vector AP, llegamos a la conclusión
s´ de que AP, ur y us´, son linealmente
P dependientes AP= ·ur + ·us´=>
Calculamos us: Restamos los dos planos, elimino la y , y despejo x
Calculamos ur y A : Sumamos los dos planos, elimino la y, y despejo la x
AP = (x , y - 1, z)
27x + 17y – 23z – 17 = 0
21
averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r.
Razona la respuesta
ur Calculamos la recta s que pasa por A y B
A x x C
xB y luego comprobemos si corta o no a la recta r
us = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4)
x = 1 + 2/3 z y = x – 1 + z = 1 + 2/3 z – 1 + z y = 5/3 z
Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del ur y del
us con lo que AC = ( 3, 4, 3 )
22
y los
puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2), halla la posición relativa de r y la recta s
determinada por P y Q. (PAU).
Calculemos la recta s que pasa por P(1,1,2) y Q(1,-1,2),
us = PQ = (0, -2, 0)
Como ur = (2, 1, 0) y A(-1, -1, 1) AP = ( 2, 2, 1)
r y s se cruzan
calcula a y b de modo que: a) r y sean secantes. ¿En qué punto se cor-
tan?. b) r y sean paralelos, c) r este contenida en . (PAU).
: x + y + az = b nπ = (1, 1, a).
Calculamos ur · nπ = (-1) · 1 + 1 · 1 + (-2) · a = - 2a
Si -2a = 0 a = 0
A(2, 0, 4) r ; 2 + 0 + 0 = b b = 2 A π
Para a = 0 y b = 2 r ≡ π
Para a = 0 y b ≠ 2 r paralela a π
Para a ≠ 0 y b r incide en π
23
Dados, el plano ≡ x – y + z + k = 0, donde k ϵ R, y la recta
se pide: a) Demuestra que para cualquier
k ϵ R, la recta r es paralela al plano Л. b) Determina el valor de k ϵ R de
forma que la recta r esté contenida en el plano Л.
a) nл = (1, -1, 1) ur = (2, 1, -1) A = (3, -1, 0)
Para que л sea paralelo a r; ur · nл = 0
1·2 – 1·1 – 1·1 = 0 2 -1 -1 = 0 y no depende del valor de k.
b) Sustituyo el punto A de la recta en la ecuación del plano para que r esté contenida en el
plano, porque si A (punto de la recta) pertenece también al plano, r pertenecerá al plano.
3·1 – 1· (-1) + 0 + k = 0; k = -4 para este valor de k , r estará contenida en
Л ≡ x – y + z - 4 = 0 , ya que el punto A sustituido en la ecuación del plano hace que esta se
verifique.
Para que se corten en un punto rg C = rg A = 3 = nº incognitas.
∀a ; 0 existe m.p. de orden 3 rg C = rg A = 3 = nº incognitas
Los três planos , β y ɣ se cortan en 1 punto . ∀a perteneciente a R
24
Estudiar la posición
relativa de los mismos según los valores de m.
Para estudiar la posición relativa de 3 planos, veamos cuánto valen los rangos de la
matriz de coeficientes y de la ampliada según los valores de m.
Los valores a discutir son m = 1 , m = -2 y ∀ m ≠ 1, -2
Es obvio que los 3 planos son coincidentes
= 4 – 1 ≠ 0 => rg C = 2
Ampliemos con los términos independientes:
Sistema incompatible, no existen soluciones de corte.
Geométricamente se observa que los planos no son paralelos dos a dos.
Por lo que los planos solo pueden estar formando un triedro.
∀ m ≠ -2 , 1 C ≠ 0 rgC = 3 y el rgA = 3 pues no existen menores de orden 4.
Si rgC = rgA = nº de incógnitas = 3 Sistema compatible determinado existe una única
solución que geométricamente indica que los 3 planos se cortan en un punto.
25
Dados los planos
Estudiar la posición
relativa.
rag C = 3, existe menor principal de orden 3 en C
rag A = 3, no existe menor principal de orden 4 en A
Л1, Л2, Л3 se cortan en un punto porque rgC = rgA = 3 = nº de incógnitas, existe solución
única que es el punto de corte.
: 2x + 3y – 5z + 6 = 0
Sustituimos la x, y y z de las paramétricas de la recta en las del plano
2·(2 + ) + 3·(3 - 2) – 5·(4 - 3) + 6 = 0
4 + 2·λ + 9 – 6·λ – 20 + 15·λ + 6 = 0 11·λ – 1 = 0 λ = 1 / 11
El punto de intersección se obtiene sustituyendo λ en las paramétricas de r
C (2 + 1/11, 3 – 2/11, 4 – 3/11) = (23/11, 31/11, 41/11)
26
Determinar la ecuación de un plano que pasa por el punto (1, 0, 2) y es
El plano pedido tendrá como vectores dirección los proporcionales al u y al v y tomando
un punto genérico P(x,y,z), el vector AP pertenecerá también al plano.
==> 5.(x - 1) - 3y - (z - 2) = 0 El plano será : 5x - 3y - z - 3 = 0
Determinar el valor de a para que los puntos (1, 2, -1) , (a, 3, 0) y
(2a, 5, 2) estén alineados. Hallar las ecuaciones de la recta que deter-
minan para ese valor de a.
Para que tres puntos A, B y C estén alineados, será necesario que AC = ·AB
AB = (a - 1, 1, 1) AC = (2a - 1, 3, 3)
2a - 1 = 3a - 3 ==> a = 2
Si a = 2 el vector AB = (1, 1, 1) r
27
Determinar la posición relativa de las rectas:
==>
ur = (–3, 4, 1) ; us = (–3, 4, 1) ; AB = (5, –5, 0)
r y s son paralelas
28
Determinar la posición relativa de las rectas:
AB = (1, 2, 0) – (- 4, 7, 0) = (5, -5, 0)
= 2 =>
29
La recta t que corta a las rectas r y s vendrá dada
como intersección de dos planos y '
- 6x – 2y + 2z + 4 = 0 3x + y - z - 2 = 0
x - 2y + z - 3 = 0
30
Discute y resuelve según los valores de m, la posición relativa de los
siguientes planos, indicando las figuras geométricas que determinan.
π1 ≡ x – y = 1 ; π2 ≡ 2x + 3y – 5z = - 16 ; π3 ≡ x + my – z = 0
m = 0 m.p. orden 3 en C ; m.p. orden 2 en C rg C = 2
Si rg C < rg A sistema incompatible, no existe ningún punto de corte
Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que siempre se
cortan en rectas.
En este caso podemos asegurar que los tres planos se cortan 2 a 2 en rectas paralelas
(Triedro de planos)
Si m ≠ 0 C ≠ 0 existe m.p. orden 3 en C rg C = 3
Como no existe menor de orden 4 en A rg A = 3
Si rg C = rg A = nº incognitas sistema compatible determinado solucion unica.
Los tres planos se cortan en un punto.
31
Discute sin resolver, según los valores de m, la posición relativa de los
siguientes planos, indicando las figuras geométricas que determinan.
π1 ≡ x – y – mz = 1 ; π2 ≡ - 3x + 2y + 4z = m ; π3 ≡ - x + my + z = 0
m = 1 m.p. orden 3 en C ; rg C < 3
1 – 3 + 2 – 1 = -1 ≠ 0 m.p. orden 3 en A rg A = 3
Si rg C < rg A sistema incompatible, no existe ningún punto de corte
Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que los planos
π1 y π3 son paralelos ya que
y π2 los corta a cada uno en rectas paralelas
Si m ≠ 1 ≠ 0 m.p. orden 3 en C rg C = 3
Como no existe menor de orden 4 en A rg A = 3
Si rg C = rg A = nº incógnitas sistema compatible determinado solución única.
Los tres planos se cortan en un punto.
32
Escribe la ecuación implícita de un plano que pasa por el origen de
coordenadas y que es paralelo a las rectas
y
x = y = z
uπ = k· ur
ur O vπ = k· us A x
us
B x P
Como ur = (2, 3, 4) y us = (1, 1, 1) , al proyectarlos paralelamente sobre el plano pedido,
podremos asegurar que
uπ = k· ur = (2, 3, 4) , que vπ = k· us = (1, 1, 1) y que el OP = (x, y, z)
Como OP, uπ y vπ deben de ser l.i
3x + 3y + 2z – 3z – 2y – 4x = 0 - x + 2y – z = 0
π ≡ x – 2y + z = 0
Escribir la ecuación de una recta paralela al eje OY y que pasa por el
punto (1, -2, 3)
Como r al eje OY ur = k · (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y como A(1, -2, 3) r
33
(PAU).
(-1, -3, 5)
r y s se cortan en un punto P.
2 – 3t = 1 - λ
3 + 5t = 2 λ t = 5 P( 2 – 15 , 3 + 25, 5) = (-13, 28, 5)
t = 5
es vacía, o se trata de un punto , de una recta o de otra figura.
Vamos a calcular los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada que forman mis
tres planos.
10 – 10 = 0 rg C = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en C
2 – 5 + 3 = 0 rg A = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en A
rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas ==> sistema compatible indeterminado con infinitas
soluciones, las cuales representan los infinitos puntos de la recta común a los tres planos.
34
r:
(-2, -12, -4)
No existe m.p. orden 3
r y s se cortan en un punto
P (0 , -12 , -5)
35
cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en cada caso, los
puntos de corte.
AB = (-1, -2, 8)
m.p. orden 2
AB = (-1, -2, 8)
AB = (-1, -2, 8)
36
Estudiar la posición relativa de las rectas ‘r’ y ‘s’, según los valores de
‘b’: r :
=
=
s :
=
=
ur = (3, 4, -1) A= (2, 1, -6)
AB = (-3, 0, -9)
us = (-6, b + 2, 2) B= (-1, 1, 3)
Calculemos el rg
;
= - 12 + 27 ·(b + 2) + 108 – 3· (b + 2) =
= - 12 + 27b + 54 + 108 – 3b – 6 = 24b + 144; | C| = 0 24b + 144 = 0; 24b = -144;
b = - 6
Si b = - 6 | |3x3 = 0 m.p. orden 3; Como
= - 6 0 m.p. orden 2
Luego rg
= 2 Calculamos rg
rg
1
Ya que m.p. orden 2
Si rg
= 1 y rg
= 2 r y s son paralelas
b - 6 | |3x3 0 m.p. orden 3 rg
= 3 r y s se cruzan
37
Si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas; sistema compatible indeterminado;
soluciones
Los 3 planos se cortan en una recta que forma parte del haz de planos.
¿Existe algún plano que pase por los puntos A(1,-1,3) , B(2,-2,0) y
C(3,-3,-3)?. ¿Por qué?
Depende de si los puntos están alineados en una recta en donde existirán infinitos planos
pertenecientes al haz de planos o de que los puntos no estén alineados en cuyo caso existirá
un único plano.
Para ver si están o no alineados AB y AC deben o no ser proporcionales
Al ser proporcionales los vectores están alineados en una sola recta de vector dirección
ur = AB y punto base el A
La ecuación del haz de planos sera: λ · (x + y) + µ · (3x – 3z) = 0
(λ + 3µ) · x + λ · y - 3µ · z = 0
38
Expresa la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(2,-3,1) y tiene
como vector dirección v = (3,-2,0) : a) En forma vectorial, b) en forma
paramétrica, c) en forma continua, d) en forma implícita o cartesiana.
a) E. vectorial (x, y, z) = (2, -3, 1) + λ·(3, -2, 0)
Expresa la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(3,-1,-2) y
B(1,4,-5) en forma de: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua,
d) cartesiana.
