MATEMATICAS II: Geometrıa Pag. 1

1.Vectores en el espacio tridimensional.Combinacion lineal de vectores.Dependencia e independencia lineal.

1.1 Vector fijo. Si A y B son dos puntos del espacio,

determinan el vector fijo−−→AB; su origen es A y su extremo

es B (a veces se habla de vector fijo de extremos A y B,siendo el primer punto A el origen).

El vector fijo−−→AB representa una idea de movimiento del

punto A al punto B. Si A = B,−−→AB =

−→0 , vector nulo.

1.2 Modulo, direccion y sentido.

El modulo de un vector se denota por |−−→AB|, y es la longitud

del segmento AB (distancia entre los puntos A y B).

Se dice que dos vectores fijos−−→AB y

−−→CD, no nulos, tienen

la misma direccion (o que son paralelos) si las rectas AB yCD son coincidentes (la misma recta) o paralelas.

Se dice que dos vectores paralelos−−→AB y

−−→CD, situados en

rectas distintas, tienen el mismo sentido si los segmentosAC y BD no se cortan; en caso contrario se dice que tienen

sentidos opuestos. Si los vectores−−→AB y

−−→CD estan en la mis-

ma recta, se dice que tienen el mismo sentido cuando ambostienen el mismo sentido que un vector paralelo situado enuna recta distinta.

1.3 Equipolencia. Dos vectores fijos,−−→AB y

−−→CD, son

equipolentes cuando tienen el mismo modulo, la mismadireccion y el mismo sentido, o cuando ambos son nulos; se

escribe−−→AB ∼

−−→CD cuando son equipolentes.

1.4 Vector libre. Dado un vector fijo−−→AB, el conjunto de

los vectores fijos que son equipolentes a el define el vector

libre −→v =−−−→[AB], representado por cualquiera de dichos vec-

tores fijos equipolentes entre sı. Un vector libre −→v tiene elmismo modulo, la misma direccion y el mismo sentido quecualquiera de sus representantes fijos. Dado un vector li-bre −→v , para cualquier punto del espacio P0, existe un unico

punto P que hace que el vector fijo−−→P0P sea representante

de −→v ,−→v =−−−→[P0P ] .

1.5 Operaciones basicas con vectores.En cursos anteriores, hemos estudiado puntos y vectores enel plano O −XY , dibujando los ejes de abcisas (OX) y deordenadas (OY ), perpendiculares entre sı; en el espacio realtridimensional, nos referimos a los puntos usando un siste-ma de referencia O − XY Z, con tres ejes perpendicularesdos a dos que se cortan en el origen de coordenadas, el pun-to O(0, 0, 0); los puntos del espacio tienen tres coordenadas,P (xP , yP , zP ).

Los vectores cuyo origen es el origen de coordenadas,−−→OP , se llaman vectores de posicion del punto extremo P .La suma de dos vectores fijos, uno de los cuales tenga como

origen el extremo del otro, se define ası:−−→AB+

−−→BC =

−→AC; la

suma de vectores libres se realiza cogiendo representantesadecuados y el resultado no depende de los representanteselegidos.

Dados dos puntos A(xa, ya, za) y B(xb, yb, zb), sus res-pectivos vectores de posicion se expresan con estas mismas

coordenadas:−→OA(xa, ya, za) y

−−→OB(xb, yb, zb).

Como−→OA +

−−→AB =

−−→OB, se tiene

−−→AB =

−−→OB −

−→OA =

(xb, yb, zb)− (xa, ya, za) = (xb − xa, yb − ya, zb − za)

1.5.1 Suma y resta de vectores.El contexto nos indicara cuando una terna (x, y, z) repre-senta un vector y cuando representa un punto. Con puntosno se hacen sumas ni otras operaciones; con vectores, sı;por ejemplo, la suma de vectores queda:−→u+−→v = (xu, yu, zu)+(xv, yv, zv) = (xu+xv, yu+yv, zu+yv)De forma similar, la resta:−→u−−→v = (xu, yu, zu)−(xv, yv, zv) = (xu−xv, yu−yv, zu−yv)

1.5.2 Multiplicacion por escalares, vector opuesto.El producto de un escalar λ (numero) por un vector−→u = (xu, yu, zu) se realiza como sigue:λ · −→u = λ · (xu, yu, zu) = (λxu, λyu, λzu)El vector opuesto al vector −→u es −−→u = (−xu,−yu,−zu)

