Vectores Espacio

VECTORES EN EL ESPACIOAlgebra lineal (Ing.Sist.) Clculo IV(G,B)Semestre 99-00 B

Algebra linealVectores en el espacio

OSistema de coordenadas de la mano derecha


u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector uDado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) as:


u=(a,b,c)Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector u as:


Punto P en el espacio(a,b,c)3 Vector u=OPdesde el origen hasta PEsta correspondencia se llama:Sistema de coordenadas rectangulares


Plano XY={(x,y,z)3/ z=0}


Plano XZ={(x,y,z)3/ y=0}


Plano YZ={(x,y,z)3/ x=0}


Sean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y un nmero real. Se define el vector: suma u+v como u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3)

producto por un escalar u como u=(au1, au2, au3).


La magnitud o norma de un vector u=(u1,u2,u3) es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitgoras. Un vector de norma 1 se llama vector unitario


a) Encuentre el vector de norma 4 en la direccin del vector (2,-2,-1)Ejemplo N1b) Encuentre el vector unitario que forma un ngulo de /4 con el eje X


Solucin N1por lo tantoa)


b) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ngulo de /4 con el eje X.


Por lo tanto en 3 se define una direccin como un vector unitario. u=(a,b,c) unitarioa= cos b= cos c= cos cos2+cos2+cos2 =1, , son los ngulos directores


Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como: u.v=u1v1+u2v2+u3v3Se define el ngulo entre dos vectores u y v como el ngulo no negativo mas pequeo entre u y v. Producto escalar


Dos vectores son paralelos si el ngulo entre ellos es 0 o .Dos vectores son ortogonales si forman un ngulo de /2 Producto escalar


Interpretacin geomtrica: Teorema:


Teorema:


Prueba del Teorema:Por lo tanto wv


a) Calcule la proyeccin de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3).Ejercicio N2c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ngulo entre u y v, u y w, v y w.


El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo est definido para 3. Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho Producto vectorialPrimero se define en los vectores cannicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)


Producto vectorial(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k


Producto vectorialUna regla nemotcnica para recordar la definicin de producto vectorial es escribir uxv como el determinante:y calcular el mismo por cofactores de la primera fila


Producto vectorialTeorema: Si es el ngulo entre los vectores u y v, entonces Prueba:


Producto vectorialTeorema: Sean u,v,w vectores en 3 y un nmero real, entonces: ux0 = 0xu = 0 uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) (u)xv = (uxv) = ux( v) ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv uxv = 0 si y solo si u||v. (uxv).w = u.(vxw) (producto triple)Prueba: Use MATLAB


Interpretacin geomtrica del producto cruzArea del paralelogramo generado por los vectores u y v = uxvArea= v usen uxv


Interpretacin geomtrica del producto cruzVolumen del paraleleppedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)|Area de la base uxvVolumen |uxv|Proyuxvw


Solucin N2


Solucin N2u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-2) si a-b+2c=0 y b-2c=0 Sistema homogneo cuya matriz asociada esSolucin: a=0; b=2t; c=t , t, es decir, todos los vectores de la forma (0,2t,t).

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