= AB = OB – OA = ( 1 – 3, 4 + 1, -5 + 2) = (-2, 5, -3)
a) (x, y, z) = (3, -1, -2) + λ·(-2, 5, -3)
39
Hallar la ecuación de un plano que pasa por Q(1,-2, 0) y que pertenece
al haz de arista:
El haz de planos se halla a partir de las reducidas de r.
2x + 6y – 1 + ( 6x – z – 4 ) = 0 pasa por Q
2 . 1 + 6 ( - 2) – 1 + λ ( 6 . 1 – 0 – 4 ) = 0 ; - 11 + 2λ = 0 ; λ =
2x + 6y – 1 +
( 6x – z – 4 ) = 0 ; 4x + 12y – 2 + 66x – 11z – 44 = 0
70x + 12y – 11z – 46 = 0
Hallar la ecuación de un plano paralelo a : 5x – y + 3z - 1 = 0 que pase
por el punto Q (-12, 1, 4)
´// n´ = k n
n = (5, -1, 3) n´ = (5, -1, 3)
´ 5x – y + 3z + d= 0
Para que pase por Q (-12, 1, 4) 5· (-12) – 1 + 3· (4) + d = 0
- 1/9 + d = 0 d = 1/9
´ 5x – y + 3z + 1/9 = 0
40
Hallar la ecuación general del plano paralelo a las siguientes rectas y
que pasa por (0, 0,0):
Se halla el vector director de cada una de las rectas:
De r: A (0, -1, 0) ur (1, 1, 1)
De s: B (2, 2, -1) us (3, 0, 0)
Se halla el plano con el punto (0, 0, 0) y los vectores de las anteriores rectas:
Hallar la ecuación implícita del plano determinado por el punto
A(1,-2,5) y los vectores u = (2,0,3) y v = (1,-1,2). (PAU).
AP = (x – 1, y + 2, z – 5) , uπ y vπ deben de ser l.d para que sean coplanarios.
3·(x – 1) – (y + 2) – 2· (z – 5) = 0 3x – y – 2z + 5 = 0
41
Hallar la intersección de la recta r, determinada por los puntos:
A(1, 6, 3) y B(2, 6,0), con el plano: x – y + 3z = 2
El punto P pedido se calcula intersectando la
recta r que pase por A y B con el plano .
P = r ∩ л
Para calcular r, calcularemos ur = AB =
= (2 - 1, 6 - 6, 0 - 3).
ur = (1, 0, -3) y con A (1, 6, 3) como punto base escribiremos las paramétricas de r.
1 + λ – 6 + 3 (3 - 3λ) = 2; 1 + λ – 6 + 9 - 9λ = 2; -8λ = -2 ;
Hallar la posición relativa de una recta r
y el plano
: 4x-7y+5z = 0. En su caso hallar el punto de corte.
Pasemos a paramétricas la recta r:
Sustituimos las paramétricas de r en la
ecuación del plano para calcular el punto de corte, si es que existe.
4· (1/2) – 7· (- 1/2 + λ) + 5 λ = 0; 2 + 7/2 - 7 λ + 5 λ = 0
11/2 = 2 λ; λ = 11/4 único r y se cortan en 1 punto.
P( ½, - 1/2 +11/4, 11/4 ) P(
)
42
Hallar la ecuación de una recta que pasa por P (0, 0, 2) y corta a las
rectas siguientes:
; s:
ur = (5, 2, 1) A r = (- 2, 4, - 1)
us = (4, - 2, 3) B s = (0, 0, 0)
- 10 x + 13 y + 24 z – 48 = 0
x + 2 y = 0
Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(1,1,-1) ,
B(2,-2,3) y C(1,0,2) en todas las formas posibles.
Elegimos como punto base el A y como vectores dirección el AB y el AC
AP = (x-1, y-1, z+1) ; uπ = AB = (1, -3, 4) ; vπ = AC = (0, -1, 3)
Ecuación vectorial : (x, y, z) = (1, 1, -1) + λ · (1, -3, 4) + μ · (0, -1, 3)
Ecuación paramétricas :
-5·(x – 1) - 3·(y - 1) – (z + 1) = 0
5x + 3y + z - 7 = 0
43
La ecuación en forma continua de una recta es:
Determina a) su vector dirección, b) su ecuación en forma paramétrica,
c) Tres puntos distintos que pertenezcan a dicha recta.
a) ur = (2, -3, 5)
b)
c) Para λ= 0 A( 1, 0, 2)
Para λ= 1 B(3, -3, 7)
Para λ= -1 C(-1, 3, -3)
Obtén la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación:
x = 1 - 2
r : y = 2 + 3 y un punto A(-3,0,2) exterior a ella.
z = 3 -
El vector ur = ( -2, 3, -1) pertenece también al plano pedido uπ = ur
El punto B (1, 2, 3) perteneciente a la recta y al plano junto con el punto A que no es de r
pero si del plano, me dan el otro vector dirección del plano vπ = AB = (4, 2, 1)
Además puedo tomar como vector genérico el BP o el AP = ( x + 3, y, z – 2)
Como los tres vectores deben de ser l.d
44
Prueba que los puntos A(3,-2,1), B(2,2,-3) y C(1,1,0) no están
alineados y halla la ecuación del plano que determinan. (PAU).
AB = (2-3, 2+2, -3-1) = (-1, 4, -4) = uπ
AC = (1-3, 1+2, 0-1) = (-2, 3, -1) = vπ uπ y vπ son l.i , mientras que según la defi-
AP = (x-3, y+2, z-1) nicion de plano, uπ , vπ y AP son l.d
8 · (x – 3) + 7 · (y + 2) + 5 · (z – 1) = 0
El plano pedido tiene de ecuación general: 8x + 7y + 5z – 15 = 0
Sea el triangulo de vértices A(1 , 0 ,1) ; B (1 , 1 , 0) ; C (0 , 1 , 1).
Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que
determinan.
C
A Recta AB: AB = (0 , 1 , -1) pasa por A
B Recta AC: AC = (-1 , 1 , 0) pasa por A
Recta BC: BC = (-1 , 0 , 1) pasa por B
Plano ABC: u = AB = (0, 1 , -1) AP = (x – 1, y, z - 1)
v = AC = (-1, 1, 0)
1· ( x - 1) + 1· y + 1· (z - 1) = 0 ; x - 1 + y + z - 1 = 0 ;
x + y + z – 2 = 0
45
estan
en respectivamente.
indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tienen
mayor área.
A = r ∩ п1 п1 ≡ x = 0; 12 + λ = 0; λ = –12 A(0, –30, –30)
B = r ∩ п2 п2 ≡ y = 0; – 6 + 2 λ = 0; 2 λ = 6; λ=3 B(15,0,15)
C= r n п3 п3 ≡ z = 0; 6 + 3 λ= 0; 3 λ= – 6; λ= –2 C(10, –10, 0)
¿Se encuentra B entre A y C?
. B no está entre AyC
¿Se encuentra C entre A y B? C está entre A y B
El DAB tiene mayor área que el DAB y que DCB ya que es la forma de estos dos.
Sean A (m-2, m, -5) , B (m, 1, -5) y C (-1, 3, m) los vértices de un
triángulo ABC, ¿cuánto vale m para que el triángulo sea rectángulo en
B?
BA ortogonal a BC BA · BC = 0
BA = OA – OB = (m - 2, m, -5) – (m, 1, -5) BA = (-2, m - 1, 0)
BC = OC – OB = (-1, 3, m) – (m, 1, -5) = (- 1 - m, 2, m + 5)
BA · BC = -2 · (-1 - m) + (m - 1) · 2 + 0 = 0 2 + 2m + 2m – 2 = 0 ; 4m = 0 ; m = 0
46
2x + y + mz = n. Se pide: a) ¿ Para que valores de m y n, r y son
secantes?. b) ¿ Para que valores de m y n, r y son paralelos?.
c) ¿ Para que valores de m y n, contiene a la recta r?.
Primero calcularemos la matriz de coeficientes y ampliada resultante del sistema formado
por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano.
Para que r y sean secantes, será necesario que exista un solo punto de corte, es decir
que rg C = rg A = nº de incógnitas y para ello será necesario que
Para que r y sean paralelos, será necesario que no exista ningún punto de corte, es decir
que rg C = 2 y que rg A = 3, con lo que el sistema será incompatible y para ello será nece-
sario que
Para que la recta este contenida en el plano, será necesario que existan puntos de corte,
es decir que rg C = rg A =2 nº de incógnitas, con lo que el sistema será compatible
indeterminado y para ello será necesario que
Se consideran 5 puntos cuyas coordenadas son: P1 (1, - 1, 2) ;
P2 (- 2, 2, 3) ; P3 (- 3, 3, 3) ; P4 (- 3, 3, 0) ; P5 (- 3, 4, 3). Contesta de forma
razonada a la siguiente pregunta: ¿forman parte de un mismo plano?
Calculamos el plano que pasa por 3 de ellos: P1, P 2 , P 3
- (x – 1) – (y + 1) = 0 ; x + y = 0
47
Se consideran el plano π : x + ay + 2az = 4 y la recta
Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son
paralelos
x + ay + 2az = 4 nπ (1, a, 2a )
x + 1 + 3z + 2z = 2 => x = 1 – 5z
nπ · ur = 0 -5 + 3a + 2a = 0 -5 + 5a = 0 a = 1 y el nπ ( 1, 1, 2)
Además (1·1) + (1·1) + (2·0) 0 r //
48
Se consideran las rectas:
Determina m de manera que las rectas se corten. Halla el punto de corte.
A( 2, -1, -m ) B( 1, -1, 5 )
ur = (2, -1, 2) us = (3, 4, -1) AB = ( -1, 0, 5 + m )
11 m + 62 = 0 m =
el rango es 2 y como los vectores dirección son l.i ,
podemos asegurar que las rectas se cortan en un punto.
Para calcular el punto de corte sustituimos el valor de m =
en las paramétricas de r y
las igualamos a las paramétricas de s.
2 + 2λ = 1 + 3µ 2λ - 3µ = - 1
- 1 – λ = - 1 + 4µ - 8µ - 3µ = - 1 µ = 1 / 11
- (-62/11) + 2λ = 5 - µ λ + 4µ = 0
Y sustituyendo µ en la recta s saco el punto de corte P(1 + 3/11, -1 + 4/11, 5 – 1/11)
P( 14/11, - 7/11, 50/11 )
49
Problemas métricos en el espacio
Calcular el ángulo que forman los planos
(PAU).
= arc cos 0 = 90
P (0, λ, 0) π ε r
x P
us = uπ S ut = vπ
A
x Q
t
x + y = 1 y = 1 – x x = λ
s ; y = 1 – λ A (0,1,1)
2x – z = -1 z = 1 + 2x z = 1 + 2λ us (1,-1,2)
y + z = 1 y = 1- x x = 0
t ; y = 1 – λ us (0,-1,1)
-x + y + z = 1 x = 0 z = λ
El plano pedido π se calcula con los vectores AQ, uπ y vπ
x y – 1 z – 1
π 1 -1 2 = 0 x – (y – 1) – (z – 1) = 0 π x – y – z + 2 = 0
0 -1 1
Y obligando a que P(0, λ, 0) sea de π - λ + 2 = 0 ; λ = 2 P (0,2,0)
50
Calcular la distancia del punto P(1, 3, 2) a la recta:
Pasamos r a paramétricas
=>
; y =
u
Comprueba que los puntos A(0, 1, 0) B(2, 1, 1), C(-1, 3, -2) y
D(-2, -1, 0) no son coplanarios y determinar el volumen del tetraedro.
Si A, B, C y D no son coplanarios DyACABA
, son li.
