TEORIA DE JUEGOS

TEORÍA DE JUEGOS• La Teoría de Juegos fue creada por Von

Neumann y Morgenstern en su libro clásico The Theory of Games Behavior (La Teoría de Juegos de Comportamiento), publicado en 1944.

• Otras contribuciones posteriores fueron hechas por los matemáticos Borel , Zermelo, Tucker, Nash, desarrollador del Equilibrio de Nash y que recibió un premio Nobel

TEORÍA DE JUEGOS

• Permite tomar decisiones óptimas cuando dos o mas competidores se enfrentan en un conflicto de intereses

• Componentes:- Jugadores o competidores- Estrategias- Recompensa o valor del

juego

ESTRUCTURAEII

EI

E1 E2 ... Ej ... En

E1 r11 …E2

.

Ei rij.

.

Em rmn

MÉTODOS

5

• PUNTO SILLA

• ESTRATEGIAS DOMINANTES

• ESTRATEGIAS MIXTAS

• PROGRAMACIÓN LINEAL

PUNTO SILLA Se selecciona los menores valores de cada fila

y los mayores valores de cada columna.

Se halla el max(min) de las filas y el min(max) de las columnas

Э punto silla min(max) = max(min)

6

Por temporada de navidad y fin de año, la gente suele limpiar, pintar y ornamentar sus casas, motivo por el cual aumenta sorprendentemente la demanda de pinturas y productos para el acabado. La ferretería “San Miguel” ubicada en la Av. Francisco Rosas N° 345, comercializa pinturas de varias marcas muy conocidas, pero por motivo de demanda ha priorizado el aprovisionamiento para dos marcas de pintura, consideradas como las más comerciales las cuales son la pinturas CPP y pinturas ANYPSA cuyos distribuidores han entrado en una reñida competencia por ganar mayor mercado, por la cual aplican múltiples estrategias de marketing; como:

Estrategias

E1 Publicidad en canales de televisión.

E2 Ofertas (una brocha por la compra de un balde de pintura).

E3 Innovación en colores atractivos.

Durante mes de Diciembre se ha logrado medir y comparar estrictamente la demanda para las dos marcas de pinturas, cuestionando a los clientes con preguntas como ¿Por qué su preferencia?, ¿Dónde se enteró de las bondades del producto?, mediante la cual se ha obtenido la siguiente matriz de pagos:

PROBLEMA APLICATIVO 1

PINTURAS ANYPSA

ESTRATEGIAS PUBLICIDAD EN TV

OFERTA DE 1 BROCHA

INNOVACIÓN DE COLORES

PINTURAS CPP

PUBLICIDAD EN TV -3 -2 6

OFERTA DE 1 BROCHA 2 0 2

INNOVACIÓN DE COLORES 5 -2 -4

PUNTO SILLAPaso 01: Se selecciona los menores valores de cada fila y los mayores valores de cada columna.

PINTURAS ANYPSA

E1 E2 E3PINTURA

S CPP

E1 -3 -2 6E2 2 0 2

E3 5 -2 -4

-3 0-4

5 0 6

PUNTO SILLA

Paso 02: Se halla el max(min) de las filas y el min(max) de las columnas.

MAX (Min) = 0

MIN (Max) = 0

PINTURAS ANYPSA

E1 E2 E3PINTURA

S CPP

E1 -3 -2 6

E2 2 0 2

E3 5 -2 -4

-3 0-4

5 0 6

Una fila domina (absorbe) a otra si c/u de sus elementos correspondientes son ≥

Una columna domina (absorbe) a otra si c/u de sus elementos correspondientes son ≤

11

ESTRATEGIA DOMINANTE

ESTRATEGIA DOMINANTE

PINTURAS ANYPSA

E1 E2 E3

PINTURAS CPP

E1 1 2 4

E2 1 0 5

E3 0 1 -1

ESTRATEGIA MIXTA

Reducir la matriz de recompensa a la dimensión mx2 ó 2xn

Asignar una variable la probabilidad de elegir las estrategias.

Hallar el valor esperado del juego mediante:

Graficar y analizar

ESTRATEGIA MIXTA

PINTURAS ANYPSA

E1 E2 E3PINTURA

S CPP

E1 3 -4 2E2 5 3 -1

E3 4 -1 0

REDUCIR FILAS O COLUMNAS

PINTURAS ANYPSA

E1 E2 E3PINTURA

S CPP

E1 3 -4 2E2 5 3 -1

E3 4 -1 0

>Como los valores de la columna E1 son mayores a los valores de la columna E2, entonces se eliminara columna E1.

REDUCCIÓN DE FILAS O COLUMNAS

PINTURAS ANYPSA

E2 E3PINT

URAS CPP

E1 -4 2E2 3 -1E3 -1 0

Ya no es posible eliminar ni columnas ni filas.

