Volumen Geometría Tridimensional

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    tica

    Marco terico

    PLANO CARTESIANO

    Z

    X

    ordenada

    abscisa

    cota

    P(a, b, c)

    y

    c

    ab

    P

    MEDIDA DE UN SEGMENTO EN EL ESPACIO

    LalongituddeunsegmentoPQ enelespacio,talqueP(a,b,c)yQ(d,e,f)secalcula:

    L=(a d)2 + (b e)2 + (c f)2

    CUERPOS GEOMTRICOS

    Sonelementosgeomtricosentresdimensiones.Sedividenenpoliedrosycuerposre-dondos.Elreadeuncuerpogeomtricocorrespondealasumadelasreasquelimitanelcuerpo.Elvolumendeuncuerpogeomtricocorrespondealacantidaddeespacioqueocupaoqueescapazdecontener.

    POLIEDROS

    Soncuerposgeomtricosenlosquetodaslassuperficiesquelolimitansonpolgonos,porlotanto,todassuscarassonplanas.Entreotrospoliedros,esposiblemencionarlosprismasylaspirmides.

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    e ejercitacin avan

    zada

    alturaarista

    vrtice

    cara lateral

    cara basal

    Losprismassonpoliedrosquetienenunaparejadecarasbasalesquesonpolgonoscongruentesparalelosentres.Lascaraslateralessonparalelgramos.

    Elreadeunprismacorrespondealasumadelasreasdelospolgonosquelolimitan.

    Elvolumendeunprismasecalcula: Volumen prisma = rea base altura

    alto

    ancho

    largo

    Losparaleleppedos sonprismasen loscualestodassuscarassonparalelgramos.Tienetresparejasdecarasparalelas.

    Elreadeunparaleleppedosecalcula: rea paraleleppedo = 2 (largo ancho + largo alto + ancho alto)

    Elvolumendeunparaleleppedosecalcula: Volumen paraleleppedo = largo ancho alto

    arista

    Loscubossonparaleleppedosenloscualessusseiscarassoncuadradoscongruentes.

    Elreadeuncubosecalcula: rea cubo = 6 arista2

    Elvolumendeuncubosecalcula: Volumen cubo = arista3

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    tica cara

    lateral

    carabasal

    cspide

    arista

    vrtice

    Laspirmidessonpoliedrosquetienenunacarabasalpoligonalylascaraslatera-lesconcurrenaunsolovrticellamadocspide.Lascaraslateralessontringulos.

    Elreadeunapirmidecorrespondealasumade lasreasde lospolgonosquelolimitan.

    Elvolumendeunapirmidesecalcula:

    Volumen pirmide = 13

    rea base altura

    Lospoliedros regulares(oslidosplatnicos)sonaquellosenloscualestodaslascarassonpolgonosregularescongruentes.Sloexistencincopoliedrosregulares.

    Tetraedroformado por tringulos

    Hexaedroformado por cuadrados

    Octaedroformado por tringulos

    Dodecaedroformado por pentgonos

    Icosaedroformado por tringulos

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    CUERPOS REDONDOS

    Soncuerposgeomtricosenloscualesunaotodassussuperficiessoncurvas.Seproducenapartirdelarotacinindefinidadeunafiguraplana.Loscuerposredondosmscomunessonloscilindros,conosyesferas.

    rea lateral

    altura

    radio

    Loscilindrosseproducenapartirdelarotacinindefinidadeunrectnguloentornoaunodesuslados.

    reatotaldeuncilindroestcompuestaporelrealateralylasreasbasales.

    Elrealateraldelcilindrosecalcula:rea lateral cilindro= 2 radio altura.

    Lasreasbasalesdelcilindrocorrespondenadoscrculoscongruentescuyoradioesigualalradiodelcilindro.

    Porlotanto,elreatotaldelcilindrosecalcula:rea total cilindro= 2 radio altura + 2 radio2

    Elvolumendeuncilindrosecalcula:Volumen cilindro = radio2 altura

    rea lateral

    altura

    radio

    generatriz

    Losconosseproducenapartirdelarotacinindefinidadeuntringulorectnguloentornoaunodesuscatetos.

    Lageneratrizdelconosecalcula:generatriz = radio2 + altura2.

    Elreatotaldeunconoestcompuestaporelrealateralyelreabasal.

    Elrealateraldelconosecalcula:realateralcono= radio generatriz.

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    Elreabasaldelconocorrespondeauncrculocuyoradioesigualalradiodelcono.

    Porlotanto,elreatotaldelconosecalcula:rea total cono = radio generatriz + radio2.