1,0,2 AOBOBA
; )0,2,2(
)2,.2,1(
AODODA
AOCOCA
3
DA
CA
BA
rg
DA
BA
BA
022
221
102
= 2 + 4 – 8 0 l.i.
6
1tetraedroV
6
1doparalelipeV
6
1 DACABA
6
1
022
221
102
3
3
1
6
2842 u
51
Considera el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo
A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla el área de una de sus bases, el
volumen del paralelepípedo y la distancia entre las bases. (PAU).
H G
E F
D C
A B Como AE = (0, 1, 6)
Como d(π1, π2) = d ( E, π2)
3 · (z – 1) = 0 3z – 3 = 0
│3 · 7 – 3│ 18
d(π1, π2) = d ( E, π2) = ------------------- = ---- = 6 u
√ 02 + 0
2 + 3
2 3
Para hallar los puntos R ε r d(P,R) = d(Q,R) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1)
PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1) y QR = ( -2 + 2α, α, -1)
El punto R es R(1, 0, 1)
52
Considera la recta de ecuaciones
a) De entre los planos que contienen a la recta r, escribe la ecuación
cartesiana del plano que es paralelo a la recta s: x = y –1 = z + 2 .
b) Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano obtenido en
el apartado anterior (esto es, la recta intersección del plano obtenido en
el apartado anterior con el plano que pasa por r y es perpendicular a ).
r El plano pedido es el del papel que contiene a r y
ur
A es paralelo a s
P
Si ur = (2, 1, 2) y A(1, 1, 2) ε r ε π y
us us = (1, 1, 1)
s
Para calcular la proyección ortogonal de una recta que se encuentra en un plano, sobre el
mismo plano, no tenemos que realizar ningún calculo, ya que la recta s proyección de r es
la propia y mismísima r
r
π
53
(PAU).
a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q. Como us = PQ = (0, -2, 0)
=>
Como A(-1, -1, 1) AP = (2, 2, 1) ; ur = (2, 1, 0) y us = (0, -2, 0)
Para hallar los puntos R ε r d(P,R) = d(Q,R) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1)
PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1) y QR = ( -2 + 2α, α, -1)
El punto R es R(1, 0, 1)
54
Considerar un cuadrado cuyo centro es el punto C ( 1,1,-1) y tiene uno
de sus lados en
a) Calcular la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado.
b) Calcular la longitud del lado del cuadrado. (PAU).
Ur
CP, y son l.d
P
C
-2( x - 1) + 2(y - 1) + z + 1=0 -2x – 2y – z + 1= 0
A
Л= -2x – 2y – z + 1= 0
= 6
= 3 u
55
Consideremos el plano de ecuación 20x + 15z – 60 = 0 a) hallar las
ecuaciones de los ejes ox, oy. oz. y los cortes de estos con el plano. b) la
distancia entre la recta OB y el eje ox. c) la distancia entre la recta AB y
el eje OZ
Lo primero es escribir las ecuaciones de los ejes OX, OY OZ.
B’(0, , 0) es un punto cualquiera de OY
B’(0, 0, ) es un punto cualquiera de OZ
Hallamos los puntos de corte con el plano
A: OX pertenece a ; 20 + 12 ·0 + 15·0 – 60 = 0 ; 20 = 60 ; = 3 ; A(3,0,0)
B: OY pertenece a ; 20 ·0 + 12· + 15·0 – 60 = 0 ; 12 = 60 ; = 5 ; B(0,5,0)
C: OZ pertenece a ; 20 ·0 + 12·0 + 15 - 60 = 0 ; 15 = 60 ; = 4 ; C(0,0,4)
C como la recta OB y el eje OX se cortan en (0,0,0)
B La mínima distancia será 0
A La distancia entre la recta AB y el eje OZ estará entre el punto O(0,0,0) y la recta AB.
Calculamos un plano a AB que pase por O. UAB es paralelo al n del plano buscado.
O AB = (-3,5,0) ; n = k· AB = (-3, 5,0) k = 1
d B - 3x + 5y + D = 0 ; al pasar por O(0,0,0) 0 + D = 0 ;
D = 0
M luego - 3x + 5y = 0
A
M AB perteneciente a La recta AB en paramétrica vale
sustituyendo en -3· (3 - 3) + 5·5 = 0 ; - 9 + 9 + 25 = 0 ; 34 = 9 ;
; M(3 –
,
, 0) =
(0,AB ) = d(O,M) = =
=
56
Considérese la siguiente figura, siendo:
A(1,1,0) D
Se pide: a) Coordenadas de D
para que ABCD sea un parale-
logramo. b)Área de éste para-
lelogramo.
B(-1,-1,-1) C(2,2,0)
a) Llamemos a las coordenadas de D(x, y , z).Para ser paralelogramos sus lados de-ben
ser paralelos dos a dos , es decir BA y el CD deben de ser paralelos e iguales.
BA = (1+1, 1+1, 0 +1) = (2, 2, 1) CD=(x - 2, y - 2, z)
D(4,4,1)
b) A partir de la expresión geométrica del producto vectorial de dos vectores ,
│BA x BC│= S paralelogramo
Como BC = (2+1, 2+1, 0+1) = (3, 3, 1)
A
B
Dada la recta definida por:
a) Hallar la ecua-
ción del plano que pasa por el origen y contiene a r . b) Halla la
ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r
a)
b)
57
r ' y que , el 'corte a en la recta s ´ s // al plano OXY z = 0
El plano ´ es uno de los planos del haz que contiene a la recta r, es decir
' x - 1 + ·(y -3) = 0
(, -1, 1 - )
r // plano OXY ur // z = 0 ur · n = 0 1 - = 0 ; = 1
y sustituyendo en el haz de planos ' x – 1 + 1· (y - 3) = 0 ; x + y - 4 = 0
58
(PAU).
π´ ≡ plano OXY ≡ z = 0 r
ur
π ↄ r y π ┴ π´ A
nπ´ P
A(1, -1, 0) ur = (2, -1, 3)
uπ = ur = (2, -1, 3) vπ = nπ´ = (0, 0, 1) y AP = (x – 1, y + 1, z)
- (x – 1) – 2·(y + 1) = 0
x + 2y + 1 = 0
59
x – 1 y + 2 z – 1 x + 2 y – 3 z - 2
Dadas las rectas r: ------- = ------- = ------- s: -------- = ------- = -------
3 2 4 -1 2 3
a) Estudiar su posición relativa en el espacio . b) Hallar la distancia entre
ellas
AB
Para estudiar la posición relativa de dos rectas debemos calcular el rg ur
us
donde A r y B s.
A (1, -2, 1) B (-2, 3, 2)
r ≡ s ≡ AB = (-3, 5, 1)
ur = (3, 2, 4) us = (-1, 2, 3)
-3 5 1 -3 5 1
rg 3 2 4 = 3 ya que 3 2 4 = - 18 - 20 + 6 + 2 - 45 + 24 0
-1 2 3 -1 2 3
esto nos indica que r y s se cruzan y no se cortan.
| AB (ur × us) |
d ( r, s) = -------------------
| ur × us |
ya que con AB, ur y us se
forma un paralepípedo
cuyo V = Sbase . altura;
| AB (ur × us) | = | ur × us | · |AB |
-3 5 1
3 2 4
-1 2 3 | -51 | 51 51
d ( r, s) = ------------------- = ------------------- = -------------------- = ----------- u
i j k | -2i -13j+ 8k| √ 4+ 169+ 64 √ 237
3 2 4
-1 2 3
60
Dadas las rectas:
Hallar las coordenadas de un punto P que está en la recta r’ y que
determina con la recta s, un plano que contiene a r.
El punto P pedido esta en r’, mientras que la recta r está en el plano del papel, el cual
debe venir determinado por el punto P y la recta s.
Si P r’ escribamos r’ en paramétricas y así tendremos cualquier punto de r’.
λ, -1 -λ, λ)
Por otro lado, si las rectas r y s se cortaran en un punto Q determinarían el plano del
papel.
y el vector AB = (2, 0, -2)
Q( -2, 2, 2)
Calculemos ahora el plano que contiene a r y s. M(x, y, z)
61
- (x+2) + y – z = 0 ; -x + y – z – 2 = 0 ; => π ≡ x – y + z + 2 = 0
Por último P deberá permanecer a π y a r’ por lo que P= π ∩ r’. Si sustituimos las
paramétricas de r’ en π sacamos un valor de λ y luego el punto.
λ - ( -1 - λ) +λ + 2 = 0 ; λ + 1 + λ + λ + 2 = 0
3λ = - 3 ; λ = - 1 P(-1, -1+1 , -1) = ( -1, 0, -1)
62
Dado el plano π, mediante la ecuación x - 2y + 2z = 3 y el punto
A(1;2;0), determinar el punto A' proyección ortogonal de A sobre π (pie
de la perpendicular trazada a π desde A)
Sea A'(x,y,z) el punto pedido y sea vπ = (1;-2;2) el vector asociado o perpendicular al
plano π.
Sea el vector AA' = (x - 1, y - 2 ,z) paralelo al vector vπ con lo que
Dado el plano de ecuación x + 2y + 3z = 1 y el punto A(1,1,1), hallar
las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde A a ese plano,
(proyección ortogonal de A sobre él).
Si x + 2y + 3z = 1 su vector perpendicular será nπ = (1,2,3).
Si llamamos A'(x,y,z) al punto pedido y calculamos el vector AA'= (x-1,y-1,z-1).
El AA' será paralelo al nπ ==>
El A(x,y,z) => x + 2y + 3z = 1
Resolvamos el sistema
63
Dado el plano de ecuación x + 2y + 3z – 1 = 0, el punto P(2,1,1) y la
recta r de ecuaciones:
determina: a) Unas ecuaciones de
la recta que pasa por P y es perpendicular a . b) La ecuación del plano
que pasa por P y es perpendicular a la recta r. c) Unas ecuaciones de la
recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r. d) Unas ecuaciones
de la recta que pasa por P, es paralela al plano y tal que su vector di-
rector es perpendicular al de r. (PAU).
a) s ┴ π y P s nπ = us por lo que us = (1, 2, 3) y la recta pedida es:
b) π´ ┴ r y P π´ Hay que pasar la recta r a paramétricas llamando a z = λ
Como PP´ = (x – 2, y – 1, z – 1) , el plano se calcula haciendo el producto escalar
PP´ · nπ´ = 0 2· (x – 2) + (y – 1) + (z – 1) = 0 2x + y + z – 6 = 0
c) r´ ┴ 2 y P r´ Buscamos un plano llamado de apoyo π´´ ┴ r , de forma que
nπ´´ = k · ur = (2, 1, 1) y como P ε r ε π´´ y puedo buscar un genérico del plano
PP´ = (x – 2, y – 1, z – 1) tal que PP´ · nπ´´ = 0 , nos de la ecuación del plano de apoyo.
2·(x – 2) + y – 1 + z – 1 = 0 2x + y + z – 6 = 0 ¡ que casualidad, es el plano del
apartado anterior!.
A continuación buscamos el punto de corte de la recta r y el plano π´´ introduciendo las
paramétricas de r en la ecuación general del plano.
2 · (-3 + 2λ) + 4 + λ + λ – 6 = 0 - 6 + 4λ + 4 + λ + λ – 6 = 0 6λ – 8 = 0
λ =
con lo que M =
= (-7, 13, 1) r´ :
ur´´ = nπ x ur =
= - i + 5 j – 3 k
con lo que la recta r´´ :
64
x – y + z = 1
Dados A(-2,-4,-3) y B(2,6,5) y la recta r:
2x + y – 3z = 2
averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r.