1.5.3 Propiedades que confieren la estructura de espaciovectorial.Los vectores libres del espacioR3 = {(x, y, z)/x, y, z ∈ R}, con la suma y el productopor escalares mencionados adquieren estructura de espaciovectorial, porque se cumplen las siguientes propiedades:- Respecto de la suma: asociativa, conmutativa, existenciade elemento neutro (vector nulo), existencia de elementoopuesto (por estas propiedades, se dice que es un grupoconmutativo o abeliano).- Respecto del producto por escalares:Distributiva respecto de la suma de vectores:I. λ(−→u +−→v ) = λ−→u + λ−→vDistributiva respecto de la suma de escalares:II. (λ+ µ)−→u = λ−→u + µ−→uAsociativa respecto al producto de escalares:III. λ (µ−→u ) = (λµ)−→uPara λ = 1, elemento unidad de R,IV. 1−→u = −→u

1.6 Combinacion lineal de vectores.Una combinacion lineal de los vectores −→u1, −→u2, · · · , −→un es−→c = λ1

−→u1 + λ2−→u2 + · · ·+ λn

−→un, con λ1, λ2,· · · , λn ∈ R

1.7 Sistema generador.El conjunto S de todas las combinaciones lineales de losvectores −→u1, −→u2, · · · , −→un tiene estructura de espacio vecto-rial, y se llama subespacio generado por dichos vectores. Seescribe S =< −→u1, −→u2, · · · , −→un >. En este caso, tambien sedice que el conjunto de vectores {−→u1, −→u2, · · · , −→un} es siste-ma generador de S.

I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matematicas - Curso 2012 - 2013

MATEMATICAS II: Geometrıa Pag. 2

1.8 Dependencia e independencia lineal. Relacion con elrango y los determinantes.

Dado un conjunto de vectores {−→u1, −→u2, · · · , −→un}, se diceque son linealmente independientes (o que es un conjuntolibre de vectores) si la unica forma de expresar el vectornulo como combinacion lineal de ellos es aquella en la quetodos los escalares valen cero:−→0 = λ1

−→u1 +λ2−→u2 + · · ·+λn

−→un =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0

Si alguno de los vectores es nulo, el conjunto considera-do no puede ser libre, basta con ponerle a dicho vector nuloun escalar distinto de cero y a todos los demas cero, paraobtener la combinacion lineal nula.

Ademas, si algun vector ui de dicho conjunto se pudieraexpresar como combinacion lineal de los demas:

ui = λ1−→u1 + λ2

−→u2 +(i)g· · ·+ λn

−→un =⇒

1 ·ui−λ1−→u1−λ2−→u2−(i)g· · · −λn−→un =

−→0 , con algun escalar no

nulo, por lo que el conjunto no serıa libre.

De esta manera, en un conjunto libre de vectores{−→u1, −→u2, · · · , −→un}, ninguno de ellos es nulo y ningun−→ui se puede expresar como combinacion lineal de losdemas.

En caso contrario, si hubiera unos escalaresλ1, λ2, · · · , λn, no todos nulos, por ejemplo λj 6= 0, ta-

les que−→0 = λ1

−→u1 + λ2−→u2 + · · · + λj

−→uj + · · · + λn−→un, se

dice que los vectores son linealmente dependientes o queel conjunto de vectores es ligado; en este caso, se podrıadespejar el vector que acompana al escalar no nulo:

−→uj = −λ1λj

−→u1 −λ2λj

−→u2 −(j)g· · · − λn

λj

−→un

Como consecuencia, en un conjunto de vectores ligado,algun vector es nulo o algun vector se puede expresar comocombinacion lineal de los demas.Para estudiar la independencia de un conjunto de vectoresusamos como lo hemos hecho antes con las filas y columnasde matrices los conceptos de rango, determinantes y meno-res.

1.9 Base.Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectoreslinealmente independiente que tambien es sistema genera-dor de dicho espacio.Dada una base, cada vector se expresa de forma unica comocombinacion lineal de los elementos de la base (por la inde-pendencia). Los escalares de dicha combinacion se llamancoordenadas del vector en dicha base.Puede haber muchas bases, pero todas tienen el mismonumero de elementos; dicho numero de elementos de lasbases se conoce como dimension del espacio vectorial.

Por ejemplo, los vectores−→i (1, 0, 0),

−→j (0, 1, 0) y

−→k (0, 0, 1)

son una base de R3, porque son linealmente independien-tes (el determinante que forman vale 1 6= 0) y son un sis-tema generador, pues cualquier vector se puede expresar:(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Se trata de labase canonica.