    Elvolumendeunconosecalcula:

    Volumen cono = 13

    radio2 altura

    Lasesferasseproducenapartirdelarotacinindefinidadeunsemicrculoentornoasudimetro.

    Elradiodeunaesferacorrespondea ladistanciaentreelcentroyelcontornodelaesfera.

    Elreadeunaesferasecalcula:rea esfera = 4 radio2

    Elvolumendeunaesferasecalcula:

    Volumen esfera = 43

    radio3

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    Ejercicios PSU

    1. SeanA(1,2, u)yB(1,2,3)dospuntosenelespacio,talqueuesunnmerorealpositivo.ParaquvalordeuelsegmentoAB es6?

    A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9

    2. Enlafigura,eltringuloPQRtienevrticesP(6,0,0),Q(0,6,0)yR(0,0,6).CuleselreadeltringuloPQR?

    y

    z

    x

    Q

    R

    P

    A) 183

    B) 182

    C) 63

    D) 62

    E) Ningunodelosvaloresanteriores.

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    3. SeanlospuntosA(a,a,0),B(2a,a,0),C(a,2a,0)yD(a,a,a)cuatropuntosenelespacio,talqueaesunnmerorealpositivo.SiA,B,CyDsonlosnicosvrticesdeuncuerpogeomtrico,entonceselvolumendedichocuerpoes

    A)a3

    6

    B)a3

    4

    C)a3

    3

    D)a3

    2

    E) a3

    4. Seaelsegmento AB enelespacio,talqueA(9,3,6)yB(3,6,9).SiAB esladiagonaldeuncubo,entonceselreadedichocuboes

    A) 168 B) 252 C) 360 D) 540 E) 720

    5. Lacantidaddecarasdeunicosaedroes A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 20

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    6. Lapirmidedelafigura,estcompuestade A) 12aristas,7carasy7vrtices. B) 12aristas,6carasy6vrtices. C) 12aristas,6carasy7vrtices. D) 7aristas,12carasy6vrtices. E) 7aristas,12carasy7vrtices.

    7. Silacapacidaddeuncuboes8litros,entonceslasumadetodaslasaristasdelcuboes A) 72 cm B) 96 cm C) 180 cm D) 200 cm E) 240 cm

    8. Sielvolumendeunacajadebasecuadradamide96 cm3,elanchoyelaltoestnenlarazn2 : 3,entoncessureatotalmide

    A) 64 cm2 B) 128cm2 C) 256cm2

    D) 384cm2

    E) ningunadelasmedidasanteriores.

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    9. Silasbasestriangularesdelprismadelafiguratienenreaiguala14 cm2ysualturamide12 cm,culessuvolumen?

    A) 56 cm3

    B) 168cm3 C) 784cm3

    D) 2.352cm3

    E) Ningunadelasmedidasanteriores.

    10. Enlafigura,elprismarectotieneunaalturade5 cmylabaseesunhexgonoregular

    delado2 cm. Suvolumenmide A) 15

    2cm3

    B) 10 cm3

    C) 315 cm3

    D) 610 cm3

    E) ningunadelasmedidasanteriores.

    11. Laraznentrelasreasdedoscuboses9 : 16.Culeslaraznentresusvolmenes?

    A) 729 : 4.096 B) 27 : 64 C) 9 : 16 D) 9 : 12 E) 3 : 4

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    12. Elvolumendeuncubomide729 cm3.Cul(es)delassiguientesafirmacioneses(son)verdadera(s)?

    I) Ladiagonaldeunacaramide92 cm. II) Elreadelcubomide81 cm2. III) Ladiagonaldelcubomide93 cm.

    A) SloI B) SloII C) SloIyII D) SloIyIII E) I,IIyIII

    13. Uncuboesuncuerpogeomtricoclasificadodentrodelgrupodelos

    I) poliedros. II) prismas. III) paraleleppedos.

    Es(son)verdaderas

    A) sloIII. B) sloIyII. C) sloIyIII. D) I,IIyIII. E) ningunadeellas.

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    14. Uncubosedivideentresparaleleppedosigualesconcortesparalelosaunadesuscaras,comomuestralafigura.Sielreatotaldecadaunodeesosparaleleppedosmide60cm2,entonceselreatotaldelcubooriginalmide

    A) 72 cm2

    B) 108cm2

    C) 120cm2

    D) 135cm2

    E) 180cm2

    15. Unprismarectotienecomobaseunhexgonoregulardelado4 cm.Sitodaslascarasdelprismatienenigualrea,cuntomideelvolumendelprisma?