Razona la respuesta
ur Calculamos la recta s que pasa por A y B
A x x C
xB y luego comprobemos si corta o no a la recta r
us = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4)
x – y = 1 – z
Calculemos las paramétricas de r + 3x = 3 + 2z x = 1 + 2/3 z
2x + y = 2 + 3z
y = x – 1 + z = 1 + 2/3 z – 1 + z y = 5/3 z
x = 1 + 2/3 λ
r ≡ y = 5/3 λ C(1, 0, 0) y ur = ( 2/3, 5/3, 1) = (2, 5, 3)
z = λ
Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del ur y del
us con lo que AC = ( 3, 4, 3 )
AC 3 4 3 3 4 3
rg ur = rg 2 5 3 ; 2 5 3 = 60 + 24 + 30 – 30 – 32 – 45
us 2 5 4 2 5 4 = 7 ≠ 0
AB
rg ur = 3 r y s se cruzan y no se cortan.
us
65
Dados dos planos de ecuaciones 3x - y + z = 1 y x + y - 2z = 0 , hallar
un vector cuya dirección sea paralela a ambos. Explicar como se ha
calculado.
Sea 3x - y + z = 1 y sea v = (3,-1,1) su vector perpendicular o asociado.
Sea ' x + y - 2z = 0 y sea w = (1,1,2) su vector perpendicular o asociado.
Al calcular el producto vectorial de los vectores v y w, nos dara un vector u, que será
perpendicular a los vectores v y w.
Como v y w son los vectores perpendiculares a cada uno de los planos, resultara que el
vector u será siempre paralelo a los planos y '.
i j k u = 3 -1 1 = i + 7j + 4k
1 -1 -2
Luego el u(1,7,4) es el vector paralelo a los planos y '.
66
D
π = x – 2y -3z + 1 = 0 se pide: a) Ecuación del plano que pasa por A, es
paralelo a r y perpendicular a π. b) Ecuación de la recta que pasa por A,
corta a r y es paralela a π.
Sacamos nπ (a partir del plano) nπ (1, -2, -3)
´
´
´
3y + 6 + z + 3 -2z -6 + 3x – 3 =0 => π’ = 3x + 3y – z = 0
b) Necesitamos construir un plano π’ que sirva de apoyo a la recta que se pide, por lo
que debe ser paralelo a π y pasar por A, por lo que sustituimos el punto para sacar d:
π = x - 2y – 3z + a = 0 1 - 2 · (-2) – 3 · (-3) + d = 0; 1 + 4 + 9 + d = 0; d = - 14
El nuevo plano π’ x – 2y -3z - 14 = 0
Ahora estudiamos la posición relativa entre la recta r y π’:
uπ´ · ur = 1 · (-1) + (-2) · 1 – 3 · 0 ≠ 0 r incide en π’
Necesitamos buscar el punto en el que r incide en π’, para ello metemos las coordenadas
x, y, z de la recta r en paramétricas (apartado anterior) en la ecuación del plano:
(- 1 – λ) – 2λ – 3 · 0 - 14 = 0; - 3λ – 15 = 0; λ = -5 => sustituyendo en la ecuación
de la recta r nos queda M (-6, -5, 0).
Ahora sólo nos queda buscar el vector director de nuestra nueva recta t, que lo obtenemos a
partir de A y M. AM = (-6, -5, 0) – (1, -2, -3) = (-7, -3, 3)
67
Dados los planos a y b de ecuaciones respectivas:
a 2x - y + 2z = 2 b - 4x + 2y - 4z = 1
Se pide: 1º) Probar que son paralelos y determinar la distancia entre
ellos. 2º) Determinar la ecuación del plano perpendicular a ambos, que
pasa por el punto A en que el plano a corta al eje OX y por el punto B en
el que el plano b corta al eje OY.
Para ver si son paralelos, tomaremos los vectores asociados a los dos planos y
comprobaremos que son paralelos.
u = (2,-1,2) ┴ a v = (-4,2,-4) ┴ b
v = - 2u por lo que son paralelos y también los planos a y b
Ahora calculemos un punto P al plano a dandole a x=0 e y=0 con lo que
z = 1 , es decir P = (0,0,1)
│-4.0 + 2.0 - 4.1 - 1│ 5 5
d(P,b) = -------------------------- = ------ = ---
16 + 4 + 16 36 6
Calculemos las coordenadas de los puntos A y B
Como el eje OX viene dado por los planos y = 0 e z = 0 , sustituyendo en la ecuación
del plano a
2x - 0 + 0 = 2 ==> x = 1 ; A = (1,0,0)
Como el eje OY viene dado por los planos x = 0 y z = 0 , sustituyendo en la ecuación del
plano b
1
0 + 2y - 0 = 1 ==> y = - ; B = (0,1/2,0)
2
El vector AB y será AB = (-1,1/2,0)
el vector u ya que es perpendicular a los planos a o b
x - 1 y z
La ecuación del plano -1 ½ 0 = 0
2 -1 2
x - 1 + 2y = 0 ===> x + 2y - 1 = 0
68
Dados los puntos A(1,-3,1), B(2,3,1) y C(1,3,-1), se pide
a) Obtener la ecuación del plano Л que los contiene
b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano Л
c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el
origen de coordenadas.
a)
B AP= (x - 1, y - 3, z - 1)
UЛ = AB = (1, 6, 5)
A P VЛ = AC = (0, 6, -2)
C x - 1 y - 3 z - 1
1 6 5 = 0; - 12 (x - 1) +2 (y + 3)+ 6 (z - 1)= 0
0 6 -2
- 6 (x - 1) + (y + 3) + 3(z - 1)= 0; - 6x + y + 3z +6 = 0; Л= 6x – y – 3z –6 = 0
b)
| 6∙ 0 – 0 + 3 ∙ 0 – 6 | 6 6√46 3√46
d(0, Л) = ----------------------------- = -------- = ---------- = ---------- u
√ 36 + 1+ 9 √46 46 23
c) OA, OB y OC forman un paralelepípedo.
1 -3 1
Vtetraedro = 1/6 Vparalelepipedo= 1/6 | OA∙(OB x OC) | = 1/6 2 3 -1 = 1/6 ∙ 1 = 2 u3
1 3 -1
69
Determinar los valores de los parámetros a y b , para que las rectas:
Primero obligamos a que r y s se corten ;
AB = (3, 0, 3)
- 6 + 3 + 6b – 3a = 0 - 3 + 6b – 3a = 0 a – 2b + 1 = 0
Para que sean perpendiculares ur y us lo deben de ser ur · us = 0
(1 , 2 , a) · (-b , 1 , -1) = 0 - b + 2 – a = 0
a + 1 – 2 = 0 ; a = 1
70
Determinar m, si es posible, para que el plano
: 2mx – 3(m – 1)y – (m + 3)z + 2m + 4 = 0 sea ortogonal a la recta de
ecuación r:
(PAU).
Como ur ( 1, 2, - 1) y nπ = ( 2m, -3 ·(m-1), - (m+3) )
2m - 3 · (m-1) - ( m+3)
π ┴ r ur // nπ ------ = -------------- = -----------
1 2 - 1
4m = - 3m + 3 ; 7m = 3 m = 3 / 7
2m = -m – 3 m = 3
3m – 3 = - 2m + 6 ; 5m = 9 m = 9 / 5
Como podemos ver , no existe un valor de m unico por lo que no ewxiste ningun valor de
m que haga que r sea perpendicular a π.
71
Determinar la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(1,0,2) y
es perpendicular al plano determinado por el origen de coordenadas y de
la recta
x = 2z - 1
y = z – 2
Al ser la recta r ┴ π . Podemos asegurar que el ur es paralelo al vector característico del
plano uπ.
ur
nπ
Para calcular π tenemos un punto O (0, 0, 0) y
O una recta S contenida en π y de forma que el
UB vector dirección de S y el vector característico
B son ┴.
x = 2z – 1 x = - 1 + 2 λ
Si tomamos la recta S ≡ y = - 2 + λ para todo λ
y = z – 2 z = λ perteneciente a R
Bs = (-1, -2, 0) pertenece a π
serán las parametricas de la recta
us = (2, 1, 1) pertenece a π
Como O π y B π OB π y será OB = (-1, -1, 0)
El vector nπ buscado se puede calcular como el producto vectorial de dos de los vectores
dirección del plano.
i j k nπ = us x OB = 2 1 1 = +2 i - j -3 k = nπ = (2, -1, -3)
-1 -2 0
ur = k nπ ur = ( 2, -1, -3) para k = 1
La recta pedida esta ya calculada conociendo su punto base A y su vector dirección
x = 1 + 2 λ x - 1 y z - 2
y = - λ λ R ------- = ------- = -------
z = 2+ 3 λ 2 -1 -3
72
Determinar razonadamente si las rectas r y s se cortan o cruzan
x + y - 2z + 1 = 0 2x + y - z - 1 = 0
r: 2x - y + z - 1 = 0 s: x - y - 2z + 1 = 0
Hallar también el coseno del Angulo que forman sus direcciones.
La recta r viene dada por dos planos cuyos vectores perpendiculares serán
w = (1,1,-2) y w'= (2,-1,1) por lo que el vector dirección de la recta r será ur = w x w'
i j k
ur = 1 1 -2 = i - 4j - k - 2k - 2i - j = - i - 5j - 3k
2 -1 1
La recta s viene dada por otros dos planos cuyos vectores asociados serán v = (2,1,-1) y
v' = (1,-1,-2) por lo que el vector dirección de la recta s será us = v x v'
i j k
us = 2 1 -1 = - 2i - j - 2k - k - i + 4j = - 3i + 3j - 3k
1 -1 -2
Si tomamos un punto A r dando a z el valor 0 y resolviendo el sistema en x e y
x + y = - 1 3x = 0 ==> x = 0 ==> y = -1
2x - y = 1 A(0,-1,0)
Si tomamos un punto B s dando a z el valor 0
2x + y = 1 3x = 0 ==> x = 0 ==> y = 1
x - y = - 1 B(0,1,0)
Formemos el vector AB = (0,2,0) y calculemos el rango formado por los vectores AB,
ur y us
-1 -5 -3 -1 -5 -3
-3 3 -3 = 18 – 6 = 12 0 rg -3 3 -3 = 3
0 2 0
0 2 0
Al ser los tres vectores l.i , las rectas r y s se cruzan
│ur.us│ 3 - 15 + 9 - 3
cos(r,s) = ------------ = ------------------------------ = --------
│ur│.│us│ 1 + 25 + 9 . 9 + 9 + 9 3105
1 105
= -------- = -------
105 105
73
x – 1 y +1 z
Determinar un punto P de la recta r: --------- = -------- = -----
2 1 3
que equidiste de los planos π: x + y + z = - 3
x = - 3 + λ
σ : y = - λ + μ
z = - 6 – μ
Primero veamos la posición relativa de los 2 planos , para lo que pasaremos las
parametricas de σ a su ecuación general implicita
A (- 3 , 0 , - 6)
σ = uσ = (1 , -1 , 0) AQ = (x + 3 , y , z + 6)
vσ = (0 , 1 , -1) AQ , uσ y vσ son combinación lineal l.d
x+3 y z+6
1 -1 0 = 0 x + 3 + y + z + 6 = 0 σ: x + y + z + 9 = 0
0 1 -1 π: x + y + z + 3 = 0
Los planos π y σ son paralelos pues los coeficientes de x , y , z son iguales
Para escribir cualquier punto dela recta r lo escribimos en parametricas
x = 1 + λ
y = -1 + λ P (1+2λ , -1+ λ , 3λ) Є r
z = 3λ
Para que P equidiste igualamos d (P , π ) = d (P , σ)
1 + 2 λ – 1 + λ + 3 λ + 3 1 + 2 λ -1 + λ + 3 λ + 9 6 λ + 3 6 λ + 9
------------------------------ = ----------------------------- ------------ = -----------
√ 12+1
2 +1
2 √ 1
2+1
2 +1
2 √3 √3
6 λ + 3 = 6 λ + 9 3 = 9 es una incongruencia no existe λ
6 λ + 3 = -6 λ - 9 12 λ = - 12 λ = - 1
El punto P será P(1 + 2(-1) , -1 +(-1) , 3(-1)) = (-1 , -2 , -3)
74
Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1,1,1) y B(0,2,0).