2. Operaciones con vectores. Productosescalar, vectorial y mixto. Propiedades. Sig-nificado geometrico.

2.1 Producto escalar de dos vectores. Aunque en nivelessuperiores se estudian los productos escalares en general(puede haber muchos), aquı vamos a usar el habitual, que

se define como sigue: −→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(α(−→u ,−→v )) , sien-

do α(−→u ,−→v ) el angulo (menor de 180o) formado por −→u y por−→v , ambos visualizados con representantes fijos con el mis-mo origen:

2.1.1 Interpretacion geometrica de su valor absoluto:modulo por proyeccion.En la figura siguiente p es la proyeccion perpendicular de−→v sobre −→u :

Se tiene: | cos(α(−→u ,−→v ))| = p

|−→v |, con lo que el valor absolu-

to del producto escalar es igual al modulo de uno de ellospor la longitud de la proyeccion perpendicular del otro so-bre aquel:

|−→u · −→v | = |−→u | |−→v | | cos(α(−→u ,−→v ))| = |−→u |��|−→v | p

��|−→v |

= |−→u | p

Por otro lado, cabe senalar que el producto escalar de dosvectores no nulos es positivo si el angulo que forman es agu-do (<90o), negativo si es obtuso (>90o) y nulo si es recto.

2.1.2 Propiedades del producto escalar:- conmutativa:

−→u · −→v = −→v · −→u

pues los angulos son los mismos (a veces se consideranopuestos, pero como cos α = cos(−α), el resultado siguesiendo cierto).- asociativa con la multiplicacion por escalares:

(λ−→u ) · −→v = λ(−→u · −→v ) = −→u · (λ−→v )

- distributiva respecto de la suma de vectores:

−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w

En el esquema anterior (todos los angulos son agudos para

I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matematicas - Curso 2012 - 2013

MATEMATICAS II: Geometrıa Pag. 3

ilustrar mejor este apartado) se observa que la proyeccionde la suma −→v + −→w , que llamaremos pv+w, coincide con lasuma de las proyecciones, pv + pw; podemos escribir, al sertodos los numeros positivos:

−→u · (−→v +−→w ) = |−→u |pv+w = |−→u |pv + |−→u |pw = −→u ·−→v +−→u ·−→w

2.1.3 Expresion analıtica en una base ortonormal.Una base ortonormal esta formada por vectores de modu-lo uno (vectores unitarios) y perpendiculares entre sı. Por

ejemplo, la base canonica mencionada antes−→i (1, 0, 0),

−→j (0, 1, 0) y

−→k (0, 0, 1) es una base ortonormal. El producto

escalar de dos vectores de una base ortonormal vale uno silos vectores son iguales o cero si son distintos, por ejemplo:

−→i · −→i = |−→i | |−→i | cos 0o = 1 · 1 · 1 = 1

−→j ·−→k = |−→j | |

−→k | cos 90o = 1 · 1 · 0 = 0

Esto proporciona una expresion analıtica sencilla parael producto escalar de dos vectores, en funcion de sus coor-denadas:

−→u (xu, yu, zu) = xu−→i + yu

−→j + zu

−→k

−→v (xv, yv, zv) = xv−→i + yv

−→j + zv

−→k

Al multiplicar, aplicando la propiedad distributiva y lomencionado antes, queda:

−→u · −→v = xuxv + yuyv + zuzv

2.1.4 Aplicaciones de dicha expresion analıtica: modulode un vector, vector unitario, angulo entre dos vectores yperpendicularidad.De la definicion de producto escalar, dado el vector−→u (xu, yu, zu), se tiene: −→u · −→u = |−→u | |−→u | cos 0o = |−→u |2, de

donde el modulo queda: |−→u | =√−→u · −→u =

√x2u + y2u + z2u

Tambien se llega a esta formula usando el teorema dePitagoras.

Si dividimos un vector no nulo entre su modulo, obtene-mos un vector unitario con la misma direccion y el mismosentido:−→u|−→u |

=

(xu√

x2u + y2u + z2u,

yu√x2u + y2u + z2u

,zu√

x2u + y2u + z2u

)A las coordenadas del vector unitario anterior tambien seles llama cosenos directores del vector −→u , son los cosenosde los angulos que forma −→u con los vectores de la base

canonica−→i ,−→j y−→k .