    A) 64 cm3

    B) 963 cm3

    C) 1443 cm3

    D) 1923 cm3

    E) 432cm3

    16. Elradiodeuncilindromide4 cmysualturamide6 cm.Cuntomidesurea?

    A) 40 cm2

    B) 48 cm2

    C) 52 cm2

    D) 64 cm2

    E) 80 cm2

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    17. Enlafigura,elreadelconoes

    4

    3

    A) 8 B) 12 C) 21 D) 24 E) ningunodelosvaloresanteriores.

    18. Sieldimetrodeunaesferamide6 cm,entoncessuvolumenmide

    A) 8 cm3

    B) 12 cm3

    C) 24 cm3

    D) 36 cm3 E) ningunadelasmedidasanteriores.

    19. Enelcubodelafigura,Ptienecoordenadas(5, 0, 0),entoncesRtienecoordenadas

    y

    x

    z

    R

    Q

    P

    A) (0,5,0) B) (0,0,5) C) (5,0,5) D) (5,5,0) E) ningunadelascoordenadasanteriores.

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    20. Un globo esfrico de radio 12 cm est lleno de agua. Si se vaca completamente elcontenido del globo en un envase cilndrico recto de radio 12 cm, llenndolocompletamente,entonceslaalturadelcilindromide

    A) 9cm B) 12cm C) 16cm D) 18cm E) 24cm

    21. Seauntringulorectngulocuyoscatetosmiden15cmy20cm.Algirarindefinidamenteeltringuloentornoasuhipotenusa,elvolumendelcuerpogeneradomide

    A) 1.200 cm3

    B) 1.348 cm3

    C) 1.680 cm3

    D) 1.800 cm3

    E) 3.600 cm3

    22. AlrotarindefinidamenteelrectnguloABCDdelafiguraentornoalladoAD,segenerauncuerpogeomtricocuyovolumenmide

    C11 cm

    7 cm

    D

    BA

    A) 847 cm3

    B) 539 cm3

    C) 282 cm3 D) 154 cm3

    E) 146 cm3

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    23. Alrotar indefinidamenteel tringuloABCentornoal ladoAB ,segenerauncuerpogeomtricocuyovolumenmide

    12 cm

    C

    A B

    13 cm

    A) 300 cm3

    B) 240 cm3

    C) 100 cm3 D) 40 cm3

    E) ningunadelasmedidasanteriores.

    24. Unconoseencuentraalinteriordeuncilindroderadio4 cm,comosemuestraenlafigura.Si lageneratrizdelconomide45 cm,entoncescuntomideelvolumenNOcubiertoporelcono?(Losradiosylasalturasdelconoydelcilindrocoinciden)

    A) 642 cm3

    B) 2563

    cm3

    C) 322 cm3

    D) 128

    3 cm3

    E) Ningunadelasmedidasanteriores.

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    25. Cul(es)delassiguientesafirmacioneses(son)siempreverdadera(s)?

    I) Sielradiodeunconoaumentaaldoble,entonceselvolumenaumentacuatroveces.

    II) Silaaristadeuncubosetriplica,entonceselreaaumenta9veces. III) Si el radio de una esfera disminuye a la mitad, entonces el nuevo volumen

    correspondealaoctavapartedelvolumenoriginal. A) SloI B) SloII C) SloIyII D) SloIIyIII E) I,IIyIII

    26. UnaesferadeplasticinadereaAsedivideendospartesiguales.Unadeesaspartesseamoldademaneraquetomaformadeesfera.Elreadeestaesferaes

    A) A4

    B) A2

    C)A

    34

    D)A

    2

    E) A32

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    27. Uncilindroyunconotienenambosunradiodexcmyunaalturadexcm.Laraznentreelreatotaldelconoyelreatotaldelcilindroes

    A) 2

    3

    B) 12

    C)1 + 2

    4

    D) 2

    2

    E)1 + 2

    3

    28. Unadelasaristasdeuncubotienevrtices(4,2,10)y(4,5,10)enunsistemadeejestridimensional.Elreadelcuboes

    A) 9 B) 27 C) 36 D) 54 E) 384

    29. Sepuededeterminarelvolumendeunconosi:

    (1) Elpermetrodelabasemide12 cm. (2) Laalturadelconomide9 cm. A) (1)porssola. B) (2)porssola. C) Ambasjuntas,(1)y(2). D) Cadaunaporssola,(1)(2). E) Serequiereinformacinadicional.

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    30. Sepuededeterminarelreadeuncubosi:

    (1) Ladiagonaldelcubomide63 cm. (2) Elvolumendelcubomide216 cm3. A) (1)porssola. B) (2)porssola. C) Ambasjuntas,(1)y(2). D) Cadaunaporssola,(1)(2). E) Serequiereinformacinadicional.

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