El centro del paralelogramo es O (0,0,1). Se pide:
a) Las coordenadas de los otros dos vértices.
b) El área e paralelogramo.
D C AB = AB - OA = (0, 2, 0) – (1, 1, 1) = (-1, 1 ,-1)
0 C(x,y,z) AC = (x – 1 , y – 1 , z - 1)
AO = (0,0,1) – (1,1,1) = (-1,-1,0)
A B
AC = 2AO x – 1 = - 2 ; x = - 1 C(-1,-1,1)
y – 1 = - 2 ; y = - 1
z – 1 = 0 ; z = 1
CD = (x’ +1, y
’ +1, z
’ -1)
x’ + 1 y
’ + 1 z
’ – 1 x
’ = 0
AB = - CD ------- = -------- = ------- = - 1 ; y’
= - 2 D( O, -2, 2 )
-1 1 -1 z’
= 2
i j k ________ ___
Area = AB x AD = -1 1 -1 = - 2i + 2j + 4k = √ 4 + 4+ 16 = √ 24 u2
-1 -3 1
75
Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos P(1, 2, 1) y
Q(1, 2, 3) y al punto S, intersección de la recta ‘r’ y el plano , cuyas
ecuaciones son:
r :
: x + y + z = 0 P S
r
Q
Calculamos el punto S = r R (x,y,z)
Sustituyo las paramétricas en
1 + 2t + 2 + 2t + 1 – 2t = 0; 4 + 2t = 0; 2t = - 4; t = - 2
S ( 1 + 2 (-2), 2 + 2 (-2), 1 – 2 (-2)) = (- 3, - 2, 5)
Los vectores PQ, PR, y PS al plano pedido y deben ser l.d.
PR = (x – 1, y – 2, z – 1); PQ = (0, 0, 2); PS = (-4, -4, 4) = (-1, -1, 1)
.
= 0; 2· (x – 1) – 2· (y – 2) = 0; 2x – 2y + 2 = 0
x – y + 1 = 0
76
(PAU).
Para estudiar la posición relativa de r y s necesitamos
r y s se cruzan en el espacio.
º
77
(PAU).
AB = (1, -1, 0) , = (1, 1, 1) ,
= (1, 2, 3)
r y s se cruzan en el espacio.
Estudiar la posición relativa de dos rectas r y s y calcular el ángulo que
Sacamos los vectores ur = (2,3,4) y us = (1,2,3) y los puntos A = (1,0,0) y
B = (2,3,4) AB = (1,3,4)
Existe m. p. orden 3 r y s se cruzan en el espacio.
78
Explicar cómo puede hallarse el área de un triangulo a partir de las
coordenadas de sus tres vértices. Aplicarlo al A(1,0,1), B(-1,0,0), C(0,2,3).
Sabiendo que el área de un triangulo es la mitad del área del paralelogramo y que esta
es igual al modulo del producto vectorial de los vectores que forman los lados del
paralelogramo.
SABC = ½ SABDC = ½
Calculando los vectores AB = (-2, 0, -1) y AC = (-1, 2, 2)
Explicar cómo se halla el ángulo diedro formado por dos planos dados
por sus ecuaciones cartesianas. ¿Por que?.
Geométricamente, un Angulo diedro se halla trazando un plano perpendicular a la recta
de intersección de los planos del diedro.
Si tomamos los vectores normales a los dos planos w (a,b,c) es perpendicular al
y el w' (a',b',c') será el perpendicular al '.
Por tanto, si es el Angulo que forman los planos y ß es el Angulo que forman los
vectores asociados, podemos ver que = ß, por ser los lados de los dos ángulos
perpendiculares entre si.
79
Explicar de manera razonada como puede obtenerse el Angulo que
forma el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 y la recta dada por
El Angulo de una recta y un plano, se define como el Angulo agudo formado por la
recta r y la recta intersección entre el plano y el plano perpendicular al que contenga a
r.
ur
En el dibujo, el ángulo pedido será ,
pero será mas fácil de calcular su comple- --------------------------
mentario ß, como el ángulo que forma el nπ
vector dirección de la recta u (u;v;w) y
el vector asociado al plano w (a;b;c)
Expresar la condición que han de cumplir los coeficientes de las
ecuaciones de dos planos, para que estos sean perpendiculares. ¿Por
que?.
Si v = (a,b,c) y v' = (a',b',c') son los vectores asociados o perpendiculares a los dos
planos y ' respectivamente.
Al ser el Angulo que forman los dos planos igual al Angulo que forman los vectores
asociados, para que los dos planos sean perpendiculares será necesario que el Angulo
formado sea de 90.
Los vectores v y v' serán perpendiculares cuando su producto escalar sea cero.
v.v' = 0 ==> a.a' + b.b' + c.c' = 0
80
Halla el punto simétrico de A(-1,3,3) respecto del plano de ecuación
general : x + y – 2z = 5. (PAU).
x A
nπ nπ = (1, 1, -2) ur = k·nπ (1, 1, -2)
xM
xA´
r M = r ∩ π - 1 + λ + 3 + λ – 2·(3 - 2λ) – 5 = 0
6λ – 9 = 0
Como M es el punto medio entre A y A´ , busquemos el extremo A´.
3 + y = 9 ; y = 6
3 + z = 0 ; z = - 3 A´ (2, 6, -3)
Halla el volumen del tetraedro cuyos vértices son el punto (1,1,1) y los
puntos en los que el plano 2x + y + z = 2 corta a los ejes coordenados.
(PAU).
Calculemos los puntos A, B y C de corte del plano con cada uno de los tres ejes
81
(PAU).
Primero se calcula si r corta a π ó es para-
A nπ
r lelo a él, para lo cual nπ · ur vale ó no 0
M s (1, -3, 2) · (2, 1, 2) = 2 – 3 + 4 = 3 ≠ 0
P
π r incide en π
Por un lado hay que calcular el punto P ≡ r ∩ π
1 + 2t – 3 – 3t + 4 + 4t + 12 = 0 3t + 14 = 0 t =
P (
Por otro lado hay que calcular el punto M como intersección de la recta AM y el plano
La recta AM pasa por A(1, 1, 2) ε r y su uAM = k · nπ = (1, -3, 2)
(1 + λ) – 3 · (1 - 3λ) + 2 · (2 + 2λ) + 12 = 0
Con lo que el punto M (0, 4, 0) al sustituirlo en las paramétricas de AM.
Para acabar, la recta proyección s es la que pasa por P o por M y cuyo us = PM
us =
82
r
ur (
,
, 1) ( 7, 19, 10 ) nπ= (1, 4, 1)
Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(2, -4, 7) y
B(0, 3,-1) ¿Qué figura forman?
d(A, P) = d(B, P)
)1,3,(
)7,4,2(
zyxBP
zyxAP
222222 )1()3()7()4()2( zyxzyx
491416844 222 zzyyxx = 1296 222 zzyyx
La figura que forman todos los puntos es un plano
A B P
(
j
a
j
s
s
(
(
x
,
y
,
z
)
83
n∏
m
Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los pla-nos
de ecuaciones 3x, -4y, +5 = 0 y 2x -2y + z + 9 = 0. ¿Que puntos del eje OY
equidistan de ambos planos?
Los puntos pedidos serán de la forma P(x, y, z)
d(P, Л) = d(P, Л´) Al sustituir el punto en cada plano.
Hay 2 lugares geométricos que son dos planos
Hallar el punto simétrico de A(1, -2, 3) respecto al plano 2x - 3y + z = 7
A(1, -2, 3)
ur = k· = (2, -3, 1) A(1,-2,3)
A’(x,y,z)
M (3/7, -8/7, 19/7)
M es el punto medio entre A y A’
M
84
Hallar el punto simétrico de un punto B (5 0 9) respecto a la recta
x - 2 = y + 1/6 = z + 4/3
Para hallar B' calculamos primero el punto M como intersección de la recta r con
un plano de apoyo п que es a la recta r y contiene a B.
Calculamos el plano п: Por ser п r nπ ur ; nπ = k .ur = (1, 6, 3).
π ≡ x + 6y + 3z – 32 = 0
.
M es punto medio entre B y B'.
Hallar la distancia del punto P(1,2,3) a la recta r de ecuaciones
distancia de P.
85
Hallar la distancia desde el punto P(0,0,7) al plano que pasa por los
puntos O(0,0,0) , A(0,2,4) y B(4,0,2). (PAU).
Calculemos el plano que pasa por A, B y C
OP = (x, y, z) OP x y z
π ≡ uπ = OA = (0, 2, 4) rg uπ = 2 0 2 4 = 0
vπ = OB = (4, 0, 2) vπ 4 0 2
4x + 16y – 8z = 0 x + 4y – 2z = 0
│a·x1 + b·y1 + c·z1│ │1·0 + 4·0 – 2·7│ 14 14 · √ 21
d( P, π ) = -------------------------- = ----------------------- = ------ = ----------- =
√ a2 + b
2 + c
2 √ 1
2 + 4
2 + 2
2 √ 21 21
2 · √ 21
= ----------- u
3
Hallar la distancia entre las rectas r y s siendo:
Las rectas r y s no son paralelas ni coincidentes ur k · us
Además el vector AB siendo A(0,1,-4) y B(0,0,0) es AB = (0,-1,4) que tampoco es
proporcional, luego r y s se cruzan en el espacio.
La d(A,B) es la altura del paralelepípedo formado por los 3 vectores.
Como Vparalelepípedo = Abase · altura
| AB · (ur x us) | = |ur x us | · d(A,B) d(A,B) = ·(Ur x Us)
Ur x Us
AB
2 2 2
0 1 4
2 3 1
1 1 4 1 8 12 8 5 5 251( , )
13 9 25113 9 1
2 3 1
1 1 4
d A Bi j k i k
u
86
Hallar la distancia existente entre los planos : x + y + z = 1 y
´: x + y + z = 0 . (PAU).
Si estudiamos la posicion relativa entre los dos planos
1 1 1 1
--- = --- = --- ≠ --- los planos son paralelos.
1 1 1 0 A
d( π, π´ ) = d (A, π´)
Busquemos un punto A poniendo el plano en parametricas π´
x = 1 – λ - µ
y = λ A (1, 0, 0) ε π
z = µ
│1 + 0 + 0│
d( A, π´) = ----------------- = 1 / √3 = √ 3 / 3
√12 + 1
2 + 1
2
Hallar la distancia del punto P(1,2,3) a la recta r de ecuaciones r:
x = t
y = 6 – t , determinando el punto de la recta que está a menos
z = 2 + t distancia de P. (PAU).