Si cogemos dos vectores −→u (xu, yu, zu) y −→v (xv, yv, zv),el coseno del angulo que forman se puede expresar ası:

cos(α(−→u ,−→v )) =−→u · −→v|−→u | |−→v |

=xuxv + yuyv + zuzv√

x2u + y2u + z2u√x2v + y2v + z2v

A partir de esta formula, se obtiene el angulo α(−→u ,−→v )usando la funcion arcocoseno.

Los vectores −→u (xu, yu, zu) y −→v (xv, yv, zv), no nulos,

seran perpendiculares, −→u ⊥ −→v , si cos(α(−→u ,−→v )) = 0, lo

que equivale a que xuxv + yuyv + zuzv = 0

2.2 Producto vectorial de dos vectores.Dados tres vectores independientes del espacio,−→a (xa, ya, za),

−→b (xb, yb, zb) y −→c (xc, yc, zc), se dice que la

terna ordenada (−→a ,−→b ,−→c ) tiene orientacion positiva (ne-

gativa) si el determinante formado por sus coordenadas enese orden es positivo (negativo), o sea si:∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣ > 0

∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣ < 0

El producto vectorial de −→u (xu, yu, zu) y −→v (xv, yv, zv)

es otro vector, −→u ×−→v , que cumple:1) |−→u ×−→v | = |−→u | |−→v | | sen(α(−→u ,−→v ))|2) (−→u ×−→v ) ⊥ −→u y (−→u ×−→v ) ⊥ −→v3) El sentido de −→u ×−→v es el que hace que la terna ordena-da (−→u ,−→v ,−→u × −→v ) tenga orientacion no negativa (sigue elllamado criterio del sacacorchos o del tornillo).

2.2.1 Interpretacion geometrica de su modulo: area delparalelogramo y paralelismo.En el dibujo anterior, el area del paralelogramo cuyoslados coinciden con los vectores −→u y −→v vale lo mismoque el modulo del producto vectorial de dichos vectores:Area=base·altura=|−→u | · (|−→v | | sen(α(−→u ,−→v ))|)Por otra parte, si −→u y −→v son paralelos, su producto vecto-rial es el vector nulo.

2.2.2 Expresion analıtica en una base ortonormal: de-

terminante con−→i ,−→j y−→k .

Dados −→u (xu, yu, zu) y −→v (xv, yv, zv), se tiene que:

−→u ×−→v =

(∣∣∣∣ yu zuyv zv

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣) ,que se acepta escribir en forma de determinante ası:

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣La demostracion de esta formula pasa por verificar que secumplen las condiciones de la definicion del producto vec-torial. Llamando −→p al “determinante” anterior:1) Para ver que ambos vectores, −→u × −→v y −→p , tienen elmismo modulo, se desarrollan los cuadrados de ambos:

|−→u ×−→v |2 = |−→u |2|−→v |2 sen2(α(−→u ,−→v )) =

|−→u |2|−→v |2 (1− cos2(α(−→u ,−→v ))) = |−→u |2|−→v |2 − (−→u · −→v )2

= (x2u + y2u + z2u) (x2v + y2v + z2v)− (xuxv + yuyv + zuzv)2

I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matematicas - Curso 2012 - 2013

MATEMATICAS II: Geometrıa Pag. 4

Ahora

|−→p |2 =

∣∣∣∣(∣∣∣∣ yu zuyv zv

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣)∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣ yu zuyv zv

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣2Desarrollando las expresiones recuadradas se vera que

son iguales (ejercicio).

2) Que −→p es perpendicular tanto a −→u como a ×−→v seprueba viendo que el producto escalar vale cero:

−→u ·−→p = (xu, yu, zu)·(∣∣∣∣ yu zu

yv zv

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣)

=

∣∣∣∣∣∣xu yu zuxu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ = 0,

por tener dos filas iguales.De manera analoga, −→v · −→p = 0

3) La terna (−→u ,−→v ,−→p ) tiene orientacion no negativa,pues: ∣∣∣∣∣∣∣∣

xu yu zuxv yv zv∣∣∣∣ yu zu

yv zv

∣∣∣∣ − ∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

(desarrollando por la tercera fila)

=

∣∣∣∣ yu zuyv zv

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣2 ≥ 0

2.2.3 Propiedades del producto vectorial:La posibilidad de expresar el producto vectorial como undeterminante (aunque en realidad no lo sea) permite sim-plificar la demostracion de algunas propiedades:- Es anticonmutativo, −→u ×−→v = −−→v ×−→u , pues∣∣∣∣∣∣