Por lo tanto el valor óptimo del juego no es posible obtener mediante este método

MÉTODO: ESTRATEGIA MIXTA

i

m

1i

n

1jiij YXPVE

y3= 1-y2𝑉=𝑥1 (−4 𝑦2+2 𝑦3 )+𝑥2 ( 3 𝑦2− 𝑦3 )+𝑥3(− 𝑦2)

𝑉=𝑥1¿

𝑉=𝑥1 (−6 𝑦2+2 )+𝑥2 (4 𝑦2−1 )+𝑥3(− 𝑦2)

1 2 3

PINTURAS ANYPSA

E2 E3

PINTURAS CPP

E1 -4 2E2 3 -1

E3 -1 0

MÉTODO: ESTRATEGIA MIXTA

𝑉=𝑥1 (−6 𝑦2+2 )+𝑥2 (4 𝑦2−1 )+𝑥3(− 𝑦2)

1 2 3

Si: y2 = 0 V = 2 Si: y2 = 0 V = -1 Si: y2 = 0 V = 0

Si: y2 = 1 V = - 4 Si: y2 = 1 V = 3 Si: y2 = 1 V =-1

GRAFICO

MÉTODO: ESTRATEGIA MIXTA

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.600000000000001

0.700000000000001 0.8 0.9 1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

V

Y2

1

2

3

Pto. Optimo Min(Max)

Por lo tanto: E1 = E2−6 𝑦2+2=4 𝑦 2−1

0.3 𝒚𝟑=𝐎.𝟕B:

MÉTODO: ESTRATEGIA MIXTA

𝒚𝟐=𝟎 .𝟑𝒚𝟑=𝐎.𝟕

V* = Min{Max{

V* = 0.2

A: 𝑉=𝑥1 (−6 𝑦2+2 )+𝑥2 (4 𝑦2−1 )+𝑥3(− 𝑦2)

Si: Y2 = 0

Y2 = 1

𝒙𝟏=𝟎 .𝟒 𝒙𝟐=𝟎 .𝟔V* = 0.2

BE3

AE2

B:

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Para J1 Para J2

Max z = v Min w =vSt St

MÉTODO: PROGRAMACION LINEAL

CPP: ANYPSA:Max Z = V Min W = V

3 𝑥1+5 𝑥2+4 𝑥3≥𝑉−4 𝑥1+3𝑥2−𝑥3≥𝑉2 𝑥1−𝑥2≥𝑉

3 𝑦1−4 𝑦2+2 𝑦3≤𝑉5 𝑦 1+3 𝑦2−𝑦 3≤𝑉4 𝑦1− 𝑦2≤𝑉

1 1

𝐶 .𝑁 .𝑁 .𝑥 𝑖≥ 0 ;𝑖=1,2,3 𝐶 .𝑁 .𝑁 .𝑥 𝑗≥0 ; 𝑗=1,2,3

PINTURAS ANYPSA

E1 E2 E3PINTURA

S CPP

E1 3 -4 2

E2 5 3 -1

E3 4 -1 0

Caso 1

La siguiente matriz representa el aumento de sueldo en $ mensuales estimado en cada una de las opciones entre el sindicato y la administración de una empresa

¿Qué debe hacer la empresa y qué el sindicato?

EMPRESA

SINDICATO Rígida Lógica Legal

Rígida 35 15 60

Lógica 45 58 50

Legal 38 14 70

Caso 2

La siguiente matriz representa electores en una campaña electoral entre dos candidatos presidenciales:

¿Hallar la solución óptima de la competencia?

Candidato B

Candidato A Radio Televisión Postales Mítines

Almanaques -3 -1 -2 3

Televisión -1 -2 -2 -1

Internet 0 1 -1 2

Pintado de logos -1 -2 -1 1

La empresa Turismo Barranca y San Martín compiten por captar mayor cantidad de pasajeros para el cual deciden poner en marchas diferentes estrategias:

La siguiente matriz muestra los resultados de utilizar estas estrategias:

CASO 3

TURISMO BARRANCA SAN MARTIN DE PORRES

Servicio de llamadas NEXTEL gratuitas.(E1) Servicio de comida durante el Viaje sin recargo(E1)

Publicidad web y radial (E2) Publicidad televisiva (E2)

Reservación de Pasajes Vía Nextel (E3) Reservación de Pasajes Vía Telefónica (E3)

E1 E2 E3E1 0 -2 2E2 5 4 -3E3 2 3 -4

SAN MARTIN DE PORRES

TURISMO BARRANCA

Hallar el valor óptimo de esta competencia

Caso 4

Dos canales de televisión compiten por la audiencia en una determinada ciudad para lo cual utilizan como estrategias el ofertar diferentes programas obteniendo los siguientes resultados en miles:

¿Hallar la solución óptima de la competencia?

Canal AstrosCanal Mundo Telenovelas Vaqueros ComediaTelenovelas 4 3 1vaqueros 0 1 2Comedia -1 1 0