│AP x ur │
d( P, r) = -------------- A(0, 6, 2) ; ur = (1, -1, 1) ; AP = (1, -4, 1)
│ ur │
i j k AP x ur = 1 -4 1 = - 3i + 3k
1 -1 1
│- 3i + 3k │ √ 9 + 9
d(P, r) = -------------------- = ---------- = √ 6 u
√ 12 + (-1)
2 + 1
2 √ 3
87
Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1,-1,1) y es
paralela a los planos π : 2x + y – z = 0 ; π’ : 3x + y – 2z + 5 = 0
Si r | | π ur perpendicular nπ
ur = nπ x n ‘π nπ = (2,1,-1) y n
‘π (3,1,-2)
ur perpendicular n‘π
i j k ur = nπ x n
‘π = 2 1 -1 = - i + j – k = (- 1, 1, - 1)
3 1 -2
x = 1 – λ x – 1 y + 1 z + 1
r y = -1 + λ Para todo λ R ó ------ = ------- = -------
z = 1 – λ -1 1 -1
88
Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(2,0,1) y corta
perpendicularmente a
x – y + z = 1
r: xP nπ
x + y – z = 4 M ur
Si π ┴ r nπ ur ;
Busquemos un plano de apoyo π que sea ┴ a r y que pase por P.
nπ= k ur.
Busquemos el ur poniendo r en paramétricas:
x – y = 1 - z 2x = 5 ; x =5/2 x = 5/2
x + y = 4 + z y = 4 + z - 5/2 = z + 3/2 y = 3/2 + µ R ur (0, 1, 1)
z = µ
nπ (0, 1, 1) π ≡ y + z + D = 0 y si pasa por P
0 · 2 + 1· 0 + 1· (-1) + D = 0 D = 1; π
El punto M = r π 3/2 + µ + µ + 1 = 0 2µ =- 1 - 3/2 = -5/2 ; µ = -5/4
M(5/2, 3/2-5/4, -5/4) = (5/2, 1/4, -5/4).
Para calcular la recta r´ busco un ur´ = PM
ur´= ( 5/2 - 2, 1/4, -5/4 + 1) = (1/2, 1/4, -1/4) (2, 1, -1)
x = 2 + 2µ
ó y = µ
z = -1 - µ
89
Hallar la ecuación de la perpendicular común a las rectas
x - 1 y z x = 2 + λ
r: —— = —— = —— ; s: y = 3 + 2λ
2 3 4 z = 4 + 3λ
i j k ur = (2, 3, 4) A (1, 0, 0) ur × us = 2 3 4
us = (1, 2, 3) B (2, 3, 4) 1 2 3
AP = (x - 1, y, z)
π1 ≡ uπ = ur = (2, 3, 4)
vπ = ur × us = (1, -2, 1)
t ≡
BP = (x - 2, y - 3, z - 4)
π2 ≡ uπ = us = (1, 2, 3)
vπ = ur × us = (1, -2, 1)
x - 1 y z 11·(x - 1) + 2y - 7z = 0
π1 ≡ 2 3 4 = 0
1 -2 1 11x + 2y - 7z = 0
x - 1 y - 3 z - 4 8·(x - 2) + 2·(y - 3) – 4·(z - 4) = 0
π2 ≡ 1 2 3 = 0
1 -2 1 4x + y - 2z -3 = 0
11x + 2y - 7z – 11 = 0
t ≡
4x + y – 2z - 3 = 0
90
Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a:
5x – y + z – 1 = 0 y contiene a la recta r: 4
2
32
zyx
n r
)4,3,2(
)2,0,0(
ur
A
'
'
uu
rA
r
' vn ya que '
)1,1,5( n ; )1,1,5(' kn
)2,,( zyxAP
'' ,, vuAP son l.d. 0
'
'
v
u
AP
0
115
432
2
zyx
7x + 18y – 17(z + 2) = 0
7x + 18y – 17z – 34 = 0
Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1,-1,1) y es
paralela a los planos π: 2x + y – z = 0 ; π´: 3x + y – 2z + 5 = 0
Si r | | π ur nπ
r ur = nπ x nπ´
π´ أل P Si r | | π´ ur nπ
π nπ = (2 , 1 -1) nπ´ =(3 , 1 -2)
i j k
ur = nπ x nπ´ = 2 1 -1 = - i + j – k = (-1 , 1 -1)
3 1 -2
x = 1 – λ x – 1 y + 1 z – 1
r = y = -1 + λ ó ------- = ------- = -------
z = 1 – λ -1 1 - 1
Vn’
ur
A
r
n
91
Hallar la ecuación general del plano determinado por los puntos:
A (1,1,1) ; B (-2, 0,1) y C (1, -2, 0) . Calcular el volumen del tetraedro que
limita con los ejes coordenados.
A (1,1,1) AP = ( x - 1, y - 1, z - 1)
π ≡ ur = AB = ( -3, -1, -2) AP, ur y vπ son L.D.
vπ = AC = ( 0, -3, -1)
x - 1 y - 1 z - 1
-3 -1 -2 = 0 -5· (x - 1) – 3· (y - 1) + 9· (z - 1) = 0
0 -3 -1
-5x - 3y + 9z - 1 = 0
≡ 5x + 3y - 9z + 1 = 0
π
C´ A´ x = λ 5λ + 1=0 ; λ = - 1/5
eje ox y = 0
z = 0 A´ (-1/5, 0, 0)
π
B´ B´ x = 0 3λ + 1=0 ; λ = - 1/3
eje oy y = λ
A´ z = 0 B´ (0, -1/3, 0)
π
C´ x = 0 -9λ + 1 = 0 ; λ = 1/9
eje oz y = 0
z = λ C´ ( 0, 0, 1/9)
1 1 -1/5 0 0 1 - 1 1
V= -----│OA´ (OB x OC) │= ---- 0 -1/3 0 = --- · ----- = ------ u3
6 6 0 0 1/9 6 135 810
92
x = 3t
Hallar la proyección del punto P (2,-1,3) sobre la recta r: y = 5t – 7
z = 2t +2
y calcular la distancia del punto P a la recta r.
P Construyamos un plano π que contenga al
punto P y sea perpendicular a r.
Luego intersectamos el plano π con la
nπ Recta r y obtenemos el punto M proyección
ur de P sobre r.
M
Si π ┴ r nπ ( vector asociado y perpendicular a π )
es paralelo a ur ( vector dirección de r )
x = 3t
r ≡ y = 5t -7 ur = ( 3, 5, 2) y nπ = k ur = (3k, 5k, 2k) para k = 1
z = 2t +2
nπ = (3, 5, 2)
π ≡ 3x + 5y + 2z + D = 0 y obligamos a que contengan a P 3·2 + 5(-1) +2·3+ D = 0 ;
7 + D = 0 D = -7
π ≡ 3x + 5y + 2z -7 = 0 ; M = r π. Sustituyo las parametricas de r en π
3 ·(3t) + 5·(5t-7) + 2·(2t+2) -7 = 0 9t +25t -35 + 4t +4 -7 = 0 38t -38 = 0 t = 1
El punto M ( 3·1, 5·1 – 7, 2·1 + 2) M (3, -2, 4)
Para calcular la distancia de un punto a un recta. Como M es el pie de la perpendicular
basta con calcular la distancia entre P y M.
P
r
M
D (P,r) = d (P,M) = │ PM│ PM = (3 - 2, -2 + 1, 4 - 3) = (1, -1, 1)
_____________ _
d (P,r) = √ 12 + (-1
2 ) + 1
2 = √3 u
93
3x-1
Hallar a) La proyección ortogonal r de la recta r: ——— = y = z
2
sobre el plano π : x + y + z = 2. b) El ángulo que forman r y r´. c) El
ángulo que forman r y π. Comparar los resultados obtenidos en b) y c)
A M ≡ r ∩∏
nπ
M’ es s∩∏
M M´ r´ x - 1/3 x =1/3 + 2/3 λ
r ≡ -------- = y = z ≡ y = λ
2/3 z = λ
s
ur=(2/3,1,1)= (2,1,1)
M = r ∩ ∏ ; 1/3 + 2/3 λ +λ + λ - 2=0 ; 8/3 λ - 5/3 = 0 ; 8λ – 5 = 0 λ = 5/8
M (1/3 + 2/3 · 5/8, 5/8 , 5/8)= (3/4, 5/8, 5/8)
A є r є s = (1/3, 0, 0) x = ½ + λ
s: y = λ
us = k nπ = (1, 1, 1) z = λ
M’ ≡ s ∩ ∏ ; 1/3 + λ + λ +λ - 2=0 3λ - 5/3 = 0 3λ = 5/3 ; λ = 5/9
M’ (1/3 + 5/9, 5/9, 5/9) = (8/9, 5/9, 5/9)
r’ ≡ recta proyección MM’ MM’ = (8/9 – ¾ , 5/9 - 5/8 , 5/9 - 5/8) =
32 - 27 40 - 45, 40 – 45 5 -5 -5
--------- , -----.--- , -------- = --- , ---- , ---- = (10, -5 , -5)=(2, -1, -1)
36 72 72 36 72 72
x - ¾ y - 5/8 z - 5/8
y pasa por M r’≡ recta proyección ------- = -------- = --------
2 -1 -1
ur · u r’ 2·2+3·(-1)+3·(-1) [ -2 ]
α (ur, u r’) = arc cos ----------- = arc cos ---------------------- = arc cos ---------- = 79’97º
[ur] · [ur’] √4+9+9 · √4+1+1 √22 · √6
ur · n∏ 2·1+1·1+1·1 4
β(r , ∏) = arc cos ------------ = arc cos ---------------------- = arc cos -------- = 79’97º
[ur] · [n∏] √4+1+1 · √1+1+1 √6 · √3
Los dos ángulos son iguales
94
Hallar las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del
plano x = y que distan 1 del plano 2x – y + 2z = 2.
Si 2x – y + 2z = 2 trazamos los planos paralelos que disten 1 unidad.
Los puntos de esos planos que corten en el plano x = y unos darán las ecuaciones
de dos rectas r y s cuyos puntos equidisten de 1 unidad.
Calcularemos 1º los planos paralelos a
2x – y + 2z - 2
d ( P, ) = = 1; 2x – y + 2z - 2 = 3
4+ 1 + 4
1 2x – y + 2z - 2 = 3 2x – y + 2z - 5 =0
2 2x – y + 2z -2 = -3 2x – y + 2z +1 =0
2x – y + 2z -5 =0 ; 2z = 5- 2x + y x =
r 1 y =
x = y ; 2z = 5 – x z = 5 - / 2
2x – y + 2z +1 = 0 ; 2z = -1 - 2x + y x =
s 2 y =
x = y ; 2z = -1 – x z = -1 - / 2
las rectas r y s deberían ser paralelas y lo son.
95
Hallar los puntos cuya distancia al origen es el triple que su distancia a la
recta
x – y = 0
r:
z = 2
x – y = 0 x = λ
Como r x = y y = λ A (0, 0, 2) Є r
z = 2 z = 2 z = 2 ur (1, 1, 0) Є r
Igualando las distancias y elevando al cuadrado queda:
96
x + 2 y – 1 z – 3
Halla todos los puntos de la recta r: ------ = ------ = ------ que
-2 2 -1
equidisten del punto P(2,3,-1) y del plano : - 2x + y + 2z + 7 = 0.
(PAU).
