03 A Vectores en el espacio / Vectores unitarios

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FÍSICAPara

Ingeniería

FÍSICA I

VECTORES (ESPACIO)

7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I


2

CONTENIDO

o Representación por componentes de un vector en el espacio

o Cosenos directores



3

Vector: representación por componentes (2a)

• El vector, si está en el origen, puede representarse mediante las coordenadas de su extremo final.


x

6

5

𝑟

y

(5 ,6 ,4)

0

z4

𝑟=(5 ,6 ,4) – componente de – componente de – componente de


4

Vector: representación por coordenadas (2b)

• Si no está en el origen, el vector también puede representarse mediante la diferencia de las coordenadas de sus extremos.


x

6𝑟𝑟=(6 ,3 ,4 )

(8 ,6 ,9)

0

(2 ,3 ,5)

y(-)

z


5

Vector. Cálculo del módulo, conocidas las componentes

• Se halla el módulo aplicando dos veces el teorema de Pitágoras.


𝑥

𝑟 𝑦

𝑟 𝑥

𝑟

𝑦

|𝑟|=√𝑟 𝑥2+𝑟 𝑦

2+𝑟𝑧2

𝑧

𝑟 𝑧


6

Vector. Cálculo de la dirección conocidas las componentes

• La dirección puede hallarse con ayuda de la función tangente.


𝛼 𝑥

𝑟 𝑦

𝑟 𝑥

𝑟

𝑦

𝑧𝑟 𝑧

𝛽=𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ( 𝑟 𝑦

𝑟 ) 𝛾=𝑎𝑟𝑐 𝑜𝑠( 𝑟 𝑧

𝑟 )

𝛽

𝛾

𝛼=𝑎𝑟𝑐 𝑜𝑠( 𝑟 𝑥

𝑟 )


7

Ejercicio

• Calcular los ángulos de los cosenos directores del siguientes vector:

• Solución• El módulo del vector es

• Los ángulos son,



8

¿Cómo calcular el coseno inverso ()?



9

Vector unitario ()

• Es aquel vector que se caracteriza porque su módulo es la unidad e indica una dirección determinada.


12 3

45 6 �⃗��⃗�=6 �̂�

6𝑒𝑠 𝐴como

�̂�=�⃗�6

�̂�=�⃗�𝐴1


10

Vectores unitarios famosos …

• Son tres: , y , los cuales señalan la dirección positiva de los ejes , y respectivamente.


x�̂�0

y

z

�̂�

�̂�


11

Solución

Representación de vectores mediante vectores unitarios

• Represente el vector .• Represente el vector .

Respuestas


�⃗�=4 �̂�−3 �̂�

�⃗�=3 �̂�− �̂�+5 �̂�


12

Solución

Resultante de vectores representados con vectores unitarios

• Calcule la resultante de los siguientes vectores:

RespuestaEl vector resultante o suma se los vectores y es


�⃗�=5 �̂�+4 �̂�+3 �̂�


13

Ejercicio N° 2

• Escriba los vectores mediante vectores unitarios.


�⃗��⃗�

𝐶


14

Ejercicio 3

• Escriba los vectores mediante vectores unitarios.


y

x

𝑟1 (3 ;5 )

𝑟2 (9 ;6 )

Solución


15

Ejercicio N° 3

• Calcule el vector resultante expresado mediante vectores unitarios.


�⃗��⃗�

𝐶

Solución


16

Solución

Ejercicio N°1

• Determine los ángulos de los cosenos directores de los siguientes vectores:

y



17

Ejercicio N°4

• Calcule el módulo del vector resultante expresado en vectores unitarios.


1 3

5

−9

−5

2

0

�⃗�

�⃗�

𝐶�⃗�

y

5

x

Solución


18

Solución

Ejercicio N°5

• Halle el vector resultante expresado en vectores unitarios.


0

|�⃗�|=6

|�⃗�|=4

|�⃗�|=6|�⃗�|=4

y

x

Solución

37 °

225 °

120 °

−53 °


19

Mg. Yuri Milachay Vicente


• Físico. Máster en Física Teórica (UDN, Moscú). Magister en docencia universitaria (UAB, Santiago).• 30 años de experiencia docente; UNE, UPCH, EOFAP, UPC, UPN, URP.• Autor de libros de CTA para secundaria.

• Universidad de la Amistad de los Pueblos


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• Recuerda que si se conoce la dirección (ángulo, ) y el módulo (), las componentes son iguales a:


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