−→i−→j−→k

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

xv yv zvxu yu zu

∣∣∣∣∣∣- Es asociativo con la multiplicacion por escalares

(λ−→u )×−→v = λ(−→u ×−→v ) = −→u × (λ−→v ), pues∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

λxu λyu λzuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

xu yu zuλxv λyv λzv

∣∣∣∣∣∣- Es distributivo, −→u ×(−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w , pues∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

xu yu zuxv + xw yv + yw zv + zw

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

xu yu zuxw yw zw

∣∣∣∣∣∣

Analogamente, (−→u +−→v )×−→w = −→u ×−→w +−→v ×−→w

- No es asociativo pues, por ejemplo,

−→i × (

−→j ×−→j ) =

−→i ×−→0 =

−→0

, mientras que

(−→i ×−→j )×−→j =

−→k ×−→j = −−→i

2.3 Producto mixto (triple producto escalar).

Dados los vectores −→u , −→v y −→w , su producto mixto es

[u, v, w] = −→u · (−→v ×−→w )

2.3.1 Interpretacion geometrica de su valor absoluto:volumen del paralelepıpedo.En la siguiente figura vemos el paralelepıpedo construidosobre los vectores −→u , −→v y −→w :

El valor absoluto del producto mixto es el volumen V deeste paralelepıpedo, porque, usando que el producto escalarde dos vectores es el modulo de uno de ellos por la proyec-cion del otro, queda:

|[−→u ,−→v ,−→w ]| = |−→u · (−→v ×−→w )| = |−→v ×−→w | · pu = A · h = V,

donde A es el area de la base, que sabemos coincide conel modulo del producto vectorial, |−→v × −→w |, y h es la altu-ra, que es igual a pu, proyeccion de −→u sobre el vector −→v ×−→w .

2.3.2 Expresion analıtica en una base ortonormal: deter-minante.Dados −→u (xu, yu, zu), −→v (xv, yv, zv) y −→w (xw, yw, zw) su pro-ducto mixto se puede expresar

[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ×−→w ) =

∣∣∣∣∣∣xu yu zuxv yv zvxw yw zw

∣∣∣∣∣∣ ,sin mas que pensar en el desarrollo de este determinantepor los adjuntos de su primera fila.Aparte de mencionar que el producto mixto tiene las propie-dades heredadas de las de los determinantes, cabe destacarque si el producto mixto de tres vectores no nulos vale cero,dichos vectores son dependientes, o sea, geometricamentecoplanarios (estan en un mismo plano, el volumen construi-do sobre ellos vale cero).

I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matematicas - Curso 2012 - 2013

MATEMATICAS II: Geometrıa Pag. 5

3. Obtencion e interpretacion de las ecua-ciones de rectas y planos utilizando sistemasde referencia ortonormales.

3.1 Rectas en el espacio.3.1.1 Vector direccional o director de una recta. Dada unarecta r, un vector −→vr sera vector direccional (o director) der cuando, para cualquier pareja de puntos distintos de r, A

y B, −→vr sea paralelo al vector−−→AB. Una recta tiene infinitos

vectores directores, pero todos son dependientes entres sı;solo se pueden diferenciar en el modulo y el sentido, peromantienen la direccion comun, que es la misma de la recta.

3.1.2 Formas de la ecuacion de la recta: vectorial, pa-rametrica, continua e implıcita (dos planos).En el dibujo siguiente, se ha representado la recta que pasapor el punto P0 con la direccion del vector −→vr :

Esta expresion se conoce como forma vectorial de laecuacion de la recta; se suele escribir usando coorde-nadas: dados −→vr(xv, yv, zv), vector director, y un pun-to P0(x0, y0, z0), cada punto P (x, y, z) de la rectaque pasa por P0 con la direccion de −→vr cumple, pa-ra cierto λ (parametro que varıa al cambiar P ) que:

−−→OP =

−−→OP0 + λ−→vr

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(xv, yv, zv)

Si separamos por coordenadas, obtenemos la

forma parametrica:

x = x0 + λxvy = y0 + λ yvz = z0 + λ zv

Se dice que (x, y, z) = (x0 + λxv, y0 + λ yv, z0 + λ zv) es unpunto generico (un punto cualquiera) de la recta.