Ponemos la recta r en parametricas para poder escribir todos los puntos Q de r en
funcion de un solo parámetro λ.
x = - 2 - 2λ
r ≡ y = 1 + 2λ Q (- 2 - 2λ , 1 + 2λ , 3 – λ) PQ = (-4 - 2λ, -2 + 2λ, 4 – λ)
z = 3 - λ
Como d(P, Q) = d(Q, π)
│-2 · (- 2 - 2λ) + 1 + 2λ + 2 · (3 – λ) + 7 │
√ (-4 - 2λ)2 + (-2 + 2λ)
2 + (4 – λ)
2 = ----------------------------------------------------
√ 4 + 1 + 4
3 · √ 16 + 16λ + λ2 +4 - 8λ + 4λ
2 + 16 - 8λ + λ
2 = │4 + 4λ + 1 + 2λ + 6 - 2λ + 7│
3 · √ 6λ2 + 36 = │4λ + 18│ 9 · (6λ
2 + 36) = 16λ
2 + 144λ + 324
λ = 0 Q1 = (-2, 1, 3)
38 · λ2 – 144 λ = 0 λ· (38 λ – 144 ) = 0
λ = 144 / 38
Q2 = ( - 182/19, 163/19, - 25/19 )
97
x = 1 – 2t
Hallar un punto de la recta r : y = t que equidista del eje OX
z = 1 + t
y del eje OY
P Є r = (1 – 2t, t, 1 + t) que equidista de las rectas OX y OY
0 (0, 0, 0) 0 (0, 0, 0)
Eje OX: eje OY
uX (1, 0, 0) u Y (0, 1, 0)
d ( P, OX) = d (P, OY)
i j k i j k 1-2t t 1+t 1-2t t 1+t
| OP x U X | |OP x U Y | 1 0 0 0 1 0
--------------- = ------------------ ; ------------------------ = ------------------------ |U X | | U Y | 1 1
| (1+t) j – t k | |- (1+t) i + (1-2t) k |
------------------- = -------------------------
1 1
1 + 2t + ; - 3t + 1 = 0
1
t =
=
=
1/3
P 1 ( 1- 2, 1, 1+ 1) ; P 1 (-1, 1, 2)
Hay dos puntos P :
P 2 (1- 2/3, 1/3, 1+ 1/3) ; P 2 (1/3, 1/3, 4/3)
98
Los puntos P(1, –1,1) y Q (3, –3,3) son dos vértices opuestos de un
cuadrado que esta contenido en un plano perpendicular al plano de
ecuación x – y = 0 . a) Determinar los vértices restantes. b) Calcular la
ecuación de la recta que pasa por los vértices calculados c) Calcular el
perímetro del cuadrado construido.
П ≡ x – y = 0 П ┴ П ´ desde П es el plano que contiene al cuadrado.
La recta RS es // al П y RS ┴ PQ.
urs ∙ PQ = 0 y urs // nп; Si urs (V1, V2, V3) y nп (1, 1, 0)
V1 V2 V3 V1 = V2
—— = —— = ——
1 1 0 V3 = 0 urs = (V, V, 0) = (1, 1, 0)
1+3 –1–2 1+3
La recta RS pasa por M, punto medio de PQ M ——, —-— , ——
2 2 2
x = 2 + λ
M (2, –2, 2) RS: y = 2 – λ R(2+ λ, –2+ λ, 2)
z = 2
1
d(R,M) = ——
2
99
Los puntos P(4 , -2 , 3) y Q(0, 10, -5) son dos vértices opuestos de un
cuadrado contenido en el plano x + y + z = 5. Determinar las coordena-
das de los otros dos vértices.
x = 2+λ
S Q nπ (1, 1, 1) RS = y = 4+λ
M urs = knπ = (1, 1, 1) z = -1+λ
4 + 0 - 2 + 10 3 – 5
P R M ( --------, ----------, ------ ) = (2, 4, -1)
2 2 2
R ( 2+λ , 4+λ, -1+λ)
d(M,R) = 1/2 d(PQ) PQ = (-4, 12, -8) MR = (λ, λ, λ)
1224
√ λ2+λ
2 +λ
2 = ½ √(-4)
2 +12
2 + (-8)
2 ; 3λ
2 = -------- ; 3λ
2 = 56
4
___ ____ ____
56 √ 6 56 56 56
λ2
= ----- ; λ = ± ---- R = 2 + ------ , 4 + ------ , - 1 + ------
3 3 3 3 3
___ ____ ____
56 56 56
S = 2 - ------ , 4 - ------ , - 1 - ------
3 3 3
x – 3y = 0
Sea el plano x – y + z + 2 = 0 y la recta r:
z = 4
Hallar el plano que pasa por A (3, 1, 0), es paralelo a la recta r y es
perpendicular al plano
AP x = 3
´≡ uπ´= ur = 0 r ≡ y = ur = ( 3, 1, 0)
vπ´= nπ z = 4
x – y + z + 2 = 0 nπ = (2, -1, 1)
x - 3 y - 1 z
3 1 0 = 0 x – 3 - 3( y-1) - 5z = 0 x - 3y - 5z = 0
2 -1 1
100
Sean el plano : 2x + y - z = 0 y la recta r : x = y = z .
Hallar la recta que pasa por el origen, esta contenida en el plano y es
perpendicular a la recta r.
De : 2x + y - z = 0 saco el v = (2, 1, -1) ┴
x y z
De r : --- = --- = --- saco el u = (1, 1, 1) r
1 1 1
Ahora bien, un vector dirección de la recta pedida, llamémosle w, será siempre
perpendicular al v, por estar contenida en el plano , y además será siempre perpendicular
al u, por ser perpendicular a la recta s.
w ┴ v y w ┴ u con lo que w = v x u
i j k w = 2 1 -1 = 2i - 3j + k = (2, -3, 1)
1 1 1
x y z
La recta s pedida será: -- = --- = --
2 -3 1
Sean las rectas r: 2x = y = z y s: 2x - 4 = y - 1 = x + 3
Hallar el Angulo que forman y hallar, si existe, el plano que las contiene.
Los coeficientes de x de las dos rectas deben valer 1
x y z
r: 2x = y = z ==> --- = --- = --- u = (½,1,1) = (1,2,2) r
½ 1 1
x - 2 y - 1 z + 3
s: 2x - 4 = y - 1 = z + 3 ==> ------ = ------- = ------- v = (½,1,1) = (1,2,2) s
½ 1 1
Al ser los dos vectores dirección iguales me indican que las dos rectas son paralelas por
lo que el Angulo formado es de 0
Para calcular el plano, elijo como punto base el (0,0,0)r
y como vectores dirección el u y el formado por los puntos
A(0,0,0) y B(2,1,-3) este ultimo s
AB = (2,1,-3) u = (1,2,2) A(0,0,0) los tres vectores son l.d por lo que
x y z
1 2 2 = 0 - 8x + 7y - 3z = 0 8x – 7y + 3z = 0
2 1 -3
101
x + 1 y z - 5
Sean las rectas del espacio r: ------ = -- = ------
2 3 2
s: x - 1 = y = z . Determinar las coordenadas de un vector u per-
pendicular a las rectas r y s.
x + 1 y z - 5
r ------ = -- = ------ ==> u = (2,3,2)
2 3 2
x - 1 y z
s ------ = --- = --- ==> v = (1,1,1)
1 1 1
Un vector w perpendicular a u y a v a la vez será el que nos de el producto vectorial de u
por v
i j k w = u x v = 2 3 2 = i - k w = (1,0,-1)
1 1 1
102
Sean las rectas r y s y el punto P
x + 4y = 2 x + y + x = 0
r : s : P (1, 0, 0)
2y + z = 1 y - z = 0
1º) Obtener el plano que pasa por P y contiene a la recta r, y el plano
que pasa por P y contiene a la recta s.
2º) Obtener las ecuaciones de la recta t que pasa por P y corta a las
rectas r y s.
x + 4y = 2 ===> u = (1,4,0) i j k
De r w = u x v = 1 4 0
2y + z = 1 ===> v = (0,2,1) 0 2 1
w = 4i - j + 2k será ┴ a la recta r y al plano con lo que dicho plano será
4x - y + 2z + d = 0 y pasa por P(1,0,0) ==> 4 + d = 0
d = - 4 ===> 4x - y + 2z - 4 = 0
x + y + z = 0 ===> u' = (1,1,1) i j k
De s w' = 1 1 1
y - z = 0 ===> v' = (0,1,-1) 0 1 -1
w' = - 2i + j + k será ┴ a la recta s y al plano ' con lo que dicho plano será
- 2x + y + z + d´ = 0 y pasa por P(1,0,0) ==> -2 + d´ = 0
d´ = 2 ===> ' - 2x + y + z + 2 = 0
Para calcular un vector dirección de la recta t basta con calcular el vector perpendicular al
w y al w' asociados a los planos.
i j k ut = w x w' = 4 -1 2 = - 3i - 8j + 2k ==> ur = (-3,-8,2)
-2 1 2
x - 1
y z
La recta pedida será ------- = --- = ---
-3 -8 2
103
Sean las rectas r: 13
1
2
1
zyx s:
3
1
2
2
4
zyx
a) Comprobar que se cruzan.
b) Hallar la mínima distancia entre ellas.
c) Hallar la ecuación de la perpendicular común.
a)
r
)1,3,2(
)0,1,1(
ur
A us
)3,2,4(
)1,2,0(
us
B )1,1,1( AB
rg
us
ur
AB
:
us
ur
AB
=
324
132
111
= - 9 + 4 – 4 – 12 + 6 + 2 = - 13 0
rg
us
ur
AB
= 3 r y s se cruzan.
b)
d ( r, s)= usur
usurAB
)(=
324
132
324
132
111
kji=
kji 16107
13
=
25610049
13
= =
405
13=
59
13 = 0’646
c)
t
)16,10,7(
)3,2,4(
)1,2,0(
)16,10,7(
)1,3,2(
),1,1(
2
12
1
11
sr
s
sr
r
uuv
uu
zyxBP
uuv
uu
zyxAP
104
01962678562
0834172558
01962685620)1(26)(85620
16107
324
1
083412558041)1(25)1(580
16107
132
11
2
1
yx
yxt
zyxzzyx
zyx
zyxzyx
zyx
105
Sean los puntos A(5,-1,2), B(0,2,-1) y C(2,3,0). Hallar la distancia de
A a la recta BC.
BA =(5,-3,3)
Ur = BC = (2,1,1)
i j k
5 -3 3
|BA x Ur| 2 1 1 |-6i +j +11k| √36+1+121 √158
d (A, r) = -------------- = -------------------- = ----------------- = ----------------- = ------- =
|Ur| √22+1
2+1
2 √6 √6 √3
√79
= ------- = 5’13 u
√3
1 1 1 i j k 1
S = ----- S = ------ | BA x BC | = ----- 5 -3 3 = ---- | -6i +j +11k | =
2 2 2 2 1 1 2
1 1
= ---- √36+1+121 = ---- √158 u2
2 2
106
Sean P y Q los puntos de coordenadas (3,0,0) y (5,-6,-4). 1º) Hallar
la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P y Q. 2º) Hallar los
puntos de dicha recta r que equidistan de los planos 2x + 2y + z - 3
= 0 y ' 3x + 4z + 1 = 0
1º) El vector dirección de la recta pedida será
u = PQ = (2,-6,-4) y eligiendo como punto base el P(3,0,0)
x - 3 y z
r ----- = --- = ---
2 - 6 - 4
2º) Busquemos el punto A(x,y,z) que equidiste de los dos planos
d(A,) = d(A,') 2x + 2y + z - 3 = 3x + 4z + 1
además como el punto A r
x - 3 y
----- = --- ==> - 6x + 18 = 2y
2 - 6
x - 3 z
----- = --- ==> - 4x + 12 = 2z
2 - 4
- x + 2y - 3z = 4 x - 2y + 3z = - 4
Resolvamos el sistema: - 6x - 2y = - 18 3x + y = 9
- 4x - 2z = - 12 2x + z = 6
y = 9 – 3x y = 21
x – 18 + 6x + 18 – 6x = - 4 x = - 4
z = 6 – 2x z = 14
El punto A (-4,21,14) equidista de los dos planos.
107
x - 2 = 0
Se consideran la recta r y el punto A(0,1,3), se pide:
y + 3 = 0
a) Hallar la distancia de A a r. b) Determinar el plano que pasa por
el punto A y que contiene a la recta r.
De la recta r , buscamos su vector dirección ur como el producto vectorial de los
vectores asociados a los planos que forman la recta.
x - 2 = 0 ==> v = (1,0,0) i j k
u = v x w = 1 0 0 = k
y + 3 = 0 ==> w = (0,1,0) 0 1 0
u = (0,0,1)
Si damos a la z el valor 0, podemos sacar el valor de x e y de las ecuaciones de los
planos.
x - 2 = 0 ==> x = 2
y + 3 = 0 ==> y = - 3 B(2,-3,0) r AB = (2,-4,-3)
i j k 2 -4 -3
│AB x u│ 0 0 1 │- 4i - 2j │
d(A,r) = ------------- = ------------------ = -------------- =
│u│ 1 1
= ( 16 + 4 )1/2
= 20 = 2.5
El plano estará formado por los vectores dirección u y AB y por el vector genérico
AP , teniendo que ser los tres vectores linealmente dependientes.
x - 2 y + 3 z
0 0 1 = 0 ===> 4(x - 2) + 2(y + 3) = 0
2 -4 -3
4x - 8 + 2y + 6 = 0 ==> 4x + 2y - 2 = 0
108
x - 2 = 0 x - 2z = 1
Se consideran las rectas r s
y + 3 = 0 y + z = 3
Se pide: a) Estudiar la posición relativa de r y s
b) Hallar la mínima distancia entre ambas.
a) Calculemos el rango de la matriz formada por las 4 ecuaciones de los planos que
forman las dos rectas.
1 0 0 2 f3-f1 1 0 0 2 f4-f2 1 0 0 2
rg 0 1 0 -3 ===== rg 0 1 0 -3 ===== rg
0 1 0 -3
1 0 -2 1
0 0 -2 -1
0 0 -2 -1
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 1 6
2f4+f2 1 0 0 2
====== rg
0 1 0 -3
0 0 -2 -1
0 0 0 11
rg C = 3 rg A = 4 Sistema incompatible, no existe solución.
Las rectas r y s, se cruzan en el espacio y no hay solución de corte.
b) Para calcular la mínima distancia entra r y s necesitaremos conocer los vectores
dirección de las rectas , u y v, así como el vector w, resultante del producto vectorial de
u por v.
i j k u = (1,0,0) x (0,1,0) = 1 0 0 = k = (0, 0, 1)
0 1 0
i j k v = (1,0,-2) x (0,1,1) = 1 0 -2 = 2i - j + k = (2, -1, 1)
0 1 1
i j k w = u x v = 0 0 1 = i + 2j = (1, 2, 0)
2 -1 1
0 0 1
2 -1 1
│u.(v x w)│ 1 2 0 4 + 1 5
d(r,s) = -------------- = ------------- = -------- = ---- = 5
│w│ 1 + 4 5 5
109
x = 0
Se considera la recta r y el punto P(3,4,1).
y = 4z
Hallar el plano que contiene a la recta r y al punto P.
Calcular la distancia de P a r.
Busquemos el vector dirección de la recta r
i j k u = (1,0,0) x (0,1,-4) = 1 0 0 = 4j + k = (0, 4, 1)
0 1 -4
Busquemos un punto A de la recta r
x = 0, y para z = 0 , se verifica que y = 0 A(0, 0, 0)
Para calcular la ecuación del plano, necesitaremos además del
vector u , el vector AP = (3, 4, 1)
x - 0 y - 0 z - 0
0 4 1 = 0 ==> 3y - 12z = 0
3 4 1
i j k 3 4 1 _______
│AP x u│ 0 4 1 │- 3j + 12k│ 9 + 144
d(P,r) = ------------ = -------------- = ---------------- = -------------
│u│ 16 + 1 17 17
____
153
= ---------- = 9 = 3
17
110
Una recta pasa por P(1, -2, 3) y Q(0, 1, -5). Otra recta pasa por
A(4, -2, 0) y B(0, 1, -2). Hallar la ecuación de la perpendicular común
a ambas así como la distancia entre ellas y el ángulo que forman.
x= 1 - λ
r : ur = PQ = (-1, 3, -8) = y = -2 +3λ
z = 3 – 8λ
x = 4 – 4λ
s: us = AB = (-4, 3, -2) = y = -2 + 3λ
z = -2λ
i j k
RP = (x-1, y + 2, z-3) ur x us = -1 3 -8 = 18i + 30j + 9k
a) π1 = uπ1 = ur -4 3 -2
vπ1 = ur x us
t ≡
RA = (x-1, y +2, z)
π2 = uπ2 = us
vπ2 = ur x us
x - 1 y + 2 z - 3 x - 1 y + 2 z - 3
π1 = -1 3 -2 = 0 -1 3 -8 = 0 89(x-1) – 45(y+2) -28(z-3) =0
18 30 9 6 10 3 89x -45y – 28z +95 =0
x - 4 y + 2 z x - 4 y + 2 z
π2 = -4 3 -2 = 0 -4 3 -2 = 0 29(x-4) – 58z = 0
18 30 9 6 10 3 29x – 58z – 116 =0
89x – 45y – 28z +95=0
t =
29x – 58z -116 =0
3 0 -3
-1 3 -8
| PA(ur x us) | -4 3 -2 | -18 + 9 – 36 + 72| 27 9
b) d(r,s) = ----------------- = ------------------- = ----------------------- = --------- = -------
ur x us |18i + 30j + 9k| √182
+ 30
2 +
9
2 √ 1035 √145
|ur ∙ us| |4 +9 +16| 29
c) α(r,s) = arc cos --------- = arc cos ------------------------- = arc cos -----------
|Ur| |Us| √1+9+64 · √16+9+4 √74· √29
α(r,s) = 51,24º
111
Una recta r pasa por A (1, 6,3) con vector director u (2,-1,1). Otra
recta s pasa por B (3, 3,8) con vector director v (1, 0,1). Hallar dos
puntos P Є r y Q Є s tales que el vector PQ sea paralelo a w (1, 1,-1).
π PQ//w x = 1 + 2λ x = 3 + λ
A u r ≡ y = 6 - λ s ≡ y = 3
w(1,1,-1) z = 3 + λ z = 8 + λ
r
v P (1 + 2λ, 6 - λ, 3 + λ) Q (3 + λ, 3, 8 + λ)
a
PQ = (3 + λ – 1 - 2λ, 3 -6 + λ, 8 +λ - 3 - λ) = (2 - λ, - 3 + λ, 5)
2 - λ -3 + λ 5 2 – λ = -3 + λ; 5 = 2λ; λ = 5/2
PQ // w: ------ = -------- = ---- → -2 + λ = 5; λ = 7 no existe λ única
1 1 -1 3 - λ = 5; λ = -2
No existen dos puntos P y Q / el PQ // w.
Una recta pasa por A (6,-2,8) y por el origen. Otra recta esta deter-
minada por B (0,-2,4) y el vector v (2, -3, 4). Comprobar que se cruzan
y hallar la distancia entre ellas.
O (0,0,0) B (0,-2,4)
r ≡ s≡ OB = ( 0, -2, 4,)
ur ≠ OA = (6, -2, 8) vs = ( 2, -3, 4)
OB OB 0 -2 4 0 -2 4 0 -2 1
rg ur ur = 6 -2 8 = 2 3 -1 4 = 8 3 -1 1 = - 40 ≠ 0
vs vs 2 -3 4 2 -3 4 2 -3 1
Existe menor principal de orden 3 r y s se cruzan
0 -2 4
3 -1 4
│OB (ur x vs) │ 2 -3 4 │- 40 │ 40 40
d(r, s) = -------------------- = --------------- = ----------------- = ------------------= ------- u
│ur x vs│ i j k │16i-8j-14k│ √256+64+196 √516
6 -2 8
2 -3 4
112
Una recta pasa por P(1,-2,3) y Q(0,1,-5). Otra recta pasa por
A(4,-2,0) y B(0,1,-2). Hallar la ecuación de la perpendicular común a
ambas, asi como la distancia entre ellas y el ángulo que forman.
x = 1 - λ
r : ur = PQ = (- 1, 3, - 8) y = -2 + 3 λ
z = 3 – 8 λ
x = 4 - 4 λ
s: us = AB = (- 4, 3, - 2) y = -2 + 3 λ
z = -2 λ
RP = (x - 1, y + 2, z - 3)
a) π1 uπ1 = ur i j k
t vπ1 = ur x us ur x us = - 1 3 - 8 = 18i + 30j + 9k
RA = (x – 1, y + 2, z) - 4 3 - 2
π2 uπ2 = ur
vπ2 = ur x us
x - 1 y + 2 z – 3 x – 1 y + 2 z - 3
π1 = -1 -3 -8 = 0 -1 3 -8 = 0 89·(x – 1) – 45·(y +2) –
18 30 9 6 10 3 - 28 ·(z + 3) = 0
89x – 45y – 287 + 95 = 0
x – 4 y + 2 z x – 4 y + 2 z
π2 - 4 3 -2 = 0 - 4 3 - 2 = 0 29·(x – 4) – 58 z = 0
18 30 9 6 10 3 29x – 58 z – 116 = 0
89x – 45y – 287 + 95 = 0
t
29x – 58 z – 116 = 0
3 0 - 3
- 1 3 - 8
| PA · ( ur x us ) | - 4 3 - 2 | -18 + 9 – 36 + 72 |
b) d ( r , s ) = ------------------------ = --------------------- = ------------------------- =
| ur x us | | 18i + 30j + 9k | √ 182 + 30
2 + 9
2
27 9
= -------- = --------
√1305 √145
| ur x us | | 4 + 9 + 16 | 29
c) r , s ) = arc cos ---------------- = arc cos ------------------------- = arc cos ------------
| ur | x | us| √1+9+64 · √16+9+4 √74 · √145
r , s ) = 51,24 º
113
Un cubo de arista 2 está situado en el primer octante, con un vértice
en el origen y apoyando en los ejes coordenados. Hallar la distancia
entre:
a) Dos aristas que se cruzan
b) Las diagonales de dos caras opuestas
c) Una arista y una diagonal de una cara con la que se cruza
H G(0,2,2)
E (2,9,2) F
D C (0,2,0)
A(2,0,0) B(2,2,0)
| AB (EA x BC)|
a) Aristas EA y DC |AD| = d (EA, DC)= -----------------------
|EA x DC|
AD= (2, 0, 0) 2 0 0
EA= (0, 0, -2) 0 0 -2
DC= (0, 2, 0) 0 2 0 | 8 | 8
|AD|= ----------------------- = ------- = ----- = 2 u
i j k |-4i| 4
0 0 -2
0 2 0
| AE x EG | AE= (0, 0, 2)
b) Diagonales AC y EG; d(AC, EG) = d(A,EG)= ---------------- ;
| EG | EG= (-2, 2, 0)
i j k
0 0 2
-2 2 0 | -4i-4j | √16+16 √ 32
d(A, EG)= ------------------- = ---------- = ----------- = -------- = 2 u
√ 4 + 4 √ 8 √ 8 √ 8
|AB (EA x BG)|
c) Arista EA y diagonal BG ; |AB| = d(EA, BG)= ----------------------
| EA x AG |
0 2 0
0 0 -2
AD = (2, 0, 0) -2 0 2 | 8 | 8
EA = (0, 0, -2) |AB|=-------------------- = ------ = ----- = 2 u
BC = (-2, 0, 2) i j k |4j| 4
0 0 -2
-2 0 2