Como el parametro λ es el mismo en las tres ecuacionesanteriores, al despejarlo e igualar los resultados, obtenemos

la forma continua:x− x0xv

=y − y0yv

=z − z0zv

Como λ ya no aparece, se dice que se ha eliminado elparametro.La forma continua no es adecuada cuando alguna coorde-nada de −→vr (denominadores) vale cero (aunque se ha vistoescrita ası en algunos libros). Cuando esto sucede, o cuandose necesite, de la forma continua se pasa a la forma implıcitade la recta separando la forma continua en dos igualdades,eliminando en cada una de ellas los denominadores, llegan-do a dos ecuaciones lineales; mas adelante, veremos quecada una de ellas representa un plano, cuya interseccion esla recta r. Ahora es mejor poner un ejemplo:Si los datos son P0(2,−1, 0), −→vr(1,−3, 2), la recta que pasapor P0 y tiene la direccion de −→vr , que se puede escribirr(P0(2,−1, 0), −→vr(1,−3, 0)), o tambien r(P0,

−→vr), tiene las

siguientes formas:

- forma vectorial: (x, y, z) = (2,−1, 0) + λ(1,−3, 2)

- forma parametrica:

x = 2 + λy = −1− 3λz = 2λ

- forma continua:x− 2

1=y + 1

−3=z

2De la primera igualdad: −3x+ 6 = y + 1; 3x+ y − 5 = 0De la segunda: 2y + 2 = −3z; 2y + 3z + 2 = 0

- forma implıcita:

{3x+ y − 5 = 02y + 3z + 2 = 0

3.1.3 Obtencion de rectas a partir de ciertos datos (ej.: per-pendicular comun). Ponemos dos ejemplos:- recta que pasa por dos puntos A(xa, ya, za) y B(xb, yb, zb):

como el vector−−→AB(xb − xa, yb − ya, zb − za) es el vector

director, la recta queda, por ejemplo en forma continuax− xaxb − xa

=y − yayb − ya

=z − zazb − za

- recta perpendicular comun a dos rectas no paralelas (sison paralelas existen muchas perpendiculares comunes):

partimos de dos rectas r(P0,−→u ) y s(Q0,

−→v ); buscamossendos puntos en cada una de las rectas, P ∈ r y Q ∈ s,

tales que el vector−−→PQ sea perpendicular tanto a −→u como

a −→v . Se expresa el vector−−→PQ en parametricas, restando

las coordenadas parametricas de Q y P , puntos genericosde s y r (hay que usar parametros distintos, para tener encuenta todas las parejas de puntos posibles de r y s), y seimpone las condiciones de perpendicularidad mencionadas:−−→PQ ⊥ −→u ⇔

−−→PQ · −→u = 0 y

−−→PQ ⊥ −→v ⇔

−−→PQ · −→v = 0

Por ejemplo, hallemos la perpendicular comun ar(P0(0, 1,−2),−→u (1,−1, 1)) y s(Q0(1, 0, 1),−→v (−2, 3,−1));los puntos genericos respectivos de ambas rectas sonP (λ, 1−λ, λ− 2) y Q(1− 2µ, 3µ, 1−µ), quedando el vector−−→PQ(−2µ− λ+ 1, 3µ+ λ− 1,−µ− λ+ 3) ;

Este vector ha de ser perpendicular a −→u (1,−1, 1) y a−→v (−2, 3,−1), por lo que los productos escalares de

−−→PQ

por ellos valen cero:{(−2µ− λ+ 1, 3µ+ λ− 1,−µ− λ+ 3) · (1,−1, 1) = 0(−2µ− λ+ 1, 3µ+ λ− 1,−µ− λ+ 3) · (−2, 3,−1) = 0

⇔{−2µ− λ+ 1− 3µ− λ+ 1− µ− λ+ 3 = 04µ+ 2λ− 2, 9µ+ 3λ− 3,+µ+ λ− 3 = 0

⇔{−6µ− 3λ+ 5 = 014µ+ 6λ− 8 = 0

}, de donde

λ =11

3, µ = −1.

I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matematicas - Curso 2012 - 2013

MATEMATICAS II: Geometrıa Pag. 6

Los puntos buscados son P (11

3, 1 − 11

3,

11

3− 2) =

P (11

3,−8

3,

5

3) y Q(1−2(−1), 3(−1), 1−(−1)) = Q(3,−3, 2),

quedando el vector−−→PQ(

−2

3,−1

3,

1

3) ;

La recta buscada queda determinada por cualquiera

de los puntos P o Q y por el vector−−→PQ o cualquie-

ra proporcional a el; por ejemplo, usando Q(3,−3, 2) y

3−−→PQ (para quitar denominadores) la forma continua que-

da:x− 3

−2=y + 3

−1=z − 2

1

3.2 Planos en el espacio.

3.2.1 Formas de la ecuacion del plano: vectorial, pa-rametrica, general (implıcita) y normal.Si para determinar una recta se comenzaba con unpunto y un vector, un plano queda determinado porun punto P0 y dos vectores independientes, −→u y−→v , paralelos al plano, como en el siguiente dibujo:

Dado el plano que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y esparalelo a los vectores −→u (xu, yu, zu) y −→v (xv, yv, zv), ca-da punto P (x, y, z) de dicho plano cumple, para cier-tos λ y µ (parametros que varıan al cambiar P ), que:

−−→OP =

−−→OP0 + λ−→u + µ−→v

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(xu, yu, zu) + µ(xv, yv, zv)(forma vectorial de la ecuacion del plano)

Si separamos por coordenadas, obtenemos la

forma parametrica:

x = x0 + λxu + µxvy = y0 + λ yu + µ yvz = z0 + λ zu + µ zv

Se dice que(x, y, z) = (x0 +λxu +µxv, y0 +λ yu +µ yv, z0 +λ zu +µ zv)es un punto generico (un punto cualquiera) del plano.Para eliminar los parametros, tenemos dos argumentosequivalentes:1o) Se puede escribir la forma parametrica como el siste-

ma:

λxu + µxv = x− x0λ yu + µ yv = y − y0λ zu + µ zv = z − z0

, considerando λ y µ como

incognitas.Haciendo variar los parametros λ y µ, se obtienen todoslos puntos P (x, y, z) del plano; entonces, para cada uno deestos puntos P (x, y, z), el sistema anterior es compatible,con lo que, al haber solo dos incognitas, el rango de la ma-triz ampliada no puede ser tres y su determinante es nulo:

∣∣∣∣∣∣xu xv x− x0yu yv y − y0zu zv z − z0

∣∣∣∣∣∣ = 0

2o) Los tres vectores siguientes:

u(xu, yu, zu), v(xv, yv, zv) y−−→P0P (x− x0, y − y0, z − z0)

son evidentemente coplanarios, por lo que son dependientes,siendo nulo el determinante formado con sus coordenadas,el mismo de antes. Notese que, al ser nulo dicho determi-nante, los vectores que lo forman se pueden poner tanto porfilas como por columnas y en el orden que se desee.

De cualquiera de las dos formas hemos eliminado losparametros y, desarrollando el determinante, se llega a la

forma implıcita: Ax+By + Cz +D = 0 (tambien se lla-

ma ecuacion general o cartesiana).Lo vemos con un ejemplo:supongamos un punto del plano π, P0(3,−2, 1) y los vecto-res paralelos al plano −→u (−1, 0, 2) y −→v (−2, 1,−1); con estosdatos, π se puede expresar de la siguientes formas:

- forma vectorial:(x, y, z) = (3,−2, 1) + λ(−1, 0, 2) + µ(−2, 1,−1)

- forma parametrica:

x = 3− λ− 2µy = −2 + µz = 1 + 2λ− µ

El determinante igualado a cero queda (por filas, laprimera la de las incognitas, despues los vectores):∣∣∣∣∣∣x− 3 y + 2 z − 1−1 0 2−2 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 0

Su desarrollo se suele hacer mentalmente por los adjuntosde la lınea de las incognitas, en este caso:(x− 3)(−2) + (y + 2)(5) + (z − 1)(−1) = 0, quedando la

- forma general: −2x+ 5y − z + 17 = 0

3.2.2 Vector normal a un plano. Forma normal.Si comparamos el determinante que al igualarlo a cerodara lugar a la ecuacion general del plano con el “determi-nante” que proporciona el producto vectorial de los vectoresparalelos al plano:∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ = 0, −→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣vemos otra condicion que han de cumplir los puntosP (x, y, z) del plano pues, desarrollando:

−→u ×−→v =

(∣∣∣∣ yu zuyv zv

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣)

Si llamamos a las coordenadas de −→u ×−→vA =

∣∣∣∣ yu zuyv zv

∣∣∣∣, B = −∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣ y C =

∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matematicas - Curso 2012 - 2013

MATEMATICAS II: Geometrıa Pag. 7

se tiene por un lado el vector −→u × −→v = (A,B,C) que esperpendicular o normal a los vectores −→u y −→v , y por tantoal plano.Por otro lado, el determinante igualado a cero se puedeexpresar, desarrollando por los adjuntos de la primera fila:

(x−x0)

∣∣∣∣ yu zuyv zv

∣∣∣∣+(y−y0)

(−

∣∣∣∣ xu zuxv zv

∣∣∣∣)+(z−z0)

∣∣∣∣ xu yuxv yv

∣∣∣∣ =

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0

Esta ultima ecuacion, llamada forma normal, expresa que

si P (x, y, z) esta en el plano, el vector−−→P0P y el vector

−→n (A,B,C) = −→u × −→v son perpendiculares (el producto

escalar −→n ·−−→P0P vale cero).

En la practica, si tenemos la ecuacion general de unplano, por ejemplo π : [2x − 3y + 4z − 5 = 0], tenemosfacilmente un vector normal (perpendicular) al plano, sinmas que seleccionar ordenadamente los coeficientes de x, yy z: −→n (2,−3, 4) ⊥ π

3.2.3 Obtencion de planos a partir de ciertos datos.Se ponen un par de ejemplos:

- plano que pasa por tres puntos A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb)y C(xc, yc, zc):el plano que pasa por ellos es paralelo a los vectores−−→AB(xb−xa, yb− ya, zb− za) y

−→AC(xc−xa, yc− ya, zc− za);

usando el punto A y estos dos vectores la ecuacion del planoqueda: ∣∣∣∣∣∣

x− xa y − ya z − zaxb − xa yb − ya zb − zaxc − xa yc − ya zc − za

∣∣∣∣∣∣ = 0

ecuacion equivalente a

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x y z1 xa ya za1 xb yb zb1 xc yc zc

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

(se resta la segunda fila, la correspondiente al punto A delas demas, y se desarrolla por adjuntos), aunque se sueleusar mas la primera, porque se ven mejor los vectores pa-ralelos al plano, y se llega antes a la ecuacion general.

Por ejemplo, el plano π que pasa por A(2,−1, 3),B(−2, 0, 4) y C(1, 3 − 2), es paralelo a los vecto-

res−−→AB(−4, 1, 1) y

−→AC(−1, 4,−5), quedando su ecuacion∣∣∣∣∣∣

x− 2 y + 1 z − 3−4 1 1−1 4 −5

∣∣∣∣∣∣ = 0, de donde se saca la ecuacion

normal desarrollando por los adjuntos de la lınea dondeestan las incognitas:π : [−9(x − 2) − 21(y + 1) − 15(z − 3) = 0], y a partir deesta, la ecuacion general quedaπ : [−9x− 21y − 15z + 42 = 0],o mejor π : [9x+ 21y + 15z − 42 = 0]

- plano que pasa por un punto P0(x0, y0, z0), perpendi-cular al vector −→n (xn, yn, zn):

si P (x, y, z) es un punto del plano, el vector−−→P0P es per-

pendicular a −→n , por lo que el producto escalar de ambosvectores es nulo:

xn(x− x0) + yn(y − yn) + zn(z − zn) = 0

Por ejemplo, el plano perpendicular a −→n (3,−1, 5) quepasa por A(1, 2,−4) es π : [3(x−1)−1(y−2)+5(z+4) = 0],en su forma normal, quedando π : [3x− y + 5z + 19 = 0]

A partir de aquı, lo que queda se puede desarrollar conejercicios y problemas, ya que es eminentemente practico.Se deja un listado de lo que se considera mas importante.

4. Resolucion de problemas de incidencia, parale-lismo y perpendicularidad entre rectas y pla-nos.

4.1 Condicion de alineacion de varios puntos. Punto me-dio de un segmento. Puntos que dividen un segmentoen partes iguales.

4.2 Posiciones relativas de rectas en el espacio: se cruzan,secantes, paralelas, coincidentes.

4.3 Posiciones relativas de dos planos en el espacio: secan-tes, paralelos, coincidentes.

4.4 Posiciones relativas de tres planos en el espacio.

4.5 Posiciones relativas de una recta y de un plano en elespacio.

4.6 Estudio de paralelismo y perpendicularidad a travesde vectores.

4.7 Calculo de elementos de interseccion, cuando existen.

4.8 Calculo de elementos simetricos.

5. Resolucion de problemas metricos relacionadoscon el calculo de angulos, distancias, areas yvolumenes.

5.1 Calculo de angulos (vectores).

5.2 Cosenos directores de vectores, rectas y planos.

5.3 Calculo de distancias: punto-plano, punto-recta,recta-plano, recta-recta

5.4 Calculo de areas: paralelogramo y triangulo.

5.5 Calculo de volumenes: paralelepıpedo y tetraedro.

I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matematicas - Curso 2012 - 2013